1
Traitement des données. De l’acquisition des signaux et images jusqu’à leur interprétation
Didier VRAY, Denis FRIBOULET
[email protected]
MASTER et École Doctorale MEGA
BIBLIOGRAPHIE Bernard MULGREW, "Digital Signal Processing, concepts and applications", Palgrave MacMillan, 2003 Alan OPPENHEIM, A. SCHAFER, "Discrete-time Signal Processing", PRENTICE HALL, 1999 Alan OPPENHEIM, A. WILLSKY, "Signals and Systems", PRENTICE HALL, 1997 J. Mc CLELLAN, "DSP First, A multimedia approach", PRENTICE HALL, 1999 François de COULON, "Théorie et traitement des signaux", DUNOD, 1984 Murat KUNT, "Traitement Numérique des signaux", 1981
Applications ou pour aller plus loin : J. MARS, J.-L. LACOUME, "Traitement du signal pour géologues et géophysiciens", TECHNIP 2004 Tome 3 : Techniques avancées et Tome 2 : Techniques de base, Tome 1 : Prospection sismique M. BELLANGER, "Traitement numérique du signal : Théorie et pratique", 8ème édition, DUNOD, 2006 S. MARPLE, "Digital spectral analysis", PRENTICE-HALL, 1987
2
3
Traitement du signal et applications Introduction
Denis Friboulet – Didier Vray
4
SIGNAL ?
Domaines d’application : • communication, aéronautique, astronautique, acoustique, contrôle de processus chimique, ingénierie biomédicale, traitement de la parole, économie, météorologie... • information représentée sous forme de signal Signal : • fonction de une ou plusieurs variables indépendantes : f(x,y,z) • représente / contient information sur un phénomène (physique) Types de signaux Signaux discrets: f[n], n ∈ Z
Signaux continus: f(t), t ∈ R
t n Dimension du signal : • 1D : f(t) f[n] • 2D :f(u,v) f[i,j] • 3D : f(u,v,w) f[i,j,k] • etc...
5
SIGNAL ?
Mesures • Capteur, statistiques.... • Développement des capteurs : microphone, céramiques piézoélectriques, antennes, capteurs CCD, de pression
Capteur
t
Acquisition numérique : Echantillonnage
Capteur
t
• • • •
Stockage Traitement numérique par ordinateur Perte d’information ? Importance des techniques numériques
6
EXEMPLES DE SIGNAUX
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3
‘e’ 0
0.05
0.1
0.15 0.2 Temps (s)
0.25
0.3
0.35
0.6 0.4 amplitude
amplitude
Signal de parole
0.2 0 -0.2 -0.4 0
b
on 0.1
0.2
j 0.3
ou 0.4
0.5 Temps (s)
r 0.6
0.7
0.8
0.9
7
EXEMPLES DE SIGNAUX
Évolution de la rente 5% sous le consulat et le 1er empire 100% 90 80
Défaites en Espagne et au Portugal
Victoire sur l’Autriche à Ulm
40
20 10
Début de la retraite de Russie
Paix de Lunéville
50
30
Napoléon débarque à Golfe Juan
L’Autriche attaque la Bavière
70 60
Début de la campagne de Russie
Victoire sur la Russie à Friedland Traité de Tilsit avec la Russie
L’Angleterre recherche la paix et l’obtient à Amiens
Victoire sur la Prusse à Iéna Victoire sur la Russie à Eylau
Waterloo
Défaite de Vitoria. L'Autriche se joint à la Prusse et à la Russie contre la France. Défaite de Leipzig.
Abdication de Napoléon
Coup d’état du 18 brumaire
0 1798 1799 1800 1801 1802 1803 1804 1805 1806 1807 1808 1809 1810 1811 1812 1813 1814 1815 © Le Monde 28/01/1997
8
EXEMPLES DE SIGNAUX
Évolution hebdomadaire du Dow Jones du 5 janvier 1929 au 4 janvier 1930 400 350 300 250 200 150 100 50
5 jan. 1929
4 jan. 1930
9
EXEMPLES DE SIGNAUX
Signaux ultrasonores Composante diffuse
Composante spéculaire d Émission Réception
τ = 2d/c , c ≈ 1540 m/s (tissus biologiques)
t
Signal réel
t
EXEMPLES DE SIGNAUX
Images ultrasonores: échographie intravasculaire
10
EXEMPLES DE SIGNAUX
Images ultrasonores: échographie intravasculaire
Plaque artérielle
11
EXEMPLES DE SIGNAUX
Images cardiaques échographie ultrasonore et en IRM
12
EXEMPLES DE SIGNAUX
Tomographie X
13
EXEMPLES DE SIGNAUX
Tomographie par rayonnement X synchrotron
14
EXEMPLES DE SIGNAUX
Tomographie X
15
16
TRAITEMENT DU SIGNAL ?
