Course Analyse Infinitesimale Poussin T2
Short Description
Download Course Analyse Infinitesimale Poussin T2...
Description
Presented to the
LiBRARY oj
the
UNIVERSITY OF TORONTO by Mr. J.
R.
McLeod
COURS D'ANALYSE INFINITÉSIMALE
COURS
d'Analyse Infinitésimale
PAR
Ch.-J. de la Vallée Poussin Professeur à l'Université de Louvain
Membre de l'Académie Royale de Belgique
TOME Deuxième
II
édition
Considérablement remaniés
LOUVAIN
PARIS
A, Uystpruyst-DieiHonné
Gauthier-Yillars
ÉDITEUR 10,
rue de
la
Monnaie,
ÉDITEUR 10,
55, Quai des Grands Augustin», 55.
1912
n
/ '^
Préface de la deuxième édition,
Dans
cette
la rédaction du tome moins profondes, mais
seconde édition, toute
a subi des modifications plus ou
II
la
plus importante provient de rintrodiiction des intégrales
Nous avons exposé
multiples de M. Lebesgue.
cette théorie
en nous guidant sur les Mémoires fondamentaux de l'auteur et
nous avons
été
amené
à traiter une question nouvelle
qui en fournit d'intéressantes applications, celle des déve-
loppements de fonctions en séries de polynômes. En outre, la théorie des séries trigon-ométriques, qui doit encore à M. Lebesgue ses plus importants progrès, a été complètement refondue et mise au niveau des connaissances actuelles. Par contre, faute d^ place, nous avons sacrifié la théorie des intégrales eulériennes qui figurait dans la pre-
mière édition, pensant qu'elle se rencontre aussi rellement
comme
très natu-
illustration des propriétés des fonctions
analytiques.
Gomme
précédemment,
le
petit texte
est réservé
aux
questions plus élevées ou plus spéciales qu'on peut laisser
de côté dans une première lecture.
G.
Louvain,
le
15 mai 1912.
DE LA Vallée Poussin.
TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE
I
Théorie élén-.entaire des intégrales multiples § 1. S
2.
S 3.
§ 4. § 5.
Intégrales doubles Déterminants fonctionnels. Transformation des intégrales doubles Aire des surfaces courbes Formules usuelles de quadrature et de cubalure. Applications . Intégrales de surface. Volumes en coordonnées curvilignes
1 .
2S
.
CHAPITRE
20
.
32
.
40
II
Intégrales généralisées et fonctions d'un paramètre.
Intégration des différentielles totales exactes.
i;
1.
Intégrales généralisées élémentaires
Si
2.
Intégration et dérivation des intégrales délinies par rappoit à
53
....
paramètre. Convergence uniforme des intégrales généralisées § 3. S)
4.
§ 5.
Calcul d'intégrales détinies par des artifices divers Intégrales curvilignes qui ne
2.
§ 3.
limites
.
.
et
97
Mesures des ensembles à plusieurs dimensions d'après MM. Borel Lebesgue. Fonctions mesurables Intégrales multiples de Lebesgue. Fonctions sommables L'intégrale indéfinie. Sa dérivée
i 6,
Application à l'intégration par parties, à
et
.
.
Réduction des intégrales doubles
103 .
117 la
dérivation sous
le
signe et
123
CHAPITRE et
107 109
aux intégrales curvilignes
Approximation
90
de Lebesgue
Intégrales multiples de Rieraann
§ 4.
79
III
Riemann
§ 5.
72 87
dépendent que de leurs
Intégrales multiples de
Si
.
.
Intégration des différentielles totales
CHAPITRE
§ 1.
un
IV
représentation analytique des fonctions.
Séries de polynômes et séries trigonométriques.
§
1
§
2.
.
Approximation des fondions continues d'une variable par des polynômes Approximation par des polynômes des fonctions continues de plu-
126
sieurs variables
133
TABLE DES MATIÈRES
VIII
§ 3.
Séries de Fourier. Conditions nécessaires et suffisantes de convergence
137
§ 4.
Critériums classiques de convergence des séries de Fourier
....
147
§ o.
Exemples de développements en séries de Fourier Séries de Fourier quelconques. Sommation. Singularités Séries trigonométriques quelconques. Unicité du développement
§ 6. § 7.
.
.
.
.
.
.
151
IM 169
CHAFiTRE V Equations différentielles ordinaires. Généralités. Equations du premier ordre. § 1.
Formation des équations
§ 2.
Généralités sur les intégrales des équations difféi-entielles.
§ 3.
Equations du
diftéi'entielles
17.5
d'existence l^'-
ordre et du
l^-
non résolues par rapport
Equation du
§ 5.
Applications géométriques des équations du
ordi'e
... ....
degré. Facteur intégrant
§ 4.
l^'-
Théorèmes
CHAFITRE
!»•'
à
?/'
ordre.
.
181
193
200
.
212
.
218
.
VI
Equations différentielles ordinaires
(s.iite)
Equations d'ordre supérieur au V'. Systèmes d'équations. § 1.
Equations linéaires sans second membre. Wi'onskien
§ 2.
Equations linéaires avec second membre. Abaissement de l'ordre des
§ 3.
Multiplicateurs des équations linéaires
§ 4.
Intégration des équations linéaii'es à coetlicienls constants et sans
§ 5.
Intégration des équations linéaires à coetlicicnts constants avec se-
§
6.
Intégration par les séries de certaines équations linéaires du second
§
7.
Intégration ou réduction d'équations diftërentielles par des procédés
.
.
.
'quations linéaires
second
2-26
233
membre
23G
cond membre
243
ordre. Equations de Bessel et de Riccati
251
particuliers
259
§ 8.
Applications géométriques
§ 9.
Systèmes d'équations
271
dilïérentielles.
Systèmes linéaires
CHAFITRE
.
.
.
277
VII
Equations linéaires aux dérivées partielles et
aux
différentielles totales.
g 1.
Formation d'équations aux dérivées
§ 2.
Propriétés des déterminants fonctionnels
§ 3.
Equations linéaires et homogènes aux dérivées partielles Equations linéaires quelconques Intégration d'une seule équation aux diÔërentielles totales
§ 4. § 5.
§ 6, § 7.
289
partielles
293 .
.
.
...
Système d'équations aux différentielles totales Systèmes d'équations linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles d'une même fonction inconnue
297
306 314 322
326
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE Notions sur
le calcul
VIII
des variations et le calcul des différences.
§ 1.
Calcul des variations
337
§ 2.
Calcul des diftérences Unies
361
§ 3.
Nombres
§ 4.
§ 5.
el polynômes de Bernoulli Formule d'Euler et de Maclaurin. Uelations
366 enli'e
les
sommes
et les
intégrales
373
Interpolation
376
CHAPITRE IX Applications géométriques complémentaires.
....
§ 1.
Points singuliers des courbes planes
§ 2.
.\symptotes des courbes planes
§ 3.
Théorie du contact. Courbes
§ 4.
Enveloppes des courbes planes Enveloppes des surfaces et des courbes de l'espace Systèmes de droites Surfaces réglées congruences Application aux courbes gauches. Surface polaire. Développées Courbures des lignes tracées sur une surface
§ 5. § 6. § 7. § 8.
:
382 391
et surfaces osculatrices
;
.
.
396 408
413 119
431
43G
CHAPITRE
I.
Théorie élémentaire des intégrales multiples.
§ 1.
un domaine D à deux
1. Notions relatives à les variables
xeXy
k
Intégrales doubles. variables.
— Rapportons
deux axes rectangulaires. Traçons dans
le
plan xy
un contour simple, c'est-à-dire un contour lermé qui ne se coupe pas lui-même. Ce contour enveloppe une portion C du plan. Si {x, y) représentatif
les positions
du système de variables
x-,
comprises dans l'intérieur du contour C
lui-même, nous dirons que
les variables x,
le
point
M
peut prendre toutes
y,
et
sur ce contour
y varient dans
le
domaine
ou dans Vaire D.
Pour
éviter toute obscurité,
quels
la
variation de
contour.
x
et
limité de
le
contour C
segments sur chacun des-
de y ne change pas de sens quand on par-
court
le
même
parallèle à l'un des
Il
nous supposerons que
nombre
peut se décomposer en un
est clair
qu'un
tel
segment, à moins d'être
axes, ne peut être coupé qu'en
lui-
un point
par une parallèle à l'axe des x ou à l'axe des y.
Plus généralement,
le
domaine considéré D pourra s'élendre
à la
portion du plan intérieure à un contour C et extérieure à d'autres
contours C, C",.. soumis aux
domaine définis
I)
mêmes
restrictions
que
C. Enfin le
pourra se composer de plusieurs domaines séparés D', D"...
comme
le
précédent. Dans ces divers cas,
le
domaine D
est à
contour complexe.
Les contours C,
C',...
constituent
la
frontière
frontière fait donc, par définition, partie du
Le diamètre d'un domaine D
est le
du domaine D. Cette
domaine lui-même.
maximum de
la
distance de deux
de ses points (donc de deux points de sa frontière).
On peut
généraliser ces notions d'un domaine et de sa frontière, les
définitions générales appartiennent à la théorie des
(1)
Voir riuUoduclion,
l.
I,
§
^
ensembles
(\i.
INTÉGRALES MULTIPLES ÉLEMENTAIHES
2. Propriétés des fonctions continues continue en un point
dont
diamètre tend vers
le
—
(M.
du domaine D,
V7ie fonction
f {.i,
y) est
Voscillation de cette [onc-
si
dans toute portion du domaine
tion tend vers et
[a, b)
D
qui contient ce point
0.
dans
('ne fonction f(jc,y] est conlinue
domaine D
le
si elle est conti-
nue en tout point de ce domaine.
Les tliéoirmes suivants sont fondamentaux dans intégrales doubles
I,
aux que
théorie des
la
:
S'il est
impossible de décomposer, par des transversales parallèles
axes,
domaine D en parties rectangulaires {sauf sur
le
l'oscillation
<
de f{x, y) soit
e
dans chaque partie
(e
bre positif donné), cette fonction f{x, y) est discontinue dans
En
etiét, si
l'on
partage par des transversales
le
bord)
le
domaine l).
domaine
le
telles
un nom-
étant
en
1)
plusieurs parties, l'impossibilité de faire une semblable décomposition subsiste dans une au moins des parties (sinon elle n'aurait pas lieu
pour l'ensemble). Donc on peut trouver, dans D, une partie Di de diamètre aussi
petit
même, dans
Di,
qu'on veut, où
encore impossible,
est
la
décomposition est impossible
une partie D. encore plus
où
petite
la
;
de
décomposition
de suite indéfiniment. On peut ainsi
et ainsi
former une suite de domaines D, D,, D2,...Dn,... dont chacun est intérieur à tous les précédents, dont les diamètres tendent vers zéro,
où enfin
l'oscillation
de f{x,
convergent vers un point
M
e.
Ces domaines
qui appartient à tous les domaines D„.
est
donc intérieur
l'oscillation
de f{x, y) est
Ce point où
demeure toujours >
y)
M
un domaine
à
D,, aussi petit
>
e.
Donc f{x,y)
continue dans
le
domaine D, à
qu'on veut
est discontinue en ce
point.
II.
Si f{x, y)
est
correspond un nombre
c tel
Partageons, par
le
<
le
nombre positif t
l'oscillation
de cette fonction soit
D
de diamètre
<
dans toute partie du domaine
et portions
tout
que
théorème précédent,
le
<
e
o.
domaine D en rectangles
de rectangles où l'oscillation ûe f{x
y) soit
<
e
:
2. Soit S
plus petit côté de tous ces rectangles. L'oscillation de f{x. y) sera e
dans toute
[lortion
du domaine D assez petite pour ne pas s'éten-
dre sur deux rectangles non contigus, donc dans toute poition de
diamètre
<
5.
C) Voir au:si l'iiitroduoUun
(t. 1,
§
4
CY^}
INf
m.
Soienl x, y
positif
el x', y'
EGKALES DOUBLES
deux pu in Is du domaine D
correspond un nombre S
t
\f{'i^',y')-'f{^i;y)
sous
les
conditions
—
y' \
En soil
etVct,
<
siiHit
il
.{).
P
et
« —y
;
il
*
viendra
Xf
[xdy-ydx]
=2
I (
J JD
C'est l'une des formules qui
tour C par une intégrale sur
le
expriment
l'aire
Je
=
Q
=
à
un système de
P
D
intérieure au con-
contour. Les deux autres
:
,c
s'obtiennent d'une manière analogue en posant
13.
«'*•
calcul de l'intégrale
le
d'une intégrale effectuée sur
taines applications de cette formule.
a:,
deux équations
les
vient enfui
/i(l-f)^^'^'' = .['' "•' + double dans
l'aire 1)
Q
«=•
0,
P
=-
^ ou
0.
Intégrales triples. liois
— Les considérations précédentes s'étendent variables x, y,
z.
On
est ainsi
conduit à
la
INTÈGRALKS TRIPLES
Nous nous contenterons d'énoncer
notion des intégrales triples. résultats
suivants,
f{x, y,
les
A
« et
de x,
sur
un nombre
B de
et
ft
les points
limité de
et
y, c
C de
z.
