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Structures Cours de Plasticité des Structures

 Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Mostefa

 Master en en Génie Génie Civil  Civil  Option Opt ion : Structure Structuress ET   Matériaux   Matéria ux 

Cours :  Plasticité des Structures  Partie 1

 Prof. Mimoune Mimoune Fatima Z. &  Prof. Mimoune Mimoune Moste Mostefa fa

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 Partie 1

CRITERES DE PLASTICITE.

Critères de plasticité (ou d’écoulement) d’écoulement) :

Un critère de plasticité est une relation cont contra rain inte tess

entre les composantes du tenseur des

agis agissa sant nt sur sur un un élé éléme ment nt du mat matér ériau iau et un ou plus plusie ieurs urs para paramè mètr tres es C

définissant l’état l’état actuel de cet élément élément (ex : Ecrouissage). Ecrouissage). Cette relation relation est telle que : , L’élément a un comportement élastique (À l’intérieur l’intérieur du domain domainee élastique élastique). ). , L’élément L’élément est plastifié (sur la frontière). (Surface d’écoulement). d’écoulement). On On ne  peut pas avoir avoir cette situation (À l’extérieur du domaine élastique).

La fonction  f  est appelée aussi aussi Fonction de charge charge du matériau, Le critère de plasticité étant alors la condition

.

Les critères que nous allons présenter sont utilisés couramment pour les métaux, le béton, les sols. Ces critères sont déduits à partir d’essais. Il n’a jamais été démontré par la théorie que tel matériau doit répondre à tel critère particulier, d’équation donnée.

Critères Critères de TRESCA TRESCA :

Le critère de TRESCA s’exprime par par : ,

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Est égal au diamètre du cercle de MOHR. Donc ce critère est atteint en un point lorsque le cercle de MOHR est tangent aux droites d’équations

, c’est-à-dire

lors lorsqu quee la con contr trai aint ntee de cis cisai aille lleme ment nt max maxim imal alee au au poin pointt cons consid idér éréé est est égal égalee à

.

Le critère de TRESCA signifie que, la plastification se produit quand le cisaillement maxi maximu mum m (ob (obse serv rvab able le sur sur deu deuxx face facette ttes) s) atte attein intt la vale valeur ur cri critiq tique ue

. Cet Cette te sign signif ific icat atio ionn à

une résonance en termes de glissements cristallographiques. cristallographiques. En traction pure on a :

En cisaillement pur :

donc :

lorsque

et

Les face facett ttes es dont dont la norm normal alee fai faitt un un ang angle le de Et

avec avec les les dir direc ecti tion onss pri princ ncip ipal ales es

sont soumi oumise sess au au cis cisaaille illeme mennt ma maximu ximum. m.

Le critè critère re est est atte atteint int lors lorsque que cette cette cont contrai rainte nte de cisa cisaille illemen mentt pur pur

vérifie vérifie :

Dans le cas général de contraintes tri directionnelles, chacune des contraintes principales  peut être la plus grande

ou la plus petite

, aussi dans l’espace des

contraintes principales, le domaine d’élasticité défini par le critère de TRESCA est délimité  par six plans d’équations d’équations :

avec :

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La surface frontière (Ou d’écoulement) du domaine est un prisme de génératrice parallèle, a la direction

(à l’axe 1, 1 ,1) et de section droite constitué par un hexagone

régulier régulier de coté coté égal égal à : .

(1,1,1)

Le plan A à pour équation

Le plan B à pour équation

Le plan C à pour équation

 Etat plan des contraintes :

C'est-à C'est-à-di -dire re :

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La direction  z  est une direction principale

. Notons

contra ntrain inte tess prin princcipa ipales les. On cons onsidè idère six cas suiva uivant ntss rela relati tive vess de -

le critère s’écrit

-

le critère s’écrit

-

le critère s’écrit

-

le critère s’écrit

-

le critère s’écrit

-

le critère s’écrit

et ,

et

les deux autres .

La frontière du domaine domaine élastique (d’écoulement) (d’écoulement) est composée composée de six segments segments de droites, formant un hexagone, qui est par ailleurs l’intersection du cylindre de l’espace des contraintes  principales avec avec le

(Figure ci-dessous). ci-dessous).

Critère de TRESCA en contraintes planes (Frontière d’écoulement).

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Cercle de MOHR 

Physique Physiquement ment les deux (2) faces faces correspon correspondent dent à des régimes régimes différents différents de déformatio déformationn  plastique. x

z

y

a a b

b a

a

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Les plans excités

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sont bissecteurs des directions y et z.

Les glissements glissements s’effectuents s’effectuents de préférances préférances selon les plans excités, l’élément de matière matière s’allonge selon la direction y, se raccourciera selon la direction prévilégiée z ne se déforme  pas selon x.

x

z

y

Plans excités sont bissecteurs bissecteurs des directions directions x et y . L’élément se déformera déformera dans de le plan xy et ne se déformera pas selon la direction direction z.

