CP 6 - PROTENDIDO CONTEUDO 06 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
FEVEREIRO/2012
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA
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1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS 1.1 - Introdução Este capítulo é uma coletânea de exercícios aplicados em provas do curso de concreto protendido. Os problemas de dimensionamento quanto aos Estados Limites de Utilização devem ser complementados com a verificação do Estado Limite Último, obrigatória por norma.
1.2 - Formulário: Combinações da NBR- 8681 COMBINAÇÕES DE UTILIZAÇÃO Combinações quase-permanentes m
n
i =1
j =1
Fd,uti = FGi,k + 2j FQj,k Combinações freqüentes m
n
i =1
j =2
Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k Combinações raras m
n
i =1
j =2
Fd,uti = FGi,k + FQ1,k + 1j FQj,k
COMBINAÇÕES ÚLTIMAS Combinações últimas normais m
n
i =1
j =2
Fd = gi FGi,k + q [FQ1,k + 0j FQj,k]
0 , 1 e 2 : conforme tabela 5 da NBR-8681 gi e q : coeficientes de ponderação conforme NBR-8681
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2 - DIMENSIONAMENTO 2.1 - Exercício 1 A estrutura abaixo representa uma laje, de seção transversal constante, em balanço, submetida às ações: g = peso próprio, com c = 25 kN/m³ q = 2 kPa (carga acidental distribuída) G = 50 kN (carga concentrada permanente) Q = 20 kN (carga concentrada acidental) A laje deverá ser protendida com cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 150 kN por cordoalha, na seção de engastamento (A). Dimensionar a armadura de protensão, na seção de engastamento (A), com protensão completa, seguindo as diretrizes da NBR-7197.
vista lateral A
cabos
A p (distribuída)
seção transversal (A) A
B
modelo de cálculo DADOS COMPLEMENTARES · Utilizar um número inteiro de cabos · fck = 32 MPa ; fctk = 2 MPa · Adotar CG dos cabos a 5 cm da borda superior : Yo = 0,05 m · Fatores de utilização :
· Tensões máximas para os Estados Limites :
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RESOLUÇÃO a) Características geométricas Ac = 3,00 0,45 = 1,35 m² Ic = 3,00 (0,45)3 / 12 = 0,02278 m4 Wcsu = W cin = 0,02278 / 0,225 = 0,10124 m³
b) Ações externas g = 1,35 25 = 33,75 kN / m q = 2 3 = 6,00 kN / m G = 50 kN Q = 20 kN
c) Esforços solicitantes na seção (A) Mg,A = 33,75 (10)2 / 2 = 1687,5 kN.m Mq,A = 6,00 (10)2 / 2 = 300 kN.m MG,A = 50 10 = 500 kN.m MQ,A = 20 10 = 200 kN.m
d) Tensões normais devidas às ações externas g: q: G: Q:
csu,g = - cin,g = 1687,5 / 0,10124 = 16668 kPa csu,q = - cin,q = 300 / 0,10124 = 2963 kPa csu,G = - cin,G = 500 / 0,10124 = 4939 kPa csu,Q = - cin,Q = 200 / 0,10124 = 1975 kPa
e) Tensões normais devidas à protensão de 4 15,2 a tempo na seção (A) ep = 0,225 - 0,05 = 0,175 m P = 4 (- 150) = - 600 kN / cabo
csu,NP = (-600 / 1,35) - [-600 (-0,175) / 0,10124] = - 444,44 - 1037,14 = - 1481,58 kPa cin,NP = - 444,44 +1037,14 = 592,70 kPa
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f) Dimensionamento: Protensão Completa 1 - Combinações freqüentes : (descompressão)
Na fibra superior :
16668 + 4939 + 0,7 2963 + 0,5 1975 + m' (- 1481,58) = 0 m' = 16,65 adotado 17 cabos Verificação da fibra inferior com 17 cabos 17 592,70 - ( 16668 + 4939 + 0,7 2963 + 0,5 1975) = - 14592,70 | 14592,70 | < 19200 OK 2 - Combinações raras : (formação de fissuras)
Na fibra superior :
16668 + 4939 + 2963 + 0,6 1975 + m'' (- 1481,58) 2400 m'' = 15,76 adotado 16 cabos Verificação da fibra inferior com 16 cabos 16 592,70 - (16668 + 4939 + 2963 + 0,6 1975) = - 16271,80 | 16271,80 | < 19200 OK Resposta: m = 17 cabos de 4 15,2 , distribuidos na largura de 3 m, na parte superior, a cada ~17 cm.
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2.2 - Exercício 2 O pilar central de uma passarela, construído com formas deslizantes, com seção transversal constante, foi protendido segundo a direção vertical (protensão centrada), conforme indica a figura.
