Cpe3 Regime Variables Transitoires Et Oscilla

1 BCPST1

Introduction Les circuits étudiés dans ce chapitre font intervenir des composants comme les condensateurs et les inductances. En régime continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et l’inductance comme un interrupteur fermé et ont donc un intérêt limité. Ces deux dipôles sont donc plutôt intéressants si un des paramètres du circuit change pendant un laps de temps relativement court pendant lequel l’intensité du courant et la tension évoluent vers une nouvelle valeur : c’est le régime transitoire. On considérera que les lois établies en régime stationnaire sont encore vraies car on suppose que l’on est en régime quasi-stationnaire (les états sont supposés « lentement » variables).

I. ETUDE DU DIPOLE RC SERIE : REGIMES TRANSITOIRES Le dipôle RC série est constitué d’un condensateur et d’un conducteur ohmique montés en série.

1.1. Le condensateur 1.1.1. Présentation Un condensateur est constitué de deux plaques, les armatures, généralement planes (il existe des condensateurs cylindriques, coniques, sphériques…) et usuellement parallèles, faites d’un matériau conducteur (un métal le plus souvent). L’espace est rempli par un isolant électrique, appelé le diélectrique.

1.1.2. Charge et décharge d’un condensateur : Première approche

Animations flash : charge et décharge d’un condensateur Expérience 1 : l’interrupteur est en position 1, on allume le générateur. 

Le générateur entraîne le ………………………………. d’un courant électrique. Cependant, ce courant ne peut pas ………………….. le diélectrique. Les charges qui circulent (les électrons) s’…………………………… ainsi au niveau des armatures. Pour des raisons de conservation, il apparaît des charges exactement …………….. sur les deux armatures.

Symbole

2 BCPST1  

L’apparition de charges et sur les plaques entraîne l’existence d’une …………………… aux bornes du condensateur. Le courant cesse lorsque le condensateur est entièrement chargé : il se comporte alors comme un …………………………………………………………….

Caractéristiques du condensateur idéal Le condensateur est dans ce premier cas un récepteur ; en utilisant la convention récepteur, la tension aux bornes du condensateur est ………………………. La relation entre la charge positive et la tension est : …………………………………………. Avec …………………………. en……………………..( ). On en déduit l’expression de

du

condensateur

en convention récepteur :

…………………………………………………………………. Lorsque le condensateur se charge,

augmente donc

est bien …………………………………………………..

Elargissement de la définition d’un dipôle linéaire : le condensateur est un dipôle linéaire car il existe une relation ………………………… entre l’intensité et la dérivée de la tension .

Expérience 2 : on bascule l’interrupteur en position 2, on éteint le générateur. Observations  Le moteur se met en ……………… puis finit par s’………………………... Interprétation  Le condensateur se décharge : un courant circule dans le sens ……………….du précédemment et alimente le moteur. Remarque  Lors de la décharge, le condensateur se comporte comme un …………………….., cependant ceci n’est possible que si on l’a au préalable …………………………. : le condensateur sera toujours considéré comme un dipôle ………………………

Caractéristiques du condensateur idéal En

considérant

encore,

le

condensateur

convention récepteur, lors de la décharge : et la tension

en

………………………………………….. donc

= …………………………. est donc ……………………………………, ce qui justifie que le sens du courant est ………………………….à celui de la charge.

3 BCPST1

A RETENIR ! Quel que soit le signe de la charge les relations suivantes : récepteur).

(toujours

, en charge ou en décharge, on a

vrai),

(uniquement

en

convention

1.1.3. Echelon de tension, tension créneau

Définition : Un échelon de tension peut être obtenu par fermeture d’un interrupteur dans un circuit. C’est le cas de l’expérience 1 précédente ; soit tension délivrée par le générateur. pour et pour .

la

Définition : Une tension créneau peut être obtenue par fermeture d’un interrupteur 1 puis basculement sur un interrupteur 2. C’est le cas de l’expérience 1 précédente suivie de l’expérience 2 ; la tension délivrée par le générateur. pour pour et pour .

1.1.4. Propriétés du condensateur idéal



Puissance reçue instantanée d’un condensateur :



Association en série de condensateurs



Association en parallèle de condensateurs

………………………………

1.2. Travaux pratiques (voir poly TP : étude d’un dipôle

en régime transitoire)

4 BCPST1 1.3. Etude théorique des régimes transitoires du dipôle 1.3.1. Réponse d’ un dipôle

soumis à un échelon de tension

 Conditions initiales et à l’infini L’interrupteur est ouvert depuis une durée suffisamment longue pour considérer que le condensateur est totalement déchargé. A l‘instant

, on ferme l’interrupteur :

D’un point de vue physique, la charge apparaît aux armatures du condensateur de façon progressive au fur et à mesure que les e- arrivent. En conséquence, la charge ne varie pas brusquement au niveau des armatures même si l’intensité du courant passe d’une valeur nulle à une valeur non nulle en fermant le circuit. On a donc ………………………………de la charge et de la tension aux bornes du condensateur.

