Cristalografia - MIGUEL

CAPÍTULO

I

INTRODUCCIÓN 1.1. Historia de la Cristalografía La Cristalografía, ciencia que estudia los cuerpos cristalinos (griego: Kristallos + grafo = cristal + descripción), fue ya vislumbrada por los griegos que determinaron al agua helada como cristal, que se formaba cuando el agua se congelaba y se petrificaba. Al cuarzo transparente se le llama cristal rocoso. Esta interpretación fue válida hasta la Edad Media. Hoy en día cristal es todo mineral con formas poliédricas. Las primeras investigaciones buscaban una utilización industrial, y fueron los filósofos los primeros en tener curiosidad por los minerales, pensando que tenían poderes curativos (300-200 a.C.). Perilitón fue el primero en descubrir la angulosidad de los cristales. En 60 d.C. un farmacéutico habla de las formas poliédricas, también habla de la cristalización del sulfato y la especial rotura de algunos minerales. En esa época otro autor habla de las caras hexagonales del cuarzo, un peculiar tipo de yeso que aparece en forma de cabello. El 1º texto serio escrito aparece sobre 1556 por George Agrícola, en una de sus obras “De Natura Fossilium” donde reconoció la importancia de las formas geométricas. A partir del siglo XVI empieza a aparecer como ciencia. Kepler hace un estudio de los cristales de nieve, los cuales fueron seguidos por Cook, midiendo la distancia entre ángulos. Steno dedujo la “ley de constancia de ángulos” diedros, empleando términos usados hoy en día. Y ya aparece como ciencia. Romé de L´Isle conoce un catálogo de minerales, a partir del cuál, fundamenta la existencia de formas regulares propias de los minerales. Haüy René-Just (1743-1822) cristalógrafo francés, fundador de la cristalografía, habla de la exfoliación, rompiendo varias veces la calcita forma láminas cada vez más pequeñas. Dice que cada mineral tiene un núcleo “forma primitiva”, por la exfoliación podemos encontrarla “molécula elemental” que tendrá la composición del mineral; él decía que estabaestán formada por un de múltiplo esa molécula Estas moléculas colocadas forma de ordenada, lo que elemental. ahora se conoce como celda unitaria.

A la cristalografía se centraliza en: 1. Cristalografía elemental: los cristales son considerados como agregados de esa molécula elemental: a) Escuela alemana Weús1

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Miller se estudia desde la matemática, b) Escuela francesa se estudia desde lo experimental, los fenómenos isomórficos (composición varia y la forma permanece) y polimorfos (igual composición y distinta forma) fueron descubiertos en el siglo 19 y llevará a la teoría de las redes cristalinas de Bravais. 2. Cristalografía roetnográfica: sobre 1910, se pensó en los cristales para la difracción de los rayos X y aparece la teoría de las redes moleculares. el cristal ordenadas. UnConsideran año después Bravaisformado simplificapor estepartículas estudio llevándolo a las matemáticas. 3. Cristalografía estructural: se reúne la escuela alemana y francesa, definiendo las redes y estableciendo el estudio de medios cristalinos. Combinando los elementos en el espacio. En el cristal tiene tanta importancia la materia como la ordenación. Barlow también habla de esferas, los átomos, empaquetados donde hay huecos, y también habla de los enlaces. Los cristales van a depender de los átomos que los forma y los enlaces que los unen. Los átomos están empaquetados de forma ordenada. Desde el punto de vista geológico se sabe que la mayor parte de los minerales presentes en la corteza terrestre se encuentran en estado sólido cristalino, caracterizado por un ordenamiento atómico regular. Por otra parte, la cristalografía también se encarga del crecimiento, de la forma y de la geometría de los cristales. Los griegos ya determinaron el hielo como un cristal. Pocos son de hecho los minerales considerados amorfos, es decir, carentes de ordenamiento atómico regular.

1.2. Formación de minerales La formación de los minerales es el resultado de una serie de procesos físicos y químicos que se verifican en todas las épocas geológicas y que aún continúan manifestándose. Así pues, un mineral es una sustancia natural de carácter inorgánico, que cuales posee una definida de elementos de los estáestructura formado, atómica dando lugar al crecimiento dequímicos superficies planas o caras, pero si dicho mineral se ha podido desarrollar en condiciones ideales y sin impedimentos, podremos apreciar que se ha desarrollado siguiendo el patrón de conocidas y no tan conocidas formas geométricas. Ahora es cuando se le puede llamar cristal a dicha formación. También tienen una estructura química definida. 2

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El crecimiento de un mineral viene marcado por una serie de condiciones tales como:

·

Presión: Cada mineral es diferente de otro así que si solo se formará en ciertos intervalos de presión.

·

Contenido: Es la base del mineral. Se tiene que dar cierta concentración de elementos químicos para que se forme ya que

·

de lo contrario no lo hará. Temperatura: Es como la presión. Si no está dentro de cierto intervalo de temperatura el mineral no crecerá.

·

Espacio: Un mineral casi siempre puede cristalizar. Otra cosa es que nos dé formas geométricas cristalinas o mineral masivo. Dependerá del espacio que tenga el fluido rico en mineral a cierta temperatura y presión para que desarrolle una forma.

·

Tiempo esencial: Un mineral en condiciones naturales, aparte de la halita (sal común) y otros minerales, tiende a tardar muchos años, miles incluso millones para llegar a formar cristales. Depende del tiempo pues, si un mineral es pequeño de tamaño o

grande. Las propiedades físicas de un cristal dependen de la composición química y de la estructura cristalina; se dividen en escalares y vectoriales. Las escalares son independientes de la dirección y se representan con un solo dato, mientras que las propiedades vectoriales varían al cambiar la dirección en la cual se determinan y se representan con vectores. Los primeros estudiantes de la historia natural adscribieron todas las sustancias que aparecen en la naturaleza a tres “reinos”: animal, vegetal y mineral. Dado que los colores brillantes, la regularidad de forma, transparencia y otras propiedades físicas visibles han llamado siempre la de atención, es de hayan extrañar con gran diversidad colores ynoformas, sidoque unolos de minerales, los primeros objetos de estudio del hombre primitivo. Aunque el desarrollo de la mineralogía es relativamente reciente, los minerales, cristales y rocas fueron los primeros materiales usados en el desarrollo de la civilización. La cristalografía es la ciencia que estudia las estructuras cristalinas. Su etimología proviene del griego Kristallos que significa cristal. 3

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Los minerales cristalizan de una forma determinada, es decir, que cuando las condiciones son favorables, cada elemento químico contenido en un fluido tiende a cristalizar en una forma característica. Por ejemplo, la sal normalmente suele formar cristales cúbicos, mientras que el granate suele aparecer con más frecuencia en forma de cristales dodecaedros, 12 caras, o cuerpos de 24 caras, y a veces también puede aparecer en forma de cristales cúbicos. En la mayoría de casos,cristalizan los minerales, a pesar de misma sus diferentes formas de cristalización, siempre con una clase y sistema. Teóricamente se pueden encontrar treinta y dos clases diferentes de estructuras cristalinas, pero en la realidad sólo alrededor de 14 estructuras son las que se encuentran comúnmente. Las treinta y dos clases se agrupan en siete sistemas cristalinos, caracterizados por la longitud y posición de sus ejes. Los minerales que comparten un mismo sistema comparten muchas características similares de simetría y forma cristalina, así como muchas otras propiedades importantes.

1.3. Concepto de Mineralogía La Mineralogía una ciencia,cuerpos rama deinorgánicos la historia natural, que tiene por objeto el estudioesde aquellos llamados minerales, los cuales, ya sea individualmente o en conjunto con otros minerales, constituyen las grandes masas de rocas que forman la corteza terrestre y la de otros cuerpos celestes, tal como se ha comprobado en los fragmentos de los meteoritos que cayeron a la Tierra.

1.4. Definición de Mineral La definición de mineral ha sido, durante mucho tiempo, bastante ambigua y se han catalogado como minerales muchos materiales geológicos de diversa naturaleza. Un mineral es un sólido homogéneo por naturaleza con una composición química definida (pero generalmente no fija) y una disposición atómica ordenada. Normalmente se forma mediante un proceso inorgánico. Un análisis actualizado de esta definición ayudará a su comprensión: cuando decimos por naturaleza estamos distinguiendo entre sustancias formadas por procesos naturales y sustancias sintetizadas en el laboratorio. Los laboratorios industriales y de investigación 4

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producen rutinariamente equivalentes sintéticos de muchos productos naturales incluyendo piedras preciosas de valor, como pueden ser las esmeraldas, rubíes, y diamantes. Desde principios del siglo XX, los estudios mineralógicos se han apoyado mucho en los resultados de los sistemas sintéticos, en los cuales los productos obtenidos son exactamente iguales a los producidos naturalmente. Esta práctica es generalmente aceptada, aún cuando esté en desacuerdo con la estricta interpretación del proceso natural. En este texto universitario denominamos mineral a una sustancia formada por proceso natural. Podemos ahora preguntarnos cómo debemos referirnos al CaCO3 (calcita) que a veces se forma en las canalizaciones de agua en una ciudad, formando depósitos concéntricos. La precipitación en el agua de este material es un proceso natural, pero sucede en un sistema realizado por el hombre. La mayoría de los mineralogistas se refieren a este material por su nombre mineral, calcita, como si no existiese una contribución humana en su formación. La definición de mineral también establece que un mineral es un sólido homogéneo. Esto significa que consta de una única sustancia sólida que no puede ser subdividida físicamente en simples componentes químicos. La cualidad de sólido excluye a los gases y líquidos. Por tanto H2O en forma de hielo en un glaciar es un mineral, pero el agua en sí misma no lo es. De la misma manera el mercurio líquido, que se encuentra en algunos depósitos de mercurio, no debe ser considerado como un mineral si aplicamos estrictamente la definición de éste. Sin embargo, en una clasificación de los materiales naturales todas las sustancias que se comportan como minerales en química se denominan mineraloides y se encuentran dentro del término del mineralogista. El hecho de que un mineral debe tener una composición química definida implica que éste puede expresarse mediante una fórmula química específica (por lo que es denominado especie mineral). Por ejemplo, la composición química del cuarzo se expresa de la forma SiO2. El cuarzo sólo contiene a los elementos químicos, silicio y oxígeno, y tiene una fórmula definida. En concreto, la siguiente definición especifica, de una forma muy clara, qué son y qué no son los minerales.

1.4.1. Composición química definida: Los minerales son sustancias químicas formadas por uno o más elementos. Cada sustancia tiene su fórmula química. La fórmula es la expresión cuantitativa de la 5

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composición de una sustancia. Se admite que pequeñas variaciones en la fórmula no afectan decisivamente a la naturaleza de una sustancia. Por ello, también se admite que la composición química de un mineral puede moverse dentro de ciertos límites, siempre y cuando, como ya se ha dicho, ello no cambie de forma decisiva sus propiedades y su estructura.

1.4.2. Estructura cristalina: Salvo en algunos casos, las sustancias químicas un ordenamiento periódico en los el átomos moléculas.presentan Si el ordenamiento periódico permanece en todo espacioy que ocupa la sustancia, se dice que está cristalizada. Pero si no se observa una disposición periódica y ordenada de las entidades se dice que la sustancia no está cristalizada o que es amorfa. Hay que mencionar ciertas sustancias no sólidas en condiciones normales, cuya situación en el mundo mineral ha sido muy cuestionada (mercurio, agua, ClH, FH, SO 2, SH2, SO4H2, etc.). En la actualidad la polémica parece zanjada, al no exigirse que los minerales sean sólidos y, por lo tanto, estas y otras sustancias que se encuentran en los medios naturales inorgánicos, son consideradas minerales o sustancias minerales aunque, eso sí, un tanto especiales. A las estructuras cristalinas se describen como materiales cristalinos de aquellos cuerpos sólidos cuyos elementos constitutivos se repiten de manera ordenada y paralela y cuya distribución en el espacio muestra ciertas relaciones de simetría. Así, la propiedad característica y definidora del medio cristalino es ser periódico, es decir, que a lo largo de cualquier dirección, y dependiendo de la dirección elegida, la materia que lo forma se halla a distancia específica y paralelamente orientada. Además de ésta, otras propiedades características son la homogeneidad y la anisotropía. Por tanto, el cristal está formado por la repetición monótona de agrupaciones atómicas paralelas entre sí y a distancias repetitivas específicas (traslación). La red cristalina es una abstracción del contenido material de este medio cristalino, y el tratarlo únicamente en función de las traslaciones presentes constituye la esencia de la teoría de las redes cristalinas. 1.4.3. Propiedades características: El hecho de poseer una determinada composición y una determinada estructura confiere a todas las sustancias una serie de propiedades físicas y químicas, que son la manifestación macroscópica de su naturaleza atómica y molecular. 6

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1.4.4. Nomenclatura mineral: H a s t a 1990 se conocían 3,304 especies minerales y su número sigue aumentando cada año. Hasta no hace mucho tiempo no existían acuerdos internacionales, sobre la denominación, formulación y clasificación de los minerales. Actualmente, la I.M.A. (International Mineralogical Association), intenta poner orden en este tema y por ello existe la C.N.M.M.N. (Comisión de Nombres de Minerales y Minerales Nuevos) que se encarga de unificar la nomenclatura, formulación y clasificación de los minerales. Es de destacar la labor realizada por esta comisión, para clarificar la Mineralogía de los Filosilicatos y los Inosilicatos. A lo largo de la Historia se han empleado muchas denominaciones para rocas, minerales y variedades, algunas de las cuales han dado lugar a numerosas confusiones que todavía pueden darse. Por un lado existen especies con más de un nombre (blenda y esfalerita, hematita y oligisto, idocrasa y vesubiana, titanita y esfena, etc.). Por otro lado, en muchos casos, no está muy claro cuando se habla de variedades y de especies. Por ejemplo, la esmeralda no es más que una variedad del berilo, pero es más conocido el nombre de la esmeralda que el del berilo y muchas personas desconocen la verdadera naturaleza de esta gema. Hoy en día se usan nombres de minerales con etimologías muy diversas. Se conservan una buena parte de los nombres conocidos en la época griega y romana, como cinabrio, cobre, plata, amatista, etc., pero el número de especies conocidas por entonces era muy reducido. Hasta el siglo XVIII no se conocían muchas especies, pero coincidiendo con el desarrollo de la Química, se empezaron a conocer nuevas especies cuyos nombres tienen una etimología muy variada en la que siguen predominando las raíces griegas y latinas, pero también aparecen nombres relacionados con personajes, con los lugares donde se han encontrado (toponímicos), etc. Más recientemente son frecuentes los nombres con raíces anglosajonas, germánicas, eslavas y francesas. La influencia de las abreviaturas ha llegado también al mundo mineral y se emplean las iniciales de los elementos constituyentes. Un ejemplo de este caso lo constituye la Banalsita (BaNa2Al4Si4O16). Por convenio, se usa la terminación "ita" referida al término griego "lithos" que significa piedra. De modo anecdótico, hay que mencionar que durante el siglo XVIII Linneo intentó dar una nomenclatura similar a la que había dado a los vegetales y a los animales basándose en los conceptos de género y especie. Esta nomenclatura no tuvo mucho éxito y dejó de usarse durante el siglo XIX.

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En algunos libros españoles se ha intentado castellanizar los nombres con una transcripción fonética que ha conducido a cierta confusión. Modernamente se aceptan, incluso por la Real Academia Española de la Lengua, los nombres que provienen de lenguas extranjeras e incluso del griego y latín, con pequeñas adaptaciones al castellano que se encuentran debidamente reglamentadas.

1.4.5. Nombre de los minerales: Los minerales se clasifican normalmente en función del principal componente químico (unsilicatos, anión o complejo aniónico) presente en el mineral en óxidos, sulfuros, carbonatos, fosfatos, etc. Esto es muy útil porque la mayoría de los minerales contiene sólo un anión principal. De todas formas, al nombrar un mineral no siempre se ha utilizado este esquema químicamente lógico. La descripción detallada y la identificación de los minerales requieren frecuentemente técnicas altamente especializadas, como el análisis químico y la medida de propiedades físicas, como la densidad, las propiedades ópticas y los parámetros de rayos X que están relacionados con la estructura atómica de los minerales. Sin embargo, en la nomenclatura de minerales no hay una regla científica fija. A los minerales se les ha ido nombrando en función de algunas propiedades físicas, o según un aspecto químico, o se les ha puesto un nombre del lugar donde se les ha encontrado, o de un personaje famoso, de un mineralogista, o cualquier otra consideración que resultará apropiada. A continuación se citan algunos ejemplos de nombres de minerales. Albita (NaAlSi3O8) del latín, Albus (blanco), en alusión a su color. Rodonita (MnSiO3) del griego, rhodon (una rosa) en alusión a su color rosa característico. Cromita (FeCr2O4) ya que existe una gran cantidad de cromo en este mineral. Magnetita (Fe3O4) debido a sus propiedades magnéticas. Franklinita (ZnFe2O4), de la localidad, Franklin, New Jersy, en donde es el mineral de Zn dominante. Sillimanita (Al2SiO5), en honor del profesor Benjamin Silliman, de la Universidad de Yale. Tampoco hay que olvidar los minerales y variedades que presentan etimologías de srcen español, como aragonito, jarosita o andalucita. 8

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Aunque también hay que reconocer que ciertos nombres ya no se emplean o corresponden a especies y variedades que poseen otro nombre internacionalmente admitido, como la almerita que se conoce normalmente como natroalunita El Glosario de especies minerales, publicado en 1991 por Michael Fleischer relaciona los nombres recomendados internacionalmente para unos 3,500 minerales distintos.

1.5. Concepto de Especie Mineral Especie Mineral es una sustancia natural y homogénea, de srcen inorgánico, con una composición química definida, dentro de ciertos límites, formado en la naturaleza a través de fenómenos inorgánicos, que posee unas propiedades características y que, generalmente, tiene estructura cristalina. Como consecuencia de la definición de especie mineral se establecen dos conceptos: Constituyen especies minerales diferentes las distintas estructuras que puede adoptar una misma sustancia química, la cual se dice que es POLIMORFA. Por ejemplo, el grafito y el diamante son polimorfas del carbono. Cada una de estas especies tendrá diferentes propiedades. Cuando dos sustancias distintas presentan estructura semejante, se dice que son ISOMORFAS. Por ejemplo, son isomorfas la halita y la silvina. 1.6. División de la Mineralogía La Mineralogía, para el estudio ordenado de los minerales, se ocupa de los caracteres o cualidades generales que les son propicios; es por consiguiente, un estudio general de las propiedades que poseen todos los minerales, sin referirse a ninguna de ellos en forma especial; y enseguida, trata del estudio, descripción y clasificación de cada especie mineral en particular. De aquí nace la primera gran división de la Mineralogía en: 

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Mineralogía General. Mineralogía Especial.

A.- La Mineralogía General, según los caracteres que toma en cuenta para el estudio de las especies minerales, se dividen en: 

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Cristalografía. Mineralogía Física. Mineralogía Química. 9

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1. Cristalografía.- Es la parte de la Mineralogía General que estudia los cristales considerándolos como poliedros geométricos; investiga y analiza las relaciones de sus diversos elementos y la relación entre la forma geométrica y la estructura internas de los cristales. 2. Mineralogía Física.- Estudia las propiedades físicas generales de los cristales tales como: peso específico, dureza, brillo, transmisión de la luz, conductividad calorífica, etc., propiedades que unas son dependientes de la estructura cristalina y toman el nombre propiedades direccionales y otras que son independientes de de tal estructura. Las propiedades físicas de los minerales constituyen una importante ayuda a la hora de identificarlos y caracterizarlos. La mayor parte de las propiedades físicas pueden reconocerse a simple vista o determinarse por medio de pruebas sencillas. Las propiedades más importantes incluyen el rayado, el color, la fractura, el clivaje, la dureza, el lustre, la densidad relativa y la fluorescencia o fosforescencia.

3. Mineralogía Química.- Estudia la aplicación de los métodos de investigación de la química, para el reconocimiento de los minerales y sus caracteres como compuestos químicos. También haycomo otrosse caracteres propios de losen minerales dependen de la forma encuentran asociados la cortezay que terrestre, a los cuales se denominan “caracteres geológicos”. Su estudio da como resultado el conocimiento de la formación de los minerales y de las transformaciones que experimentan. Estos caracteres son los que mayor aplicación tienen en las investigaciones mineras, constituyendo la base de las operaciones de síntesis mineralógicas que se realizan en los laboratorios. La composición química es la propiedad más importante para identificar los minerales y para distinguirlos entre sí. El análisis de los minerales se realiza con arreglo a unos métodos normalizados de análisis químico cuantitativo y cualitativo. Los minerales se clasifican sobre la base de su composición química y la simetría de sus cristales. Aunque la clasificación química no es rígida, las diversas clases de compuestos químicos que incluyen a la mayoría de los minerales son las siguientes: nativo, sulfuros, sulfosales, óxidos, haluros, carbonatos, fosfatos, sulfatos, silicatos.

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B.- Mineralogía Especial o Descriptiva, se ocupa de la clasificación de los minerales y la descripción de cada especie con sus variedades, especialmente en sus relaciones a las especies afines, desde el punto de vista de su forma cristalina, sus caracteres físicos y químicos; la forma como se hallan en la naturaleza. 1.7. Relación de la Mineralogía con otras ciencias La Mineralogía ocupa, del estudio de las especies minerales simples; dejandose para la Petrología el estudio de las rocas, las cuales se constituyen por la agrupación o reunión, bajo diferentes condiciones, de las especies minerales. La Mineralogía se ocupa sólo de minerales que se presentan en la naturaleza, mientras que la Química Mineral trata de aquellos que se obtienen en los laboratorios o en los hornos de fundición y a las cuales se les denomina “minerales artificiales”. Deducimos la estrecha relación que existe entre la Mineralogía y las dos ciencias afines. La relación entre la ciencia que nos ocupa con la geología, que es la rama del saber humano que investiga el srcen de las rocas, la posición que ocupan, su cronología relativa y las transformaciones que han sufrido con el transcurso de los años. Por otra parte, la mineralogía necesita de la ayuda y colaboración de la Física y de la Matemática. La primera, al usarse una serie de instrumentos de física, tales como los goniómetros, microscopios, etc., y la segunda, por sus aportes en el cálculo cristalográfico y en los estudios analíticos y gráficos de las formas cristalinas.

1.8. Importancia de la Mineralogía No existe una sola rama de la industria en la que no se empleen unos u otros recursos minerales en forma de materia prima o de productos semielaborados. Es la base de la metalurgia, la construcción de maquinarias, de barcos, de vías férreas, de puentes, de las obras de hormigón armado, del equipamiento de las minas, de la fabricación de artículos de gran consumo, etc. En el proceso de la metalurgia no ferrosa, en la industria de la electricidad, la construcción de buques y aviones, la fabricación de maquinaria y otras ramas de la industria corresponde un lugar importante a los llamados metales no ferrosos, extraídos de los minerales de cobre, zinc, plomo, aluminio, níquel y cobalto. Tienen 11

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excepcional importancia militar los llamados metales raros. El wolframio y el molibdeno, así como el titanio, vanadio, cobalto, etc. El desarrollo de la agricultura guarda relación con el empleo de fertilizantes minerales: potásicos (sales de potasio), fosfóricos (apatitas, fosforitas), nitratos (salitre), etc. La industria química funciona principalmente a base de materias primas minerales. producción sulfúrico compuestos afinesPor se ejemplo: empleanenlasla piritas (ricasdeenácido azufre), y losy minerales como el azufre nativo, el salitre, la fluorita, los minerales de boro, potasio, sodio, magnesio, mercurio, etc., se emplean en la fabricación de preparados químicos; en la producción de caucho se emplean azufre, talco y barita; para la fabricación de materiales refractarios y anticorrosivos se necesitan asbesto, cuarzo, grafito, etc.; la industria de pinturas, esmaltes y barnices consume galena, esfalerita, baritina, minerales de titanio, cobre, hierro, arsénico, mercurio, cobalto, boro, crisolito, ortoclasa y circón; en la fabricación de papel se emplean talco, caolín, azufre, alunitas, magnesita, etc. La sal gema y de cocina es indispensable para la alimentación del hombre. Varios minerales y productos de su tratamiento químico se emplean como medicamentos (la mirabilita, las aguas minerales, las sales de bismuto, de bario, de boro, de yodo, etc.). Con fines terapéuticos se aprovechan las fuentes termales (de aguas sulfurosas, carbonatadas, ferrosas, salinas, etc.) y los limos naturales. En la medicina y en varias ramas de la industria se usan sustancias radiactivas extraídas de los minerales radiactivos o los isótopos de varios elementos químicos, obtenidos por vía artificial. Corresponde un papel importante en la vida del hombre a las distintas piedras. Además de las piedras preciosas, usadas como adornos y en la fabricación de objetos artísticos, muchas piedras de color se emplean para el revestimiento de los muros de las casas. Los mejores edificios del país y del mundo se adornan con rodonita rosada, jaspes de distinto color, mármoles y cuarcitas. El cuarzo, espato de Islandia, mica, turmalina y fluorita se emplean en la fabricación de aparatos ópticos. El ágata, corindón, circón y otros minerales duros sirven para hacer cojinetes de relojes y otros aparatos de precisión. El diamante (carbonado), corindón, granate y cuarzo se emplean como abrasivos para pulimentar superficies. Los minerales blandos y grasos (el talco y el grafito) se usan para el relleno y el engrase de las piezas en fricción, etc. 12

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En los últimos tiempos, al ser resuelto el problema de la liberación de colosales cantidades de energía nuclear obtenida en las pilasreactores a base del uranio, han surgido posibilidades extraordinarias para la utilización industrial de la misma con fines pacíficos. En la actualidad existen ya motivos para pensar en el enorme efecto económico que promete el aprovechamiento de las reacciones termonucleares, en las que, con ayuda del litio, se sintetiza el helio a partir del hidrógeno pesado (el deuterio y el tritio) con desprendimiento de una energía gigantesca. De esta relación, que no es completa, ni mucho menos, del empleo de los minerales y productos obtenidos mediante su transformación industrial, se infiere la enorme importancia que tienen las materias primas minerales para la economía nacional. El conocimiento de la mineralogía tiene mucha importancia en las labores de prospección y exploración. Para el éxito de dichas labores es necesario ante todo saber determinar con precisión los minerales, conocer las condiciones en que se hallan en la naturaleza, las leyes y regularidades de su asociación mutua. Además, varias propiedades de los minerales, revisten mucha importancia para el estudio de los métodos geofísicos de exploración y prospección (magnetométricos, eléctricos, gravimétricos). El estudio de las características cualitativas de las menas de los yacimientos en exploración es uno de los objetivos principales de los geólogos de mina. Sin conocer la mineralogía no se puede cumplir esa misión, y que reviste particular importancia para orientar debidamente las labores de explotación. En muchos casos, antes de la fundición o tratamiento tecnológico, las menas se someten a la beneficiación mecánica en fábricas especiales, es decir, se separan de la ganga, de las materias inútiles y se clasifican en distintos concentrados según su composición. Tiene mucha importancia el tamaño de los granos de los minerales que componen la mena y el carácter de su unión. En la solución de estos problemas corresponde un papel relevante a las investigaciones mineralógicas especiales que se llevan a cabo en laboratorios mineralógicos de los institutos de beneficiación de las menas. Sin embargo, cualquier geólogo que domine la metodología de las investigaciones mineralógicas, al estudiar con fines concretos la composición mineral y la estructura de las menas, puede determinar de 13

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antemano la conducta de una u otra mena en el proceso de su beneficiación y señalar sus causas. Así, el estudio mineralógico de los yacimientos es importante no sólo para la prospección y exploración, sino para todas las industrias de extracción y transformación de los minerales.

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CAPÍTULO

II

CRISTALOGRAFÍA 2.1. INTRODUCCIÓN La cristalografía que es la ciencia que se dedica al estudio de estructuras cristalinas, la cristaloquímica estudia la relación entre la composición química, la disposición de los átomos y los enlaces entre éstos que determinarán la fuerza con la que están unidos. Esta relación determina las propiedades físicas y químicas de los minerales. Los átomos del cristal se estructuran de una determinada manera cuya disposición se puede llegar a conocer por el método de difracción de rayos X, es decir, se analizan los patrones de difracción de una muestra cristalina al irradiarla con un haz de rayos X. La estructura cristalina también se puede estudiar mediante la microscopía electrónica. Cómo ya se ha mencionado, los átomos se estructuran de una manera determinada, siendo ésta en redes basadas en la repetición tridimensional de sus componentes. De esta repetición surge la célula o celda cristalina. La clasificación de los cristales se interpreta según sean las propiedades de simetría de la celda. Estas propiedades de simetría pueden observarse a nivel microscópico de los cristales, también en el momento en que empecemos a notar formas geométricas o planos de fractura. El estudio de la cristalografía depende casi en su totalidad de un cierto conocimiento del grupo de simetría. El empleo de estas celdas nos facilita la caracterización de las estructuras cristalinas, limitando a tan solo 7 las diferentes estructuras. Por otra parte, los materiales al estar formados por átomos nos encontramos ante la necesidad de saber cómo se agrupan estos dentro de las celdas. Para conseguir este objetivo hay que considerar una entidad que represente al átomo o a un grupo de éstos, a la que se denomina punto reticular. El siguiente paso es buscar todas las posibilidades que hay de colocar puntos reticulares en cada uno de los siete sistemas cristalinos, de forma que cada punto reticular esté rodeado del mismo número de puntos reticulares (llamados también nodos) y estos se sitúen en las mismas posiciones. La mayor parte de los sólidos de la naturaleza son cristalinos lo que significa que los átomos, moléculas o iones que los forman se disponen ordenados geométricamente en el espacio. Esta estructura ordenada no se aprecia en muchos casos a simple vista porque están formados por un conjunto de microcristales orientados de diferentes maneras formando una estructura policristalina, aparentemente amorfa. 15

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Este "orden" se opone al desorden que se manifiesta en los gases o líquidos. Cuando un mineral no presenta estructura cristalina se denomina amorfo. La Cristalografía es la ciencia que estudia las formas y propiedades fisicoquímicas de la materia en estado cristalino. El conjunto de elementos de simetría de un objeto que pasan por un punto, definengrupos la simetría total del objeto (grupo puntual simetría). Hay muchos puntuales, pero en los cristales éstosdehan de ser compatibles con la periodicidad (repetitividad por traslación) por lo que hay sólo 32 posibles grupos puntuales que se denominan clases cristalinas. Combinando las dos traslaciones y el ángulo que forman entre sí, sólo hay 5 posibles formaciones de redes planas: paralelogramo, rectángulo, cuadrado, hexágono y rombo. Si formamos una red espacial apilando estas redes planas, sólo existen 14 posibles formaciones que representan las formas más sencillas en que puede descomponerse la materia cristalina sin que por ello pierdan sus propiedades srcinales, son las llamadas Redes de Bravais. Los cristales presentan formas más o menos regulares con definición de aristas, caras y vértices. Internamente, están constituidos por partículas que guardan entre sí relaciones y distancias fijas; estos parámetros internos se estudian mediante rayos X, mientras que los externos se realizan midiendo los ángulos que forman sus caras.