 Détérmination de la frontière d’écoulement de TRESCA TRESCA :

Le critère critère est entièr entièrement ement détérminé détérminé par un un seul seul paramé paramétre, tre,

, contrai contrainte nte d’éco d’écouleme ulement nt en

traction simple. Cette simplicité vient des trois propriétés contenus impliciment impliciment dans le critère : -

Isotropie de la matière.

-

Absence d’effet BAUSHINGER.

-

Plastification indépendante de la pression hydrostatique h ydrostatique..

Une expérie expérience nce unique unique suffit à détermine déterminerr entièrement entièrement la surface surface d’écoule d’écoulement. ment. Autrement dit un essai de traction permet de connaitre le seuil de plasticité sous n’importe quel autre système de contraintes. 7 

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Flexion d’une d’une poutre avec cisaillement cisaillement :

Donc onc :

G

Critère de VON VON MISES MISES :

C’est le critère le plus utilisé, il est applicable à un corps plastiquement isotrope. Son expression dans dans un système système d’axes quelconques quelconques :

Et dans le système système d’axes principaux :

Dans l’espace l’espace des contraines contraines principales, principales, la frontière du domaine (surface d’écoulement) d’écoulement) d’élasticité est un cylindre de section circulaire de rayon  parallèle a la direction direction

(1,1,1). 8 

et de génératrice

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Le crit critère ère est entièr entièreme ement nt dété détérmi rminé né par par un seul seul para paramè mètre tre

, contr contrain ainte te d’éc d’écoul ouleme ement nt en

traction simple. Une expérience unique suffit à détérminer entièrement la surface d’écoulement. Le critère de VON MISES signifie : la plastification plastification se produit quand quand l’énergie l’énergie élastique de distorsion emmagasinés emmagasinés à un instant donné. La pression hydrostatique ne joue aucun role dans la plastification.

(1,1,1)

(Claperon).



En tractio tractionn pure pure : Donc Do nc :



En cisaillement pur :

,

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

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Etat plan plan des contraint contraintes es :

Ou dans dans les axes princip principaux aux :

Équation Équation d’une d’une ellipse ellipse a 45 des axes. axes. C’est C’est l’inte l’intersec rsection tion du du cylindre cylindre de section section circulair circulairee avec avec le plan



. Ce qui cond conduit uit au domaine domaine d’élasticit d’élasticitéé repre represnté snté sur la figure ci-dessous ci-dessous :

Poutre Poutre fléchie fléchie : 10 

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 Ecart entre les deux critères :

Les deux critères critères (TRESCA et VON MISES) MISES) sont souvent utilisés pour les métaux : compte tenu de leur quasi équivalance , c’est c’est la commodité des calculs qui fixe le choix beaucoup  plus que la nature nature du matériau. On préfère pour l’acier, en général le critère de V.MISES, car le rapport entre la contrainte de  plastification en traction pure et en cisaillement pur est plus proche de

(V.MISES) que de

2 (TRESCA).

 Notion de contrainte tangentielle octaédrale :

L’état de contrainte octaédrale est celui défini par rapport à la facette dont la normale par  rapport au repère principal est

appelée trisectrice.

Critère de COULO COULOMB MB :

Le critère critère de de Coulomb Coulomb est donné donné sous sous la forme :

,

et

: Contraint intes principales en un point du corps.

: Angle de frottement frottement interne. : Coh Cohési ésion. on.

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Ce critère est utilisé pour les sols. On peut remarquer que

et

représentent respectivement l’abscisse du centre est le rayon du cercle de Mohr. Lorsque les valeurs des contraintes satisfant la relation définissant le critère de COULOMB, le cercle de MOHR est tangent tangent aux deux droites d’équation :

Ces deux droites sont les enveloppes enveloppes des des cercles de MOHR limites, figure ci-dessous :

c

-c

 Fonction de charge (Surface (Surface de charge) :

A chaque stade de la déformation il existe une limite actuelle d’écoulement (seuil actuel ) dépendant dépendant de l’histoire des déformations antérieures. antérieures. On peut la respec respecter ter par :

: Fonction de charge. : temps cinématique repérant les états succéssifs de l’élément. Si l’isotropie n’est n’est pas conservée, conservée, la fonction f est est representé dans un espace à 6 dimensions. 12

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 Partie 2

COMPOR COM PORTE TEMEN MENT T PLA PLAST STIQU IQUE. E.

