cristina

UNIVERSITATEA DE ŞTIINŢE AGRICOLE ŞI MEDICINĂ VETERINARĂ CLUJ-NAPOCA DEPARTAMENTUL PENTRU EDUCAŢIE CONTINUĂ, ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ ŞI FRECVENŢĂ REDUSĂ

Specializările

AGRICULTURĂ, MONTANOLOGIE, BIOLOGIE

MATEMATICĂ 

STATISTICĂ Lector dr. Cristina Olimpia RUS

CLUJ-NAPOCA 2009

Cuprins Obiective ........................................................................................................... 2 1.1 Noţiunea de funcţie ..................................................................................... 2 1.1.1 Test de autoevaluare ............................................................................ 4 1.2 Derivata unei funcţii.................................................................................... 5 1.3 Tabloul derivatelor ...................................................................................... 5 1.4 Proprietăţi ale funcţiilor derivabile ............................................................. 7 1.4.1 Extreme locale ..................................................................................... 7 1.5 Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor..................................................... 8 1.5.1 Intervale de monotonie ale unei funcţii ............................................... 8 1.5.2 Test de autoevaluare ............................................................................ 9 1.5.3 Concavitatea şi convexitatea funcţiilor ............................................. 10 1.5.4 Asimptote........................................................................................... 11 1

1.6 Reprezentarea grafică a funcţiilor ............................................................. 13 1.7 Probleme propuse ...................................................................................... 15 1.8 Lucrare de verificare ................................................................................. 17 1.9 Bibliografie ............................................................................................... 17

Obiective Acest capitol introductiv îşi propune formarea deprinderilor de calcul necesare la studiul proprietăţilor cantitative şi calitative ale funcţiilor definite pe mulţimea numerelor reale cu valori reale. Se urmăreşte explorarea unor proprietăţi cu caracter local sau global ale unor funcţii cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate. Se vor utiliza reprezentări grafice ale unor funcţii în scopul verificării unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi. Se vor modela situaţii din diferite domenii cu ajutorul funcţiilor în scopul rezolvării unor probleme specifice.

1.1 Noţiunea de funcţie

2

3

1.1.1 Test de autoevaluare

Timp de lucru: 45 minute 10 In definirea unei funcţii este nevoie simultan de…(enumeraţi elementele). 20 Variabila independentă a unei funcţii aparţine mulţimii numită… 30 ►Fie funcţia 𝒇𝒇: ℝ∗ → ℝ. Calculaţi f(0).◄.

Precizaţi şi argumentaţi în ce constă eroarea din enunţul anterior. 40 Domeniul de definiţie al funcţiei 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 50 Domeniul de definiţie al funcţiei 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 60 Domeniul de definiţie al funcţiei 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 70 Domeniul de definiţie al funcţiei 𝒇𝒇(𝒙𝒙) =

𝟑𝟑

𝒙𝒙+𝟏𝟏

este…

𝟑𝟑

𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝟏𝟏 𝟑𝟑

𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝟑𝟑

este… este… 𝟑𝟑

�𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟏𝟏�

este…

80 Domeniul de definiţie al funcţiei 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝟑𝟑𝟑𝟑 este… 90 Domeniul de definiţie al funcţiei 𝒇𝒇(𝒙𝒙) =

𝟑𝟑

√𝟑𝟑𝟑𝟑

este…

100 Domeniul de definiţie al funcţiei 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = √𝟑𝟑𝟑𝟑 este… 110 Daţi un exemplu de funcţie.

𝟑𝟑

120 Daţi un exemplu de funcţie incorect definită şi precizaţi în ce constă greşeala. Indicaţii şi răspunsuri 10, 20 vezi teoria; 30 atenţie la

cerinţa problemei şi totodată

la domeniul de definiţie; 40

ℝ-{-1}; 50 ℝ; 60, 70 ℝ-{±1};

80 [0; ∞); 90 (0; ∞); 100 ℝ; 110, 120 vezi teoria.

4

1.2 Derivata unei funcţii

1.3 Tabloul derivatelor

5

6

1.4 Proprietăţi ale funcţiilor derivabile 1.4.1 Extreme locale

7

1.5 Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor 1.5.1 Intervale de monotonie ale unei funcţii

8

1.5.2 Test de autoevaluare

Timp de lucru: 45 minute 10 Stabiliţi domeniul de definiţie al funcţiei 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = � a) [𝟐𝟐, 𝟑𝟑]; b) (−∞, 𝟏𝟏) ∪ (𝟏𝟏, 𝟐𝟐] ∪ [𝟑𝟑, +∞); c) [𝟏𝟏, 𝟑𝟑].

𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟓𝟓𝟓𝟓+𝟔𝟔

𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟏𝟏

20 Derivata unei funcţii într-un punct este: a) un număr; b) o funcţie; c) o curbă. 𝟏𝟏

30 Derivata de ordinul întâi a funcţiei � 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� 𝟏𝟏

𝟗𝟗

𝟏𝟏

𝟗𝟗

𝟐𝟐

𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟏𝟏

este: 𝟗𝟗

a) 10� 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� ; b) � 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� ; c) 10𝒙𝒙 � 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� . 𝟐𝟐

𝟐𝟐

𝟐𝟐

40 Care sunt punctele de extrem ale funcţiei f: ℝ→ℝ, 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 ?

a) 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 puncte de minim local, iar 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 punct de maxim local;

b) 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 puncte de maxim local, iar 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 punct de minim local; c) alt răspuns.

50 Funcţia f: ℝ→ℝ, 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 este strict descrescătoare pe intervalul:

a) (−∞, −𝟏𝟏); b) [-1,1]; c) (1,+ ∞).

9

Indicaţii şi răspunsuri 10 b); 20 a); 30

c);40 a); 50 b).

1.5.3 Concavitatea şi convexitatea funcţiilor

Pornind de la graficul de mai sus, poate fi formulată definiţia funcţiei convexe. Definiţia 1.5 Funcţia reală f definită pe intervalul I se numeşte convexă dacă 𝒇𝒇�𝒙𝒙𝒙𝒙 + 𝒚𝒚(𝟏𝟏 − 𝒕𝒕)� ≤ 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝒙𝒙) + (𝟏𝟏 − 𝒕𝒕)𝒇𝒇(𝒚𝒚), ∀𝒙𝒙, 𝒚𝒚 ∈ 𝑰𝑰, ∀𝒕𝒕 ∈ [𝟎𝟎, 𝟏𝟏].

Definiţia 1.6 Funcţia reală f definită pe intervalul I se numeşte concavă dacă 𝒇𝒇�𝒙𝒙𝒙𝒙 + 𝒚𝒚(𝟏𝟏 − 𝒕𝒕)� ≥ 𝒕𝒕𝒕𝒕(𝒙𝒙) + (𝟏𝟏 − 𝒕𝒕)𝒇𝒇(𝒚𝒚), ∀𝒙𝒙, 𝒚𝒚 ∈ 𝑰𝑰, ∀𝒕𝒕 ∈ [𝟎𝟎, 𝟏𝟏].

Pe scurt, dacă f este convexă, atunci –f este concavă.

10

1.5.4 Asimptote

11

12

1.6 Reprezentarea grafică a funcţiilor

13

14

1.7 Probleme propuse

15

16

1.8 Lucrare de verificare 10 Stabiliţi domeniul de definiţie al funcţiei 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = � 20 Calculaţi derivatele următoarelor funcţii: a) 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐥𝐥𝐥𝐥

𝒙𝒙−𝟐𝟐 𝒙𝒙

; b) 𝒈𝒈(𝒙𝒙) =

𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝒙𝒙

; c) h(𝒙𝒙) = �

𝟑𝟑−𝟐𝟐𝒙𝒙

𝟏𝟏

𝒙𝒙+𝟐𝟐

𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟑𝟑𝒙𝒙+𝟐𝟐 𝟒𝟒

∙ 𝒆𝒆𝟐𝟐+𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐𝒙𝒙

30 Calculaţi derivata de ordinul II pentru funcţia 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒆𝒆(𝒂𝒂+𝟐𝟐)𝒙𝒙 40 Enumeraţi etapele reprezentării grafice a unei funcţii. 50 Reprezentaţi grafic funcţia 𝒇𝒇(𝒙𝒙) =

