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Chapitre 3 : Dimensionnement de la précontrainte

Au contraire des ouvrages en béton armé, le dimensionnement des structures en béton  précontrainte est es t effectué ef fectué pour satisfaire satisf aire les le s conditions aux états éta ts limites de service (ELS) qui sont souvent les plus critiques par rapport aux ELU. Par la suite, on effectue les vérifications aux états limites ultimes (ELU). Dans le cas où la vérification par rapport ELU n’est pas respectée, les armatures passives seront ajoutées pour assurer ces conditions aux ELU.  Dimensionnement de de la section d’une d’une structure isostatique 3.1 

Dans cette section, on étudie le dimensionnement simplifié d’une section de la structure isostatique. Considérons une section bruite, dont les caractéristiques sont les suivantes : la surface  Acb , le moment d’inertie

 I cb ,

les distances de la fibre supérieure et de la fibre inférieure V  s , , V i . La

section est subie les moments extérieurs  M min , M max max avec  M max max

 0 (dans

le cas inverse, on

 peut retourner la section secti on pour avoir cette hypothèse). h ypothèse). De plus, le comportement des matériaux est supposé élastique linéaire et les limites de contrainte pour le béton sont  f  t      f  c L’objection du dimensionnement consiste consis te à déterminer la force de précontrainte  P  et son excentricité e0 (par rapport du centre de gravité de la section) d’un  d’un  câble moyen fictif. Ce dernier concept désigne un câble équivalent dont l’effet l’effet est le même que celui du du système des câbles de précontrainte dans la section (figure 3.1).

(a)

(b)

Figure 3.1 : Système des câbles de précontrainte (a) et câble moyen fictif (b) Les conditions des limites de contrainte pour le béton nous donnent : - sous le moment extérieur  M min en fibre inférieure : 

 f  t  

 P   Acb 

 f  t  

 P   Acb



 P  e0  V i  I cb



 M min  V i  I cb



f  c

(3.1)



f  c

(3.2)

en fibre supérieure : 

 P  e0  V  s  I cb



 M min  V  s  I cb

- sous le moment extérieur  M max 

en fibre inférieure :

34

 f  t  

 P   Acb

 P  e0  V i  I cb



 M max  V i  I cb



f  c



f  c

(3.3)

en fibre supérieure :



 f  t  



 P   Acb



 P  e0  V  s  I cb



 M max  V  s  I cb

(3.4)

Dans ces inégalités, les contraintes et les déformations du béton sont positives lorsqu’il s’agit de compressions et de raccourcissements. En plus, un moment fléchissant est positif s’il tend à comprimer la fibre supérieure d’une poutre et à tendre la fibre inférieure. Comme le moment  M max est positif, on obtient donc les inéquations suivantes :

 P 



 Acb  P 



 Acb  P   Acb



 P 



 Acb

 P  e0  V  s  I cb  P  e0  V  s  I cb  P  e0  V i  I cb  P  e0  V i  I cb









 M min  V  s  I cb  M max  V  s  I cb  M min  V i  I cb



 f  t 

(3.5)



 f  c

(3.6)



 f  c

(3.7)



 f  t 

(3.8)

 M max  V i  I cb

La soustraction des relations (3.6) - (3.5) et (3.7)-(3.8), nous donne les inéquations ci-dessous qui constituent les conditions minimales pour la secti on du béton :

V  s  I cb



 f  c   f  t   M max  M min

(4.9)

V i  I cb



 f  c   f  t   M max  M min

(4.10)