…………,

…………

A l‘instant , le condensateur est entièrement …………………., le courant ne circule plus, le régime est …………………………………… et il est de plus stationnaire (ne varie pas au cours du temps). La tension est celle du ……………………………..

, Equation différentielle sur



pour

On applique la loi des mailles : …………………………………………………………………………………………….. On a

……………..d’où ……………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Posons

, la constante de temps d’où l’équation différentielle du 1er ordre avec second membre :

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Résolution  Solution de l’équation différentielle du 1er ordre sans second membre ……………………………………………………………………………………………. 

Solution particulière : …………………………………………..



Solution complète : ……………………………………………………………..



Conditions aux limites : ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5 BCPST1  Solution finale : ……………………………………………………………………………………………………. Exercice : Calculer le de la tension atteinte aux bornes du condensateur par rapport à la valeur finale au bout d’une durée égale à

 Allure de

.

en fonction de

Pour les effets de

et

et détermination de

sur l’allure de la courbe, on se référera au TP.

On remarque bien la ……………………. de la tension et l’établissement d’un régime permanent après le régime transitoire.

Détermination graphique de la constante de temps  On trace la tangente à l’origine, l’intersection avec la droite horizontale indique la valeur de .  On détermine l’abscisse correspondant à l’ordonnée . Démonstration voir TDE3  Evolution de Comme

,

……………………………………………………………….

On remarque bien la …………………………. de à et l’obtention d’un régime ……………………….. lorsque l’intensité devient nulle. Détermination graphique de la constante de temps  On trace la tangente à l’origine, l’intersection avec l’axe des temps indique la valeur de .  On détermine l’abscisse correspondant à l’ordonnée Démonstration voir TDE3  Aspect énergétique

Puissances instantanées : on applique la loi des ……………………….. et on multiplie chaque membre par …………………

6 BCPST1 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Bilan énergétique instantanée : on ……………………… par

.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bilan énergétique pendant la charge : on …………………………. entre

et

,

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

L’énergie fournie par le générateur est la somme de l’énergie ………………………….. et de l’énergie …………………………………….. Quelles que soient les valeurs de

et de

, l’énergie dissipée par effet Joule est égale à

l’énergie ………………………………………………..

1.3.2. Régime libre ; décharge du condensateur  Conditions initiales et à l’infini L’interrupteur est fermé en position 1 depuis une durée suffisamment longue pour considérer que le condensateur est totalement chargé. A l‘instant

, on ferme l’interrupteur en position 2 :

Le circuit se réduit au condensateur en série avec le conducteur ohmique. On a continuité de la tension et discontinuité de l’intensité :

……,

……

A l‘instant , le condensateur est entièrement …………………., le courant ne circule plus, le régime est ………………………………… La tension est …………………….

,  Equation différentielle sur

pour

On applique la loi des mailles : …………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… On a Avec

……………..d’où ………………………………………………………………………………………………. , la constante de temps d’où l’équation différentielle du 1er ordre sans second membre :

7 BCPST1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Résolution  Solution de l’équation différentielle du 1er ordre sans second membre ……………………………………………………………………………………………. 

Conditions aux limites : ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..



Solution finale : …………………………………………………………………………………………………….

 Evolution de Comme

 Allure de

,

………………………………………………………………. en fonction de

 Aspect énergétique

Puissances instantanées : on applique la loi des ……………………….. et on multiplie chaque membre par ….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Bilan énergétique instantanée : on ……………………… par

.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bilan énergétique lors de la décharge : on …………………………. entre

et

,

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Au cours de la décharge, l’énergie libérée par effet Joule est égale à l’énergie …………………………………

8 BCPST1 II. ETUDE DU DIPOLE

SERIE

Le dipôle RL série est constitué d’une bobine et d’un conducteur ohmique montés en série.

2.1. La bobine 2.1.1. Présentation

Symbole

Une bobine est constituée d’un enroulement d’un fil métallique en un certain nombre de spires.