2.2. CRISTALIZACIÓN Los cristales se forman a partir de disoluciones, fundidos y vapores. Los átomos de estos estados desordenados tienen una disposición al azar, pero al cambiar la temperatura, presión y concentración pueden agruparse en una disposición ordenada característica del estado cristalino. Como ejemplo, de cristalización a partir de una disolución, consideraremos al cloruro sódico (sal común o halita) disuelto en agua. Si se deja que el agua se evapore, la disolución contiene cada vez más Na+ y Cl- por unidad de volumen. Finalmente, se llegará a un punto en el cual la cantidad de agua presente no podrá retener toda la sal en solución y aquella empezará a precipitar. Si se preparan las condiciones de forma tal que la evaporación del agua se realice muy 16

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lentamente, los guiones sodio y cloro, conforme se vayan separando de la solución, se irán agrupando, y gradualmente formarán uno o unos pocos cristales con formas características y a menudo con una orientación común. Si la evaporación es rápida, aparecen muchos centros de cristalización y los cristales resultantes serán pequeños y ordenados al azar. Los cristales pueden formarse también a partir de una solución por descenso de la temperatura deque la la presión. agua caliente, ejemplo, disolverá algo más deosal fría y si El la solución calientepor se deja enfriar, se llegará a un punto en que la solución se sobresaturará a su temperatura y la sal cristalizará. Por otra parte, cuanto mayor sea la presión a la que se someta el agua, mayor será la cantidad de sal que aquella podrá mantener en solución. Así, con el descenso de la presión de una solución saturada, se producirá una sobresaturación y consecuentemente se formarán cristales, Por lo tanto, en general, los cristales pueden formarse de una solución por la evaporación del disolvente, por el descenso de la temperatura o por el descenso de la presión. Un cristal se forma también a partir de una masa fundida de la misma manera que a partir de una solución. El ejemplo más familiar de cristalización de una fusión es la formación de cristales hielo cuando el agua se congela. Aunque ordinariamente no suficientemente se considera así,baja, el agua es hielo fundido. Cuando la temperatura es las moléculas de agua que estaban libres para moverse en cualquier dirección ahora se quedan quietas y se disponen mutuamente en un orden definido para formar una masa sólida, cristalina. La formación de rocas ígneas de magmas fundidas, es un proceso más complicado, similar a la congelación del agua. En el magma hay muchos elementos disociados, pero existen igualmente en él un número considerable de enlaces cruzados de iones y grupos iónicos. El crecimiento de cristal en un magma que se enfría es el resultado de dos procesos que compiten entre sí: 1) las vibraciones térmicas que tienden a destruir el núcleo de minerales potenciales y 2) las fuerzas atractivas que tienden a congregar átomos (y/o iones) en estructuras cristalinas. Aunque la cristalización a partir de un vapor es menos corriente que de una disolución o de una fusión,quelosel principios básicos muyo parecidos para ambos. A medida vapor se enfría, los son átomos moléculas separadas se van aproximando entre sí, hasta formar eventualmente un sólido cristalino. Los ejemplos más familiares de este tipo de cristalización son la formación de copos de nieve a partir del aire saturado del vapor de agua y la formación de cristales de azufre en la base de las fumarolas o en el cuello de los volcanes. 17

Cristalografía de Especies Minerales

2.3. CONCEPTO DE CRISTALOGR AFÍA La cristalografía es la ciencia que estudia la estructura cristalina de los cuerpos (minerales) y su ordenación en redes o mallas, es decir, estudia el crecimiento, la forma y el carácter geométrico de los cristales. Ello implica el estudio de la forma externa y de la estructura interna de los cristales naturales. La Cristalografía trata leyes también estudio la geometría de de la red cristalina, su simetría, y sudel reflejo en lade morfología externa los cristales. La disposición de los átomos en un cristal puede conocerse por difracción de los rayos X. La química cristalográfica estudia la relación entre la composición química, la disposición de los átomos y las fuerzas de enlace entre éstos. Esta relación determina las propiedades físicas y químicas de los minerales. Cuando las condiciones son favorables, cada elemento o compuesto químico tiende a cristalizarse en una forma definida y característica. Así, la sal tiende a formar cristales cúbicos, mientras que el granate, que a veces forma también cubos, se encuentra con más frecuencia en dodecaedros o triaquisoctaedros. A pesar de sus diferentes formas de cristalización, la sal y el granate cristalizan siempre en la misma clase y sistema (cúbico). En teoría son posibles 32 clases cristalinas, pero sólo una docena incluye prácticamente a todos los minerales comunes y algunas clases nunca se han observado. Estas 32 clases se agrupan en 7 sistemas cristalinos, caracterizados por la longitud y posición de sus ejes. Los minerales de cada sistema comparten algunas características de simetría y forma cristalina, así como muchas propiedades ópticas importantes.

2.4. OBJETIVOS DE L A CRISTALOGRAFÍA 2.4.1. Objetivo general. Es el de proporcionar al estudiante los conceptos y principios básicos de cristalografía, química de cristales, química general, aspectos físicos de los minerales y conceptos de petrología introductorios, esenciales para comprender la génesis de los minerales, rocas y suministrar una referencia para la identificación rápida y certera de los minerales comunes en el campo y en el laboratorio.

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2.4.2. Objetivos específicos 1. Capacitar al estudiante para que comprenda la representación de las relaciones angulares de las caras cristalinas según tres o cuatro ejes de referencia. 2. Proporcionar la práctica en la clasificación de las caras cristalinas usando los índices de Miller, los cuales son recíprocos de los radios de intersección. 3. Proporcionar ejercicios para la representación de sólidos tridimensionales, geométricamente simétricos, en diagramas bidimensionales. 4. Capacitar al estudiante en la comprensión y reconocimiento mediante pruebas de las propiedades físicas de los minerales. 5. Capacitar al estudiante para la comprensión de los aspectos químicos, físicos descriptivos y determinativos de los minerales.

2.5. CRISTAL Es un poliedro cristalino adoptado por una sustancia química cuando pasa del estado líquido o gaseoso al sólido, bajo condiciones favorables y obedeciendo únicamente a sus propias fuerzas interatómicas. En concreto, cristal es un sólido homogéneo que posee un orden interno tridimensional y se encuentra delimitado por superficies planas. Cualquier coleccionista de minerales o cualquiera que haya visitado exposiciones mineralógicas en museos, tiendas especializadas o vitrinas de una joyería conoce la belleza y atracción estética de los cristales bien constituidos. La mayor parte de estos cristales son el resultado del depósito químico de una disolución (o de un cuerpo fundido) en un espacio abierto, tal como una cavidad en una formación de rocas. La pregunta que surge inmediatamente es: ¿cómo pueden tales cristales bien desdepodemos formas pequeñas más grandes?. Enformados términoscrecer químicos replanteara otras la misma cuestión del modo siguiente: ¿cómo hacen los bloques básicos químicos (átomos, iones o grupos iónicos) para incorporarse al modelo cristalino bien ordenado?

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La primera etapa del crecimiento de un cristal es la nucleación, según la cual el proceso sólo se inicia después de haberse formado un núcleo (o semilla). Generalmente los núcleos son los productos iníciales de precipitación (en un ambiente acuoso) o de cristalización (en una masa fundida) para formar el modelo estructural regular inicial de un sólido cristalino. Por ejemplo, en un lago salino en evaporación, las condiciones pueden ser las apropiadas para la precipitación aleatoria de núcleos de NaCl. Esto significa que los iones Na+ y Cl- del agua del lago se combinan entre sí en una red cúbica regular de iones alternativos de Na+ y Cl- como requiere la estructura del NaCl (halita o sal de roca). La formación de un solo cristal de halita viene generalmente precedida por la formación aleatoria de un gran número de núcleos potenciales. La mayor parte de estos núcleos no alcanzan el estado cristalino porque en una solución saturada (respecto a los iones Na+ y Cl-) existe también una tendencia de los núcleos a regresar a la solución (para ser redisueltos). Esto es debido al hecho de que sus diminutos comienzos de una estructura ordenada tienen un área superficial muy grande respecto al volumen. Esta gran superficie implica que existen muchos átomos (sobre la superficie externa del cristal), con los enlaces químicos no compensados. Tal cristal (o grano mineral) con un área superficial grande es más soluble que un cristal (o grano mineral) de gran volumen, en el cual la mayor parte de los átomos son internos y tiene los enlaces químicos completamente compensados. Para que un núcleo “sobreviva” es necesario que crezca con la suficiente rapidez para reducir su energía superficial (calculada a partir de la relación área superficial/volumen) y por tanto, su solubilidad. Si un núcleo alcanza un tamaño crítico por el depósito rápido de posteriores capas de iones, tendrá una alta probabilidad de sobrevivir formando un cristal mayor. Una imagen idealizada del crecimiento de un cristal sería el ensanchamiento del núcleo por el depósito ordenado de iones adicionales sobre sus superficies externas. La superficie sólida externa de un núcleo (o cristal) en contacto con una solución saturada representa una superficie de enlaces químicos no compensados. La energía de tal superficie disminuye al adherirse un átomodonde y la cantidad delugar. energía liberada por esta adhesión depende del lugar ésta tiene

2.5.1. Orden Interno en los Cristales El orden interno o estructura cristalina de un mineral puede considerarse como la repetición de un motivo (o grupo de átomos) 20

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sobre una red (que es una distribución periódica de puntos en el espacio). La red comprende la componente de traslación del orden interno, que será tratado en el capítulo correspondiente (orden interno y simetría). El motivo o grupo de átomos tiene una simetría que puede reflejarse en la forma externa del cristal. El primer científico que demostró que la forma cristalina externa de un mineral (su morfología) era una expresión de su orden interno fue René-Just Haüy acuñó la palabra para “molécula” designar loHaüy que (1743-1826). para él significaba el concepto moderno de celda unitaria. Una celda unitaria es la unidad más pequeña de una estructura (o modelo) que puede repetirse indefinidamente para generar todo el sistema. El orden interno tridimensional de un cristal puede considerarse como la repetición de un motivo (una unidad de diagrama), de tal modo que los alrededores de cada motivo son idénticos. En los cristales reales los motivos pueden ser moléculas como el H 2O, grupos aniónicos como el (CO 3 )2-, (SiO4 )4- o (PO3 )3-, cationes como el Ca2+, Mg2+, Fe2+, átomos como el Cu o combinaciones de grupos aniónicos, iones y/o átomos. Figura 2.7.

2.6. CRISTALOGENIA Etimológicamente, este término solamente comprende el estudio de la génesis o formación de los cristales pero, de acuerdo con el punto de vista que más nos interesa, examinaremos dentro de este tema, las diversas maneras como se forman los minerales en general. Para que una sustancia tome el estado cristalino o cristalizado es necesario: a) Que las moléculas del cuerpo por cristalizar se hallen libres, dispersas, ya sea por acción de disolventes ó por efecto de la temperatura que las mantenga al estado líquido o gaseoso. b) Que esos agentes cesen de obrar dejando que las moléculas puedan agruparse obedeciendo solo a sus energías propias, al pasar al estado sólido. Pero, además de estas condiciones, para que los cristales sean bien desarrollados, es necesario otras, tales como: espacio, tiempo y reposo, sin las cuales solo se formará, una masa de cristales pequeños y deformados o una masa cristalina.

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Los métodos cristalográficos se apoyan fuertemente en el análisis de los patrones de difracción que surgen de una muestra cristalina al irradiarla con un haz de rayos X, neutrones o electrones. La estructura cristalina también puede ser estudiada por medio de microscopía electrónica. Los minerales en general, pueden formarse a través de cuatro métodos: Por disolución. Por fusión. Por sublimación, y. Por metamorfismo.

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1.- Por Disolución: Bajo este método se comprenden diversas formas de producirse la cristalización algunas de las cuales son: a) Por eliminación del disolvente. Ejemplo: Depósitos de anhidrita y halita; por evaporación del disolvente. b) Por cambio de temperatura y presión. Ejemplo: Minerales formados a partir de fuentes calientes y géyseres. c)

Por la eliminación que actúan comoendisolventes. Ejemplo: Deposicióndedegases carbonatos de calcio forma de estalactitas y estalagmitas.

d) Por la acción mutua de soluciones. Ejemplo: Formación de la baritina (barita). e) Por la acción de soluciones sobre sólidos. Ejemplo: Algunos sulfuros reemplazan a una roca calcárea. f)

Por la acción de gases con soluciones. Ejemplo: Formación de sulfuros.

g) Por la acción de cuerpos orgánicos sobre soluciones. Ejemplo: Formaciones calcáreas y silicosas a partir de ciertos organismos animales, que dan lugar a la formación de minerales como: calcita, aragonita, etc. 2.- Por Fusión: Los minerales que componen las rocas ígneas son el resultado de la solidificación de una masa fundida llamado magma. Se forman los yacimientos metalíferos por la segregación de ciertos minerales, que vienen a ser insolubles, cuando la temperatura desciende por debajo de la temperatura crítica. 22

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3.- Por Sublimación: Se depositan los minerales después de haber pasado directamente del estado sólido al gaseoso sin tomar el estado líquido. Ejemplo: Azufre, ácido bórico, y otros. 4.- Por Metamorfismo-metasomatismo: Bajo la influencia de ciertos procesos físicos, químicos, los minerales constituyentes de las rocas sufren grandes alteraciones y cambios en su carácter, estructura y composición, dando como resultado la aparición de nuevos minerales. 2.7. MORFOLOGÍA DE LOS CRISTALES Puesto que los cristales son cuerpos geométricos, puede estudiarse desde un punto de vista meramente geométrico descriptivo, es decir, sin tener en cuenta la orientación de los átomos en su interior. Este tipo de estudio supone, en realidad, el primer estadio de desarrollo de la mineralogía como ciencia (1500 – 1912), después de que fue separada del grupo de las ciencias mineralógicas aplicadas. Los cristales son cuerpos visibles, a diferencia de los átomos que no pueden ser observados directamente, por lo que las primeras descripciones sobre su morfología, es decir acerca de la forma, fueron realizadas a la vista, o bien con la ayuda del goniómetro; posteriormente se aplicaron a su estudio las lentes y finalmente el microscopio. Debe tenerse en cuenta que las dimensiones no se toman en cuentan en los cristales, ya que su forma permanece constante a pesar de que sean de reducido tamaño. Más bien al contrario, cuanto más pequeño es un cristal, tanto más nítidas y brillantes aparecen las caras, más manifiestas las aristas y vértices, y en general, las observaciones son mejores. Los cristales se forman por la repetición de una unidad estructural en tres dimensiones, las superficies limitantes que se conocen como las caras de un cristal, dependen en parte de la forma de la unidad. También dependen del medio externo en el cual crece el cristal. La expresión medio externo, tal como se usa aquí, incluye todas las influencias externas, tales como temperatura, presión, naturaleza de la disolución y dirección del movimiento de la disolución, así como la posibilidad del espacio abierto para el crecimiento libre. Las relaciones angulares, el tamaño y la forma de las caras de un cristal son aspectos de la morfología de los cristales. Si una celda unitaria cúbica se repite en tres dimensiones para formar un cristal que tiene “n” unidades a lo largo de cada arista, el cristal será un cubo que contiene n3 unidades. Con el mismo mecanismo repetido ordenadamente, pueden resultar formas distintas, como se indica en la Fig. 2.1 para cubos mal formados, octaedros y dodecaedros. Las 23

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formas octaédrica y dodecaédrica son corrientes en muchos cristales, pero como las dimensiones de la celda unitaria son del orden del angstrom (10-10 m), los saltos son invisibles a simple vista y las caras resultantes aparecen como superficies planas lisas.

Cubo o exaedro

Cubo distorsionado

Cubo distorsionado Figura 2.1. Formas distintas por el apilamiento simétrico de las celdas.

Para una estructura interna determinada hay un número reducido de planos que sirven para limitar un cristal y sólo comparativamente unos pocos son comunes. Al considerar la distribución de las caras en un cristal, nos preocuparemos solamente de la disposición de unidades estructurales, que puede ser representada esquemáticamente mediante puntos reticulares o nodos. La frecuencia con que una cara dada se observa en un cristal es, aproximadamente, proporcional al número de nodos que posee: cuanto mayor es el número más frecuente es la cara, tal como se ilustra en la Fig. 2.2. La regla anterior conocida como ley de Bravais, confirmada generalmente por la experiencia. Aunque hay excepciones a la ley, como indicaron Donnay Harker en 1937, es usualmente posible escoger el retículo de tal manera que se cumpla la regla.

Figura 2.2. Capa de puntos reticulares en una red cúbica

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Estas diferentes disposiciones atómicas a lo largo de los diferentes planos o direcciones cristalinos dan lugar a las propiedades vectoriales. Puesto que la magnitud de las propiedades depende de la dirección, varía al cambiar la dirección cristalográfica. Algunas de las propiedades vectoriales de los cristales que se pueden citar son: dureza, conductividad térmica y eléctrica, dilatación térmica, velocidad de la luz, velocidad de crecimiento, velocidad de disolución y difracción de rayos X. Entre todas estas propiedades algunas varían continuamente con la dirección dentro del cristal. La dureza, la conductividad eléctrica y térmica, la dilatación térmica, y la velocidad de la luz en el cristal son ejemplos de tales propiedades vectoriales continuas. La velocidad de la luz en todos los cristales transparentes, excepto en aquellos que son isótropos varía continuamente con la dirección cristalográfica. De todas las propiedades vectoriales de los cristales, los parámetros ópticos son los que determinan cuantitativamente con más facilidad y los que se expresan mediante el índice de refracción, el recíproco de la velocidad de la luz en el cristal respecto a la velocidad de la luz en el aire o en el vacío. Las propiedades vectoriales discontinuas, por otro lado, corresponden sólo a ciertos planos o direcciones definidas dentro del cristal. No existen valores intermedios de tales propiedades relacionados con direcciones cristalográficas intermedias. Un ejemplo de tal propiedad es la velocidad de crecimiento. La velocidad de crecimiento de un plano en un cristal está íntimamente relacionada con la densidad de puntos reticulares en el plano. Hemos visto que un plano tal como AB en la Fig. 2.2 tiene una densidad de puntos mucho mayor que el plano AD, AE o AF. Los cálculos de la energía implicada indican que la energía de las partículas en un plano como el AB, en el que existe una elevada densidad de nodos es menor que la energía de las partículas en planos menos densamente poblados, tal como AF. De aquí que el plano AB sea el más estable, puesto que en el proceso de cristalización la configuración de más baja energía es la de máxima estabilidad. Los planos AF, AD, AE, etc. crecerán, sin embargo, más de prisa que el AB, ya que se necesitan añadir menos de formas área. En el crecimiento de un cristal a partir departículas un núcleo,por lasunidad primeras que aparecen serán las de energía relativamente alta y de rápido crecimiento. La adición continuada de material a estos planos los formará hacia fuera, mientras que los planos de crecimiento menos rápido se formarán retrasados (la velocidad de crecimiento de una cara 25

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es inversamente proporcional a la densidad de nodos, pues cuando menor es el número de nodos, menos material se requiere para el crecimiento y más rápido se hace éste). La Figura 2.3 muestra como un cristal puede cambiar su forma externa en varias etapas, durante su desarrollo, pasando desde un núcleo a un cristal mayor. Así las aristas y vértices de un cubo pueden formarse por adición de sustancias a los planos que cortan los vértices y aristas, mientras que es poca la sustancia que se adiciona a las caras del cubo. A medida que progresa el crecimiento, las caras de crecimiento rápido desaparecen literalmente, creciendo ellas mismas hasta dejar de existir, y construyendo las formas más estables de crecimiento más lento durante el proceso. Después de completada esta etapa, el crecimiento es mucho más lento, pues la adición se realiza ahora enteramente sobre la forma de mínima energía y crecimiento lento. Los mismos cristales, si se toman en las varias etapas de su desarrollo, sirven como modelos de la velocidad de crecimiento para el compuesto que se está estudiando.

Figura 2.3. Sección esquemática de un cristal que crece desde la etapa (1).

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El gran impulso en el campo de la cristalografía morfológica, ciencia dedicada al estudio de los cristales, se produjo en el momento en el que se procedió a aplicar al microscopio un medidor de ángulos, conjunto que recibe el nombre de goniómetro de reflexión. Como las caras de un cristal tienen una relación directa con estructura interna, resulta lógico que las caras posean una definida entre sí. Este hecho fue observado en 1969 por Nicolás Steno, quién indicó que los ángulos entre caras correspondientes en cristales de cuarzo eran siempre los mismos. Esta observación se ha generalizado hoy día como la ley de Steno de la constancia de los ángulos interfaciales, que dice: “Los ángulos entre las caras equivalentes de los cristales de la misma sustancia medidos a la misma temperatura son constantes”. Por esta razón, la morfología cristalina es un método valioso frecuentemente utilizado para identificar a los minerales. Un mineral puede encontrarse en cristales de formas y tamaños muy distintos, pero los ángulos entre pares de caras equivalentes son siempre los mismos. En la Fig. 2.4 se muestra una ilustración de tal constancia de los ángulos interfaciales, que corresponde a las secciones horizontales de dos cristales de cuarzo completamente distintos en su apariencia.

Figura 2.4. Constancia de los ángulos interfaciales de un cristal de cuarzo.

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2.8. CRISTALOQUÍMICA La cristaloquímica es una rama de la cristalografía que estudia la composición de la materia cristalina y su relación con la fórmula cristalográfica. Incluye el estudio de los enlaces químicos, la morfología y la formación de estructuras cristalinas, de acuerdo con las características de los átomos, iones o moléculas, así como su tipo de enlace. La composición química de un mineral es de fundamental importancia, pues de ella depende en gran medida muchas de sus propiedades. Sin embargo, estas propiedades no sólo dependen de la composición química, sino también de la disposición geométrica de los átomos o iones constituyentes y de la naturaleza de las fuerzas eléctricas que los unen. Así pues, para la comprensión de los minerales debe considerarse su estructura y sus enlaces, así como su química. Como un resultado de intereses comunes entre cristalógrafos y químicos surgió una ciencia interdisciplinaria, la cristaloquímica. La meta de esta ciencia es la explicación de las relaciones entre la composición química, estructura interna y propiedades físicas de la materia cristalina. En mineralogía es útil como elemento de unificación mediante el cual pueden conectarse fenómenos descriptivos que de otro modo parecen no poseer relación alguna. Para considerar los aspectos estructurales químicos de los minerales, es necesario tener conocimiento de algunos de los conceptos elementales de átomos e iones, así como sus fuerzas de enlace en los materiales cristalinos.

2.8.1. El Átomo.- Es la más pequeña división de la materia que conserva las características del elemento. Consiste en un núcleo macizo, muy pequeño compuesto de protones y neutrones, rodeado por una región mucho más espaciosa escasamente poblada de electrones. Los átomos son tan pequeños que es importante verlos incluso con la elevadísima resolución que da el microscopio electrónico. Los radios atómicos se expresan en nanómetros o angstroms (1 nm = 10 Å). Cada protón lleva una carga unitaria de electricidad positiva; el neutrón, como su nombre indica, es eléctricamente neutro. Cada electrón, transporta una carga negativa. El átomo más pequeño es el hidrógeno, tiene un radio de sólo 0,46 Å, en tanto que el mayor, que es el cesio, tiene un radio de 2,72 Å.

2.8.2. El Ión.- Los elementos pueden dividirse en dos grupos: unos que tienen tendencia a ceder electrones y otros que tienden a adquirir electrones. Los donadores de electrones son los metales y los 28

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aceptadores de electrones son los no metales. Cuando un átomo pierde uno o más electrones de su configuración electrónica se forma un catión y al adicionárseles electrones resulta un anión. Esto puede expresarse de la siguiente manera: Xátomo – e- →X+catión Xátomo – e- → X-anión Ambos procesos son energéticos. La energía requerida para extraer el electrón más débilmente unido a un átomo neutro y llevarlo al infinito se denomina potencial de primera ionización (o potencial de ionización). Este valor expresa la atracción que un núcleo de un átomo neutro ejerce sobre un electrón en una órbita parcialmente llena.

2.8.3. Fuerzas de enlace en los cristales.- Son las fuerzas que unen entre sí los átomos (o iones o grupos iónicos) componentes de los sólidos cristalinos, de naturaleza eléctrica, y la clase e intensidad de estas fuerzas tienen gran importancia como determinantes de las propiedades físicas y químicas de los minerales. En general, cuanto más fuerte es el enlace, más duro es el cristal, más elevado su punto de fusión y menor su coeficiente de dilatación por el calor. Los tipos de enlaces iónico, covalente, vano der Waals y enlace deprincipales hidrógeno. son: La interacción eléctrica metálico, de los iones átomos de que están constituidas las unidades estructurales es el factor que condiciona las propiedades del cristal resultante, y la semejanza de propiedades entre cristales que tienen tipos similares de interacción eléctrica justifica el empleo de la clasificación de mecanismos de enlace.

2.9. FACTORES QUE INFLUYEN EN LA FORMACIÓN DE UN CRISTAL Los cristales surgen en los cambios de estado, es decir, cuando un cuerpo o sustancia pasa de un estado o fase a otro u otra. Se puede indicar las siguientes mutaciones fundamentales que srcinan la sustancia cristalina. a. Paso del estado líquido al sólido: Cristalización por fusión o por disolución. b. Paso del estado gaseoso al sólido: Cristalización por sublimación. c.

Paso de una fase sólida a otra, acompañado de un cambio de 29

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forma de la estructura cristalina. Este fenómeno se denomina recristalización y no debe confundirse con el proceso de cristalización repetida de un cuerpo. La recristalización de las masas sólidas se produce en particular en los coloides. Un material cristalino es aquel en el que los átomos se estructuran en redes basadas en la repetición tridimensional de sus componentes. A la estructura que se repite se le denomina celda cristalina (celda unidad). Losla cristales se clasifican según las propiedades de simetría de célula o celda cristalina. Estassean propiedades de simetría también se manifiestan en ocasiones en simetrías macroscópicas de los cristales, como formas geométricas o planos de fractura. El estudio de la cristalografía requiere un cierto conocimiento del grupo de simetría.

A. CELDA UNIDAD.- Se define como celda unitaria o celdilla unidad, es la porción más simple de la estructura cristalina que al repetirse mediante traslación reproduce todo el cristal, resultando ser entonces el más pequeño paralelepípedo formado por la unión de ocho motivos (nodos o vértices) en la retícula cristalina. Todos los materiales cristalinos adoptan una distribución regular de átomos o iones en el espacio. En la Fig. 2.5 la celda unidad queda representada por la estructura cúbica simple como ejemplo.

Figura 2.5. Red espacial y una de sus posibles celdillas unidad.

En la Fig. 2.6 las longitudes de las aristas de la celdilla se designan, habitualmente, por las letras a, b y c, y se denominan longitudes axiales. Los ángulos que forman las caras entre sí se designan por , , y se denominan ángulos interaxiales. Estos 6 valores (3 longitudes y 3 ángulos) son conocidos globalmente como parámetros reticulares o cristalinos. Se insertan a continuación, dos celdillas elementales con sus respectivos parámetros. En la Fig. 2.6 se distingue: (1) una celdilla genérica, y (2) una celdilla cúbica. 30

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(1)

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(2)

Figura 2.6. Celdilla unidad y parámetros reticulares.

B. RETÍCULA CRISTALINA .- Es la ordenación periódica tridimensional de motivos o celdas unitarias. La retícula cristalina de la figura 2.7 está compuesta de 12 celdas unitaria.

Figura 2.7. Retícula cristalina. La Celda Unitaria aparece con líneas discontinuas.

C. ESTRUCTURA CRISTALINA.- Los nodos (vértices) de las distintas celdillas son todos equivalentes y no están ocupados necesariamente por un único átomo. En determinados materiales cada nodo puede tener asociado una molécula, un grupo de átomos, o incluso, un grupo de moléculas. Esto yes particularmente frecuente en el caso de materiales cerámicos poliméricos. Al átomo, molécula o grupo de átomos o de moléculas que se debe asociar a cada nodo de la red para reproducir todo el cristal se lo denomina base o motivo. Así pues, una estructura cristalina real (un cristal) se construye colocando una base en cada una de las 31

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posiciones marcadas por la red de Bravais correspondiente (o sea en sus nodos). Es decir, los términos “red” y “estructura” no son sinónimos y no deberían confundirse, aunque es relativamente frecuente verlos empleados de modo incorrecto. Esquemáticamente, podemos resumir esta idea diciendo que:

estructura cristalina = red espacial + base 2.10.CUERPOS EL ESTADO CRISTALINO: CUERPOS AMORFOS Y CRISTALINOS Cristal es un cuerpo sólido de estructura reticular. Si no tiene esta estructura, el cuerpo se denomina “AMORFO”. El término de amorfo es de srcen griego y significa sin forma. Aplicado a la sustancia sólida, este término se debe comprender en el sentido de que la sustancia amorfa carece de forma geométrica natural y de estructura interna regular, de donde el sólido amorfo exteriormente tiene forma irregular y carecen de constantes físicas. Sus partículas están distribuidas irregularmente, como en los líquidos. Por eso, los cuerpos sólidos amorfos se consideran como líquidos sobrefundidos. Los cuerpos amorfos se caracterizan principalmente por: La falta de una temperatura de fusión netamente expresada. La isotropía, es decir, invariabilidad de las propiedades con el cambio de dirección. 

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Luego, un CRISTAL es un cuerpo sólido limitado naturalmente por superficies planas (caras) que constituyen la expresión exterior de una ordenación regular interna de los átomos o iones integrantes, que conjuntamente con las aristas rectas y vértices angulares del cristal, configuran los llamados elementos geométricos del cristal.

2.11. PROPIEDADES PRINCIPALES DE LOS CRISTALES 1. Los elementos geométricos de los cristales son las caras planas, las aristas rectas y los vértices angulares. Estos elementos se relacionan según el “TEOREMA DE EULER” que su enunciado es el siguiente: “El número de caras, más el número de vértices es igual al número de aristas más dos”, o sea: C+V=A+2 Dónde: C, es el número de caras V, es el número de vértices A, es el número de aristas 32

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2. Las caras del cristal se sitúan por zonas. Se denomina zona al conjunto de caras que se cortan según aristas paralelas (Art.4.6). 3. Al estudiar las propiedades físicas de un cristal; generalmente resulta que tienen diferentes valores según las distintas direcciones, es decir, que son anisotrópicos. 4. En ciertas direcciones las propiedades de los cristales resultan iguales, y una en la disposición estas direcciones se puede observar simetría muy de heterogénea y frecuentemente complicada. 5. Con respecto a la luz, la mayoría de los cristales presenta ciertas particularidades: cualquier rayo de luz corriente que los penetre, se descompone en dos rayos plano polarizados con diferentes índices de refracción, es decir, estos rayos se propagan en el medio cristalino a velocidades diferentes. Las propiedades observadas en los cristales se pueden explicar fácilmente suponiendo que la sustancia cristalina tiene una estructura reticular uniforme, independientemente de la composición y de la forma. Para esquemáticamente estructura cristal, se utiliza la redrepresentar espacial: esta red es como unla sistema dedel infinito número de paralelepípedos iguales (celda unitaria), ubicados paralelamente ocupando un espacio sin intersticios. Los vértices de los paralelepípedos o cualquiera de los puntos que ocupen un mismo lugar en los paralelepípedos, forman la red espacial (celda cristalina o celosía espacial). Estos puntos se denominan nodos; las rectas que pasan por ellos, filas, y los planos determinados por tres nodos que no están en una misma fila, redes planas o planos reticulares.

Figura 2.8: Red espacial

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2.12. ESTRUCTURA INTERNA DE LOS CRISTALES Todos los cuerpos cristalinos están formados por “nodos” o “puntos”, dispuestos con arreglo a modelos espaciales definidos en cada punto que puede ser considerado como el centro de gravedad de un átomo, ión o molécula. En un modelo espacial, lo que rodea a un punto es idéntico en orientación y disposición a lo que a otroredes punto espaciales cualquiera. que Los modelos espaciales de puntos sonrodea llamados pueden ser considerados como extendiéndose indefinidamente en las tres dimensiones. Cada red espacial es un conjunto de unidades o celdas elementales cada una de las cuales contiene el menor número posible de unidades que determina por completo una red espacial. Se ha demostrado que solo es posible tener catorce tipos de redes espaciales, denominados como Redes de Bravais.

2.13. REDES DE BRAVAIS En geometría y cristalografía las redes de Bravais son una disposición infinita de puntos discretos (nodos) cuya estructura es invariante bajo cierto grupo de traslaciones. En la mayoría de casos también se da una invariancia bajo rotaciones o simetría rotacional. Estas propiedades hacen desde todos de entonces una red de se tenga la misma que perspectiva de la los red.nodos Se dice queBravais los puntos de una red de Bravais son equivalentes. Mediante teoría de grupos se ha demostrado que sólo existe una única red de Bravais unidimensional, 5 redes bidimensionales y 14 modelos distintos de redes tridimensionales. La red unidimensional es elemental siendo ésta una simple secuencia de nodos equidistantes entre sí. En dos o tres dimensiones las cosas se complican más y la variabilidad de formas obliga a definir ciertas estructuras patrón para trabajar cómodamente con las redes. Para generar éstas normalmente se usa el concepto de celda primitiva (celda unitaria). Las celdas unitarias, son paralelogramos (2D)red o paralelepípedos (3D) que la menor subdivisión una cristalina que conserva lasconstituyen características generales de todade la retícula, de modo que por simple traslación de la misma, puede reconstruirse la red al completo en cualquier punto. Las redes cristalinas se caracterizan fundamentalmente por un orden o periodicidad. La estructura interna de los cristales viene representada 34

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por la llamada celdilla unidad que se repite una y otra vez en las tres direcciones del espacio. El tamaño de esta celdilla viene determinado por la longitud de sus tres aristas (a, b, c), y la forma por el valor de los ángulos entre dichas aristas (α, β, γ). Los nodos de las distintas celdillas, señalados por bolitas negras en las figuras de las redes de Bravais, son todos equivalentes y no están ocupados necesariamente por un único átomo. En determinados materiales cada nodo puededetener asociado una molécula, un grupo de átomos, o incluso, un grupo moléculas.

A. Redes bidimensionales: Según los ángulos y la distancia entre los nodos se distinguen 5 redes distintas.

Figura 2.9. Redes Bidimensionales.

Cuadrado

Rectángulo

Rombo 35

Cristalografía de Especies Minerales

Rectángulo Centrado

Paralelogramo

Hexágono y Rombo con ángulos de 60º

Figura 2.10. Combinaciones posibles de celdas bidimensionales.

B. Redes tridimensionales: En 1848, Augusto Bravais, demostró que solo es posible tener 14 tipos de redes espaciales, otras combinaciones de puntos destruyen lo requerido por la red según la cual la distribución de puntos alrededor de cada punto debe ser idéntica a los demás puntos. La unidad más simple de una red es un paralelepípedo conocido como celda unidad (celda cristalina o celda unitaria). El principio de Bravais dice: “En un cuerpo cristalino las propiedades físicas variables en general con las direcciones, alrededor de un punto, son exactamente iguales en las direcciones paralelas, cualquiera que sea el punto de partida”. Los catorce tipos de conjuntos reticulares o tipos de estructura cristalina homogénea son repartidos en la siguiente forma: 3 tipos en el Sistema Cúbico. 2 tipos en el Sistema Tetragonal. 1 tipo en el Sistema Hexagonal. 1 tipo en el Sistema Romboédrico. 4 tipos en el Sistema Ortorrómbico. 2 tipos en el Sistema Monoclínico. 1 tipo en el Sistema Triclínico. Los cuales solo concuerdan con la simetría de siete sistemas cristalinos, representando a las clases superiores de cada simetría. En ellos pueden verse que algunos de ellos sólo tienen puntos en los vértices y se denominan primitivos, cada una contiene solo una unidad 36

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del dibujo. Se diferencian entre sí por la longitud de las aristas y los

ángulos ( β, ,

) entre las aristas. Otras redes tienen otros puntos en

el centro de las caras o en la diagonal espacial y son celdas múltiples.