Ces deux inégalités conditionnent la section choisie de la structure et elles ne dépendent que de la différence entre les moments fléchissant, les limites de contraintes du béton et non pas de la force de précontrainte. Dans le cas où ces conditions ne sont pas vérifiées, la section du  béton doit être changée. Le développement de deux inéquations (3.5) et (3.8) montre que :  1 

 f  t   I cb  P  V i



 I cb  Acb  V i



 M max  P 

 e0 

 I cb  Acb  V  s



 M min  P 



 f  t   I cb  P  V  s

Cette relation  présente un encadrement pour l’excentricité

  2

e0

(3.11)

du câble moyen fictif si la

valeur de  P   est fixée. Cet encadrement [ 1 ,  2 ]  est appelé le segment de passage de traction dans lequel se trouve le câble moyen fictif car il est calculé à partir de la contrainte limite de traction. Un autre segment dont l’usage est moins fréquent appelé noyau limite de compression peut être obtenu en développant les inéquations (3.6) et (3.7) :

35

 3



 I cb  Acb  V  s



 M max  P 



 f  c  I cb  P  V  s

 e0 

 f  c  I cb  P  V i



 M min  P 



 I cb  Acb  V i

  4

(3.12)

Les inégalités (3.11) et (3.12) conditionnent la position du centre de pression qui doit appartenir à l’intersection [1 , 2 ]   de ces deux segments ( [1 , 2 ]  [ 1 ,  2 ]  [ 3 ,  4 ] ). Ce dernier [1 , 2 ]  est le segment de passage au sens strict. Dans la pratique, et surtout pour le pré-dimensionnement, seule la notion de segment de  passage de traction est exploitée pour définir la précontrainte et son excentricité. Pour que ce segment de passage soit ouvert, il est nécessaire que le terme à gauche de (3.11) soit inférieur à celui à droite. Il conduit :

 P    P  I  

( M max  M min )   Acb  V i  V  s

 I cb  (V i  V  s )

  Acb  f   t 

(3.13)

Si  P    P  I  le segment de passage se réduit à un point En pratique, la position du câble doit être suffisante pour un enrobage minimal des câbles. Dans ce cas, l’excentricité du câble vérifie la condition :

e0

 V i  d i

Où

d i

(3.14)

la distance minimale entre le câble et la fibre inférieure du béton.

A partir de la condition suivante :

 f  t   I cb  P  V i



 I cb  Acb  V i



 M max  P 

 V i  d i

(3.15)

on obtiendra l’inéquation :  M max   P    P  II  

 I cb  Acb  V i

 f  t   I cb V i

(3.16)

 V i  d i

Si  P    P  II  le segment de passage se réduit à un point où e0 En général, on calcule deux valeurs de

 et  P  II  .  P   I 

 et  P  II   P   I 

 V i  d i

et puis la valeur minimale de P est le maximum

On distingue les cas suivants :

- Si  P  I   P  II   : la section est dite sous-critique. Dans ce cas tout le segment de passage est à l’intérieur de la zone qui permet un enrobage suffisant. - Si  P  I   P  II   : la section est dite sur-critique. Dans ce cas le segment de passage découpe la zone d’enrobage - Si  P   I   P   II   : la section est critique.

36

Figure 3.2 : Notion de section sous critique, section critique et section sur-critique. L’ensemble des segments de passage obtenus sur tout l’élément s’appelle le fuseau de passage (figure 3.3). Pour que les contraintes limites soient respectées partout et sous tous cas de charge, il faut que le câble fictif soit à l’intérieur du fuseau de passage. Cette condition est vérifiée même dans le cas où quelques câbles peuvent être mis physiquement à l’extérieur de cette zone.

Figure 3.3 : Fuseau de passage des câbles.