Soit
dans ce domaine, ou, plus
y, z
généralement, une fonction bornée dont répartissent
les
les
point x, y, z dans un prisme rectangulaire R,
le
valeurs
une fonction continue d&o;,
z)
comme pour
faisant
:
Faisons varier
borné par
démonstrations se
les
intégrales doubles
17
de discontinuité se
surfaces planes ou courbes
appelées surfaces de discontinuité. Les surfaces courbes sont d'ailleurs
soumises à certaines restrictions.
Il
faut qu'en les
coupant par un plan
parallèle à l'un des plans coordonnés, le système de lignes de discontinuité qui
en résulte satisfasse aux conditions imposées jusqu'ici
ces lignes dans
le
à
plan de deux variables.
Ceci posé, formons l'expression, bien déterminée
:
Cdx Cdy rnx,y,z)dz,
(1)
Jh
J((
Je
qui résulte de trois intégrations consécutives,
la
première par rapport
comme constants, la deuxième par rapport à y x comme constant, la troisième par rapport à x. Cette
à ^ en considérant x, y
en considérant
expression est une intégrale
On peut
la définir
aussi
L'intégrale triple dans
triple
R
ment
petits
par
o^i
plans coordonnés, respectivement par
trois et
le
commune
ï Mi
oLi,
domaine
R
de sommes
:
des deux
sommes
(Xi,
en éléments prismatiques infini-
systèmes de plans respectivement parallèles aux
en faisant
les
limite
est la limite
ï mi obtenues en décomposant
étendue au domaine R.
comme une
la
somme
bornes inférieure
de tous ces éléments multipliés
nii et
supérieure M/ de f{x,y,z)
dans chacun d'eux. L'ordre des variables n'intervient plus dans cette définition, d'où le
théorème
:
Si l'on intègre successivement une
port
aux
même
fonction f
[x, y,
z)par rap-
trois variables x, y, z entre des limites constantes, le résultat
ne dépend aucunement de l'ordre dans lequel on effectue ces trois intégrations.
2
18
CHAPITRE
1.
— INTÉGRALES MULTIPLES ÉLÉMENTAIRES
La définition de l'intégrale
triple s'étend
pour que
tière. Toutefois,
puisse se généraliser,
Supposons que
l'on
la
à
z.
faut assigner des restrictions à cette frontière.
il
coupe
domaine D par un plan
le
que
x, y,
parallèle à l'un
plan d'ordonnée z. Les
le
l'on appelle la section
Nous admettons que
deux variables
à
du domaine D par
contour de celte section
le
conditions que nous avons imposées
domaine
fron-
domaine D qui appartiennent au plan z forment un domaine
deux variables
plan
fait la
précédente théorie des intégrales doubles
des plans coordonnés, par exemple par points du
un domaine D
aussi à
une surface fermée de forme quelconque qui en
limité par
et qu'il
précédemment
d'un
à la frontière
même
en est de
le
aux
satisfait
pour toute autre
section parallèle à Tun des plans coordonnés. L'intégrale triple de f{x, y,
conque
l'on obtient a-i
de forme quelet
D
infiniment petits en tous sens
par
y, z)
des deux
et
somme de
en faisant la
les
f(a;,y, z) I
Le théorème de
le
que
se désigne
é
inférieure
et
par
dz.
I
I
la iiioyemie s "étend
énoMceroiis seulement
dxdy
^mi'^i
en volumes
ces éléments
bornes supérieure Mi
dans chacun d'eux. Cette limite
(2)
le
D
en décomposant, par des surfaces quelconques,
limite
multipliés respectivement
nu de f(x,
dans un domaine
z)
commune
sommes SM^Xj
la
est
aux intégrales
triples.
Nous en
cas particulier suivant. Si l'on désigne par
volume du domaine d'intégration
par
et
D
une valeur moyenne de/"
ii
dans ce domaine, on peut écrire
^^^J{x,y,z) dxdy dz^ixD.
(3)
En
particulier,
(4)
si
/"=
1,
il
^
vient
="
''^
Cl f
^'-'^
'''^•'
ce qui donne l'expression générale d'un volume sous forme d'intégrale triple,
14. Réduction
des intégrales
triples.
—
Considérons
étendue à un domaine de forme quelconque
m
f{x,y,z) dxdy dz.
l'intégrale
INTÉGRALES TRIPLES
ramène aisément
se
intégrale
Cette
domaine prismatique. Soient a celles de ^, c et
A
et
une autre prise dans un
les valeurs
par ces trois couples de valeurs contiendra l'on
désigne par
une fonction égale
i\
extrêmes ûex,
R
domaine D. Le prisme
celles de v dans le
C
à
19
le
domaine
à /"en tout point
B
borné
Donc,
D.
de D
b ei
si
zéro
et à
en dehors, on aura
J
y^ ^)
I \j{^;
L'intégrale dans
R
^
dy ch
[u) les
équations de la
section de la surface par le plan xy. Lorsqu'elle aura tourné de l'angle r,
sa translation {x^ y, z)
sera ao {a constant)
où
l'on a
X
X
=>
-{-
;
le
point (X, 0, Y) sera venu en
:
av,
2/
= Y cos v,
^
= Y sin v,
38
CHAPITRE
— INTÉGRALFS MULTIPLES ÉLÉMENTAIRES
I.
ee qui donne une représentation de la lignes u, V. ds'
En
=
surface en coordonnées curviaccentuant les dérivées par rapport à i\ on a
(X'-
+
+ 2a X' dudv ^-
V-) (hr
(Y^' 4- rr)
dr\
par suite,
—
EG
= Y^ (X'- +
F-^
Cette expression ne dépendant que de
dans
Y'2) -f a^Y'-\ l'intégration par rap[)ort à v
9i,
formule (11) sera immédiate.
la
2° Surfaces de révolution. Si la translation est nulle dans
ment précédent,
la
=
\/ECt_FPar conséquent,
+
Y\X'«
déplace,
le
surface est de révolution. Dans ce cas, a
=
0, d'où
Y'^
engendrée par une révolution entière de
l'aire
la
section génératrice sera, en appelant s l'arc de cette section,
=
S
^'
+
\ X'-
)
Y'-
du
dv
I
^2r.\ Y du yX'-
C'est la formule obtenue dans la première partie
équations
x où
les a, h
-= a^
+
Y'^
= 2Tzi\ ds.
du cours.
coordonnées curvilignes u, v
3° Surfaces réglées. Elles sont définies on [)ar trois
-f
:
b^ u,
^
1/
ao
-\-
z
h^ v,
^
a^-\- h^
u
dépendent de r seul. Désignons leurs dérivées par des accents,
vient
il
-
ds-
{\a\ -f- h[ i>y
On aura
donc,
••]
-Y
+ 2 [a[
dv'
b^ -f
M, N, P dépendants de v
—
ECt
= M + 2 N«
F'^
I/élément d'aire ne contenant que
29.
du dv
+
[b\
-f
carrée de ce
ti
inoine, nous
n^ 202L).
I,
Aires limitées par des lignes d'égale déclivité.
— Ajjjielons lignes
d'égale déclivité d'une surface, celles sur lesquelles Z est constant.
beaucoup de cas importants, ^Jowr exemple, on obtient immédiatement
du-
...]
4- P«2
la racine
saurons l'intégrer par rapport à u (tome
...]
seul,
Dans
surfaces du second degré par
les
l'aire
E
de la projection sur le plan
d'une portion S de surface limitée par des lignes d'égale déclivité.
:cy
La
tlétermination de l'aire S ne dépend plus alors que d'une intégrale simple.
En
eiTet,
appelons
àE
deux lignes successives de S sera
AE
l'on considère
les
AE
:
cos (L
l'accroissement de
(Z) et (Z
+ 8AZ)
d'abord Z
-}-
AZ)
;
en vertu du
comme
E
entre les projections de
l'accroissement cori-espondant
lemme du
n>'
21.
Donc,
si
fonction de E, on aura, en faisant tendre
vers 0,
^
S^v^S^v cos
(Z+ GAZ)
= M^. JcosZ
ÛUADRATURE DES AIRES COURBES
veut calculer
Si l'on
on aura, en prenant Z
S comprise entre deux
l'aire
comme S
r-^ _^^
~
—
Aire de l'ellipsoïde.
lignes (Zj) et (Zo),
variable,
dZ
Jz^
30.
39
.
CCS Z
Comme
méthode du
application de la
n° précédent, cherchons l'aire de l'ellipsoïde
1 + 1+^"^ Il
'">*>»)•
faut d'abord déterminer la projection de la ligne sur laquelle cos Z
a une valeur constante w.
Nous obtiendrons son équation en
l'équation de l'ellipsoïde les valeurs de
p
tirant de
q en fonction de x, y
et de
et
en portant ces valeurs dans la relation
Cette équation se met facilement sous la forme
Donc axes
et,
la
projection cherchée est une ellipse dont on connaît les demi-
par conséquent,
E
=^ Tzab
Comme u
—AA'
On
E.
l'aire
en ^ posant
>
.
a
,
(ou cos Z) varie de
1
pour
à
{
.
,„
|A'=
la
=
— p' u'. n.^
,
1
.,
nappe supérieure de
l'el-
lipsoïde, l'aire totale de la surface sera
„
-,
f/E p cm .
du
Jo
Transformons d'abord
du du_ ^
u
l'intégrale indéfinie.
.du
E du
On .
a
du
.
d'autre part, en diftérentiant, ,
d
AA'
a- A'
,
r— du
a=
A
u
—
^-^A ^-r-j-
, du
A' a* A'
AA'
, —T- du
du
,
A
o
A
a-^A'
=
x~du
j-r-r
A
u.^
H^A
du AA'
ît^AA'
d'où, en substituant,
Edu -— u^
=
Ti
, ab f
—d -
AA' M
— du — (I —
a*A' -T
A
,
,,
^
c.
du
a*)
-T-jT-,
'
AA'
-
du
40
CHAPITRE
Par r clE
— INTÉGRALES MULTIPLES
1.
ftLÉKlEr^TAIRÉS
suite de rette relation, on a
_
E^ ,
(Edu
D'après cela, l'aire totale S de l'ellipsoïde sera
2
7rft/>
wAA'
L
Jo jo
'
A
jo Jo
A
ou, en remplaçant dans le terme aux limites
^
'
^
AA'
^jo
et A' puis a et
jB
par leun
valeurs,
S
Ci
/*'
f' A'
ÂA' Ces intégrales se l'amènent aux intégi*ales elliptiques de Legendre [L
I,
n° 3?fj par la substitution a
=
?'
sin
'f
.
L'expression de S
:
i^r.ab
devient ainsi
-f a
'
0.
"
=
?3
i-> ''' ^)
supposons qu'elles fassent correspondre uniformément
les points d'un
volume V limité par une suiface S dans l'espace ce y j et ceux d'un volume iï limité par une surface E dans l'espace ç r; 'Ç. On aura, en appliquant à l'une d^-s intégrales (6) du n» [.l'écédent la formule de transformation (3) du uo 33,
Nous savons que
l'intégrale étendue à
nous ignorons encore sur quel côté
Nous
S
l'est
au côté extérieur, mais
est prise l'intégrale
allons le rccounaitre en observant (jue
V
étendue à S.
doit être positif.
48
CHAPITRE
I.
— INTÉGRALES MULTFPLES ÉLÉMENTAIRES
Transfoinioiid par la Ibrmule de Greeu l'intégrale étendue à
une intégrale
_
P
r
^ y^
4_
-
faut poser
Il
^(^» y)
^
en désigant par
a,
y)
ôz
Yi
dans
:
D
,
_
,
#^
jacobien de la transformation,
le
.1
4^> ^ dx Q
i^ 4_ i^ _ '^ dy
dcv
o
,
auquel cas, l'on
^
étendue à Q.
triple
4. '^"'
_ ^K y
^)_ d{^,r,;t)
rf(n,
,
^
r
car on vérifie immédiatement que les dérivées secondes se détruisent.
transformation de Greoi donne donc, en choississant le signe suivant que l'intégrale a été étendue an
(;ôté
-f-
ou
La
—
extérieur ou au côté inté-
rieur de D,
V=±//|^J..MC.|JJj
(8)
C'est la formule générale Si J est ei
>
0,
il
S
l'intégrale étendue à
cette intégrale s'étend
sidérés et sur
pour
le calcul
faut prendre le signe l'est
dkdr.dC.
J I
des volumes
+ dans
au côté extérieur
(').
formule précédente
la ;
de
même,
si
J
< 0,
au côté intérieur. Les côtés extérieurs sont con-
comme correspondants par définition. Donc les intégrales sur S S sont étendues aux côtés correspondants ou aux côtés inverses
de ces deux surfaces suivant que J est positif ou négatif.