La plasticité plasticité est la proprieté qu’ont certains corps corps de subir de grandes déformations sans sans se rompre. Les déformations plastiques apparaissent lorsque les contraintes dépassent dépassent un certain seuil dit LIMITE D’ECOULEMENT OU SEUIL DE PLASTICITÉ ( Yield-Point ). ). En théorie de de plasticité le temps temps physique physique n’intervient pas au point de vue vue comportement comportement (vitesse de déformation).

Origine de la déformation plastique :

Le solide est un assemblage assemblage de grains cristallins. cristallins. La déformation plastique peut peut être due : 

Aux mouvements mouvements relatifs des des grains (cas (cas des terres), terres), le frottement entre les grains explique l’irréversibilité des mouvements.



Aux déformations permanentes permanentes des grains, c’est c’est le cas des métaux et des roches, roches, du moins à la température ordinaire. Les déformations des grains sont dues  principalement à des glissements dans une direction de rangée atomique suivant des  plans parallèles du réseau cristallin. Le glissement résulte de la propagation d’un défaut (dislocation) dans l’arrangement régulier du réseau (glissement progressif).

Pour les cristaux métalliques, métalliques, la résistance au glissement glissement ne dépend dépend pratiquement pas de la contrainte normale au plan de glissement.

 Essai de traction-compress traction-compression ion (Effet BAUSHINGER) BAUSHINGER) :

Lorsque qu’on effectue effectue un essai de traction avec avec plastification suivi d’un d’un déchargement, déchargement, le diagramme contrainte-déformation est comme indiqué aux figures 3.1 et 3.2 pour  respectivement respectivement l’acier doux et l’acier à haute résistances.

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B

A

C

0

B

Fig. Fig. 3.1 : Acier  Acier 

B

A

0

C

B`

Fig.3.2 Fig.3.2 : Acier à haute résistance résistance

Dans les deux cas, le comportement comportement est reversible, donc élastique élastique le long de 0A mais aussi le long de BC, parallèle à 0A. Pour les deux aciers, au point B la déformation élastique est égale à la longueur du segment CB`. Cette partie reversible de la déformation s’annule en C lorsque la contrainte reprend la valeur zéro. La déformation plastique ne varie pas entre entre B et C et est égale à la longueur du segment OC. En tout point du trajet OABC, la déformation totale est la somme de la déformation élastique et de la déformatio déformationn plastique plastique :

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Lorsqu’on fait suivre le déchargement d’une compression, le diagramme est comme indiqué à la figure pour l’acier doux. Si la contrainte en compression :

, on dira que l’écrouissage a été isotrope.

B

A

0 C

E

Si la la contrainte en compression :

, on dira qu’il y’ y’a « Effet BA BAUSHINGER ». C’est

un cas fréquent. Malgréé Malgréé cela la théorie de la plasticité c’est c’est surtout développé dans le formalisme formalisme de l’écrouissage isotrope.  Effet BAUSHINGER :

L’écrouissage est en général général orienté. C’est pourquoi pourquoi par suite de déformation plastique, plastique, le matériau acquiert ce que l’on appelle ANISOTROPIE DE DÉFORMATION. Une des manifestations de ce phènomène est est l’effet BAUSHINGER qui consiste en ce que la déformation plastique plastique préallable d’un signe signe diminue la résistance du du matériau par rapport à la déformation plastique suivant du signe opposé.

 Ecrouissage :

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En général la limite d’écoulement augmentre avec la déformation plastique (passage de A à B). On dit qu’il y’a ecrouissage ou durcissement. Dans un agregat polycristallin, il y’a des raisons supplémentaires de durcissement. durcissement. La déformation plastique commence dans les cristaux les plus favorablement orientés , elle se pousuit pousuit ensuite, ensuite, mais mais plus difficilement, danes les autres autres ; Les dislocations dislocations sont bloquées bloquées aux forntières des grains. grains. Dans un sens sens plus général, général, le mot écrouissa écrouissage ge désigne désigne l’ensemble l’ensemble des modificati modifications ons subies subies  par les propriétés mécaniques du matériau par suite des déformations déformations plastiques : Deux d’entre d’entre elle elle sont importantes : Une matière initialement isotrope devient devient anisotrope par suite de déformations déformations qui deviennent deviennent importantes. Si la limite d’écoulement (Seuil de plasticité) se trouve augmenté pour une charge de même sens sens que que cel celle le qui qui a prod produi uitt les les défo déform rmat atio ions ns (pas (passa sage ge de à ), en reva revanc nche he elle elle est, est, en génér énéral al dimi diminu nuée ée en vale valeur ur abso absolu luee pour pour char charge ge de sens sens oppo opposé sé (pas (passa sage ge de

à

).

Ce phénomène est appelé effet BAUSHINGER, qui est souvent important pour les petites déformations plastiques, s’attenue pour les grandes déformations.  Modèles utilisés :

On utilise souvent souvent en pratique des des modèles simplifiés simplifiés : Le modèle élastique est parfaitement parfaitement plastique (sans écrouissage). écrouissage).