3.2 Dé marche ité rati ve pour le dimension nement La procédure présentée au-dessus permet de déterminer la précontrainte et la position du câble moyen fictif (et donc du système de câbles) à chaque section. Néanmoins, elle ne nous donne  pas les informations concernant la force à mettre en œuvre au niveau des ancrages et donc les calculs des pertes de précontrainte ne pourront pas être réalisés. En pratique, le dimensionnement est effectué suivant une démarche itérative par les étapes suivantes: - étape 1 : on détermine les conditions minimales (les inégalités 3.9 et 3.10) et puis décide la section choisie du béton - étape 2 : on estime la position et la force pour la section à mi travée de la poutre. Pour cela, on calcule deux valeurs  P  I   et  P  II  et puis la valeur minimale de P est le maximum de  P  I   et  P  II  . Puis la force à mettre en œuvre au niveau des ancrages est déterminée au moyen de  pourcentages forfaitaires de pertes de précontrainte. Les valeurs de ces pourcentages forfaitaires peuvent être prises de l’ordre de 10% pour les pertes instantanées et 25% pour les  pertes totales à long terme. - étape 3 : à partir de cette force de précontrainte au niveau des ancrages, on calcule le type et le nombre de câble. - étape 4 :  la valeur de la force de précontrainte déterminée à mi travée en étape 2 est considérée constante pour calculer l’excentricité dans les autres sections qui permet de déterminer le fuseau de passage et donc de choisir le tracé du câble fictif. - étape 5 : on calcul ensuite les pertes de précontrainte et effectue les vérifications de chaque section (ces vérifications seront présentées dans les chapitres suivants).

37

- étape 6 : Si une condition n’est pas respectée, on peut modifier le tracé (étape 4), voire le nombre de câbles (étape 3) et reprendre les vérifications (étape 5). En cas de nécessité, on  peut modifier également la géométrie de la section du béton (étape 1). La procédure du dimensionnement de la structure en béton précontrainte est résumée sur le diagramme suivant :

Figure 3.4 : Diagramme de la procédure de dimensionnement de la structure en béton  précontrainte

3.3 Dé termi ner la f or ce de pr é contr ai nte au niveau d’ancrage et l’excentricité àmi tr avé e Dans cette partie, on introduit de manière plus détaillée la méthode pour le calcul de la force de précontrainte au niveau d’ancrage et l’excentricité à mi-travée d’une poutre en post tension ce qui correspond à l’étape 2 de la partie précédente. On considère qu’à la mise en tension des câbles, la poutre est subie seulement d’un moment fléchissant  M  g  dû au poids propre avec la force de précontrainte  P 1   à mi travée. Les contraintes critiques dans la section comprennent la contrainte en compression pour la fibre inférieure et la contrainte en traction pour la fibre supérieure. Les conditions des contraintes limites nous donnent : 

en fibre inférieure :

  P max    p ,sup

 Acb 



  P max    p ,sup  e0  V i

 I cb



 M  g   V i  I cb



 f  c1

(3.17)

en fibre supérieure :

38

 f  t 1 

  P max    p ,sup

 Acb



  P max    p ,sup  e0  V  s



 I cb

 M  g   V  s

(3.18)

 I cb

Où  P max : force de précontrainte à mettre en œuvre au niveau des ancrages

    P 1 / P max  0.9  : valeur choisie en tenant compte les pertes instantanées de la précontrainte qui correspond à une valeur forfaitaire de l’ordre de 10%.  P k ,sup    p ,sup  P 1  : valeur caractéristique de la précontrainte avec   p ,sup  1.1  f  t 1 , f  c1  :les contraintes limites en traction et en compression du béton au moment de la mise en œuvre de la précontrainte. De la même manière, en phase de service, on considère que la poutre est subie d’un moment fléchissant  M  s   à mi-travée en ajoutant à la phase précédente les actions d’exploitations variables ( M  s

  M  g   M q ).