La
règle qui termine le n" 33 est ainsi établie pour deux surfaces fer-
mées. Elle subsiste pour deux portions de surfaces quelconques, car on [leut les
considérer
L'expression
|
J
comme |
c/^ dr\
(8) s'appelle l'élément
On peut
la
L'élément d'arc
^
dZ sous
le
de volume dans
signe d'intégration dans la formule le
système de coordonnées
ç, yj, Ç.
transformer. ds'^
second degré en d^ ds"-
des portions de surfaces fermées.
ti.dX-
-\-
—
dsc'^ -f-
dr\ dX^^
H.rfo^
dy^
-j-
dz- est une forme homogène du
qu'on peut écrire
+ Hgf/C- + 2F,dvl^ + 2h\dXd'ç
-j-
2h\,dyr,,
en posant, en abrégé,
(*)
Cette démonstration postule l'existeuce des dérivées secondes de x,
comme
ij,
z.
On
dans le cas de deux variables (nol7). D'autre part, les surfaces S et S ont été soumises à des restrictions. Pour étendre la formule (8) au cas d'un volume V limité par une surface quelconque, il suffit de l'appliquer à un volume V satisfaisant aux conditions de la démonstration et de faire tendre V vers V.La formule subsistera à la limite, pourvu seulement que V soit déterminé.
fera disparaître cette restriction
TRANSFORMATION DES INTÉGRALES TRIPLES
H,
49
50
CHAPITRE
— INTÉGRALES MULTIPLES ÉLÉMENTAIRES
I.
sant constamment de a à b. Les deux autres coordonnées y et z seront fonctions continues de
P
tinue
long de sur
L
entre a et
ac
b,
de sorte que toute fonction con-
courbe L. Nous poserons, par définition,
la
et l'ordre
x
dos trois variables est une fonction composée de
[00,1/, z)
le
le
sens du parcours
des limites a et b se correspondant,
i'^.3
< ?/,
sj'stème x^ y, z, cette équation a trois racines Xo z.
<
a
<
Xg]
que
l'on appelle les
>.,,
\,
Àg,
coordonnées elliptiques
Par chaque point passent donc trois surfaces, un et un hj-perboloïde à une
un hvperboloïde à deux nappes
ellipsoïde,
2
vu de M.
a
— a) — — — — [a
{a
et d'autres
Ài)
b) [a
(tt
Àj)
2dx _
c)
o:
dl^
dl^ ^
À,
a
Xg
a
équations analogues en perniutrait circulairement
Montrer que
le
système est l'orthogonal
dl^
\— a â?i/^ ai
et calculer l'élément de
\Û^^W^^d)^d\dJ.... R. On trouve, Hg
et
m.
H3 s'obtenant par permutation l^'3
— \)
(^2
— \)
{\-cc){\-'b){\^c)
circulaire,
abc.
volume
CHAPITRE
II.
Intégrales généralisées et fonctions d'un paramètre.
Intégration des différentielles totales exactes.
Intégrales généralisées élémentaires.
5 1.
39.
—
Intégrales proprement dites, intégrales généralisées.
Dans
le
chapitre précédent, on n'a considéré que des fonctions et des domaines d'intégration limités. Si la fonction infini,
Nous donnerons aux la
ou
le
domaine d'intégration devient pour
faut un passage à la limite de plus
il
limite
le
nom
(\'
intégrales qui comportent ce
définir l'intégrale.
nouveau passage
intégrales généralisées, par opposition
à
aux précé-
dentes que nous appellerons des intégrales })roprement
diles.
Les
principes de ces nouvelles définitions ont déjà été brièvement indiqués
dans
le
premier volume (n» 233).
Nous commencerons par exposer un théorème utile
dans
les
40. Deuxième
théorème de la moyenne.
fonctions bornées et intégrnbles
x'^a
et
diverge
1 et
pour
précédente
la
même temps
converge ou diverge en
rapport
le
si
différente de 0,
et
a
si
fdx
que
est
est absolue.
donc un cas particulier de
règle est
convergence de
la
d'ordre a
petit
ÉLÉMENTAIRES
<
que
celle
On
1.
:
.i*
f(x)
l'intégrale
x-'^
:
= 00.
Cette
de fdx
de x-y- dx, laquelle
le vérifie
directement au
l'intégrale indéfinie
rd^^ ^^^, si
a diffère de 1;
j
'Log qui tend vers
iC, si
avec x, sauf
l'infini
si
=
a
1,
a est >1.
Voici quelques exemples d'application de ces règles
Les intégrales suivantes convergent, par
p
p
dx
la
:
règle III où a
p
X- dx
=
2
:
dx
Les intégrales suivantes (dont l'élément est moindre en valeur absolue que celui de
convergentes par
la
dernière écrite ci-dessus) sont absolument
règle
la
i'^ sin
I
:
X dx
r^
sin
-\- x""
x{a'-\-x')
J
Soient a et n des quantités positives
les intégrales suivantes (dont
;
l'élément est infiniment petit par rapport à dx la
même
règle
43.
-co
l
x'^i
cos bx dx.
Règles applicables à la convergence non absolue.
pour x
f en
effet,
= 00,
— Y. Si une
l'intégrale
^(x) dx x^
converge pour toute valeur positive de a,
x^+-) convergent par
'•ce
x^'e-^'^dx,
dx,
intégrale ¥{x) de 'f{x) reste finie
On
:
:
.-00
e-"'''
x dx '
'
a'
J
)a
X""
,,,.
_
'"F(^)"'"' ,
a°'
„
(^' ¥{x)dx
Ja
a;*-!-*
la limite,
RÈGLES DE CONVKRGENCÉ
Or
converge par
cette dernière intégrale
dx
est infiniment petit par rapport à
règle
la
II,
C2iv¥{x)dx :x*+a
+ £(e;^2
pour
l'intervalle
compte que du seul cas où x varie dans
cet inter-
valle.
Ceci posé, nous pouvons admettre dans la
seule valeur singulière.
rème précédent en converge dans vérifie
suttit
Il
y faisant
l'intervalle
'^
démonstration que
la
b soit
alors d'appliquer l'énoncé du théo-
= (^— a,-)--, car
(a, b) si
aXi).
''f(œ,y.)dx.
4°
que
deux fonctions continues
et x^ sont
a:,
de a ayant des dérivées également continues dans l'intervalle 2°
que
dérivée partielle
la
domaine D du plan les
=
courbes x
x^,
xa.
x
f'^{x, a) est
déterminée
compris entre
^
les droites a
=
a,,,
,
que
l'on doit
„,
,
dxo
.
par
t
la
ramène
= x^
=
ei
La fonction
avec X2 pour
à celle de Leibnitz par
H- [x.
pris entre les valeurs
s'applique donc ;
elle
jo dy.
— Xi)
variable
et
de a
et coïncide
t,
le
a^ et a,
avec
transformée sera
i. L'intégrale
de a dans
de
et 4
t,
f
dérivée partielle par rapport
et
à
a sont
rectangle du plan ta com-
de
a.
La règle de Leibnitz
transformée (aux limites constantes
àt
et
1°
dx
dy.
"dl
Ja~^
59. Convergence précédentes
'^
^'dtdJ^^
'-§,dt+c'up)dt^r^fdx+ if'^T' dt Jo dt V àaj L àoLJt-a
sous une autre forme,
:
un change-
x une nouvelle
donne
^CK
thèses
f
à l'intégrale
'^^'''"JoWa
C'est,
=
t
à intégrer et sa
des fonctions continues de
1)
dx.
a) -r-
relation
X
t
. ,
a,),
ajouter deux termes complémentaires à celui
de sorte que x est maintenant fonction de
pour
„,
variables. Substituons, en effet, à
d'intégration
x^
— fiXi
f{Xo, a) -y-^
(0.^,
règle de Leibnitz.
la
Cette nouvelle règle se
ment de
le
aj et
x^.
df v(^)=r -^ àx^ c'est-à-dire
=
a
Je dis que l'on aura, sous ces conditions, dans l'intervalle
fourni par
(aoX,
et
pour
toutes
0,
0.
Ainsi cette intégrale est une fonction discontinue du paramètre, sa valeur change
On peut en
brusquement quand
gence ne peut être uniforme quand de vérifier directement. On C
M et
a atteint
conclure, à cause du théorème
a,
sm "^
otx
en ,
a
effet,
dx
=
I
ou dépasse
zéro.
si a
valeur 0.
la
conver-
tend vers 0, ce qu'il est facile
pour
C^
sin
Jn'x
x
c.
X
positif,
,
dx
sous cette forme, on voit immédiatement que
uniforme
la
du n" 61, que
ne tend pas vers zéro et ne
le
la
convergence sera
sera pas
si a
tend vers
6
82
CHAPITRE
L'intégrale
(5)
même
fournit, en
temps, un exemple d'une intégrale
permis de dériver sous
n'est pas
qu'il
— INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES ÉLÉMENTAIRES
II.
le
signe par rapport à
fonction étant constante, sa dérivée est nulle, tandis que
sous
la
64.
—
Intégrales calculées par dérivation sous le signe.
l'intégrale
du
n'^
on change x en x
62,
('%-'-£/.;
(6)
.0
En dérivant sous
le
\l
:
où
>
est
/
0,
il
r e~^-'
17)
i,
il
vient
pour
théorème VI du -=
,
valeur
la
f
a, si
=
l
effet,
varie
petit soit-il.
a qui rend leurs
I
=
e-^'"
1
cos 2aa' dx\
il
vient
n° 61,
—
dy.
effet, cette
.
et positifs.
Considérons ensuite l'intégrale le
0,
théorème IV du n^ 61. En
le
sans descendre en dessous d'un nombre positif
encore, par
>
obtenues convergent uniformément quand
Elles convergent effectivement
éléments maxima
t
dx--^Kr ^^-^'-'^ _L_
afin
dans
Si.
vient
t
signe par rapport à
Ces dérivations sont permises par les intégrales ainsi
I.
=.-V^-^ \
Plus généralement, après n dérivations, on trouve, pour
En
La
signe conduit à une intégrale indéterminée.
le
II.
t.
dérivation
txe'-'^^ sin
2ax dx.
Jo
intégrale converge uniformément, car ses éléments
sont inférieurs en valeur absolue à ceux de l'intégrale convergente et à
éléments positifs qu'on en déduit par
sin 2oa;. Mais, en considérant
e-^', cette intégrale se parties.
ramène
suppression du facteur
à la
la différentielle
4^ -
d'Où
da.
Observons que
- ^'Mh,
---
\^
I^f
:
-
e-^''"
(ii°
62),
i-
'
lo
I
lo
de
proposée par une intégration par
On trouve
~-=- 2al,
(8,
la
— 2.re-^' dx comme
il
cos 2a£c dx
vient
=\
= e-^'
— 83
Soit a positif; faisons la dilférence,
III.
f * sin
OLX
ax dx
sin
C'-^
,
^
.'o
X
'i-\-X'
Jo
de deux intégrales uniformément convergentes quand vers zéro,
comme
première
la
mêmes Ç"^
vu au n" 63
l'a
Nous trouvons
critérium du n" 60.
gente dans les
on
a
ne tend pas
seconde par
et la
le
uniformément conver^
l'intégrale,
conditions,
xûnax
+
1
}o
_'^_ (^ sin
,
2
-T-'
D'où, en dérivant deux fois ce dernier
dx
qjx
X-
1+^''-
Jo
membre
absolument
Leibnitz, ce qui fournit des intégrales
par
la
règle de
uniformément
et
convergentes,
r cos^-
^_ On à
r
a
=—
On en 3t
>
donc I,
=
l'I"
^^^
d'où
II',
I'-
^
+
l-
I'
:
—
-
I
d'où
1,
Intégrales de la diffraction.
e-t^'
=
:\o
\
vient
il
lo
=—
l'o
=
'^^
e-^. Par conséquent pour
comme on
l'a
dx
— Revenons =
à l'intégrale (6)
'
'2
\'t
vu, converge uniformément
dre en dessous d'un nombre positif sin
C. Mais cela doit se réduire
car en faisant tendre a vers 0,
conclut
j
1 -{--£'
Jo
0,
65.
qui,
^ r-xsin^ ^^ ^
I,.
i-\-X-
jo
si
t
varie sans descen-
Multiplions cette équation par
a.
ce qui, l'élément de l'intégrale étant diminué, n'altère pas l'uni-
f,
formité de
nombres
la
convergence, puis intégrons par rapport à
positifs « et
,3
>
a
on peut intégrer sous
;
6-'^' sin
En
effectuant l'intégration sous le signe par
fS sin '
Ja
/
,, ^=^ df
2 r r-° c-^^' x'dx = -^^ —,sm a .
Vtt L
\Jt
2
'' .
o
jo
1
+X'
re-^'^'x-dx
,
la
le
/
entre deux il
vient
il
vient
dt
formule =^
^-cosa f ,
jo a
t
signe et
(2),
e-'""-^
dx
—1-7-^
i+X\
r(^-'^^^dx
84
CHAPITRE
— INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES ÉLÉMENTAIRES
II.