La distribución en el espacio de los puntos (átomos, grupos de átomos o iones) y la naturaleza de las fuerzas eléctricas que los mantienen unidos forman la estructura del cristal. La celda unidad no puede ser jamás menor que un átomo, debido a que las relaciones entre los átomos y las fuerzas que los unen son factores importantes que determinan las propiedades del cristal. La evidencia que los cristales poseen estructuras internas regulares la tenemos cuando consideramos sus diversas propiedades, especialmente exfoliación, forma externa y comportamiento ante la luz y los rayos X. En función de los parámetros de la celda unitaria, longitudes de sus lados y ángulos que forman, se distinguen 7 sistemas cristalinos. Ahora bien, para determinar completamente la estructura cristalina elemental de un sólido, además de definir la forma geométrica de la red, es necesario establecer las posiciones en la celda de los átomos o moléculas que forman el sólido cristalino; lo que se denominan puntos reticulares. Las alternativas son las siguientes: P: Celda primitiva o simple en la que los puntos reticulares son sólo en los vértices del paralelepípedo. 









F: Celda centrada en las caras, que tiene puntos reticulares en los vértices del paralelepípedo y en el punto medio de cada cara. I: Celda centrada en el cuerpo que tiene un punto reticular en el centro (interior) de la celda unitaria, a distancia equidistante a todo los vértices, además de los puntos reticulares en los vértices del paralelepípedo. C: Celda centrada en las bases que tiene un punto en cada base, además de los puntos reticulares en los vértices del paralelepípedo. R: Primitiva con ejes iguales y ángulos iguales ó hexagonal doblemente centrada en el cuerpo, además de los vértices.

En realidad, como puede demostrarse, sólo existen 14 configuraciones básicas, pudiéndose el resto obtener a partir de ellas. Estas estructuras se denominan redes de Bravais. 37

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2.14. REDES ELEMENTALES DE BRAVAIS Figura 2.11. Las 14 Redes espaciales de Bravais

1. Sistema Triclínico. a≠ b≠ c

α

≠

β

≠

γ

≠

90º

Celda Primitiva o Simple (P)

2. Sistema Monoclínico. a≠b≠c

Celda Primitiva o Simple (P) 38

α

= γ = 90º, β ≠ 90º

Celda Centrada en las Bases (C)

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3. Sistema Ortorrómbico.

=

Celda Primitiva o Simple (P)

Celda Centrada en el Cuerpo (I)

=

= 90º

Celda Centrada en las Bases (C)

Celda Centrada en las Caras (F)

39

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4. Sistema Tetragonal. a=b≠c

Celda Primitiva o Simple (P)

α

= β = γ = 90º

Celda Centrada en el Cuerpo (I)

5. Sistema Romboédrico o Trigonal. a, a, a, c α = β = γ = 120º, δ = 90º

Celda Primitiva o Simple (P) 40

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6. Sistema Hexagonal. a, a, a, c

α

Celda Primitiva o Simple (P) 7. Sistema Cúbico. a=b=c

Celda Primitiva o Simple (P)

= β = γ = 120º, δ = 90º

Celda centrada en las Bases (C) α

= β = γ = 90º

Centrada en el Cuerpo (I)

Centrada en las Caras (F)

Figura 2.11. Las 14 Redes espaciales de Bravais.

2.15. CARACTERÍSTICAS DE LAS CELDAS UNITARIAS Y LAS CELDAS CONVENCIONALES Las celdas unitarias se pueden definir de forma muy simple a partir de dos (2D) o tres vectores (3D). La construcción de la celda se realiza trazando las paralelas de estos vectores desde sus extremos hasta el punto en el que se cruzan. Existe un tipo de celda unitaria que se 41

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construye de un modo distinto y que presenta ciertas ventajas en la visualización de la red ya que posee la misma simetría que la red, es la celda de Wigner-Seitz. Una celda unitaria se caracteriza principalmente por contener un único nodo de la red de ahí el adjetivo de "unitaria". Si bien en muchos casos existen distintas formas para las celdas unitarias de una determinada red el volumen de toda celda unitaria es siempre el mismo. En ocasiones resulta más sencillo construir otro tipo de celdas que sin ser unitarias describen mejor la estructura de la red que tratamos. Este tipo de celdas se denominan celdas convencionales. Éstas tienen, a su vez, sus propios parámetros de red y un volumen determinado. Todas estas celdas se consideran celdas primitivas ya que son capaces de cubrir todo el espacio mediante traslaciones sin que queden huecos (intersticios) ni solapamientos. Sus diferencias o características son las siguientes: 1. Empaquetamiento compacto: Esto es cuando los átomos de la celda están en contacto unos con otros. No siempre será así y en muchos casos mediará una distancia mínima entre las nubes electrónicas de los diferentes átomos. 2. Parámetro de red: Es la longitud de los lados de la celda unitaria. Puede haber tan solo uno, dos o hasta tres parámetros de red distintos dependiendo del tipo de red de Bravais que tratemos. 3. Nodos o átomos por celda: Tal y como dice el nombre es el número de nodos o átomos que posee cada celda. Una celda cuadrada, por ejemplo, posee un nodo por celda ya que cada esquina la comparte con cuatro celdas más. De hecho si una celda posee más de un nodo de red es que no es unitaria, en cambio si posee más de un átomo por celda pudiera ser que estuviésemos en una celda unitaria pero con una base atómica de más de un átomo. 4. Número de coordinación: Es el número de puntos de la red más cercanos, los primeros vecinos, de un nodo de la red. Si se trata de una estructura con empaquetamiento compacto el número de coordinación será el número de átomos en contacto con otro. El máximo es 12. 5. Factor de empaquetamiento: Fracción del espacio de la celda unitaria ocupada por los átomos, suponiendo que éstos son esferas sólidas.

42

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Donde: f - factor de empaquetamiento o fracción de volumen ocupado. n - número de átomos por celda.

v - volumen del átomo. vc - volumen de la celda. Normalmente se suele dar el factor de empaquetamiento compacto para las diferentes celdas como indicador de la densidad de átomos que posee cada estructura cristalina. En este caso los átomos se tratan como esferas rígidas en contacto con sus vecinos más cercanos.

Densidad: A partir de las características de la red, puede obtenerse la densidad teórica del material que conforma la red mediante la siguiente expresión.

Dónde: ρ - densidad. NA – número de Avogadro. n - número atómico. m - masa atómica.

2.16. DEFECTO CRISTALINO Un defecto cristalino es cualquier perturbación en la periodicidad de la red de un sólido cristalino. El cristal perfecto es un modelo ideal, en el que las diferentes especies (ya sean moléculas, iones u átomos neutros) están colocados de forma periódica y regular, extendiéndose hasta el infinito. En la realidad, cualquier cristal presenta defectos en este modelo ideal, empezando por el hecho de que no hay cristales infinitos. Son estos defectos cristalinos losdeformación que dan las propiedades más interesantes de la materia, como la plástica, la resistencia a la rotura, la conductividad eléctrica, el color, la difusión, etc. El defecto cristalino se clasifica en: 

Intrínsecos: Naturales, propios del material, salto de los propios átomos. 43

Cristalografía de Especies Minerales 

Extrínsecos: Impurezas, precipitados.

Según su dimensión, se distinguen 4 tipos de defectos: 1. Puntuales: De cero dimensiones, afectan a un punto de red, perturbaciones únicamente a los vecinos más próximos; pueden ser de: átomo vacante, átomo intersticial, átomo sustitución. 2. Defectos lineales: Se extiende en una dirección, y afectan a una fila de puntos de red (dislocaciones) 3. Defectos de superficie: S e extienden en dos dimensiones (superficie del cristal; borde, frontera o límite de grano; defecto de apilamiento; maclas). 4. Defectos volumétricos: De 3 dimensiones, distorsionan fuertemente la red. Suelen estar formados por la agrupación de defectos puntuales (cavidades, precipitación de fases).

2.17. ÁTOMO INTERSTICIAL Un átomo intersticial es un defecto puntual de un mineral, producido por un átomo suplementario que se sitúa en su red cristalina. Esto provoca una fuerte distorsión en la proximidad del átomo, pero se atenúa con laaportarle distancia. Se puede forzar el fenómeno, irradiando el cristal para energía conseguimos que un átomo situado "correctamente" en su punto de red salte para situarse entre átomos que sí se mantienen en su posición de red. En los materiales cerámicos, que están compuestos de una parte iónica y otra covalente, lo normal es que salte el catión, de menor tamaño que el anión. El conjunto formado por el átomo intersticial y el hueco se conoce como defecto Frenkel.

2.18. DIFERENCIA ENTRE POLIEDRO GEOMÉTRICO Y POLIEDRO CRISTALINO El concepto geométrico de un poliedro, atiende únicamente a la forma exterior sin considerar el material de que está hecho, es decir, sin buscar ninguna relación entre la forma; le interesa pues, solamente, el espacio. Así, la un masa cubo y será siempre un poliedro geométrico cualesquiera que sea el material de que esté construido, o bien sea de madera o vidrio. El concepto cristalográfico, en cambio, no se concreta únicamente a la forma. La exige, pero además, requiere otras condiciones a los 44

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cuerpos que presentan una forma poliédrica para considerarlos como cristales, es decir, busca la relación entre la materia y la forma. Luego, un cristal debe satisfacer, para ser tal, estas dos condiciones: a. Debe tener forma poliédrica exterior. b. Debe existir una relación íntima entre la forma y la estructura interna.

Exaedro

Cubo

Figura 2.12. Poliedro geométrico y Poliedro cristalino.

En la Fig. 2.12 se expone la diferencia entre un poliedro geométrico y un cristalino. En el cubo se insertan los ejes cristalográficos para explicar la representación de ungeométrico. sólido cristalino, más no en el exaedro por tratarseendeperspectiva un simple sólido

2.19. ESPACIO CRISTALINO Y LAS FORMAS CRISTALINAS 2.19.1. Espacio cristalino: Se llama así al espacio comprendido entre dos caras cristalinas paralelas cualquiera que sea la forma de aquellas y sólo estará limitado por el cruzamiento con otros espacios cristalinos. Un cristal estará constituido o formado por varios espacios cristalinos que se cruzan. El cuerpo así resultante recibe el nombre de Forma Cristalina. 2.19.2. Forma cristalina: Se refiere a simetría interna del cristal y está relacionada con su estructura microscópica. Es única para cada especie mineral y no depende de factores externos. También se llama grupo puntual o clasees de simetría.suele El conocimiento forma cristalina no siempre inmediato, ser necesariodeunlaestudio estructural. Conceptos amplios relacionados a formas cristalinas se acotan más precisiones en el Capítulo V. La Forma Cristalina puede estar constituida solamente por uno o dos espacios que se cruzan, que al no tener existencia real objetiva no 45

Cristalografía de Especies Minerales

pueden encontrarse aisladas; para existir, necesitan de la coexistencia de formas y es a la que se conoce con el nombre de Formas Cristalinas Abiertas. Ejemplo: el prisma de base cuadrada (Fig.2.13), comprende dos formas cristalinas abiertas distintas, una, la formada por las bases del prisma (espacio cristalino); y la otra, determinada por el cruzamiento de las caras laterales, opuestas dos a dos y se cortan en ángulos de 90º (dos espacios cristalinos). Cada de estas no puede independientemente se lesuna reconoce en formas un cristal, porqueexistir las caras que pertenecen pero a un espacio cristalino, presentan propiedades diferentes a las caras del otro espacio. En cambio, el cubo (Fig.2.14), está formado por tres espacios cristalinos idénticos que se cortan en ángulos de 90º. Esta forma que por sí sola puede tener existencia real, se conoce con el nombre de Forma Cristalina Cerrada, en la cual todas las caras son iguales y además, por tratarse de un solo tipo de espacio cristalino, todas ellas presentarán propiedades físicas iguales. De igual manera tenemos al Octaedro, el cubo-octaedro.

Figura 2.13. Prisma.

Figura 2.14. Cubo.

2.20. VARIACIONES DE FORMAS Y TAMAÑO DE LOS CRISTALES 2.20.1. Forma.- En su significado más familiar el término forma se usa para indicar el aspecto cristalografía, forma externa se designa con laexterno palabrageneral. hábito, En mientras que formala se usa en un sentido especial y restringido. Así una forma consiste en un grupo de caras cristalinas, todas las cuales tienen la misma relación con los elementos de simetría y exhiben las mismas propiedades físicas y químicas, pues todas tienen debajo los mismos átomos en el mismo orden geométrico. 46

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Cuarzo

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Pirita

Apofilita Figura 2.15. Formas cristalinas diferentes.

2.20.2. Hábito.- Se refiere al aspecto macroscópico que presentan los minerales, ya sea en cristales aislados, en agregados (asociaciones y maclas) o en masas (rocas). Expresado de otro modo, se conoce con el nombre de hábito a la forma como se presentan a nuestra vista un mineral cristalizado. Una misma sustancia puede cristalizar en distintas formas cristalinas pero todas ellas están íntimamente relacionadas y pertenecen al mismo sistema cristalino. El hábito que adquiere un mineral, es controlado por el medio ambiente el queser crecen losy cristales, puedeovariar conSelaencuentra localidad. En un sitioenpuede normal en otro tabular fibroso. condicionado por factores externos, como por ejemplo la temperatura, la presión o la composición química del sistema en el que se ha desarrollado. Es importante distinguir el hábito de la forma cristalina, también llamada clase de simetría o grupo puntual, ya que ésta se encuentra relacionada únicamente con la naturaleza química, es decir, con la composición y con la estructura.

Cubo

Cubos deformados Figura 2.16. Hábitos cristalinos.

47

Cristalografía de Especies Minerales

Figura 2.17. Diversidad de forma o hábito.

La diversidad de forma o de hábito depende de ciertas variaciones en el mismo instante de la cristalización, hay una constancia de ángulos entre las caras, las formas de los cristales pueden ser excesivamente diversas. Casi no hay límite al número de caras que pueden ocurrir y como su tamaño relativo cambia, el hábito puede variar indefinidamente. La variación en el hábito del cristal de una especie dada, se debe indudablemente a variaciones notables en las condiciones en las cuales se cristaliza, o a la existencia de alguna sustancia extraña. Un mineral no tiene porqué dar una forma geométrica definida. Puede que las condiciones de crecimiento no hayan sido las ideales, entonces diremos que este mineral es masivo. Luego hay minerales que no tienen una estructura cristalina definida, como el ópalo, que se dice que tiene estructura amorfa, donde los elementos que la componen se sitúan en el espacio de forma muy desordenada.

Ejemplo 1: La galena (PbS) tiene por hábito principal el cubo, cuando las condiciones de cristalización son perfectas, pero también se presentan en hábito octaédrico. Ejemplo 2: La pirita (FeS2) cristaliza generalmente, en piritoedros, pero también existen en cubos y octaedros. En concreto, hábito cristalino es el aspecto que presenta un cristal como consecuencia del diferente desarrollo de sus caras. Se pueden citar como ejemplos al hábito acicular: cristales con gran desarrollo de caras verticales, tienen aspecto de agujas; hábito hojoso: cristales con aspecto de hojas por el gran desarrollo de las caras horizontales.

48

Los minerales que sí tienen estructura cristalina definida y forman cristales se los agrupa por hábitos, como por ejemplo: 





















Tabular: Crecimiento por capas. Ejemplo: Biotita. Acicular: Cristales muy delgados, como agujas. Ejemplo: Millerita. Prismático: Forma de prisma regular. Ejemplo: Elbaita. Radial: Cristales que crecen formando un abanico con un mismo centro. Ejemplo: Wavellita. Arborescente: Forma parecida a un árbol. Ejemplo: Oro nativo. Dendrítico: Crecimiento en forma de rama o plantas en fisuras. Ejemplo: Pirolusita. Filiforme: Con forma de hilo. Ejemplo: Plata nativa. Reniforme: La formación que hacen es arriñonada y redondeada. Ejemplo: Goethita. Coraloide: Forma que nos recuerda a las formas coralinas. Ejemplo: Aragonito coraloide. Botroidal: Formas globulares agrupadas. Ejemplo: Malaquita. Globular: Cristales con forma esférica. Ejemplo: Fluorita globular de India. Fibroso: Forma fibras paralelas, separables con poca presión. Ejemplo: Alabastro (yeso).

El hábito cristalino es controlado por el medio ambiente en el que crecen los cristales, puede variar con la localidad. En un sitio puede ser normal y en otros tabular o fibroso. Los cristales presentan sólo raramente una forma geométrica Ideal. Además se emplean otros términos, que aunque especifican la forma geométrica, no se refieren a la clase cristalina o forma cristalina a que pertenecen. Así por ejemplo, se consideran términos para el hábito: Cubos , pseudocubos , octaedros , tetraedros , romboedros , pentagonododecaedros o pentadodecaedros.

2.20.3. Diversidad de tamaño.- Los cristales de una misma sustancia se presentan en una gran diversidad de tamaños. Los hay, cristales microscópicos hasta aquellos cuyo diámetro es mayor de un metro y su peso más de una tonelada. Los cristales más pequeños son los preferidos, para los estudios cristalográficos, especialmente para la medida los ángulos diedros, porque presentan mayor perfección en la formade y mayor transparencia.

CAPÍTULO

III

SIMETRÍA DE LOS CRISTALES 3.1. INTRODUCCIÓN Simetría cristalina o de los cristales se refiere a la proporción adecuada de las partes de un cristal o todo entre sí y con el todo mismo. Regularidad en la disposición de las partes o puntos de un cuerpo o cristal, de modo que posea un centro, un eje o un plano de simetría considerados como elementos de simetría. La forma externa del cristal bien formado refleja la presencia o ausencia de los elementos de simetría. La presencia de estos elementos de simetría puede detectarse en un cristal bien formado por la distribución angular de las caras límites y a veces por su forma y tamaño. En los cristales imperfectos o pobremente desarrollados la simetría no es, en general, evidente, pero puede deducirse a partir de una medida cuidadosa de la relación angular de las caras límites. El reconocimiento de los elementos de simetría en cristales o modelos de materia, o de cualesquier otro material, que ponen de manifiesto la morfología de los cristales perfectos es muy semejante al reconocimiento de la simetría en los diagramas ordenados. Sin embargo, conviene revisar algunos aspectos de los elementos de simetría en relación con la morfología de los cristales. Entonces, se denomina simetría a la particular regularidad que se observa en la disposición de los objetos o de sus partes en el plano o en el espacio. Las caras de un cristal están acomodadas de acuerdo con ciertas leyes de simetría y esta simetría es la base natural de la división de los cristales en sistemas y clases. La simetría puede definirse en relación a: 1) un plano de simetría, 2) un eje de simetría, y 3) un centro de simetría. En ningún objeto de la naturaleza se revela la simetría con tal variedad de formas en los cristales. Es la característica esencial de éstos y sirve de base de su sistematización. Se dice que dos figuras son simétricas entre sí, si se les puede hacer coincidir una con la otra. Dos partes se llaman simétricos respecto a un centro, eje, o plano, cuando a cada punto de una de las partes corresponde otro homólogo en la otra, equidistantes ambas del centro, eje o plano. En concreto, la simetría es la regularidad en la disposición de las caras y ángulos en un cristal (motivos). El grado de simetría, esto es la cantidad de ángulos y longitudes iguales, denota la división de los cristales en sistemas cristalinos y clases cristalinas. 51

Cristalografía de Especies Minerales

Dentro de este concepto podemos distinguir: 1.- Dos partes iguales siempre pueden ser simétricas; pero dos partes simétricas no siempre son iguales. m

p

a

b

A

n

q

a

m

p

b B

n

q

Figura 3.1. Partes simétricas de un cuadrilátero.

Vemos en las figuras, la recta (a, b) divide el cuadrilátero en dos partes iguales, que, además, son simétricos; las dos partes de la figura 3.1.A, con relación al centro (O), y los de la figura 3.1.B con relación a la recta (a,b). En cambio, los dos guantes derecho e izquierdo son simétricos con relación a un plano, pero no son iguales, puesto que no se pueden cambiar de mano. 2.- El concepto de simetría, tampoco incluye el de paralelismo, por ejemplo, en el octaedro las dos caras sombreadas son simétricas con relación al plano horizontal y sin embargo, no son paralelas. Dos partes de un cristal, son simétricos respecto a un plano, cuando colocando una de ellas ante un espejo éste reproduce por reflexión la imagen de la otra parte, reconstruyendo de esta manera todo el cristal. En la figura 3.2.A: El plano abb´a´ es de simetría, porque llevando una de las mitades del cubo ante el espejo, la imagen reproduce la otra mitad, reconstruyendo el cubo. En cambio, en la figura 3.2.B el plano nmm´n´ no es de simetría, por que al llevar una mitad de este cubo ante el espejo no lo reconstruye; el plano nn'm'm sí es de simetría.

52

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Figura 3.2. Planos de simetría

3.2. DIRECCIONES Y DISTANCI AS DE TRASLACIÓN Recordando que un cristal es un sólido homogéneo que posee un orden interno tridimensional de largo alcance. Tal ordenamiento es el resultado de la repetición de motivos unitarios (unidades químicas, por ejemplo, átomos de cobre) a través de traslaciones regulares en tres dimensiones. El modelo tridimensional es homogéneo si los ángulos y distancias que van desde un motivo a los motivos que le rodean en una posición del modelo son los mismos en todas las partes del mismo (ver Fig. 3.3).

Figura 3.3. Modelo Bidimensional formando ángulos de 90º o diferentes de 90º.

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La Figura 3.3 ilustra una red bidimensional de motivos (comas). El orden en esta red puede expresarse en función de dos traslaciones (t1 y t2. Fig. 3.3a) que forman entre sí 90º. Un diagrama algo menos simétrico de motivos se muestra en la Fig. 3.3b, en donde la dirección t2 forma un ángulo < 90º con la traslación t 1. Estas dos ilustraciones pueden considerarse como una serie infinita de cuerdas unitarias a lo largo de la dirección t1 que se repite a través de una serie infinita de cuerdas idénticas y paralelas a lo largo de la dirección de traslación t2. Las traslaciones marcadas por t1 y t2 son vectores. Un diagrama ordenado tridimensional puede obtenerse agregando además otra componente de traslación (t3) en un plano distinto al formado por t1 y t2, (ver Fig. 3.3c). Esto da lugar a un diagrama que es infinito en tres dimensiones. En los cristales este diagrama no es exactamente infinito, aunque se considere así de un modo general. La magnitud de las traslaciones en los cristales inorgánicos es del orden de 1 a 10 angstrom (Å = 10-8 cm) porque ésta es la escala de los radios iónicos en los cristales. Esto significa que una dimensión de 1 cm en un cristal contendría aproximadamente 100 millones de traslaciones; ciertamente este número puede considerarse como infinito. Si el motivo (comas en la Fig. 3.3) se reemplaza por puntos resulta un diagrama regular que se conoce con el nombre de red. Una red es, por tanto, un diagrama hipotético de punto (o nodo) cada uno de los cuales posee un entorno idéntico al de cualquier otro punto del diagrama. Una red no tiene un srcen específico, ya que puede desplazarse paralelamente a la misma. Una estructura cristalina tridimensional puede considerarse como el resultado de traslaciones tridimensionales que actúan sobre motivos unitarios (las unidades químicas de la estructura). Las traslaciones que se dan dentro de tal estructura cristalina son extraordinariamente pequeñas (a escala atómica) y no son visibles a simple vista. Los tamaños de estas traslaciones se expresan en nanómetros (10-7 cm) o angstroms (10-8 cm). La única forma en que estas distancias pueden ser visualizadas es por medio de un microscopio electrónico de transmisión.

3.3. ORDEN M ONODIMENSIONAL Una secuencia de puntos equivalentes (o motivos) igualmente espaciados a lo largo de una línea representa orden en una dimensión y se llama fila (véase Fig. 3.4). En una fila la magnitud de la traslación

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unitaria (en este caso b1, b2, b3) determina el espaciado. El motivo, la unidad del diseño o el átomo localizado en cada punto de la red determinan la última estructura. La Fig. 3.4 ilustra varias filas de objetos con diferentes espaciados, b, a lo largo de una dirección definida, y, con motivos diferentes.

Figura 3.4. Filas de objetos espaciados en una dirección de traslación.

En la Fig.3.4 se ilustra también filas de objetos espaciados en una dirección de traslación Y, asimétrico (a) y simétricos (b) y (c).

3.4. ORDEN BIDIMENSIONAL El orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintas, designadas X e Y. La Fig. 3.5a muestra una red ordenada bidimensional de motivos (comas) sobre la cual se indican ejes de coordenadas X e Y (los ejes a través de los cuales tiene lugar las traslaciones). Las unidades de la distancia de traslación se indican con las letras a1 y b1, a y b.

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Figura 3.5. Distribución ordenada bidimensional de motivos.

Estos modelos traslacionales pueden describirse mediante los vectores de traslación a y b, de magnitudes a y b, y los ejes coordenados X e Y a lo largo de los cuales se repiten las traslaciones. El ángulo entre los ejes X e Y se llama γ

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La Fig. 3.5b muestra cómo se produce un modelo regular bidimensional con dos espaciados diferentes (unidad de traslación a lo largo de la fila = b, unidad de traslación entre filas = a). Esta distribución es un conjunto oblicuo de comas, pues se ha elegido un un ángulo y entre las direcciones X e Y que no es 90º, ni 60º ni 120º. Para visualizar la red de motivos (comas) sin referencia a la forma del motivo, en la práctica común se puede reemplazar cada motivo por un punto así cualquier o simetría del motivo) y el (eliminando conectar tales puntos o sentido nodos de porforma líneas. Esto crea una red bidimensional o red plana, como se indica en la Fig. 3.5c. Los puntos regularmente espaciados representan las posiciones de los motivos, que en las estructuras químicas pueden ser átomos, iones, moléculas o complejos iónicos. Existen sólo cinco redes planas posibles y distintas. Las cinco son el resultado de repetir una fila, con distancia de traslación b a lo largo de la dirección Y, así como a lo largo de la dirección X con la distancia de repetición a. Los cinco tipos de red plana resultantes depende de la

elección del ángulo

(entre las direcciones X e Y; es decir,

=90º,

60º o cualquier otro ángulo) y del tamaño de a respecto a b (es decir, si a=b, o no). Estas cinco redes, ilustradas en la Fig.3.6, re`resentan las únicas formas posibles de distribución periódica de puntos en dos dimensiones

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Cristalografía de Especies Minerales

Figura 3.6. Desarrollo de las cinco distintas redes planas por la repetición de una fila.

Precisando el desarrollo de redes planas, podemos explicar que: 





En la Fig. 3.6a, la fila Nº 1 está repetida indefinidamente por traslación a lo largo de la dirección x, con distancia de traslación a. Aquí a es desigual a b; el ángulo γ o es 90º y resulta una red oblicua (o clino-red) En la Fig. 3.6b, la fila Nº 1 está repetida indefinidamente por traslaciones a lo largo de la dirección x, con distancia de traslación a. Aquí a es desigual a b; el ángulo = 90º y resulta unared primitiva rectangular (orto-red). Red primitiva significa que los nodos tienen lugar sólo en los vértices de la celda unitaria elegida. En la Fig. 3.6c, la fila Nº 1 está repetida indefinidamente por traslaciones a lo largo de la dirección x, con distancia de traslación

a, y con un ángulo

tal que cos

= a/2b. La red resultante está

descrita convencionalmente en función de dos direcciones ortogonales (X e Y`) dando lugar al centrado de la red dentro de la delda unitaria rectangular. Por ello se denomina red rectangular centrada (orto-red centrado). 

En la Fig. 3.6d, la fila Nº 1 se repite indefinidamente por traslación en la dirección x, con una dirección de traslaciones de a, tal que a = b (ó a1 = a2) y γ = 60º. Así resulta la llamada red hexagonal (hexa-red). 58

gue 

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En la Fig. 3.6e, la fila Nº 1 se repite indefinidamente por traslaciones en la dirección x con una distancia de traslación a, tal que a = b (ó a1 = a2) y = 90º. Asíobtiene se la llamada red cuadrada (tetra-red).

En la Fig.3.7 se insertan la distribución regular de nodos que pueden generarse por la repetición de diversas opciones de celdas unitarias (A, B, C, D, E) a lo largo de dos vectores a y b.

Figura 3.7. Distribución regular de nodos.

3.5. ORDEN TRIDIMENSIONAL Los conceptos expuestos relacionados a modelos de orden monodimensional y bidimensional son básicos para comprender la regularidad correspondiente a objetos tridimensionales, tales como la materia cristalina. En un análisis del orden tridimensional necesitamos una tercera dirección (vector) para describir la distribución de nodos en una red tridimensional (espacial). Muchos de los elementos de simetría introducidos en este trabajo (Cap.III) se encuentran también en las estructuras periódicas tridimensionales. La simetría de rotación 59

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alrededor de un punto será también simetría de rotación alrededor de una línea (eje); la reflexión o reflexión por deslizamiento a través de una línea se convierte en un plano de simetría o un plano de deslizamiento, respectivamente. Sin embargo, es necesario introducir nuevas operaciones de simetría en los modelos tridimensionales que no existen en la periodicidad planar. Estas nuevas operaciones combinan la rotación y la traslación y se denominan tornillos (véase Fig. 3.8); la dirección a lo largo de la cual tiene lugar la operación tornillo se denomina eje tornillo.

Figura 3.8. Generación de modelos por combinación de rotación y traslación.

Para describir totalmente la forma de la celda unitaria de la red (estructura ordenada tridimensional) y el contenido total de simetría compatible con esta red, es necesario considerar combinaciones del tipo de red con elementos de simetría exentos de traslación y elementos de simetría traslacional. Tales combinaciones conducen a 230 grupos espaciales tridimensionales posibles. Cada uno de estos grupos espaciales pertenece a uno de las 32 clases puntuales. Cada grupo o clase puntual se desarrolla sobre un tipo de red. En las distribuciones tridimensionales existen 14 tipos diferentes de redes (redes de Bravais) en lugar de los cinco únicos tipos de red que se encuentran en los modelos bidimensionales. 3.5.1. Redes tridimensionales Las redes tridimensionales pueden construirse agregando una dirección de traslación (vector) a las redes planarias de la Fig. 3.9; este tercer vector no puede encontrarse en el plano de las redes 60

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bidimensionales. El espacio vectorial está referido a tres ejes no coplanarios x, y, z que se cortan en el srcen. Los vectores de la celda unitaria se denominan a, b y c y las traslaciones de la misma a lo largo de x, y, z, respectivamente son a, b y c (véase Fig. 3.9). Los ejes de coordenadas (ejes cristalográficos) x, y, z son denominados comúnmente ejes a, b y c. Las dimensiones de la celda unitaria se expresan en angstroms o nanómetros. En el espacio tridimensional de la figura 3.9desea,visualiza el rvector general “r” que expresa una combinación lineal b, c, tal que = Xa + Yb + Zc, en donde X, Y, Z son números reales. Los ejes de coordenadas X, Y, Z asociados con los lados de la celda, a, b, c, respectivamente se denominan comúnmente ejes a, b, c. Con el fin de reducir el número de opciones (en distribuciones tridimensionales) los cristalógrafos han establecido las siguientes restricciones para elegir la celda unitaria: 1. Las aristas de la celda unitaria deben coincidir, si es posible, con los ejes de simetría de la red. 2. Las aristas de la celda unitaria deben relacionarse entre sí mediante la simetría de la red. 3. Debe escogerse la celda más pequeña compatible con (1) y (2).

Figura 3.9. Representación de los vectores a, b y c, direcciones de los ejes X, Y, Z

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La forma y tamaño de las celdas unitarias de los minerales se determinan generalmente por técnicas de difracción de rayos X. Sin embargo, durante la última década (siglo XX), el microscopio electrónico de transmisión de alta resolución (HRTEM) ha permitido la observación directa de imágenes proyectadas de estructuras cristalinas sobre placas fotográficas. La estructura interna (atómica) de los materiales cristalinos viene determinada generalmente pory una combinación técnica de difracción de rayos X, neutrones electrones, y puedede suplementarse por una combinación de métodos espectroscópicos. Estos métodos, utilizados aisladamente o en combinación proporcionan una reconstrucción cuantitativa tridimensional de la localización de los átomos (o iones), de los tipos de enlaces químicos y sus orientaciones, así como de la simetría interna global de la estructura. De esta información estructural se deduce la red (espacial) tridimensional apropiada.