 Une bobine idéale se comporte comme un interrupteur ……………………. en régime continu.  Une bobine réelle possède une résistance r et se comporte comme un …………………………………………… en régime continu (r est de l’ordre de quelques ohms).  Une bobine possède une inductance exprimée en . En régime variable, il se produit un phénomène, appelé auto-induction qui est à l’origine d’une tension aux bornes de la bobine, proportionnelle à la variation temporelle de l’intensité du courant qui la parcourt.

En résumé





Bobine idéale en convention récepteur



Bobine réelle en convention récepteur

le condensateur est un dipôle linéaire car il existe une relation linéaire entre la tension dérivée de l’intensité .

2.1.2. Mise en évidence du phénomène d’auto-induction On ferme le circuit :  Un courant circule dans la ………………………  La diode est montée en ………………………. et …………….. courant ne la traverse. On ouvre le circuit :  La diode émet un ……………………, le courant circule dans la DEL pendant un court instant.

Interprétation 

A la fermeture du circuit, le courant passe dans la bobine, tension



et augmente donc est donc …………………. ainsi que

, la .

A l’ouverture du circuit, un bref courant

et la

9 BCPST1 traverse la DEL donc

,ce dernier s’annule

rapidement donc

, le terme

est

donc ………………. C’est l’existence de cette tension qui permet le passage du courant dans la DEL.

2.1.3. Propriétés de la bobine idéale



Puissance instantanée d’une bobine :



Association en série de bobines idéales



Association en parallèle de bobines idéales

………………………………

2.2. Travaux pratiques (voir poly TP3 : étude d’un dipôle

en régime transitoire)

2.3. Etude théorique du régime transitoire du dipôle 2.3.1. Réponse d’un dipôle

soumis à un échelon de tension

Le problème est identique à celui du dipôle d’inductance .

, en remplaçant le condensateur idéal par la bobine idéale

 Conditions initiales et à l’infini A l‘instant

, on ferme l’interrupteur :

D’un point de vue physique, l’intensité du courant dans la bobine ne peuvent pas subir de …………………………………………. car si l’intensité passait d’une valeur nulle à une valeur non nulle instantanément, alors la tension serait ……………………..

……

,

……

A l‘instant , le régime permanent est atteint et il est ici continu (indépendant du temps) ; la bobine se comporte comme un interrupteur fermé :

10 BCPST1

 Equation différentielle sur

pour

On applique la loi des mailles : …………………………………………………………………………………………….. On a ……………..d’où ………………………………………………………………………………………………. , la constante de temps d’où l’équation différentielle du 1er ordre avec second membre :

Posons

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Résolution  Solution de l’équation différentielle du 1er ordre sans second membre …………………………………………………………………………………………….  Solution particulière : …………………………………………..  Solution complète : ……………………………………………………………..  Conditions aux limites : ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..  Solution finale : …………………………………………………………………………………………………….

 Allure de

en fonction de

et détermination de

Pour l’allure de la courbe et les effets de

et

sur l’allure de la courbe, on se référera au TP.

On remarque bien la …………………………. de à et l’obtention d’un régime ……………………….. après le régime transitoire.

Détermination graphique de la constante de temps  On trace la tangente à l’origine, l’intersection avec la droite horizontale

……………. indique la valeur de .

 On détermine l’abscisse correspondant à l’ordonnée

 Evolution de Comme

,

…………………………….

On remarque bien la ……………………… de à et l’obtention d’un régime continu lorsque la tension devient nulle. Détermination graphique de la constante de temps  On trace la tangente à l’origine, l’intersection avec l’axe des temps indique la valeur de τ. On détermine l’abscisse correspondant à l’ordonnée

.

11 BCPST1  Aspect énergétique Puissance reçue instantanée de la bobine : ………………………………………………. Energie inductive élémentaire : on ……………………… par

.

……………………………………………………………

Energie inductive pendant le régime transitoire : on …………………………. entre

et

,

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2.3.2. Régime libre  Conditions initiales et à l’infini L’interrupteur est fermé en position 1 depuis une durée suffisamment longue pour considérer que le régime permanent soit atteint. A l‘instant

, on ferme l’interrupteur en position 2 :

Le circuit se réduit à la bobine en série avec le conducteur ohmique. On a discontinuité de la tension et continuité de l’intensité :

……

A l‘instant

……

,

, le courant ne circule plus, le régime est ………………………………… la tension

……

……………………. :

 Equation différentielle sur

pour

On applique la loi des mailles : …………………………………………………………………………………………….. On a

……………..d’où ……………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. , la constante de temps d’où l’équation différentielle du 1er ordre sans second membre :

Avec

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Résolution  Solution de l’équation différentielle du 1er ordre sans second membre ……………………………………………………………………………………………. 