Les quatre intégrales du second membj-e P
=
aux deux suivantes
(^)
C^ xHïx
dx
r-^
\+x'
Jo
pour
se réduisent
a et
:
TT
\+x^
)o
2V2
Les quatre intégrales en question convergent donc uniformément si
a et
["^
varient sans devenir négatifs, car elles convergent pour les
valeurs a
= =
remplaçons
et
limite, les intégrales étant fonctions
Si,
maxima
qui rendent tous leurs éléments
,3
Faisons donc tendre a vers
au lieu de multiplier par sin
par u
,3
continues de
/,
y.
;
et positifs.
il
vient, à la
(no61),
on avait multiplié par cos
t,
on
aurait obtenu, par un calcul analogue,
r«cosi,,
^
2
/tt
r^e-^'^^x-clx
f^ e-^'^Uxl
.
Les intégrales des premiers membres dans ces deux dernières relations se tions sont
rencontrent dans
dues
théorie de
la
à Gilbert et elles
la difjraction.
Ces rela-
jouent un rôle important dans celte
théorie. Si l'on fait croître
u
à l'intuii, les intégrales
qui multiplient sin u et
cos M décroissent constamment et tendent vers
0.
En
effet,
en négli-
geant x^ au dénominateur, on voit qu'elles sont respectivement moindres que les suivantes, obtenues au no précédent
On aura donc,
à la limite,
r"
(1)
sin
t
,,
pour u r=^
:
= oo,
cos
t
,,
.
/t.
en Ton a
Celles-ci sont égales entre elles, car elles se réduisent l'une à l'autre
changeant
.i
en
1
:
x
elles sont
donc aussi égales
à leur
demi-somme
eftectivement
= ^yf[ai'Ctg(.rV^+l) + arctg(.TV2'-l)]^
-~
et
Si,
dans
on change encore
celles-ci,
-
r=^
sin
(10)
On donne
à
^^
x-dx
=
t
en
r^
vient
x'^, il
71
cos
j
^
1
^ x-dx= ^•
ces dernières intégrales
nom
le
d'inWyralcs de
ht
diffraction.
66.
— On donne
Intégrales de Frullani.
grales dont
la
valeur se détermine par
singulière. Soit
la
ce
nom
une fonction continue de x,
/(.t)
certaines inté-
à
considération d'une intégrale
que
telle
l'intégrale
à limite infinie
m^ dx
1
une valeur déterminée
ait
positives
;
(A>o) soient ensuite a ei b deux constantes
;
l'intégrale
1 __,
rvM -
est
;(to) ^^.
X
Jo
une intégrale de Frullani. Pour en déterminer
la
valeur, écrivons
= lhnrr-r/wf]=liraf/wf. ^ J £=0 Lya? z—ojai •*'
Jf^i
La valeur de de
la
moyenne. avec
vers
e,
cette intégrale singulière s'obtient par le Soit
on
lim
une quantité comprise entre
i
théorème
«e et bt et qui tend
a
rm ^ -
lim
f& r~ = /(O)
Log^.
Par conséquent,
|;'iî^«M,,-./(0)Logt
,n)
Par exemple, prenant (12)
/(a^)
^
'^
Jo
-= cos
dx
^"j
^
puis
/"(a.')
(a
etè
>
—
4)
e^-'^,
il
vient (rt>0)
dx^^Loga.
^
Jo
^
Souvent une intégrale peut se ramener à
changement de variables.
=
la
Ainsi, par la relation
forme (11) par un
x
=
e-=,
il
vient
.
86
CHAPITRE
n x^'
— x"
— INTÉGRALES GÉI^ÎÉRAUSÉES ÉLÉMENtAlRÉS
II.
^
.
_ [** e-(«+i)-^ — c-(* ~jo
Log^i-
.0
1-1)^ /
z
_ "~
^ H- 1
r
^fl
+
4"
Exercices.
On
1.
En
a,
effet, (1
+ tg
^
x
par la relation
tg
-f,
\2
peut s'écrire
'f )
conséquent un produit de
trois facteurs
une somme do
trois autres.
poser en
cos
;
[
-—
donc
On
«f
j
cos ©
:
voit de suite
que
par
est
et
l'intégrale peut se
décom-
les
deux
dernières se détruisent et la première donne la valeur cherchée. 2. Déduire la seconde intégrale ci-dessous de la première
2a
e-^' •'^'
1
dœ
-=
\ ^,
R. On intègre par rapport 3. Monti'er
que
l'on a, si
à
y.
a est
^'
e
(
i
—e
^^
]dx
de a et b et change
>
:
= {h — a) \/r
a;
en
1
:
a;.
0,
R. Les deux relations sont équivalentes. La seconde intégrale a pour dérivée par rapport à a l'expression
C^ -[r-"-\^ x) V
e
,
dx
-— — r* e-l'r-'L^adx \ ^'
;-'
•''/
,'o
,'o
qui est nulle car ces deux intégriales se détruisent (elles se ramènent x ç^w a \ x). La seconde des deux intégrales
l'une à l'autre en changeant
proposées est donc constante par rapport à a et on la détermine en posant a 4.
= 0.
Montrer (en développant en série par rapport à C^ sin
5.
a;
,
dx
=
-
^
—f \
:
e
""
Montrer, en développant Log(l numérique étant connue)
'^'^^
^ cos
+ x)
«)
(« sin x)
que
dx.
en série potentielle, que l'on
a (la série
J^Log(l+a;)
— =1-2^ +
l'on a
3:,-
.••^^-
INTÉGRATlô'N DES DIFFÉRENTIELLES EXACTES
§ 4.
67.
Intégration des différentielles totales.
Cas de deux variables indépendantes.
variables indépendantes, P et
8"?
{x, y) et
Q
{x, y)
— Soient
x
el
uniformes ainsi que leurs dérivées partielles premières. On
l'expression
? dx
-\-
Q dy
une
est
fonction u des deux variables
x
différentielle exacte
et
;//
deux
deux fonctions continues
s'il
y dont cette expression
dit
que
existe
une
soit la dif-
férentielle totale, en sorte qu'on ait
du
(1)
En
P
général l'expression P dx
exacte.
vantes
=
En :
effet, la
rfa;
-{-
+
Q dy. Qdy n'est
pas une différentielle
relation (1) revient, par définition,
aux deux
sui-
88
CHAPITRE
II.
— INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES EXACTES
reste à déleniiiner,
Il
vérifier la
si
possible, la fonction
c'est
de manière
'i
à
seconde condition
du
...
-
ù,j
,
«*•")•
c'est-à-dire, à cause de (3) et par la règle de Leibnitz,
^ dx +
J^
Mais on
en vertu de
a,
ce qui réduit
l'identité (2),
Q(A-,y).
supposée
vérilîée,
relation précédente à
la
'f'(^)
=
ç'(^)
-- Q(«,2/),
tl'oLi 'f
(î/)
=J
Q(rt, y) dy.
Enfin, en substituant cette vak'ur de © dans (3), et en mettant en
évidence
la
constante C comprise dans l'intégrale indéfinie, on trouve
u =- pP(.i-,
(4)
y)
dx
f
ja
On une de
voit
donc que,
fo («,
y)
dy
^ C.
J
si
infinité d'intégrales
la
condition
(2)
admet
a lieu, l'équation (1)
ne difierant l'une de l'autre que par
la
valeur
conslaute d'intégration C.
la
La constante a pouvant être prise à volonté, on
chaque cas
particulier,
la
choisira,
dans
de manière à simplifier autant que possible
les intégrations. 11
procéder dans l'ordre inverse
est clair qu'on aurait pu
mencer choisie
l'intégration par rapport à cà
|/.
com-
volonté, on aurait obtenu
u
(5)
- foi^, y) dy + f P(i-,
Soit,
par exemple, l'expression
C'est
une
(3^--^-f-2 2/)rf.T-f ^2{x différentielle exacte, car
dy
-
r^'àx' -f Jo
2
0,
—
—
une constante que /"+
Dans vante
:
A
;
soit
et
on peut prendre cette constante assez grande pour
>
0.
hypothèse, on peut faire l'observation préliminaire sui-
cette
un élément pn en plusieurs autres,
Si l'on partage
p',
p",."
oii
f a pour bornes supérieures M', M",... le produit M^pn surpassera la somme M'p' -|- M''p" + •• étendue à tous les éléments de p,t et a fortiori (puisque les termes sont positifs) toute somme analogue qui ne s'étendrait qu'à
une partie seulement des éléments de p„.
Nous pouvons maintenant passer à la démonstration du théorème de M. Darboux pour S, La somme S ne peut être inférieure à mR; elle admet donc une limite inférieure L, Je dis que S a pour limite L quand tous les éléments dans tous
Pn tendent vers
En
effet, soit s
somme
peut trouver une
mode
de partage de
Ceci
S
fait,
(qui est
les sens.
un nombre
R
S'
-f- £
et cette
somme
en éléments déterminés
pour prouver que S tend vers L,
>
par définition de L, on
positif arbitraire;
< L
L) devient inférieur à
L
+
suffit
il
quand
£
sera fournie par un
pj, pj....
les
de montrer que
éléments p^ tendent
vers 0.
Or on peut partager
les
intérieurs à un élément
En même Sj
+
<
S',
Sg.
p';
éléments
p,j
en deux classes
:
ceux qui sont
ceux qui empiètent sur plusieurs éléments
p'.
temps, S est décomposé en deux parties correspondantes
La somme
S, relative
aux éléments de
car, par notre observation préliminaire,
remplacé dans Sj par une somme de termes qui
la
première classe est
chaque terme de est
moindre. La
S' est
somme
somme des éléments ç>n de la deuxième évidemment vers zéro. Donc S qui s'approche indéfiniment
Sg tend vers zéro, parce que la classe tend
<
de Si (qui est
S') devient aussi
< L
+
-•
La proposition est établie. On prouve, par réduction à la démonstration précédente haut), que la somme s tend vers la liynite supérieure l.
81
.
Intégrales par excès et par défaut. Fonctions intégrables (R)
leurs propriétés. le
(voir plus
domaine R,
— La limite
la limite
l
L
;
par excès de /"dans par défaut (Jordan). Nous les
s'appelle V iyitégrale
son intégrale
représenterons par
ih=\ (1) \
f[x,ij,...)dR
ou
t l^\f{x,y,...)dR
ou
Uordre de
\
f{x,ij^...)dxdy...
;f{x,tj,...)dxdy... \
multiplicité de l'intégrale est égal au
nombre des dimen-
99
INTÉGRALES PAR EXCliS ET PAR DÉFAUT
domaine R, donc au nombre des variables x,
sions du
y...
ou des
diffé-
rentielles dxy dy...
Quand on
peut sans
le
l'intégrale, le signe
I
on remplace, dans
difficulté,
la notation
de
unique des formules (1) par des signes superposés
en nombre égal à l'ordre de multiplicité de l'intégrale.
Pour que
commune
I
faut que
il
au sens de Riemann ou
intégrable
la fonction / soit
grable (R),
les limites
et
l
L
soient égales.
R
et l'on écrit
s'appelle l'intégrale de /"dans
(r{x,y,...)dR-^ {f{x,y,...)doody...
--=
I
(2)
nous ne considérerons pas
Si la fonction /"n'est pas intégrable (R),
cependant l'intégrale de / dans
Nous
de toute signification.
mais comprise entre
R
ou l'expression
par excès et par défaut.
les intégrales
se généralisent aisément. Ainsi
Les sommes
De
et
commo dépourvue
(2)
attribuerons une valeur indéterminée,
lui
Les propriétés des fonctions intégrables d'une
bles (R).
inié-
Leur valeur simplement
vai'iable
[t.
n» 256)
I,
:
produits de fonctions intégrables (R) sont intégra-
somme
plus, l'intégrale d'une
sera égale à la sotnme des
intégrales de chaque tetvne.
Le que
quotient de
deux fonctions intégrables
la fonction prise
rieure de
82. défaut.
même
comme
Désignons par Ose f{xo,
les intégrales
la limite
domaine limité aux intervalles x^
±
lemme du
ment comme
il
suit
n°
et tels
soit le
nombre
R
M„
mum
— m„
quand
t,
t),...
le
tendent
se généralise immédiate-
eyi
donné
positif
e,
on peut décomposer
éléments rectangulaires pn aussi petits
qu'on ait dans chacun deux.
Mu où
tj,...
258 du premier volume
domaine rectangxdaire
qxCon veut
par
de l'oscillation de /"dans
±
yo
et
fonction
la
:
Quelque petit que le
s,
par excès
V oscillation de
yo,..-)
/"au point Xo^yo,... c'est-à-dire vers 0. Le
pourvu
signe.
Expression de la différence entre
—
est intégrable (R),
diviseur ait ses bornes supérieure et infé-
— myi < A„ -h
est ï oscillation de f
de l'oscillation de f pour
Par conséquent,
les
formule du
la
dans
le
£,
domaine p^
et
A„
le
maxi-
divers poifits de ce domaine.
même
no 258 qui
exprime par une
intégrale la différence entre les intégrales par excès et par défaut se aussi.
(3)
On
a
(
fdR—( fdR^
(Ose./-) I
dR.