3.6. ELEMENTOS DE SIMETRÍA Los elementos de simetría son entes o elementos geométricos imaginarios que permiten efectuar operaciones geométricas que determinan en los cristales la repetición de porciones geométricas y físicamente homólogas. El grado de simetría por su parte, queda determinado por el conjunto de los elementos de simetría comunes a todas sus propiedades. Conviene ante todo diferenciar entre la simetría aparente (singonía), que se deduce del examen de las formas geométricas externas que muestra un cristal en cuestión, y la simetría real (o simetría verdadera) que sólo es reconocible después de someter al cristal a una serie de experiencias fisicoquímicas y que puede ser distinta de la simetría aparente. La simetría verdadera de un cristal es la mínima presente y es común a todas sus propiedades. Muchos motivos, como una coma, no contienen simetría. Sin embargo muchos motivos, como los utilizados para crear modelos impresos bidimensionales, poseen simetría. El lugar geométrico que ayuda a la visualización de la simetría de una distribución ordenada recibe el nombre de elementos de simetría. En los cristales se presentan tres elementos de simetría a saber: plano de simetría; eje de simetría; y, centro de simetría. Los procesos de rotación alrededor de un eje, de reflexión en un plano o de inversión alrededor de un punto central (centro de simetría) se denominan colectivamente operaciones de simetría. Fig. 3.10. 62

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Rotación de un motivo por E2

Motivo relacionado por inversión.

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Motivo derecho e izquierdo

Motivo relacionado por eje rotoinversión

Figura 3.10. Generación de un diagrama por elementos de simetría.

Las celdas de un cristal presentan unos elementos básicos de simetría. La orientación molecular que ha comenzado a verificarse en torno de un primitivo germen o centro de cristalización, se ha ido disponiendo con simetría ordenada respecto a un punto, a una línea o a un plano. Estos elementos geométricos (o básicos) son, a la vez, elementos de simetría. 63

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3.6.1. Centro de Simetría Es denominado también como centro de inversión. Es un punto que goza de la propiedad que todas las rectas que pasan por él, y que unen elementos homólogos, son divididas en dos partes iguales. Cada vértice, arista o punto debe tener su correspondiente simétrico en el extremo de la recta que une al punto con el centro. Por ello, cada cara tiene del su centro simétrica que le espor paralela y de ahídeque se conozca la existencia de simetría el paralelismo las caras. Un centro de simetría se presenta en un cristal cuando una línea imaginaria puede pasar desde cualquier punto de su superficie a través de su centro y un punto semejante se encuentra sobre la línea a una distancia igual y opuesta más allá del centro. El centro de simetría se representa con la letra “C”. En la figura 3.11 está representado por “O” (es una excepción). En la Fig.3.12 el punto en PB no es centro de simetría.

Figura 3.11. “O” Centro de simetría

Figura 3.12. Sin centro de simetría.

3.6.2. Ejes de Simetría El eje de simetría, es una línea imaginaria que pasa o cruza a través del cristal, alrededor de la cual el cristal puede girar y que en apariencia se repite 1, 2, 3, 4 ó 6 veces durante una rotación completa (Fig. 3.13). A su vez, tiene la propiedad de que todos los elementos homólogos del cristal se sustituyen exactamente en el espacio cuando éste gira 360º alrededor de ellas. Cuando existen dos o más ejes de rotación, uno de ellos suele ser el de mayor orden y se dispone perpendicular al resto, éste recibe el nombre de eje de rotación principal (conviene alinearlo de tal manera que coincida con el eje de coordenadas Z). En la figura 3.13 se visualizan 64

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rotaciones que hacen coincidir el motivo con una unidad idéntica para ejes de rotación de orden 1, 2, 3, 4 y 6. En la figura 3.14 se insertan ejes de simetría de formas cristalinas. Ejemplos de rotaciones con respecto al eje de rotación principal.

Figura 3.13. Ejes de rotación.

Figura 3.14. Ejes de simetría de rotación y de rotoinversión. a) eje de rotación senario (E6). b) eje cuaternario de rotoinversión (4)

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La figura 3.14a representa un eje de rotación senario. Cuando gira alrededor de este eje el cristal se repite a sí mismo cada 60º, o sea seis veces en una rotación de 360º. Se representa mediante el símbolo E 6. El eje cuaternario de rotoinversión (Fig.3.14b) se simboliza 4. De modo general los ejes de simetría se simbolizan con la letra E. En la figura 3.15b, se insertan el eje de simetría principal cuaternario (E4) y cuatro ejes de simetría secundario binario (E2) ubicados en el plano ecuatorial u horizontal. Letra M indica un motivo.

Figura 3.15. Ejes de simetría y generación de motivos ordenados.

3.6.3. Planos de Simetría El plano de simetría es un plano imaginario, que divide el cristal en dos partes o proporciones (mitades) simétricas especulares (i.e. la que correspondería a la imagen reflejada en un espejo), de tal manera que cada punto tiene su simétrico especular, trazando perpendiculares al plano de simetría y a una distancia igual a uno y a otro lado. En la simetría geométrica ideal, la mitad de un cristal es exactamente la imagen sobre un espejo de la otra mitad, en la cual las aristas, las caras y los vértices tienen sus simétricos con respecto al plano. En un plano de simetría se realiza la operación de reflexión. Plano de simetría horizontal: se sitúa perpendicular al eje de rotación propia principal o de mayor orden. Plano de simetría vertical: contienen al eje de rotación principal o eje de coordenadas Z. Plano de simetría diédrico: plano que biseca el ángulo diédrico determinado por el eje de rotación principal y dos ejes binarios perpendiculares. El plano de simetría se representa o simboliza con la letra P. 66

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Figura 3.16. Plano de simetría (ABCD)

A. ORDEN DE EJES DE SIMETRÍA El número de posiciones de un eje de simetría determina el orden o grado de rotación de los ejes y en este caso, se dice que existe giro. En la simetría cristalina solo existen ejes del orden Monario, Binario, Ternario, Cuaternario y Senario. Para encontrar la distancia angular entre una posición y otra, bastará con dividir 360º entre el orden del eje. Así:

360º/1 = 2 360º/2 = 2 360º/3 = 2 360º/4 = 2 360º/6 = 2

r/1 = 360º----- Eje Monario. r/2 = 180º----- Eje Binario o Digonal. r/3 = 120º----- Eje Ternaio o Trigonal. r/4 = 90º----- Eje Cuaternario o Tetragonal. r/6 = 60º----- Eje Senario o Hexagonal.

Los ejes de simetría pueden ser principales y secundarios. El eje de simetría principal, es aquel que tiene perpendicularmente a él dos o más ejes binarios situados en un plano (éste coincide con el eje z). El eje de simetría secundario, es todo eje de simetría que no sea principal (los ejes binarios en el plano ecuatorial).

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La representación analítica de los ejes de simetría es la siguiente:

En forma gráfica, se les representa de la siguiente forma:

3.7. OPERACIONES DE SIMETRÍA SENCILLAS Existen varias operaciones de simetría, de las cuales unas se refieren a las figuras finitas y otras a las infinitas. Estudiaremos las primeras. La operación se lleva a cabo a través de un plano (plano de simetría) que produce una imagen reflejada coincidente con el objeto srcinal, alrededor de un eje en una rotación de 360°/n, y la operación de inversión con respecto a un punto situado en el centro del cristal.

3.7.1. Reflexión en el plano Si consideramos un sistema de puntos, por ejemplo: a 1, a2, a 3, a4, y lo reflejamos en el plano P como en un espejo, obtendremos un nuevo sistema de puntos: b1, b2, b3, b4, simétrico al primero. El plano de simetría divide a la figura en dos partes iguales, que no siempre se les puede hacer coincidir una con la otra por simple superposición. Por eso es necesario, distinguir dos clases de igualdad de figuras: a) Igualdad de correspondencia o analogía recíproca: En que las figuras coinciden por superposición o interposición. b) Igualdad En queuna la coincidencia es en posible solamente después de de reflexión: haber reflejado de las figuras un espejo. Las manos derecha e izquierda son un ejemplo de igualdad de este género. Dos figuras en que una es la imagen reflejada de la otra, son ENANTIOMORFAS, lo cual significa que los motivos están relacionados por un plano de simetría y que no pueden superponerse entre sí. 68

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Figura 3.17. Plano de Simetría es la recta “P”.

3.7.2. Giro o Rotación En esta operación la figura (o cristal) puede coincidir consigo mismo haciéndola girar cierto ángulo (360º). El eje de giro se denomina, entonces, eje de simetría. A veces la coincidencia se produce haciendo girar la figura en diferentes ángulos. El menor de ellos se denomina ángulo elemental de giro o de rotación. En general, la expresión matemática (fórmula) que permite encontrar el ángulo de giro entre dos posiciones iguales es: 2 π r /n = Xº Donde: n - es el orden del eje, número de veces de giro de un motivo unitario. Xº - es el ángulo elemental de giro. El eje de simetría se designa mediante las letras L, G o E. El orden del eje se escribe encima o debajo de la letra, generalmente a la derecha. En la actualidad se ha adoptado de preferencia utilizar la letra E (ejemplo: E2, E3, etc.). En las figuras geométricas, puede haber ejes de simetría de cualquier orden. Debido a la estructura reticular de los cristales, éstos solamente pueden tener los ejes: E 1, E2. E3, E4, y E6. Es imposible que en la red cristalina pueda haber ejes de quinto orden o de orden superior al sexto. El giro o(ver rotación alrededor de un eje de simetría se realiza en sentido horario Fig.3.15a)

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Figura 3.18. Ubicación de los ejes de simetría.

3.7.3. La Inversión Es una operación de simetría análoga a la reflexión. La diferencia consiste en que la reflexión se produce en un plano especular, mientras que la inversión es equivalente a la reflexión en un punto, “centro de simetría”, que es el elemento de simetría de la inv ersión. En la gráfica (Fig.3.19) se ve claramente todos los puntos del triángulo y entre ellos sus vértices: a1, a2, a3; reflejándose en el punto “C”, forman un nuevosetriángulo b1, ab12,de b3;lasimétrico primero. El une punto b 1, por ejemplo, deduce del siguiente almanera: a1 se mediante una recta con el centro de simetría C y en la prolongación de esta recta se marca el segmento Cb1 = a1c. La figura resulta invertida. En un cristal que tiene centro de simetría, a cada cara le corresponde otra igual, paralela e inversamente ubicada.

Figura 3.19. Centro de Simetría “C”

3.7.4. Giro y Reflexión En esta operación, la coincidencia tiene lugar mediante la realización simultánea de un giro alrededor de un eje “E” y una reflexión en el plano especular “P”. Esta clase de operación de simetría es llamada también GIROIDAL. 70

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Existen, pues, ejes de rotación reflejada de los mismos órdenes que los de rotación sencilla, es decir: a.- Eje binario giroidal o digiroide: Equivale a un centro de simetría, se le representa así: b.- Eje ternario giroidal o trigiroide: Equivale a un eje ternario más un plano de simetría, se le representa así: c.- Eje cuaternario giroidal o tetragiroide: Lleva implícito un eje binario sencillo, pero que no equivale solamente a él, se le representa así: d.- Eje senario giroidal o exagiroide: Equivale a un eje ternario sencillo más un centro de simetría, se le representa así: En la figura 3.20 se puede apreciar las operaciones de simetría giroidales.

Figura 3.20. Operaciones de simetría Giroidales.

En ciertos textos de Mineralogía, la letra “L” es la utilizada como notación, pero con dos índices: el inferior para designar el giro especular y el superior para el simple giro. Notación cristalográfica ya en desuso. 71

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3.7.5. Rotación e Inversión Esta operación es análoga a la anterior, la diferencia consiste en que, después de la rotación alrededor del eje, se realiza la inversión en un punto (centro de simetría). Resulta una combinación de rotación e inversión. El elemento de simetría para esta operación es el eje de inversión, que se designa por Li o Gi. El orden se indica con un exponente. Por ejemplo: Hay que tener en cuenta que: tienen valores independientes. Cornelis Klein, Cornelius S. Hurlbut,JR. (1996), a esta operación de simetría denomina rotoinversión, adoptando la notación: 2, 3, 4 y 6. denominados digiroide, trigiroide, tetragiroide y exagiroide, respectivamente; los que se leen como barra dos, barra tres, barra cuatro y barra seis.

Figura 3.21. Eje Cuaternario de rotoinversión

3.8. COMBINACIONES DE OPERACIONES DE SIMETRÍA Hasta ahora los elementos de simetría que se han estudiado son puntuales, que coinciden en un punto central, pero además hay otros elementos. Así, por ejemplo, se pueden presentar planos de desplazamiento cuando se produce una reflexión y un desplazamiento en paralelo. La deducción de las 32 clases cristalinas se llevan a cabo con la rotación, la reflexión y la combinación de ambos, pero cabe también suponer la rotación y simultánea traslación paralela al eje y la reflexión con traslación paralela al plano. 72

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3.8.1. Ejes helicoidales y planos de deslizamiento En las distribuciones periódicas tridimensionales encontramos dos elementos de simetría que combinan una operación de simetría (rotación o reflexión en un plano de simetría) con una componente de traslación. Una operación rotacional con traslación paralela al eje de rotación se denomina operación helicoidal y una reflexión en un plano de simetría con una componente de traslación se llama

operación de deslizamiento. Todas las operaciones rotacionales binarias, ternarias, cuaternarias y senarias pueden combinarse con una traslación (un eje de rotación de orden 1 combinado con una traslación es equivalente a una sola traslación). La Fig. 3.22 compara las diferencias en distribución de motivos que existen entre una rotación cuaternaria y una operación helicoidal. La rotación por sí sola, a través de un ángulo (α), alrededor de un eje imaginario, genera una secuencia del motivo a lo largo de una circunferencia. Si el ángulo de rotación es de 90º se genera un modelo con cuatro motivos. En la operación helicoidal cuaternaria los cuatro motivos se generan a partir de la unidad srcinal en una trayectoria tridimensional, helicoidal (como en todo momento de un tornillo mecánico, véase Fig. 3.22b). Los ejes helicoidales se llaman isógonos (en griego “mismo ángulo”) y tienen los ejes de rotación equivalentes. Esto significa que las operaciones helicoidales cuaternarias giran el motivo 90º mientras lo trasladan paralelamente al eje de rotación. La Fig.3.22a nos ilustra la generación de modelos por rotación cuaternaria.

Figura 3.22. Generación de modelos por rotación, traslación y rotación.

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A

B

Figura 3.23. Combinaciones de operaciones de simetría.

Ejes helicoidales: A: Rotación. B: Rotación con traslación. Planos de reflexión y de deslizamiento: C: Reflexión simple. D: Reflexión con traslación

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C

D

CAPÍTULO

IV

LEYES FUNDAMENTALES DE LA CRISTALOGRAFÍA 4.1. INTRODUCCIÓN Los cristales de una misma sustancia, que en términos físico-químicos se llama fase, no siempre tienen igual forma, el mismo número de caras, ni éstas presentan contornos semejantes. En medio de su gran variedad hay entre las diversas formas cristalinas estrechas relaciones, denominadas: “Leyes fundamentales”. Los cristales están formados por la repetición casi infinita de motivos situados a distancias y direcciones específicas, lográndose una repetición tridimensional. Las distancias pueden ser iguales o diferentes y las direcciones pueden formar o no ángulos rectos (ángulos diedros). En la retícula cristalina solo es posible construir catorce ordenaciones, las cuales son conocidas como Redes de Bravais (ver Fig.2.11), en donde estas ordenaciones elementales (celdas unitarias) son diferenciadas por los parámetros dimensionales (a , b , c ) y los parámetros angulares (α, β, γ).

4.2. LEY DE SIMETRÍA Haüy expresaba diciendo: “Que cuando en un cristal se producía una modificación cualquiera en un vértice o en una arista, idéntica modificación se observaba en los elementos homólogos”. Así por ejemplo: el vértice de un cubo puede ser reemplazado por una cara y haciendo actuar sus elementos de simetría, todos los demás vértices se modifican dando una forma derivada que es el octaedro; y si el reemplazo es en una arista se obtendrá un rombododecaedro, a esta operación se le llama TRUNCADURA. Cuando dos caras semejantes sustituyen la arista de una forma y por lo tanto están inclinados en ángulos igualesBISELAMIENTO; a sus caras similares adyacentes, la modificación se llama si las modificaciones se producen en el vértice y éstas van sobre las caras o sobre las aristas, se dice que es un APUNTAMIENTO SIMPLE, pero si la modificación es una combinación de las dos anteriores, es decir, seis pequeñas caras sustituyen a cada vértice o ángulo triedro del cubo, se produce un APUNTAMIENTO DOBLE. 75

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Así por ejemplo, cuando se produce un biselamiento en el cubo, nos da la forma derivada llamada “cubo piramidado o tetraexaedro”; si se produce un apuntamiento simple sobre las caras del cubo, nos da un “trapezoedro”; cuando se realiza un apuntamiento simple sobre las aristas del cubo obtenemos un “trioctaedro”, y cuando el apuntamiento

es doble tendremos como forma derivada el “exaoctaedro”, que es la

forma que tiene el máximo número de caras. Es de resaltarlo que en cristalografía no existe ninguna forma con un mayor número de caras que el exaoctaedro (hexaoctaedro).

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Figura 4.1: Modificaciones de vértices y aristas del cubo.

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4.3. LEY DE LA CONSTANCIA DE LOS ÁNGULOS DIEDROS También denominada Ley de Steno, que dice: “los ángulos entre las caras equivalentes de los cristales de la misma sustancia medidos a la misma temperatura son constantes”. Por esta razón, la morfología cristalina es un método valioso frecuentemente utilizado para identificar a los minerales. Un mineral puede encontrarse en cristales de formas y tamaños muy distintos, pero los ángulos entre pares de caras equivalentes (ángulos diedros) siempreellos mismos. Enesla Fig. 4.2, que corresponde a un cristal son de cuarzo, ángulo diedro 120º.

Figura 4.2. Constancia de ángulos interfaciales.

Para medir los ángulos diedros, se utilizan aparatos denominados goniómetros. Según el tamaño del cristal, la cantidad, y calidad de caras, se utilizan diferentes tipos de goniómetros; los más empleados son: a. El goniómetro de aplicación o de contacto. b. El goniómetro de reflexión de un limbo. c. El goniómetro de más de un limbo o goniómetro teodolítico. Este principio notable, sobre el cual reposa la ciencia de la cristalografía fue enunciado en 1669, después de la observación de tres especies minerales: cuarzo (SiO2), pirita (FeS2) y oligisto (Fe3O2). Un siglo más tarde, 1783, Romé de L'Isle, lo confirmó definitivamente, después de comprobarlo sobre más de 500 especies minerales. 78

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Figura 4.3. Goniómetro de contacto.

4.4. LEY DE LA RACIONALIDAD DE LOS PARÁMETROS Formulada por Haüy, dice: “Dichas caras cortan siempre a los ejes cristalográficos a distancias tales del srcen, que las relaciones entre los segmentos determinados por ellos sobre cada eje están representados por números (parámetros) racionales y generalmente

simples”.

Esta ley limita el número de caras posibles en los cristales de cada sustancia, y la limitación es mayor todavía porque se ha encontrado en la prácticason que los números que expresan esasque relaciones no solamente racionales, sino casi siempre, menores seis.

4.4.1. Ejes cristalográficos En la descripción de los cristales resulta conveniente referir las formas externas o la simetría interna a una serie de tres (o cuatro) ejes de referencia. Estas líneas de referencia imaginarias, denominadas ejes cristalográficos, se toman paralelas a las aristas de intersección de las caras cristalinas principales. Además, las posiciones de los ejes cristalográficos vienen más o menos fijadas por la simetría de los cristales, pues en la mayor parte de los cristales nos encontramos que coinciden con los ejes de simetría o con las normales a los planos de simetría. Para algunos cristales puede haber más de una posibilidad de ejes cristalográficos cuando la selección se hace sólo por la morfología. En el caso ideal deben ser paralelos y sus longitudes proporcionales a las aristas de la celda unidad. En resumen (ver Fig. 4.6) los seis sistemas cristalinos están referidos a las siguientes direcciones axiales y ángulos axiales:

Triclínico: Tres ejes desiguales que se cortan todos según ángulos oblicuos. 79

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Monoclínico: Tres ejes desiguales, dos de los cuales forman entre sí un ángulo oblicuo, siendo el tercero perpendicular al plano de los otros dos. Ortorrómbico: Tres ejes mutuamente perpendiculares, todos ellos de diferente longitud. Tetragonal: Tres ejes mutuamente perpendiculares, dos de los cuales (los ejes horizontales) son de igual longitud (a1 y a2), pero el eje vertical es más corto o más largo que los otros. Hexagonal: Cuatro ejes cristalográficos; tres ejes horizontales iguales (a1, a2 y a 3) se cortan bajo ángulos de 120º; el cuarto (vertical) es de longitud diferente y perpendicular al plano de los otros tres. Isométrico: Tres ejes mutuamente perpendiculares de longitudes iguales (a1, a2 y a3). a) Relaciones axiales.- En todos los sistemas cristalinos, con la excepción del isométrico, existen ejes cristalográficos de longitud diferente entre sí. Se fuese posible aislar una celda unidad y medir cuidadosamente las dimensiones de las aristas, paralelas a los ejes cristalográficos, estaríamos en situación de hallar inmediatamente las relaciones existentes entre la longitud de cada arista. En cristalografía, empleando los rayos X, no puede aislar la celda elemental, pero sí puede medir con exactitud las dimensiones de la misma en unidades angstrom (1 Å = 10-8 cm). Así, para el mineral ortorrómbico azufre, las dimensiones de la celda son: a = 10,47 Å, b = 12,87 Å y c = 24,49 Å (Fig.4.4). Haciendo el valor de b igual a la unidad se puede determinar el tamaño de a y b relativo. Así, a/b : b/b : c/b = X : 1 : Y. En el caso del azufre resulta la relación a : b : c = 0,813 : 1 : 1,903. Estas relaciones expresan así las longitudes relativas, no las absolutas, de las aristas de la celda unidad que corresponden a los ejes cristalográficos.

Figura 4.4. Celda unitaria ortorrómbica del azufre.

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b) Intersección de las caras.- Las caras del cristal se definen mediante su intersección en los ejes cristalográficos. Así, al describir una cara de un cristal es necesario determinar si es paralela a dos ejes y corte al tercero, o si es paralelo a un eje y corta a los otros dos, o bien, si corta a los tres. Además, debe determinarse a qué distancia relativa corta la cara a los diferentes ejes. Al definir la posición de una cara de un cristal debe recordarse que estas caras son paralelas a una familia de posibles planos reticulares. En la Fig. 4.5 tenemos un plano a-b en una red ortorrómbica basada en las dimensiones de la celda unitaria del mineral azufre. El plano reticular AA es paralelo a los ejes b y c y corta al eje “a” a una longitud (tomada como longitud unidad) a lo largo del eje a. Las intersecciones para este plano serían: 1a, ∞ b, ∞ c. De igual modo, el plano A'A' que es paralelo a AA pero que corta al eje a una distancia igual a dos unidades de longitud, tiene las intersecciones: 2a, ∞b, ∞c. El plano BB, que es paralelo a los ejes a y c y corta al eje b a la distancia unidad, tiene las intersecciones: ∞ a, 1b, ∞ c. El plano AB, que corta a ambos ejes horizontales (a y b) a la distancia unidad, pero es paralelo a c, posee los parámetros: 1a, 1b, ∞ c. Un plano que corta a los tres ejes a la distancia unidad tendría los parámetros 1a, 1b, 1c. La Fig. 4.5b muestra el reticulares desarrollo de las caras queDebe son paralelas a los planos indicados encristalinas la Fig. 4.5a. recordarse que las intersecciones indicadas en las caras son valores estrictamente relativos y no indican longitudes reales de corte. Cuando las intersecciones se asignan a las caras de un cristal sin conocimiento de las dimensiones de la celda unitaria tendría los parámetros 1a, 1b, 1c. Esta cara, llamada cara unidad, es generalmente la mayor en el caso en que haya diversas caras que cortan los tres ejes.

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Intersecciones

Figura 4.5. Intersecciones de planos (a) y caras en una red ortorrómbica (b).

4.4.2. Valores cristalográficos Al efectuar el estudio de un cristal hay que establecer las relaciones entre los diversos elementos que lo constituyen, es decir, aquellas que existen entre sus caras, aristas, vértices, etc. Se ha convenido así, usar sistemas de ejes coordenados, tal como los usados en Geometría Analítica, y a los cuales se denomina “ejes cristalográficos” con notaciones XX', YY', ZZ'; se llama a un sistema de ejes coordenados, cuyo srcen coincide con el centro del cristal y que sirve para fijar la posición de las caras en el espacio, por las magnitudes que ellas determinan sobre los ejes, medidas a partir del centro. Se simbolizan como: a1, a2, a3→ Sistema cúbico, los 3 ejes son de igual longitud. a1, a2, c; → Sistema tetragonal, ejes X, Y son de igual longitud a, b, c.→ Sistemas longitudesortorrómbico, desiguales monoclínico y triclínico, ejes de a1, a2, a3, c → Sistemas hexagonal y romboédrico, ejes horizontales de igual longitud. En la figura 4.6 se ilustra el sistema convencional de ejes cristalográficos para cada uno de los seis sistemas cristalinos. Las tres 82

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direcciones se denominan a, b, y c, a menos que la simetría las haga equivalentes y en este caso sería a, a, a. La dirección vertical se denomina c, excepto en el sistema isométrico, donde todos los ejes son iguales, es decir a1, a2, a3. Triclínico

Ortorrómbico

Monoclínico

Cúbico o Isométrico

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Tetragonal

Hexagonal a1 = a2 = a3; c perpendicular al plano que contiene a 1, a2, a3 ángulos horizontales 120º

Figura 4.6. Sistemas convencionales de ejes cristalográficos.

En los sistemas cúbico, tetragonal, ortorrómbico, monoclínico y triclínico, se usa un sistema de tres ejes coordenados, en el cual el eje XX´ va de delante hacia atrás y se llama “antero-posterior”; el eje YY´, recibe el nombre “transverso” y se orienta de derecha a izquierda; el eje ZZ´ se denomina “vertical” y se orienta de arriba-abajo. Todos los cristales, con excepción de los que pertenecen al sistema hexagonal se refieren a tres ejes cristalográficos designados como a, b y c; véase la Fig. 4.7. En el caso general (sistema triclínico) todos los 84

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ejes tienen diferentes longitudes y son oblicuos entre sí. Los extremos o tramos de cada eje se designan con más o menos (+ o -); el extremo frontal de a, el extremo derecho de b y el extremo superior de c son positivos; los extremos opuestos son negativos. Los ángulos que forman los extremos positivos de los ejes se designan

se designan convencionalmente con las letras griegas , y ángulo es el comprendido entre las direcciones axiales b y c, el está entre a y c y el ángulo entre a y b (véase Fig. 4.7 y 4.8).

Estos ángulos inherentes a los ejes cristalográficos de los sistemas cristalinos, pueden ser iguales o diferentes de 90º. En los sistemas hexagonal y romboédrico (trigonal) se usa un sistema de cuatro ejes: tres ejes iguales horizontales, situados en un plano (plano horizontal) y el cuarto, el vertical, pero perpendicular a los anteriores. En ambos casos, el sistema de ejes cristalográficos se conoce con el nombre de “CRUZ AXIAL”.

Figura 4.7. Tres ejes cristalográficos.

Figura 4.8. Cuatro ejes cristalográficos.

El concepto de ejes cristalográficos no debe confundirse con el de ejes de simetría, a pesar de que en varios de los sistemas ambos tipos de ejes coinciden y laelementos posición de ejes cristalográficos gran parte, por los de los simetría del sistema. está fijada, en Los planos cristalográficos, son los planos formados por los ejes cristalográficos, dividen al espacio en 8 ó 12 partes, según sea el tipo del sistema de ejes; cada parte se llama un octante ó un dodecante, respectivamente. En forma general se llaman sectantes. 85

El

Cristalografía de Especies Minerales

Los planos cristalográficos pueden ó no coincidir con los planos de simetría. Si estos últimos coinciden con aquellos se llaman planos diametrales (PD); si no, son planos diagonales (Pd). Finalmente, son constantes cristalográficos los ángulos formados por cada par de ejes cristalográficos, tal como se indican en las figuras 4.7 y 4.8. En el sistema de cuatro ejes cristalográficos, el ángulo horizontal es de 120º ó 60º para los sistemas romboédrico y hexagonal, respectivamente; mientras vertical forma un ángulo recto, “δ”, con cualquiera de losque ejesel eje horizontales. Según la forma del paralelepípedo elemental, los cristales se dividen en sistemas. Se denomina sistema cristalino, al conjunto de clases de simetría cuyos cristales tienen análogas constantes de la malla (celda cristalina).

CUADRO DE LAS CONSTANTES CRISTALOGRÁFICAS

Nota: M = Una sola medida paramétrica. D = Dos medidas paramétricas. T = Tres medidas paramétricas.

4.5. FORMA CRISTALINA Recapitulando, el término forma se usa para indicar el aspecto externo general de un cristal. En cristalografía, la forma externa se designa con la palabra hábito, mientras que forma se usa en un sentido especial y restringido. Así, una forma consiste en un grupo de caras cristalinas, todas las cuales tienen la misma relación con los elementos de simetría y exhiben las mismas propiedades físicas y químicas, pues todas tienen debajo los mismos átomos en el mismo orden geométrico. Es 86

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importante entender la relación que existe entre la forma y los elementos de simetría de un cristal. Aunque las caras de una forma pueden tener diferentes tamaños y conformaciones debido a mala formación del cristal, la semejanza es frecuentemente evidenciada por estrías naturales, corrosiones o crecimientos, como se muestra en la Fig.4.9. En algunos cristales las diferencias entre caras de diferentes formas pueden apreciarse sólo después del ataque ácido. tiene En las Fig. 4.9 están expuestas formas, cada una de con las cuales aspecto físico diferente al detres las otras.

Nombre de formas.- El esquema de nomenclatura de formas, srcinalmente propuesto por Groth en 1895 y modificado por A.F. Rogers en 1935, reconoce 48 tipos diferentes de formas cristalinas que pueden ser distinguidas por las relaciones angulares de sus caras, de los cuales, 32 se representan por las formas generales de las 32 clases de cristales (o grupos puntuales). En este esquema de nomenclatura, el nombre de cada una de las 32 formas generales, {hkl} o {hkil} en el sistema hexagonal, se convierte en el nombre descriptivo de cada una de las 32 clases de cristales.

Figura 4.9. Formas cristalinas compuestas.

4.6. ZONAS Uno de los hechos claramente visibles en muchos cristales es la disposición de un grupo de caras de modo que sus aristas de intersección sean mutuamente paralelas. Consideradas en conjunto, estas caras forman una zona. La línea que cruce a través del centro del cristal y sea paralela a aquellas aristas se conoce con el nombre de eje de zona. En la Fig. 4.10 las caras m', a, m y b están en una zona, y la b, r, c y r' en otra. Las líneas [001] y [100] son los ejes de la zona. 87

Cristalografía de Especies Minerales

Existen ciertas relaciones importantes entre los índices de las caras que están ubicadas en la misma zona. Si los índices de dos caras que quedan en la misma zona se suman unos con otros, la suma dará los índices de la cara que está entre ellos, o en otras palabras, una cara que trunca la arista que forman.

Figura 4.10. Zonas cristalinas y ejes de zonas.

Una se puede simbolizar de a los índices de Miller, y suzona expresión generalizada esmanera [uvw]. similar Dos caras cualesquiera no paralelas determinan la zona. Supongamos que se desea determinar el eje de zona de dos caras, así (hkl) y (pqr). El método usualmente utilizado es escribir dos veces el símbolo de una cara y directamente debajo dos veces el símbolo de la otra cara. El primero y el último número de cada línea se descartan y los números que quedan, unidos por flechas inclinadas, se multiplican. En cada conjunto el producto de 2 se sustrae del producto de 1, así:

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En el ejemplo específico indicado, considerando que una cara de símbolo (hkl), con índice (110) y otra de símbolo (pqr), con índice (010); el índice del eje de zona resulta ser [001]. Se debe tener presente que los símbolos de zona se encierran entre corchetes, tales como [uvw], para distinguirlos de los símbolos de las caras entre paréntesis (hkl) o de las formas entre llaves {hkl}.

4.6.1. Ley de las zonas Se denomina zona al conjunto de caras que se cortan según aristas paralelas, la línea paralela a estas aristas y que pasa por el srcen de coordenadas se denomina “eje de zona”. Ejemplo: En el cubo, las caras frontal, posterior, derecho e izquierdo constituyen una zona; estando indicado el eje de la misma a2, por la línea de trazos (Fig. 4.11). Resumiendo diremos: que Zona en Cristalografía, es el conjunto de caras paralelas a una misma dirección.

A. Eje de zona.- Se denomina así, a una recta imaginaria paralela a todas las caras de una zona y que pasa por el centro del cristal. B. Plano de zona.- Es el plano perpendicular al eje de zona y por consiguiente normal a todas las caras en zona. Todas las caras para pertenecer a la misma zona, llamadas caras tautozonales, deben tener sus intersecciones mutuas paralelas a una dirección dada. Esta dirección es precisamente el eje de zona de la forma cristalina.

Figura 4.11. Eje de Zona “a2”.

4.6.2. Índice del eje de zona o índices de la zona El elemento esencial de una zona es su eje; por consiguiente, si se conoce la dirección de dicho eje se conoce ya la orientación de la zona misma. Nos bastará ubicar la posición del eje de esa zona en el espacio para fijar la posición de la zona. 89

Cristalografía de Especies Minerales

Para ello basta referir el eje de zona a un sistema de tres coordenadas, mientras que el otro extremo quedará fijado al conocer sus coordenadas con relación a los tres ejes.