Buts : • Modélisation : représentation d’un phénomène (caractérisation, prédiction...) • Analyse : extraction d’information (mesure, compression, détection, reconnaissance...) • Filtrage, restauration : transformation du signal (minimisation du bruit, suppression de parasite...) • Etc. Notion de système de traitement :
t
Système de Traitement
t
Notion de domaine de représentation : • Transformée de Fourier • Modèles autorégressifs, transformée de Laplace, transformée de Wigner, transformée en ondelettes, transformée cosinus....
17
EXEMPLES DE TRAITEMENT
Imagerie ultrasonore
N Signaux
Image ?
18
EXEMPLES DE TRAITEMENT
Signaux acquis
Détection d'enveloppe
Enveloppe
Compression logarithmique
Image Compressée
19
EXEMPLES DE TRAITEMENT
Signal de parole : analyse ? 0.6
amplitude
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0
b
on 0.1
0.2
j 0.3
ou 0.4
0.5 Temps (s)
r 0.6
0.7
0.8
0.9
EXEMPLES DE TRAITEMENT
Domaine de représentation : temps-fréquence
20
21
EXEMPLES DE TRAITEMENT
Détection de rupture Cas réel avec bruit gaussien (σ σ = 0.4)
Cas idéal 2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
0
5
10
15
20
-2
0
Opérateur différentiel : [ 1 -1 ]
2
1
1
0
0
-1
-1
0
5
10
15
100
150
200
250
Opérateur différentiel : [ 1 -1 ]
2
-2
50
20
-2
0
50
100
150
200
250
22
EXEMPLES DE TRAITEMENT
Détection de rupture Cas réel avec bruit gaussien (σ σ = 0.4) 2 1 0 -1 -2
0
50
100
150
200
250
Opérateur optimisé :
Opérateur différentiel : [ 1 -1 ]
Canny[86] – Deriche[87]
2
4 3
1
2 0 1 -1 -2
0 0
50
100
150
200
250
-1
0
50
100
150
200
250
23
EXEMPLES DE TRAITEMENT
Détection de rupture Cas réel avec bruit gaussien (σ σ = 1.0)
σ = 1.2) Cas réel avec bruit gaussien (σ
4
4
2
2
0
0
-2
-2
-4
0
50
100
150
200
-4
250
0
50
100
150
200
250
50
100
150
200
250
Opérateur optimisé :
6
4
4
2
2 0 0 -2
-2 -4
0
50
100
150
200
250
-4
0
24
EXEMPLES DE TRAITEMENT
Image : Détection de contours Bords verticaux
Norme du gradient
||2 Bords horizontaux
Seuillage
EXEMPLES DE TRAITEMENT
25
Détection de contour par ensemble de niveau basé sur les dérivées (gradient) Ensemble de niveau: Principe d’évolution
Evolution basée sur le gradient d’une image IRM
26
EXEMPLES DE TRAITEMENT
Détection de contour par ensemble de niveau basé sur les statistiques
Sang Muscle
Histogramme
Histogramme
EXEMPLES DE TRAITEMENT
Détection de contour par ensemble de niveau basé sur les statistiques
27
EXEMPLES DE TRAITEMENT
Visualisation de l’information ?