Ações atuantes, além da protensão: G = 2000 kN H = 180 kN G1
reação da superestrutura, representando as cargas permanentes força horizontal acidental (com 1 = 0,6) peso próprio do pilar com = 25 kN / m³
Sabendo-se que o pilar foi projetado com 8 cabos, determinar o número de cordoalhas por cabo para se ter protensão total na seção de engastamento bloco x pilar. A força de protensão, após todas as perdas, é P = - 110 kN. DADOS COMPLEMENTARES · Características: Ic = ( / 64) (D4 - d4) ,
W c = Ic / (D / 2)
· Utilizar concreto com fck = 34 MPa e fctk = 3 MPa · Os cabos devem conter igual número de cordoalhas · Desprezar efeitos de 2ª ordem e cisalhamento
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Combinações de Utilização Combinações freqüentes m
n
i =1
j =2
Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k
Combinações raras m
n
i =1
j =2
Fd,uti = FGi,k + FQ1,k + 1j FQj,k
RESOLUÇÃO a) Características Ac = 0,7854 [(1,60)2 - (1,10)2] = 1,0603 m² Ic = ( / 64) [(1,60)4 - (1,104)] = 0,2498 m4 Wc = 0,2498 / 0,80 = 0,3123 m³
b) Ações externas, no engastamento G = 2000 kN G1 = 1,0603 20 25 = 530,15 kN MH = 180 20 = 3600 kN.m
c) Tensões externas devido G G = - 2000 / 1,0603 = - 1886,26 kPa devido G1 G1 = - 530,15 / 1,0603 = - 500,00 kPa devido MH MH,máx,min = ± 3600 / 0,3123 = ± 11527,38 kPa d) Tensões devidas à protensão de 1 cordoalha
P(o) = - 110 / 1,0603 = - 103,74 kPa
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e) Dimensionamento / Verificações 1 - Combinações freqüentes Fibra mais tracionada:
c,P + G + G1 + 1 FQ1 0
m' (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 + 0,6 11527,38 0 m' 43,7 cordoalhas adotado m1 = 48 cordoalhas Fibra mais comprimida:
c,P + G + G1 + 1 FQ1 | 0,6 fck |
48 (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 - 0,6 11527,38 = - 14282,21 | 14282,21 | < | 0,6 34000 | = | 20400 |
OK
2 - Combinações raras Fibra mais tracionada:
c,P + G + G1 + FQ1 1,2 fctk
m'' (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 + 11527,38 1,2 3000 m'' 53,41 cordoalhas adotado m2 = 56 cordoalhas Fibra mais comprimida:
c,P + G + G1 + FQ1 | 0,6 fck |
56 (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 - 11527,38 = - 19723,08 | 19723,08 | < | 20400 |
OK
f) Representação gráfica: combinações freqüentes e raras
-449,35 +3.331,68
Resposta: Adotado 56 cordoalhas (8 cabos de 7 cordoalhas cada).
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2.3 - Exercício 3 Dimensionar a armadura de protensão, da viga abaixo esquematizada, com protensão completa, segundo as recomendações da NBR - 7197.
DADOS COMPLEMENTARES · Utilizar cordoalhas de 12,7 mm · Força útil de protensão após todas as perdas: N = - 115 kN / cordoalha · Adotar igual número de cordoalhas por cabo · Número de cabos = 4 · I = b h3 / 12 ; W = I / y · Mg1 = 400 kN.m · Mq1 = 300 kN.m · MQ2 = 200 kN.m · Concreto :
1 = 0,8 1 = 0,8
2 = 0,6 2 = 0,6
fck = 30 MPa ; fctk = 2,0 MPa
Tensões máximas para os Estados Limites
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Combinações de Utilização Combinações freqüentes m
n
i =1
j =2
Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k Combinações raras m
n
i =1
j =2
Fd,uti = FGi,k + FQ1,k + 1j FQj,k
RESOLUÇÃO
a) Características geométricas Ac = 0,50 1,00 = 0,50 m² Ic = 0,50 (1,00)3 / 12 = 0,0417 m4 Wcsu = W cin = 0,0417 / 0,5 = 0,0833 m³
b) Carregamentos externos Mg1 = 400 kN.m Mq1 = 300 kN.m MQ2 = 200 kN.m c) Tensões normais externas devido g1 cin,g1 = - csu,g1 = 400 / 0,0833 = 4800 kPa devido q1 cin,q1 = - csu,q1 = 300 / 0,0833 = 3600 kPa devido Q2 cin,Q2 = - csu,Q2 = 200 / 0,0833 = 2400 kPa d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha de 12,7 mm, a tempo Yo = 0,10 m ;
e = 0,50 - 0,10 = 0,40 m
;
NP = - 115 kN
c(o)su,NP = - 115 / 0,50 + 115 0,40 / 0,0833 = -230 + 552 = 322 kPa c(o)in,NP = - 230 - 552 = - 782 kPa
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e) Dimensionamento com protensão completa 1 - Combinações freqüentes (descompressão)
Na fibra inferior
cin,P + g1 + 1 q1 + 2 Q2 = 0
(- 782) m1 + 4800 + 0,8 3600 + 0,6 2400 = 0 m1 = 11,66 cordoalhas (: 4 = 2,92) adotado 3 4 = 12 cordoalhas de 12,7 mm Verificação da fibra superior com 12 cordoalhas de 12,7 mm 12 322 - 4800 - 0,8 3600 - 0,6 2400 < |18000| - 5256 < |18000| OK 2 - Combinações raras (formação de fissuras)
Na fibra inferior
cin,P + g1 + q1 + 1 Q2 2400
(- 782) m1 + 4800 + 3600 + 0,8 2400 2400 - 782 m1 2400 - 10320 - 782 m1 - 7920 m1 10,13 adotado 12 cordoalhas de 12,7 mm Verificação da fibra superior com 12 cordoalhas de 12,7 mm 12 322 - 4800 - 3600 - 0,8 2400 < |18000| - 6456 < |18000| OK
Resposta: Adotado 12 cordoalhas de 12,7 mm , ou seja, 4 cabos de 3 12,7 mm cada.
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2.4 - Exercício 4 A estrutura abaixo representa uma viga de seção transversal constante, biapoiada, submetida às ações g1 (peso próprio), g2 (sobrecarga permanente distribuída) e Q (carga concentrada acidental). A viga deverá ser protendida com cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 150 kN por cordoalha, na seção central de momento máximo. Dimensionar a seção central, com protensão limitada, seguindo as diretrizes da NBR7197, utilizando-se um número inteiro de cabos.
