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LYCEE ALEXANDRE DUMAS

COURS

Année 2009/10

DE

PHYSIQUE

TAHAR Zoubir

TS

1

SOMMAIRE

PROPAGATION D’UNE ONDE PROGRESSIVE 1. Ondes mécaniques progressives ……………………………p 4 2. Ondes mécaniques progressives périodiques ………………p 8 3. La lumière, modèle ondulatoire……………………………..p 16 TRANSFORMATIONS NUCLEAIRES 4. Décroissance radioactive…………………………………….p 21 5. Noyaux, masse et énergie……………………………………p 35 EVOLUTION DES SYSTEMES ELECTRIQUES 6. Condensateurs et dipôle RC………………………………….p 43 7. Bobines et dipôle RL………………………………………….p 58 8. Oscillations libre d’un circuit ( RLC )………………………p 66 EVOLUTION DES SYSTEMES MECANIQUES 9. Lois de Newton………………………………………………..p 76 10. Mouvement de chutes verticales……………………………p 82 11. Mouvement de projectile…………………………………….p 90 12. Satellites et planètes…………………………………………p 95

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13. Les systèmes mécaniques oscillants…………………… p 100 14. Aspects énergétiques des oscillateurs mécaniques………p 107 15. L’atome et ouverture sur le monde quantique…………..p 115

3

Chapitre 1

Ondes mécaniques progressives

I. Différents types d’ondes mécaniques progressives : 1. Définition générale. On appelle onde mécanique progressive le phénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu matériel sans transport de matière. La vitesse v de cette propagation de cette perturbation est la célérité de l’onde. 2. Onde longitudinale et onde transversale. 1. Onde transversale. Une onde est transversale lorsque la direction de la perturbation s'effectue perpendiculairement à la direction de propagation. Exemple : La corde est le milieu de propagation et elle ne se déplace pas dans son ensemble. Il n'y a pas de transport de matière. Chaque point reproduit, à son tour, le mouvement du point précédent. On notera qu'il est nécessaire que le milieu de propagation présente une certaine élasticité.

2. Onde longitudinale. Une onde est longitudinale lorsque le déplacement des points du milieu de propagation s'effectue dans la même direction que celle de la propagation.

Exemple 1 : l’onde sonore (onde longitudinale de compression - dilatation) Exemple 2 : onde le long d’un ressort

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II. Propriétés générales des ondes mécaniques progressives. 1. Direction de propagation; Une onde se propage, à partir de la source, dans toutes les directions qui lui sont offertes. On distinguera ainsi les ondes à une, deux ou trois dimensions. a) Onde à une dimension. Une onde mécanique progressive est à une dimension lorsque la propagation a lieu dans une seule direction. Exemple : L'onde se propageant le long d'une corde . b) Onde à deux dimensions. Une onde mécanique progressive est à deux dimension lorsque la propagation a lieu dans un plan ( espace à deux dimensions ). Exemple : onde engendrée à la surface de l'eau lorsqu'on y jette une pierre. c) Onde à trois dimensions. Une onde mécanique progressive est à trois dimension lorsque la propagation a lieu dans l’espace. Exemple : Onde sonore engendrée par deux mains que l'on claque l'une contre l'autre. 2. Transfert d'énergie sans transport de matière. L'onde mécanique progressive transporte de l'énergie sans transport de matière. L'exemple ci-contre illustre ces propriétés. Au passage de l'onde, le bateau s'élève d'une hauteur H et voit donc son énergie potentielle de pesanteur augmenter de mgH. Cette énergie lui a été fournie par l'onde, mais le bateau est resté à la même abscisse: il n'y a pas de transport de matière.

3. Célérité de l'onde. On appelle célérité v de l'onde la vitesse de propagation de l'onde. C'est le rapport entre la distance d parcourue par l'onde et la durée ∆t du parcours.

v=

d ∆t

v en mètre par seconde (ms-1), d en mètre (m), ∆t en seconde (s)

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On préfère le mot célérité au mot vitesse auquel est associé la notion de déplacement de matière (vitesse d'une automobile, d'une particule etc...). La célérité de l'onde est une propriété du milieu de propagation. Elle est donc constante dans un milieu donné dans des conditions données. Par exemple : - la célérité du son dans l'air dépend de sa température. - La célérité d'une onde se propageant sur une corde dépend de sa tension et de sa masse linéique (masse par unité de longueur). 4. Croisement de deux ondes. Deux ondes se propageant dans le même milieu peuvent se croiser sans se perturber mutuellement.

après

III. Onde progressive à une dimension. 1. Introduction. Les propriétés générales des ondes évoquées précédemment restent valables ici mais on cherche, dans cette partie, à introduire la notion de retard de l'onde. 2. Retard de l'onde. Soit une onde émise par la source S et se propageant avec la célérité finie v le long d'une corde. Cette onde se propage de proche en proche dans le milieu de propagation. Elle atteint le point M à la date t et le point M' à la date ultérieure t'. Cela revient à dire que le point M' subit la même perturbation que le point M avec un certain retard τ.Étant donnée la définition de la célérité on pourra écrire:

v=

MM '

τ

et donc

τ=

MM ' v

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Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ Définir une onde mécanique et sa célérité. □ Définir et reconnaître une onde transversale et une onde longitudinale. □ Connaître et exploiter les propriétés générales des ondes. □ Définir une onde progressive à une dimension et savoir que la perturbation en un point du milieu, à l'instant t, est celle qu'avait la source au temps t' = t - -r 'r étant le retard (dans un milieu non dispersif). Exploiter la relation entre le retard la distance et la célérité.

□ Exploiter un document expérimental (chronophotographies, vidéo) donnant l'aspect de la perturbation à des dates données en fonction de l'abscisse : interprétation, mesure d'une distance, calcul d'un retard et d'une célérité.

□

Exploiter un document expérimental (oscillogrammes, acquisition de données avec un ordinateur...) obtenu à partir de capteurs délivrant un signal lié à la perturbation et donnant l'évolution temporelle de la perturbation en un point donné : interprétation, mesure d'un retard, calcul d'une célérité, calcul d'une distance.

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Chapitre 2 I.

Ondes mécaniques progressives et périodiques

Ondes sonores progressives :

1) Périodicité temporelle de l’onde : expérience :

I

TI

p

F M ∼ V

YA i

i

V

GBF Y

Y

Cette onde sonore est longitudinale, sinusoïdale et périodique. La période, notée T est la plus petite durée au bout de laquelle le phénomène se répète identique à lui-même. Ici, c’est la duré au bout de laquelle un point du milieu se retrouve dans le même état vibratoire. La période de l’onde est égale à celle de la tension alimentant le GBF. La fréquence d'un phénomène périodique représente le nombre de phénomènes effectués par seconde. On la note généralement f, ou N son unité est le hertz (Hz). La fréquence est l'inverse de la période: 1 T f s’exprime en Hz et T en s. f =

2. Périodicité spatiale de l’onde :

I F M V

∼

d1

TI

p

YA i

i

Y

V

Y

GBF

8

∼

∼

Les deux microphones détectent simultanément le passage d’une onde périodique. Les 2 ondes sonores ont la même période mais sont décalées dans le temps. On dit que les signaux détectés sont déphasés l’un par rapport à l’autre.

On continue à éloigner le micro 2 et on observe que pour une certaine distance d2 les 2 signaux se superposent. I F M ∼ V

d2=λ

TI

p

YA i

i

Y

Y

GBF M1

V

M2

Pour une certaine distance d2, notée longueur d’onde, les 2 ondes sonores sont en phase, c'est-à-dire que les 2 points M1 et M2 sont dans le même état vibratoire. A un instant donné, des points alignés avec le haut parleur et distant de λ, 2 λ, 3 λ, 4 λ…… k λ. La longueur d’onde λ est la plus petite distance séparant 2 points pour lesquels les perturbations du milieu sont en phase. La longueur d’onde s’exprime donc en mètre( m ). M1 et M2 sont en phase si d(M1, M2) = k λ

L'onde présente donc une double périodicité: - une périodicité temporelle de période T (exprimée en secondes). - une périodicité spatiale de période λ (exprimée en mètres).

9

∼

3. Relation entre la période T et la longueur d’onde λ : Nous allons effectuer une analyse dimensionnelle du rapport λ / T. [λ ] = [ L] et [ T ] = [ T ] d’où λ / T a la dimension [ L] / [ T ] dimension d’une vitesse. Par conséquent :

λ = v.T

ou [ L] .[ T ] -1 qui est la

λ s’exprime en m, T en seconde et v en m/s

Autrement dit ; la longueur d’onde λ correspond à la distance parcourue par l’onde pendant une période temporelle T. II.

Ondes à la surface de l'eau

1) Les ondes circulaires

Les points M1 et M2 vibrent en phase si |d2-d1| = k.λ.

2) Les ondes rectilignes :

10

Les points M1 et M2 vibrent en phase si |d2-d1| = k.λ.

λ

λ

III. Onde le long d’une corde :

1. Principe de la stroboscopie

Le disque fait un tour complet entre deux éclairs

Soit Te la période des éclairs du stroboscope. Si Te=k.T (avec k entier naturel), l'objet semble immobile. La valeur la plus faible de la période des éclairs qui donne l'immobilité est égale à la période du phénomène et donc la valeur la plus grande de la fréquence des éclairs est égale à la fréquence du phénomène.

2. expérience :

O vibreur

B

poulie

Masse

On excite une corde horizontale à l’aide d’un vibreur. Le vibreur est formé d’une lame d’acier soumise au champ magnétique d’une bobine à noyau alimentée par une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz. On observe le dispositif à la lumière d’un stroboscope, la fréquence des éclairs est réglée à la fréquence du vibreur.

11

La corde semble immobile, l’onde progressive possède donc une périodicité temporelle

La corde a une allure sinusoïdale, on peut donc définir une période spatiale : la longueur d’onde λ A la date t M1 et M2 ont la même élongation, elle est nulle et elle va devenir négative. M1

S

M2 x

λ

A la date t +

T 4

L’élongation des points M1 et M2 est négative et minimale, elle va alors augmenter

S

λ M1

M2

A la date t +

T 2 x M2

M1

S

A la date t +3 M1

T 4 L’élongation des points M1 et M2 est positive et maximale, elle va alors diminuer.

M2 x

S

Les points M1 et M2 ont à nouveau la même élongation nulle et celle-ci va devenir positive.

A la date t +T

S

M1

M2

x

Les points M1 et M2 se retrouvent dans la même position qu’à la date t et le phénomène recommence

M1 et M2 ont des mouvements identiques. Ce sont les points de la corde les plus proches ayant des 12 mouvements identiques ; leur distance est la période spatiale appelée longueur d’onde λ.

IV. Diffraction et dispersion 1. Diffraction d'une onde progressive sinusoïdale à la surface de l’eau : Soit une onde plane périodique rencontrant un obstacle ou une ouverture.

Cas n°1 L'ouverture est de grande taille par rapport à la longueur d'onde

Cas n°2 L'ouverture est de petite taille par rapport à la longueur d'onde

a>> λ

a< λ

Dans le cas n°2, l'onde change de direction et de comportement sans changement de sa longueur d'onde: elle est diffractée, le phénomène mis en évidence s'appelle la diffraction. 2. Diffraction des ondes sonores :

Comme les ondes progressives à la surface de l'eau, les ondes sonores se diffractent. Ainsi, une personne située dans une pièce entend les appels même si elle n'est pas en face d'une ouverture

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3. Dispersion d'une onde Un milieu est dit dispersif si la célérité des ondes qui se propagent dans ce milieu dépend de leur fréquence. L’eau est il un milieu dispersif ?

- Déterminer la longueur d’onde λ à partir de l’enregistrement. .Pour une meilleur précision, il est préférable de déterminer 2λ ou 3λ et en déduire λ.

On obtient λ = ……… cm . Le vibreur vibre avec une fréquence f = 8 Hz donc : V1= …………=…………. m/s

f2= 12 Hz

λ =……. cm d’où

V2= …………=……………m/s. Conclusion : ……………………………………………… ……………………………………

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Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ □ □ □ □ □ □

Reconnaître une onde progressive périodique et sa période. Définir pour une onde progressive sinusoïdale, la période, la fréquence, la longueur d’onde. Connaître et utiliser la relation λ =v T, connaître la signification et l’unité de chaque terme, savoir justifier cette relation par une équation aux dimensions. Savoir, pour une longueur d’onde donnée, que le phénomène de diffraction est d’autant plus marqué que la dimension d’une ouverture ou d’un obstacle est plus petite. Définir un milieu dispersif. Exploiter un document expérimental (série de photos, oscillogramme, acquisition de données avec un ordinateur…) : détermination de la période, de la fréquence, de la longueur d’onde. Reconnaître sur un document un phénomène de diffraction.

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Chapitre 3

Modèle ondulatoire de la lumière

I. La lumière, un phénomène aléatoire 1. Diffraction de la lumière

d = quelques cm

Laser

D = 2,50 m

Ecran

Fente F

Réalisons l'expérience suivante: On observe que le faisceau parallèle est plus large à la sortie qu’à l’entrée. Le trou ou la fente se comporte comme une source émettant un faisceau divergent de lumière : la théorie de la propagation rectiligne de la lumière est mise à défaut. On observe sur l'écran une figure de diffraction. Ce phénomène se produit lorsque l'ouverture par laquelle passe la lumière est de petite taille. On dit que l'ouverture a diffracté la lumière du laser. La diffraction est un phénomène caractéristique des ondes. La lumière est une onde qui se propage.