Conditions aux limites : ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..



Solution finale : …………………………………………………………………………………………………….

 Evolution de

...................................................................................................

est

12 BCPST1  Allure de

et

en fonction de

 Aspect énergétique

Puissances instantanées : on applique la loi des ……………………….. et on multiplie chaque membre par ….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Bilan énergétique instantanée : on ……………………… par

.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bilan énergétique : on …………………………. entre

et

,

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

La bobine restitue tout son énergie reçue au ……………………………………….. qui la dissipe sous forme ………………………………………………………………………….

III. OSCILLATIONS LIBRES D’UN CIRCUIT LC Nous avons vu que le condensateur peut stocker de l’énergie capacitive et la bobine de l’énergie inductive. Nous allons voir comment l’association d’un condensateur et d’une bobine idéaux permet la création d’oscillations libres sans perte d’énergie

3.1. Montage Dans un premier temps, l’interrupteur est en position 1, le condensateur se charge jusqu’à atteindre un régime permanent où l’intensité du courant est ………………… On bascule ensuite l’interrupteur en position 2, aucun autre signal n’est imposé au circuit ; il évolue alors en régime …………

3.2. Etablissement de l’équation différentielle du régime libre et résolution

13 BCPST1 3.2.1. Etablissement

L’instant est l’instant où on bascule l’interrupteur en position 2, le condensateur étant chargé.  La convention récepteur est adoptée pour le condensateur.  La convention récepteur est adoptée pour la bobine. 

 Conditions initiales

On a ………………………. de la charge et de l’intensité du courant. Pour le condensateur

, de plus

 Equation différentielle sur

,

pour

On applique la loi des mailles : …………………………………………………………………………………………….. On a

………… ……….... et

Posons

, avec

……………… d’où ………………………………………………………………… , la ………………………………

d’où l’obtention de l’équation différentielle

du second ordre sans second. …………………………………………………………………………………………………………………………..

3.2.2. Résolution 

Solution de l’équation différentielle du second ordre sans second membre …………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………….





Conditions aux limites : ……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….



Solutions finales :



Expressions de

………………………………………………………

et

:

…………………………………………….

.........

.......................................................................................

.........

.......................................................................................

3.2.3. Définitions 

Un système physique dont une grandeur varie de façon sinusoïdale est qualifié d’……………………………, si aucune autre terme n’apparaît, c’est un oscillateur …………………………………..



Le circuit



La période (propre, en ) des oscillations est reliée à sa pulsation propre :



La fréquence (propre, en

est qualifié de circuit …………………………..

) des oscillations est reliée à sa pulsation propre :

3.3. Déphasage entre tensions et intensité

……………………………… ………………………

14 BCPST1 Les tensions et sont des fonctions sinusoïdales de même période mais elles ne parviennent pas à leur valeurs extrémales aux mêmes instants : elles sont ………………………………….

……………… et

La phase à l’origine à

de

est …..,

celle de

et s’appelle le …………………… entre la tension

est ……… ; la différence

et la tension

Dans le cas du circuit

, le déphasage vaut : ……………

Définition : lorsque

vaut

-

est égale

.

, les deux tensions sont dits en ………………………………………………………..

La tension et le courant sont des fonctions sinusoïdales de même période mais elles ne parviennent pas à leur valeurs extrémales aux mêmes instants : elles sont ………………………………….

……………… et

La phase à l’origine

de

est …..,

celle de

et s’appelle le …………………… entre la tension

est ……… ; la différence

, le déphasage vaut : ……………

Définition : lorsque

vaut

, l’intensité et la tension sont dits en ………………………………………………………..

3.4. Retard et avance Considérons un intervalle sur lequel on identifie deux fronts montants pour et . On voit que l’intensité atteint son maximum en 1er à la date et la tension a une date plus grande. Le courant atteint son maximum en 1er, le courant est donc en ………………………… sur la tension .

est négatif, la tension

est égale à

et le courant.

Dans le cas du circuit



-

est en ………………. sur le courant .

15 BCPST1 

ici

Le déphasage temporel

est l’avance ou le retard de l’intensité sur la tension est tel que :

………….

3.5. Aspect énergétique Puissances instantanées : on applique la loi des ……………………….. et on multiplie chaque membre par ….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Bilan énergétique instantanée : on ……………………… par

.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Bilan énergétique : on …………………………. entre

et

,

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

L’énergie électrique (inductive + capacitive) se ………………………………………………. Valeur de cette énergie : ……………………………………………………………………………………………