28
EXEMPLES DE TRAITEMENT
29
Visualisation : Rendu de volume par lancer de rayon 1. Intersection avec l’objet : Tracé incrémental d’un rayon dans le volume discret
2. Estimation de la normale à l’objet : opérateur différentiel discret dans les 3 directions
Plan de visualisation
N
3. Calcul de la lumière émise au point d’intersection : modèle de diffusion Id = Ip (N . L)
L α N
4. Application des étapes 1, 2 et 3 à l'ensemble des rayons partant du plan de visualisation
30
EXEMPLES DE TRAITEMENT
© Joe Kniss, Utah
EXEMPLES DE TRAITEMENT
31
BIBLIOGRAPHIE
Ouvrages généraux • Bernard MULGREW, "Digital Signal Processing, concepts and applications", Palgrave MacMillan, 2003 • Alan OPPENHEIM, A. SCHAFER, "Discrete-time Signal Processing", PRENTICE HALL, 1999 • Alan OPPENHEIM, A. WILLSKY, "Signals and Systems", PRENTICE HALL, 1997 • J. Mc CLELLAN, "DSP First, A multimedia approach", PRENTICE HALL, 1999 • François de COULON, "Théorie et traitement des signaux", DUNOD, 1984 • Murat KUNT, "Traitement Numérique des signaux", 1981 Applications ou pour aller plus loin • J. MARS, J.-L. LACOUME, "Traitement du signal pour géologues et géophysiciens", TECHNIP 2004, Tome 3 : Techniques avancées et Tome 2 : Techniques de base, Tome 1 : Prospection sismique • M. BELLANGER, "Traitement numérique du signal : Théorie et pratique", 8ème édition, DUNOD, 2006 • S. MARPLE, "Digital spectral analysis", PRENTICE-HALL, 1987
32
33
Signaux de base Opération élémentaires sur les signaux
TRANSFORMATIONS DE LA VARIABLE INDEPENDANTE
Opérations de base sur les signaux: • Retournement, décalage, changement d’échelle, etc. transformation de la variable indépendante Retournement
f(t)
f(-t)
f[n]
f[-n]
34
TRANSFORMATIONS DE LA VARIABLE INDEPENDANTE
Changement d’échelle
f(t)
f(2t)
f[n]
f[2n]
35
36
TRANSFORMATIONS DE LA VARIABLE INDEPENDANTE
Décalage temporel
t0 f(t)
f(t-t0)
f(t+t0)
Retard
Avance
n0 f[n]
-t 0
-n0
f[n-n0]
f[n+n0]
Retard
Avance
TRANSFORMATIONS DE LA VARIABLE INDEPENDANTE
Signaux pairs : invariance par retournement
f(-t) = f(t)
f[-n] = f[n]
Signaux impairs : symétrie par retournement
f(-t) = - f(t)
f[-n] = - f[n]
37
38
SIGNAUX DE BASE CONTINUS Signal sinusoïdal :
f (t ) = A cos(2π f 0t + φ ) T 0 = 1 /f0
A
A : amplitude
AcosΦ
φ : phase
f0 : fréquence
T0 : période
Variation de la fréquence f0 :
f1
f2 f1 < f2 < f3
f3
39
SIGNAUX DE BASE CONTINUS
Exponentielle complexe
Re( e
j 2πf 0t
e j 2πf 0t = cos 2πf 0t + j sin 2πf 0t 1 j 2πf 0t (e + e − j 2πf 0t ) 2 1 j 2πf 0t sin 2πf 0t = (e − e − j 2πf 0t ) 2j cos 2πf 0t =
) = cos 2πf 0t
Im(e j 2πf 0t ) = sin 2πf 0t Interprétation Im
Partie réelle
Partie imaginaire
t sin 2πf0t cos 2πf0t
Re
f0: vitesse de rotation
Exponentielles harmoniques
f k (t ) = e j 2πkf 0t , k ∈ Z f0 : fréquence fondamentale
40
SIGNAUX DE BASE CONTINUS
Échelon unité u(t) =
1
0 si t < 0 1 si t > 0
Impulsion unité (ou Dirac) : δ(t) on veut
t
u (t ) =
∫ δ (τ )dτ
à savoir
−∞
δ = lim δ∆(t) δ(t) ∆→0