DADOS COMPLEMENTARES · Ac = 0,65 m² · Ic = 0,1695 m4 · fck = 32 MPa ; fctk = 2,2 MPa · = 20 m · g2 = 34 kN / m · Q = 300 kN · c = 25 kN / m³ · Adotar CG dos cabos em Yo = 0,10 m · Fator de utilização para Q: 1 = 0,7 e 2 = 0,6 · Não considerar o Estado Limite Último e fases de execução (protensão)
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Combinações de Utilização Combinações quase-permanentes m
n
i =1
j =1
Fd,uti = FGi,k + 2j FQj,k
Combinações freqüentes m
n
i =1
j =2
Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k
Tensões Limites
RESOLUÇÃO
a) Características geométricas Ac = 0,65 m²
Wcsu = W cin = 0,226 m³
Ic = 0,1695 m4
Ycsu = Ycin = 0,75 m
b) Carregamentos: momentos fletores na seção central g1 = 0,65 25 = 16,25 kN / m
Mg1 = 16,25 (20)2 / 8 = 812,50 kN.m
g2 = 34 kN / m
Mg2 = 34 (20)2 / 8 = 1700,0 kN.m
Q = 300 kN
MQ = 300 20 / 4 = 1500,0 kN.m
c) Tensões normais devidas às ações externas devido g1: devido g2: devido Q:
cin,g1 = - csu,g1 = 812,50 / 0,226 = 3595,13 kPa cin,g2 = - csu,g2 = 1700,0 / 0,226 = 7522,12 kPa cin,Q = - csu,Q = 1500,0 / 0,226 = 6637,17 kPa
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d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cabo de 4 cordoalhas 1 cabo = NP = 4 (- 150) = - 600 kN ep = 0,75 - 0,10 = 0,65 m
c(o)in,NP = [(- 600) / 0,65] + [(- 600) 0,65 / 0,226] = - 923,08 - 1725,66 = - 2648,74 kPa c(o)su,NP = - 923,08 + 1725,66 = 802,58 kPa e) Número de cabos: protensão limitada 1 - Combinações quase permanentes
Na fibra inferior:
cin (g1 + g2 + P) + 2 Q = 0
3595,13 + 7522,12 + 0,6 6637,17 + m' (- 2648,74) = 0 m' = 5,70 adotado m' = 6 cabos Na fibra superior com m' = 6 cabos 6 802,58 - (3595,13 + 7522,12 + 0,6 6637,17) = - 10284,07 kPa | 10284,07 | < 0,6 30000 = 19200 kPa OK 2 - Combinações freqüentes
Na fibra inferior:
cin (g1 + g2 + P) + 1 Q 1,2 fctk
3595,13 + 7522,12 + 0,7 6637,17 + m'' (2648,74) = 2640 m'' = 4,95 adotado m'' = 6 cabos Na fibra superior com m'' = 6 cabos 6 802,58 - (3595,13 + 7522,12 + 0,7 6637,17) = - 10947,79 kPa | 10947,79 | < 19200 kPa OK Resposta: 6 cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm.
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2.5 - Exercício 5 Uma viga de seção transversal em forma de T, conforme detalhe a seguir, deverá resistir aos seguintes esforços solicitantes: Mg1 = 280 kN.m Mg2 = 60 kN.m
devido ao peso próprio devido ao revestimento g2
Mq1 = 400 kN.m
sobrecarga 1
Mq2 = 220 kN.m
sobrecarga 2
1 = 0,6 1 = 0,3
2 = 0,4 2 = 0,2
A viga será protendida com cabos de cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 160 kN / cordoalha. a) Considerando-se as Normas NBR-7197 (Concreto Protendido) e a NBR-8681 (Ações e segurança), descrever os tipos de protensão quanto aos Estados Limites de Utilização. b) Dimensionar a seção, ou seja, calcular o número mínimo de cordoalhas para que se tenha, segundo a NBR-7197, protensão limitada. DADOS COMPLEMENTARES · Ac = 0,335 m² · Ic = 0,01803 m4 · Ycsu = 0,28 m · Ycin = 0,52 m · W csu = 0,0644 m³ · W cin = 0,0347 m³ · Yo = 0,08 m (posição do CG dos cabos) · fck = 30 MPa ; fctk = 2,1 MPa
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Combinações de Utilização conforme NBR-8681 Combinações quase-permanentes m
n
i =1
j =1
Fd,uti = FGi,k + 2j FQj,k Combinações freqüentes m
n
i =1
j =2
Fd,uti = FGi,k + 1 FQ1,k + 2j FQj,k Combinações raras m
n
i =1
j =2
Fd,uti = FGi,k + FQ1,k + 1j FQj,k
Tensões Limites
RESOLUÇÃO a) Tipos de protensão segundo os Estados Limites de Utilização (NBR-7197 e 8681) Nas classificações são utilizadas as combinações quase-permanentes, as freqüentes e as raras. Os estados limites de utilização estão associados à fissuração do concreto podendo ser de descompressão, formação de fissuras e abertura de fissuras. As protensões podem ser completa, limitada e parcial, conforme a seguinte sinopse:
Em todas as combinações respeitar-se-á o Estado Limite Último.
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b) Dimensionamento da seção 1 - Esforços solicitantes Mg1 = 280 kN.m Mg2 = 60 kN.m Mq1 = 400 kN.m Mq2 = 220 kN.m 2 - Tensões normais devidas às ações externas devido g1: devido g2: devido q1: devido q2:
cin,g1 = 8069,16 kPa cin,g2 = 1729,17 kPa cin,q1 = 11527,38 kPa cin,q2 = 6340,06 kPa
csu,g1 = - 4347,83 kPa csu,g2 = - 931,68 kPa csu,q1 = - 6211,18 kPa csu,q2 = - 3416,15 kPa
1
2
0,6
0,4
0,3
0,2
3 - Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha a tempo Yo,in = 0,08 m ep = 0,52 - 0,08 = 0,44 m
c(o)in,P = [(- 160) / 0,335] + [(- 160) 0,44 / 0,0347] = - 477,62 - 2028,82 = - 2506,44 kPa c(o)su,P = [(- 160) / 0,335] - [(- 160) 0,44 / 0,0644] = - 477,62 + 1093,17 = 615,55 kPa 4 - Determinação do número de cordoalhas com protensão limitada i) Para combinações quase-permanentes
csu,P + g + 2j FQj,k | c | cin,P + g + 2j FQj,k = 0 · Na fibra inferior
cin,P + g + 2j FQj,k = 0 m' (- 2506,44) + 8069,16 + 1729,17 + 0,4 11527,38 + 0,2 6340,06 = 0 m' = 6,25
adotado 7 cordoalhas
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· Na fibra superior com 7 cordoalhas
csu,P + g + 2j FQj,k 0,6 30000 = 18000 7 615,55 - 4347,83 - 931,68 + 0,4 (- 6211,18) + 0,2 (- 3416,15) = - 4138,36 | 4138,36 | < | 18000 |
OK
ii) Para combinações freqüentes
csu,P + g + 1 FQ1,k + 2j FQj,k | c | cin,P + g + 1 FQ1,k +2j FQj,k = 2520 · Na fibra inferior
cin,P + g + 1 q1 +2 q2 = 2520 m'' (- 2506,44) + 8069,16 + 1729,17 + 0,6 11527,38 + 0,2 6340,06 = 2520 m'' = 6,17
adotado 7 cordoalhas
· Na fibra superior com 7 cordoalhas
csu,P + g + 1 q1 + 2 q2 18000 7 615,55 - 4347,83 - 931,68 + 0,6 (- 6211,18) + 0,2 (- 3416,15) = - 5380,60 | 5380,60 | < | 18000 |
OK
Resposta: m = 7 cordoalhas de 15,2 mm ; P = - 1120 kN.