100
CHAPITRE
83. Réduction
— INTÉGRALES MULTIPLES DE RIEMANN
des intégrales doubles à des intégrales simples.
une fonction de deux variables,
f{x, y)
R
III.
borné par
valeurs a
les
et
A
— Soit
dans un rectangle B de y. Vintégrale double
intégra.hle \K'
de x, b
et
{{r{x,y)dxdy
M
J
à deux intégrales simples effectuées consécutivement par rapport à chaque variable entre les limites du domaine. est réductible
Décomposons
l'intervalle (a,
par les points x^ ties
=
A) en
a, x^,... a?m+i
m =
parties consécutives ôj,
A
o.^,...
l'intervalle (è, B) en
;
n
o„j
par-
=
consécutives Yi, '{o,... y» par les points «/, === b, y.^,... y,i+i B. Le R sera partagé en mn rectangles ayant respectivement pour
domaine
étendues les produits
On
0^7^.
par décomposition de deux intégrales simples consécutives
a,
Tb
Ta ('V
J'j
M
r\^,
m y]dx=y.
i=i li^iJy/i
rectangle
membre
Jxi
mi^ les bornes supérieure et inférieure de /"dans Dans le terme général de la somme écrite au second
Désignons par M^^ le
:
n rVii-i. r^i+i dy\ y,\ f{x^ y) dx,
o^y/f.
et
de l'équation précéde)ite,
f
Mm
reste compris entre
et m^k.
On
a donc
r^i^i
rVk+i ^'^ih^H-(h
>
dx
11
f^x^ y)
dx
^
7n,,i
or{k.
Jxi
Jyk
vient donc, en additionnnant toutes les inégalités analogues.
rx
/-B
ï ï Wui ^^Hh
dy\
55
Faisons tendre tous les
I
0,
f{x, y)
et tous les
y;,,
dx^^^ m,h vers zéro
;
les
'
deux membres
extrêmes tendent, par hypothèse, vers l'intégrale double supposée déterminée.
11
vient donc
C
On
a aussi,
f{x, y)
dx dy
^
dyjjix,
f f{o:, y)
dx dz
=
^\ly {\{x,
Mais, d'après la définit'on donnée dans
tielle, les
dx.
par un raisonnement analogue,
I
l'intégrale
y)
1^^
j^^
le
y)
dx.
premier volume
(no 255)
de
d'une fonction présentant des points d'indétermination par-
seconds
membres
des deux équations précédentes comprennent
entre eux et, par conséquent, égalent tous deux l'intégrale bien déter-
minée .-B
/-A
dg Jo
f{x, y) dx.
Ja
ENSEMBLES MESLR.UîLES
comme
Enfin,
on peut permuter r
et
dents, on obtient le théorème suivant
84. Théorème. rectamjle R.
—
101
(J)
dans les raisonnements précé-
//
:
Si la fonction f{x,
7/)
est intét/rable
^fix,
dx,
y)
y) d//,
>(.7-, I
y dans
sont respectivement des fonctions intégrables (R) de
B)
=
A-^» y) (^^^y
1
1
x dans V intervalle
de
et
le
^h
Ja
(è,
(R) dans
deux intégrales simples
les
'
J JR
;
et
^
>
Ja
'
^^^
1
f^^'^ v' "'.v-
Jl>
— Un raisonnement
des intégrales triples et multiples.
semblable s'applique aux intégrales
l'intervalle
Von a
^^^ f[^'^ y) '
^^'1
Jb
85. Réduction
(a. A)
triples. Si la fonction f{o), y, z) est
intégrable dans le domaine qui comprend les intei-valles {a, A) de x, [b,
B) de y,
(c,
C) de z. L'intégrale triple se
ramène à
trois
intégrales
simples consécutives effectuées par rapport à chaque variablo entre ces limites, et cela dans
un ordre arbitraire. En particulier, on peut intégrer
successivement par rapport à
{ J J
i
I
M
f[x^ y,
86. Etendue nitions relatives
duction
[t.
I,
n°s
dx dy dy
z)
--=
T dz Je
59
gt suiv.). Soit
1
E
y, z) dz.
Ja
aux ensembles de points ont
une fonction égale à
— Les premières
défi-
été donnée.^ dans l'intro-
un ensemble borné et intérieur à
R d'ailleurs arbitraire.
en tout point de
E
Désignons par e[x^y,.J) en tout autre point.
et à zéro
deux intégrales
les
e[x,y,...)dxdy,...
(4)
dy Ç' f(x,
[ Jb
d'un ensemble. Théorèmes divers.
un domaine rectangulaire
Formons
^ et z, ce qui donne
a;,
\e Jr
Jr
La première
est,
par définition,
E au
Vétendue intérieure de égales, l'ensemble
E
est
E
=
\
e{x,
dx
dy...
Vétendue extérieure,
sens de
mesurable
[x, y,...)
(J) et a
y,...)
seconde
la
M. Jordan. Quand
sont
elles
pour étendue
dx
dy..
In
Appliquons à ces intégrales
la
relation (3)
du no 82
et
remarquons
encore que Ose fix, y,...) =^ i en tout point frontière de E et tout autre point. Nous obtenons les deux théoièraes suivants
=
en
(.J)
d'un
:
I.
La
ensemble II.
différence entre les étendues intérieure et extérieure est
égale à Vétendue extérieure de sa frontière.
Pour qu'un ensemble
soit
mesurable
V étendue de sa frontière soit nulle.
(J),
il
faict et
il
su/fit
que
CHAPITRE
102
— INTÉGRALES MLLTIPLES DE RIEMANN
III.
Soient (a, A),{b,'B),... les intervalles qui définissent R. Décomposons-
respectivement en parties consécutives
les
éléments p„
=
nous obtenons
signification des intégrales (4),
V étendue
III.
R
par suite,
'{h,--' st,
o^,
en
indéfiniment décroissants. Rappelons-nous alors la
^^i'[h.--
E
intérieure de
est la limite
théorème suivant
le
de la
Pn contenus dans E, rétendue extérieure celle de la contenant un point au moins de E.
somme somme
:
des éléments des éléments
p,i
Décomposer un ensemble en plusieurs
autres, c'est partager ses points
en plusieurs catégories, chaque catégorie de points formant alors un
ensemble IV'.
partiel.
On
a le
théorème suivant
:
un ensemble E borné
Si Von décompose
et
mesurable
[Tj
en plu-
E
sera la
sieurs autres E', E",... également mesurables^ retendue de
somme
de celles des parties.
Soient, on effet, e une
partout ailleurs, a e
=
e'
R
contenant
On
...
décomposer
et
il
4- e"
vient
+ =
E
E
en tout point de
et
à
Intégrons cette relation dans un domaine
•••
E
1
analogues relativement à E',
fonctions
les
rectangulaire
E"
égale à
fonction
e",...
e',
+ E" +
E'
membre peut
du second
l'intégrale
;
se
.-.
—
Soit E un 87. Intégrales étendues à un ensemble mesurable (J). ensemble compris dans un domaine rectangulaire [R) et f{x, y...) une fonction bornée dans cet ensemble. Désignons par f^ une fonction égale à feu tout point de E et à zéro en tout autre point, les intégrales par
E
excès et par défaut de /"dans
se désignent par
fdxdy...
m
Je
R
dy...
aux intégrales correspondantes de
Elles sont égales, par définition,
dans
fdx
/",
:
\
f.dxdy...
t\
dœdy...
Si celles-ci sont égales, /"est intégrable (R) dans l'ensemble E.
E
Le cas où
n'est pas
mesurable
donc supposer que cet ensemble
Une I.
est
(J) est
dénué
mesurable
d'intérêt.
a
(J) et
fonction /"possède alors les propriétés suivantes
Nous
allons
pour mesure E.
:
par M et m les bornes supérieure et inférieure de f intégrales par excès et par défaid de f dans E seront com-
Si l'on désigne
dans E,
les
prises entre
en
Soit,
dehors
;
ME effet,
on a
Me
et
mE.
e{x,
y,..
)
^ A ^ me, \
Jr
la fonction
égale à
I
dans
d'où
f^dxdy...
<
M] edxdy...= ME Jr
E
et
a
en
MESURÉ
et l'on voit, de
Ï)ÈS
ENSEMBLES D'APRBS MM. BOREL ET LEBESGUE
même, que
l'intégrale par défaut est
nom
>
mE.
de théorème de la moyenne.
(]e
théorème porte
II.
Si [est intégrable (R) et si
le
103
Von décompose l'ensemble E en j)lu' f dans E somme des intégrales dans E', E",...
sieurs autres également mesurables E', E",... V intégrale de
sera la
Définissons les fonctions /), f^ ,... par rapport à E', E", .. comme /", /"'/ par rapport à E; on a f\ =- f[ et en intégrant cette ; -frelation terme à terme (no 81) dans le rectangle R, on trouve, par défi-
+
l'est
nition, la relation à
88.
démontrer.
Généralisation de la définition de l'intégrale.
pose un ensemble mesurable d^ ensembles et qxi'on
pn dont les diamèti^es tendent vers
pj, Pa,...
désigne par M^ et mt
— Si Von décom-
indéfiniment croissant
bornes supérieure et inférieure de f
les
deux sommes S Mi^i et S mipi ont pour limites respectives iyitégrales par excès et par défaut de f dans E (donc Vintégrale de f,
dans les
mesurables
E en un nombre
Pi,
les
si f est intégrable). Il
n'y a qu'à reproduire la démonstration du tliéorème de
(no 80) en substituant
rectangulaires.
une subdivision quelconque à
La démonstration
M. Darboux
celle en
éléments
subsiste, parce que les frontières des
ensembles mesurables sont d'étendue nulle
et
que, par conséquent,
si
comprises à l'intérieur d'un système d'élément pn de diamètres infiniment petits, la somme de ces éléments tend vers zéro. elles sont
2. Mesures des ensembles à plusieurs dimensions d'après MM. Borel et Lebesgue. Fonctions mesurables. .^
L'étude de la mesure des ensembles linéaires a été faite d'une manière
approfondie dans
le
premier volume (Chap. VI, §
ensembles à plusieurs dimensions est les résultats sans revenir sur les
89. Mesures rables.
R
démonstrations.
ensemble borné
rectangulaires aj, a^,... Soit 2a la
Par
et
compris dans un domaine rec-
dont nous désignerons aussi la mesure par
définition, la
E
la
On
m,^ E, est la
borne inférieure de
possibles.
CE le complémentaire de E (relativement à R) et mesure extérieure de cet ensemble. La mesure intérieure de
Soit maintenant
me (CE)
{n° 79).
infinité
mesure extérieure,
sommes Sa
R
dénombrable de domaines somme des mesures de ces domaines.
peut enfermer ses points dans une
toutes les
L'extension aux
intérieure et extérieure d'un ensemble. Ensembles mesu-
— Soit E un
tangulaire
5).
naturelle qu'il suffira d'énoncer
si
est la différence, nulle
ou positive, mais
m,E = R
—
^ nig E,
m^, (CE).
CHAPITRE
^^04
Lorsque ensemble mesure,
90.
— INTÉGRALES MULTIPLES DÉ LEBESGUÊ
mesures intérieure
les
MM.
de l'ensemble
valeur
la
r-st
E
de
et extérieure
mesurable (au sons de-
est
?)?E,
lïl.
Bovcl
commune
et
sont égales, cet
Lebosgue)
Opérations sur les ensembles. Leurs propriétés.
et la
m^E.
de ?n,E et
— Etant donnés
des ensembles E,, Eo,... les trois opérations
E,+E, + déjà définies
",
-E^,
E,
EiE......
consistent respectivement
26G),
n"
I,
[t.
à réunir les
:
points qui appartiennent aux ensembles Ej, E2,...; à retrancher de Ej
E^;
les points de
à
prendre
communs
points
les
à tous les ensembles
El, E^..,
ensembles E), E,,... sont mesurables, sans points communs
Si les
même domaine
compris dans un
et
rectangulaire R, les opérations précé-
dentes fournissent encore des ensembles mesurables.
On
en particulier
a,
m
I,
[t.
no 567)
+
(El 4- E.,
...)
:
=--
m
+ ui
Ej
E,,
+
••
de plus, E, est contenu dans Ej,
Si,
m Les ensembles que
—
(El
E.,)
= m Ej — m
E.^.
peut construire à l'aide d'une série dénom-
l'on
brable de ces opérations en partant de domaines rectangulaires, sont les
ensembles mesurables
(B), les seuls considérés par M. Borel. Les ensembles limites (complets ou restreints) d'une infinité dénom-
comme
biable d'ensembles Ej, Ej...
se définissent
(no 270). Ils sont mesurables
quand ceux de
rables.
a lieu, à leui' sujet, do rappeler le
y
Il
— Si 2Mrmi
THÊORioiE. xj
^
aura une ?nesure intérieure
mesures extérieures extérieure
On
^
tome
le
théorème suivant
!«''
mesu-
:
ensembles Ej, E^,... coinpris dans R,
les
^
en a une infinité de mesures intérieures
plet
dans
la suite sont tous
k.
—
S'il
y en a une
k, V ensemble limite restreint
infinité
comme au
\V
271 du tome
Application a la convergence.