Figura 4.12. Eje de zona

En la figura 4.12 vemos que el eje OP (vector) representa el eje de zona y la posición del punto P quedará perfectamente fijada. Si conocemos las distancias OR, ON, y OQ, que son las coordenadas u, v, w, respectivamente, y que vienen a constituir los “Índices del eje de zona” o sea los “Índices de la zona misma”. Estos índices pueden encontrarse fácilmente conociendo los índices de dos caras, (h k l y h' k' l'), que misma conociendo zona, de la los siguiente Los índices delpertenecen eje de zonaaselacalculan índices manera: de dos caras que están en zona, es decir, escribiendo dos veces los índices de una cara y colocando debajo de ellos los índices repetidos de la otra cara. En seguida, se separan los primeros y los últimos índices por líneas verticales, se multiplican en cruz, siguiendo la regla de los determinantes y se restan los productos, teniendo en cuenta los signos.

Entonces, los índices del eje de zona son: u v w Ejemplo: Sean los índices 1 1 0 y 1 1 0 (Fig.4.13) que pertenecen a una zona vertical. Su eje de zona será, pues, el eje vertical. 90

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Figura 4.13. Índices de Miller en un prisma.

Esto quiere decir que el eje de zona tiene una orientación, tal que sus coordenadas con relación a los ejes horizontales son cero y que coincide, entonces, con el eje vertical.

4.6.3. Simplificaciones que permite el uso de las relaciones zonales 1. Si se conocen los índices de dos caras adyacentes, encontrar el índice de la cara que trunca la arista formada por las caras adyacentes. Sea la figura 4.14, cubo con aristas truncadas, en el que tenemos las caras a, b y c cuyos símbolos son: 1 0 0 de a 0 1 0 de b 0 0 1 de c Para conocer los índices de las caras que truncan las aristas, bastará con sumar los índices de las caras adyacentes. Así, los índices de la cara “d” son 110, lo cual se obtiene de la siguiente manera:

Figura 4.14. Cubo rombododecaedro.

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Cristalografía de Especies Minerales

2.

Si se conocen los índices de una cara (hkl) y los índices de una zona [uvw], se puede comprobar si la cara pertenece a la zona, aplicando la ecuación zonal, que también se llama ecuación de comprobación: uh + vk + wl = 0. Ejemplo: Sea (1 0), los índices de una cara y [ 2], los índices de la zona. Aplicando la ecuación de comprobación se tiene: 1 x1+ 1x1 + 2 x0 = 0 1 + 1 + 0 = 0 Luego, la cara pertenece a la zona.

3. Conocidos los índices de dos zonas, determinar los índices de una cara que pertenece a ambas zonas. Para ello se procede en la misma forma como para determinar los índices de la zona. Es decir, si u, v, y w son los índices de una zona y u´, v´, y w´ son los de otra, se opera así: u v w u v w u´ v´ w´ u´ v´ w´ ──────────────

(v w´ ─ v´ w) = h (w u´ ─ w´ u) = k (u v´ ─ u´ v) = l Entonces, los índices de la cara son (hkl) Ejemplo: Si [2 1 0] y [1 0 1] son los índices de dos zonas, encontraremos los índices de una cara que pertenece a ambas zonas, operando como indicamos anteriormente: 2 1 0 2 1 0 1 0 1 1 0 1 ──────────

(1 (0 (0

─ ─ ─

0) =1 2) =2 1) =1

Luego, los índices de la cara serán: (12 1) 92

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4.7. NOTACIONES CRISTALOGR ÁFICAS Son procedimientos ideados para distinguir a las formas cristalinas mediante símbolos o fórmulas convencionales. La Notación Cristalográfica es una representación analítica que nos indica la posición de las caras en el espacio con relación a los ejes cristalográficos tomados como referencia. En cristalografía, paraauna mejor percepción de los procedimientos conducentes y afines las notaciones cristalográficas, se considera necesario precisar conceptos referidos a:

1. Parámetros: L a s caras del cristal se definen mediante su intersección en los ejes cristalográficos. Así, al describir una cara de un cristal es necesario determinar si es paralela a dos ejes y corta al tercero, o si es paralela a un eje y corta a los otros dos, o bien, si corta a los tres. Además debe determinarse a qué distancia relativa corta la cara a los diferentes ejes (véase la Fig. 4.15.). Los parámetros de un plano (cara) consisten en una serie de números que expresan las ordenadas relativas de ese plano sobre los ejes cristalográficos. Se expresan en términos de longitudes unitarias, designadas (siempre en el mismo orden) por las letras a, b, c. Así por ejemplo, los parámetros de una cara puede expresarse como 1a, 1b, 1c; 1a, 1b, 2c, etc.

Figura 4.15. (a) Planos paralelos axiales; (b) Bipirámide de azufre.

En la figura 4.15a, haciendo que las líneas OX. OY, OZ, se tomen como las direcciones de los ejes cristalográficos y que OA, OB, OC representen sus longitudes unitarios, designadas (siempre en el mismo orden) por las letras a, b, c. Entonces, las ordenadas para el 93

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plano (1) HKL son OH, OK, OL; para el plano (2) ANM son OA, ON, OM: pero en términos de las unidades de longitud de los ejes, éstas dan los siguientes parámetros: Además se debe notar que puesto que los dos planos HKL y MNA son paralelos uno a otro y por lo tanto, cristalográficamente, los mismos, estas dos series de parámetros se consideran idénticos.

2. Índices: Se han planteado diversos métodos de notación para expresar las intersecciones de las caras cristalinas en los ejes cristalográficos. Pero el más universalmente empleado es el sistema de índices propuesto por W. H. Miller. Los índices de Miller de una cara consisten en una serie de números enteros que han sido deducidos de los parámetros por su inversión, y, si es necesario, por la subsiguiente reducción de las fracciones. Los índices de una cara son siempre dados de forma que los tres números (cuatro en el sistema hexagonal) se refieren a los ejes a, b y c, respectivamente y, por consiguiente, las letras que indican los diferentes ejes, se omiten. Al igual que los parámetros, los índices expresan una relación, pero al objeto de simplificar el signo de la relación se omiten también. Las caras de las bipirámides mostradas en la Fig. 4.16 con parámetros 1a. 1b, 1c y 1a, 1b, 1/3c , tienen los índices (111) (léase uno, uno, uno) y (113). La cara (Fig. 4.17) que tiene 1a, 1b, ∞ c por parámetros y en inversión 1/1, 1/1, 1/∞ tendría los índices de Miller (110). Si los parámetros son 1a, 1b, 2c, la inversión suministra 1/1, 1/1, ½, al reducir fracciones tendría los índices de Miller (221).

Figura 4.16. Dos pirámides-cristal de azufre.

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Figura 4.17. Prisma y bipirámide.

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A veces es conveniente, cuando se desconocen las intersecciones exactas, utilizar el símbolo general (hkl) para los índices de Miller; cada letra h, k, y l representa un número entero sencillo.

3. Símbolos: Son letras (hkl) o (hkil) que indican que una cara corta a los tres ejes cristalográficos. Si una cara es paralela a una de los ejes cristalográficos e interseca a los otros dos, el símbolo general se escribiría (0kl), (h0l) y (hk0). Una cara paralela a dos de los ejes se considera que(010) corta yal(001). tercero a una distancia unidad, los índices serían (100), Para indicar que una carayinterseca el extremo o tramo negativo de un eje cristalográfico, se coloca un guión sobre la letra o número apropiado, como se muestra en la Fig. 4.18. El símbolo generalmente se emplea para designar toda la forma y se encierran, como ya se indicó, entre llaves, por ejemplo {hkl}.

Figura 4.18. Bipirámide tetragonal.

Cuando se miden las ordenadas axiales detrás del eje X, o a la izquierda del eje Y, o abajo del eje Z, se llaman negativos y se coloca un signo menos sobre el número correspondiente de los índices; por ejemplo:

Entre las muchas notaciones de simetría propuestas, los símbolos de Hermann-Mauguin han sido ampliamente aceptados por la gran mayoría de los cristalógrafos, y por ello su uso es esencialmente universal. 95

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Las expresiones simplificadas y abreviadas que se han derivado de los parámetros de la forma de un cristal, se emplean ordinariamente para dar sus relaciones a los ejes cristalográficos. Estos se conocen como índices. Se han inventado gran número de métodos diferentes para derivar los índices y actualmente se emplean varios. Los llamados índices de Miller son los más generalmente empleados y son los que se usan exclusivamente en este texto. Los índices de Miller derivarse de los parámetros de cualquier forma tomando las pueden recíprocas y eliminando las fracciones si es necesario. Por ejemplo tomando las dos series de parámetros dados: Invirtiendo estas expresiones obtenemos

En el caso (2) es necesario eliminar las fracciones, dando (1) 4a : 3b : 2c. Los índices de esta forma son entonces 4a : 3b : 2c. Las letras que indican los distintos ejes cristalográficos, así como los dos puntos (:), generalmente desprecian y los índiceslas en este caso se describen sencillamente se como 432, indicándose intersecciones de los diferentes ejes por el orden en que se dan los números. Cuando el índice se refiere a una cara se escribe entre paréntesis, es decir, (432).

4.7.1 Diferentes sistemas de índices Los índices de Weiss son los mismos que los parámetros descritos antes. Los diferentes ejes están representados por las letras a, b y c, precedidas cada una por un número que indica la intersección relativa de la cara considerada sobre ese eje en particular. Por ejemplo, una cara posible de una pirámide ortorrómbica podría representarse por 1a : 2b : 2/3c. En los índices de Naumann la totalidad de la forma piramidal se indica por la letra O en el sistema isométrico en el que los tres ejes de los cristales tienen la misma longitud o por P cuando los ejes tienen distintas longitudes. Para otras formas los índices se convierten en mPn (ó mOn) en los que m da la intersección sobre el eje vertical c, y n la intercepción sobre los ejes horizontales (a ó b). J. D. Dana modificó los índices de Naumann sustituyendo un guión por la letra P u O e i por el signo de infinito ∞. Los índices de Naumann y Dana se convierten fácilmente a los índices de Miller arreglándolos en el 96

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orden apropiado, invirtiéndolos y eliminando fracciones. Goldschmidt ha propuesto otro método para derivar índices.

Tabla 4.1. Índices de acuerdo con varios sistemas de notación

Se han planteado diversos métodos de notación para expresar las intersecciones de las caras cristalinas en los ejes cristalinos o cristalográficos (expuestos en la Tabla 4.1). Pero el más universalmente empleado es el sistema de índices propuesto por W. H. Miller, que tiene muchas ventajas sobre el sistema de parámetros tratados anteriormente. Las notaciones de mayor uso han sido las de Weiss, Naumaun, Dana, Goldschmidt, Miller y Levy. Solo nos ocuparemos de Weiss y Miller por razones obvias.

4.7.2. Notación de Weiss Para Weiss, los parámetros de una cara cualquiera del cristal son múltiples de los parámetros de la cara unidad. Aunque es la más sencilla e inteligible de todas ellas, con todo modernamente tiende a desaparecer, sustituido por la de Miller. En esta notación se toma como cara fundamental a una cara lo más cerca del srcen de coordenadas, y cualquier otra cara será siempre exterior a ella. Si tenemos la cara unidad AB, BC, CA, con sus respectivos parámetros a, b, c y pretendemos hallar la notación de otra cara A´B´, B´C´, CÁ´; cuyos parámetros respectivos sean a´, b´, c´; las relaciones paramétricas serán: a´: a = m; b´: b = n; c´: c = p; llamando m, n, p; a los respectivos cocientes. De donde se deduce que: a´ = ma; b´ = nb; c´ = pc.

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Cristalografía de Especies Minerales

Lo característico de la notación de Weiss son los tres coeficientes m, n, p; que determina la cara que se investiga, por esta razón, a la notación de Weiss se le denomina también notación de los coeficientes. Ejemplo: Las relaciones: a´: a= 3/2; b´: b = 1; c´: c = 2/3; en cuyo caso tenemos: a´ = 3a/2; b´ = b¸ c´ = 2c/3. Quitando denominadores nos quedará la relación siguiente: b´: c´=Weiss 9a: 6ben : 4c. La notación cara será: 9,6,4. Este métodoa´: lo utilizó 1818, en dondede loslacoeficientes m, n, p; pueden tomar los valores enteros y también infinito.

Figura 4.19. Cara fundamental ABC

4.7.3. Notación de Miller En 1839, W. H. Miller propuso otro método más cómodo aún, adoptado en la actualidad en casi todas partes, pero el más universalmente empleado, y que consiste en sustituir los parámetros numéricos de Weiss (m, n, p) por sus correspondientes magnitudes inversas (1/m, 1/n, 1/p).

A. Ley de los índices racionales: El estudio de los cristales ha establecido la ley general de que las relaciones entre las intersecciones de los ejes para las diferentes caras de un cristal siempre se pueden expresar con números racionales. Estas relaciones pueden ser 1 : 2, 2 : 1, 2 : 3, 1 : ∞ , pero nunca 1 : etc. Por ello los valores de hkl en los símbolos de Miller deben ser siempre números enteros o cero. 98

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En los índices de Miller, 0 y los números del 1 al 6 son los más comunes.

B. Índice de Miller: Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l). Los índices de Miller son números enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número. Los índices de Miller de una cara consiste en una serie de números enteros que han sido deducidos de las intersecciones por su inversión, y, si es necesario, por la subsiguiente reducciones de las fracciones. Los índices de una cara se expresan siempre de forma que los tres números (cuatro en el sistema hexagonal) se refieren a los ejes a, b y c, respectivamente y, por consiguiente las letras que indican los diferentes ejes de simetría. Al igual que las intersecciones, los índices expresan una relación, pero el objeto de simplificar, el signo de la relación se omite también.

C. Obtención de los Índices de Miller: 1. Se determinan las intersecciones del plano (cara) con los ejes cristalográficos. Para poder determinarlas se utiliza como unidad de medida la magnitud del parámetro de red sobre cada eje. 2. Se consiguen los recíprocos de las intersecciones. 3. Se determinan los enteros primos entre sí que cumplan con las mismas relaciones. 4. Tienen que ser enteros. Ejemplo: Supongamos una red con parámetros de red: a b c, con índices de Miller respecto a los extremos o tramos positivos y negativos de los ejes cristalográficos (Fig. 4.20). El índice de Miller (111) se lee

“uno-uno-uno”. En las caras que cortan los extremos negativos de los

ejes cristalográficos se sitúa una línea sobre el número apropiado, como indica la figura 4.20 (octaedro). Por ejemplo (111) se lee “uno, menos uno, uno” o bien “uno, barra uno, uno”. Debe observarse que los índices así dados corresponden a una cara específica, y está escrito entre paréntesis. 99

Cristalografía de Especies Minerales

Figura 4.20. Índices de Miller respecto a los tramos positivos y negativos.

Otro ejemplo, tenemos un plano que interseca a los ejes X, Y, Z (ver Fig.4.20), ejes que también se pueden designar con las letras a, b y c; en los puntos: 1a, 2b, 1/2c, respectivamente. Entonces realizamos el recíproco de las intersecciones: 1a, 1/2b, 2c y de ahora en adelante trabajamos sólo con los números (coeficientes), es decir: 1, ½, 2. Determinamos los enteros primos entre sí que cumplan las mismas relaciones. Esto lo logramos multiplicando por el m.c.m. (mínimo común múltiplo) es decir (1 : 1/2 : 2) = (214) (Nótese que cumplen con las características de los índices de Miller: Enteros y primos entre sí). Entonces los índices de Miller para el sistema de planos del ejemplo es: (214). En el caso general, resultan tres quebrados propios, cuyas relaciones pueden ser expresados en números enteros. Estos tres números primos entre sí, se denominan índices de las caras. Se les designa con las letras h, k, l; en el caso de cuatro ejes h, k, i, l. El método de Miller es cómodo por que los índices, es decir, las magnitudes inversas de los segmentos una cara cortadirectamente a los ejes deen coordenadas, medidos en unidadesendeque longitud, entran la fórmula del plano. Por ejemplo: Ax + By + Cz + D = 0. El término independiente D es igual a cero, ya que, según la ley de la constancia de los ángulos diedros, cualquier cara puede ser trasladada paralelamente así misma de manera que pase por el srcen de coordenadas. En este caso citado no hay que tomar los parámetros 2 : 3 : 6, sino las magnitudes inversas 100

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(recíprocos): ½; 1/3, 1/6, es decir, tres quebrados propios. Conservando su relación Miller, los convierte en número enteros: 1/2:1/3:1/6=6/2:6/3:6/6=3:2:1

(321)

Estas tres cifras o dígitos (321), índices de las caras, encerradas entre paréntesis, designan el símbolo de una cara. De esta manera tenemos que símbolo de una cara se denomina al conjunto de los tres números mínimos dicha cara.inversamente proporcional a los parámetros numéricos de Debemos tener en cuenta que mientras Weiss coloca la cara unidad lo más cerca del centro o punto de srcen de las coordenadas (Fig. 4.21, cara abc), Miller coloca la cara unidad lo más lejos posible del centro (en le Fig. 4.22, cara ABC) Cuando la cara corta las direcciones negativas de los ejes, sobre el índice correspondiente se coloca el signo menos, por ejemplo (2 1 3), si la cara corta al eje “Y” a la izquierda del srcen de coordenadas. Si la cara es paralela a uno o dos ejes cristalográficos, los parámetros correspondientes a estos ejes, según Weiss, son infinitamente grandes. Como: 1 : ∞= 0, en la notación de Miller tenemos que el signo es indicio del paralelismo de la cara con el correspondiente eje “0” cristalográfico.

Figura 4.21. Índices hkl de la cara unidad.

Figura 4.22. ABC cara unidad.

Figura 4.23. Cara ABC que corta en el semieje o tramo negativo del eje Y.

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4.8. RELACIÓN ENTRE LAS NOTACIONES DE WEISS Y MILLER Según Weiss el símbolo de una cara es: ma : nb : pc; y según Miller, una cara paralela estaría determinada por la expresión: 1 / h : 1 / k : 1 / l. Si se consideran que estas caras paralelas son equivalentes en Cristalografía, se pueden establecer las siguientes relaciones, entre las características m, n, p con los índices h, k, l; de tal manera que: m = 1transformar / h; n = 1 /lak:expresión p = 1 / l. paramétrica Y valiéndonos estas relaciones podemos de de Weiss a los índices de Miller y viceversa.

Ejemplo 1: Sea la cara, cuya notación de Weiss es 2a : 3b : c. Para encontrar los índices de Miller, se toman las inversas de las características, se da común denominador, se toman solamente los numeradores y se eliminan las letras y los puntos. Luego: 2a : 3b : c (notación de Weiss); a / 2 : b / 3 : c; operando se tiene: 3a : 2b : 6c. Finalmente, 326, son los índices de la cara según Miller. Esto nos indica que la cara corta al eje antero-posterior a la tercera parte de la distancia tomada como unidad, a la mitad y a la sexta parte sobre los ejes transverso y vertical, respectivamente. Ejemplo 2: Sea la cara a : ∞ b : 2c (según Weiss), luego: a : b/∞: c / 2; será entonces: 2a :0b :c y luego: 201 serán los índices de Miller. La cara corta al eje antero-posterior a la mitad de la unidad paramétrica, no corta al eje transverso y corta al eje vertical a la distancia unitaria. Es decir que se trata de una cara prismática (domática), paralela al eje transverso.

Ejemplo 3: Sea (∞ a:∞ b: c), el símbolo de una cara que corta solamente al eje vertical y es paralela a los ejes antero-posterior y transverso. Transformando se tiene: a / ∞ : b / ∞ : c, entonces será: 0a : 0b : c; luego (001), son los índices de una cara de la forma pinacoidal.

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CAPÍTULO V

FORMAS, CLASES Y SISTEMAS CRISTALINOS 5.1. FORMA CRISTALINA Es un poliedro cristalino, tal como se presenta a nuestra vista, es decir, como un de conjunto caras iguales que están su simetría, forma de y tamaño determinados querelacionadas limitan unapor masa cristalina, por el cruzamiento de lo que hemos llamado espacios cristalinos. Una forma en cristalografía incluye todas las caras que tienen una posición similar relativa a los planos, o ejes, de simetría. El significado total de esto se apreciará después de un estudio de los distintos sistemas cristalinos. En su significado más familiar el término forma se usa para indicar el aspecto externo general. En cristalografía, la forma externa se designa con la palabra hábito, mientras que forma se usa en un sentido especial y restringido. Así, una forma consiste en un grupo de caras cristalinas todas las cuales tienen la misma relación con los elementos de simetría y exhiben las mismas propiedades físicas y químicas, pues todas tienen debajo los mismos átomos en la misma ordenación geométrica.

Figura 5.1: Cubo.

Figura 5.2: Bipirámide Rómbica.

5.1.1. FORMAS BÁSICAS Y CRISTALINAS 5.1.1.1. PEDIÓN: Forma constituida por una sola cara.

Figura 5.3.Pedión.

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5.1.1.2. PINACOIDE: Forma constituida por dos caras paralelas y opuestas respecto a un centro.

Figura 5.4. Pinacoide.

5.1.1.3. DOMO: Son dos caras no paralelas y simétricas con respecto a un plano.

Figura 5.5. Domo.

5.1.1.4. ESFENOIDE: Dos caras no paralelas simétricas con respecto a un eje de simetría binaria.

Figura 5.6. Esfenoide.

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5.1.1.5. PRISMA: Es una forma compuesta por 3, 4, 6, 8 ó 12 caras, todas ellas paralelas al eje vertical c (o Z) y simétricos con respecto al mismo. Es una forma abierta.

Figura 5.7. Prismas.

5.1.1.6. PIRÁMIDE: Forma compuesta por 3, 4, 6, 8 ó 12 caras no paralelas que se cortan en un punto común (S) o ápice. Es una forma abierta.

Figura 5.8. Pirámide.

5.1.1.7. BIESFENOIDE: Forma cerrada de cuatro caras, en la que dos caras del esfenoide superior alternan con las dos caras del esfenoide inferior. Es una forma cerrada.

Figura 5.9. Biesfenoide.

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5.1.1.8. BIPIRÁMIDE: Forma cerrada de 6, 8, 12 ó 24 caras. Las bipirámides pueden considerarse como formadas por reflexión de una pirámide mediante un plano de simetría horizontal. Es una forma cerrada.

Figura 5.10. Bipirámide.

5.2. GENERACIÓN DE UNA FORMA CRISLATINA Tanto el cubo como el octaedro tienen las mismas constantes cristalográficas y elementos de simetría; veamos entonces, cómo se considera y se han producido dos formas diferentes. El cubo tiene caras cuadradas y teóricamente se han producido o generado por la repetición de una sola cara en función de sus elementos de simetría, hasta obtener las seis caras que lo limitan totalmente. El octaedro, se ha generado por la repetición de otra cara distinta, que obedeciendo a los elementos de simetría ha producido las ocho caras triangulares. La diferencia estriba, si observamos detenidamente, en el tipo de esa cara generatriz o determinante. Para el cubo es una cara pinacoidal, mientras que para el octaedro se trata de una cara piramidal.

Figura 5.11. Generación de formas cristalinas por truncadura. (a)Cubo y dodecaedro. (b)Cubo, octaedro y dodecaedro. (c)Octaedro, cubo y dodecaedro.

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5.3. FORMAS SIMPLES Y FORMAS COMPUESTAS Si una forma puede deducirse de un solo tipo de faz determinante, como el cubo y el octaedro, se les conoce, con la denominación de “FORMAS SENCILLAS” o simples; pero, si al considerar su generación es necesario tener en cuenta dos o más tipos de faz determinante, entonces, la forma producida se llama “FORMA COMBINADA” o compuesta.

Figura 5.12. Formas cristalinas. A- Cubo octaedro (Forma combinada o compuesta) B- Bipirámide tetragonal (Forma Sencilla o simple)

5.4. SISTEMAS CRISTALINOS Son el conjunto de formas que poseen determinado número de elementos de simetría comunes y de la misma naturaleza. La similitud ha permitido el agrupamiento de las 32 clases cristalinas en los siete sistemas cristalinos o singonías. Por consiguiente un sistema difiere de otro, por sus constantes cristalográficas. Todas las redes cristalinas, al igual que los cristales, que son una consecuencia de las redes, presentan elementos de simetría. Si se clasifican según los elementos de simetría que poseen, se obtienen 32 clases de simetría (cada una de las cuales reúne todas las formas cristalinas que poseen los mismos elementos de simetría), y agrupados en 7 sistemas cristalinos, es decir, regular o cubico, tetragonal, rómbico u ortorrómbico, monoclínico, triclínico. Hexagonal y romboédrico o trigonal. Para el estudio de cada sistema se ha adoptado un núcleo cristalino el cual posee los elementos de simetría que sirven para caracterizar al sistema: 107

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El sistema cúbico tiene por núcleo el cubo. El sistema tetragonal tiene por núcleo el prisma recto de base cuadrada. El sistema ortorrómbico tiene por núcleo el prisma recto de base rectangular. El sistema monoclínico tiene por núcleo el prisma unioblícuo de base rectangular. El sistema triclínico tiene por núcleo el prisma bioblícuo de base rectangular. El sistema hexagonal tiene por núcleo el prisma recto de base hexagonal regular. El sistema romboédrico tiene por núcleo el romboedro.

Los elementos de simetría de los sistemas cristalinos, que a veces los nombres de las clases cristalinas toman diferentes nombres de acuerdo al interés de los autores, se enumera en forma general la que utiliza Dana (Tratado de Mineralogía):

I.- Sistema Isométrico (Cúbico o regular): 3L4, 4L3, 6L2, C, 3PP, 6P2. 1.

Clase Normal: Tipo Galena.

2. 3. 4. 5.

Clase Piritoédrica: Tipo Tipo Tetraedrita. Pirita. Clase Tetraédrica: Clase Plagioédrica: Tipo Cuprita. Clase Tetartoédrica: Tipo Ullmanita.

II.- Sistema Tetragonal: 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Clase Normal: Tipo Zircon. Clase Hemimórfica: Tipo Ydosuccinimida. Clase Tripiramidal: Tipo Scheelita. Clase Piramidal Hemimórfica: Tipo Wulfenita. Clase Esfenoédrica: Tipo Calcopirita. Clase Trapezoédrica: Tipo Sulfato de Níquel.

12. Clase Tetartoédrica: Tipo 2CaO. Al2O3, SiO2 artificial. III.- Sistema Hexagonal: a.- División Hexagonal: 13. Clase Normal: Tipo Berilo. 14. Clase Hemimórfica: Tipo Cincita. 15. Clase Tripiramidal: Tipo Apatito. 108

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16. Clase Piramidal Hemimórfica: Tipo Nefelita. 17. Clase Trapezoédrica: Tipo Caurzo “β”. 18. Clase Trigonal: Tipo Benitoíta. 19. Clase Trigonal Tetartoédrica: Tipo Ortofosfato de Plata Doble. b.- División Trigonal o Romboédrica: 3L2, L3, C, 3P2. 20. Clase Romboédrica: Tipo Calcita. 21. Clase Romboédrica Hemimórfica: Tipo Turmalina. 22. Clase Trirromboédrica: Tipo Fenacita. 23. Clase Trapezoédrica: Tipo Cuarzo “α”. 24. Clase Trigonal Tetartoédrica Hemimórfica: Tipo Peryodato de Sodio. IV.- Sistema O rtorrómbico (Rómbico o Prismático): 25. Clase Normal: Tipo Barita. 26. Clase Hemimórfica: Tipo Calamina. 27. Clase Esfenoédrica: Tipo Epsomita.

V.- Sistema M onoclínico (Oblicuo o Monosimétrico): L2, C, P2. 28. Clase Normal: Tipo Yeso. 29. Clase Hemimórfica: Tipo Ácido Tartárico. 30. Clase Clinoédrica: Tipo Clinoedrita.

VI.- Sistema Triclínico (Anórtico): C. 31. Clase Normal: Tipo Axinita. 32. Clase Asimétrica: Tipo Tiosulfato de Calcio

5.5. CLASES CRISTALINAS Son el conjunto de formas que poseen determinado o la totalidad de los elementos de simetría comunes, de tal manera que, atendiendo a los elementos de simetría sólo puede haber 32 tipos o clases de cristales diferentes. Todos los cristales se hallan comprendidos en estas 32 clases que, a su vez, se reagrupan hexagonal, trigonal, rómbico, en sietemonoclínico sistemas cristalinos y triclínico). (cúbico, tetragonal, La diferencia entre el cubo, octaedro y tetraedro (formas cristalinas del sistema cúbico) es por sus elementos de simetría y por sus propiedades físicas. Hoy en día, y debido a las características específicas que presentan cada una de estas agrupaciones, se les toma como unidades en el estudio cristalográfico. 109

Cristalografía de Especies Minerales

5.6. DIVISIÓN DE LAS FORMAS CRISTALINAS Como se comprende, un sistema cristalino abarca dos o más clases de las cuales, la que tiene todos los elementos de simetría del núcleo del sistema o sea la de simetría más elevada, toma el nombre de clase “holoédrica”.

Ahora bien, todas las formas que pertenecen a esta clase se llaman son,ypor tanto, lasson formas superiores de cada formas sistema.holoedrales Ejemplo: el ycubo el lo octaedro, formas holoedrales del sistema cúbico; mientras que el tetraedro es una forma inferior del mismo sistema. Las relaciones que existen entre aquellas y ésta son: El octaedro tienen 8 caras y se considera generado por una faz determinante de tipo piramidal; y el tetraedro igualmente es generado por el mismo tipo de faz determinante pero, en cambio, solo tiene 4 caras. La razón de la diferencia ya la conocemos, “es el diferente número de elementos de simetría”. Sin embargo, es posible establecer ciertas relaciones entre las formas que pertenecen a un mismo sistema cristalino, teniendo en cuenta el número de caras que posee cada forma. El tetraedro tiene la mitad del número de caras que el octaedro y se dice, entonces, que se trata de una forma o hemiédrica la forma inferior ysólo hemiedral posee la cuarta parte del número de; otras carasveces de la forma holoedral se llama tetartoedral o tetartoédrica. Finalmente, puede considerarse que sólo tiene la octava parte y se tratará, entonces, de una forma ogdoédrica. En general, a las formas inferiores, es decir, a las hemiédricas, tetartoédricas y ogdoédricas se les denomina formas meriédricas. Además, existen las formas hemimórficas, cuya comprensión puede realizarse mejor con el siguiente comentario de la bipirámide tetragonal, formada por 8 caras triangulares (triángulos isósceles), ahora bien si nosotros sólo consideramos la pirámide superior limitada por un plano en su parte inferior (base) habremos obtenido así una forma hemimórfica, caracterizada por la presencia de un eje único llamado de hemimorfía. En general, si las caras de la parte superior corresponden a formas diferentes de aquellas de la parte inferior estaremos en presencia de un cristal hemimórfico.

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Figura 5.13. Hemimorfita (Struvita).

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Figura 5.14. Bipirámide tetragonal.

5.7. SUB-DIVISIÓN DE LAS FORMAS HEMIÉDRICAS Estas formas se dividen, a su vez, en:

5.7.1. LAS PARAHEMIÉDRICAS Se distinguen por tener pares de caras paralelas y están caracterizadas por la existencia de planos y centro de simetría. Ejemplo: El piritoedro, se le reconoce fácilmente, por que al ser colocadas sobre una mesa presentan una cara paralela al plano de ella.

Figura 5.15. Piritoedro

5.7.2. LAS ANTIHEMIÉDRICAS Sólo poseen planos de simetría y no tiene caras paralelas. Ejemplo: el tetraedro. Ambas formas son superponibles, es decir, que ocupar los tipos positivo y negativo, pertenecientes a la misma forma, pueden el mismo lugar en el espacio por simples giros de 90º.

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Figura 5.16. Tetraedro.

5.7.3. LAS PLAGIÉDRICAS No pueden superponerse en el espacio por más giros que se efectúen. Es el mismo caso de las manos de una persona que no pueden ocupar el mismo lugar en el espacio pero que, en cambio son simétricas con relación a un plano situado entre ambas manos. Estas formas están caracterizadas por tener todos los ejes de simetría y por ello se les conoce, también, con el nombre de holoaxiales o enantiomorfas, Ejemplo: El giroedro.

Figura 5.17. Cristales enantiomorfos.

5.8. CRISTALES POSITIVOS Y NEGATIVOS Las formas hemiédricas provienen de las holoédricas, por el desarrollo alterno de sus caras. De aquí se deduce, que cada una de estas formas holoedrales puede engendrar dos hemiedros, según desarrolle una u 112

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otra serie de caras alternas. De los dos hemiedros obtenidos, uno se denomina positivo o derecho; el otro negativo o izquierdo, de acuerdo con la notación de sus caras.

Figura 5.18. Formas hemiédricas.

5.9. FORMA TIPO En la forma holoedral de cada sistema se puede considerar a una de sus formas como tipo o generador, de la cual se puede hacer derivar todas las demás, por modificación de algunos de sus elementos geométricos. Estas modificaciones pueden ser por truncadura, biselamiento y apuntamiento, obteniéndose de esta manera las otras 6 formas cristalinas, de las 7 que son propias de cada clase de simetría.

(a)

(b)

(c)

Figura 5.19. Formas tipo. (a)Cubo y dodecaedro. (b)Cubo, octaedro y dodecaedro. (c)Octaedro, cubo y dodecaedro.