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2.6 - Exercício 6 A estrutura abaixo representa uma viga-calha de cobertura de um galpão industrial, com seção transversal constante, biapoiada, submetida às seguintes ações externas: g1 g2 q Q
peso próprio com = 25 kN / m³ ação permanente (telhas) ação variável (água e sobrecarga) ação variável concentrada (talha)
10,2 10,0
A viga deverá ser dimensionada com protensão através de 4 cabos, simetricamente distribuidos, com igual número de cordoalhas. As cordoalhas serão de 12,7 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 115 kN / cordoalha, na seção central (seção mais solicitada).
Dimensionar a armadura de protensão, com protensão limitada, segundo as recomendações da NBR-7197.
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DADOS COMPLEMENTARES · fck = 30 MPa · fctk = 2,04 MPa · = 16,00 m · q = 14,00 kN / m · g2 = 18,00 kN / m · Q = 60,00 kN · Desprezar engrossamentos junto aos apoios · Não há necessidade, para simplificar, da verificação da execução e Estado Limite Último Fatores de Utilização
Tensões Máximas para os Estados Limites
RESOLUÇÃO
a) Características geométricas Ac = 0,15 1,20 2 + 0,20 0,30 = 0,42 m² Ic = 2 0,15 (120)3 / 12 + 0,30 (0,20)3 / 12 = 0,0434 m4 Wcsu = W cin = 0,0434 / 0,60 = 0,07233 m³
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b) Carregamentos externos (momentos fletores) = 16,00 m g1 = 0,42 25 = 10,50 kN / m g2 = 18,00 kN / m q = 14,00 kN / m Q = 60,00 kN Mg1 = 10,50 (16,00)2 / 8 = 336,00 kN.m Mg2 = 18,00 (16,00)2 / 8 = 576,00 kN.m Mq = 14,00 (16,00)2 / 8 = 448,00 kN.m MQ = 60 16,00 / 4 = 240,00 kN.m c) Tensões normais externas devido g1 : devido g2 : devido q : devido Q :
cin,g1 = - csu,g1 = 336,00 / 0,07233 = 4645,38 kPa cin,g2 = - csu,g2 = 576,00 / 0,07233 = 7963,50 kPa cin,q = - csu,q = 448,00 / 0,07233 = 6193,83 kPa cin,Q = - csu,Q = 240,00 / 0,07233 = 3318,13 kPa
d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha de 12,7 mm, a tempo Yo = 0,10 + 0,051 = 0,151 m e = 0,60 - 0,151 = 0,449 m NP = - 115 kN
c(o)su,NP = [(- 115) / 0,42] + [115 0,449 / 0,07233] = - 273,81 + 713,88 = 440,07 kPa c(o)in,NP = -273,81 - 713,88 = - 987,69 kPa e) Dimensionamento com Protensão Limitada 1 - Combinações quase-permanentes
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Na fibra inferior:
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cin,Np + g1 + g2 + 2 q + 2 Q 0
4645,38 + 7963,50 + 0,6 6193,83 + 0,4 3318,13 + m (- 987,69) 0 m 17,87 cordoalhas adotado 4 x 5 = 20 cordoalhas Na fibra superior com 20 cordoalhas: - 4645,38 - 7963,50 + 0,6 (- 6193,83) + 0,4 (- 3318,13) + 20 440,07 = - 8851,03 | 8851,03 | < 18000
OK
2 - Combinações freqüentes
Na fibra inferior:
cin,Np + g1 + g2 + 1 q + 2 Q 1,2 fctk
4645,38 + 7963,50 + 0,8 6193,83 + 0,4 3318,13 + m' (- 987,69) 2448 m 16,65 cordoalhas adotado 4 x 5 = 20 cordoalhas Na fibra superior com 20 cordoalhas: - 4645,38 - 7963,50 + 0,8 (-6193,83) + 0,4 (-3318,13) + 20 (440,07) = - 10089,80 | 10089,80 | < 18000 OK
Resposta: Adotado 20 cordoalhas, ou seja, 4 cabos de 5 12,7 mm cada.
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3 - ESTADO LIMITE ÚLTIMO 3.1 - Exercício 1 Verificar se, no Estado Limite Último de ruptura sob solicitações normais, a seção transversal abaixo indicada está satisfatória, considerando-se as armaduras ativas adotadas.