I, le
— Soit
théorème suivant
f^, f^,... fn^...
une
:
suite de
un
fonctions de x^ y... convergeant vers une limite finie f'(x,y) dans
E
;
soit ensuite
E
des points de p)eiit
de
aura une mesure
^ k.
en déduit,
ensemble
il
Censemble limite com-
A,
qu'il soit,
oii
t
un nombre
Von a \
f
positif arbitraire et E,2 V ensemble
— fn ^ \
s.
A
tout
nombre
on peut faire correspjondre un nombre
m, En
91. Ensembles
fermés.
—
<
0,
si
n
N
tel
positif
8
si
que Von
ait
idées,
un
> N.
Considérons, pour fixer
les
enseynbte superficiel, c'est-à-dire un ensemble de points dans un plan.
Soient
E
cet ensemble fermé et borné ([)ar conséquent, compris dans
rectangle R) et
CE
son complémentaire.
un
105
FONCTIONS MESURABLES
Tout point donné de CE, étant à distance finie de E qui est fermé^ tombe à l'intérieur d'un carré formé exclusivement de points de CE. Il
CE comme
s'ensuit que l'on peut considérer
formé par
la
réunion d'une
dénombrable de carrés n'empiétant pas.
infinité
E
L'ensemble fermé
donc en retranchant de
s'obtient
R
les points qui
appartiennent à une infinité dénombrable de carrés. Donc
fermé
mesurable
est
Une conséquence suivante
à tirer de là et qui mérite d'être
remarquée
est la
;
Un ensemble fermé nulle
un ensemble
(B).
qui est de mesure nulle (B) est aussi (retendue
(J).
Soient, en eftet, aj, a^,... a„,... les carrés (et aussi les mesures des carrés) n'empiétant pas qui constituent
égale à CE, donc à R, puisque
E
est de
CE. La somme de ces carrés est mesure nulle (B). Couvrons R
d'un réseau à mailles rectangulaires infiniment petites
n
mailles qui tombent dans les «1
somme
Cette
CE; il
+
«2
finis «i, «j... a,j •••
+
:
ensembles à
somme
la
des
a pour limite
^n.
peu qu'on veut de R. Donc
E
par conséquent, celle de
et,
Si l'on envisageait des
de dimensions,
+
diffère aussi
l'étendue (J) de
carrés
R
est aussi
est nulle.
ou à un plus grand nombre
trois
faudrait, dans ce qui précède, remplacer les carrés par
des cubes et ainsi de suite. D'autre part, le théorème est encore vrai
po
ir
ensembles linéaires.
les
92.
Fonctions mesurables.
donc général.
est
Il
— Les
variable
seule
ensemble
E
[t.
La
n^ 272).
I,
de points {x, y,...),
E
où
> A
/"est
est
fonction /"sera
de plusieurs
mesurable dans
un
A)
un ensemble mesurable.
n'y a qu'une variable, la fonction
S'il
/"(^c, ?/,.,.)
conditions que celles d'une
l'ensemble
si
E(/-> des points de
fonctions
mêmes
variables sont mesurables dans les
elle est
mesurable superficiellement
rables
comme
est
mesurable linéairement;
y en a deux. Les somines, produits, quotients de fonctions mesurables sont mesudans
s'il
cas d'une variable.
le
fontions mesurables est mesurable
{t.
I,
De même,
toute limite de
n° 273).
Plus généralement, toute plus grande (plus petite) limite suite
(p,,
Pour
foï--- ?«>••• le
rable. Soit
semble
prouver, e
E
(
£i, Eo,... £«,...
l'ensemble il
est
faut établir
un nombre
positif,
que l'ensemble
E^
l'ensemble
E
E ($ >
(f^ limite restreint de la suite Ej, Ej,... En,... est
de l'ensemble Soit
il
E
*ï*
d'une
d^ fonctions mesurables est mesurable.
> A une
+
e) et,
e
-f- e).
L'en-
formé des points
peut être, de points de
suite de valeurs de
A) est mesu-
> A E
(
= A+
s).
tendant vers 0; on voit que
(>A) est l'ensemble limite de la suite Ee^, E.^,... Donc,
mesurable.
106
CHAPITRE
—
ÏII.
INTÉGRALES MULTIPLES DE LEBESGUË
Les fonctions contimces, les fonctions intégrahles au sens de Riemann, dérivées et les nombres dérivés de fonctions continues sont des fonc-
les
mesurables
tions
93.
B
n» 274).
I,
(t.
Propriété générale des fonctions mesurables.
—
Si la fonction
dans un ensemble bo7^né E, alors, quels que soient les deux nombres positifs z et w, on peut définir une fonction continue, (f, égale à f à moins de t près dans E, abstraction faite des f(x, y,...) est mesurable et bornée
points de
E
Comme
<
appartenant à un ensemble de mesure démonstration se
la
fait
Nous admettons que
considérons une fonction d'une seule variable x. l'ensemble
E
est
dehors.
égale à
auxiliaire
Nous supposons encore
Démontrons donc dans un intervalle
le
E
dans
/'
/"positif, toute fonction
deux fonctions mesurables
la différence de
ramenant à
intervalle, les autres cas se
d'une fonction
définition
la
un
w.
par analogie dans les autres cas, nous
à zéro en
mesurable étant
positives.
théorème pour une fonction positive
(a, b).
Partageons
par
celui-là et
et
bornée
de variation de cette
l'intervalle
fonction par une échelle
0, Soit
£,
2e,...
nt.
Ae,...
une fonction égale à kt dans l'ensemble contenu dans
(l'A
eA et égale à zéro
= E[Ae 0,
fonction f sera dite
/'j
en cela M. Lebesgue, nous n'avons appelé L'extension de la définition que nous adopnous parait présenter plus d'avantages que d'inconvénients. le
t.
jo/«»!aWe5 que tons
—
I
(n" 278), suivant
les fonctions
finies.
FONCTIONS d'ensemble MESURABLE
si
et fo
/",
Si la fonction
nous ne
lui
/'
f^
et alors l'intégrale de /"est,
et de
(^).
f.^
deux fonctions sommables,
n'est pas la différence de
attribuons aucune intégrale.
Remarques. que
E
sont tous deux sommables dans
par définition, la difFérenof^ de celles de
109
— Un simple passage à
la limite
montre immédiatement
du n" précédent subsistent pour les intégrales de
les propriétés I, II,
fonctions sommables.
La propriété IV de Vahsolue continuité s'étend fonctions sommables. Soit
£
un nombre
Il suflSt
Puisque
positif aibitraire.
peut prendre n assez grand pou
on
que,
/',i
/"est
comme
ci-dessus,
ait
Dans ce
cas,
+
î.
on a a fortiori, dans toute portion
[/(P)r/P< Donc, l'intégrale de
e
sommable dans E, on
étant défini
[aH)^/|'
Quand n tend
e^.
E
vers
k
est
un
coefficient
< —
une suite positive tendant vers 0, qui sont le centre d'un cercle de l'infini,
donc prendre n assez grand pour que pas borné^ on
E
^
de mesure supérieure à A(>nE),
soit
à l'aide d'un nombre
X)eut,
qui ne se touchent pas couvrir une portion de
S^,
mE
?nE,î tend vers
la différence soit
et S^j
on peut
;
k [mE
e/i
— me^ — me^ — — m e^•••
Cette parenthèse est positive (ou nulle), donc
longent indéfiniment, la srrie vers 0,
A
et,
E
la limite,
S
m eh
m 6^
1)
opérations se pro-
les
m e^ tend
donc
est convergente,
mE.
tend vers
donc recouvert à un ensemble de mesure nulle près
est
d'ailleurs, tous les
somme
H
par conséquent,
si
domaines employés étant
de leurs mesures est
< mA,
<
donc
/wE
;
compris dans A, la
isolés et
-\- z,
ce qui achève la
démonstration.
Remarque. mesure nulle
—
Lorsqu'une condition
réalisée. Ainsi, dans
recouvert.
E
à un ensemble de
réalisée
qu'elle est
presque
E
presque
cas précédent, nous dirons que
le
De même,
d'un ensemble
est
M. Lebesgue,
près, nous dirons, avec
une condition
si
est
pour tous
est réalisée
les
points
sauf dans un ensemble de mesure nulle, nous dirons
qu'elle est réahs^.e ^yresque pa7^iout dans E.
99.
Propriétés des nombres dérivés.
addïtive et absolument continue, (inférieur)
non
1° Si
positif piresque pjartout
fonction d'ensemble
dans un ensemble
e
est
un nombre positif ou nul, et
>
E.
On peut
e de mesui^e
un ensemble de points de
e'
attacher à chacun des points de
de cercles y aussi petits qu'on veut et
Or on peut, par l'aide de cercles y
non empiétants
me\
précédente pour tous ces tinue, F(e')
>
ait
et
dont
Additionnant
y,
il
somme
la
F
où
F(y)
>
t[m^(). e'
à
des mesures est
comprises dans la
les inégalités
vient, à la limite,
e
une famille
étant absolument con-
e(me').
Supposons d'abord tion e" de e, car e" et F(e")
qu'on
tels
e'
théorème précédent, couvrir presque tout
le
infiniment voisine de
DF
e
> 0; >
est
on voit que F(e") est dans un ensemble
e'
>
dans toute por-
formé de presque tout
= F(e') > 0.
Prenant ensuite e'
une
nulle, F(e) est positif
Soit
DF
DF
—
a son nombre dérivé supérieur
F',
£
assez petit pour que
DF
soit
de e de mesure non nulle, on a ¥{e)
> F(e') >
ce qui prouve la proposition.
e(me')
>
0,
>
e
dans une portion
-
DKRIVATION DES FONCTIONS d'kNSEMBLR
Dans
2° e,
les
mêmes
DF
30 Si
nul presque partout dans
est
effet, si
e
e, F[e) est
md.
une constante positive où négative intiaiment petite, te, ayant e pour dérivée presque partout, a le signe
est
z
+
la fonction F(e)
en vertu des deux règles précédentes, ce qui exige que F(e) =^ 0.
4°
F(e')
iS?'
=
dans toute portion
que partout dans
En e'
négatif presque partout dans
est
F(e) est négatif.
En de
DF
conditions^ si
113
dans
effet,
d'un ensemble
e'
e,
=
DF
pires
e.
cas contraire,
le
DF
de mesure non nulle où
devrait exister dans e un ensemble
il
même
aurait un
signe, auquel cas F(t'')
ne serait pas nul.
deux fonctions ¥et^ additives et absolument connombres dérivés supérieurs [inférieurs) satisfont, p}resque partout dans e, aux relations DF > D
[e) ou F(e) < (e). Pour démontrer la première
DF
ne peut être moindre que
relation,
—
quent positif presque partout, donc
ramène à
relation se
Dans
6° F(e)
=
En
mêmes
les
la
il
F
—
DF
conditions^ si
—
est nul
première en changeant
D
d'observer que
suffit
que
D ni
ou
positif.
(F
—
)
par consé-
D^I' et est,
La seconde
les signes.
= W^ presque partout^ on aura
DF
{e).
effet,
étant infiniment petit, la
e
peut avoir d'autre signe que celui de
donc F(e)
100.
—
(e)
=
z
fonction [F^e)
-f-
—
^t,']
(c')
ne
au vertu du théorème précédent,
0.
Définition (au sens général) des dérivées.
—
Dans un sens plus
général, les nombres déi'ivés d'une fonction d'ensemble
F
sont les plus grande et plus petite limites du quotient F(w)
au point
P
mw, où w
:
désigne un ensemble dont la mesure tend vers zéro, mais qui est astreint
à
la condition
cela,
du plus
P
petit cercle y de centre
avec mco, quand
vers
On
de faire partie d'une famille régulière.
par définition de ce mot, que
u>
verra plus loin que
Il
faut,
pour
rapport de la mesure de w à celle
qui contient w, ne puisse pas tendre
appartient à cette famille. le
sur la valeur de la
influer
le
choix de
la famille
d'ensembles w ne peut
dérivée que dans un ensemble de mesure
en résultera que toutes
nulle.
Il
d'être
mesurable demeurent vraies pour
les
proi)riétés la
du n" précédent
et celle
dérivée généralisée.
Cette conclusion trouve son pjincipe dans une remarque fondamentale qui résulte
immédiatement de
ensembles w
:
Si la dérivée
la
dune
condition de régulaiité imposée aux
fonction positive est nulle avec la
définition restreinte, elle reste nulle avec la définition généralisée.
En
effet, si
F(y)
:
w;
tend vers zéro et que ^ly
;
mw
reste
fini,
aura encore
8
on
.
114
CFIAPITUE
,.
— INTÉGRALES MULTIPLES DE LEBESGUE
111.
F((o)
F(y)^,.
my
F(y)
moi
miù
m'{
nuM
L'importance de cette remarque va apparaître
„
tout de
dans
suite
l'étude d'une fonction d'ensemble particulièrement simple, à laquelle se
rattache la définition de la densité (Lebesgue).
101.
Densité d'un ensemble
E
en un point.