1.9 Bibliografie

𝟐𝟐𝒙𝒙−𝟏𝟏 𝟒𝟒−𝒙𝒙𝟐𝟐

17

2.3.4 Test de autoevaluare

Timp de lucru: 30 minute 10 Seminţele germinative ale unei plante reprezintǎ 95%. i) Care este probabilitatea ca din 4 seminţe sǎ rǎsarǎ 3 seminţe? a) 0,171; b) 1,171; c) 0,333. ii) Care este probabilitatea ca din 4 seminţe sǎ rǎsarǎ cel puţin una? a) 0,815; b) 0,999; c) 0,185. 20 Un student are de susţinut într-o sesiune trei examene. Probabilitǎţile de promovare ale acestor examene sunt: 0,95; 0,8 respectiv 0,75. Se cere probabilitatea ca: i) Studentul sǎ promoveze toate examenele a) 1,57; b) 0,43; c) 0,57. ii) Studentul sǎ promoveze cel puţin un examen. a) 0,9975; b) 0,0025; c) 1,0025. iii) Studentul sǎ promoveze cel mult douǎ examene a) 0,43; b) 0,57; c) 0,81. Indicaţii şi răspunsuri 10 i)→a); ii)→b);

20 i)→c); ii)→a);

iii)→a).

30

Cuprins Obiective ......................................................................................................... 19 2.1 Noţiuni de bază ......................................................................................... 20 2.2 Probabilitate. Proprietăţi ........................................................................... 22 2.2.1 Test de autoevaluare ........................................................................... 24 2.3 Scheme clasice de probabilităţi ................................................................. 26 2.3.1 Schema lui Poisson ............................................................................. 26 2.3.2 Schema lui Bernoulli (binomială) ....................................................... 27 2.3.3 Schema bilei nerevenite ...................................................................... 29 2.3.4 Test de autoevaluare ........................................................................... 30 2.4 Variabile aleatoare .................................................................................... 31 2.4.1 Definiţie .............................................................................................. 31 2.4.2 Operaţii cu variabile aleatoare ............................................................ 32 18

2.4.3 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare ................................... 33 2.4.4 Densitatea de probabilitate (densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare) ...................................................................................................... 35 2.5 Repartiţii clasice ........................................................................................ 38 2.5.1 Repartiţii clasice discrete .................................................................... 38 2.6 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare ..................................... 40 2.6.1 Valoarea medie (speranţa matematică) ............................................... 40 2.6.2 Dispersia unei variabile aleatoare ....................................................... 41 2.6.3 Abaterea medie pătratică a unei variabile aleatoare ........................... 43 2.7 Calculul caracteristicilor numerice ale principalelor repartiţii clasice ..... 44 2.7.1 Repartiţia Poisson ............................................................................... 44 2.7.2 Repartiţia binomială ............................................................................ 45 2.8 Test de autoevaluare.................................................................................. 45 2.9 Probleme propuse ...................................................................................... 47 2.10 Lucrare de verificare ............................................................................... 54 2.11 Bibliografie ............................................................................................. 55

Obiective Acest capitol trateazǎ noţiuni şi concepte specifice teoriei probabilitǎţilor. Întrucât calculul probabilităţilor constituie fundamentul teoretic al statisticii biologice abordatǎ în capitolul urmǎtor şi frecvent utilizatǎ în cercetǎrile biologice şi agricole, 19

scopul urmǎrit îl reprezintǎ consolidarea unui instrument de investigare, obiectiv în iniţierea studiului şi aplicǎrii statisticii matematice.

2.1 Noţiuni de bază

20

21

2.2 Probabilitate. Proprietăţi.

22

23

2.2.1 Test de autoevaluare

Timp de lucru: 30 minute 10 Probabilitatea realizǎrii unui eveniment este: a) un numǎr real din intervalul (1, ∞) b) un numǎr real strict negativ c) un numǎr real din intervalul [0,1]. 20 Douǎ evenimente sunt incompatibile atunci când: a) realizarea unuia determinǎ realizarea celuilalt b) se pot realiza simultan 24

c) nu se pot realiza simultan. 30 Dacǎ A şi B sunt douǎ evenimente independente atunci: a) P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B) b) P( A ∩ B) = P( A) + P( B) c) P( A ∩ B) = P( A) + P( B) − P( A) ⋅ P( B) . 40. Intr-o ladǎ care conţine 150 de mere, 62 sunt de soi A, 35 de soi B şi restul de soi C. Care este probabilitatea ca un mǎr luat la întâmplare sǎ fie din soiul B sau C? a)

97 88 115 ; b) ; c) . 150 150 150

50 Într-un bol se află 50 de bile de mai multe culori: 14 albe, 12 violet, 8 portocalii, 3 albastre şi restul galbene. Care este probabilitatea ca extrăgând la întâmplare o bilă aceasta să fie galbenă?