u∆(t)
1
δ∆(t)
1/∆
Aire = 1 ∆
∆
δ(t) Représentation
du(t ) δ (t ) = dt
Cδ(t)
δ(t-t0)
1 C t0
41
SIGNAUX DE BASE CONTINUS
Dirac : interprétation
δ(t)
δ(t)
Intervalle d’intégration t
0
τ
0 t
t
Intervalle d’intégration t
∫ δ (τ )dτ = 1 si t > 0
∫ δ (τ )dτ = 0 si t < 0
−∞
−∞
1 u(t)
L’aire du Dirac est "concentrée" en un point
τ
42
SIGNAUX DE BASE CONTINUS
+∞
∫ δ (t )dt = 1
Dirac : Propriété
−∞
x(t) δ(t) = x(0) δ(t)
Dirac : Propriété
x(t)
Dirac de poids x(0)
x(0) δ(t)
δ(t)
x(t) δ(t-t0) = x(t0) δ(t-t0)
Dirac : Propriété
δ(t-t0) x(t)
x(t0)δ(t-t0) x(t)
t0
t0
SIGNAUX DE BASE CONTINUS
+∞ Dirac : Propriété
∫
x (t )δ (t )dt = x (0)
−∞
+∞ Dirac : Propriété
∫
−∞
x (t )δ (t − t0 )dt = x (t0 )
43
44
SIGNAUX DE BASE CONTINUS
Énergie d’un signal continu s(t) • Énergie moyenne calculée sur l’intervalle [t1, t2] :
Es (t1, t2 ) =
t2
∫
2
s(t ) dt
t1
Es =
• Énergie totale :
+∞
∫
−∞
Signaux à énergie finie :
Es < ∞
Exemples : les signaux suivants sont-ils à énergie finie ? • u(t) • u(t)e-t/τ • Sinusoïde • Signaux périodiques
2
s ( t ) dt
45
SIGNAUX DE BASE CONTINUS
Puissance d’un signal continu s(t) • Puissance moyenne calculée sur l’intervalle [t1, t2] : Interprétation : énergie dissipée par unité de temps
1 Ps = lim T →∞ T
• Puissance totale, cas général :
• Puissance totale, cas des signaux périodiques
Signaux à puissance finie :
1 Ps (t1, t2 ) = t2 − t1
Ps =
1 T0
Exemples : les signaux suivants sont-ils à puissance finie ? • u(t), u(t)e-t/τ • Cas général des signaux à énergie finie
t1
∫
2
s ( t ) dt
−T / 2
−T0 / 2
Ps < ∞
∫
2
s(t ) dt
T /2
T0 / 2
∫
t2
2
s(t ) dt
46
SIGNAUX DE BASE DISCRETS
Échelon unité u[n] =
1
0 si n < 0
.......
1 si n ≥ 0 0
Impulsion unité : δ[n]
on veut
u[n ] =
n
∑ δ [n ]
à savoir
δ [n ] = u[n ] − u[n − 1]
m = −∞ 1
δ[n] =
1 si n = 0 0 si n ≠ 0 0
Propriétés
+∞
∑
δ [n ] = 1
n =−∞
x[n] δ[n] = x[0] δ[n] x[n] δ[n-n0] = x[n0] δ[n-n0]
+∞
∑
x[n ]δ [n ] = x[0]
n =−∞ +∞
∑
n =−∞
x[n ]δ [n − n0 ] = x[n0 ]
47
SIGNAUX DE BASE DISCRETS
Sinusoïdes discrètes : cos 2π πf0n
A la différence du cas continu, la rapidité des oscillations n’augmente pas continûment avec f0 fréquence = 0
fréquence = 1/16
fréquence = 1/8
1
1
1
0.5
0
0
0
0
10 20 fréquence = 1/4
30
-1 0
10 20 fréquence = 1/2
30
-1
1
1
1
0
0
0
-1 0
10
20
30
-1 0
fréquence = 7/8
10
20
30
-1 1
0
0
0.5
20
30
0
10
30
30
-1 0
10
20
20
fréquence = 1
1
10
10 20 fréquence = 3/4
fréquence = 15/16
1
-1 0
0
30
0
0
10
20
30
48
SIGNAUX DE BASE DISCRETS
Sinusoïdes discrètes : cos 2π πf0n
A la différence du cas continu, la rapidité des oscillations n’augmente pas continûment avec f0
en continu :
cos 2πf1t ≠ cos 2πf2t
si f2 ≠ f1
en discret :
cos 2πf1n = cos 2πf2n si f2 = f1 ± k, k∈ N
1 0.5
Exemple avec • f1 = 1/8 • f2 = 1/8-1 = 7/8
0 cos(2 π *t/8) cos(2 π *t*7/8) cos(2 π *n*/8)
-0.5 -1 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
49
SIGNAUX DE BASE DISCRETS
Sinusoïdes discrètes
Périodicité cos 2πf0(n+N) = cos 2πf0(n) N = k/f0 Pour que N soit un entier, il faut donc que f0 = k/N rationnel