— Soient E un ensemble
un ensemble variable, eE l'ensemble commun. Considérons
e
fixe,
la
fonction d'ensemble F(e)
^
}n(Ee).
Les nombres dérivés de cette fonction au point P sont supérieure et inférieure de l'ensemble leur valeur
commune
est la densité de
les densités
E au point P. Si elles sont égales, E au point P et celle-ci est déter-
DE
minée. Nous représenterons ces nombres respectivement par DE,
DE. La densité peut être, en même temps que la restreint ou au sens général. Au sens restreint, et
donc
la limite
du rapport de la mesui'e de
un cercle y de centre
P
au sens
dérivée, définie la densité
la portion
E
de
au point P
On
à la mesure de y quand y tend vers 0.
passe
à la définition générale en remplaçant la famille des cercles y par
famille régulière d'ensembles
to
(n" 100).
nombre dérivé ne peut varier qu'entre
une
D'après cela, la valeur d'un
et 1
Considérons les deux ensembles complémentaires entre leurs densités une relation fondamentale. soit
est
comprise dans
On
E
a,
et
en
CE.
Il
existe
quel que
effei,
l'ensemble w de mesure infiniment petite,
m(Ew)
Ainsi,
si le
m(C E.o^)
_
premier terme tend vers sa limite supérieure,
le
second
tend vers sa limite inférieure, et réciproquement. Par suite
DE Donc,
si
la densité
mentaire Vest aussi
4-
D(CE)
-
DE
d'un ensemble
et est le
+
D(CE)
=
1.
est déterminée, celle
complément de
la
du complé-
première relativement à
Vunité.
En
vertu de la remarque qui termine
égale à
avec la définition restreinte,
généralisée, donc la la considération
même
La
chose a lieu
si la
5/ la
densité est
encore avec ta définition densité est égale à
la
densité (au sens général) d'un ensemble
dans E,
effet, la
1
(par
proposition fondamentale suivante, qu'il
d'après cela, de démontrer pour la dérivée au sens restreint
pjartout
En
précédent,
du complémentaire).
Enfin nous avons encore suffit,
le n"
elle l'est
et
à
E
est égale
à
1
:
presque
presque partout hors de E.
fonction d'ensemble c,wi(e. CE), étant nulle dans toute por-
DÉRIVATION DES INTÉGRALES INDÉFINIES
115
tion e de E, sa dérivée (au sens restreint) est nulle presque partout dans
E
(no 99,4°).
En
E
et,
nulle dans
102.
d'autres termes, presque partout, la densité de (]E est
E
par suite, celle de
égale à l'unité.
—
Dérivée d'une intégrale indéfinie.
d'une fonction sommable
L'intégrale
indéfinie
a pour dérivée f{?) presque partout. de considérer l'intégrale indéfinie d'une fonction non négative,
Il suffit
/"(P)
¥{e)^\l[V^)dV Soit
un nombi'e positif arbitraire
£
2s,... y^e,... et soit
On peut décomposer semble e
;
donnons-nons une échelle 0,
l'ensemble des points
Cfi
F{e) dans
oii l'on
somme
la
^f<
kt
sl
ï,
(^-|-1)£.
de deux fonctions d'en-
:
+
F{e) =^ F{e ef,)
F[e{Cek)l
Mais Fle{Cefi)], étant nulle dans toute portion e de e^.a sa dérivée au sens restreint (n° 99), donc aussi au sens général (n» 100), nulle presque partout dans
Or on
par
a,
théorème de
=
F{eek) de sorte que DF(ee/{ égale à
la
ï)F{e
+ ^)t,m[ee„) (0 < 'J|/(P)-tI^P= Donc, c tendant vers
que
encore quel que soit c irrationnel.
y, «-ette
[/-(P'i-cl
+6(c_y).
/(P)
déiivée est |
—
yl-
soit
116
CHAPITRE
—
103. Théorème.
— INTÉGRALES MULTIPLES DE LEBESGUE
III,
Une
fonction d'ensemble additive et absolument
continue est la difféi^ence de deux fonctions de
même
nature non néga-
tives.
Considérons une fonction d'ensemble F{e) et l'un (au sens restreint)
DF
de ses nombres dérivés DF. Soit E, l'ensemble de points ou
où
celui des points
La
^
DF
fonction, étant additive, se décompose,
fonctions d'ensemble e
Mais
comme
suit,
il
en deux
;
^
¥{e)
F(eE,) \- F(eE,).
dans toute portion e de Ej, sa dérivée y est nulle
F(e'E2), étant nul
presque partout
> 0, E^
0.
nombre dérivé
(n° 99) et le
(positif
ou
nul) de F(e) est,
presque partout dans E,, celui de F(eE]). Ainsi F(eEi), ayant presque partout son
nombre dérivé
non
positive, ce qui
104.
Théorème.
prouve
—
En
et aussi nul
De même F(eE2)
(n° 99).
est
dans Ej,
une fonction
la proposition.
Une fonction d'ensemble additive
continue a une dérivée finie
grale indéfinie de
ou nul dans Ej
positif
une fonction non négative
est
et
déterminée presque partout
et
ahsolumeyit et est Vinté
cette dérivée.
vertu du théorème précédent,
il
suffît
de considérer une fonction
F(e) non négative.
Soit
DF
le
nombre dérivé considéré. Je
presque partout et sommable.
En
<
ou
DF
DF est
où à n selon que
(DF),j est bornée quel que soit n.
> Or
intégrale, ayant presque partout celle de F, ne peut surpasser
Ceci établi, on aura
F
F =JDF
effet,
dis
que ce nombre est
définissons (DF),,
n. Il faut
comme
fini
égal à
prouver que l'intégrale de
ceci est bien évident, puisque cette
une dérivée (DF)n non supérieure à
(no99). c?P,
puisque les deux membres ont
même
dérivée presque partout (n° 102).
Nous avons tives et
ainsi
démontré
absolument continues
105.
l'identité des fonctions
d'ensembles addi-
et des intégrales indéfinies.
Absolue continuité d'une fonction f[x). Condition pour que f{x)
—
La définition de la continuité absolue peut une intégrale indéfinie. s'étendre aux fonctions exprimées à l'aide des variables Xy y. Mais nous
soit
considérerons seulement
Une fonction (ViTALi) si la
f{x) dans
f{x)
somme
un nombre
le
cas des fonctions d'une seule variable x.
d'une seule variable
est
absolument continue
des variations (ou aussi bien des oscillations) de fini
ou une
ijifinité
dénombrable d'intervalles,
tend toujours vers zéro avec la somyne des amplitudes de ces intervalles.
Une est
fonction [{x) qui est absolument continue dans un intervalle [a fi)
nécessairement à variation bornée dans cet intervalle.
En
effet, si
l\x) n'était pas à variation bornée dans («,^), on pourrait diviser («, b)
T
RÉDUCTION DÈS INTÉGRALES DOUBLES
en parties aussi petites que l'on veut et
y aurait toujours au moins une
il
de ces parties aussi petites qu'on veut où
On
infinie.
serait
pourrait
totale de f (x)
la variation
indéfiniment
croître
faire
11
la
La ionction ne
cette partie, déjà aussi petite qu'on veut.
de
somme
des
eux-mêmes de
variations de f{x) dans un ensemble d'intervalles extraits
donc pas
jouirait
la propriété indiquée.
La
fonction, étant
à variation bornée, est l'intégrale indéfinie
Vil
dérivée, en vertu du théorème
De
là, le
La
théorème suivant
établi
dans
le
tome
I
de sa
(no 289).
:
condition nécessaire et suffisante
pour quune fonction
f{x) soit
Vintègrale indéfinie de sa dérivée considérée là où elle existe, est que cette fonction soit
Réduction des intég^rales doubles
% 5.
106.
— Soit
absolument contimœ,
Intégrale d'une fonction bornée dans
/'(a;,
un domaine
(). rectang-ulaire.
ou f[P] une fonction de deux variables, mesurable et
y)
bornée dans un domaine rectangulaire R. Nous supposons, uniquement
pour simplifier
l'écriture,
les valeurs
1
et
Théorème.
de
a;
que ce rectangle de mesure
]
est
borné par
de y.
et
— La fonction
une fonction mesurable (linéaipour chaque valeur de x entre et \, qui apiMrtiennent à un ensemble de mesure nulle. /(a?, y) est
rement) de
la seule variable y,
sauf pour
celles
Abstraction faite des points de cet ensemble Vintègrale ,
r f[x, est
une fonction mesuy^able de x
dy
y)
Von a
et
{[[Y^)d?=-[dxÇf{x,y)dy, jR
En
d'autres termes,
Jo le
Jo
second membre se calcule en annulant
(f
d^
aux points x où cette intégrale n existerait pas et qui forment, au plus, un ensemble linéaire de mesure nulle. Nous démontrerons ce théorème 1° pour une fonction qui ne prend :
que deux valeurs
;
2° pour une fonction qui ne prend qu'un
nombre
limité de valeurs; 3° pour une fonction quelconque.
Premier
— Soit
cas.
d'abord
prend que deux valeurs dans
6(a;,
y)
ou 6(P) une fonction qui ne
rectangle
le
toujours admettre que ces valeurs sont
R,
on peut
et 1 ("), à
évidemment
savoir la valeur
1
(1)
Toute cette théorie s'étend d'elle-même aux intégrales d'ordre quelconque.
(^)
En
valeurs
ettêt, si
et
1
/'
prend
et le
les valeurs
théorème
vrai
/j
et
pour
/;,,
la
fonction
celle-ci sera
/-^^/ne prendra que h— h
encore vrai pour
/'.
les
— U8
CHAPITRE
dans l'ensemble
CE
E
III.
— INTÉGRALES MULTIPLES DE LEBESGUÉ mE
de mesure
dans
et la valeur
le
complémentaire
(relativement à R).
E dans une infinité dénombrable de rectangles aj, a^,... non empiétants, contenus dans R. Désignons par (->,i{x, y) une
Enfermons «„,...
fonction
hors de
égale à
:
moindres, mais égale à
1
contour des éléments a d'indices
et sur le
a,j
en tout autre point de
a,(.
Désignant aussi par
«n la mesure du rectangl^^, on aura
dx\
=^\
a,i
e,i {x
yyy-
+
+
Sommons
+
••• par rapport à w; la fonction ©i ©2 ®n> étant 1 quels que soient x, y, n, est essentiellement bornée,
ou à
égale à
son intégrale relativement les signes
(n" 93, V).
J
Il
à
y aussi
;
nous pouvons donc sommer sous
vient ainsi
!:«„ -- \'dx
Faisons maintenant tendre
p(ve„
mesure
la
)
dy.
Sa,j de
est égale à
1
dans l'ensemble des a et à
mE
l'ensemble des a vers
par une réduction continue de l'ensemble des
a.
La
fonction
en dehors (donc
XB»,
> 6),
qui
sera
constante ou décroissante en chaque point et tendra vers une limite B'
ou à
égale à
1,
mais toujours
>
9.
Les fonctions sous
signes
les
I étant essentiellement bornées, on peut passer à la limite sous ce signe dans la dernière équation, ce qui donne
mE =\{\jx\'Q'dy, dx Q'dy, \
On prouve de même que ou à
1, telle
qu'on
En
6.
0"
peut définir une fonction
l'on
égale à
ait
= Çdx f (1 —
w(CE)
B'^
JO
'o
0") dy,
1
_ 0" >
1
mem-
ajoutant ces deux équations et retranchant l'unité des deux
bres, on voit que l'on a
= Ainsi
:
1") la
Çdx
('(()'—(-)" )di ly,
B'
> e > ()":
fonction de x^ essentiellement positive, [(Q'
Q")dt/,
ayant son intégrale nulle, est nulle elle-même sauf pour un ensemble de valeurs de
x
de mesure nulle
contenues dans X,
la
;
2°) abstraction faite des valeurs
fonction de y, essentiellement positive, 0'
de
X x
— 0"
ayant une intégrale nulle, s'aunuUe elle-même presque partout, donc 0' 0" et, par suite, 0' 0" ^- 6 presque partout, et est fonction
=
mesurable de y avec 0'
=
et
0"
(qui sont mesurables B),
il9
JtÉDUCtlON Ï)ES INTÉGRALES DOUBLES
En
définitive, abstraction faite des valeurs de
semble
X
x
contenues dans
l'en-
de mesure nulle, on a
Çirrcly =^^\cly', ,'0 ^O et,
en négligeant ces valeurs de
= [dx
mV.
D'aillleurs
wiE est égale à
x
dans l'intégration,
Ç^Vdy=^\lx 8(P)(iP
formule relative au premier cas
Ç^dij.
par définition, ce qui
établit
la
:
C6{P;^P =['dx\\[x,y)dii. .'R
,'o
Jo
—
Considérons une fonction f(x, y) qui ne prend qu'un Deuxième cas. nombre limité de valeurs différentes dans le rectangle R, par exemple les valeurs l^, h,... Ih,... l)i.On peut considérer /"comme la somme de w fonctions /"j, /"g,... fh,-.- fn, l'une d'elles fii ne prenant que deux valeurs il demeure donc et Ih. Le théorème est vrai pour ciiaque fonction- /}( ;
vrai pour leur
somme.