a)

11 13 23 ; b) ; c) . 13 50 50

Indicaţii şi răspunsuri 10 c); 20 c); 30 a); 40 b); 50 b). 25

2.3 Scheme clasice de probabilităţi 2.3.1 Schema lui Poisson

26

2.3.2 Schema lui Bernoulli (binomială)

27

28

2.3.3 Schema bilei nerevenite

29

2.3.4 Test de autoevaluare

Timp de lucru: 30 minute 10 Seminţele germinative ale unei plante reprezintǎ 95%. i) Care este probabilitatea ca din 4 seminţe sǎ rǎsarǎ 3 seminţe? a) 0,171; b) 1,171; c) 0,333. ii) Care este probabilitatea ca din 4 seminţe sǎ rǎsarǎ cel puţin una? a) 0,815; b) 0,999; c) 0,185. 20 Un student are de susţinut într-o sesiune trei examene. Probabilitǎţile de promovare ale acestor examene sunt: 0,95; 0,8 respectiv 0,75. Se cere probabilitatea ca: i) Studentul sǎ promoveze toate examenele a) 1,57; b) 0,43; c) 0,57. ii) Studentul sǎ promoveze cel puţin un examen. a) 0,9975; b) 0,0025; c) 1,0025. iii) Studentul sǎ promoveze cel mult douǎ examene a) 0,43; b) 0,57; c) 0,81. Indicaţii şi răspunsuri 10 i)→a); ii)→b);

20 i)→c); ii)→a);

iii)→a).

30

2.4 Variabile aleatoare 2.4.1 Definiţie

31

2.4.2 Operaţii cu variabile aleatoare

32

2.4.3 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare

33

34

2.4.4 Densitatea de probabilitate (densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare)

35

36

37

2.5 Repartiţii clasice 2.5.1 Repartiţii clasice discrete

38

39

2.6 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 2.6.1 Valoarea medie (speranţa matematică)

40

2.6.2 Dispersia unei variabile aleatoare

41

42

2.6.3 Abaterea medie pătratică a unei variabile aleatoare

43

2.7 Calculul caracteristicilor numerice ale principalelor repartiţii clasice 2.7.1 Repartiţia Poisson

44

2.7.2 Repartiţia binomială

Cum schema lui Bernoulli este un caz particular al schemei lui Poisson, şi anume cazul când 𝑝𝑝1 = 𝑝𝑝2 = ⋯ = 𝑝𝑝𝑛𝑛 = 𝑝𝑝 şi 𝑞𝑞1 = 𝑞𝑞2 = ⋯ = 𝑞𝑞𝑛𝑛 = 𝑞𝑞, înseamnă că

2.8 Test de autoevaluare

Timp de lucru: 50 minute 10 Se dau variabilele aleatoare independente: 2 0,2

𝑋𝑋 �

3 0,3

1 5 � şi 𝑌𝑌 � 0,6 0,5

4 0,2

6 � 0,2

45

a) Repartiţia variabilei X+Y este ⋯ b) Repartiţia variabilei X∙Y este ⋯ c) Valoarea medie 𝑴𝑴(𝑿𝑿) este ⋯

d) Valoarea medie 𝑴𝑴(𝑿𝑿 ∙ 𝒀𝒀) este ⋯ e) Dispersia 𝑫𝑫𝟐𝟐 (𝑿𝑿) este ⋯

f) Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este ⋯ −1

20 Se dă variabila aleatoare X�

1 2

a) Repartiţia variabilei 𝑿𝑿𝟐𝟐 este ⋯

1 1 4

2

1 �. 4

b) Repartiţia variabilei 𝑿𝑿𝟑𝟑 este ⋯

c) Repartiţia variabilei −𝑿𝑿 este ⋯ d) Valoarea medie 𝑴𝑴(𝟐𝟐𝑿𝑿)este ⋯ e) Valoarea medie 𝑴𝑴(𝟐𝟐)este ⋯ f) Dispersia 𝑫𝑫𝟐𝟐 (𝑿𝑿) este ⋯

g) Dispersia 𝑫𝑫𝟐𝟐 (𝟒𝟒𝑿𝑿) este ⋯

h) Dispersia 𝑫𝑫𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐) este ⋯ Indicaţii şi răspunsuri

4

19

.

