Criptografia - Cifras de Hill PDF

 

 

 Álgebra Linear aplicada à Criptografia – Cifras de Hill

Inês Rosa Mendes Mestrado Integrado em Engenharia Biológica Semestre 1 Resumo do projeto desenvolvido para apresentação na prova oral de Álgebra Linear

2015/2016

Manter uma mensagem secreta é uma necessidade que existe há vários séculos, mas na atualidade ganhou uma nova dimensão devido principalmente ao avanço tecnológico.  Neste trabalho tra balho será abordado um dos métodos para codificar/descodificar mensagen mensagenss e também para quebrar o código de um adversário. adversár io. As cifras mais simples são as cifras de substituição, em que cada letra do alfabeto é substituída por outra. É fácil de perceber que a frequência da utilização de cada letra se mantém na mensagem codificada, pelo que uma análise estatística geralmente é suficiente para quebrar o código. As cifras de Hill, tema deste trabalho, já não apresentam esse problema. Vamos começar por fazer corresponder um número a cada letra da seguinte forma.

Para qualquer número que não pertença ao conjunto acima é necessário recorrer à aritmética modular  para encontrar um equivalente equivalente entre 0 e 25.

Noções de aritmética modular Em aritmética modular consideramos equi equi valente valentess dois números a e b em relação a um número inteiro positivo m (módulo) se a diferença entre a e b é múltiplo inteiro de m a=b ( mod m) se a b é múlti plo de m Dado um módulo m, qualquer inteiro a é equivalente (mod m) a um dos inteiros 0, 1, 2,..., m 1 Este inteiro é denominado resíduo  de a módulo m. O conjunto dos resíduos de a  módulo m escreve-se m={0, 1, 2,..., m 1} Se a é um inteiro não negativo, o resíduo corresponde ao resto da divisão euclidiana euclidiana de a por m. Se a é negativo, o resíduo corresponde a m menos o resto da divisão de |a| por m. Se o resto da divisão de a por m for 0, o resíduo é 0.



ℤ





-1

-1

a (diferentes de zero) têm um Em aritmética normalem todos os números u m inverso, a , tal que a a =1. A noção equivalente aritmética modular é a seguinte:

 

ℤ

a-1 é um inverso de a sse a a-1= a-1a=1 (mod m) Prova-se que a tem um único inverso módulo m sse a e m não têm factores primos comuns. Se a e m têm pelo menos um factor primo comum, então não existe o inverso módulo m de a.

Dado a

m ,

Cifras de Hill  sistemas poligráficos. poligráficos. Isto quer dizer que a mensagem a As cifras vai de Hill inserem-se codificar ser dividida emnos conjuntos mais pequenos de n letras e a cifra denomina-se de classe n. Este método é baseado em transformações lineares, pelo que o centro do processo é uma matriz. Para exemplificar o procedimento vamos usar a frase “BOM DIA ALEGRIA” e uma cifra de classe 2 para melhor visualização das operações.

Cifrar Para começar é necessário escolher uma matriz secreta Anxn (neste caso 2x2). Esta matriz tem de

  

obedecer a certas condições que serão explicitadas adiante. Seja A=

 

De seguida agrupa-se a mensagem de acordo com n escolhido e se necessário acrescentam-se a crescentam-se letras para completar o último grupo. Como neste caso n=2, fica BO MD IA AL EG RI A AH. H. Para cada par sucessivo faz-se corresponder um número a cada letra segundo a tabela inicial. Cada par vai constituir um vector coluna p que vai ser multiplicado por  A, resultando um novo  par c cifrado: c=Ap  Para o primeiro par:

                  

BO →

 

 

 → ST 

A mensagem mensagem cifrada completa fic ficaria: aria: STHBQIHD STHBQIHDAIGFVJ AIGFVJ

Decifrar Para descodificar uma mensagem recorre-se à inversa da matriz A. Em aritmética modular uma



matriz A com entradas em m é invertível módulo m se houver uma matriz B tal que:  AB =BA I ( mod m) Como c=Ap  então  A -1c  p.  p. Para encontrar a inversa de  A  é necessário saber quais as condições sobre A tal que seja invertível. Em aritmética euclidiana uma matriz é invertível sse o seu determinante for diferente de zero. Por outras palavras, sse o seu determinante tiver inverso. Em aritmética modular existe o seguinte teorema equivalente: Uma matriz A nxn  com entradas em 26  é invertível mod 26 sse  tem inverso, -1 -1 ou seja, existe a tal que . a =1 (mod 26)

ℤ  

Como isto só se verifica se 26 (neste caso concreto) e  primos comuns, comuns, segue o corolário: Uma matriz A n n com entradas em por 2 ou por 13. x

26 é

       

invertível mod 26 sse

  não tiverem factores

   

 não é divisível

 

 Na prática,

-1

 A

   

 tem de corresponder a um dos seguintes valores (aplicado a m=26)

 

                    =

Para decifrar o primeiro par:

=

ST→

 (mod 26)

 

=

 (mod 26)

 

→BO 

Quebrar a Cifra

Sabemos que se tivermos acesso a uma base de uma transformação linear, conseguimos defini-la. Assim, se conhecermos conhecermos p1 , p2 ,..., pn linearmen linearmente te independentes, independentes, os os correspondentes vectores cifrados c1 , c2 ,..., cn, e a classe da cifra podemos quebrar o código. Teorema:

seja P=

Demonstração:

         e C=

  então

       →

(A-1)T  

  

T  T  T  Sejam E 1 , E 2 ,..., E k matrizes elementares tais que  E kk ...  PA =C então   E 2 E 1C=I e  AP  =C

 

 E kk  ... E 2 E 1 C= I 

T 

 

 E kk  ... E 2 E 1 PA =I 

T

T  −1

T  −1

(E kk ... E 2 E 1 P)A (A  ) =(A  )  

T  −1

 E k k... E 2 E 1 P=(A  )  

Tomemos como exemplo o caso anterior. A mensagem é BOM DIA ALEGRIAH e o texto cifrado correspondente é STHBQIHDAIGFVJ 

            

 p1=

  p2=

  P=

 

e

      

c1=

  c2=

  C=

 fazendo os cálculos obtém-se conclui que (A  ) =   T  −1

 

  (mod 26)  pelo que que se

Bibliografia ANTON, H.; RORRES, C. –   2000, 2000, Álgebra Linear com Aplicações, Artmed Editora, São Paulo http://apprendre-en-ligne.net/crypto/hill/Hillciph.pdf (20/01/2016) https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic (20/01/2016)