DADOS COMPLEMENTARES · Concreto:
fck = 30 MPa
· Aço CP190 RB :
fptk = 1900 MPa fpyk = 1710 MPa fpko = 1197 MPa
· Ap(o) = 1,40 cm² por cordoalha · Ep = 200 000 MPa · pi = 6 ‰ (pré-alongamento) Coeficientes de ponderação:
s = 1,15
c = 1,4
g = q = 1,4
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Momentos fletores atuantes: Mg = 12800 kN.m (permanente) Mq1 = 7600 kN.m (acidental variável) Mq2 = 4000 kN.m (acidental variável) Fatores de combinação das ações:
Diagrama (p x p) e (pd x pd) do aço CP 190 RB
No intervalo 0 pd 5,20 ‰ pd = Ep pd No intervalo 5,20 ‰ pd 9,43 ‰ pd = curva indicada No intervalo pd 9,43 ‰ pd = fpyk / s
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RESOLUÇÃO a) CG dos cabos: Yo = 0,20 m
dp = 2,75 - 0,20 = 2,55 m
b) Momento de cálculo solicitante (Msd) Msd = 1,4 (12800) + 1,4 (7600 + 0,6 4000) = 31920 kN.m
c) Equilíbrio da seção transversal Adotando-se inicialmente pd = fpyk / s = 1710 / 1,15 = 1486,96 MPa Força de tração na armadura protendida Npd = Ap pd = 4 18 1,40 (10)-4 1486,96 (10)3 = 14988,56 kN Área comprimida da seção de concreto: cd = (30 / 1,4) 0,85 = 18,214 MPa Ncd = Acc cd = Npd Acc = Npd / cd = 14988,56 / 18,214 (10)3 = 0,823 m² Posição da LN y = Acc / b = 0,823 / 1,2 = 0,686 < 0,85
OK
LN na mesa
x = y / 0,8 = 0,686 / 0,8 = 0,857 m Deformação p: p = [(dp - x) / x] 3,5 ‰ = [(2,55 - 0,857) / 0,857] 3,5 = 6,913 ‰ Alongamento total: pd = p + pi = 6,913 + 6,00 = 12,913 ‰
pd = 12,913 ‰ > ''p = 9,43 ‰ pd = 1486,96 MPa confirmada d) Momento resistente de cálculo (MRd) zp = 2,55 - y / 2 = 2,55 - 0,686 / 2 = 2,207 m MRd = Npd zp = 14988,56 2,207 = 33079,75 kN.m e) Verificação MRd = 33079,75 kN.m > Msd = 31920 kN.m Resposta: Satisfaz.
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3.2 - Exercício 2 Dimensionar a armadura de protensão, no estado limite último, para a seção abaixo esquematizada:
DADOS COMPLEMENTARES
· Concreto fck = 34 MPa · Aço CP 190 RB · c = g = q = 1,4 · Pré-alongamento da armadura pi = 5,0 ‰ · cd = 0,85 fcd · y = 0,8 x · x = x / d
Ações Permanentes | Mg1 = 2500 kN.m | Mg2 = 1000 kN.m Ações Variáveis
| Mq1 = 2000 kN.m | Mq2 = 500 kN.m
Combinações últimas normais m
n
i =1
j =2
Fd = gi FGi,k + q [FQ1,k + 0j FQj,k]
0 = 0,7 0 = 0,6
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RESOLUÇÃO a) Momento de cálculo solicitante (Msd) Msd = 1,4 (2500 + 1000) + 1,4 (2000 + 0,6 500) = 8120 kN.m Msd = 8,120 MN.m b) Momento absorvido pela flange superior (Msd,f) Msd,f = bf y cd (d - y / 2)
bf = 1,0 - 0,2 = 0,80 m y = hf = 0,30 m x = 0,30 / 0,8 = 0,375
Msd,f = 0,80 0,30 0,85 (34 / 1,4) (1,40 - 0,30 / 2) Msd,f = 6,193 MN.m
x,f = x / d = 0,375 / 1,40 = 0,268
Tabela
z = 0,888 pi = 9,45 ‰
pd = 9,45 + 5,00 = 14,45 ‰
pd = 1500 MPa
Ap,f = (Msdf 104) / (z d pd) = (6,193 104) / (0,888 1,40 1500) = 33,21 cm² c) Momento absorvido pela alma
Md = Msd - Msd,f = 8,120 - 6,193 = 1,927 MN.m K6 = b d2 / Md = 0,20 (1,40)2 / 1,927 = 0,203 K6 = 0,203
Tabela
x = 0,34 z = 0,859 pd = 6,794 ‰
pd = 6,794 + 5,00 = 11,794 ‰
pd = 1486 MPa
As,Md = (1,927 104) / (0,859 1,40 1486) = 10,78 cm² d) Armadura final Ap = Ap,f + As,Md = 33,21 + 10,78 = 43,99 cm² 43,99 / 1,40 = 31,42 32 cordoalhas de 15,2 mm Resposta: Adotado 8 cabos de 4 15,2 mm.
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3.3 - Exercício 3 Dimensionar a seção abaixo esquematizada, sabendo-se que nela atuam os seguintes momentos fletores: Ações (momentos fletores) atuantes: Ação permanente Mg1 = 1.800 kN.m Ação permanente Mg2 = 1.230 kN.m Ação acidental principal Mq1 = 1.000 kN.m Ação acidental Mq2 = 780 kN.m
o = 0,7 o = 0,6
2,60 m 0,10
Utilizar cordoalhas 15,2 mm (o)
A p = 1,40 cm² / cordoalha
1,00 m
0,90
Mgi, Mqi 0,10 0,50
0,30
0,30
1,00
0,50
OBS: Utilizar apenas armadura ativa Ap (número par de cordoalhas) Materiais
CONCRETO: fck = 34 MPa AÇO: · Aço ativo CP190 RB : Ep = 200.000 MPa Coeficientes de ponderação: s = 1,15 c = 1,4 g = q = 1,4 Dados complementares:
cd = 0,85 fcd y = 0,8 x x x d
Combinações últimas normais m
n
i =1
j =2
Fd = gi FGi,k + q [FQ1,k + 0j FQj,k]
Pré-alongamento da armadura pi = 5,5 ‰
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA RESOLUÇÃO a) Momento de cálculo solicitante Msd = 1,4* (1.800+1.230) + 1,4 * (1.000 + 0,6 * 780) = 6.297,20 kN.m Msd = 6,2972 MN.m b) Momento absorvido pela flange superior Msd,f = bf * hf * σcd * ( d – hf/2) Msd,f = 2,00 * 0,10 * 0,85 * 34/1,4 * ( 0,90 – 0,10/2) Msd,f = 3,509 MN.m x = y / 0,80 = 0,10/0,80 = 0,125
x = x/d = 0,125/0,90 = 0,139 TABELA
z = 0,949 pd = 10,00 ‰
pd = 10,00 + 5,50 = 10,50 ‰ TABELA
pd = 1.510 MPa
Ap,f = Msd,f * 104 / (z * d * pd ) = (3,509 * 104) / (0,949 * 0,90 * 1.510) = 27,21 cm2 c) Momento absorvido pela alma (Msd, alma = ΔMd) ΔMd = Msd – Msd,f = 6,2972 – 3,509 = 2,7882 MN.m K6 = b * d2 / ΔMd = 0,60 * (0,90)2 / 2,7882 = 0,174 K6 = 0,174
x = 0,42
TABELA
z = 0,825 pd = 4,83 ‰
x = x d = 0,42 0,90 = 0,378 m
pd = 4,83 + 5,50 = 10,33 ‰
pd = 1.490 MPa TABELA
Ap,alma = (2,7882 * 104) / (0,825 * 0,90 * 1.490) = 25,20 cm2 d) Armadura final Ap = Ap,f + Ap,alma = 27,21 + 25,20 = 52,41 cm² Ap(0) 1, 40 cm2 52,41 / 1,40 = 37,4
Resposta: Ap 38 15,2 mm.