Tache centrale

Zones sombres appelées extinctions

Taches secondaires moins brillantes

2. Interprétation ondulatoire

La lumière est une onde électromagnétique. C’est à dire que les grandeurs qui se propagent sont un champ électrique et un champ magnétique. Elle peut donc se propager dans le vide. Une telle onde est caractérisée par :

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ƒ ƒ ƒ

sa vitesse de propagation (nommée célérité) c = 3,0010 8 m .s-1 dans le vide sa fréquence f sa longueur d’onde λ dans le vide

Ces grandeurs sont liées par les relations :

λ = c.T =

c f

Remarques: • •

La célérité de la lumière dans le vide ne dépend pas de la fréquence de l'onde. La célérité de la lumière dans l'air est pratiquement égale à sa célérité dans le vide (cair = cvide).

II. Couleur et longueur d'onde 1. Lumière monochromatique On appelle lumière monochromatique une onde électromagnétique progressive sinusoïdale de fréquence donnée. La couleur de cette lumière est liée à la valeur de sa fréquence. 2. Longueur d'onde Comme toutes les ondes périodiques, les ondes électromagnétiques présentent une double périodicité (temporelle et spatiale). La longueur d'onde dans le vide d'une onde lumineuse monochromatique sera notée λ. 3. Lumière visible Définition On appelle lumière une onde électromagnétique visible par l'oeil humain.

Longueurs d'ondes des radiations visibles

Dans le vide :

400 nm < λVISIBLE < 800 nm

III. Propagation d'une onde lumineuse dans un milieu transparent 1. Indice de réfraction Définition: L'indice de réfraction d'un milieu transparent est le rapport entre la célérité d'une onde se propageant dans le vide et sa célérité dans le milieu considéré.

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n=

c v

n: indice de réfraction du milieu transparent c: célérité dans le vide (3,00.108m.s-1) ; v: célérité dans le milieu transparent (m.s-1) 2. Remarques •

•

La fréquence f d'une onde électromagnétique ne dépend que de la fréquence de la source. Elle ne dépend pas du milieu de propagation de l'onde. La fréquence f est invariante lors d’un changement de milieu f rouge (air ) = f rouge (verre) La célérité d'une onde électromagnétique dépend du milieu de propagation.

•

Par conséquent, la longueur d’onde varie lorsqu’on change de milieu de propagation.

f = •

v

λ

or f est constant lors d’un changement de milieu, v varie par conséquent λ varie.

λrouge (air) ≠ λ rouge (verre) La célérité d'une onde électromagnétique dans une milieu transparent est toujours inférieure à la célérité de cette onde dans le vide (c).

3. Les lois de Decartes :

Expérience:

Lorsque le faisceau laser passe de l'air dans l'eau, il change de direction. Définition: On appelle réfraction le changement de direction subit par la lumière lorsqu'elle traverse la surface séparant deux milieux transparents.

aquarium

Loi de Descartes

Première loi de Descartes:

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Le rayon réfracté, le rayon incident et la normale à la surface sont coplanaires.

Deuxième loi de Descartes: Angle d'incidence et angle de réfraction sont liés par la relation: n1.sin i1=n2.sin i2 avec

n1: indice de réfraction du milieu 1 n2: indice de réfraction du milieu 2

2. Milieu dispersif - milieu non dispersif Définition: Un milieu transparent est dit dispersif si la célérité d'une onde lumineuse monochromatique qui se propage dans ce milieu dépend de sa fréquence (donc de sa longueur d'onde dans le vide). Définition: Un milieu transparent est dit non dispersif si la célérité d'une onde lumineuse monochromatique qui s'y propage dans ne dépend pas de sa fréquence. Conséquence: L'indice de réfraction d'un milieu dispersif dépend donc de la fréquence de l'onde qui s'y propage. IV. Spectres de la lumière 1. Radiation monochromatique Expérience:

On éclaire un prisme à l'aide d'un faisceau On observe sur l'écran un spectre composé d'une seule laser raie 2. Lumière polychromatique Définition: On appelle lumière polychromatique une lumière composée de plusieurs ondes monochromatiques de fréquences différentes (la lumière blanche, par exemple, est une lumière polychromatique). Lorsqu'une lumière polychromatique traverse une prisme (milieu dispersif), on observe un spectre sur un écran placé à proximité. Lors de la réfraction d'une lumière polychromatique par un prisme, les radiations de petites longueurs d'onde ( donc de fréquence plus élevée) comme le bleu sont les plus déviées. Interprétation :

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νR < νB i1 air n verre (R) < n verre (B) verre i 2B < i 2R

air

lumières colorées dans la figure porte le nom de spectre de la lumière

air

prisme de verre

Sur l'écran, on observe un spectre

Le spectre de la lumière blanche (spectre continu)

400 nm <

λ lumière visible < 800 nm

V. Retour sur le phénomène de diffraction

d/2

d/2

tan θ≈ θ =

D θ

d /2 D

d’où

θ=

d 2D

θ

Fente de largeur

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On admet que lorsqu’un faisceau de lumière de longueur d’onde λ traverse une fente de largeur a , le demi diamètre θ est donnée par la formule :

θ=

λ a

θ s’exprime en radian, λ et a en mètre.

L’angle θ mesure en fait la divergence du faisceau. On peut donc de ces 2 relations déduire la largeur de la tache centrale en fonction de D, θ et λ.

d=

2Dλ a

Ce résultat est en accord avec les faits expérimentaux. Lorsque la distance écran fente augmente, la largeur de la tache centrale augmente. D ↑, d ↑ Lorsque la largeur de la fente augmente

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Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ Savoir que, étant diffractée, la lumière peut être décrite comme une onde. □Connaître l'importance de la dimension de l'ouverture ou de l'obstacle sur le phénomène observé.

□Exploiter une figure de diffraction dans le cas des ondes lumineuses. □Connaître et savoir utiliser la relation λ = cv , la signification et l'unité de chaque terme.

□Connaître et savoir utiliser la relation θ = λa , la signification et l'unité de chaque terme. □ Définir une lumière monochromatique et une lumière polychromatique. □ Connaître les limites des longueurs d'onde dans le vide du spectre visible et les couleurs correspondantes.

□ Situer les rayonnements ultraviolets et infrarouges par rapport au spectre visible. □ Savoir que la lumière se propage dans le vide et dans les milieux transparents. □ Savoir que la fréquence d'une radiation monochromatique ne change pas lorsqu'elle passe d'un milieu transparent à un autre.

□ Savoir que les milieux transparents sont plus ou moins dispersifs. Définir l'indice d'un milieu transparent pour une fréquence donnée.

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Chapitre 4

Décroissance radioactive :

I. Quelques définitions relatives aux noyaux d'atomes. 1. Caractéristiques d'un noyau d'atome.

La représentation symbolique du noyau d'un atome est • • • •

A Z

X

X est le symbole de l'élément chimique. Z est le nombre de protons. Z est aussi appelé nombre de charge ou numéro atomique. A est le nombre de nucléons. A est aussi appelé nombre de masse. N = A - Z est le nombre de neutrons présents dans le noyau.

2. Élément. Un élément est constitué par l'ensemble des particules, atomes et ions monoatomiques, ayant le même nombre de charge Z. 3. Isotopes. Des noyaux sont appelés isotopes si ils ont le même nombre de charge mais des nombres de nucléons A différents. Par exemple: Les trois isotopes les plus connus de l'élément carbone sont : 35 17

Cl

36 et 17

Cl

12 6

C , 136 C ; 146 C ,

sont des isotopes du chlore.

- Aux 92 éléments qui existent sur Terre à l'état naturel correspondent 350 noyaux différents (290 sont stables 60 sont radioactifs). - Aux 112 éléments que l'on connaît dans les laboratoires de physique nucléaire correspondent plus de 3000 noyaux différents. II. Stabilité et instabilité des noyaux. 1. Les principales forces agissant dans le noyau. Au sein du noyau s'affrontent principalement deux types d'interactions: •

Des répulsions électriques qui ont tendance à détruire le noyau,

•

Des interactions nucléaires fortes qui ont tendance à assurer la cohésion du noyau.

2. Instabilité du noyau.

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Sous l'action des différentes forces en présence, certains noyaux sont stables (ils ont une durée de vie considérée comme infinie à l'échelle géologique) et d'autres sont instables (ils se détruisent spontanément au bout d'une durée plus ou moins grande à la même échelle). 3. Radioactivité. a) Définition. Un noyau radioactif est un noyau instable dont la désintégration (destruction) est aléatoire et s'accompagne de: - L'apparition d'un nouveau noyau, - L'émission d'une particule notée α, β - ou β +, - L'émission d'un rayonnement électromagnétique noté γ. Cette émission de rayonnement γ n'est pas systématique mais extrêmement fréquente.

La radioactivité est une réaction dite nucléaire car elle concerne le noyau de l'atome par opposition aux réactions chimiques qui ne concernent que le cortège électronique sans modifier le noyau. b). Propriétés de la désintégration. La désintégration radioactive est: • • • • •

Aléatoire: Il est impossible de prévoir l'instant où va se produire la désintégration d'un noyau radioactif Spontanée: La désintégration se produit sans aucune intervention extérieure, Inéluctable: Un noyau radioactif se désintégrera tôt ou tard, Indépendante de la combinaison chimique dont le noyau radioactif fait partie, Indépendante des paramètres extérieurs tels que la pression ou la température.

c) Vallée de stabilité des noyaux.

10 20 30

neutrons

40 50 60 70 80

100

120

140

160

180

110 100 p r o t o n s

90 80 70

noyau stable

60

β+

50

β−

40

α

30

fission spontanée

20 10

Diagramme (N,Z) 24

Lorsque l'on range tous les noyaux connus dans un repère tel que celui présenté ci-contre, il apparaît quatre zones: •

• •

•

Une zone noire dans laquelle apparaissent les noyaux stables. Cette zone est appelée vallée de stabilité. On remarquera que pour Z < 30 les noyaux stables sont situés sur la première bissectrice (ou dans son voisinage immédiat) ce sont donc des noyaux pour lesquels N=Z. Une zone jaune dans laquelle se situent des noyaux donnant lieu à une radioactivité de type α. Ce sont des noyaux lourds (N et Z sont grands donc A est grand), Une zone bleue dans laquelle se situent des noyaux donnant lieu à une radioactivité de type β . Ce sont des noyaux qui présentent un excès de neutrons par rapport aux noyaux stables de même nombre de masse A, Une zone orange dans laquelle se situent des noyaux donnant lieu à une radioactivité β +. Ce sont des noyaux qui présentent un excès de protons par rapport aux noyaux stables de même nombre de masse A.

III. Les divers types de radioactivités. 1. Lois de conservation. Les réactions de désintégration nucléaires obéissent à un certain nombre de lois. Cette année, par souci de simplification, nous n'en utiliserons que deux, dites lois de Soddy.

Lors d'une désintégration radioactive α ou β il y a conservation de la charge électrique du noyau Z (conservation du nombre de protons) et du nombre de nucléons A. Considérons la désintégration d'un noyau X (appelé noyau père). Cette désintégration conduit à un noyau Y (appelé noyau fils) et à l'expulsion d'une particule P (particule α ou β). L'équation de la désintégration s'écrit:

Les lois de conservation de Soddy imposent alors: Loi de conservation du nombre de nucléons A: Loi de conservation du nombre de protons:

A = A' + A".

Z = Z' + Z".

2. Radioactivité α. a) Définition.

Des noyaux sont dits radioactifs α s'ils expulsent des noyaux d'hélium

.

On notera qu'en toute rigueur le noyau de l'atome d'hélium porte deux charges positives. Mais dans ce domaine de la physique on convient de ne pas les représenter. b) Equation de la réaction de désintégration α.

25

D'après les lois de conservation de Soddy l'équation s'écrit: Par exemple, l'uranium 238 est un radionucléide α. Son équation de désintégration s'écrit:

le noyau fils obtenu est un noyau de thorium. c) Caractéristiques de la particule α.

Ces particules sont expulsées avec des vitesses relativement modestes et sont arrêtées par quelques centimètres d'air ou par une feuille de papier, mais elles sont très ionisantes et donc dangereuses. d) Position du noyau fils dans le tableau périodique des éléments.

Les particules β - sont assez peu pénétrantes. Elles sont arrêtées par quelques millimètres d'aluminium. 3. Radioactivité β -. a) Définition

Des noyaux sont dit radioactifs β- s’ils émettent des électrons notés

0 −1

e

On notera cette situation étrange où un positon qui, à priori, n'existe pas dans le noyau, est tout de même expulsé du noyau. Cet électron ne peut provenir que de la transformation d'un nucléon. b) Equation de la réaction de désintégration.

D'après les lois de conservation de Soddy l'équation s'écrit:

par exemple, le cobalt 60 est un radionucléide β -. Son équation de désintégration s'écrit:

c) Caractéristiques de la particule β -.

Les particules β - sont assez peu pénétrantes. Elles sont arrêtées par quelques millimètres d'aluminium. 4. Radioactivité β + . a). Définition.

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Des noyaux sont dits radioactifs β + s'ils émettent des positons

.

Ce sont des particules portant une charge +e. On notera cette situation étrange où un positon qui, à priori, n'existe pas dans le noyau, est tout de même expulsé du noyau. Ce positon ne peut provenir que de la transformation d'un nucléon. b) Equation de la désintégration.

D'après les lois de conservation de Soddy l'équation s'écrit:

par exemple, le phosphore 30 est un radioémetteur β +. Son équation de désintégration est:

c) Caractéristique de la particule β +.

Ces particules ont une durée de vie très courte. Lorsqu'elle rencontrent un électron, les deux particules s'annihilent pour donner de l'énergie sous forme d'un rayonnement électromagnétique γ suivant le bilan :

e) Désexcitation γ.