1

2

10 a) o variabilă care ia cinci valori; b) o variabilă care ia 8 valori; c) 3,8; d) 9,88; e) 0 pentru 𝑥𝑥 ≤ 2 0,2 pentru 2 < 𝑥𝑥 ≤ 3 1,56; f) 𝐹𝐹 (𝑥𝑥 ) = � 0,5 pentru 3 < 𝑥𝑥 ≤ 5 1 pentru 𝑥𝑥 > 5

; g) 19; h)

20 a), b), operaţia de ridicare la putere a unei variabile aleatoare; c) operaţia de înmulţire cu

19

16

un scalar a unei variabile aleatoare; d) ; e) 2;

f)

46

2.9 Probleme propuse

47

48

49

50

51

52

53

2.10 Lucrare de verificare 10 La aruncarea unei monede rezultatele posibile sunt: cap (C) şi pajură (P). Dacă aruncăm moneda de 4 ori, ce număr total de rezultate avem? 20 Evenimentele posibile ale unui meci de volei sunt: victorie, înfrângere şi egal. P(victorie) + P(înfrângere) + P(egal) = ⋯

30 Presupunem că de regulă un anumit vaccin contra pojarului produce o reacţie (febră) cu o probabilitate p=0.15 . Care este probabilitatea ca din 6 copii vaccinaţi 4 să aibă o reacţie în urma vaccinării? 40 Clasificaţi următoarele evenimente:

a) La aruncarea unui zar, evenimentul care constă în apariţia oricărei feţe de la 1 la 6 este un eveniment ⋯

b) Evenimentele: apariţia feţei 3 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia unei feţe cu un număr impar de puncte la aruncarea unui zar sunt ⋯

c) Extragerea unei bile albastre dintr-o urnă care conţine numai bile albe şi negre este un eveniment ⋯

d) Apariţia unui număr de 8 puncte la o probă a aruncării unui zar constituie evenimentul ⋯

e) Evenimentele: apariţia feţei 5 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei 6 la aruncarea unui zar sunt ⋯

54

f) Extragerea unei bile verzi dintr-o urnă care conţine numai bile verzi este un eveniment ⋯

g) Apariţia feţei 4 la aruncarea unui zar este un eveniment ⋯

h) Evenimentele: apariţia feţei 3 la aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei 4 la o alta aruncare a zarului sunt ⋯

i) Evenimentele: obţinerea unui număr de 7 puncte la aruncarea a două zaruri şi apariţia feţei 2 pe unul dintre două zaruri, ştiind că acestea au suma punctelor de pe feţele de deasupra 7 sunt ⋯

50 Fie X o variabilă aleatoare ce reprezintă numărul de examene ce pot fi promovate 𝒂𝒂 de către un student în sesiune, X� 𝟏𝟏 𝟐𝟐

𝟓𝟓

𝒂𝒂 + 𝟏𝟏

a) Determinaţi a ştiind că M(X)= ; 𝟑𝟑

𝟏𝟏 𝟑𝟑

𝒂𝒂 + 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟔𝟔

�.

b) Rescrieţi repartiţia variabilei X pentru valoarea lui a determinată anterior; c) Calculaţi repartiţia variabilei 𝑿𝑿𝟐𝟐 ;

d) Calculaţi repartiţia variabilei 𝑿𝑿 ∙ 𝑿𝑿;

e) Calculaţi dispersia şi abaterea standard ale numărului mediu de examene ce pot fi promovate de către student în sesiune; f) Scrieţi funcţia de repartiţie a variabilei X.

2.11 Bibliografie

55

Cuprins Obiective ......................................................................................................... 57 3.1 Noţiuni de bază ......................................................................................... 58 3.2 Modul de prezentare a datelor statistice.................................................... 60 3.3 Indicatori ai repartiţiilor de frecvenţe ....................................................... 67 3.3.1 Indicatori de poziţie ............................................................................ 67 3.3.2 Indicatori ai variaţiei ........................................................................... 73 3.4 Test de autoevaluare.................................................................................. 78 3.5 Elemente de teoria estimaţiei .................................................................... 80 3.5.1 Intervalul de încredere al mediei unei populaţii repartizate normal ... 82 3.6 Verificarea ipotezelor statistice................................................................. 86 3.6.1 Ipoteze statistice şi testele lor de verificare ........................................ 86 3.6.2 Testul u................................................................................................ 87 56