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3.4 - Exercício 4 Verificar se, no estado limite último de ruptura sob solicitações normais, a seção a seguir indicada apresenta condições satisfatórias de segurança, considerando-se as armaduras ativas e passivas.
2,40 m
0,70
0,30
0,60
0,30
Armadura ativa
2,70 m
(4 cabos)
E p = E s= 200 000 MPa pi = 5,0 ‰ (pré-alongamento) 0,30
0,05
0,15
Armadura passiva (8 barras)
ARMADURA ATIVA: 4 cabos com 28 cordoalhas de 15,2 mm cada · Ap(o) = 1,40 cm² / cordoalha ARMADURA PASSIVA: 8 16 mm · As(o) = 2,00 cm² / barra MATERIAIS · Concreto:
fck = 30 MPa
· Aço ativo CP190 RB :
fptk = 1900 MPa fpyk = 1710 MPa fpko = 1197 MPa
· Aço passivo CA 50 A :
fyk = 500 MPa
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Coeficientes de ponderação: s = 1,15 c = 1,4 g = q = 1,4 Momentos fletores atuantes: Mg1 = 10 000 kN.m Mg2 = 8 000 kN.m Mq1 = 18 000 kN.m
o = 0,8
Mq2 = 8 000 kN.m
o = 0,6
Combinações últimas normais m
Fd i 1
gi
n FGi, K q FQ1, K oj FQj, K j 2
Diagrama (p x p) e (pd x pd) do aço CP 190 RB
No intervalo 0 pd 5,20 ‰ pd = Ep pd No intervalo 5,20 ‰ pd 9,43 ‰ pd = curva indicada No intervalo pd 9,43 ‰ pd = fpyk / s
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RESOLUÇÃO a) Momento solicitante de cálculo (Msd) Msd = g (Mg1 + Mg2) + q (Mq1 + o Mq2) Msd = 1,4 (10000 + 8000) + 1,4 (18000 + 0,6 8000) = 57120,0 kN.m = 57,12 MN.m b) Equilíbrio da seção transversal b1) Força de tração resultante:
RT = Rst + Rpt
Armadura passiva:
As = 8 16 = 8 2,0 = 16,00 cm²
Armadura ativa:
Ap = 4 28 15,2 = 4 28 1,40 = 156,80 cm²
Tensões adotadas nas armaduras sd
fy k 500 434, 78 MPa s 1,15
pd
fpy k 1710 1486, 96 MPa s 1,15
Rstd = Ap sd = 16,00 (10)-4 434,78 (10)3 = 695,65 kN Rpd = Ap pd = 156,80 (10)-4 1486,96 (10)3 = 23315,53 kN RTd = 695,65 + 23315,53 = 24011,18 kN b2) Área de concreto comprimida: cd 0, 85
fck 30 0, 85 18, 2143 MPa 18214,29 kPa c 1, 4
RTd = Rccd Rccd = Acc cd Acc
Rccd 24011,18 1, 3183 m2 cd 18214, 29
b = bf = 2,40 m y
Acc 1, 3183 0, 5493 m hf 0, 70 m b 2, 40
x
y 0, 5493 0, 6866 m 0, 8 0, 8
OK
(LN na mesa )
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b3) Deformações:
sd
2,70 0,05 0,6866 3,5 10,01 ‰ ds x 3,5 x 0,6866
p
sd confirmada !
2,70 0,15 0,6866 3,5 9,50 ‰ dp x 3,5 x 0,6866
pi = 5,0 ‰ pd = p + pi = 9,5 + 5,0 = 14,5 ‰
c) Momento resistente de cálculo (MRd)
y y MRd Rstd zs Rpd zp 2 2 0,5493 0,5493 MRd 695,65 2,65 23315,53 2,55 2 2 MRd = 1652,41 + 53050,99 = 54703,40 kN.m = 54,70 MN.m
d) Comparação Msd : MRd Msd = 57,12 MN.m > MRd = 54,70 MN.m
Resposta: A seção não satisfaz o estado limite último.
pd confirmada !
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4 - TRAÇADO GEOMÉTRICO, PERDAS E ALONGAMENTO
4.1 - Exercício 1
Desenho esquemático do cabo
Para o cabo acima desenhado determinar: a) A equação geométrica do traçado sabendo-se que os trechos curvos são parábolas do 2º grau com equação = a ² (tg = d / d). Determinar a ordenada da abcissa = 10 m.
b) As perdas por atrito, alongamento teórico e as perdas por acomodação da ancoragem, com os seguintes dados: · Ap = 12 1,40 = 16,80 cm² · Ep = 200 000 MPa · Aço CP 190 RB :
fptk = 1900 MPa fpyk = 1710 MPa
· = 0,22 (coeficiente de atrito) · K = 0,01 · w = 3 mm (escorregamento da ancoragem) DADOS COMPLEMENTARES A é uma ancoragem passiva e D é ativa.