Le noyau fils est en général obtenu dans un état excité (niveau d'énergie élevé). Ce noyau dans cet état excité est en général noté Y*. Le noyau fils ne reste pas dans cet état instable. Il évacue cette énergie excédentaire en émettant un rayonnement électromagnétique γ. On dit qu'il se désexcite. Cette émission γ apparaît donc comme un phénomène secondaire de la radioactivité. On écrira:

IV. Loi de décroissance radioactive. 1. Notations utilisées.

Soit un échantillon contenant N0 noyaux radioactifs à la date t0 =0 choisie comme date initiale. Soit N le nombre de noyaux radioactifs (non désintégrés) encore présents dans l'échantillon à la date t.

La variation moyenne du nombre de noyaux ∆N (t) entre des instants très proches t et t + ∆t est proportionnelle : ƒ ƒ

au nombre de noyaux N (t) présents à l’instant t à la durée ∆t

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∆N = Nt +∆t -N t = - λ.N .∆t λ est la constante radioactive. Elle est caractéristique d'un radioélément. Par analyse dimensionnelle de l’expression précédente, on montre que λ a la dimension de [ λ ] = [ T ] -1 , λ s’exprime en s-1.

l’inverse d’une durée.

- ∆N correspond au nombre de noyaux qui se sont désintégrés pendant cet intervalle de temps.

N désint = - ∆N = λN∆t L'inverse de la constante radioactive est homogène à une durée (a la même dimension qu'une durée ou s'exprime avec la même unité qu'une durée). On écrira:

τ=

1

λ

τ

est appelée constante de temps.

2. Décroissance exponentielle.

Lorsque ∆t → 0, on écrira que ∆t = dt et ∆N = dN L’équation ci-dessus devient dN = - λ.N.dt ou encore :

dN + λN = 0 . dt C’est une équation différentielle du premier ordre, relation mathématique liant la dérivée première et la fonction N (t). La fonction N = f(t) qui vérifie cette équation est :

N = N0e-λt N est une fonction exponentielle décroissante du temps (il reste de moins en moins de noyaux radioactifs dans l'échantillon). Mais les propriétés de la fonction exponentielle font que N tend vers 0 lorsque t tend vers l'infini. En principe il reste donc toujours des noyaux radioactifs dans l'échantillon. Plus la constante radioactive λ est grande, plus la décroissance est rapide. Ou, ce qui revient au même, plus la constante de temps τ est petite, plus la décroissance est rapide. Il faut bien comprendre que:

28

• • • •

N représente le nombre de noyaux radioactifs encore présents (non désintégrés) à l'instant t dans l'échantillon. N0 représente le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon à l'instant initial t=0. λ est la constante radioactive du radioélément considéré. t est le temps écoulé depuis l'instant initial.

N N0 tangente à la courbe de décroissance radioactive à l’instant t = 0 N0 2

t 3. Demi-vie radioactive.

t1/2 τ

a) Définition.

La demi-vie radioactive, notée t1/2, d'un échantillon de noyaux radioactifs est égale à la durée nécessaire pour que, statistiquement, la moitié des noyaux radioactifs présents dans l'échantillon se désintègrent. On a donc: On peut montrer que :

N (t 1/2) = No / 2 N(2t1/2) = N0/4

N(3t1/2) =N0/8

N(4t1/2) = N0/16

Ce qui nous permettra de tracer la courbe N(t) rapidement.

b) Expression de la demi-vie t1/2 en fonction de λ ou de τ.

29

Portons dans N = No e - λ . t = No e - t / τ No e - λ . e -λ.

t 1/ 2

ln e - λ .

t 1/ 2

= No / 2

=1/2

t 1/ 2

= ln 1 / 2

- λ . t 1/ 2 = 0 - ln 2

t 1/ 2 = ln 2 / λ

D’où

t1/2 =

ln 2

λ

=

0, 693

λ

et

t1/2 = τ Ln2

ATTENTION !!! : Cette relation est à connaître par cœur et doit pouvoir être éventuellement retrouvée ( comme-ci-dessus ) ! La valeur de demi-vie varie considérablement suivant la nature des noyaux radioactifs : Isotope Demi-vie

212 84

Po

0,3 µs

99

Te

14

43

6 heures

6

C

5 730 ans

238 92

U

4,50.109 ans

4. Détermination de la constante de temps τ par deux méthodes : a) par calcul On détermine t1/2 par la courbe et on en déduit τ par le calcul. b) par la méthode de la tangente à l’origine La tangente à l’origine à la courbe coupe l’asymptote horizontale en un point d’abscisse τ.

V. Activité d'une source radioactive. 1. Définition.

L'activité A d'une source radioactive est égale au nombre moyen de désintégrations par seconde dans l'échantillon. Elle s'exprime en becquerels dont le symbole est Bq (1Bq=1 désintégration par seconde). Le curie (Ci) est une autre unité de mesure d'activité utilisée. Il correspond à l'activité de 1,0g de radium et vaut 3,7.1010Bq.

Pour information :

Quelques ordres de grandeurs de niveaux d’activité radioactive

30

( naturelle ou artificielle ) auxquels l’homme est soumis : Source

Activité radioactive ( origine )

Eau de mer

Homme

13 Bq par litre ( potassium 40, traces d’uranium et de tritium) 500 à 5000 Bq par kg selon les terrains ( uranium, thorium et descendants, potassium 40 ) 130 Bq par kg ( potassium 40, carbone 14 )

Scintigraphie osseuse

5,50.108 Bq par injection ( technétium 99 )

Résidus de la fission nucléaire

Plusieurs milliards de Bq par cm3

Terre

2. Expression de l'activité. A pourra être notée:

−∆N A= ∆t

ou bien

A=

− dN dt

on a donc:

- dN = λNdt A=

− dN dt

d’où

A = λN

Cette dernière relation permet d'exprimer l'activité d'un échantillon en fonction du temps. A=λN

d’où A = λN0e-λt

d’où

A = A0e-λτ L’activité suit la même loi de décroissance exponentielle que N.

31

VI.Conséquences de la radioactivité 1) Une remontée dans le temps : la datation au carbone 14 Grâce au carbone 14, on peut dater la mort de matériaux organiques (restes d'organismes végétaux ou animaux) en remontant jusqu'à 40 000 ans environ. Le carbone entre dans la composition de la molécule du gaz carbonique, présent dans l'atmosphère, et dans de nombreux composés organiques. L'élément carbone comporte principalement du carbone 12 stable et une très faible proportion de carbone 14, radioactif, de demi-vie 5 568 ans. Le carbone 14 est produit en permanence dans la haute atmosphère par le rayonnement cosmique à partir de noyaux d'azote. Les divers échanges (photosynthèse, alimentation) qui se produisent entre l'atmosphère et le monde «vivant» maintiennent quasiment constant le rapport entre la quantité de carbone 14 et celle de carbone 12. Mais, dès qu'un organisme meurt, le carbone 14 qu'il contient n'est plus renouvelé puisque les échanges avec le monde extérieur cessent; sa proportion se met à décroître. Choisissons l'instant t = 0 au moment de la mort de l'organisme; l'activité du carbone 14 est alors Ao. Pour déterminer l'âge du matériau mort, on mesure l'activité actuelle A(t) du carbone 14 d'un échantillon de matériau mort et on applique la formule : A(t)=Ao.exp(−λt) On obtient : t =

 Ao   t1 / 2   Ao  ln  ln =  λ  A   ln 2   A  1

Pour évaluer Ao, on émet l'hypothèse que la proportion entre le carbone 14 et le carbone 12 pour les matériaux vivants n'a pratiquement pas varié jusqu'en 1950. Au-delà de 1950, les activités industrielles ont pu être à l'origine d'une variation de cette proportion, liée à une accumulation de dioxyde de carbone dans l'atmosphère. Par conséquent, Ao représente l'activité en carbone 14 dans les organismes vivants en 1950; on trouve cette valeur dans les tables. L'âge de la Terre Le produit de désintégration ultime de l'uranium 238 (période de 4,47 milliards d'années) est le plomb 206 stable. Il est donc possible de déterminer l'âge des roches anciennes par la mesure du rapport de la teneur de ces roches en plomb 206 à celle en uranium 238. Une roche contient d'autant plus de plomb qu'elle est âgée. D'autres couples, tels le couple rubidium 87 (période de 48,9 milliards d'années) et le strontium 87 (qui est stable), sont utilisés. L'âge de la Terre a été ainsi estimé à 4,55 milliards d'années.

2) Les effets biologiques de la radioactivité a) Les dangers En traversant le corps, les particules α et β, ainsi que le rayonnement γ, provoquent des destructions cellulaires. A faible dose ces rayonnements sont responsables d'une augmentation des cancers et d'anomalies génétiques. On parle d'irradiation lorsqu'un organisme se trouve à proximité d'une source radioactive. Il reçoit alors une partie du rayonnement émis par la source. Il y a contamination lorsque les produits radioactifs sont absorbés par les voies digestives ou respiratoires. Ils peuvent alors se désintégrer au sein même de l'organisme. Le danger augmente avec l'activité A de la source radioactive, la proximité de la source, la durée d'exposition et le type de radioactivité (les particules α sont arrêtées par une feuille de papier ; les particules β par une fine plaque d’aluminium ; le rayonnement γ par une forte épaisseur de plomb ou de béton). b) Les utilisations pour l'homme La médecine utilise, en radiothérapie et en imagerie médicale, des échantillons radioactifs bien choisis.

32

Les radiations ionisantes, délivrées à haute dose et focalisées sur les tumeurs, peuvent détruire les cellules malignes. Leur utilisation constitue une thérapeutique efficace contre certains cancers. La radioactivité trouve également de nombreuses applications dans l'industrie. En particulier, l'irradiation est un moyen privilégié pour détruire, à froid, les micro-organismes (champignons, bactéries, virus...). Ainsi, la majorité du matériel médico-chirurgical (seringues jetables, etc.) est aujourd'hui radiostérilisée. De même, le traitement par irradiation de produits alimentaires permet d'améliorer l'hygiène de certains aliments comme les graines, les épices et aussi l'élimination des salmonelles sur les crevettes et les cuisses de grenouilles... Cette technique porte le nom d'ionisation des aliments.

33

Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ Connaître la signification du symbole

A Z

X et donner la composition du noyau

A Z

X et donner la composition du noyau

correspondant.

□ Connaître la signification du symbole correspondant.

□ Définir l'isotopie et reconnaître des isotopes. □ Reconnaître les domaines de stabilité et d'instabilité des noyaux sur un diagramme (N, Z). □ Définir un noyau radioactif. □ Connaître et utiliser les lois de conservation. □ Définir la radioactivité α, β , β , l'émission γ -

+

et écrire l'équation d'une réaction nucléaire pour une émission α, β , β , en appliquant les lois de conservation. -

+

□ A partir de l'équation d'une réaction nucléaire, reconnaître le type de radioactivité. □ Connaître l'expression de la loi de décroissance et exploiter la courbe de décroissance.

□ Savoir que 1 Bq est égal à une désintégration par seconde. □ Expliquer la signification et l'importance de l'activité dans le cadre des effets biologiques. □ Connaître la définition de la constante de temps et du temps de demi-vie. □ Utiliser les relations entre τ, λ et t

1/2.

□ Déterminer l'unité de τ ou de λ par analyse dimensionnelle. □ Expliquer le principe de la datation, le choix du radioélément et dater un événement.

34

Chapitre 5

Masse et énergie. Réactions nucléaires :

I. Equivalence masse énergie 1. Relation d'Einstein En 1905, en élaborant la théorie de la relativité restreinte, Einstein postule que la masse est une des formes que peut prendre l'énergie. Postulat d'Einstein: Un système de masse m possède lorsqu'il est au repos, une énergie:

2

E = m.c

avec

E: énergie du système en joules (J) m: masse du système en kilogrammes (kg) c: vitesse de la lumière dans le vide (c=3,0.108m.s-1)

Conséquence: Si le système (au repos) échange de l'énergie avec le milieu extérieur, (par rayonnement ou par transfert thermique par exemple), sa variation d'énergie ∆E et sa variation de masse ∆m sont liées par la relation:

∆E = ∆m.c2 Remarque: • •

Si ∆m0. 2. Énergie de liaison du noyau Définition: On appelle énergie de liaison d'un noyau (notée El) l'énergie que doit fournir le milieu extérieur pour séparer ce noyau au repos en ses nucléons libres au repos.

Lorsqu'on brise le noyau, sa masse augmente de ∆m (défaut de masse) et son énergie de ∆m.c2. On en déduit que l'énergie de liaison d'un noyau a pour expression:

2

El = ∆m.c

avec

El: énergie de liaison du noyau (en Mev) ∆m: défaut de masse du noyau (en kg) c: célérité de la lumière dans le vide (en m.s-1)

Remarque: Inversement, lorsque le noyau se forme à partir de ses nucléons libres, le milieu extérieur reçoit l'énergie E=|∆m|.c2 (la masse du système diminue et ∆m

∆E = [m(

) + m(

) - m(

, l'énergie fournie au milieu

)].c2

Autre exemple: désintégration β- du cobalt 60

+ Masses des particules m (Co) = 59,9190u; m(Ni) = 59,9154u; m(e) = 5,49.10-4u.

∆m = m(Ni) + m(e) - m(Co)

=> =>

∆m = 59,9154 + 5,49.10-4 - 59,9190 ∆m = -3,05.10-3u

On remarquera que ∆m E = 3,05.10 x 1,6749.10 x (3.10 )

=> E = 4,60.10-13J => E = 2,87.106eV => E = 2,87MeV

C’est l’énergie cédée au milieu extérieur lors de la réaction nucléaire. 2. Cas des réactions de fission Nous traiterons ce paragraphe sur un exemple, la fission de l'uranium 235.