5.10. DOMINIO FUNDAMENTAL Es el espacio limitado por elementos de simetría de forma que dentro del espacio no haya ningún elemento de simetría. Este concepto es muy importante puesto que cogiendo un dominio, con siete polos posibles, se puede formar todo el cristal, utilizando un solo polo, lográndose obtener de esta manera los restantes siete distintos. 113

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El dominio fundamental de un cristal es el triedro que tiene su vértice en el centro del cristal, estando limitado por todos los elementos de simetría del mismo y sin tener ninguno en su interior.

Figura 5.20. Dominio fundamental en el cubo.

Figura 5.21. Triedro.

Como puede verse en las figura, el cubo tiene ocho dominios sobre cada cara y como son seis en total, el cubo tiene un máximo de 48 dominios. La forma hemiédrica, tienen 24 dominios; y, la forma tetartoédrica, tienen 12 dominios.

Figura 5.22. Dominio fundamental del Cubo en Proyección Estereográfica.

5.11. NÚMERO DE CARAS DE UNA FORMA CRISTALINA No es lo mismo cara que dominio fundamental. El número de ambos sólo coincide en la forma general. Si queremos hallar el número de caras de una determinada forma cristalina, podemos partir del número de dominios fundamentales característicos del sistema a que corresponde, teniendo además en cuenta la posición del polo en el dominio fundamental y si se trata de una Holoedría o Meroedría.

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5.12. ORIENTACIÓN DEL CRISTAL Orientar un cristal es colocarlo en tal posición ante nosotros que, al observarlo descubrimos fácilmente en él la situación y relación de sus elementos de simetría. Esto lo obtenemos localizando en el cristal sus respectivos ejes cristalográficos. Por lo tanto, la orientación del cristal equivale a orientar sus ejes cristalográficos; los cuales se orientan siempre: 

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El XX´ ( a ) en posición antero-posterior (horizontal). El YY´ ( b ) en posición transversal (horizontal), o sea de derecha a izquierda. El ZZ´ ( c ) en posición vertical.

Figura 5.23. Ejes cristalográficos.

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CAPÍTULO

VI

SISTEMAS CRISTALINOS 6.1. INTRODUCCIÓN La cristalografía es una división fascinante del estudio de la mineralogía. Incluso los no-coleccionistas pueden tener una gran apreciación por los cristales individuales desarrollados y hermosamente simétricos, como aquellos de pirita, de España, y grupos de cristales como el cuarzo de Arkansas o turmalina de California; y pensar que dichos cristales vienen de la Tierra por lo que resulta sorprendente para muchos. La persona no especialista no ha tenido oportunidad de aprender sobre cristales, por que simplemente no se le ha presentado dicha oportunidad. Se espera sensibilizar a los estudiantes de nivel universitario que requieren tener conocimientos de cristalografía para una mayor apreciación de cristales naturales y sus formas, que les será de suma importancia y utilidad durante el ejercicio de su vida profesional. La cristalografía simplemente es una palabra con un significado elegante: “el estudio de cristales". En alguna ocasión la palabra cristal sólo se refirió a cristal de cuarzo, pero en la actualidad ha asumido una definición tan amplia que incluye a todas las formas cristalinas bien expresadas. Pero antes de que se pueda empezar a discutir los sistemas individuales y sus variaciones, se tratarán otros temas para describir los sistemas cristalinos. Hay también algunas leyes y reglas que se deben de aprender. En 1669, Nicolás Steno, médico danés y científico naturalista, descubrió una de estas leyes. Examinando numerosos especímenes del mismo mineral, así encontró que, cuando están a la misma temperatura, los ángulos entre las caras de cristales similares permanecen constantes sin tener en cuenta el tamaño o la forma del cristal. Así, si el cristal creció bajo las condiciones ideales o no, si se comparan los ángulos entre las caras correspondientes en los distintos cristales del mismo mineral, el ángulo permanece constante. Aunque él no supo cuál era la causa (no se habían descubierto los Rayos X todavía, mucho menos inventado la difracción de Rayos X), se sabe ahora, que esto es porque la estructura atómica de cualquier mineral demuestra que la estructura permanece dentro de determinados límites o relaciones geométricas. Si no es así, entonces por la definición moderna de mineral, no se están comparando dos 117

Cristalografía de Especies Minerales

minerales similares. Ya que se podría estar comparando el polimorfo, pero ciertamente no el mismo mineral (polimorfos son minerales con la misma composición química, como el diamante y grafito o esfalerita y wurtzita, pero difiriendo en la estructura atómica y, por consiguiente, cristalizando en sistemas cristalinos diferentes). La ley de Steno se llama ley de constancia de ángulos interfaciales tan válida como las leyes de física y química. Ahora, tiene untener cristalesque no forma encuadra los libros de minerales, lo que sisesepuede una de en cristal deformada dónde algunas caras pueden ser sumamente secundarias o incluso extrañas. Los cristales deformados son comunes y son el resultado de menos espacio para el crecimiento ideal lo que condiciona la fractura o la recristalización del mineral. Sin embargo, recuérdese que se deben comparar los ángulos entre las caras similares. Si las caras no están presentes, entonces no se puede compararlas. En muchos cristales se tratan de una forma final determinada por la relaciones de los enlaces atómicos. Considerando ahora los elementos de simetría, que incluyen, los planos de simetría, ejes de simetría, y centro de simetría. Los elementos de simetría pueden presentarse solos o pueden combinarse en el mismo cristal. De hecho, nosotros encontraremos una clase cristalina o sistemas que tienen sólo uno de estos elementos. Diferentes sistemas de nomenclatura se han usado también para la cristalografía estructural. Sin embargo, para designar las 32 clases de simetría se ha adoptado por acuerdo internacional el sistema de símbolos de Hermann-Mauguin. Dichos símbolos varían de un sistema cristalográfico a otro, y están ideados especialmente de acuerdo con las necesidades de cada sistema particular. Un plano de simetría se designa con la letra “m”, y los diferentes ejes de simetría con los números 1, 2, 3, 4 y 6. Los ejes de rotación-inversión se indican con los mismos números con una tilde (segmento trazado en la parte superior del número), es decir, 1, 2, 3 etc. La combinación de un plano normal de simetría con un eje de simetría se designa por un número y la letra m. tal como: 2/m, 3/m. Tomado de Krauss: Sobre Denominaciones de Símbolos Cristalográficos. Es importante considerar que en el Tratado de Mineralogía de Edward S. Dana – William E. Ford, se señala que la relación axial es el punto esencial en el caso de cada forma cristalina, y que las longitudes reales de los ejes no tiene importancia, no siendo necesario que las caras de las distintas formas de un cristal sean referidas a las mismas longitudes reales de los ejes cristalográficos. 118

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6.2. SISTEMA CÚBICO O ISOMÉTRICO El sistema isométrico tiene 15 formas, todas cerradas, más que ningún otro sistema de los que se examinarán en sesiones de prácticas. Cuando se construyó la cruz axial, los tres ejes cristalográficos tienen la misma longitud y se cruzan en ángulos rectos entre sí. A los ejes se les denomina a 1, a2, y a 3. Es necesario recordar que a3 es vertical, a2 es horizontal (transverso), y a1 es frontal al observador (antero-posterior). Las formas cristalinas de más alto grado de simetría son las del sistema isométrico. Ningún sistema cristalino se aproxima al grado de simetría de la esfera, pero es rápidamente reconocible puesto que algunas de sus formas y combinaciones de formas se aproximan a la esfericidad, especialmente cuando las caras son curvadas, debido al alto grado de simetría en el sistema isométrico. Observando la notación de Hermann-Mauguin para las primeras siete formas isométricas, tenemos, que cada forma tiene la siguiente notación:

Cuadro 6.2.1 Formas cristalinas isométricas Cubo Dodecaedro Trapezoedro Hexaoctaedro Octaedro Tetrahexaedro Trisoctaedro

Notación de HermannMauguin {001} {011} {hhl} {hkl} {111} {0kl} {hll}

Para estas formas, los tres ejes cristalográficos son ejes cuaternarios (de rotación). Este también tiene cuatro ejes diagonales ternarios de roto-inversión que pasan a través del sólido en el punto en donde se intersecan las tresbinarios caras (vértice). Sin embargo, hay 6formada direcciones ejes de simetría (en el centro de la línea por de la intersección de dos planos). Existe también un centro de simetría. Hay 9 planos de simetría. Dicha combinación de elementos de simetría define la más alta simetría posible en los cristales. Como 4/m,3, 2/m. Según la notación de Hermann-Mauguin, se pronuncia como 3 119

Cristalografía de Especies Minerales

negativo o 3 barra la notación para el eje ternario de roto-inversión. Se puede utilizar el signo negativo donde considere necesario. Los mismos criterios que se utilizan en la notación para los índices de Miller, se utilizan para las notaciones de las formas generales.

6.2.1. Cubo.- El cubo está compuesto de 6 caras cuadradas formando ángulos de 90º entre ellos, cada cara interseca a cada uno de los ejes cristalográficos (Fig.6.1). Esta forma, {001}, es una de las más fáciles a reconocer y muchos minerales presentan, veces con pequeñas modificaciones, ejemplo como lalogalena, pirita,a fluorita, perovskita, o cubos de halita.

Figura 6.1. Índices de Miller de un cubo.

6.2.2. Octaedro.- El octaedro es una forma compuesta de 8 triángulos equiláteros. Dichas caras triangulares intersecan a los tres ejes cristalográficos a la misma distancia, su forma de notación de {111} es simple y sencillo (Fig. 6.2). Los minerales comúnmente exhiben la misma forma octaédrica simple como es el caso de la magnetita, cromita, franklinita, espinela, pirocloro, cuprita, oro, y diamante. En ocasiones la fluorita, pirita y galena toman esta forma.

Figura 6.2. Octaedro.

6.2.3. Tetraedro.- El tetraedro es un sólido de cuatro caras, limitado por planos (caras) que encuentran los ejes a distancias iguales. Su 120

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Figura 6.3. Tetraedro Positivo-Negativo

6.2.4. Dodecaedro.- Denominado también como rombododecaedro, es una forma compuesta por doce caras con forma de rombo. Cada cara corta a dos de los ejes cristalográficos a igual distancia y es paralela al tercero. Debe tenerse en cuenta que las caras de un dodecaedro truncan las aristas tanto del cubo como del octaedro. 6.2.5. Tetrahexaedro.- Es una forma integrada por veinticuatro caras triangulares isósceles, cada una de las cuales corta a un eje a la distancia unidad y al segundo en algún múltiplo, y es paralela al tercero. Existen numerosos tetrahexaedros que difieren uno de otros solamente por la inclinación de sus caras. El tetrahexaedro más común es (012). Los índices de las otras formas son (013), (014), (023), etc., o en general (0kl). Será de mucha ayuda tener en cuenta que el tetrahexaedro, como indica su nombre, es como un cubo, cada una de cuyas caras ha sido reemplazada por otras cuatro.

6.2.6. Trapezoedro.- Es una forma integrada por veinticuatro caras de forma trapezoidal, cada una de las cuales corta a uno de los ejes cristalográficos a distancia unidad, y a los otros dos a distancias múltiples. Existen varios trapezoedros cuyas caras poseen diferentes ángulos de inclinación, pero el más corriente es (112). 6.2.7. Trioctaedro.- Esta forma se compone de veinticuatro caras triángulos isósceles, cada una de las cuales corta a dos de los ejes cristalográficos a distancia unidad y al tercero a distancia múltiplo. Existen varios trioctaedros, cuyas caras poseen diferentes 121

Cristalografía de Especies Minerales

inclinaciones, pero la más común es la (211); los índices de la forma general es (hll).

6.2.8. Hexaoctaedro.- Se compone de cuarenta y ocho caras triangulares, cada una de las cuales corta a los tres ejes cristalográficos a diferentes distancias. Existen varios hexaoctaedros que poseen diversas relaciones de intersecciones axiales. Un hexaoctaedro corriente tiene los índices (123). Otros hexaoctaedro tienen los índices (124), (135), etc., o en general (hkl). Las formas cristalinas del sistema cúbico o isométrico descritas brevemente (cuyas figuras no están insertadas), serán identificadas, según sus características, en sesiones de prácticas (gabinete de Cristalografía).

6.2.9. Características de los cristales isométricos.- Los cristales desarrollados simétricamente son equidimensionales en las tres direcciones de los ejes cristalográficos. Estas tres direcciones en los cristales de la clase hexaoctaédrica son ejes de simetría cuaternaria; en las otras clases son ejes de simetría binaria. Los cuatro ejes de simetría ternaria son comunes a todas las clases del sistema cúbico. Corrientemente los cristales presentan caras que son cuadradas o triángulos equiláteros. Están caracterizados por el gran número de caras similares. Por considerarse de importancia se indican algunos de los ángulos interfaciales del sistema isométrico o cúbico que pueden ayudar a reconocer las formas más corrientes. Cubo (100) cubo (010) = 90º 00' O c t a edro (111) octaedro (111) =70º 32' Dodecaedro (011) dodecaedro (101) = 60º 00' Cubo (100) octaedro (111) = 54º 44' Cubo (100) dodecaedro (110) = 45º 00' Octaedro (111) dodecaedro (110) = 35º 16'

6.3. SISTEMA TETRAGONAL Para comenzar el análisis del sistema tetragonal se examinará primero la cruz axial comparándola con la cruz axial Isométrico, recordando que en el sistema isométrico, los 3 ejes tienen la misma longitud y son perpendiculares entre sí. En el sistema tetragonal, se conserva la misma relación angular, pero varía la longitud del eje vertical, pudiendo ser más largo (Fig.6.4) o más corto (Fig.6.5) que los otros dos. Se 122

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puede ver que el eje “c” es vertical, conservando la misma orientación positiva o negativa de este eje. Tiene un plano principal de simetría, el plano de los ejes cristalográficos horizontales. También tienen cuatro planos verticales de simetría que pasan a través del eje cristalográfico vertical c y forman ángulos de 45º unos con otros. Dos de estos últimos planos, incluyen los ejes cristalográficos horizontales y se conocen como planos axiales de simetría. Los otros dos, se conocen como planos diagonales de simetría.

Figura 6.4. Eje Vertical “c” más largo.

Figura 6.5. Eje Vertical “c” más corto.

Como la notación de Hermann-Mauguin para el sistema tetragonal, la primera parte de la notación (4 ó 4) se refiere al eje c y la segunda o la tercera se refieren a el eje 1 y 2 y son elementos de simetría diagonales en ese orden. El prisma tetragonal y las formas piramidales tienen una notación simétrica 4/m2/m2/m. Hoy por hoy la notación 4/m2/m2/m de Hermann-Mauguin equivale a la notación simbolizada por Primero se considerarán los prismas tetragonales. Hay tres formas abiertas que consisten de 1er6.6c). orden orden (Fig. 6.6b) prismas ditetragonales (Fig. De(Fig. aquí6.6a), surge2do la pregunta, ¿por quéy no hay formas cerradas?, y la respuesta es simple: porque no hay formas cerradas, en las figuras a manejar, se añade una terminación pinacoidal simple denominada “basal”, y la forma pinacoidal interseca sólo al eje c, y según los índices de Miller, se denomina {001}. Esta es una forma abierta simple. 123

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(a)

(b)

(c)

Figura 6.6. Prismas tetragonales + pinacoides basales. (a) caras del cristal que cortan en el tramo positivo del eje antero-posterior. (b) se resaltan caras del cristal que cortan en los tramos positivos de los ejes cristalográficos.

(c) cristal con aristas verticales truncadas, caras “m”.

6.3.1. Base o pinacoide basal.- Es aquella forma que incluye las dos caras similares que son paralelas al plano de los ejes horizontales. Estas caras tienen los índices (001) y (00 1). El prisma de primer orden es una forma que tiene 4 caras, que son paralelas al eje vertical “c” e intersecan a los ejes a l y a2 a la misma distancia (unidad). Estas caras son designadas con índices de Miller en la Fig. 6.6a y por m en Fig. 6.6c, y el símbolo de la forma es {110}. El prisma de segundo orden es esencialmente idéntico al prisma de primer orden, incluye las 4 caras que son paralelas a la vez al eje vertical “c” y a uno horizontal, siendo así perpendicular al otro eje horizontal. Las caras del prisma de segundo orden se denominan como “a” y el símbolo de su forma es {100}. Es claro que las caras de ambos prismas son idénticas, y su designación de la letra sólo depende de cómo ellos se orienten a los dos ejes “a”. Cuando esas formas están combinadas (Fig. 6.6c), entonces se pueden observar rápidamente sus relaciones una a una. Si cada forma está igualmente desarrollada el resultado es un prisma de ocho lados. En esta instancia se debe recordar que la forma aparente de prisma de 8 lados es la combinación de dos formas distintas. La tercera forma del prisma es el prisma ditetragonal (Fig. 6.7), la forma común es {210}. Ésta puede ser fácilmente confundible con la forma combinada del prisma de primer y segundo orden, sobre todo si están igualmente desarrolladas. Pero vale la pena hacer una comparación de la orientación del prisma ditetragonal en los ejes “a” en relación a las formas combinadas. Se debe mirar hacia abajo al eje de 124

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“c” del prisma ditetragonal (Fig.6.7) y los combinamos con los prismas tetragonales de 1er. y 2do. orden entonces se observará la similitud. Está limitado por ocho caras similares, cada una de las cuales es paralela al eje vertical mientras que encuentra a los dos ejes horizontales a distancias desiguales. Tiene la forma general (hkO).

Figura 6.7. Prisma ditetragonal.

Otra forma del sistema tetragonal es la bipirámide tetragonal y, hay tres tipos de pirámides. Ellas corresponden a los tres tipos de prismas que se acaban de describir. El nombre bipirámide está dado por una forma cerrada cuyos planos intersecan a los 3 ejes.

Figura 6.8. Bipirámide de 1er Orden.

Figura 6.9. Bipirámide de 2do. Orden.

Se puede observar en esta forma, que al eje “c” corta a una longitud diferente que a los ejes “a”. Es así que puede cortar a una distancia más larga o más corta a lo largo del eje “c” que la longitud de los ejes “a”. Note la orientación a la cruz axial (Fig.6.8), la forma más común 125

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{112} de la bipirámide de primer orden. La bipirámide de segundo orden tiene la forma básica como la forma de la bipirámide de primer orden, difiriendo solamente en su orientación en la cruz axial (Fig.6.9), la forma más común {012}. El circón es un mineral maravilloso para observar las caras de la bipirámide tetragonal y del prisma tetragonal. De hecho, causa gran admiración la variación de la longitud del eje “c” en cristales del circón de lasydiferentes localidades. El circón puede variaraciculares desde una forma corta gruesa, cristales equidimensionales a casi y puede tener las mismas formas básicas. Así, es necesario observar la forma cristalina en la figura 6.10 para comprender la variedad de formas que pueden producirse con tetragonales simples.

Figura 6.10. Forma cristalina compuesta.

Ahora la forma de tercer orden bipiramidal, la bipirámide ditetragonal. Esta es una forma con terminación cerrada que tiene 16 caras. Esta forma tiene una doble pirámide de 8 lados por lado de donde las 16 caras similares cortan a los 3 ejes a distancias desiguales. El símbolo general es {hkl}. El prisma ditetragonal está combinado con el prisma de primer orden

6.3.2. Relaciones axiales tetragonales.- La relación axial de un cristal tetragonal se expresa como a : c, tomando como unidad la longitud de los dos ejes a iguales. Se calcula a partir de los ángulos φ y ρ deducidos de los ángulos interfaciales, por la fórmula general: c= tan ρ cos φ, en donde k y l son los índices de Miller.

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Los cristales tetragonales se orientan de tal manera que el (010), perpendicular a a2, tenga φ = 0º. Así, para formas de segundo orden, {Okl}, cos φ = 1 y la fórmula se reduce a: c = (l/k) tan ρ. Respecto a la trigonometría implicada, consideremos el cálculo de c partiendo de las medidas angulares de la cara (021) (fig. 6.11a y 6.11b). Tan P021 = CO/OA, CO = 2c, AO = a = 1. Luego, c = tan P021/2. Para la unidad {011}, c = tan ρ.

Figura 6.11. Relaciones angulares de un cristal tetragonal.

6.4. SISTEMA ORTORRÓMBICO Se inicia esta vez examinando la cruz axial para el sistema ortorrómbico, el Sistema Tetragonal tiene la “a” y “b” de la misma longitud (a1 y a2) pero varía la longitud del eje de “c”. En el Sistema Ortorrómbico, las relaciones angulares son de 90 grados entre los 3 ejes, pero varía la longitud de cada eje individual. Los 3 ejes deben ser desiguales en longitud (a, b, c). Cualquiera de los ejes puede tomarse como el eje vertical, c. De los dos horizontales, el más largo se toma siempre como el b o macroeje y cuando se orienta, queda paralelo al observador. El a o braquieje es el más corto de los dos ejes horizontales y es perpendicular al observador. La longitud del eje b se toma como unidad y las longitudes de los otros ejes se expresan en términos de ella. La relación axial para la baritina, por ejemplo, es a:b:c = 0.815:1.00:1.31 En la cruz axial (Fig. 6.12), por conveniencia se orienta cualquier cristal de este sistema de tal modo que la longitud de “c” sea mayor que la longitud de “a”, que, por otra parte, es menor que la longitud del eje “b”. Se encontrará comúnmente esto en libros de textos como “c>a k o de k > h. El macroprisma tiene el símbolo general {h0l} y un braquiprisma tiene el símbolo general de {hk0}.

a: Macro- Braqui y Pinacoides Basales.

b: Prisma y Pinacoides Basales.

Figura 6.15. Macroprisma-Braquiprisma.

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Cristalografía de Especies Minerales

La bipirámide rómbica es la forma típica de esta clase de la simetría. Se simboliza por la forma general {hkl} y consiste en 8 caras triangulares (isósceles), cada uno de las cuales intersecan los 3 ejes cristalográficos. Esta pirámide puede tener varios aspectos debido a la variabilidad de las longitudes axiales (Fig. 6.16 a, b).

a. Bipirámide Rómbica (Pirámide Unidad) {111}

b. Bipirámide Rómbica

Figura 6.16. Bipirámides rómbicas.

Se considera que son pocas las formas que tienen la simetría mm2 (llamada pirámide rómbica). El eje de rotación binario corresponde al eje cristalográfico “c” y los 2 planos (perpendiculares uno al otro) se intersecan a través de este eje “c”, debido al hecho de que no existe ningún plano horizontal, las formas en la parte superior y el fondo del cristal son diferentes. También, debido a la carencia del plano horizontal del espejo, no existe ningún prisma, sino que por el contrario tenemos 2 domos en lugar de cada uno de los prismas (un domo que consiste en 2 caras que se intersecan, pero no tienen ninguna cara paralela correspondiente en el otro extremo del cristal). Elementos de simetría actualizados: E2P, P', P''.

Figura 6.17. Pirámide Rómbica.

Y ahora se cita a la clase (y el más bajo) de la simetría del sistema ortorrómbico, el biesfenoide rómbico. La forma también se ha llamado como tetraedro rómbico. Tiene la notación 222, cuya simetría es de 3 ejes de rotación (binario) que corresponden a los 3 ejes cristalográficos. Las formas son, sin embargo, enantiomórficas, es 130

Cristalografía de Especies Minerales

decir presente tanto a la derecha como a la izquierda (Fig.6.18). Estas formas cerradas consisten en 2 caras triangulares superiores que se alternan con 2 caras triangulares inferiores, el par de caras superiores son compensadas 90º con relación al par de caras inferiores.

Figura 6.18. Biesfenoide rómbico, Izquierdo y Derecho.

6.5. SISTEMA MONOCLÍNICO Otro de los sistemas de 3 ejes cristalográficos, considerando la cruz axial, (ejes a, b, c), cada uno de longitud desigual, del sistema monoclínico (Fig. 6.19), se tiene 3 ejes de longitud desiguales y se cambia el ángulo de 90°de dos de sus ejes. Los ejes se designan como sigue: el eje inclinado (clinoeje) es “a” y se dirige al espectador, el eje vertical es “c”, y el eje restante que es perpendicular al plano que contiene al eje a y c es “b” (ortoeje). Cuando se orienta, eje binclinado observador, vertical. Loselejes y c estánhacia en unelmismo plano. b está horizontal y c es

Figura 6.19. Cruz Axial del sistema monoclínico.

En la Figura 6.19, el ángulo entre c y b sigue siendo de 90° y el ángulo entre c y a es el que se cambiará. Se le Llamará β y se representa por la letra griega en la figura axial. Para la mayoría de los cristales del sistema monoclínico, el ángulo es mayor(116º). Los ejes de 132

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rotación binarios (en dirección perpendicular al plan o de simetría) normalmente se toman como el eje b. Un eje está inclinado hacia el frente en la mencionada figura. Los cálculos de parámetros axiales en los sistemas cristalinos ortogonales (donde todos los ejes son perpendiculares al observador) son relativamente fáciles, pero es bastante tedioso en los sistemas con uno o más ejes inclinados. El clivaje es importante a considerar en este sistema. Si hay un buen clivaje pinacoidal, llama clivaje basal. paralelo al eje b (como en la ortoclasa), entonces se Hay solo 3 clases de simetría a considerar en el Sistema Monoclínico: 2/m, m, y 2. En la clase de simetría 2/m, sin embargo, hay 2 tipos de formas, pinacoides y prismas. El pinacoide “a” también se llama frontal (ortopinacoide), el “b” se llama el pinacoide lateral (clinopinacoide), y el “c” es el denominado pinacoide basal. Hay 2 pinacoides adicionales con las anotaciones de la forma general de {h0l} y {h0l }. Los 3 pinacoide juntos forman el prisma diametral que es el análogo del cubo en el sistema isométrico, de hecho la nueva denominación de los libros de texto, confunden; los pinacoides forman un paraleloedro. Así que tenemos 3 nombres en la literatura mineralógica para la misma cosa, como son: ortopinacoide (100), clinopinacoide (010), y, pinacoide básico (001). En la Fig.6.20 se muestran: a, pinacoides orto, clino y básico; b, prisma y pinacoide básico; y, c, ortodomos y clinopinacoide.

Figura 6.20. Pinacoides orto, clino y básico.

En la figura 6.21, se muestra la ubicación del plano de simetría y la orientación de los ejes binarios (2). El eje de b es uno de los 3 ejes de rotación. 133

Cristalografía de Especies Minerales

2/m, equivale a: E2, P

Figura 6.21. Ubicación del eje y plano de simetría.

Los prismas con 4 caras tienen la forma general { h k l }. Un prisma monoclínico se muestra en la figura 6.22. La forma general puede ocurrir como dos prismas independientres { 0 k l } y { h k l}. Hay también los prismas { 0 k l } y { h k l }. El { 0 k l } el prisma corta el b y el c, es paralelo al eje a.

Figura 6.22. Prisma monoclínico.

Figura 6.23. Plano de simetría.

Aquí la única forma en la clase 2/m que es fijo haciendo coincidir el eje binario de rotación con el eje b es el pinacoide b {010}. El otro eje binario pueden escogerse como c ó a. La segunda clase de simetría del sistema monoclínico es “m” y representa solo un eje del plano vertical (010) eso incluye el “c” y un eje cristalográfico. Un domo es la forma general {hkl} en esta clase (Fig. 6.23) y es una figura de 2 caras que es simétrico por un plano de simetría. La tercera clase de simetría del sistema monoclínico 2 y representa un eje binario de rotación que coincide con el eje cristalográfico b. La figura 6.24 representa a la forma general {hkl} que es un esfenoide o 134

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diedro. Puesto que no se tiene ningún plano de simetría que coincida con los ejes a-c con el eje b que es polar, en la base de simetría binaria, se tiene diferentes formas presentes en las partes opuestas de b que es polar.

Figura 6.24. Esfenoide monoclínico.

La forma general, el esfenoide, es enantiomórfico y tiene los índices de Miller {hkl} y {hkl}. Los minerales representativos son escasos en esta clase, pero incluye el grupo de halotrictita (halotriquita) junto con el mineral pickeringita como el miembro que más ocurre.

6.6. SISTEMA TRICLÍNICO Observando la cruz axial del sistema triclínico, se ve que los 3 ejes (a, b, c) son desiguales en longitud y no hay ángulos axiales de 90º. En el sistema monoclínico, por lo menos se tenían a y b perpendicularmente, pero en este sistema cristalino no se presenta ningún ángulo recto. En la figura 6.25, se observa que el ángulo “β” todavía está entre los

Ejes “a” y “c”, pero ahora se tienen los ángulos adicionales a definir, ni uno ni otro son iguales a 90º.Un ángulo se llama “ ” y se define como el ángulo entre los ejes “c” y “b”, el segundo es “ ” que ahora se define como el ángulo entre a y b, existen algunas convenciones o reglas validadas a seguir para orientar un cristal triclínico.

Figura 6.25. Cruz Axial del sistema triclínico.

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Cristalografía de Especies Minerales

Recordando que, en la orientación de cualquier cristal, se está determinando la posición de los 3 ejes cristalográficos. Así pues, las reglas son: 1) la zona más pronunciada debe ser vertical y por lo tanto el eje en esta zona se convierte en c; 2) {los 001} forma (pinacoide básico) deben inclinarse adelante y a la derecha; y. 3) las dos formas selectas en la zona vertical, una será {100} y la otra será {010}. Ahora, la dirección de un eje es determinada por la intersección de {101} y {001} y la dirección del eje de b es determinada por la intersección de {100} y {001}. Una vez que se haga esto, un eje debe ser más corto que el eje b de modo que se cumpla la convención c < a < b. Las distancias axiales y los 3 ángulos, α, β, γ se puede calcular solamente con dificultad considerable. Como en el sistema monoclínico, la longitud del eje b se define como unidad (1). La información de la cristalografía referente a un mineral triclínico, por ejemplo, incluirá lo siguiente: a : b : c = 0.972: 1 : 0.778; α = 102 grados 41 minutos,

= 98 grados 09 minutos, = 88 grados 08 minutos. En el sistema triclínico, se tiene 2 clases de la simetría: pinacoide y pedial. El primero a considerar es el 1 (notación de HermannMauguin). En esta clase, hay un eje de la simetría, el equivalente de un centro de la simetría o de inversión. La figura 6.26, muestra un pinacoide triclínico (o paraleloedro). Esta clase se llama la clase pinacoidal después de su forma general {hkl}. Todas las formas pinacoide presentes, por lo tanto, consiste en caras paralelas e idénticas

Figura 6.26. Pinacoide triclínico.

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Cuando se orienta un cristal triclínico, los índices de Miller del pinacoide determinan su posición. Hay 3 pinacoides. Recuérdese que los pinacoides para intersecar un eje y 1 ser paralelos a los otros 2 (en sistemas de 3 ejes), se comienza mirando la simetría 1, éste es el eje de la rotoinversión, que se puede ver igual que un centro de simetría. La figura 6.27 muestra un pinacoide triclínico, también llamado un paraleloedro. Esta clase se le denomina clase pinacoidal, debido a su forma {hkl}. Con la simetría 1, todas las formas son pinacoides así que consisten en 2 caras paralelas idénticas. Una vez que se orienta un cristal triclínico, los índices de Miller del pinacoide establecen su posición.

Figura 6.27. Pinacoides triclínicos o paraleloedros

La forma pedión no posee simetría respecto a un plano, ni eje, ni centro; en sus formas dadas sólo tiene una cara. Esta clase encuentra ejemplos entre numerosas sales artificiales (Fig. 6.28).

Figura 6.28. Clase pedión

6.7. SISTEMA HEXAGONAL Ahora, se analizará el único sistema cristalino que posee 4 ejes cristalográficos. Encontramos que los índices de Miller realmente deben ser los índices de Bravais, pero comúnmente quizá por falta de costumbre, todavía se les llama índices de Miller. Como hay 4 ejes, hay 4 letras o números en la notación. 137

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Las formas del Sistema Hexagonal están definidas por las relaciones de la cruz axial. Los ejes hexagonales (Fig.6.29) consisten en 4 ejes, 3 de la misma longitud y en el mismo plano, los cuales fueron propuestos por Bravais. Estos 3 ejes, denominados a 1, a2, a3 tienen una relación angular de 120º (entre los extremos positivos). En ángulo recto (ángulo normal según las matemáticas) se encuentran el eje “c” cuya longitud puede variar. Todos los cristales el sistema Hexagonal se orientan por el extremo negativo del eje aen 3 que se considera que es 0º para propósitos de ploteo. Esto es importante cuando se mira la distribución de las formas del romboedro y determinan si ellos son positivos o negativos.