Pi = 0,77 fptk ou 0,86 fpyk (o menor valor) Pi = Ap Pi (força aplicada junto ao macaco) Po(x) = Pi e -[ + kx]
2 Yi / li
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x
l,x = (1 / Ep Ap) Po(x) dx : considerar as projeções horizontais e folga de 20 cm em D o ____________ w = w Ep Ap / p 20,00 m , com p = coeficiente angular da reta Po(x) RESOLUÇÃO a) Traçado geométrico Equação da curva AB ou CD : = a ² , origem em B ou C para = 20,00 = 2,40 m a = 2,40 / (20,00)² = 0,006 Equação da curva : = 0,006 ² para = 10,00 = 0,6 m para = 20,00 = 2,40 m d / d = 0,012
(d / d)D = 0,012 20,00 = 0,24 rd
(13,49º)
b) Perdas por atrito Força inicial de protensão (Pi) 0,77 fptk = 0,77 1900 = 1463 MPa (adotada) 0,86 fpyk = 0,86 1710 = 1470 MPa Pi = Ap Pi = 16,80 (10)-4 1463 (10)3 = 2457,84 kN ponto D : Po(x=0) = 2457,84 kN
(D)
trecho DC : = 2 2,40 / 20 = 0,24 rd ponto C : Po(x=20) = 2457,84 e -[0,22 0,24 + 0,01 0,22 20] = 2231,07 kN
(C)
trecho CB : = 0,24 + 0 = 0,24 rd ponto B : Po(x=30) = 2457,84 e -[0,22 0,24 + 0,01 0,22 30] = 2182,53 kN
(B)
trecho BA : = 0,24 + 0 + 0,24 = 0,48 rd ponto A : Po(x=50) = 2457,84 e -[0,22 0,48 + 0,01 0,22 50] = 1981,16 kN
(A)
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36
DIAGRAMA Po(x)
c) Alongamento teórico Al,total = [1 / 200000 (10)3 16,80 (10)-4 ] [20,0 2081,845 + + 10,00 2206,80 + 20,2 2344,455] = 0,33 m (ou 6,58 mm/m)
d) Encunhamento : p (trecho DC) = 11,338 kN / m _________________________________________ w = 3 (10)-3 200000 (10)3 16,80 (10)-4 / 11,338 = 9,43 m < 20,00 m Po(x=w) = Po(x=9,43) = 2457,84 - 9,43 11,338 = 2350,92 kN Po(x=0) = 2457,84 - 2 9,43 11,338 = 2244,00 kN
OK
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA 4.2 - Exercício 2
Traçado em Elevação:
Para o cabo acima esquematizado, determinar:
a) TRAÇADO GEOMÉTRICO a1) Equação da curva que representa o eixo do cabo no trecho AB. a2) Ordenada do cabo no ponto x = 6,00 m. a3) Ordenada do cabo no ponto x = 12,00 m.
b) PERDAS IMEDIATAS: ATRITO E CRAVAÇÃO b1) Calcular as perdas por atrito. b2) Calcular as perdas por cravação da ancoragem. b3) Traçar o diagrama das perdas.
c) ALONGAMENTO TEÓRICO c1) Calcular o alongamento teórico do cabo.
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DADOS COMPLEMENTARES
Ponto A : ancoragem ativa Ponto F : ancoragem passiva Aço CP 190 RB :
Fptk = 1900 MPa Fpyk = 1700 MPa
Ep = 200 000 MPa
Pi = 0,77 fptk ou 0,86 fpyk
(o menor valor)
Pi = Ap Pi
= a ² Po(x) = Pi e -[ + Kx] ____________ w = w Ep Ap / p
= 2 Yi / li (por trecho) w 18,00 m
x
l,x = (1 / Ep Ap) Po(x) dx o
· utilizar projeção horizontal para os comprimentos · acrescentar 30 cm em A
= 0,20 K = 0,01
w = 6,0 mm Ap = 16,80 cm² RESOLUÇÃO a) Traçado Geométrico
= a ²
Trecho AB:
= 1,30 - 0,15 = 1,15 m = 3 6,00 = 18,00 m
a = / 2= 1,15 / (18)2 = 0,00355 Equação da curva no trecho AB : = 0,00355 ²
CURSO DE CONCRETO PROTENDIDO REFERÊNCIA: NORMA NBR 6118 / 2003 LUIZ CHOLFE LUCIANA A. S. BONILHA Ordenada para x = 12,0 m
Ordenada para x = 6,0 m
39
= 6,0 m = 0,128 m yo = 0,15 m
y(x=12) = 0,278 m
= 12,0 m = 0,511 m yo = 0,15 m
y(x=6) = 0,661 m
b) Perdas Imediatas b1) Força inicial de protensão (Pi) 0,77 fptk = 0,77 1900 = 1463 MPa 0,86 fpyk = 0,86 1710 = 1470,6 MPa
Pi = 1463 MPa
Pi = Ap Pi = 16,80 (10)-4 1463 (10)3 = 2457,8 kN b2) Perdas por atrito
Trecho AB
yi = 1,30 - 0,15 = 1,15 m li = 18,00 m
= 2 1,15 / 18,00 = 0,1278 Trecho BC
(7,3 º)
yi = 0 li = 3,00 m
= 0 Trecho CD
yi = 1,40 - 0,15 = 1,25 m li = 12,00 m
= 2 1,25 / 12,00 = 0,2083 Trecho DE
yi = 0,40 m li = 3,00 m
= 2 0,40 / 3,00 = 0,2667 Trecho EF
(11,9 º)
yi = 0 li = 12,00 m
= 0
(15,3 º)
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Variação da força por trecho: Po(x) = Pi e -[ + Kx]
Pi = 2457,8 kN
= 0,20 K = 0,01 = 0,002
Ponto A :
x=0
Po(x=0) = 2457,8 kN
Ponto B :
x = 18,00 m
Po(x=18) = 2457,8 e -[0,20 0,1278 + 0,002 18]
= 0,1278
Po(x=18) = 2311,06 kN
x = 21,00 m
Po(x=21) = 2457,8 e -[0,20 0,1278 + 0,002 21]
= 0,1278
Po(x=21) = 2297,24 kN
x = 33,00 m
Po(x=33) = 2457,8 e -[0,20 0,3361 + 0,002 33]
= 0,3361
Po(x=33) = 2151,24 kN
x = 36,00 m
Po(x=36) = 2457,8 e -[0,20 0,6028 + 0,002 36]
= 0,6028
Po(x=36) = 2027,30 kN