+ → + +2 Masses des particules m(U) = 234,9935u; m(Sr) = 93,8945u; mn = 1,0087u m(Xe) = 139,8920u

∆m =

40

∆m = ∆m = ∆m = On remarquera que ∆m …… 0. La masse du système ……….. et le système ………… de l'énergie au milieu extérieur. Cette énergie s'écrit: E= => E = => E = => E = 3. Cas des réactions de fusion Ce paragraphe sera lui aussi traité à l'aide d'un exemple.

+ +2 Masses des particules

m(

) = 3,0149u;

m(

) = 4,0015u;

mp = 1,0073u.

∆m = => =>

∆m = ∆m =

On remarquera que ∆m………..0. La masse du système ………… et le système …………. de l'énergie au milieu extérieur. Cette énergie s'écrit: E= =>

E=

=> E = => E =

L'énergie dégagée par une réaction nucléaire se déduit de la perte de masse apparaissant au cours de la réaction nucléaire.

41

Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ Définir et calculer un défaut de masse et une énergie de liaison. □ Définir et calculer l’énergie de liaison par nucléon. □ Savoir convertir des J en eV et réciproquement. □ Connaître la relation d’équivalence masse-énergie et calculer une énergie de masse. □ Commenter la courbe d’Aston pour dégager l’intérêt énergétique des fissions et des fusions.

□ Définir la fission et la fusion et écrire les équations des réactions nucléaires en appliquant les lois de conservation.

□ A partir de l’équation d’une réaction nucléaire, reconnaître le type de réaction. □ Faire le bilan énergétique d’une réaction nucléaire en comparant les énergies de masse.

42

Chapitre 6

Le condensateur- Dipôle RC

I. Rappel sur les notions d’électricité de 1ère S Par convention, on utilise les lettres minuscules pour les grandeurs variables avec le temps et les lettres majuscules pour les grandeurs indépendantes du temps. L’orientation d’un circuit est indiquée par une flèche sur un fil de jonction, surmontée de i. Si le courant passe dans le sens de la flèche, alors i est positif. Si le courant passe en sens opposé, alors i est négatif. 1.1

i

Caractéristiques tension intensité de dipôles électriques

C'est la courbe représentant les variations de la tension aux bornes du dipôle en fonction de l'intensité du courant qui le traverse. Les dipôle linéaires

Leur caractéristique tension intensité est linéaire (dipôle non linéaire dans le cas contraire) u u u = R.i (loi d’Ohm) i Exemple le résistor i R Les dipôles actifs Leur caractéristique tension-intensité ne passe pas par l'origine (dipôle passif dans le cas contraire) Exemples

u

u i

E i

le générateur réel ( pile ) u l'électrolyseur u le générateur de tension

le générateur de courant

u i

E’

i

u = E’ + r.i

u i

E i

u

u = E – r.i

u=E

u i

E I0

i

i = I0

Remarques Le générateur de tension est un générateur particulier dont la résistance interne est nulle. Quelle que soit l’intensité du courant qu’il débite, la tension à ses bornes est constante. Le générateur de courant est générateur particulier dont la résistance interne est infinie. Quelle que soit la tension à ses bornes l’intensité du courant qu’il débite est constante. 1.2

Puissance mise en jeu dans un circuit électrique

Par définition la puissance électrique instantanée aux bornes d'un dipôle est : 43

p = u. i

1.3

Les dipôles générateurs ou récepteurs

Dans la convention récepteur la flèche tension et la flèche intensité ont des sens contraires. Dans la convention générateur la flèche tension et la flèche intensité ont même sens.

Il est commode d’adopter la convention récepteur aux bornes d’un récepteur et la convention générateur aux bornes d’un générateur. Certains dipôles assument les deux fonctions ; ils sont dit réversibles (une bobine, un condensateur, ...). Si un dipôle réversible passe continûment d’un fonctionnement à l’autre, une convention n’est pas meilleure que l’autre.

II. Le condensateur. 1. Définition et symbole. Un condensateur est constitué de deux conducteurs métalliques (les armatures) en influence mutuelle, séparés par un isolant (le diélectrique).

armature Son symbole

diélectrique . 2. Charge et décharge du condensateur.

a) Expérience :

1

Observation : Lorsqu’on ferme l’interrupteur en position 1, l’ampèremètre indique qu’un courant circule pendant quelques instants. Simultanément, la tension u AB aux bornes du condensateur croit progressivement. L’intensité finit par s’annuler tandis que uAB tend à se stabiliser à une valeur égale à la tension du générateur.

2

i

A

+ P

R

E -

A

N UAB

B

C

V

Lorsqu’on bascule l’interrupteur en position 2, l’ampèremètre indique qu’un courant circule pendant quelques instants dans le sens contraire à tout l’heure. Simultanément, , la tension u AB aux bornes du condensateur décroit progressivement. La tension u AB et l’intensité tendent à se stabiliser vers une valeur nulle.

b) Interprétation :

44

Lorsqu’on ferme l’interrupteur en position 1, les électrons débités par le générateur vont se déplacer vers l’armature B. Ces électrons ne peuvent traverser l’isolant séparant les armatures du condensateur : ils s’accumulent donc sur l’armature B qui se charge négativement. Simultanément, des électrons de l’armature A quittent cette armature. On dit que le condensateur se charge.

Lorsqu’on bascule l’interrupteur en position 2, les éléctrons accumulés sur l’armature B vers l’armature A pour y neutraliser les charges positives. Les charges du condensateur diminue jusquà s’annuler. On dit que le condensateur se décharge.

Les charges qA et qB varie en sens contraire. Lorsque des électrons partent de l’armature A, la meme quantité d’électrons arrive sur l’armature B.

qA = - q B = q Les charges s’expriment en Coulomb ( C ). 3) Relation entre charge et intensité :

La charge du condensateur évolue au cours du temps. C’est une fonction du temps :q( t ). Sa dérivée par rapport au temps est un débit de charge électrique, c'est-à-dire l’intensité du courant.

i=

dq A dq = dt dt

Cette relation est valable aussi bien lors de la charge que lors de la décharge. Lors de la charge, i circule dans le sens positif, i est positif et la charge augmente donc

dq est dt

positif. Lors de la décharge, i circule dans le sens contraire au sens positif, i est négatif et la charge dq est négative. diminue donc dt 4. Capacité du condensateur .

45

La charge q d’un condensateur est proportionnelle à la tensoin u entre ses armatures. Ce coefficient de proportionnalité toujours positif est appelé capacité du condensateur et s’exprime en farad dans le SI.

qA = C.uAB q s’exprime en Coulomb ( C ), u en volt et C s’exprime en farad ( F ). On utilise couramment les sous multiples: 1mF=10-3F, 1µF=10-6F, 1nF=10-9F (nanofarad) et 1pF=10-12F (picofarad).

Selon le type d’utilisation, la valeur de la capacité C varie considérablement. utilisation Mémoire d’ordinateur Allumage de voiture Flash électronique Détection radio

Capacité C ( F )

0,1 à 1 10-4 10-5 10-9 à 10-12

5) Relation entre i, C et u. q = C.u i= i=

d (Cu ) du =C dt dt

Par conséquent :

dq dt

i = C.

du dt

III. Dipôle (R, C) soumis à un échelon de tension.

U

1) Définition : Un échelon de tension E est le passage instantané d'une tension de valeur nulle à une tension de valeur constante E.

E

2) Expériences :

t 46

1

2

i

voie 2

+ P

R

E -

voie 1

A

N UAB

C

B

On veut visualiser les variations de la tension uAB aux bornes du condensateur lors de la charge et lors de la décharge et aux bornes du générateur. L’observation à l’aide d’un oscilloscope n’est pas possible car les tensions ne sont pas périodiques. On utilisera un oscilloscope à mémoire qui permet de visualiser une variation de tension et qui ne se répète pas.

M a) charge du condensateur :

On bascule l’interrupteur en position 1. On observe sur l’oscilloscope à mémoire l’ oscillogramme. Régime permanent

La tension aux bornes du condensateur augmente progressivement pour tendre vers la valeur de la tension E aux bornes du générateur. La charge du condensateur n’est pas instantanée. Régime transitoire

Il existe un régime transitoire qui correspond à la charge du condensateur et un régime permanent lorsque le condensateur est chargé.

NB : Les courbes ont été décalées pour mieux observer le phénomène de la charge. b) décharge du condensateur :

On bascule l’interrupteur en position 2. On observe l’oscillogramme suivant :

Régime transitoire

Régime permanent

La tension aux bornes du condensateur diminue progressivement pour tendre vers une valeur nulle. La décharge du condensateur n’est pas instantanée. Il existe un régime transitoire qui correspond à la décharge du condensateur et un régime permanent quand le condensateur est déchargé. NB : Les courbes ont été décalées pour47mieux observer le phénomène de la décharge.

c) variation de l’intensité lors de la charge et de la décharge:

Comment peut on visualiser les variations de l’intensité du courant lors de la charge ou de la décharge ? Un oscilloscope à mémoire permet de visualiser une tension et non une intensité. Cependant on sait que la tension aux bornes d’un conducteur ohmique ( résistance ) est proportionnelle l’intensité du courant électrique qui le traverse. ( Loi d’Ohm ). Il suffira de visualiser les variations aux bornes d’une résistance uR = R.i et on obtient ainsi les variations de i ( t ) à un coefficient près.

1

2

i

voie A

+ P

UR = Ri

R

E -

M

A

N UAB

C

B M

On observe les oscillogrammes suivants : Lors de la charge :

Lors de la charge du condensateur, l’intensité i diminue pour tendre vers une valeur nulle. L’intensité i est positive et elle décroît.

Lors de la décharge :

Lors de la décharge du condensateur, l’intensité du courant est négative. Le courant circule dans le sens inverse au sens du courant lors de la charge. L’intensité en valeur absolue diminue pour tendre48 vers une valeur nulle.

3) étude théorique : a) de la charge du condensateur :

Appliquons la loi d’additivité des tensions à notre circuit :

P

1

UPN= uAB + uR

i

i +

Or UPN= E, et uR = Ri d’après la loi d’Ohm.

UR

Or i =

R

E A

-

UAB B

dq dt

et q = C. uAB

d (Cu AB ) du = RC AB dt dt

d’où UR = Ri = R

dq dt

= R.

d’où E = uAB +

RC

du AB dt

C

N en divisant par RC, et en notant UAB = uC

duC 1 E + uC = dt RC RC En posant τ = RC, on aura :

duC 1 E + uc = dt τ τ

avec

τ = RC

C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, avec second membre constant. L'équation différentielle montre que τ = RC s'exprime en seconde. De l’équation différentielle, on peut tirer τ τ=

E − uC duC dt

d’où [ τ ] =

[V ] = [T ] [V ] [T ]

L'analyse dimensionnelle du produit RC permet de retrouver ce résultat. 49

En effet : - La loi d'Ohm U = Ri montre que [ R ] = [ V ] / [ I ] -

i=C

duC dt

d’où

C=

i duC dt

Cette relation montre que [ C ] = [ I ] [ T ] / [ V ]

On en déduit [ RC ] = [ R ] [ C ] = [ T ] Le produit τ = RC a bien les dimensions d'un temps. Il s'exprime en seconde (unité du système international). Le produit RC, homogène à une durée est appelée constante de temps du dipôle ( R,C )

τ = RC La constante de temps τ donne l’ordre de grandeur de l’établissement du régime permanent. Elle correspond à la durée que met le condensateur pour se charger à 63% de sa charge totale. La charge sera d’autant plus rapide que τ soit petit c'est-à-dire R et C petits

La résolution de l’équation différentielle est hors programme. On montre que la solution de cette équation différentielle est : −t

uC = E.(1 − e τ ) Vérifions par le calcul que cette solution vérifie l’équation différentielle.

duC 1 −τt = E. e dt τ d’où

1

τ

duC 1 E + uC = dt τ τ

1

E

τ

τ

u C = .E −

−t

eτ

, l’équation différentielle est bien vérifiée par cette solution.

La charge q = CUC vérifie une équation différentielle du même type, obtenue en multipliant par C les 2 membres de l’équation différentielle.

dCuC dt

+

C

τ

uC =

E.C

τ

d’où

50

dq dt

+

q

τ

=

C.E

τ dq dt

+

q

=

τ

CE

τ

La solution de cette équation différentielle est de la forme : −t

q (t ) = Q.(1 − e τ ) avec

Q = CE,

Q correspond à la charge maximale atteinte lors de la charge. q = C. UC d’où Q= C.E car UC max = E. UC Régime transitoire

Régime permanent

E

−t

U C = E .(1 − e τ )

t b) de la décharge :

Le condensateur est initialement chargé et UC(0 ) = E. Appliquons la loi d’additivité des tensions à notre circuit : uAB + uR = 0 Or uR = Ri d’après la loi d’Ohm. Or i =

i UR

R

B

et q = C. uAB

d’où uR = Ri = R d’où 0 = UAB +

A UAB

dq dt

C

dq dt

= R.

RC

d (Cu AB ) du = RC AB dt dt

du AB dt

en divisant par RC, et en notant UAB = UC et τ = RC

duC 1 + uc = 0 dt τ

51

On admet que la solution est : −t

uC = E.e τ

Vérifions que cette solution vérifie bien l’équation différentielle.