3.6.3 Testul t.................................................................................................91 3.6.4 Testul F ............................................................................................... 93 3.6.5 Testul χ2............................................................................................... 95 3.7 Test de autoevaluare................................................................................ 101 3.8 Probleme propuse ................................................................................... 102 3.9 Lucrare de verificare ................................................................................115 3.10 Tabele statistice ......................................................................................116 3.11 Bibliografie ............................................................................................121

Obiective Statistica matematicǎ are o dezvoltare şi aplicabilitate deosebitǎ pe o scarǎ largǎ şi într-o multitudine de domenii ale cunoaşterii umane. Acest capitol urmăreşte însuşirea conceptelor de bază în iniţierea studiului statisticii matematice cât şi modul de aplicare al metodelor de lucru specifice acesteia: culegerea şi reprezentarea datelor; interpretarea datelor statistice cu ajutorul graficelor şi al diagramelor; utilizarea datelor statistice pentru analiza de caz; transpunerea în limbaj matematic, prin mijloace statistice, a unor probleme practice; corelarea datelor statistice în situaţii concrete; predicţia comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate.

57

3.1 Noţiuni de bază

58

59

3.2 Modul de prezentare a datelor statistice

60

61

62

63

64

65

66

3.3 Indicatori ai repartiţiilor de frecvenţe

3.3.1 Indicatori de poziţie

67

68

69

70

71

72

Formulele indicatorilor de poziţie sunt rezumate în tabelul următor: Date negrupate

Date grupate

Media

(n=2k)

Mediana (n =2k+1)

este acea valoare a unei repartiţii de Modulul

frecvenţe căreia îi corespunde cea mai mare

frecvenţă

absolutǎ

(conform

definiţiei)

3.3.2 Indicatori ai variaţiei

73

74

75

76

Formulele indicatorilor variaţiei sunt rezumate în tabelul următor: Date negrupate

Date grupate

Varianţa

Abaterea standard

77

Coeficientul de variaţie

3.4 Test de autoevaluare

Timp de lucru: 50 minute 10. Care este graficul corespunzǎtor datelor negrupate? a). histograma b). diagrama în bastoane c). repartiţia de frecvenţe 20. Care sunt indicatorii de poziţie studiaţi? a). media, mediana, modulul b). amplitudinea, asimetria, momentele centrate c). varianţa, abaterea standard, coeficientul de variaţie 30. Care este media urmǎtoarei repartiţii de frecvenţe? xi 6,5 7

7.5 8

8,5

ni 4

6

3

a). 3,97

8

7

b). 7,52

c) 9,34 78

40. Se consideră 20 de loturi de teren arabil din care 10 sunt tratate cu fosfor. Producţia de grâu (kg) obţinutǎ pe fiecare lot este: 45

47

40

42

43

48

50

45

47

43

netratate 35

38

42

37

40

39

38

40

43

39

tratate

i). Care este producţia medie de grâu de pe loturile tratate şi de pe cele netratate? a). xtratate = 45 (kg)

xnetratate = 39,1 (kg)

b). xtratate = 55,1 (kg)

xnetratate = 45,1 (kg)

c). xtratate = 35,5 (kg)

xnetratate = 30,5 (kg)

ii). Care este variaţia producţiei medii de grâu de pe loturile tratate cu fosfor? a). S2=5,433 b). S2=14,433 c). S2=7,383

S=2,330 S=3,799 S=2,717

CV%=5,961 CV%=15,961 CV%=6,038 Indicaţii şi răspunsuri 10 b); 20.a); 30.b);

40.i)→a); ii)→c).

79

3.5 Elemente de teoria estimaţiei

80

81

3.5.1 Intervalul de încredere al mediei unei populaţii repartizate normal

82

83

84

85

3.6 Verificarea ipotezelor statistice 3.6.1 Ipoteze statistice şi testele lor de verificare

86

3.6.2 Testul u

87

88

89

90

3.6.3 Testul t

91

92

3.6.4 Testul F

93

94

3.6.5 Testul χ2

95

96

97

98

99

100

3.7 Test de autoevaluare

Timp de lucru: 30 minute 10 Care dintre testele statistice enumerate se foloseşte la verificarea ipotezei egalitǎţii mediei unei populaţii repartizate normal cu o medie ipoteticǎ în cazul n