Troisième cas.
— Considérons
où f{x,
enfin le cas général
y) est
une
Nous pouvons déterminer une ne prend qu'un nombre limité de valeurs
fonction bornée et mesurable quelconque. fonction mesurable
F (a;,
y) qui
f de moins de e. Il suffit pour cela de se donner une échelle liJr-if.'. croissant par degrés < î et de prendre, pour chaque valeur
et diffère de ...
li,
de l'indice
Dans
i,
F^
égal à
li
f F(P)c/P JR
Donnons maintenant à vers
^ <
dans l'ensemble E(4
/"
lin).
ce cas, on a, par la démontration précédente,
;
membre,
la
F
fonction
-=(dx CF{x,y)dy. Jo
Jo
une suite dénombrable de valeurs tendant donc, au premier tend uniformément vers £
/",
/{P)dP.
l'intégrale double tend vers celle de
D'autre part, au second membre, pour chaque F{x, y) est fonction mesurable de y sauf pour un ensemble E. de valeurs de x de mesure nulle; donc, quel que soit s, F(^, y) est fonction mesurable de y, sauf dans un ensemble E SEs de valeurs de x de mesure nulle. Dans le £_,
^
complémentaire de cet ensemble, on de
F
a,
sans
difficulté, la
convergence
étant uniforme,
dxl F{x,y)dy^\
lim
JCE
Jo
,'CE
dxi f{x,y)dy. Jo
Donc, à condition de négliger cet ensemble
E
de mesure nulle,
120
CHAPITRE
III.
— INTÉGRALES MULTIPLES DE LEBESGIE
f/(H)^^P=-jW|V(-^,.VKi/. .'R
On
au théorème suivant
est ainsi conduit
107. Théorème
:
— Si
de Lebesgue-Fubini.
f{x, y)
fonction mesurable (superficiellement) et bornée dans
/(Pj est une
oic
un ensemble borné
E, on a
{j{V)dP=^dœ^i{x.y)dy^[dy les intégrales intérieures
de
E
—
x
j)ar les droites
\f[x^y) dx,
étant effectuées respectivement sur les sections
x ou y
mais
'^ y^
il
faut faire abstraction des
sections sur lesquelles les intégrales n'existeraient pas. Cela revient
d supprimer de E un ensemble (supjerficiel) de poitits de mesure nulle, ou encore à anmder f aux points d\m ensemble (superficiel) de mesure nulle.
Ce théorème
se
ramène au précédent. Supposons
E
contenu dans
rectangle R, limité par les abscisses «, b et les ordonnées /'i
—
/dans E
et ==
en dehors
;
on
a,
c,
le
d. Soit
par ce qui précède,
/.
E
à condition de négliger les points de
sections définies par des valeurs de bles linéaires de
mesure
superficiel de points de
a;
qui se trouvent sur certaines
ou de
«/
appartenant à des ensem-
nulle, ce qui revient à négliger
mesure
un ensemble
La formule précédente
nulle.
est d'ail-
leurs équivalente à colle de l'énoncé, lequel est ainsi démontré.
Nous
allons maintenant passer à la considération des fonctions et des
ensembles non bornés, mais auxiliaire très important
il
nous faut d'abord établir un théorème
:
—
Soit Yn[oc) une fonction de x positive, mesurable 108. Théorème. dans Vensemble E borné ou non. Si c'est une fonction non décroissante oo, de l'indice n qui teyid vers une limite fi.nie ou infime ¥{x) pow»' w on a toujours, les deux membres étant égaux ou tous deux infinis,
=
lim r Vn [x]
dx
=^
n = y. Je
Supi6
^ Comme
^'.
+
'^
— «')" — (1
(1
?/)
d'ailleurs l'intégrale ci-dessous
"T tend vers
+
A^''
)
I
— REPRÉSENTATION ANALYTlOUE DES FONCTIONS
IV.
I
/"(a;, t/),
/'(^%
)
- ^*')"
(1
dv.
:
—
(*
î'-')"
f^«
^^^',
de montrer que la différence des deux tend
suffit
il
.V>
du
v-f'
vers zéro. Posons, pour simplifier,
- f{x +
T (w, v)
des deux intégrales se décompose
difiérence
la
somme
— r(x, y)
-h u)
t^, î/
;
comme
il
suit
dans
de quatre intégrales (dues aux quatre combinaisons des signes
^ ^^
T
(
I
(
t
±
"i
—
y) (1
^('-}''
(1
la
±)
:
— v^y^ du dv.
kn Jo Je
Nous
montrer que
allons
en tout point œ, y
/,
celée
que
tel
somme
cp
II soit nidle
an point u où
tout jjoint
quelque
soit c,
=. v
--^
—c
J'[x, y)
I
\
tend versO, donc que P,j tend vers
de V intégrale indéfinie en u, v
la dérivée
v)
{ti,
I
I
0.
Comme
est
du
dv,
cette
condition
se réalisera en
dérivée de son intégrale indéfinie
la
donc presque partout
théorème de M. Tonelli
(no 102), le
sera établi, l'our que la dérivée en question soit nulle au point u 0,
faut
il
signes
±)
=
v
—
que chacun des quatre rapports (dus aux combinaisons des :
ru ru
1
\
on peut
M. laisser
m
remplace
l'on
|)4 par
tomber la condition que
m+
l'intéyrale précédente et qu'on fasse la différence,
——
transformé sin {m-\-^-\
-
,
a
—
sin
(
m
—^
-\
()
(0
<
<
4) dans
on trouve, après avoir )
a
en produit,
145
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
9 r^ cos TZ
Donc
m
[
comme
dente
pour
m
infini
d'après
du n° 132.
Posons, en vue de simplifier l'écriture,
m tend
a
I
uniformément vers
cette différence tend
les conclusions
quand
—~—
-f
Jn
vers suit
il
m
-~
-[-
= -^,
o
nous pouvons encore énoncer
l'infini,
tendant vers
la règle précé-
:
—
La condition nécessaire et suffisante Second énoncé de la règle. pour que la série de Fourier de f[x) converge [uniformément) vers S est que, quel que soit oj j^osiiif, on puisse lui faire correspondre deux nombres
positifs
— 1
,,_.
(12)
f^
,
,
Tiix
.
de module
136.
<
w pour
da.
a
toute valeur positive de
Modification de cette règle au cas où
1
f'cp (a
t:
K
Il suffit
+
on peut
^
'
+ — '-^^ SUl -,!p(a)
ô)
-'-'^
(14)
.
a
Tra
c/a.
o
on passe de (12) à (13) en négligeant une intégrale inférieure
à la suivante, qui, pur hypothèse, tend (uniformément) vers
a en a
e,
:
o?a
I
-
<
supposé
second énoncé de la règle précédente, Vintégrale (12)
par Vune des deux suivantes /iQ\
le dira plus loin (n» 138).
donc de justifier 8 et
le
décomposons
avec
ô,
passage de (13) à (14). Changeons dans (13)
(13) en trois autres intégrales
;
il
vient suc-
cessivement 1
p-%(a
+
8)
.
i:a
^
1
f
,
1
f'
l
(^
10
146
CHAPITRE
La dernière tp(a
:
,
.,
doL
avec
vers
8.
on peut poser,
8,
D'autre part, dans u)
tendant (unifor-
z,
fp(a
-j- 8)
<
(ij
(a 4-
<
8)
2wa.
Cette intégrale est donc moindre que
4
oj8 8 Ç'da.
quantité aussi petite qu'on veut avec
,
w
w (donc avec
Généralisation du théorème précédent. condition, on peut aussi, dans
le
t)
quel que soit
— Toujours sous
— f".„ A« Ici
,
'*(a
En
.
sin
^— r.oL
A"«p désigne la différence
suite d'accroissements A'^(a)
,
=
cp(a
8.
Ainsi
+ — '^(a),... 8)
même
second énoncé du n° précédent, rem'
placer V intégrale '12) par n importe laquelle des suivantes 1
la
8.
da
:
(n--l,2,3,...)
n^^'"-^
de
'f(a)
quand on donne à
a
une
:
A«
'i(a)
^
A"-*
a>(a
+ — A"-Xa),... 8)
on passe de (13) à (14) en démontrant qu'il est permis de remplacer, dans (13), 'f(a) par sa différence. Or on peut reproduire une effet,
démonstration toute semblable pour passer d'une différence d'ordre quel-
conque à
la suivante.
On
observe, à cette
fin,
que A"
'f
(a) est
une somme
147
SÉRIES TRIGONOMfiTRIQUES
de termes de la forme
de
cp(a -f-
>
^Ô) et possède (a étant
les propriétés
5)
qui ont été utilisées pour faire ce passage.
cp
§ 4.
Critériums classiques de convergence des séries de Fourier.
Donnons d'abord quelques
137.
définitions générales
Points de discontinuité de
à variation bornée.
!'«
une
—
limite finie fix^
+ 0)
espèce. Points réguliers. Fonctions
— Nous disons, avec M. Lkbesgle, que
un point de diaconlinuité de première
autre f{Xo
:
0)
espèce de f[x)
quand x tend vers x^ en
quand x tend vers
le
croissant, et
en décroissant.
a'o
point x^ est
cette fonction a
si
Si
une
ces deux
limites étaient égales, la fonction serait continue au point x^.
Nous dirons encore, avec M. Lebesgue, que point régulier
si
— 0)
f{xQ
moyenne arithmétique. En
et f{Xo
+ 0)
le
point x^ est un
existent et que f{Xo) soit leur
particulier, tout point
où
continue est
/"est
régulier.
Les points de discontinuité d'une fonction bornée non décroissante (ou
non croissante) sont toujours de première espèce, en vertu d'un
principe général de
théorie des limites
la
n° 16).
(t. I,
Ihie fonction à variation bornée(^)est, par définition, la difiérence
deux fonctions
cp
et
bornées
4'
et
non décroissantes.
de
Elle ne peut d-onc
avoir que des points de discontinuité de première espèce.
Une
fonction continue à variation bornée dans un intervalle
dans cet intervalle,
est aussi,
continues et non décroissantes
la (^).
difiérence de deux fonctions
En effet,
(a, b)
-f
et | n'étaient pas
si 'f
et
']/
con-
mêmes en chaque point de dissomme de ces oscillations en tous
tinues, leurs oscillations seraient les
continuité. les points
Appelons alors w
les fonctions
On
la
de discontinuité entre a cp
—w
et
']>
aux deux premières
les substituerait
de a
et x, à droite
— w seraient continues
et
et à
gauche de x;
non décroissantes.
et la diff'érence
ne serait pas
changée. Dirichlet, qui
a
traité le
premier rigoureusement
séries de Fourier, a considéré des fonctions
de maxima
nombre
limité
satisfont
aux conditions de
et
de minima. Ce sont
Dirichlel. Elles sont
la
théorie des
bornées n'ayant qu'un les fonctions qui
évidemment
à variation
bornée. (')
L'étude des fonctions à variation bornée a été
fondie dans (2)
Cf.
M,
le
tome
no 351,
I,
Chap. IX.
60.
§ 3.
failo il'une
manière appro-
148
CHAPITRE
138.
IV.
— REPRÉSENTATION ANALYTIQUE DES FONCTIONS
—
Choix de S.
Pour
fondions dont nous venons de
les
parler, on peut choisir la détînition de la quantité S qui entre dans la détlnition de o{ol), à savoir -=
(a)
+
/-lA-
'f
de manière que
+ l[X —
=
est infiniment petit d'ordre r la
série de
particulier, l'intégrale existe si
quand
a
tend vers
Fourier converge en tout point x
f{x) soit infiniment petit d'ordre r
>
pour a
^-^
0.
tel
0.
que l\x
En
+ a)
particulier,
toute {onction dérivable est représentable en série de Fourier.
140.
Second critérium (C. Jordan).
converge dans tout bornée.
De
intervalle, si
— La
série de Fourier de [{x)
petit soit-il, oit
plus, la convergence sera uniforme
La somme S de
rieur à un intervalle de continuité.
en tout point régulier
;
f{x)
est à
variation
dans un intervalle la
inté-
série sera f(x)
en un point de discontinuité, ce sera
f{x-i-0)
+
f{x-0)
'2
Remarquons que condition de
la
si /"est
règle du
ii"
à variation
135 se
bornée, o
vérifie
l'est aussi.
Or,
pour deux lonctions,
si la
elle se
l49
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
vérifiera
sant
pour leur différence.
m+j
par
donc de
suffit
Il
non décroissant. On
positif et
tp
transformant par
k, et
If',.. 9(a) " sm 7t
,
second théorème de
le
rfa
/ta
œ(e) f^sin^-a
=
-!-^-^
a
jo
en suppo-
la vérifier
dans ce cas, en remplaçant
a,
T^
moyenne,
la
,
doL.
a
Ji'
Cette quantité est de valeur absolue moindre que 1
La condition de
=
/(^
I
I
>
f^ sin a
,
f{^)\\^
—^dcL
View more...
Comments