E −τt duC =− e dt τ

,

1

τ

uC =

1

τ

−t

E.e τ

et donc

duC 1 + uC = 0 dt τ

La constante de temps τ apparaît aussi bien dans la charge ou la décharge du condensateur. Elle correspond lors de la décharge à la durée pour que le condensateur se décharge à 63% de sa charge maximale. UC Régime transitoire

Régime permanent

E

−t

U C = Ee τ )

t 4) Détermination expérimentale de la constante de temps : a) Méthode des 63%

Examinons la valeur que prend uC lors de la charge du condensateur lorsque t=t. en reprenant l'expression uC=E(1-e-t/RC), à la date t = τ, on a: uC(τ) = E(1 - e-1)

d’où uC( τ ) = 0,63 E

Il suffit alors de lire sur le graphe uC=f(t) la valeur de t. Le même raisonnement appliqué à la décharge du condensateur donne : pour t=τ

uC ( τ ) = Ee-1

d’où uC ( τ )=0,37E

b) méthode des tangentes à l’origine

On trace la tangente à la courbe uc ( t ) à l’origine. Celle-ci coupe l’asymptote horizontale uC = E en un point d’abscisse τ dans le cas de la charge du condensateur.

52

Dans le cas de la décharge, la tangente à la courbe à l’origine coupe l’axe des x en un point d’abscisse τ. c) méthode par le calcul

On détermine τ par le calcul : τ = RC. uC

uC

E

E

0,63E

0,37E

t

t uC τ

uC

E

τ

E

t

t

τ

τ

IV. Dipole (RC) soumis à une tension en créneaux : Le dipôle RC est soumis à une tension en créneaux u(t).

u i E

u

GBF

O

R A UAB B

T 2

T

Lorsque 0≤ t ≤ T/2, u(t) = E, le condensateur se charge.

C

Lorsque T/2≤ t ≤ T, u(t) = 0, le condensateur se décharge.

53

Deux cas peuvent se produire lors de la charge et de la décharge du condensateur. 1er cas : Le condensateur a le temps de se charger (ou de se décharger)

le condensateur a le temps de se charger si :

5τ ≤ T/2 ⇔ 5 RC ≤ T/2 ⇔ 10 RC ≤ 1/fGBF

5τ correspond au temps au bout duquel le condensateur se charge à 99%.

2ième cas : Le condensateur n’a pas le temps de se charger (ou de se décharger)

le condensateur n’a pas le temps de se charger si : 5τ > T/2 ⇔5 RC > T/2 ⇔ 10 RC > 1/fGBF u 5τ ≤ T/2 E

t 0

T/2

T

u

5τ > T/2

E

t 0

T/2

T

Le phénomène de charge et décharge du condensateur étant périodique, on peut visualiser ce phénomène à l’aide d’un oscilloscope simple.

54

V. Charge d’un condensateur à l’aide d’un générateur de courant On réalise le montage suivant : K A I

A

Le générateur de courant délivre un courant électrique d’intensité constante I0. Un voltmètre permet de mesurer les variations de uAB au cours du temps. Placer le voltmètre sur le schéma et représenter la tension uAB.

C

B

On obtient le graphe uAB(t) suivant :

uAB

Le condensateur se charge ; la tension uAB croit mais de façon linéaire et non exponentielle.

t

I0 =

du dq = C AB dt dt

D’où

I 0 du AB soit par intégration : = C dt

I0 .t C La représentation graphique de uAB(t) est une droite passanr par l’origine de coefficient directeur a = I0/C u AB =

VI. Energie emmagasinée dans un condensateur. Un condensateur emmagasine de l'énergie lorsqu'on le charge. Cette énergie est restituée lors de la décharge de ce condensateur. En classe terminale, nous admettrons que l'énergie d'un condensateur chargé est : We =

1 2 CuC 2 55

D'après la relation qA = C . uAB , on peut aussi écrire :

1 1 q2 2 We = CuC = 2 2C We s’exprime en Joule ( J ). C en farad ( F ) et UC en volt ( V )

IV. Application : Déterminer lors de la charge et la décharge du condensateur l’expression de i en fonction du temps. Tracer ensuite les graphes i = f (t ). Conclure. Lors de la charge :

Lors de la décharge :

56

Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ Connaître la représentation symbolique d'un condensateur. □ En utilisant la convention récepteur, savoir orienter un circuit sur un schéma, représenter les différentes flèches-tension, noter les charges des armatures du condensateur.

□ Connaître les relations charge-intensité et charge-tension pour un condensateur en convention récepteur ; connaître la signification de chacun des termes et leur unité.

□ Savoir exploiter la relation q=Cu. □ Effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci lorsque le dipôle RC est soumis à un échelon de tension. En déduire l'expression de l'intensité dans le circuit.

□ Connaître l'expression de la constante de temps et savoir vérifier son unité par analyse dimensionnelle.

□ Connaître l'expression de l'énergie emmagasinée dans un condensateur. □ Savoir que la tension aux bornes d'un condensateur n'est jamais discontinue. □ Savoir exploiter un document expérimental pour : - identifier les tensions observées, - montrer l'influence de R et de C sur la charge ou la décharge, - déterminer une constante de temps lors de la charge et de la décharge.

57

Chapitre 7

Bobines et dipôle RL

I. La bobine : - Une bobine est constituée d’un enroulement de fil conducteur, recouvert d’un vernis isolant, sur un cylindre de rayon R. - On désigne par l la longueur de l’enroulement et par R le rayon d’une spire :

R

II. Influence d’une bobine dans un circuit 1) Expérience :

Observations : A la fermeture de l’interrupteur, la lampe L2 s'allume avec un retard sur la lampe L1. Il se produit un retard à l'établissement du courant dans la portion de circuit qui comporte la bobine. A l’ouverture du circuit, la lampe L2 s’éteint avec un retard sur la lampe L1. Il se produit un retard à l’extinction du courant dans la portion de circuit qui comporte la bobine. - Une bobine s’oppose transitoirement à l’établissement du courant dans un circuit et à l’extinction de celui-ci. - En régime permanent, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

III. Caractéristique d’une bobine : 1)- L’inductance d’une bobine. - Une bobine est un dipôle, de bornes A et B, caractérisé par son inductance L exprimée en Henry (symbole H). On utilise souvent le millihenry (mH). - L'inductance L de la bobine est une constante positive qui ne dépend que des caractéristiques géométriques de la bobine ( de surface S).

N2 L = µ0 .S l

pour une bobine de longueur l, qui possède N spires

2)- Résistance d’une bobine. - En régime permanent, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r. Une bobine est aussi caractérisée par sa résistance r qui s’exprime en ohm (Ω). 3)- Représentation symbolique d’une bobine.

58

4)- Expression de la tension aux bornes d’une bobine. - Une bobine est caractérisée par son inductance L et sa résistance r. - La bobine étant orientée de A vers B, la tension u AB aux bornes de la bobine est donnée par la relation :

u AB = L

di + ri dt

- Remarque : cas d’une bobine idéale (r = 0)

-

On peut aussi utiliser cette écriture si r 0 ( 1 )

i(t ) = - Qm

àt=0

i ( 0 ) = -Qm

2π T0

sin φ0 = 0

(2)

De la relation 2 on en déduit que sin φ0 = 0 d’où φ0 = 0 ou φ0 = π Or d’après la relation 1, Qm.cosφ0 >0 d’où cos φ0 >0 d’où φ0 = 0 De la relation 1, on en déduit : Qm.cos0 = Q0 d’où Qm = Q0

q ( t ) = Q0 cos (

2π t) T0

et i ( t ) = - Q0

2π T0

sin (

2π t) T0

uC ( t ) =

2π Q0 cos ( C T

t)

0

69

III) Energie d’un circuit oscillant 1) Energie d’un circuit ( L, C ) :

L’énergie d’un circuit ( L, C) idéal, circuit oscillant non amorti est à chaque instant la somme des énergie et magnétique emmagasinées dans le condensateur d’une part et dans la bobine d’autre part :

W = WE + WL =

1 2 1 2 Cu + Li 2 2

Dans les oscillations d’un circuit ( L,C) idéal, il y a conservation de l’énergie totale W = WE + WL = constante

Pendant les oscillations, il y a transfert d’énergie de la bobine au condensateur. L’énergie du condensateur et l’énergie de la bobine varient en sens inverses. WE =

1 2 1 q2 1 Q2m 2π Cu = = cos 2 ( t + ϕ 0 ) 2 2C 2 C T0

1 2 1 2π 2π 1 LQm2 2 2 2π 2 sin( t + ϕ 0 )] = WL= Li = L[ −Qm 4 π sin ( t + ϕ0 ) 2 2 T0 T0 2 T02 T0 1 Qm2 2π 2 2 or T0 = 2π LC d’où T0 = 4π LC d’où WL = sin 2 ( t + ϕ 0 ) 2 C T0 1Q m 1 2 1 Q2m 2π 2π = CU max Par conséquent: W = [cos 2 ( t + ϕ 0 ) + sin 2 ( t + ϕ 0 )] = 2 C 2 2 C T0 T0 2

W=

1 Q2m 2 C

1 = CU max 2 = Cste 2

WE, WL, W W WL

WE

t 70

Remarque : A partir de la conservation de l’énergie totale, on peut retrouver l’équation différentielle d’un circuit ( L, C ).

dW d ( 1 q 2 1 2 1 1 1 q = + Lq& ) = .2q&q + L.2q&&q& = q& ( + Lq&&) = 0 dt dt 2 C 2 2 C 2 C car

W est constante, sa dérivée est donc nulle.

Par ailleurs :

q& ≠ 0

car

q& = i

ne peut être nulle d’où

q&& +

différentielle :

q =0 LC

q + Lq&& = 0 d’où C

l’équation

2) Energie d’un circuit ( R, L, C )

Dans un circuit oscillant amorti, il y a échange d’énergie entre le condensateur et la bobine, mais l ‘énergie totale du circuit diminue progressivement par effet Joule.

W, WL, WE W

WE

t

IV. Entretien des oscillations électriques : Le montage suivant, dont l'étude approfondie est hors programme, permet d'entretenir des oscillations quasi sinusoïdales dans un circuit r, L, C malgré la présence de la résistance r. On peut montrer que si la résistance réglable Ro est choisie égale à la résistance r du circuit r, L, C alors des oscillations sinusoïdales de période égale à la période propre prennnent naissance. On dit que la partie grise du montage se comporte comme une "résistance négative" de valeur – r

71

Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ Définir et reconnaître les régimes périodique pseudo périodique et apériodique. □ Savoir trier l'allure de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps pour les régimes périodique. pseudo périodique et apériodique.

□ Dans le cas d'un amortissement négligeable, effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur ou la charge de celui-ci.

□ En déduire l'expression de l'intensité dans le circuit. □ Connaître l'expression de la période propre, la signification de chacun des termes et leur unité.

□ □

Savoir que le dispositif qui entretient les oscillations fournit l'énergie évacuée par transfert thermique. Savoir interpréter en terme d'énergie les régimes périodique, pseudo-périodique, apériodique et entretenu.

□ Savoir exploiter un document expérimental pour - identifier les tensions observées, - reconnaître un régime, - montrer l'influence de R et de L ou C sur le phénomène d'oscillations.

□ Déterminer une pseudo période.

72

Chapitre 9

Les lois de Newton :

I. Notions de cinématique : 1. Référentiel et repère

-On considère une mouche, assimilable à un point, "fixée" au plafond d'une voiture qui avance sur une route rectiligne horizontale à la vitesse constante V = 20 m/s. - La trajectoire de la mouche par rapport au solide Terre est une droite. Par rapport à la Terre, le vecteur vitesse de la mouche est constant, sa norme a pour valeur V = 20 m/s. - La trajectoire de la mouche par rapport au solide voiture est un point immobile. Par rapport au solide voiture la vitesse de la mouche est V ' = 0 m / s puisqu'elle reste "fixée" au plafond. Cet exemple montre qu'il faut toujours préciser le référentiel par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile. Un référentiel est un solide. Il est déterminé par la donnée de quatre points non coplanaires. On prend souvent comme référentiel le solide Terre, c’est le référentiel terrestre. - Le référentiel Géocentrique (solide imaginaire construit à partir des centres de la Terre et de trois étoiles, les 4 points n'étant pas dans un même plan) est utilisé pour étudier le mouvement des satellites terrestres. - Le référentiel Héliocentrique (solide imaginaire construit à partir des centres du soleil et de trois autres étoiles, les 4 points n'étant pas coplanaires) est utilisé pour étudier les voyages interplanétaires (Terre → Mars par exemple) ou pour étudier le mouvement des planètes autour du Soleil. Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel la 1ère Loi de Newton ( principe d’inertie) est vérifiée. Le référentiel héliocentrique est galiléen. Les référentiels terrestre et géocentrique ne sont pas galiléens puisque la Terre tourne autour du soleil. Néanmoins, pour la plupart des applications pratiques qui ne réclament pas une extrême précision, l'expérience montre qu'ils peuvent être considérés comme galiléens. Un repère d'espace orthonormé, lié à un référentiel, est un système d'axes orthogonaux et normés, muni d'une origine O. Dans ce repère, on peut exprimer les coordonnées du mobile ponctuel étudié. Dans un référentiel, il est possible de tracer une infinité de repères orthonormés différents. On choisit celui qui est le mieux adapté au problème posé. L'étude du mouvement d'un mobile nécessite non seulement le choix d'un référentiel auquel on associe un repère mais encore le choix d'une horloge permettant de mesurer le temps. 2. Trajectoire d'un mobile ponctuel Dans un référentiel donné, la trajectoire d'un mobile ponctuel est formée par l'ensemble des positions successives occupées par le mobile au cours du temps.