x = 48,00 m
Po(x=48) = 2457,8 e -[0,20 0,6028 + 0,002 48]
= 0,6028
Po(x=48) = 1979,23 kN
Ponto C :
Ponto D :
Ponto E :
Ponto F :
b3) Perdas por acomodação das ancoragens
Hipótese: w 18,00 m
w = 6,0 mm
p = (2457,8 - 2311,06) / 18,00 = 8,1522 kN / m ____________ w = w Ep Ap / p _________________________________________ w = 6 (10)-3 200000 (10)3 16,80 (10)-4 / 8,1522 = 15,72 m < 18,00 m Po(x=15,72) = Pi - w p = 2457,8 - 8,1522 15,72 = 2329,65 kN Po(x=0) = Pi - 2 w p = 2457,84 - 2 8,1522 15,72 = 2201,50 kN
OK
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c) Alongamento Teórico do Cabo l = 48,00 + 0,30 = 48,30 m
x
l,x = (1 / Ep Ap) Po(x) dx o
Trecho
Po (médio)
l
Po (médio) l
AB
2384,43
18,30
43635,07
BC
2304,15
3,00
6912,45
CD
2224,24
12,00
26690,88
DE
2089,27
3,00
6267,81
EF
2003,26
12,00
24039,12 ______________ = 107545,33
l total = [1 / 200000 (10)3 16,80 (10)-4] 107545,33 = 0,32 m l total = 32,0 cm = 320 mm Alongamento unitário aproximado = 320 / 48,30 = 6,62 mm / m
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4.3 - Exercício 3 A viga a seguir detalhada, é protendida longitudinalmente com aderência posterior, com 4 cabos de 10 1,2 mm, sendo solicitada, além da protensão, pelos seguintes esforços externos: Mg1 = 1320 kN.m
momento fletor devido ao peso próprio
Mg2 = 3680 kN.m
momento fletor devido aos revestimentos
MQ,max = 3000 kN.m
devido às ações variáveis
Determinar as perdas de protensão no cabo situado na 2ª camada, devidas à retração e fluência do concreto, sabendo-se que: 1- A força inicial aplicada em cada cabo foi: Pi = - 2048,20 kN 2 - A protensão dos 4 cabos é efetuada em uma única operação aos 21 dias (idades fictícias para a retração = 30 dias e para a fluência = 55 dias)
3 - As forças de protensão atuantes na seção, descontadas as perdas imediatas, são as seguintes: · cabo 1 : Po1 = - 1800 kN · cabo 2 : Po2 = - 1700 kN 4 - = Ep / Ec28 = 6,50
com Ep = 200 000 MPa
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5 - Área de 1 cabo de 10 1,2 mm = 14,0 cm²
6 - Idades do concreto nos instantes da aplicação dos carregamentos: t = 21 dias : protensão + g1 t = 30 dias (fictícia) para a retração t = 55 dias (fictícia) para a fluência t = 60 dias : carregamento g2
t = 130 dias (fictícia) para a fluência
7 - Coeficientes para retração e fluência cs (, 30) = -12,0 (10)-5
(, 55) = 1,88 (, 130) = 1,42 8 - Po = Po / Ap : tensão inicial no aço de protensão, descontadas as perdas imediatas, no instante da protensão (valor > 0)
9 - Expressão para determinação das perdas por retração e fluência (tensão média)
Pc+s = cs(, 30) Ep + (, 55) [c,Po + c,g1] + (, 130) c,g2 _______________________________________________________________________________
1 - [c,Po / c,g1] [1 + (, 55) / 2] OBS: A expressão acima pode ser aplicada, com os devidos ajustes, para cada um dos dois tipos de cabos.
10 - Perda de força de protensão
P(c+s) = Pc+s Ap RESOLUÇÃO a) Tensões provocadas pelos carregamentos permanentes na fibra adjacente ao cabo devido g1 : c,g1 = Mg1 Y,cabo 2 / Ic = 1320 (0,90 - 0,20) / 0,3488 = 2649,08 kPa devido g2 : c,g2 = Mg2 Y,cabo 2 / Ic = 3680 0,70 / 0,3488 = 7385,32 kPa
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b) Tensões devidas à protensão, na posição do cabo
4
Poi = 2 (- 1800 - 1700) = - 7000 kN i=1
4
Poi epi = 2 (- 1800 0,80 - 1700 0,70) = - 5260 kN.m i=1
c,Po = - 7000 / 0,96 - 5260 0,7 / 0,3488 = - 7291,67 - 10556,19 = - 17847,86 kPa c) Tensão Po do cabo
Po = - 1700 / 14,0 10-4 = 1214,3 MPa
d) Cálculo das perdas {NUMERADOR} = -12,00 10-5 200 000 000 + 6,50 1,88 (-17 847,86 + 2 649,08) + 6,50 1,42 7 385,32 = - 24 000,00 - 185 729,09 + 68 166,50 = - 141 562,59 kPa {DENOMINADOR} = 1 - 6,50 (- 17 847,86 / 1 214 300,00) (1 + 1,88 / 2) = 1,185
Pc+s = - 141 562,59 / 1,185 = - 119 462,10 kPa
e) Perda da força de protensão do cabo
P(c+s) = Pc+s Ap = - 119 462,10 14,0 10-4 = -167,25 kN % de perda: (167,25 / 1700) 100 = 9,83 % Força após fluência e retração = - (1700 - 167,25) = - 1532,75 kN % de perda em relação a Pi: [(2048,20 - 1532,75) / 2048,20] 100 = 25,17 % Resposta: Perda de 25,17 %.
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