Figura 6.29. Cruz Axial del Sistema Hexagonal

Es importante a su vez, notar la orientación de los 4 ejes y sus extremos positivo y negativo. Si se observa verticalmente (desde la parte superior del eje c), los ejes dividen un círculo en 6 partes de igual proporción y la notación axial se lee (iniciando con un +) como +,-; +,-; +,-. Los extremos se alternan positivos y negativos. Nombrando los índices de cualquier cara, con cuatro números hkil (símbolos de Bravais) que deben darse necesariamente. En la notación de simetría de Hermann - Mauguin, el primer número se refiere al eje principal de simetría que es coincidente con “c” en este caso. El segundo y tercero símbolo, si se presentan, se refieren a los elementos de simetría paralelos a los ejes cristalográficos a1, a2, a3 y normales al eje cristalográfico “c”. Basado en cuanto a su simetría, se dice que el Sistema Hexagonal presenta dos divisiones fundamentales. Existen 5 posibles clases, todos los que contienen ejes de simetría senaria, en la división Hexagonal y 7 posibles clases, todos los que contienen ejes ternarios, 138

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en la división Trigonal. El símbolo general usado para cualquier forma en el Sistema Hexagonal es {hkil}. Miller (1852) refirió todas las formas del sistema hexagonal a tres ejes iguales paralelos a las caras del romboedro fundamental, y por lo tanto cortándose en ángulos iguales, no de 90º, sino de 120º. Más natural es emplear los tres ejes romboédricos sólo para las formas trigonales, como lo hizo Groth (1905), que incluyó estos grupos en el Sistema Trigonal. Los se índices comúnmente paraMiller-Bravais, describir las ya formas hexagonales conocen como los usados índices de que fueron adoptados por Bravais para usarlos como cuatro ejes del esquema empleado por Miller en los otros sistemas cristalinos. Cuando está orientado correctamente, uno de los ejes horizontales (a2) es paralelo al observador y los otros dos forman ángulos de 30º a cada lado de las líneas perpendiculares a él. El eje de la izquierda se toma como a1, el de la derecha como a3. Los extremos positivos y negativos de los ejes se ven en la figura 6.29.

Relaciones axiales en el sistema hexagonal.- Los cristales del sistema hexagonal, de modo excepcional, se orientan de manera tal que (0110) esté a la derecha con φ =como 0º 00'.φEn el sistema hexagonal, el extremo negativo ejeformas a3 se toma = 0º. De0º, acuerdo conque esta conveniencia, el φdel de las de segundo orden es mientras para las formas de primer orden es 30º. Para determinar una relación axial de un cristal, deben darse primero los índices de las formas, y sus ángulos φ y ρ determinados. muchos cristales φy ρ pueden medirse directamente como ángulosEn interfaciales. Una relación axial en el sistema hexagonal expresa la longitud de c en términos de a como unidad, o bin a : c = 1 : ?. Para facilitar los cálculos el eje –a3 se toma como unidad, puesto que está en la posición de φ = 0. El recíproco de la intersección en este eje es i = - (h + k). La fórmula para determinar c a partir de los ángulos de la forma general es:

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Cristalografía de Especies Minerales

Si se usa una forma de segundo orden, φ = 0º, y cos = 1; luego cos φ desaparece de la ecuación, y queda:

Figura 6.30. Formas hexagonales de primero y segundo orden.

6.7.1. División Hexagonal La primera clase de la división Hexagonal, la Normal o la clase Bipiramidal Dihexagonal tiene un eje de simetría senario que coincide con el eje cristalográfico “c” o eje vertical. También tiene 6 ejes binarios horizontales, 3 que corresponden a los 3 ejes cristalográficos horizontales y 3 que bisecan a los ángulos entre los ejes. La notación de Hermann - Mauguin es 6/m2/m2/m. En las figuras 6.31a y 6.31b se muestran los elementos de simetría de esta clase (ejes y planos). 140

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Figura 6.31. a) Ejes de simetría. b) Planos de simetría

Formas simples de la División Hexagonal

Figura 6.32. Prismas hexagonales. A- Prisma hexagonal de primer orden y Pinacoide Basal B- Prisma hexagonal de segundo orden y Pinacoide Basal

Las dos caras de la base, o el pinacoide basal, son normal al eje “c” y al observador. Sus índices del Miller son (0001) y (0001). Los prismas del primer y segundo orden no pueden distinguirse entre sí, cuando cada uno aparece como un prisma hexagonal regular con un ángulo interfacial de 60º, pero cuando se observa hacia abajo el eje “c”, como en la figura 6.34, las relaciones de las dos formas y los ejes “a” son rápidamente visualizadas. El prisma de primer orden (Fig.6.32A) incluye seis caras, cada una de las cuales es paralela al eje vertical el cual encuentra a dos ejes horizontales adyacentes a iguales distancias, mientras que es paralelo al tercer eje horizontal. El símbolo general es (101 0).

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Cristalografía de Especies Minerales

El prisma de segundo orden (Fig.6.32B) tiene seis caras, cada una de las cuales es paralela al eje vertical, el cual encuentra a los tres ejes horizontales, dos ejes alternados a la distancia unidad y los ejes intermedio a la mitad de la distancia. El símbolo general es (1120) y se designa invariablemente con la letra a.

A

B

Figura 6.33. Bipirámides hexagonales de primer y segundo orden.

Figura 6.34. Bipirámides hexagonales vistas desde la base superior.

El hexágono inscrito corresponde a la bipirámide hexagonal primer orden. El hexágono circunscrito corresponde a la bipirámide hexagonal de segundo orden. En la figura 6.35, que es la clase Hemimórfica (pirámide dihexagonal), difiere de las clases ya vistas anteriormente en que no tiene ningún plano horizontal de simetría (plano normal al eje c) y ningún eje horizontal de simetría. No presenta centro de simetría. Por consiguiente, la notación de Hermann-Mauguin es 6mm (equivalente a E6P, P', P''). El plano basal es un pedión (una sola cara).

Figura 6.35. Pirámide dihexagonal + pedión.

En la clase Trapezoedro Hexagonal, los ejes de simetría está igual que la clase normal (bipirámide dihexagonal), pero los planos de simetría y 142

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el centro de simetría no están presentes. La notación de HermannMauguin es 622. Dos formas enantiomórficas (la imagen espejo) están presentes, cada uno presenta 12 caras trapezoidales (Fig. 6.36)

Figura 6.36.Trapezoedros hexagonales.

La clase Bipirámide Hexagonal (Fig. 6.37) tiene sólo un eje vertical de rotación y un plano de simetría perpendicular a él. La notación de Hermann-Mauguin es 6/m. Cuando esta forma se presenta sola, parece poseer la simetría más alta. Sin embargo, en la combinación con otras formas revela su baja simetría. Las formas generales de esta clase son las bipirámides hexagonales positivas Estasenformas poseen 12 caras, 6 superiores y6 inferiores,y ynegativas. corresponden posición a la mitad de las caras de una bipirámide dihexagonal.

Figura 6.37. Bipirámide hexagonal.

En la clase Pirámide Hexagonal, el eje vertical es un eje senario polar (E6p). Ninguna otra simetría está presente en este sistema. La figura 6.38 es la pirámide hexagonal. Las formas de esta clase son similares a aquellas de la Bipirámide Hexagonal, pero que en ésta no se presenta ningún plano de simetría horizontal. 143

Cristalografía de Especies Minerales

Figura 6.38.Pirámide hexagonal + pedión.

6.7.2. División Trigonal En la División Trigonal del Sistema Hexagonal, se observa que la simetría ternaría gobierna en esta división. Hay que recordar que los prismas son formas abiertas. En la división trigonal hay dos juegos distintos de prismas que están involucrados. El primero se llama el prisma trigonal y consiste en caras de igual tamaño, las cuales son paralelas al eje cristalográfico “c” y forma un prisma de 3 lados iguales. Se puede pensar en la División Trigonal como la mitad de las caras del de prisma hexagonal de primer orden. Existe un prisma de segundo orden y que da la apariencia general del de primer orden, pero cuando otras formas trigonales están presentes en la terminación de otra manera que el pinacoide “c”, los dos prismas pueden distinguirse de otro. El prisma de segundo orden se gira 60º sobre el rápidamente, eje“c” cuandouno se compara con el prisma de primer orden. El segundo prisma es el ditrigonal, y es una forma abierta. Esta forma consiste en 6 caras verticales (paralelas al eje c) arregladas en conjuntos de 2 caras. Los diferentes ángulos entre los 3 conjuntos de caras, distinguen esta cara del prisma hexagonal de primer orden. Las estriaciones en las caras verticales, tal como en la figura 6.39, son típicas para los cristales trigonales naturales, como en la turmalina.

Figura 6.39. Cristal de turmalina.

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En la clase Escalenoédrica ditrigonal, lo primero en considerar es la simetría 3 2/m en la notación de Hermann-Mauguin. Hay dos formas principales en esta clase: el romboedro (Fig.6.40) y el escalenoedro hexagonal (Fig.6.41), forma cristalina que realmente corresponde al escalenoedro ditrigonal (holoédrica). En esta clase, el eje ternario de rotación es coincidente con el eje vertical y los tres ejes binarios corresponden a los tres ejes horizontales (a1, a2, a3)

Figura 6.40. Romboedros con ejes y planos de simetría.

Figura 6.41: Escalenoedro hexagonal.

En un escalenoedro, cada una de las caras del romboedro se convierte en 2 triángulos escalenos dividiendo el romboedro de las esquinas por una línea. Sin embargo, se encuentran 6 caras en la parte superior y 6 caras en la parte inferior. El escalenoedro que es una forma de 12 caras, se ilustra en la figura 6.41. En la figura 6.42, se pueden observar las formas positivo {1 0 1 1} y negativo {0 1 1 1} para el romboedro. La calcita es la más común, bien cristalizada, y mineral coleccionable en estas formas.

Figura 6.42. Romboedro positivo y negativo.

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Cristalografía de Especies Minerales

Figura 6.43. Escalenoedro positivo y negativo.

La clase de cristal a considerar, a continuación, es la Pirámide Ditrigonal. El eje vertical es un eje ternario de rotación y tres planos de simetría que cortan este eje. La notación Hermann-Mauguin es 3m, 3 que se refieren al eje vertical y m que se refiere a los tres planos normales a los tres ejes horizontales (a 1, a2, a3). Estos 3 planos de simetría cruzan por el eje vertical.

Figura 6.44. Pirámide ditrigonal + pedión.

La clase Trapezoedro Trigonal, tiene las 4 direcciones axiales ocupadas por los ejes de rotación. El eje vertical es un eje ternario y los 3 planos horizontales tienen la simetría de un eje binario polar. Esto es similar a la clase 3 2/m (escalenoedro hexagonal), pero los planos de simetría están ausentes. Las formas corresponden a 2 pares enantiomórficos, cada uno con una forma derecha (2 1 3 0) y una forma izquierda (3 1 2 0)

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Derecha. Izquierda. Figura 6.45. Trapezoedro trigonal.

La clase romboédrica tiene un eje ternario de rotoinversión (3) que es equivalente a un eje ternario y un centro de simetría. La forma general es {hkil} y la notación de Hermann-Mauguin es 3. El pinacoide {0001} y los prismas hexagonales pueden estar presentes. Dolomita e ilmenita son la mayoría de los minerales comunes que cristalizan en esta clase. Figura 6.46.

Figura 6.46. Romboedro trigonal.

La Pirámide Trigonal, la última clase del sistema trigonal, tiene un eje ternario de rotación (E3P). Hay, sin embargo, 8 pirámides trigonales cuya forma general es {hkil}, cuatro arriba y cuatro abajo. Cada uno de éstos corresponde a 3 caras de la Bipirámide Ditrigonal. Además de esto, es posible que pueda haber pirámides trigonales en la parte superior, independientes, de las pirámides de abajo. Figura 6.47.

Figura 6.47.Pirámide trigonal + pedión.

147

CAPÍTULO

VII

CRISTALOGRAFÍA GEOMÉTRICA DESCRIPTIVA 7.1. INTRODUCCIÓN La cristalografía puede estudiarse en muchos niveles, pero no importa cómo sea, elemental o a profundidad la discusión del tema que se tenga, siempre será en algo de geometría y más aún en geometría sólida. Pero si se medita sobre lo cotidiano, es clara la evidencia con que se usa la geometría. La geometría simplemente trata con relaciones espaciales. En dichas relaciones se ha familiarizado, aunque no se ha profundizado. La palabra importante aquí es "familiar". Se trata esta serie de artículos para ayudar a familiarizarse y, por consiguiente estar más cómodo, con la geometría involucrada con el estudio de formas cristalinas. La cristalografía se puede dividir en 3 secciones: geométrica, física, y química. Las dos últimas involucran las relaciones de la forma cristalina (geométrica) en las propiedades físicas y químicas de cualquier mineral dado. Aquí se cubrirán los aspectos geométricos más significativos de cristalografía. No se piensa ser un reemplazo de un texto de mineralogía, pero si en cambio una introducción al estudio de cristalografía. Como se caras ha definido, un cristal forma por regular poliédrica, limitadayapor lisas planas que es sonuna formadas un compuesto químico, debido a la acción de sus fuerzas interatómicas, al pasar, bajo condiciones convenientes, del estado de líquido o gas a un sólido. Desglosando esa declaración, la forma del poliedro es de un sólido limitado por los planos (caras del cristal). "Un compuesto químico" dice que todos los minerales son entes químicos que se han formado en la naturaleza. Por último la mitad de la definición dice que un cristal normalmente se forma durante el cambio de materia del líquido o gas al estado sólido. En el estado líquido y gaseoso de cualquier compuesto, las fuerzas atómicas que ligan a la materia en el estado sólido, no están presentes. Los líquidos y gases asumen la forma de su recipiente, los sólidos toman varias formas geométricas regulares. Estas formas pueden subdividirse, usando la geometría, en siete sistemas. Durante el proceso de cristalización en el ambiente apropiado, los cristales asumen distintas formas geométricas dependientes de la clasificación de su estructura atómica y las condiciones físicas y químicas bajo las que ellos crecen. Si hay una dirección predominante en las formas minerales, los hábitos diferentes prevalecen. Así, la galena a menudo toma las mismas formas (cubos u octaedros), el cuarzo es típicamente prismático, y la barita (baritina) tabular. 147

Cristalografía de Especies Minerales

Para discutir los siete sistemas cristalinos, es necesario tener algunos conocimientos de geometría sólida. Para esto, se deberán describir lo que se llama ejes cristalográficos, que se plantean en tres o cuatro dimensiones, puesto que deben tener 3 ó 4 ejes y para la discusión inicial, hágase de la misma longitud y en ángulos rectos al observador. Éste es el caso más simple a considerar. Los ejes atraviesan el centro del cristal y usándolos, se pueden describir la intersección de cualquier cara dada con estos 3 ó 4 ejes. Los mineralogistas tenían que decidir como llamar a cada uno de estos ejes y qué su orientación en cada cristal fuera para que todos estuvieran hablando el mismo idioma. Muchos sistemas diferentes se propusieron en la literatura inicial. Entonces, cuando se encontraron ciertos sistemas para solucionar los problemas, algunos eran abandonados hasta que se llegó al sistema de notación que se usa hoy. Es así que existen dos de éstos en uso, y que se asumirán en esta serie. Se usa la notación de números para indicar formas o caras individuales y el otro usa las letras para indicar las formas. Aquí se discutirán los dos sistemas. Se dibujan a los ejes en una hoja de papel para describir su orientación. Todo lo que se necesita para este ejercicio es lápiz y papel. Hágase el primer eje vertical, y llámese eje “c”. El extremo superior es + (mas) y el extremo inferior es – (menos). El segundo eje, el eje “b”, es horizontal y pasa a través del centro del eje “c”. Es de la misma longitud del eje “c”. El extremo derecho es el +, y el izquierdo es el -. El tercer eje es el eje “a” y pasa en ángulo recto a través de los ejes “b” y

“c”.

Como se declaró antes, las formas cristalinas conocidas encajaron en los siete sistemas cristalinos anteriores. Bien, los cristales, incluso del mismo mineral, tienen diferentes formas cristalinas, mientras dependiendo en sus condiciones de crecimiento. Si ellos crecieron despacio o rápidamente, bajo la constante o fluctuando condiciones de temperatura y presión, o de fluidos muy inconstantes o notablemente uniformes o fusiones, todos estos factores tienen su influencia en la resultante de las formas cristalinas, incluso al no considerar otros parámetros. Se debenmineral de mencionar menudo un tipo notación visto en la literatura conocidoa como índices de de Miller. William H. Miller (1801-1880) inventó este sistema matemático para describir cualquier cara cristalina o grupo de caras similares (las formas), entonces había una considerable confusión debido a los muchos sistemas descriptivos diferentes. Algunos de estos sistemas usaron los símbolos de la letra para denotar caras cristalinas y formas. También existieron las 148

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"escuelas" mineralógicas diferentes acerca de cómo un cristal dado debe verse o debe orientarse antes de asignar los ejes cristalográficos y la descripción de las distintas caras presentes de las formas. Si se viniera de la escuela alemana, se tendría una visión; de la escuela inglesa otro pensamiento; de la escuela francesa, otra opinión. Así que el problema era de cómo traer el orden al caos en la literatura. Para resolver dicho problema Miller (Universidad de Cambridge) aplicó una matemática relativamente simple el Idioma(para A los sistemas de letras, Miller describió los cristales “el a,b,c Universal”. hexagonales su notación de cuatro números es demasiado larga). La intersección de cada plano en la forma cristalina la simbolizó con números y también con letras. Su sistema se aceptó ampliamente y es conocido como los índices del Miller. Los números se presentan como números enteros (no se permiten los fraccionarios) y el recíproco del número en la intersección. Todos los números enteros son reducidos por su mínimo común denominador. Como ejemplos simples del sistema cúbico, trataremos del octaedro y del cubo. A). Describiendo primero una cara de un octaedro y después la cara de un cubo que usa los índices de Miller. Primero se debe de comprender y recordar que un octaedro es una forma cristalina de 8 caras que es la repetición simple de un triángulo equilátero sobre los 3 ejes cristalográficos. El triángulo que se orienta para que cruce los 3 ejes: a1, a2 y a3, a la misma distancia en la cruz axial. Esta distancia de la unidad se da como 1. Dividiendo 1 entre el número 1 entero (es un recíproco) los resultados dan el valor 1 para cada número del Miller. Así que los índices de Miller (111) para la cara que interseca el extremo positivo de cada uno de los 3 ejes. La cara que interseca o corta a los ejes cristalográficos pero en el extremo (tramo) negativo, el índice de Miller tiene una barra en la parte superior (111).

Figura 7.1: Índices de Miller en el Octaedro.

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B), Una cara del cubo que interseca al eje a 3 (vertical) en el extremo positivo no intersecará a1 y a2. Si la cara no interseca un eje, entonces se asigna un valor matemático de infinito a él. El infinito se dividió en 0 = 0 (cualquier número dividido entre cero es igual a cero). Así que los índices del Miller intersecan a “a3” positivo cuya cara es (001).

Figura 7.2: Índices de Miller en el Cubo.

Los índices del Miller se usan como símbolos de una cara dentro de paréntesis por ejemplo (111). Los símbolos de la forma se presentan en llaves, como {111} por ejemplo. Los símbolos de la zona se presentan en corchetes por ejemplo [111] y significa un eje de zona del cristal, simbologías ya expuestos en el capítulo 4. En lo que se refiere a esta parte del curso, se ha tomado de los libros de Krauss, Mottana-Crespi-Liborio, y Molina Francois, mismos que se han compaginado de la mejor manera posible para el estudiante, siendo un tema bastante amplio; se ha concretado en lo más específico.

PIRITA PERUANA: La pirita es un mineral común que puede exhibir varias formas cristalinas en un solo cristal. Una forma está comúnmente presente, y se pueden observar en las caras más grandes del cristal. La pirita peruana que normalmente tiene formas cúbica, octaédrica y dodecaedrica presentes en un solo cristal; a veces los piritoedros y las caras del diploide puede estar presente en un solo cristal. Cualquiera de estas formas individuales puede ser la dominante. Cristales con la misma forma presente, pero con las formas dominantes cada uno habrá pareceminerales muy distinto. Cuando se explora cadadiferentes sistema cristalino, que muestren la mayoría de las formas ideales y algunos dibujos que muestran la mayoría de las formas ideales y algunos dibujos que muestran a menudo combinaciones de formas exhibidas por los cristales de minerales individuales. 150

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7.2. CLASES CRISTALINAS POR SISTEMAS Con el propósito de particulizar cada sistema cristalino, se insertan las clases y los elementos de simetría de las siete singonías cristalinas.

7.2.1. Singonía Cúbica Clases C I. II. III. IV. V.

Holoedral Piritoedral Tetraedral Holoaxial Tetardoedral

L4

11 -

Elementos de simetría L3 L2 PD

33 -

44 4 4 4

6(1)

Pd

33 -

3 3(1) 6 3(1)

66 -

(1): Estos ejes binarios ocupan la posición de los ejes cuaternarios de la clase holoedral, es decir, que coinciden con los ejes cristalográficos.

7.2.2. Singonía Tetragonal Clases I. II. III. IV. V. VI.

Holoedral Bipiramidal teragonal Piramidal ditetragonal Piramidal tetragonal Esfenoidal Holoaxial

C 1 1 -

VII.

Tetardoedral

-

L4 1 1 1 1 1 -

Elementos de simetría L2 PD Pd 4 1 4(2D,2d) 1 4(2D,2d) 3(1) 2d 4 1(1)

-

-

(1): Estos ejes binarios coinciden con los ejes cristalográficos, es decir, reemplazan a los ejes cuaternarios.

7.2.3. Singonía Ortorrómbica Clases I. II. III.

Holoedral Hemimórfica Holoaxial

C 1 -

Elementos de simetría L2 PD 3 3 (a) 1 2(a) 3 -

(a): En esta clase tanto el único eje como los planos diametrales tienen una orientación vertical.

7.2.4. Singonía Monoclínica Clases I.

Holoedral

C 1

II. III.

Esfenoidal Domática

-

Elementos de simetría L2 PD 1 3 (a)

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(a)

2

(a): En esta clase tanto el eje único como los planos diametrales tienen una orientación vertical.

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7.2.5. Singonía Triclínica Clases I. II.

Holoedral Asimétrica

Elementos de simetría C 1 -

7.2.6. Singonía Hexagonal Clases I. II. III. IV. V.

Holoedral Bipiramidal hexagonal Piramidal dihexagonal Piramidal hexagonal Holoaxial

C 1 1 -

Elementos de simetría L6 L2 PDH 1 6 1 1 1 1 1 1 6 -

PDV 3 3 -

Pd 3 3 -

7.2.7. Singonía romboédrica Clases I. II. III. IV. V. VI. VII.

Bipiramidal ditrigonal Bipiramidal trigonal Romboedral Tetartoedral Piramidal ditrigonal Piramidal trigonal Holoaxial

C 1 1 -

L3 1 1 1 1 1 1 1

Elementos de simetría L2 PD 3 1 1 3 3 -

Pdv 3 3 3 -

7.3. SISTEMAS Y FORMAS CRISTALINOS SEGÚN MOTTANACRESPI-LIBORIO. 1. Introducción.- Los minerales son sustancias naturales sólidas formadas mediante procesos inorgánicos, y que constituyen una parte más o menos importante de la Tierra y de los cuerpos extremadamente accesibles al hombre (la Luna y los meteoritos, por ejemplo). Se caracterizan por la posesión de unas propiedades físicas homogéneas (es decir, iguales en dos porciones diversas pero igualmente orientadas), por una composición química característica, que puede ser variable dentro de ciertos límites pero que siempre está bien definida y, sobre todo, por el hecho de poseer una disposición atómica (retículo cristalino) fija y característica para cada mineral. Los átomos se disponen en sucesiones regulares a lo largo de los ejes y planos del mineral; con ello se consigue la característica fundamental del estado sólido entendido en sentido propio (estado sólido cristalino); la denominada anisotropía, es decir la variación de las propiedades físicas con la dirección. Alguna de las propiedades físicas, en particular la velocidad de crecimiento, varía de modo discontinuo. La disposición de los átomos puede ser idéntica en minerales distintos, que se 152

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distinguen no obstante por su composición; éste es el fenómeno conocido con el nombre de isomorfismo. Cuando alguno de estos átomos son totalmente parecidos, bien por sus dimensiones o por sus propiedades fisicoquímicas, hasta el punto de que puede ser mutuamente sustituidos sin que se deforme el retículo cristalino por debajo de un cierto límite, se tiene las soluciones sólidas, es decir, series o familias de minerales variables en su composición química de modo continuo entre dos o más términos extremos. Puede darse también el caso contrario, es decir la existencia de sustancias formadas por los mismos átomos en idénticas proporciones, lo que implica idéntica fórmula química pero con distintos retículos cristalinos, o sea con los átomos dispuestos de modo distinto (polimorfismo). Este fenómeno depende de la temperatura y de la presión actuantes sobre la sustancia en el momento de su formación y convierte a los minerales polimorfos en preciosos indicadores del régimen geológico particular de determinado punto de la corteza terrestre que contiene al mineral en cuestión. La definición arriba apuntada con respecto a los minerales admite alguna excepción o, mejor aún, determinadas extensiones. El mercurio, por ejemplo, a pesar de hallarse en la naturaleza en estado líquido, es considerado como un mineral; en cambio, no son considerados como mineraleslalos cristales ordinaria volcánicos, de átomos estado sólido, pero que no presentan distribución de los propia del estado cristalino. Determinadas sustancias que contienen átomos radiactivos pueden asumir, por efecto de la fisión nuclear, una distribución desordenada, casi amorfa (estado metamíctico); sin embargo, son considerados como minerales ya que por calentamiento o irradiación retornan fácilmente a la distribución ordinaria. Determinados minerales pueden presentar un srcen no totalmente inorgánico; por ejemplo, muchas calizas. Sin embargo, la calcita es considerada generalmente como un mineral porque en su formación han intervenido fenómenos geológicos de compresión, disolución y recristalización. Todas las sustancias sintetizadas en el laboratorio no pueden consideradas como minerales yasean que eldependen de un la actividadser humana; no importa en este caso que resultado de proceso orgánico o bien inorgánico. Un cristal supone la expresión externa de la disposición de los átomos constituyentes de los minerales, es decir, del retículo cristalino. No es más que una forma poliédrica, un sólido en sentido geométrico, con 153

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una disposición particular de las caras, de las aristas y de los vértices con el fin de respetar lo más posible el equilibrio interno (en especial de tipo electrostático) de los átomos. Dado que el número posible de disposiciones atómicas no es infinito y las reglas con las que un retículo elemental (celdilla) se convierte, por crecimientos sucesivos, en un cristal visible son relativamente simples (puesto que deben respetar un principio fundamental de repetición periódica), los tipos de cristales posibles en el mundo mineral son bastante limitados.

2. Morfología de los cristales.- Puesto que los cristales son cuerpos geométricos, pueden estudiarse desde un punto de vista meramente geométrico descriptivo, es decir, sin tener en cuenta la orientación de los átomos en su interior. Este tipo de estudio supone, en realidad, el primer estadio de desarrollo de la mineralogía como ciencia (15001912), después de que fue separada del grupo de las ciencias mineralógicas aplicadas. Los cristales son cuerpos visibles, a diferencia de los átomos que no pueden ser observados directamente, por lo que las primeras descripciones sobre su morfología, es decir acerca de su forma, fueron realizadas a la vista, o bien con la ayuda del goniómetro; posteriormente se aplicaron a su estudio las lentes y finalmente el microscopio. Debe tenerse en cuenta que las dimensiones no se toman en cuentan en los cristales, ya que su forma permanece constante a pesar de que sean de reducido tamaño. Más bien al contrario, cuanto más pequeño es un cristal, tanto más nítidas y brillantes aparecen las caras, más manifiestas las aristas y vértices, y en general, las observaciones son mejores. El gran impulso en el campo de la cristalografía morfológica, ciencia dedicada al estudio de los cristales, se produjo en el momento en el que se procedió a aplicar al microscopio un medidor de ángulos, conjunto que recibe el nombre de goniómetro de reflexión. Pero con anterioridad a la puesta a punto de esta técnica, se habían ya enunciado las dos reglas fundamentales de la cristalografía. La primera de ellas, establecida en 1668 por Niels Stensen, médico en la corte de los Médicos con el nombre de Nicolás Steno establece: en todos los cristales de una misma sustancia, igualdad de temperatura y de presión, los ángulos diedros que las amismas caras establecen entre sí son iguales; es decir, en los cristales carecen de valor las dimensiones relativas de las caras aisladas; lo importante son los ángulos que forman entre sí. Por lo tanto, un cristal de cuarzo de un metro de altura tendrá, desde el punto de vista cristalográfico, las mismas medidas angulares que un pequeño cristal, también de 154

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cuarzo, de un milímetro de altura; en cambio, será totalmente distinto, por ejemplo, de un cristal de feldespato, independientemente del hecho que mida un metro o un milímetro de envergadura. La segunda ley cristalográfica, enunciada por el abad francés R. J. Haüy (1782) establece que si se toman como ejes de referencia de un cristal tres líneas paralelas a tres aristas convergentes y no pertenecientes a un mismo plano, las relaciones entre los parámetros cortados sobre los mismos ejes por dos cualesquiera del cristal son números racionales enteros y caras generalmente sencillos. Denominemos a, b, c, las intersecciones sobre los ejes de la primera cara y a', b', c', los de la segunda cara; se tiene:

La primera cara, elegida convenientemente, se convierte en la cara fundamental ya que sus intersecciones sobre los ejes se convierten en la unidad de medida para cada eje. Los números h, k, l, se convierten en los índices de la cara y, escritos a continuación y encerrados en el interior de un paréntesis (h k l) representan el símbolo de la cara. Para la cara fundamental los índices serán necesariamente 1, 1, 1, y el símbolo (1 1 1). Las caras que intersecan a los ejes en sentido negativo presentarán el correspondiente índice negativo (signo “menos”) sobrepuestos: por ejemplo (h k l); las caras paralelas a una o dos ejes (es decir, con la intersección en el infinito) presentarán el índice correspondiente igual al valor cero: por ejemplo, (hk0) o (0kl). En el caso de que dos de las intersecciones sean infinitas, la tercera podrá siempre reducirse a la distancia unidad, por lo que los símbolos de los planos coordinados serán para los ejes XY a = 00, b = 00, c = c', es decir (001); para el eje XZ será (010) y para el YZ (100). Dado el símbolo de una cara, el conjunto de todas las caras equivalentes a ésta (es decir, la forma simple) tendrá el mismo símbolo pero indicado entre llaves {hkl} y el de cada cara será determinada mediante el símbolo de la forma con cambios en el orden de cada número y permutaciones en el signo. Por ejemplo: la fórmula del cubo {100} vendrá dada por el conjunto de las seis caras: (100) (010) (001) (1 0 0 ) (0 1 0) (0 0 1)

3. Elementos de simetría.- Los elementos de simetría son entes geométricos (punto, recta, plano) que permiten ejecutar operaciones geométricas que determinan en los cristales la repetición de porciones geométricas y físicamente homólogas. Ello puede producirse o bien 155

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por rotación alrededor de una dirección (Eje = E), por la reflexión sobre una superficie (plano = P) o bien por inversión con respecto a un punto (centro = C). En un cristal, el centro de simetría divide por la mitad a los segmentos que unen elementos equivalentes; coincide por lo tanto con el baricentro del sólido. En un cristal provisto de centro de simetría existirán pares de caras paralelas, aristas paralelas o por lo menos parejas de vértices opuestos. Todos los sólidos presentan un baricentro, pero en cambio, no todos muestran un centro de simetría. El plano de simetría divide a un cristal en dos porciones especulares: en determinados cristales puede faltar por completo o bien pueden estar presentes un determinado número de planos equivalentes o no. Todos estos planos dividen al cristal en dos mitades especulares, pero sólo son equivalentes aquellos en los que las dos mitades presentan idéntica forma. Se dice también que dos planos de simetría son semejantes cuando dividen el cristal ideal en mitades que son idénticos entre sí; de otra manera se dice que son diferentes. Si un plano de simetría incluye dos de los ejes cristalográficos, se llama un plano axial de simetría. Si el plano incluye dos o más ejes semejantes de simetría, se le llama plano principal de simetría. El eje de simetría es una dirección en la que si a su alrededor se produce la rotación del cristal, se observan un cierto número de posiciones idénticas después de un determinado ángulo de giro. Este número de pasos expresa el número de orden = n del eje y, al dividir el ángulo de giro por “n”, se obtiene el valor angular de cada rotación completa sobre sí mismos, es decir, como se insertan a continuación: De orden 1 (E1, monario, 360º/1 = 360º), De orden 2 (E2, binario, 360º/2 = 180º), De orden 3 (E3, ternario, 360º/3 = 120º), De orden 4 (E4, cuaternario, 90º) y De orden 6 (E6, senario, 60º). Otros cristales carecen de ejes de simetría, o bien poseen sólo uno; en cambio, en otros casos existen varios ejes de simetría, de idéntico orden o de orden distinto. Los primeros pueden ser equivalentes o no. Algunos ejes de simetría disponen en su extremidad, además de elementos iguales del cristal, otros diversos. En tal caso se denominan ejes polares y se indican con la notación EP. Los ejes de simetría también son semejantes o diferentes; un eje de simetría en el que se 156

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encuentran dos o más planos semejantes de simetría es un eje principal de simetría. Sobre un mismo cristal pueden coexistir elementos de simetría de distinto tipo, según una serie de reglas estrictas. De este modo se obtiene para cada cristal una denominada “fórmula de simetría”, característica para cada cristal y que además expresa su grado de simetría.