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Dans lequel, les déformations augmentent beaucoup plus rapidement en fonction de la charge dans la phase plastique que dans la phase élastique. Le modèle rigide parfaitement parfaitement plastique : dans lequel, les déformations déformations élastiques sont sont négligées vis-à-vis des déformations plastiques.

0

 Lois de la déformation plastique :

En plasti plasticit citéé : * Il n’y a pas de rotation entre entre la déformation permanente permanente totale (à partir de l’état neutre neutre ou sans contraintes) et l’état de contraintes actuel. Supposon Supposonss qu’on décharg déchargee une éprouvette éprouvette de traction traction sur sur laquelle laquelle on a dépassé le seuil seuil de  plasticité, puis qu’on la recharge en torsion jusqu'à la limite d’écoulement nouvelle : On 17 

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modifie ainsi complètement l’état de contraintes sans qu’on change la déformation  permanente.  permanente. La déformation actuelle dépend essentiellement de l’histoire du changement (de l’ordre de succession des états de contraintes) ou plutôt du trajet de chargement, trajet suivi par le point entre l’état initial et l’état final. On peut établir une relation entre les accroissements infinitésimaux de contraintes (Lorsqu’on franchit la limite actuelle d’écoulement) et les déformations infinitésimales qui en résultent. Où :

Les

ne dépendent nullement des accroissements de contraintes

Les

.

son sont le les déform formaation tionss perm permaanentes tes mes mesuré urées à partir rtir de l’é l’état tat actu actueel. : doit s’annuler s’annuler pour toutes toutes les vitesses de contraintes contraintes qui qui maintiennent maintiennent l’état de

contraint contraintee à la limite d’écouleme d’écoulement, nt, c’est-a-dir c’est-a-diree sont elle que :

: Différentielle à écrouissage constant. On en en dédui déduitt :

D’où ’où : Lorsque Tandis que : La rela relati tion on

(Charge).

Lorsque

(charge ou variation neutre).

a une une cons conséq éque uenc ncee rema remarq rqua uabl blee :

Les accr accroi oiss ssem emen ents ts de cont contra rain inte tess

n’y n’y fig figur uren entt que que par par le le sca scala lair iree 18 

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Par conséquent, conséquent, les directions principales de la déformation déformation permanente et les rapports rapports des dilatations principales ne dépendent nullement des accroissements accroissements de contraintes. Le tenseur

est symétrique, puisque

cont contra rain inte tess actu actuel el

est symétrique. Il dépend de l’état de

et de l’éc l’écro roui uiss ssag age. e.

 Principe du travail plastique maximal maximal (R.HILL 1951) :

Dans la déformation plastique réelle, le travail des contraintes réelles est supérieure ou moins égal, à celui de tout autre tenseur de contraint intes admi dmissibles les (c'est-à t-à-dire tel qu que

.

 Relation de PRANDTL-REUSS :

Les problèmes de déformation plastique sont de deux types dans les uns, les déformations  plastiques sont limitées par la présence de zones encore élastique, elles sont alors généralement du même ordre que les déformations élastiques. Dans les autres cette limitation n’existe pas. Dans le 2 ème cas (écoulement plastique) on peut négliger les déformations élastiques vis-à-vis des déformations plastiques. Il n’en est pas de même dans le 1 er  cas (déformations plastiques contenues ou élastoplastiques).

P

Zones plastiques locales

Pour obtenir les déformations complètes, on doit ajouter aux déformations plastiques les déformations élastiques. élastiques. Correspondant Correspondant aux variations de contraintes. contraintes. 19

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Or, les vitesses de déformation élastique peuvent s’exprimer s’exprimer sous la forme :

On obtient alors pour les vitesses vitesses de déformation totale, dans dans le cas d’un corps écrouissable écrouissable : si

si

ou

et

.

.

Dans le cas cas de l’isotropie, en adoptant adoptant le critère de V.MISES V.MISES : ;

(a) L’équation PRANDTL-REUSS PRANDTL-REUSS 20 

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Avec vec : Pour un corps écrouissable. Si

et Pour le corps parfaitement plastique.

Si

et

(Pas de paramètre d’écrouissage).

Dans les autres cas.

On peut écrire les variations de PRANDTL-REUSS en isolant la partie sphérique et la partie dévia déviatric tricee : …… (b) ….. ….. (c) (c) : si Arbitraire si si

et et

; Pour le corps écrouissable. ; Pour le corps parfaitement plastique.

Dans les autres cas.

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Par intégration des équations (a) ou (b) et (c), il est alors possible de calculer soit les déformations pour un trajet de charge imposé, soit les contraintes pour un trajet de déformation imposé.

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