73

II. Vecteur position, vecteur vitesse, vecteur accélération : 1. Vecteur position d'un mobile ponctuel

r r r

Dans le repère orthonormé (O, i , j , k ) lié au référentiel d'étude, la position d'un mobile ponctuel est, à l'instant t, donnée par le vecteur position :

OM

(t) = x (t)

r r r i + y (t) j + z (t) k

A cet instant t, le mobile se trouve à une certaine distance de l'origine O du repère donnée par: OM =

x2 + y2 + z 2

2) Vecteur vitesse a) Vecteur vitesse moyenne d'un mobile ponctuel Si, dans un référentiel donné, entre les dates t et t', le mobile se déplace de M en M', alors le vecteur vitesse moyenne entre ces deux dates est :

M’

M

r j b) Vecteur vitesse instantanée d'un mobile ponctuel

O

r i

Si, dans un référentiel donné, les dates t et t' figurant dans l'expression précédente se rapprochent de plus en plus, on montre, en mathématiques, que la limite du vecteur vitesse moyenne est la dérivée par . Cette limite est le vecteur vitesse instantanée (à l'instant t) rapport au temps du vecteur position du mobile ponctuel :

- le point d'application de est le point M où se trouve le mobile ponctuel à cet instant. est celle de la tangente en M à la - la direction de trajectoire suivie par le point étudié. - le sens de

est celui du mouvement.

représente, à une échelle donnée, la - la longueur de norme du vecteur vitesse à cet instant. - La vitesse s'exprime en m / s (m.s-1) dans le système international d'unités

r VM M

sens du mouvement

M’

r VM '

74

3.Vecteur accélération d'un mobile ponctuel Dans un référentiel donné le vecteur vitesse d'un mobile ponctuel peut changer de valeur et (ou) de direction. Ce changement éventuel peut se faire plus ou moins rapidement. Par définition, on appelle vecteur accélération instantanée rapport au temps du vecteur vitesse

- le point d'application de - le vecteur

du mobile ponctuel la dérivée par

:

est le point M où se trouve le mobile ponctuel à cet instant.

est dirigée vers "l'intérieur" de la trajectoire.

- la longueur de

représente, à une échelle donnée, la norme du vecteur accélération à cet instant.

- L'accélération s'exprime en m / s² dans le système international d'unités. 4. Détermination graphique du vecteur accélération

On a représenté toutes les 40 ms, les positions successives d’un point M. On se propose de représenter en M3 le vecteur accélération r a3 . 1 cm représente 0,1 m/s r r 1. Donner en fonction de v4 , v2 et ∆t, l’ expression du r vecteur a3 .

M1 M 2 M3

M4

2. Peut-on déduire du quotient :

v4 − v2 v4 − v2 = t4 − t2 2∆t

,

r avec ∆t = 40 ms, la valeur du vecteur accélération a3 en M3 ?

M5

r r r 3. Sur le document, construire le vecteur ∆v =v4 −v2 , puis le r vecteur a3 en précisant l’échelle de représentation. Quelle est la valeur de a3 ?

75

III- Coordonnées des différents vecteurs dans un repère R. 1)- Le vecteur position.

r r r j , k ) . Le point M (x, y, z) est repéré grâce à ses coordonnées :

On travaille dans le repère (O, i ,

r r r OM = xi + yj + zk

d’où

OM =

x y z

2)- Le vecteur vitesse. Pour connaître les coordonnées du vecteur vitesse, on dérive le vecteur position par rapport au temps :

d OM dx r dy r dz r VM = j+ k = i+ dt dt dt dt La norme de la vitesse est :

v=

avec

vx + v y + vz 2

r r r VM = vx i + v y j + vz k

2

2

par dérivation par rapport au temps

3)- Le vecteur accélération. Pour connaître les coordonnées du vecteur vitesse, on dérive le vecteur position par rapport au temps :

d VM dVx r dv y r dvz r i+ k j+ = dt dt dt dt

-

aM =

-

Comme : VM

=

d OM dt

alors :

avec

r r r aM = a x i + a y j + a z k

r r r aM = &x&i + &y&j + &z&k

par dérivation par rapport au temps

Récapitulatif :

76

Vecteur position Vecteur vitesse

Vecteur accélération

4)- Application : On donne les équations paramétriques horaires du mouvement d’un point M dans le repère:

Donner les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point mobile M dans le repère R à la date t= 10s. Donner la valeur de la vitesse à t= 20s.

IV. Le repère de FRENET : En présence d'un mouvement curviligne et surtout d'un mouvement circulaire, il est commode de travailler avec le repère de FRENET. Considérons une trajectoire curviligne quelconque : La trajectoire étant connue, on choisit une origine des espaces sur

la trajectoire, le point O et une orientation positive ⊕ celle du mouvement. En conséquence chaque point de la courbe est repéré par son abscisse curviligne s = OM. Considérons deux vecteurs unitaires :

r ut vecteur tangent à la trajectoire au point considéré et orienté dans le sens ⊕ r et u N vecteur normal au vecteur tangent et orienté vers le centre de courbure de la courbe qui représente la trajectoire.

En conséquence, le vecteur accélération peut être décomposé en une :

77

- Accélération tangentielle

r r dv r at = at ut = ut qui dépend de la variation de la valeur de la dt

vitesse.

- Accélération normale

v2 r r r aN = aN u N = u N R

qui est liée à la variation de la direction du vecteur

vitesse, R est le rayon de courbure de la trajectoire.

r dv r v 2 r a = ut + u N dt R V- Les lois de Newton. 1)- Première loi de Newton : le principe d’inertie. Dans un référentiel galiléen, si la somme vectorielle des forces extérieures qui s’exercent sur un système est égale au vecteur nul, son centre d’inertie G est animé d’un mouvement rectiligne uniforme. Réciproquement, dans un référentiel galiléen, si le centre d’inertie G d’un système est animé d’un mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures qui s’exercent sur le système est égale au vecteur nul : Autrement dit

r r r r F = 0 ⇔ V = c st ∑ ext G

2) Deuxième loi de Newton : théorème du centre d’inertie. Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie. On écrit :

r r F ∑ ext = maG Le théorème du centre d’inertie permet de déterminer le mouvement du centre d’inertie du solide, à partir de la connaissance des forces qui agissent. 3)- Troisième loi de Newton : principe des actions réciproques.

r

r

A et B étant deux corps, soient F A / B la force exercée par A sur B et F B / A la force exercée par B sur A. Quel que soit l'état de mouvement de A par rapport à B, on a toujours l'égalité vectorielle :

r r F A/B =- F B/A Exemple: Interaction à distance Terre / Lune.

78

La Terre attire la Lune avec une force

. Réciproquement, la Lune attire la Terre

égale et opposée à

avec une force

:

=-

VI . APPLICATION : a) Un skieur de masse m = 80 kg descend une pente rectiligne, inclinée d’un angle α = 20 ° par rapport au plan horizontal. Sachant que la vitesse initiale du skieur est v0 = 10 m/s, calculer la distance parcourue par le skieur au bout de 15 s. Système : ……………………… Référentiel : …………………… Bilan des forces s’exerçant sur le skieur.

- ………………

-direction : - sens : - norme :

- ………………..

y

- direction : - sens : - norme :

-

Représenter ces forces sur le schéma. Ecrire le théorème du centre d’inertie.

-

Projeter cette relation sur ( Ox ) et ( Oy ).

G

x α

Sur ( Ox ) : ( Oy ) : - En déduire la valeur de l’accélération a. Donner la nature du mouvement. r

b) L’ensemble des frottements est assimilable à une force f constante, colinéaire au vecteur vitesse

r v et de sens contraire, sa norme est f = 200 N. Répondre aux mêmes questions qu’en a).

Système : ……………………… Référentiel : …………………… Bilan des forces s’exerçant sur le skieur.

79

- ………

-direction : - sens :

- …………

- direction : - sens :

- norme :

- norme :

y

………

direction : - sens : - norme :

-

Représenter ces forces sur le schéma. Ecrire le théorème du centre d’inertie.

-

Projeter cette relation sur ( Ox ) et ( Oy ).

G

x α

Sur ( Ox ) : ( Oy ) : - En déduire la valeur de l’accélération a.

80

Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ Choisir un système. Choisir les repères d'espace et de temps. □ Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées à ce système. □ Définir le vecteur accélération et exploiter cette définition, connaître son unité. □ Énoncer les trois lois de Newton. □ Savoir exploiter un document expérimental (série de photos, film, acquisition de données avec un ordinateur...) : reconnaître si le mouvement du centre d'inertie est rectiligne uniforme ou non, déterminer des vecteurs vitesse et accélération, mettre en relation accélération et somme des forces, tracer et exploiter des courbes vG = f (t) .

81

Chapitre 10

Mouvements de chute verticale :

I. Champ de pesanteur uniforme 1. Force de pesanteur La force de pesanteur est représentée par le vecteur suivantes : -

Caractéristiques :

. Il a les caractéristiques

direction : verticale sens : vers le centre de la Terre ( haut vers le bas ). valeur : P = m.g

En un même lieu, les vecteurs poids de différents solides sont parallèles, de même sens et de valeurs proportionnelles aux masses.

2. Champ de pesanteur La force de pesanteur résulte du champ de r pesanteur de la Terre. Le vecteur g est le vecteur champ de pesanteur du lieu considéré. -

r g

Caractéristiques :

r g

direction : verticale sens : du haut vers le bas valeur : g dépend de l’altitude

- Ce champ est présent autour de la Terre même si aucune masse ne lui permet de se manifester. -On peut considérer que le champ de pesanteur est quasiment uniforme dans une région dont les dimensions sont de l’ordre de quelques kilomètres.

II. La poussée d’Archimède : 82

1)- Expérience : Solide suspendu à un ressort (dynamomètre) que l’on immerge dans un liquide.

2)- Expression de la Poussée d’Archimède.

r

Tout corps immergé dans un fluide est soumis à une force verticale notée FA , orientée vers le haut, de valeur égale au poids du volume V de fluide déplacé par le corps immergé. -

Caractéristiques :

r FA

direction : verticale sens : vers le haut norme : FA= mfluide.g = ρfluide.Vfluide.g = ρfluide.Vcorps.g

Le volume de fluide déplacé est égal au volume du corps immergé. Remarque : La poussée d’Archimède exercée par un gaz sur un solide compact peut être négligée devant le poids d’un solide. C’est le cas d’une bille d’acier en mouvement dans l’air. Cette approximation n’est pas possible dans le cas d’un liquide.

III. Force de frottement fluide - Si un solide se déplace dans un fluide, il apparaît des forces de "frottement fluide" sur toute la surface du solide. Ces forces sont également appelées forces de Stockes - Dans le cas d'un solide homogène animé d'un mouvement de translation dans le fluide, on les modélise par un vecteur de sens opposé au mouvement. Comme on étudie le mouvement du centre d'inertie G, on reporte en ce point toutes les forces extérieures agissant sur le solide, notamment . - La valeur f de la force de frottement dépend de la nature du fluide. Elle dépend également de la vitesse V du solide en translation, de sa forme, de son état de surface. a) Force de frottement pour des valeurs très faibles de la vitesse :

83

Les vitesses considérées comme très faibles sont inférieures au cm.s-1. L’expression de la la force de frottement fluide est de la forme :

r r f = − kv Dans le cas d’une sphère de rayon r tombant dans une huile, le coefficient k est donné par la relation :

k=6π·η.r η est la viscosité du milieu.

Viscosité de quelques milieux : MILIEU

AIR

-5 η (kg.m-1.s-1) 1,8 × 10

HUILE olive 8,4 × 10-2

HUILE tournesol 8,0 × 10-2

ETHANOL

GLYCEROL

1,2 × 10-3

1,0

b) Force de frottement pour des valeurs plus élevées de la vitesse : L’expression de la force de frottement fluide est de la forme :

r r f = −kv 2u

r u

étant le vecteur unitaire orienté dans le sens du mouvement. Le coefficient k s’écrit :

1 k = ρ 0C x S 2

ρ0 est la masse volumique du fluide, S l’aire de la section du fluide, Cx est le

coefficient de pénétration dans le fluide.

IV. Chute verticale avec frottement : 1) Cas de la force de frottement de la forme

r r f = −kv

Une bille (de densité supérieure à celle du liquide) tombe verticalement, sans vitesse initiale, dans un tube rempli d'un liquide. Je vous rappelle que l’on doit tout d’abord définir le système, le référentiel, et faire le bilan des forces. Système : la bille de masse m r r Référentiel : terrestre supposé galiléen k Elle est soumise aux forces extérieures suivantes : - le poids direction verticale et sens descendant r localisable en G, centre d'inertie de la P bille de valeur P = mbille g = ρbilleVbille g - la poussée d'Archimède : direction verticale et sens ascendant r FArchi localisable en G, centre d'inertie de la bille

FA r f r P

z

84

homogène de valeur FArchi = Mliquide g = ρliquideVbille g - la force de frottement (force de Stokes), force répartie sur tout l'hémisphère sud de la bille, localisable au pôle sud. direction verticale et sens ascendant. r localisable en A, pôle sud de la f bille de valeur f = kv = 6πηRv où η est le coefficient de viscosité du liquide R est le rayon de la bille et v la vitesse instantanée du centre d'inertie G.

Appliquons la 2ème loi de Newton :

r r r r P + f + Fa = ma

Par projection sur l’axe (Oz ) : mg - ρVg – kv = ma = m dv/dt D’où

dv + k v = g(1- ρV ) dt m m Cette équation est une équation différentielle linéaire du 1er ordre. Analogie avec les équations différentielles des circuits RC et RL. Si la durée de la chute est suffisante, l’objet atteint une vitesse limite Vlim. d’où

dv =0⇔ dt

vlim =

mg (1−ρV / m) k

L’équation différentielle, par analogie avec les circuits RC et RL, admet comme solution : −

t

v(t) = v lim (1 − e ) avec τ

Vlim

v

τ = m/k

Régime permanent Au bout du temps t, la vitesse du mobile est 63 % de sa vitesse limite. Au bout d’une durée plus ou moins longue, le régime permanent est atteint, la vitesse de la bille est uniforme.