4. Grado de simetría.- El grado de simetría de un cristal queda determinado por el conjunto de los elementos de simetría comunes a todas sus propiedades. Conviene ante todo diferenciar entre la simetría aparente (singonía), que se deduce del examen de las formas geométricas externas que muestra un cristal en cuestión, y la simetría real (o simetría verdadera) que sólo es reconocible después de someter a los cristales a una serie de experiencias fisicoquímicas y que puede ser distinta de la simetría aparente. La simetría verdadera de un cristal es la mínima presente y es común a todas sus propiedades. Para reconocer la simetría verdadera es preciso primero detenerse en el aspecto externo de las caras del cristal (presencia de estrías de crecimiento, distintas intensidades de brillo, figuras atribuibles a corrosiones naturales), proceder al ataque con agentes químicos de distinta naturaleza, recurrir a las experiencias físicas (piezoelectricidad y piroelectricidad con el fin de comprobar la presencia de ejes polares). Por ejemplo, en un octaedro de blenda son observables cuatro caras brillantes y otras cuatro con estriaciones. Una vez definido el conjunto de los elementos de simetría comunes a todas las propiedades del mineral, se establece la fórmula de simetría válida para todos los cristales del mineral en cuestión. Se han descrito 32 clases de simetría, incluida una que carece totalmente de simetría; cada clase contiene un número mayor o menor de minerales y de sustancias artificiales. Las clases se denominan o bien en base al mineral más típico perteneciente a la clase en cuestión. Así, la fórmula se le da el nombre de clase bipiramidal ditetragonal, o bien clase de la casiterita. Las 32 clases se agrupan en sistemas cristalinos de acuerdo con la presencia simultánea de algunos elementos típicos de simetría. Así, todas las clases que presentan un solo eje cuaternario E4 (eje singular) coincide con el eje Z de la terna axial de referencia (ejes

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cristalográficos). Los siete sistemas cristalinos poseen cada uno de ellos tres o cuatro ejes cristalográficos característicos, definidos por los ejes coordenados y por los parámetros relativos determinados por las intersecciones sobre ellos de la cara elegida como fundamental, así como por los ángulos formados por los ejes cristalográficos. Los 7 sistemas cristalinos y las 32 clases de simetría simples con las respectivas fórmulas de simetría y los minerales típicos son catalogados a continuación de forma sinóptica. 5. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS Y FORMAS CRISTALINOS

5.1. SISTEMA CÚBICO 1.1. Constantes Cristalográficas α = β = γ = 90º

a = b = c;

a, a, a

1.2. Clase y Grado de Simetría 1.2.1. HEXAOCTAÉDRICA (Holoedría cúbica): A). Formas Cristalinas Simples: Hexaoctaedro, Trioctaedro, Trapezoedro, Octaedro, Tetrahexaedro, Rombododecaedro, Cubo.

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B). Minerales de estas formas cristalinas: Cobre, Plata, Oro, Platino, Diamante, Argentita, Galena, Halita, Fluorita, Uraninita, Rubí, Granates. 1.2.2. ICOSITETRAÉDRICA PENTAGONAL (giroédrica):

A). Formas Cristalinas Simples: Icositetraedro pentagonal ( g i r o e d r o ) , T r i s o c t a e d r o , T r a p e z o e d r o , Te t r a h e x a e r o , Rombododecaedro, Cubo.

Icositetraedro pentagonal

B). Minerales de estas formas cristalinas : Cuprita. 1.2.3. HEXATETRAÉDRICA: 159

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A). Formas Cristalinas Simples: Hexatetraedro, Dodecaedro deltoide, Tristetraedro, Tetraedro, Tetraexaedro, Rombododecaedro, Cubo.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Blenda, Tetraedrita, Sodalita. 1.2.4. DISDODECAÉDRICA (diploidal): A). Formas Cristalinas Simples: Disdodecaedro, entadodecaedro, Trisoctaedro, Octaedro, Romobododecaedro, Cubo.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Pirita, Hauerita, Cobaltita. 1.2.5. DODECAÉDRICA PENTAGONAL TETRAÉDRICA (tetartoédrica): A). Formas Cristalinas Simples: Dodecaedro pentagonal tetraédrica, Pentadodecaedros, Dodecaedrodeltoide, Tetraexaedro, Tetraedros, Rombododecaedros, Cubo.

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Dodecaedro pentagonal tetraédrico

B). Minerales de estas formas cristalinas: Ullmannita. 5.2. SISTEMA TETRAGONAL 2.1. Constantes Cristalográficas α

= β = γ = 90º

a=b≠c 2.2. Clase y Grado de Simetría 2.2.1. BIPIRAMIDAL DITETRAGONAL (holoédrica): A). Formas cristalinas simples: Bipirámide ditetragonal, Bipirámide tetragonal, Prisma ditetragonal, Prismas tetragonales, Pinacoide

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B). Minerales de estas formas cristalinas: Rutilo, Casiterita, Anatasa, Circón, Vesubiana, Apofilita. 2.2.2. BIPIRAMIDAL TETRAGONAL: C, E4, P. A). Formas cristalinas simples: Bipirámides tetragonales, Prismas tetragonales, Pinacoide.

Bipirámide tetragonal.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Scheelita, Escapolita. 2.2.3. PIRAMIDAL DITETRAGONAL: A). Formas cristalinas simples: Pirámides ditetragonales, Pirámides tetragonales, Prisma ditetragonal, Prismas tetragonales, Pedión.

Pirámide ditetragonal + pedión

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B). Minerales de estas formas cristalinas: Diabolelita. 2.2.4. T RAPEZOÉDRICA TETRAGONAL: A). Formas cristalinas simples: Trapezoedro tetragonal, Bipirámides tetragonales, Prismas tetragonales, Pinacoide.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Cristobalita α, Fosgenita. 2.2.5. ESCALENOÉDRICA TET RAGONAL: A). Formas cristalinas simples: Escalenoedro, Bipirámides tetragonales, Prismas ditetragonales, Biesfenoide tetragonal, Prismas tetragonales, Pinacoide.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Calcopirita, Estannina. 2.2.6. PIRAMIDAL T ETRAGONAL:E4P A). Formas cristalinas simples: Pirámides tetragonales, Prismas tetragonales, Pedión. 163

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Pirámide tetragonal + pedión

B). Minerales de estas formas cristalinas: Wulfenita. 2.2.7. BIESFENOÍDICA TETRAGONAL: E2(4) A). Formas cristalinas simples: Biesfenoides tetragonales, Prismas tetragonales, Pinacoide.

Biesfenoide tetragonal

B). Minerales de estas formas cristalinas: Cainita. 5.3. SISTEMA RÓMBICO 3.1. Constantes Cristalográficas

α = β = γ = 90º a≠b≠c

3.2. Clase y Grado de Simetría 3.2.1. BIPIRAMIDAL RÓMBICA (holoédrica):

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A). Formas cristalinas simples: Bipirámide rómbica, Prismas, Pinacoides.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Azufre α, Antimonita, Aragonito, Cerusita, Baritina, Celestina, Anglesita, Anhidrita, Olivino, Topacio. 3.2.2. PIRAMIDAL RÓMBICA: A). Formas cristalinas simples: Pirámide rómbica, Prisma, Domos, Pinacoides, Pedión.

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B). Minerales de estas formas cristalinas: Hemimorfita, Prehnita. 3.2.3. BIESFENOÍDICA RÓMBICA: A). Formas cristalinas simples: Biesfenoide rómbica, Prismas, Pinacoides.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Epsomita. 5.4. SITEM A MONOCLÍNICO 4.1. Constantes Cristalográficas α

= γb=≠90º; a≠ c β ≠ 90º

4.2. Clase y Grado de Simetría 4.2.1. PRISMÁTICA (holoédrica): C, E2, P. A). formas cristalinas simples: Prismas, Pinacoides.

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B).Minerales de estas formas cristalinas: Rejalgar, Oropimente, Azurita, Malaquita, Yeso, Epidotas, Piroxenos, Anfíboles, Micas, Ortosa. 4.2.2. DOM ÁTICA: P. A). Formas cristalinas simples: Domos, Pinacoide, Pedión.

Domo

B). Minerales de estas formas cristalinas: Hilgardita. 4.2.3. ESPENOIDAL: E2P A). Formas cristalinas simples: Esfenoides, Pinacoides, Pedión.

B). Minerales de estas formas cristalinas : Mesolita. 5.5. SISTEMA TRICLÍNICO 5.1. Constantes Cristalográficas α ≠ β ≠ γ ≠ 90º a≠b≠c

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5.2. CLASE Y GRADO DE SIMETRÍA 5.2.1. PINACOIDAL (holoédrica): C. A). Formas cristalinas simples: Pinacoides.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Cianita, Rodonita, Albita, Anortita, Microclina. 5.2.2. PEDIAL: ningún elemento de simetría. A). Formas cristalinas simples: Pediones.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Parahilgardita. 5.6. SISTEMA HEXAGONAL 6.1. Constantes Cristalográficas α = β = γ = 120º; δ = 90º a1 = a2 = a3 ≠ c

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6.2. CLASE Y GRADO DE SIMETRÍA 6.2.1. BIPIRAMIDAL DIHEXAGONAL (holoédrica): A). Formas Cristalinas Simples: Bipirámide dihexagonal, Bipirámides hexagonales, Prisma dihexagonal, Prismas hexagonales, Pinacoide.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Grafito, Covelina, Molibdenita, Pirrotina, Berilo. 6.2.2. BIPIRAMIDAL HEXAGONAL: C, E6, P. A). Formas Cristalinas Simples: Bipirámides hexagonales, Prismas hexagonales, Pinacoide

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B). Minerales de estas formas cristalinas: Apatito, Piromorfita, Mimetita, Vanadita. 6.2.3. PIRAMIDAL DIHEXAGONAL: A). Formas Cristalinas Simples: Pirámides dihexagonales, Pirámides hexagonales, Prisma dihexagonal, Prismas hexagonales, Pediones.

Pirámide dihexagonal + pedión

B). Minerales de estas formas cristalinas: Wurtzita, Greenockita, Cincita. 6.2.4. TR APEZOÉDRICA HEXAGONAL: A). Formas Cristalinas Simples: Trapezoedros, Bipirámides hexagonales, Prisma dihexagonal, Prismas hexagonales, Pinacoide.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Cuarzo β. 6.2.5. PIRAMIDAL HEXAG0NAL: E6P A). Formas Cristalinas Simples: Pirámides hexagonales, Prismas hexagonales, Pediones. 170

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B). Minerales de estas formas cristalinas: Nefelina. 5.7. SISTEMA TRIGONAL O ROMBOÉDRICO 7.1. Constantes Cristalográficas =

=

= 120º; δ = 90º

a1 = a2 = a3 ≠ c

7.2. Clase y Grado de Simetría 7.2.1. ESCALENOÉDRICA DITRIGONAL (holoédrica): A). Formas Cristalinas Simples: Escalenoedros, Romboedros, Bipirámide hexagonal, Prisma ditrigonal, Prismas hexagonales, Pinacoide.

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B). Minerales de estas formas cristalinas: Grafito, Covelina, Molibdenita, Pirrotina, Berilo. 7.2.2. BIPIRAMIDAL DITRIGONAL: A). Formas Cristalinas Simples: Bipirámides ditrigonales; Bipirámides trigonales, Bipirámide hexagonal, Prismas ditrigonales, Prisma hexagonal, Prismas trigonales, Pinacoide.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Benitoíta. 7.2.3. BIPIRAMIDAL TRIGONAL: E3, P. A). Formas Cristalinas Simples: Bipirámides trigonales, Prismas trigonales, Pinacoide.

B). Minerales de estas formas cristalinas: ? 172

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7.2.4.PIRA

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MIDALDITRIGONAL:

A). Formas Cristalinas Simples: Pirámides ditrigonales, Pirámides trigonales, Pirámides hexagonales, Prismas ditrigonales, Prisma trigonales, Prisma hexagonal, Pediones.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Proustita, Pirargirita, Turmalina, Millerita. 7.2.5. TRAPEZOÉDRICA TRIGONAL: A). Formas Cristalinas Simples: Trapezoedros, Romboedros, Bipirámides trigonales, Prismas ditrigonales, Prisma hexagonal, Prismas trigonales, Pinacoide.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Cuarzo α, Cinabrio. 7.2.6. ROMBOÉDRICA TRIGONAL: C, E3 A). Formas Cristalinas Simples: hexagonales, Pinacoide

Romboedros, Prismas 173

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B). Minerales de estas formas cristalinas: Ilmenita, Dolomita, Willemita, Dioptasa, Fenaquita. 7.2.7. PIRAMIDAL TRIGONAL: E3P A). Formas Cristalinas Simples: Pirámides trigonales, Prismas trigonales, Pediones.

B). Minerales de estas formas cristalinas: Gratonita?

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CAPÍTULO

VIII

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CRISTALES 8.1. INTRODUCCIÓN En esta parte del curso se trata de las diversas maneras como se pueden representar a los diferentes individuos cristalinos, de tal modo que se puedan apreciar: su aspecto exterior, la forma de sus caras y las relaciones entre ellas, de tal manera que puedan efectuarse los cálculos necesarios para fijar su posición en el espacio. Representan así, en forma gráfica, lo que las notaciones cristalográficas indican analíticamente. Además de las figuras usuales en perspectiva de los cristales, se usan provechosamente las proyecciones en el plano base (o más generalmente, el plano normal a la zona prismática). Estas dan, de hecho, una representación bidimensional (horizontal) visto desde arriba viendo en la dirección del eje cristalográfico vertical (eje Z). La representación gráfica se refiere entonces concretamente a la proyección del en cristal viene a plana ser unbidimensional. medio de representar un cristal tridimensional unaque superficie Diferentes tipos de proyección se usan para fines distintos, pero cada una de ellas se lleva a cabo según reglas definidas de tal manera que la proyección tiene una relación conocida y constante con el cristal. Según la naturaleza de su representación se dividen en dos grandes grupos: “las representaciones planas” y “las proyecciones esféricas”. Las proyecciones pueden clasificarse a su vez en: Esféricas, Estereográficas, Gnomónicas, Ortográficas, Lineales y Horizontales.

8.2. REPRESENTACIONES PLANAS Las representaciones planas nos dan la perspectiva del cristal, la disposición de sus caras y permiten establecer ó calcular ciertas relaciones angulares. Las más usadas son: La “Perspectiva Caballera” y la “Representación Plana Ortogonal”. En la primera: se toma como plano de dibujo ó plano de proyección un plano paralelo a una cara existente ó posible, por medio de paralelas que forman con aquel un ángulo conveniente y arbitrario. Esta representación, aunque de poco valor científico, da una idea exacta de 175

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la forma exterior del cristal y conserva el paralelismo de las aristas, lo cual permite establecer las relaciones zonales de las caras. Este tipo de representación plana es la única utilizada en el texto de este curso. En la segunda: consiste en proyectar cada uno de los elementos del cristal por medio de rectas normales sobre el plano de dibujo que es paralelo a un plano de simetría. Así, el cubo se proyectará como un cuadrado y la proyección plana de un prisma hexagonal regular es un hexágono, (ver Fig.8.1).

Figura 8.1. Representaciones gráficas y Proyecciones de los cristales.

8.3. PROYECCIONES ESFÉRICAS El estudio de los cristales reales, especialmente en lo que respecta a las relaciones angulares y de zona de sus caras, se facilita mucho empleando varias proyecciones. La más sencilla de éstas y de la que pueden derivarse las otras se conoce como proyección esférica. En estas proyecciones se considera al cristal inscrito en una esfera, donde el centro geométrico del cristal coincide con el de la esfera (tres dimensiones). Para obtenerlo elegimos como punto de vista el centro de la esfera (es decir, el punto de intersección de los ejes cristalográficos) y desde este centro o punto trazamos líneas perpendiculares a las caras sucesivas del cristal y se prolongan hasta que alcanzan la superficie de la esfera. Los puntos en los que estas líneas normales tocan esa superficie localizan los polos de las respectivas caras y juntos forman la proyección esférica del cristal. Al conjunto de todos los polos de un cristal se le denomina figura polar. Ya que el tamaño y forma de las distintas caras de un cristal son accidentes del proceso de crecimiento, se desea reducir a un mínimo este aspecto en la proyección del cristal. Al mismo tiempo es 176

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importante realizar la relación angular entre las caras. Con el fin de situar las caras de acuerdo con sus relaciones angulares y sin consideración de su forma o tamaño, podemos usar la proyección esférica. Podemos comprender la construcción de tal proyección de la siguiente manera. Imaginémonos un modelo hueco de un cristal que contenga un punto brillante de luz en su interior. Situemos ahora este modelo dentro de una gran esfera hueca de material translúcido y hagamos que el foco luminoso ocupe su centro. Si ahora hacemos un orificio en cada cara de tal manera que el rayo de luz que emerge por el orificio sea perpendicular a la cara, estos rayos de luz incidirán en la superficie interna de la esfera y formarán una mancha brillante. El conjunto se parece a un planetario en el cual el modelo cristalino con su luz y sus orificios es el proyector, y la esfera traslúcida es la cúpula. Si ahora marcamos en la esfera la posición de cada mancha de luz, podemos eliminar el modelo y tendremos un registro permanente de las caras del cristal. Cada una de estas caras viene representada en la esfera por un punto denominado POLO de la cara. Ésta es la proyección esférica. La posición de cada polo y por tanto sus relaciones angulares con los demás pueden fijarse mediante sus coordenadas angulares en la esfera. Esto se lleva a cabo de manera similar a la localización de puntos en la superficie terrestre por medio de la longitud y latitud. Un sistema similar puede emplearse para situar los polos de las caras en la proyección esférica de un cristal. Existe, no obstante, una diferencia fundamental entre situar puntos en una proyección esférica y situarlos en la superficie de la Tierra. En la Tierra, la latitud se mide en grados norte o sur desde el ecuador, mientras que el ángulo que se emplea en la proyección esférica es la colatidud, o ángulo polar, que se mide en grados desde el polo norte. El polo norte de una proyección cristalina tiene por tanto una colatitud de 0º, y el ecuador la tiene de 90º. Si la esfera se corta por un plano, la intersección será un círculo. Los círculos de diámetro máximo son los formados por planos que pasan por el centro y que tienen por diámetro el de la esfera. Se denominan círculos máximos. Todos los demás círculos formados por otros planos que cortan la esfera son círculos menores. La proyección esférica de un cristal nos suministra relaciones zonales interesantes, pues los polos de las caras de una zona se sitúan en un círculo máximo de la proyección. En la Fig.8.2 (proyección esférica) las caras (001), (101), (100), (101) y (001) forman una zona cuyo eje de 177

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zona es [010]. Como el círculo máximo según el cual los polos de estas caras se hallan dispuestos a pasar por los polos norte y sur de la proyección, se denomina círculo máximo vertical. El eje de zona es siempre perpendicular al plano que contiene los polos de las caras y por tanto todos los círculos verticales tienen ejes de zona horizontales.

Figura 8.2. Proyecciones Esféricas.

En las proyecciones esféricas no se tiene la representación directa de las formas cristalinas sino la de los polos de las caras (a, b, c, d,..). Como ya se ha anunciado anteriormente, en estas proyecciones se considera al cristal inscrito en una esfera de tal manera que coincidan los centros de ambos. Es una proyección en tres dimensiones, en ella vemos la relación entre las caras y éstas con los elementos de simetría. Una consecuencia, es que las caras tautozonales que están en zonas iguales tendrán sus polos en un círculo máximo de la esfera. Dos caras paralelas tienen sus polos diametralmente opuestas.

Figura 8.3. Proyección esférica de un cubo.

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Y para obtener los polos, correspondientes a las caras del cristal, se trazan rectas normales (perpendiculares) desde el centro del cristal a cada una de sus caras, prolongándolas hasta que cortan a la esfera (son puntos de intersección entre las perpendiculares y la esfera). De este modo se obtienen los polos a(100), b(010), c(001), etc., de las caras A, B, C, etc. (Fig.8.3a).

Teorema fundamental: el ángulo diedro que forman las caras del cristal es suplementario del ángulo que forman sus polos (ver Fig.8.3b). Antes de seguir adelante, obsérvese que en estas proyecciones el ángulo que hacen dos polos (medido sobre el arco del círculo que los contiene), es el ángulo suplementario del diedro formado por las caras correspondientes, (Fig.8.3b). En efecto, el ángulo diedro de las caras A y D es de 135º, mientras que el ángulo de los polos a(001) y d(011) es de 45º. Igualmente, debe observarse que todas las caras que forman una zona tiene sus polos sobre un círculo máximo: así, las caras A, B, A1 y B1 (Fig.8.3a) se hallan en zona y sus polos se encuentran sobre el círculo máximo que pasa por los ejes horizontales; el eje de zona está representado por el eje vertical (c c1), llamándose a c y c1, los polos de 1 la zona. En forma lasmáximo caras A,vertical, C, A1 y C forman zona y sus polos están sobre similar, el círculo siendo, poruna consiguiente; la línea b b1 el eje de zona y los puntos b y b1 los polos de la zona.

Ahora bien, para obtener la representación en un plano de los polos que se hallan sobre una superficie esférica, se toma planos de dibujo ó proyección en diversas posiciones y según sea la forma de efectuar la proyección de los polos; se tiene la división de las proyecciones esféricas en: 1. Proyección Ortogonal. 2. Proyección Gnomónica. 3. Proyección Estereográfica.

8.3.1. PROYECCIÓN O RTOGONAL Se toma como plano de proyección un plano que corta a la esfera en dos partes iguales y que pasa por el ecuador. El plano P es el plano de proyección. Para obtener las proyecciones ortogonales de los polos d, d, e, f, g etc., basta trazar rectas normales de estos puntos al plano de proyección; de esta forma c', d', e', f', g', etc., representan las proyecciones de las caras C, D, E, F, G, etc., de un cristal. 179

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Las proyecciones de los polos que se hallan sobre el ecuador coinciden con sus polos. Esta proyección tiene los inconvenientes, entre otros, como puede apreciarse en la figura (Fig.8.4 y 8.5), que las proyecciones de los polos que se hallan muy cerca del ecuador se encuentran muy juntos, deformando sus posiciones relativas; y las proyecciones de los círculos no paralelos al ecuador son elipses. Por estos motivos esta proyección es muy poco usada.

Figura 8.4. Proyección ortogonal.

Figura 8.5. Proyección Ortogonal: vista horizontal.

8.3.2. PROYECCIÓN GNOMÓNICA Se toma como plano de proyección un plano tangente a la esfera y paralelo al ecuador. Para obtener las proyecciones gnomónicas se trazan rectas que parten del centro “O” de la esfera (punto de vista) a cada uno de los polos, el punto de intersección con el plano de proyección PP´, es la proyección respectiva. En esta forma se obtienen c', d', e', f', g', que son las proyecciones de los polos c, d, e, f, g .

Figura 8.6. Proyección Gnomónica.

Como se comprende, la proyección c' coincide con su polo c. Esta proyección tiene un carácter altamente científico pero presenta algunos inconvenientes, fácilmente apreciables; en efecto, las proyecciones de los polos que se acercan al ecuador se van alejando cada vez más, srcinando figuras muy grandes, de tal manera que las proyecciones de a, b, a1 y b1 se hallan en el infinito. 180

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Además, los triángulos esféricos no pueden resolverse por el simple uso de la regla y el compás y por ello es que, a pesar de su carácter y de que las proyecciones de los círculos máximos son rectas, su uso es muy restringido.

8.3.3. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Es importante, al proceder a reducir la proyección esférica de un cristal a una superficie plana, que se relación Esto angular de las caras de modo que éstas revelen la preserve verdaderalasimetría. puede hacerse de la mejor manera mediante la proyección estereográfica. La proyección estereográfica es una representación en un plano de la mitad de la proyección esférica, usualmente el hemisferio norte. El plano de la proyección es el plano ecuatorial de la esfera, y el círculo primitivo (que limita a la proyección) es el propio ecuador. Si se observan los polos de las caras cristalinas situadas en el hemisferio norte de la proyección esférica con el ojo puesto en el polo sur, las intersecciones de las visuales con el plano ecuatorial serían las que indicarían los polos correspondientes en la proyección estereográfica. Podemos así construir una proyección estereográfica trazando líneas desde el polo sur a los polos de las caras en el hemisferio norte. Las proyecciones de las caras del cristal en una proyección estereográfica se sitúan en los puntos donde la línea que une el punto de vista (polo sur) con los polos de las caras del cristal corta al plano ecuatorial. La relación de las dos proyecciones se manifiesta en la Fig. 8.7.

Figura 8.7. Relación entre la proyección esférica y la estereográfica (Según E.E. Wahistrom, 1951)

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Esta proyección usa como plano de proyección, un plano (PP') que pasa por el ecuador de la esfera (el plano de proyección queda restringido al plano del ecuador, llamada también círculo primitivo o fundamental) y se toma como punto de vista, para obtener las proyecciones, un punto (V) situado sobre el polo sur de la esfera (Fig.8.8). Así es que para ubicar las proyecciones d`, c`, e`, f`, g`, sobre el plano PP` se trazan rectas queintersecciones unen el puntocon de el vistaplano con los correspondientes y las son polos las proyecciones buscadas. Como puede apreciarse, los polos que se hallan sobre el ecuador coinciden con sus proyecciones (a' y b'). Finalmente dibujando el plano en su verdadera posición tendremos la figura que va más abajo (Fig.8.8). Usualmente, como todas las proyecciones caen dentro de la circunferencia, se limita el dibujo con el contorno de ella. Esta proyección es muy ventajosa y se le usa en la mayoría de las monografías cristalográficas. Todas las proyecciones de los polos de las caras de un cristal se encuentran dentro de un pequeño espacio y aún cuando su interpretación es algo difícil, a primera vista, en cambio hace resaltar la simetría del cristal. Pero no hay que olvidar que la principal ventaja que presenta esta proyección esférica es que todos los problemas cristalográficos pueden ser resueltos por el simple uso de la regla, el compás y el transportador. Por ello, dentro de las representaciones gráficas de los cristales, la proyección esférica estereográfica viene a ocupar el mismo lugar de importancia como la notación de Miller entre las representaciones analíticas.

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En la práctica se sitúan los polos directamente en la proyección estereográfica, siendo necesario entonces determinar las distancias estereográficas en relación con los ángulos de la proyección esférica. La Fig.8.9 representa una sección vertical a través de la proyección esférica de un cristal en el plano “meridiano cero”, esto es, el plano que contiene el polo de (010) N y S son respectivamente el polo norte y sur de la esfera de proyección, O es el centro del cristal proyectado. Consideremos la cara (011), OD es la perpendicular a la cara (011) y D es el polo de esta cara en la proyección esférica. La línea trazada desde el polo sur, SD corta la línea del plano del ecuador FG en el punto D' (con frecuencia en este trabajo se hace uso de letras minúsculas con comilla, por ejemplo: d', e', f', g', etc. ver Fig.8.8), el polo estereográfico de (011). El ángulo NOD se conoce como ángulo ρ (rho). Con el fin de situar D’ directamente en la proyección estereográfica, es necesario determinar la distancia OD’ en función del ángulo Como el triángulo SOD es isósceles, ODS = OSD, ODS + OSD = Por tanto NOD = , OSD = /2, OS = r, el radio primitivo de la proyección. tg /2 = OD’/r, o OD’ = r tg /2 La distancia así obtenida se tendrá expresada en las unidades utilizadas para medir el radio del círculo primitivo de la proyección. En la Fig.8.9 se puede observar que:  

Los polos E y D pertenecen a una proyección esférica Los polos E y D pertenecen también a una proyección estereográfica

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Cristalografía de Especies Minerales Figura 8.9. Sección de la esfera de proyección mostrando la relación de los polos esféricos a los estereográficos.

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Los puntos E' y D' son las proyecciones estereográficas de las caras e y d. Como resumen, con el fin de hallar la distancia proyectada estereográficamente a partir del centro de proyección del polo de una cara dada, se multiplican las tangentes (tg) naturales de la mitad de ρ de esa cara por el radio de la proyección. La distancia así obtenida se las unidades utilizadas para medir el radio del tendrá círculo expresada primitivo deen la proyección. Cuando los polos de las caras del cristal se sitúan estereográficamente como ya se explicó, en la Fig.8.10 se hace patente la simetría de la distribución de las formas cristalinas cubo, octaedro y dodecaedro, solo los polos que yacen en el hemisferio norte, incluyendo los del ecuador, se transfieren a la proyección estereográfica. Hemos visto que un círculo máximo de proyección esférica es el lugar geométrico de los polos de las caras que forman una zona, Cuando se proyectan estereográficamente, los círculos máximos verticales son diámetros de la proyección; todos los demás círculos máximos se proyectan como arcos circulares que subtienden un diámetro. El caso extremo de estos círculos máximos es el del círculo primitivo de la proyección, que es el círculo Los máximo común a las proyecciones estereográfica. polos de las caras cristalinas verticalesesférica se hallany sobre el círculo primitivo y así se proyectan sin distorsión angular.

Figura 8.10. Proyección estereográfica de formas isométricas.

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8.4. PRINCIPALES PROPIEDADES DE LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA El autor de este trabajo considera como principales propiedades de la proyección esférica estereográfica, las siguientes:

1. Las caras que son paralelas al plano de proyección tienen sus proyecciones en el centro del círculo fundamental. Viendo la figura 8.11 (a, b, c); se observa que la cara C del cubo tiene su polo en c (001) indicado por c, el cual, finalmente, se proyecta en c', centro del círculo (Fig.8.11b y c). Cualquier otra cara paralela a C tendrá su proyección estereográfica en el mismo punto c'.

Figura 8.11. Caras paralelas al plano de proyección.

2. Las caras perpendiculares al plano de proyección, o sea las caras que pertenecen a una zona cuyo eje es normal al plano de proyección, tienen sus proyecciones estereográficas sobre la circunferencia fundamental. Fijándonos en las figuras a, b, c; de la primera propiedad podemos apreciar que los polos a, b, a1, b1 de las caras A, B, A1, B1, que están en zona y son perpendiculares al plano de proyección, coinciden con sus proyecciones que se hallan sobre la circunferencia fundamental. 3. La proyección estereográfica de todo círculo máximo que pasa por el punto de vista es un diámetro. En la figuras b, c, se ve que el diámetro a' a' 1 , es la proyección del círculo máximo a, f, c, g, a1, y que b' b'1 , es del b1, d, c, e, b, Por otra parte, como ya sabemos, todos los polos sobre un círculo máximo representan a caras que están en zona, por consiguiente, todas las proyecciones que se encuentran sobre un diámetro representan a las caras que pertenecen a una zona. 186

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Entonces, en la figura 8.11c, las proyecciones b1, d', c', e', b' corresponden a las caras de una zona; y las a1, g', c', f', a' pertenecen a otra zona. 4. Todo círculo máximo que no pasa por el punto de vista tiene como proyección un arco de círculo que corta al círculo fundamental en los extremos de un diámetro. En la por figura 8.12a,de podemos que elesférica, círculo máximo a, r1la , d,regla s, ar pasa el punto vista deobservar la proyección y siguiendo para encontrar las proyecciones estereográficas de varios polos tenemos que a', r', d', s', a 1; que se hallan sobre un arco de círculo, son las proyecciones de los puntos a, r, d, s, a1. Por otra parte, como este círculo máximo y el círculo fundamental se cortan según un diámetro (a' a1) resulta que la proyección estereográfica del primero debe cortar también al círculo fundamental en los extremos del mismo diámetro.

Figura 8.12. (a) Círculo máximo, (b) Proyección en el arco de círculo.

Además como en el caso anterior, las proyecciones a', r', d', s', y a 1 (Fig.8.12b), que se hallan sobre un arco de círculo, representan a caras que están en zona. En las figuras 8.12a y 8.13 el polo d se halla a 45º del polo b1. Estas relaciones angulares se conservan en la proyección estereográfica pero las distancias lineales van incrementándose del centro hacia la circunferencia en razón directa al valor angular.

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Figura 8.13. Ubicación de polos.

Así, si en la figura 8.13, se toma como unidad el valor del radio, la distancia del centro “O” a cualquiera de las proyecciones (m', d', n') será equivalente a la tangente de la mitad del ángulo representado, es decir, que Od' es igual a la tangente de 45º/2, así como Om'= tg 20º/2, etc. (ya explicado mediante la Fig.8.9). Por otra parte, en la figura 8.12a, tanto el polo s como el r se hallan ubicados sobre el círculo máximo que contiene a d, y que forma un ángulo 45º con elque círculo el arco de círculo de (Fig.8.12b) pasafundamental, por a', r', d', por s' y aconsiguiente, 1 es la proyección de un plano que hace un ángulo de 45º con el círculo fundamental.

8.5. SIGNOS CONVENCIONALES USADOS EN L A PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA En tanto que en la descripción de las formas cristalinas se hace uso frecuente de la proyección estereográfica, es conveniente establecer ciertas convenciones generales que ayuden a su interpretación. Como regla general, se toma como plano de proyección el plano formado por los ejes horizontales “a” y “b”, en el caso de los sistemas que se refieren a una cruz axial de 3 ejes y “a1”, “a2” y “a3” para el caso de los sistemas que usan 4 ejes cristalográficos; la única excepción a esta costumbre práctica formado porolos ejes “a”esy la “c”.del sistema monoclínico que toma el plano Para ilustrar sobre la posición de los valores cristalográficos, elementos de simetría y proyecciones de las caras de una forma cristalina, tomaremos la proyección esférica estereográfica de la clase del sistema cúbico, que es la que presenta el mayor número de 188

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elementos de simetría. Después de interpretar y conocer bien esta proyección, las demás resultan fáciles de comprender. En la figura 8.14, el plano de proyección es el formado por los ejes antero-posterior (a1) y transverso (a2), mientras que el eje vertical (a 3) viene a ser el centro de la circunferencia (plano de proyección); el punto de intersección de los ejes a1, a2, a3 coincide con el centro de la proyección, puesto que los ángulos formados por los ejes son iguales a 90º. En la proyección se indica la posición de estos ejes con flechas (