Exemples
cos(
8π n) 31
f0 = 4/31 (rationnel)
cos n/6 f0 = 1/12π, (non rationnel) Période N = k * 12π Non périodique
Période N= k*31/4 N = 31 (avec k=4) cos(8π *t/31)
1
cos(n/6) 1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1 0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
SIGNAUX DE BASE DISCRETS
Exponentielles discrètes
e j 2πf 0n = cos 2πf0n + j sin 2πf0n
Mêmes propriétés que sinusoïdes (différence de comportement par rapport au cas continu et contraintes sur la périodicité)
50
51
SIGNAUX DE BASE DISCRETS
Énergie et puissance d’un signal discret s[n] Énergie
Puissance
n2
Énergie moyenne
∑
s[n ]
n
2 Puissance moyenne
n = n1
1
+∞ Énergie totale Es
∑
s[n ]
n =−∞ Condition pour énergie finie
2 1 2 s [ n ] ∑ n2 − n1 n = n
Es < ∞
2
Puissance totale Ps (cas général)
1 N /2 2 lim s [ n ] ∑ N →∞ N n=− N / 2 N /2
Puissance totale Ps (signaux périodiques)
Condition pour puissance finie
0 1 2 s [ n ] ∑ N0 n=− N / 2 0
Ps < ∞
52
Les Systèmes Linéaires Invariants
Notion de Système
Définition : • Un système est un modèle mathématique d’un processus physique qui relie un signal d’entrée à un signal de sortie • Un système est un dispositif de traitement du signal • En entrée : e(t) signal d’entrée • En sortie : s(t) signal de sortie Exemples : • Amplificateur, système audio, téléphone, système vidéo • Un système complexe peut être vu comme l’interconnexion de plusieurs systèmes dont les fonctions sont plus simples
Questions • Comment caractériser un système ? • Quelles sont les propriétés intéressantes des systèmes ? • Comment modéliser la relation entre entrée et sortie ?
53
54
Représentation des Systèmes
Représentation sous forme de schéma bloc e(t)
e[n]
Scontinu
s(t)
s(t) = S{e(t)}
Sdiscret
s[n]
s[n] = S{e[n]}
Interconnections des systèmes Input • Série / Cascade
Système 1
Système 2
Output
Système 1
•
Parallèle
Input
+
Output
+
Système 4
Système 2
Système 1
•
Série / Parallèle
Input Système 3
•
Feed-back
Système 2 Output
55
EXEMPLE DE SYSTEMES
AMPLIFICATION RETARD MOYENNE GLISSANTE FILTRAGE MODULATION DETECTION REDRESSEUR (valeur absolue) QUADRATEUR (élever au carré)
2 Réalisation de systèmes : Y[n] = (2x[n] –
x[n]2)2
X +
x[n]
+ | |2
Corrélateur
Cxy (τ ) =
τ +T / 2
∫ τ
−T / 2
x(t − τ ) y (t )dt
| |2
y[n]
PROPRIETES DES SYSTEMES
ETUDE DE 2 PROPRIETES FONDAMENTALES (système continu ou discret): LINEARITE INVARIANCE EN TEMPS
LINEARITE (Propriété de superposition) Soit y1[n]=S{x1[n]} et y2(t)=S{x2[n]} ALORS a y1[n]+ b y2[n] = S{a x1[n]+b x2[n]} Conséquence : une entrée nulle produit une sortie nulle
INVARIANCE EN TEMPS Soit y[n]=S{x[n]} ALORS y[n-n0]=S{x[n-n0]} La sortie du système ne dépend pas de l'origine des temps La sortie du système ne dépend pas de l’instant où est appliquée l’entrée
On notera SLIT un système Linéaire et Invariant en Temps
56