Régime transitoire t

On se proposera en TP de résoudre numériquement l’équation différentielle par la méthode d’Euler. Cette méthode consiste à obtenir des valeurs approchées de la fonction v = f(t) et d’en déduire une représentation graphique.

2) Cas de la force de frottement de la forme

f = kv 2 85

En appliquant la 2ième loi de Newton et en projetant sur ( Oz ), on obtient l’équation différentielle :

dv + k v²= g(1- ρV ) dt m m Cette équation est une équation différentielle du second ordre. La résolution de cette équation est hors programme. On peut également utiliser une méthode numérique telle la méthode d’Euler pour connaître v( t ). La vitesse augmente jusqu’à atteindre une vitesse limite.

mg dv (1 − ρV / m) = 0 ⇔ vlim = k dt V. Mouvement de chute verticale sans frottement : la chute libre 1. Définition. On appelle chute libre le mouvement d'un objet soumis uniquement à son poids

r P. O

2. Chute libre verticale. On lâche une bille de masse m à la date t = 0 d’un point O, origine de notre axe. Système : bille de masse m Référentiel : terrestre supposé galiléen Bilan des forces : r P

direction verticale et sens descendant localisable en G, centre d'inertie de la bille de valeur P = mbille g = ρbilleVbille g

r P z

Appliquons la deuxième loi de Newton : =m

r r ⇔a=g r r a=g L’accélération du centre d’inertie est égale au vecteur champ de pesanteur indépendant de la masse du solide.

r g . L’accélération est

86

L’accélération étant constante, le mouvement sera dit mouvement rectiligne uniformément

accéléré.

a) Chute sans vitesse initiale :

r r a=g

d’où par projection sur l’axe ( Oz ):

az = g D’où par intégration vz = gt + C1

C1 est une constante d’intégration

Déterminons cette constante C1 en utilisant les conditions initiales : à t = 0, vz ( 0 ) = g.0 + C1 = 0 car la vitesse initiale est nulle. d’où

C1 = 0

D’où

v = gt La vitesse du projectile est indépendante de sa masse.

Par intégration, on en déduit z (t) =

1 2 gt + C2 2

C2 est une constante d’intégration

Déterminons cette constante C2 en utilisant les conditions initiales : à t= 0, z (0 ) = ½.02+C2 = 0 car la bille se trouve à l’origine du repère ( Oz). d’où

C2 = 0

D’où

z(t)=

1 2 gt 2

En conclusion :

a=g

v(t) = gt

z(t)=

1 2 gt 2

b) Chute avec vitesse initiale vers le bas :

r r a=g

d’où par projection sur l’axe ( Oz ):

az = g

87

D’où par intégration vz = gt + C1

C1 est une constante d’intégration

Déterminons cette constante C1 en utilisant les conditions initiales : à t = 0, vz ( 0 ) = g.0 + C1 = v0 car la vitesse initiale est nulle. d’où

C1 = v0

D’où

v = gt+v0 Par intégration, on en déduit z (t) =

1 2 gt + v0t + C2 2

C2 est une constante d’intégration

Déterminons cette constante C2 en utilisant les conditions initiales : à t= 0, z (0 ) = ½.02+v0.0 +C2 = 0 car la bille se trouve à l’origine du repère ( Oz). d’où

C2 = 0

D’où

z(t)=

a=g

1 2 gt +v0t 2

v(t) = gt + v0

z(t)=

1 2 gt +v0t 2

88

Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ Définir un champ de pesanteur uniforme. □ Connaître les caractéristiques de la poussée d'Archimède. □ Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et établir l'équation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée.

□ Connaître le principe de la méthode d'Euler pour la résolution approchée d'une équation différentielle.

□

Définir une chute libre, établir son équation différentielle et la résoudre.

□

Définir un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

□

Savoir exploiter des reproductions d'écrans d'ordinateur (lors de l'utilisation d'un tableur grapheur) correspondant à des enregistrements expérimentaux.

□

Savoir exploiter des courbes vG = f (t) pour : - reconnaître le régime initial et/ou le régime asymptotique, - évaluer le temps caractéristique correspondant au passage d'un régime à l'autre, déterminer la vitesse limite.

□

Dans le cas de la résolution par méthode itérative de l'équation différentielle, discuter la pertinence des courbes obtenues par rapport aux résultats expérimentaux (choix du pas de résolution, modèle proposé pour la force de frottement).

89

Chapitre 11

Mouvement de projectiles :

I. Projectile dans le champ de pesanteur : y

Une balle de tennis de masse m est lancée d'un

r v0 faisant un angle a avec l'horizontale. On considère que la balle est r r r en chute libre. On choisit le repère (o, i , j , k ) pour effectuer l’étude de la trajectoire. Le plan (x'x, r y'y) contient le vecteur vitesse v0 .

G

point O avec une vitesse initiale

On choisit comme origine des espaces le point O et l'origine des dates l'instant ou la balle occupe la position O.

r j r k

r r P = mg

r V0

α

r i

x

1. Les équations horaires : Appliquons la deuxième loi de Newton :

r r P = ma

⇔ Les coordonnées du vecteur accélération sont donc : ax = dVx / dt = 0 ay = dVy / dt = - g az = dVz / dt = 0 Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur vitesse

r v

:

Vx = C1 Vy = - g t + C2 Vz = C3 Les 3 constantes C1, C2 et C3 sont des constantes d’intégration. On les détermine en se plaçant à l'instant initial.

r V0

V0x = V0cosα = C1

d’où C1 = V0 cosα C2 = V0 sinα C3 = 0

V0y = V0sinα = - g.0 + C2 V0z = C3

Par conséquent, les coordonnées du vecteur

r V

:

90

Vx = dx / dt = V0 cos α Vy = dy / dt = - g t + V0 sin α Vz = dz / dt = 0 Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur position : x = V0 cosα. t + C4

y=-

1 g t² + V0 sin α.t + C5 2

z = C6

Les 3 constantes C4, C5 et C6 sont déterminées en se plaçant à l'instant initial. X0 = V0 cosα.0 + C4 = 0

OM 0

Y0 = -

d’où C4 = 0 C5 = 0 C6 = 0

1 g 0² + V0 sinα.0 + C5=0 2

Z0 = C6 = 0 Par conséquent : x = V0 cos α. t y = - 1 g t² + V0 sin α.t

2

z=0 x ( t ), y ( t ), z ( t ) sont appelées les équations horaires ( ou équations paramétrées ). Comme z = 0, la trajectoire est plane. Le mouvement a lieu dans le plan vertical (xoy). Le mouvement suivant l'axe x'Ox est rectiligne uniforme car vx= V0cosα = constante Le mouvement suivant l'axe y'Oy est rectiligne uniformément varié. Dans la phase ascendante, le mouvement est rectiligne uniformément décéléré. Dans la phase descendante, le mouvement est uniformément accéléré. 2. L’équation de la trajectoire :

x= V0cosα.t d’où t =

x v0 cos α 91

En remplaçant t dans l’expression de y, on obtient :

y = - 1g 2

x2 x + v0 sin α 2 2 v 0 cos α v0 cos α

D’où : 2 x y = - 1g 2 + x. tan α 2 2 v 0 cos α

La trajectoire est donc un arc de parabole de concavité dirigée vers le bas. Cette équation est appelée l’équation de la trajectoire. 3. Détermination de la portée et de la flèche de la trajectoire : La portée est la distance maximale parcourue par le projectile, c’est la distance OP. En ce point C, yP = 0. Il suffit de résoudre l’équation du second degré pour obtenir OP = xP

a) la portée :

y

x 2 1 yP = 0 = − g 2 P 2 + xP .tan α 2 v 0 cos α

On rejette la solution xP = 0.D’où :

S

1 x 0 = − g 2 P 2 + tan α 2 v 0 cos α

yS O

P

et donc :

x

xP =

2v02 cos 2 α .tan α v0 2 sin 2α = g g

v0 2 sin 2α xP = g - Influence de l’angle de départ α sur la portée (on fixe v0 constant ) : La portée est maximale lorsque sin(2α) = 1 d’où α= π/4 = 45°

y

α1 > α2 > α3 et v0 est constant

y

α1

x

α2 α3 x

92

- Influence de la vitesse v0 sur la portée (on fixe α constant ) : La portée est proportionnelle au carré de la vitesse v0.

y

v0 3

v0 1 < v0 2 < v0 3 et α est constant

v0 2 v0 1 x

b) la flèche :

y

La flèche est la hauteur maximale atteinte par le projectile, elle correspond à yS. Le point S est le sommet de la parabole. En S,

(

(

dy ) x= x = 0 dx

S

S

yS O

g .x dy ) x = xS = − 2 S2 + tan α = 0 dx v0 cos α

xS =

v02 cosα sin g

P

En remplaçant dans

l’équation de la trajectoire, on en déduit yS.

v 02 sin 2 α yS = 2g

Remarque : Il est évident que vous ne devez en aucun cas retenir ces expressions de xP et de yS mais savoir retrouver ces expressions.

93

x

Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ Appliquer la deuxième loi de Newton à un projectile dans un champ de pesanteur uniforme.

□ Montrer que le mouvement est plan. □ Établir l'équation de la trajectoire à partir des équations horaires paramétriques. □

Savoir exploiter un document expérimental reproduisant la trajectoire d'un projectile ; tracer des vecteurs vitesse et accélération, déterminer les caractéristiques du vecteur accélération, trouver les conditions initiales.

94

Chapitre 12

I.

Satellites et planètes

Les lois de Képler

1) Historique : - Pour Ptolémée (II e siècle), la Terre autour de laquelle tourne le Soleil est le centre du Monde. -Copernic est à l’origine du système héliocentrique (1543). Dans ce référentiel, les neuf planètes du système solaire ont des trajectoires quasi circulaires dont le centre est le Soleil. - Kepler (1571 – 1630) utilisant les travaux de son maître Tycho Brahé (1546 – 1601) formule les trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil. 2) Lois de Képler (1609 et 1619)

Première loi :

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'une planète est une ellipse dont le soleil est l'un des foyers. 2b F1

r1 + r2 = 2a 2a

r1

Deuxième loi

F2 r2

Le segment de droite reliant le soleil à une planète balaie des aires égales pendant des durées égales. Les planètes se déplacent plus rapidement lorsqu'elles sont proches du soleil et plus lentement lorsqu'elles en sont plus éloignées

grand axe Soleil

Troisième loi Le carré de la durée d'une révolution T d'une planète (ou d’un satellite) est proportionnel au cube de la longueur du demi-grand axe de l'ellipse :

T² =K a3 où K est une constante qui ne dépend pas de la planète considérée mais de l’astre autour duquel elle tourne.

II.

La Gravitation universelle ( Rappel )

95

Deux objets ponctuels A et B exercent l'un sur l'autre une force attractive dirigée suivant la droite qui les joint. Cette force varie proportionnellement au produit de leurs masses et à l'inverse du carré de la distance qui les sépare.

FA / B = FB / A = G

m A mB r2

r r m m r FA / B = − FB / A = −G A 2 B u AB r

r FA / B

B

r FB / A

A

r u AB

r

- u AB est le vecteur unitaire dirigé de A vers B. - r est la distance qui sépare A et B. - G est la constante de gravitation : G = 6,67.10 - 11 dans le système international d'unités (S.I.) Cette relation est encore vraie pour deux objets à répartition sphérique de masse ( cas des planètes). La distance r est alors égale à la distance séparant le centre des deux sphères.

III. Mouvement circulaire uniforme d'un mobile ponctuel Si le mobile ponctuel décrit sa trajectoire circulaire à vitesse constante on dit qu'il est animé d'un mouvement circulaire uniforme. Le vecteur vitesse

r r v = vut

est tangent à la trajectoire. Sa valeur est

constante mais sa direction varie. Par conséquent, seule l'accélération tangentielle dv est nulle. dt

r a 0

r ut r uN

2 L'accélération normale, elle, n'est pas nulle. Sa valeur v traduit la

R

variation de la direction du vecteur vitesse.

v2 r r dv r v 2 r a = ut + u N = u N dt R R Mouvement circulaire uniforme ⇔

r v2 r a = uN R

;

v2 a = aN = R

L’accélération est centripète. Elle est dirigée vers le centre de la trajectoire. On rappelle que pour un mouvement circulaire uniforme :

v = Rω v est la vitesse, en m/s R le rayon du cercle, en m et ω la vitesse angulaire qui s’exprime en rad/s.

96

La période T du mouvement correspond au temps mis par le mobile pour effectuer un tour.

T=

2πR 2π = v ϖ

IV. Satellite à orbite circulaire : 1) expression de la vitesse : On considère une planète de masse m et de centre d'inertie P, en mouvement circulaire uniforme à la vitesse v autour du Soleil, de masse M. Le mouvement est étudié dans le référentiel héliocentrique. Soit S le centre du Soleil et r le rayon de la trajectoire de P dont le centre est S.

Appliquons la 2ième loi de Newton :

r r FS / P = ma

Or le vecteur accélération de P a pour expression :

r v² r a= n r

La force de gravitation exercée par le Soleil sur la planète est :

F=

D’où : v ur = G M ur , d’où N N 2

GMm r n r²

2

r

v=

r

GM r

la vitesse de la planète ne dépend pas de la masse de la planète.

