Criterio de Falla Drucker Prager

Plasticidad Los modelos elasto-plásticos se utilizan para representar el comportamiento mecánico de los materiales cuando se sobrepasan ciertos límites en los valores de los esfuerzos o las deformaciones. Dichos límites establecen cuando el comportamiento deja de ser elástico. Al esfuerzo límite se les conoce como esfuerzo de fluencia, después del cual ocurren las deformaciones plásticas. Las bases de la teoría de la plasticidad son: 1. La descomposición aditiva de la deformación unitaria, que tiene una parte elástica reversible (  ) y una parte plástica irreversible (   ). 2. Una función de fluencia (superficie de fluencia), la cual es utilizada para determinar si el comportamiento en el que se encuentra el material es elástico o plástico. La función de fluencia puede ser expresada en términos de esfuerzos o deformaciones. 3. Una regla de flujo con la que se determina los incrementos de deformación. 4. Un conjunto de ecuaciones son introducidas debido a la relación entre las variables internas y el endurecimiento por deformación.

Superficie de fluencia. Criterio de fallo Un ingrediente fundamental en la teoría de la plasticidad es la existencia de un dominio elástico inicial

  que puede escribirse de la forma:  { ∈ ℝ|(  = { ℝ| () ≔ |  ≔  | |    ≤ 0}

Siendo  el dominio elástico lineal, conjunto de los reales.

 el esfuerzo,   el esfuerzo de fluencia, ℝ el

Puesto que el dominio elástico inicial contiene el origen del espacio de tensiones ( = 0), todo proceso de carga en cualquier punto del medio incluirá un régimen elástico mientras la trayectoria de tensiones permanezca en el interior de  , que terminará en el instante en que dicha trayectoria alcance la superficie de fluencia. La superficie de fluencia ejerce entonces un papel indicador del instante de fallo (entendido como el fin del comportamiento elástico) independientemente del posible comportamiento post-fallo (comportamiento plástico) que se inicie más allá de dicho instante. Con el fin de hacer la superficie de fluencia independiente del sistema de referencia (material isotrópico), aunque se formule en el espacio de esfuerzos

principales, su ecuación matemática suele plantearse en función de los invariantes tensionales:

 () ≡  (1 , ′2 , ′ ) y, puesto que se adopta el criterio 1  ≥ 2  ≥  , su definición sólo afectará al primer sector del espacio de esfuerzos principales. Criterio de Drucker-Prager El criterio de fluencia de Drucker-Prager es una aproximación a la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb. La superficie de fluencia de Drucker-Prager es una superficie cónica en el espacio de esfuerzos principales (Fig. 1).

Vista desde el eje hidrostático de presiones

Figura 1 Criterio de Drucker-Prager en el espacio de esfuerzos principales

La superficie de fluencia que define el criterio de Drucker-Prager viene dada por la expresión:

  () ≡ 3  ( ′2 )1/2   = 0 donde:   2sin

  6××cos

  = √ (−sin) ;   = √ (−sin) ;   =

 + + 

=

   

siendo    , la cohesión y el ángulo de rozamiento interno, respectivamente, que son considerados propiedades del material, 1   es el invariante I1 del tensor de esfuerzos de Cauchy,  ′2  es el invariante J2 del tensor del esfuerzo desviador.

La situación del vértice del cono de Drucker-Prager en el lado positivo del eje de tensión hidrostática establece una limitación del rango de comportamiento elástico para estados de tensión hidrostática de tracción (mientras que no hay limitación en el límite elástico para el caso de compresión hidrostática). Esta situación es característica de los materiales cohesivo-friccionantes (hormigón, rocas y suelos). Cabe recordar que un punto P en el espacio de tensiones principales queda unívocamente caracterizado por los tres invariantes 1  ≡ 1 , ′2 , ′  (Fig. 2). Donde: 





 1

1   (a través de   = 2 1 ) caracteriza la distancia al origen del plano octaédrico   sobre el que está el punto (sitúa al punto P sobre un cierto plano octaédrico).  ′2 caracteriza la distancia del punto al eje de presiones hidrostáticas (sitúa al punto P sobe un circulo del plano octaédrico).  ′ caracteriza la posición del punto dentro del círculo definiendo el ángulo

(′ )

Figura 2 Caracterización de un punto P en el espacio de esfuerzos principales