EXEMPLES - linéarité et invariance en temps des systèmes suivants : y[n] = 2x[n], y(t) = x(t-2) -2x(t-19) LIT y[n] = x[-n], y(t) = sin(6t) x(t) L y[n] = 2x[n]+3, y(t) = a exp(x(t)) IT UTILISATION DES PROPRIETES : Soit un système LINEAIRE et INVARIANT EN TEMPS qui a en sortie y(t) lorsque l’entrée est x(t) : y(t)
x(t)
t
t 0
1
0
2
1
2
Quelle est la réponse du système lorsque l’entrée est x1(t) x1(t)
3 0
1
2
4
t
57
RAPPEL DE QUELQUES PROPRIETES DE L’IMPULSION UNITE
x[n]δ [n] = x[0]δ [n]
x (t )δ (t ) = x(0)δ (t )
x[n]δ [n − n0 ] = x[n0 ]δ [n − n0 ]
x (t )δ (t − t0 ) = x(t0 )δ (t − t0 )
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
∫ δ (t )dt = 1
∑ δ [n] = 1
∑ x[n]δ [n] = x[0]
∫ x (t )δ (t )dt = x (0)
∑ x[n]δ [n − n ] = x[n ] −∞
n
0
∑ δ [k ] = u[n]
k =−∞
0
∫ x ( t )δ (t − t
0
) dt = x ( t0 )
−∞
t
∫ δ (τ )dτ
−∞
= u(t )
58
59
REPRESENTATION DES SIGNAUX EN SOMME D’IMPULSIONS
Exemple de la représentation d’un signal discret en terme d’impulsions retardées
-4
-1 -3 -2
x[n]
2 3 0 1
4
x[−2]δ [n + 2]
Généralisation : • Tout signal discret peut être décrit comme une somme d’impulsions de Dirac retardées et pondérées par l’amplitude de ce signal :
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x[ n ] =
x[−1]δ [n + 1]
-1 -4 -3 -2
n
0 1 2 3 4
n
+∞
∑ x[k ]δ [n − k ]
k =−∞
x[0]δ [n ] -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
n
x[1]δ [n − 1] -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Décomposition équivalente pour les signaux continus :
x (t ) =
2
+∞
∫ x (τ )δ (t − τ )dτ
−∞
-4 -3 -2 -1 0 1
n
x[2]δ [n − 2] 3 4
n
NOTION DE REPONSE IMPULSIONNELLE
La réponse impulsionnelle h[n] d’un système est la réponse du système lorsque le signal d’entrée est l’impulsion de Dirac δ[n] :
δ[n]
S
h[n]
Dans le cas des systèmes linéaires et invariant en temps (SLIT), la réponse impulsionnelle h[n] permet de caractériser totalement le système. La Transformée de Fourier ou la transformée en z de la réponse impulsionnelle permettent de déduire : • La réponse en fréquence ou gain complexe H(f) • Le gain en fonction de fréquence |H(f)| ou la phase arg(H(f) • La fonction de transfert H(z)
60
EQUATION DE CONVOLUTION
Considérons un système S linéaire et invariant en temps (LTI) de réponse impulsionnelle h[n]. Nous pouvons donc écrire :
S
entrée δ[n] δ[n-k] x[k] δ[n-k]
sortie h[n] h[n-k] x[k] h[n-k] +∞
+∞
∑ x[k ] h[n − k ]
∑ x[k ] δ [n − k ]
k =−∞
k =−∞
S
x[n]
y[n]
D’où l’équation de convolution discrète qui lie signal d’entrée, signal de sortie et réponse impulsionnelle d’un système LIT :
y[n] =
+∞
∑ x[k ] h[n − k ]
k =−∞
61
EQUATION DE CONVOLUTION
Un changement de variable permet de convertir l’équation de convolution sous une autre forme:
y[n] =
+∞
+∞
k =−∞
k =−∞
∑ x[k ] h[n − k ] = ∑ h[k ] x[n − k ]
Notation de la convolution
y[n] = x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n] L’équation de convolution permet de calculer la sortie du système pour n’importe quelle entrée x[n]
62
63
CALCUL PRATIQUE DE LA CONVOLUTION x[k]
1
x[n]
0
n