2) expression de la période : Soit T la période de la planète :

2πr 2πr r3 = = 2π T= GM v GM r

r 3 la période du mouvement ne dépend pas de la masse de la planète T = 2π GM Vérifions la 3ième loi de Kepler :

T ² 4π ² r 3 / GM 4π 2 = = = K = cons tan te r3 r3 GM . 3) Le satellite géostationnaire

97

Un Satellite Géostationnaire est un Satellite qui reste toujours à la verticale d’un même point P de la Terre. Comme l'orbite du satellite est contenue dans un plan passant par le centre de la Terre, elle doit obéir aux contraintes suivantes : - le plan de l'orbite est le plan équatorial - la trajectoire est un cercle, décrit dans le même sens que le sens de rotation de la Terre - la période orbitale T est de 1 jour sidéral, période de révolution de la Terre - le rayon r de l'orbite se calcule par la relation : T3² = 4π² , soit r = 42,2.103 km. ( l’altitude du

r

GM T

satellite est h = 36 000 km).

satellite plan équatorial terrestre

98

Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ Énoncer les lois de Kepler et les appliquer à une trajectoire circulaire ou elliptique. □

Définir un mouvement circulaire uniforme et donner les caractéristiques de son vecteur accélération. Connaître les conditions nécessaires pour observer un mouvement circulaire uniforme : vitesse initiale non nulle et force radiale.

□ Énoncer la loi de gravitation universelle sous sa forme vectorielle pour des corps dont la répartition des masses est à symétrie sphérique et la distance grande devant leur taille.

□ Appliquer la deuxième loi de Newton à un satellite ou à une planète. □ Démontrer que le mouvement circulaire et uniforme est une solution des équations obtenues en appliquant la deuxième loi de Newton aux satellites ou aux planètes.

□ Définir la période de révolution et la distinguer de la période de rotation propre. □ Exploiter les relations liant la vitesse, la période de révolution et le rayon de la trajectoire. □ Connaître et justifier les caractéristiques imposées au mouvement d'un satellite pour qu'il soit géostationnaire.

□ Retrouver la troisième loi de Kepler pour un satellite ou une planète en mouvement circulaire uniforme. Exploiter des informations concernant le mouvement de satellites ou de planètes.

99

Chapitre 13

Les systèmes oscillants mécaniques

Introduction : Un oscillateur mécanique est un système animé d'un mouvement de va et vient, en général autour d'une position d'équilibre stable. C'est par exemple le cas d'une balançoire, du balancier d'une horloge, de la membrane d'un haut parleur, ….

I. Le pendule simple 1) Le pendule pesant

Un pendule pesant est un système oscillant en rotation autour d’un axe horizontal. Écarté de sa position d’équilibre, il oscille autour de cette position sous la seule action de son poids. Une balançoire constitue un pendule pesant. 2) Le pendule simple :

C'est un cas particulier idéal de pendule pesant. Un pendule simple est constitué d’un solide de petites dimensions, de masse m, suspendu à un point fixe O par un fil inextensible de longueur L, de masse négligeable. Ecarté de sa position d’équilibre, il oscille dans le champ de pesanteur terrestre g.

3) Etude des oscillations libres non amorties :

Considérons un pendule simple constitué d’une petite bille de masse m, suspendue à un fil de longueur l. Les oscillations sont dites libres car le pendule, écarté de sa position d'équilibre (il reçoit alors de l'énergie potentielle), est abandonné à lui même. Elles sont non amorties lorsqu'on peut négliger les frottements.

O θ

r T M

r P

O

r r P +T C

r T

r T M

r P

θ

r r P +T

M

r P

C

100

Système étudié : la bille Référentiel Galiléen : le solide Terre Le poids (direction : verticale, sens : vers le bas, norme P = mg)

r La tension T du fil ( direction : celle du fil, sens : de M vers O, norme : T )

Appliquons la deuxième loi de Newton (théorème du centre d'inertie) :

r +T =m L'étude détaillée de cette équation n'est pas au programme. Remarquons simplement que seul le vecteur est constant. Le vecteur et le vecteur accélération varient durant le mouvement. - Position d'équilibre : A l'équilibre

+

r T=

. Le vecteur

r vers le bas. Par conséquent, à l'équilibre, le vecteur T = -

est toujours vertical et dirigé

doit être vertical et dirigé vers le haut. La position d'équilibre du pendule est donc la position verticale OC. - Oscillation : Une oscillation correspond au trajet effectué par le solide entre deux passages consécutifs par la même position, dans le même sens. - Ecart à l'équilibre (abscisse angulaire θ) : A tout instant t, la position du pendule peut être repérée par l'abscisse angulaire q égale à l'angle formé par la verticale OC (correspondant au repos du pendule) et la position OM du fil à l'instant t. On a adopté comme sens positif le sens trigonométrique. - Amplitude θm : L'amplitude des oscillations est la valeur maximale θm de l'abscisse angulaire θ. - Période propre To : La période propre To des oscillations non amorties du pendule est la durée séparant deux passages consécutifs par la même position, dans le même sens. Nous avons vérifié en TP que : -

La période propre d’un pendule simple est indépendante de la masse m. Elle varie dans le même sens que la longueur du fil et en sens inverse de la valeur du champ de pesanteur. La période propre des oscillations de faibles amplitudes dépend : De la longueur l du pendule simple De la valeur g du champ de gravitation. Les grandeurs l et g sont des paramètres spécifiques. la période propre T0 ne dépend pas de la masse m du solide.

La période propre T0 du pendule simple :

T0 = 2π

l g

et la fréquence propre

-Vérifions par analyse dimensionnelle que

f0 =

1 2π

g l

l est homogène à un temps. g

101

[l] = [ L ]

-2

et [ g ] = [ L ] [T ]

d’où [

l ]= g

[ L ] 1/2 -2.

[L] [T] 1/2

1 2

=[T]

Si la période propre To est indépendante de l'amplitude angulaire θm, alors il y a isochronisme des oscillations. C'est le cas si cette amplitude angulaire θm est inférieure à quelques degrés.

4) Etude des oscillations libres amorties a) Amortissement En réalité, existent toujours des forces de frottement qui dissipent de la chaleur vers le milieu extérieur et font diminuer l'énergie du pendule placé dans le champ de pesanteur terrestre. Cela se traduit par une diminution de l'amplitude des oscillations. Cette diminution de l'amplitude existe déjà dans l'air mais devient très visible si le pendule oscille dans de l'eau ou mieux dans de l'huile très visqueuse. - Dans le premier cas (amortissement faible dans l'eau) le régime est dit pseudo-périodique. La pseudo période T des oscillations amorties du pendule est la durée séparant deux passages successifs de l'oscillateur par deux positions ou l'abscisse angulaire est maximale. Si l'amortissement est faible T est voisin de To.

T ≈ T0

- Dans le deuxième cas (amortissement important dans de l'huile très visqueuse), la bille, écartée de sa position d'équilibre puis lâchée, revient vers cette position d'équilibre sans la dépasser. On dit que le régime est apériodique.

θ θ

T

t

Le régime pseudo périodique : L’amplitude des oscillations diminue

t

Le régime apériodique : Le pendule n’oscille pas, l’amplitude diminue pour tendre vers 0.

102

II. Le pendule élastique : 1) Force de rappel exercée par un ressort : Un ressort exerce sur un solide une force de rappel F proportionnelle à son allongement ∆l = l – l0

T = k. │∆l │= k. │ l - l0│ k est la constante de raideur du ressort ;

k

r T

k s’exprime en N.m-1.

S

A

x O

2) Expression de la période propre du pendule élastique : La période propre T0 de l’oscillateur élastique dépend de la masse du solide et de la constante de raideur k du ressort. La période propre T0 est donnée par la relation suivante :

T0 = 2π

m k

et la fréquence propre

et [ k ] = [M ] [ L ] [T ]-2 [ L]-1 = [M ] [T ]-2

d’où [ m ] = k

[ M ] 1/2 - 2.

[M] [T] 1/2

1 2

1 2π

k m

m est homogène à un temps. k

Vérifions par analyse dimensionnelle que

[m] = [ M ]

f0 =

car k = T/∆l

=[T]

2) Le pendule élastique libre non amorti : Un oscillateur élastique est constitué d'un ressort fixé à l'une de ses extrémités, l'autre de extrémité est reliée à un solide. En l'absence de frottement solide-solide, ou solide-fluide, on dit que ce pendule élastique est non amorti. Etudions les oscillations horizontales du solide de masse m lorsque, après l'avoir écarté de sa position de repos, on l'abandonne à lui-même. On suppose que le ressort de coefficient de raideur k a une masse négligeable.

k A

r R r P

O à l’équilibre

k S

r R

r T

S

A

r P

x à une date t

O

X

x

103

Système étudié : le solide de masse m. Référentiel : terrestre supposé galiléen · Le solide est soumis à 3 forces : : poids du solide ( direction : verticale ; sens : vers le bas ; norme : P=mg ) : réaction de la piste.( direction : verticale ; sens : vers le bas ; norme : R )

r T : tension

du ressort sur le solide. ( direction : axe (Ox ) , sens : voir schéma ; norme : T )

· Appliquons la deuxième loi de Newton (Théorème du centre d'inertie): +

+

r T =m

· Projetons cette relation sur l’axe (Ox ) :

0+0 -

&x& +

kx = m&x&

k x=0 m

L'équation est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre. Cette équation différentielle admet comme solution :

x(t ) = X m cos(

2π t + ϕ0 ) T0

La grandeur X m représente l’amplitude des oscillations, c’est une grandeur positive. T 0 représente la période propre des oscillations et φ0 la phase à l’origine des dates. Xm et φ0 sont des constantes que l’on détermine en utilisant les conditions initiales. Supposons qu’à l’instant t = 0, le centre d’inertie est situé au point d’abscisse a ( a> 0 ) et que la vitesse initiale est nulle.

v(0) = x& (0) = 0

x(0) = Xm cos ϕ 0 = a ≥ 0 ( 1 ) La seconde condition conduit à : x& (0) = − 2π sin ϕ = 0 ⇔ sin ϕ = 0 ⇔ ϕ = 0 ou ϕ 0 = π ( 2)

La première condition conduit à :

T0

0

De la relation ( 1 ), on en déduit que cos φ0 > 0 d’où

0

φ0 = 0

En remplaçant dans la relation ( 1 ) φ0 par 0, on obtient : Par conséquent :

x(t ) = a cos(

2π t) T0

0

Xm = a

Le mouvement de l’oscillateur non amorti est un mouvement sinusoidal de période propre T0, d’amplitude a.

3) le pendule élastique libre non amorti :

104

On retrouve de la même manière que le pendule simple 2 types de régime suivant l’amortissement : -

le régime pseudo périodique dans le cas d’un amortissement faible le régime apériodique dans le cas d’un amortissement plus important.

III. Les oscillations mécaniques forcées : 1) Définition : Un système oscillant de fréquence propre f 0 , que l’on appelle le résonateur, subit des oscillations forcées, s’il oscille à la fréquence f imposée par l’excitateur. 2) Expérience : On accroche un pendule élastique à la membrane du H.P. Le pendule élastique effectue des oscillations forcées à la fréquence f imposée par le G.B.F. (l’excitateur ) On augmente lentement la fréquence de l’excitateur et on observe le comportement du pendule élastique : L’amplitude des oscillations du pendule élastique dépend de la fréquence f de l’excitateur. Cette amplitude est maximale lorsque f 0 ≈ f. On dit que le résonateur entre en résonance. 3)- Conclusions. Un système oscillant entre en résonance lorsqu’il est excité à une fréquence voisine de sa fréquence propre f 0. à la résonance, l’amplitude des oscillations est maximale. La résonance se manifeste de manière importante lorsque le système est peu amorti.

Xm Résonance aigue

Résonance floue

f excitateur fr

fr ≈ f0

Pour un amortissement faible, la résonance est dite aigue et

fr ≈ f0

Pour un amortissement important, la résonance est dite floue et fr ‹ f0

105

Les connaissances et savoir faire exigibles pour le Bac

□ Définir un pendule simple. □ Justifier la position d'équilibre dans le cas d'un pendule simple. □ Définir l'écart à l'équilibre, l'abscisse angulaire, l'amplitude, la pseudo-période, la période propre et les mesurer sur un enregistrement.

□ Énoncer la loi d'isochronisme des petites oscillations. □ Savoir comment un système peut atteindre un régime apériodique. □

Savoir que dans le cas d'un amortissement faible, la pseudo-période est voisine de la période propre.

□ Pour un pendule simple, justifier la forme de l'expression de la période propre par analyse dimensionnelle.

□ À partir d'une série de résultats expérimentaux, vérifier la validité de l'expression de la période propre d'un pendule simple.

□ Connaître les caractéristiques de la force de rappel exercée par un ressort. □ Appliquer la deuxième loi de Newton au solide et effectuer la résolution analytique dans le cas d'un dispositif oscillant horizontalement.

□ Connaître la signification de tous les termes intervenant dans la solution de l'équation différentielle et leur unité.

□ Connaître et savoir exploiter l'expression de la période propre, vérifier son homogénéité par analyse dimensionnelle.

□ Savoir que la résonance mécanique se produit lorsque la période de l'excitateur est voisine de la période propre du résonateur.

□Savoir que l'augmentation de l'amortissement provoque une diminution de l'amplitude. Connaître des exemples de résonance mécanique.

106

Chapitre 14 :

Aspect énergétique des oscillateurs :

I. Travail d'une force 1. Définition On appelle travail d'une force constante , lors d'un déplacement rectiligne de son point d'application, le produit scalaire de la force par le déplacement . On le note WAB( ).

Avec

-WAB le travail de la force en joules (J). - AB Déplacement du point d'application de la force en mètres (m).

r

r

- α angle existant entre les vecteurs F et AB .

Remarque: Une force ne travaille pas si: •

Son point d'application ne se déplace pas (AB=0).

•

Sa direction est perpendiculaire au déplacement (α=90°).

2. Travail moteur - Travail résistant La travail d'une force est une grandeur algébrique (W peut-être positif, négatif ou nul). Trois cas sont possibles: •

0

α

90°: Dans ce cas, cos(α)>0 et WAB(

)>0. On dit que la force

effectue un travail

)