La force de précontrainte est

 P 2 qui

tient en compte en plus les

 pertes différées de la précontrainte. Les contraintes critiques dans la section maintenant consistent la contrainte en compression pour la fibre supérieure et la contrainte en traction  pour la fibre inférieure. On obtient donc les inégalités suivantes: 

 f  t 2





en fibre inférieure :     P max    p ,inf 

 Acb



    P max    p ,inf   e0  V i

 I cb



 M  s  V i

(3.19)

 I cb

en fibre supérieure :

    P max    p ,inf 

 Acb Où      P 2 / P max



    P max    p ,inf   e0  V  s

 I cb

 0.75   :



 M  s  V  s  I cb



 f  c 2

(3.20)

valeur choisie en tenant compte les pertes totales de la précontrainte

(pertes instantanées et pertes différées qui sont de l’ordre de 25%).  P k ,inf     p ,inf   P 2  : valeur caractéristique de la précontrainte avec   p ,inf 



0.9

 f  t 2 , f  c 2  : les contraintes limites en traction et en compression du béton déterminées en phase de service. La combinaison des inégalités déduit les conditions minimales pour la section du béton :

 I cb V i

 M q 

 (1 

      p ,inf      p ,sup

      p ,inf      p ,sup

)  M  g  (3.21)

  f  c1   f  t 2

39

 I cb V  s

 M q

 (1 



 f  c 2 

      p ,inf      p ,sup

      p ,inf      p ,sup

)  M  g  (3.22)

  f  t 1

On remarque que dans ces deux dernières inéquations, l’effet du poids propre sur les       p ,inf  conditions minimales de la section du béton est faible car la valeur  0.7 . En     p ,sup  pratique, pour simplifier le calcul de la section du béton, on peut négliger l’effet du poids  propre dans ces deux inégalités dans un premier temps. Une fois que la section est choisie, le  poids propre peut être rajouté pour vérifier les conditions minimales de la section. En outre les inéquations de (4.17) à (4.20) peuvent être réécrite s comme les suivantes :

e0

e0

e0

e0









 I cb V i  I cb V  s

 I cb V i

 I cb V  s

( f  c1  M  g   [

V i  I cb

) 

    p ,sup

( f  t 1  M  g   [

V i  I cb

[





V  s  I cb

      p ,inf 



1

 P max

)

      p ,inf 

( f  c 2  M  s 

 P max

)

 I cb

    p ,sup

( f  t 2  M  s  [

V  s

1

1

 P max

) 



1

 P max

1

 Acb



1

 Acb

1

 Acb



];

(3.23)

];

];

1

 Acb

(3.24)

(3.25)

];

(3.26)

Ces dernières relations de (3 .23) à (3.26) présentent les quatre inégalités linéaire entre

e0

et

1 / P max . Quand on trace les courbes linéaires correspondantes aux quatre équations en prenant le signe d’égalité pour les relations de (3.23) à (3.26), ces dernières définissent une zone dans laquelle l’excentricité e0 et la force de précontrainte  P max   peuvent être choisies. Ce diagramme dite le diagramme de Magnel permet donc de définir la zone faisable pour le choix de e0 (segment de passage pour la section à mi-travée) et  P max (force de précontrainte au niveau d’ancrage). Pour la raison d’économie, l’excentricité est choisie maximale possible (en considérant un enrobage minimal des câbles) et donc la précontrainte  P max  sera minimale.

40

Figure 3.5 : Diagramme de Magnel. On peut également déterminer  P max  suivant le segment de passage de traction :

 I cb [ V i

 P max

( f  t 2  M  s 

V i  I cb

) 

      p ,inf 

  P   I  

1

1

 P max

 I   ]  e0  cb [  Acb V  s

V  s ( f  t 2   M  s 

 Acb (V i  V  s )

[

V i  I cb

      p , inf 

( f  t 1  M  g  



 I cb

     p ,sup

V i ( f  t 1  M  g  

)

V  s

     p , sup

V  s  I cb

) 

1

 P max



1

 Acb

];

(3.27)

) ];

(3.28)

Condition d’enrobage :

 I cb V i

( f  t 2   M  s  [

V i  I cb

      p , inf 

) 

1

 P max

( f  t 2   M  s 

 P max

  P   II  



V i )  I cb

      p , inf 

1

 Acb



(

]  e0

 V i  d i ;

1 V i (V i  d i )

 I cb



1

 Acb

(3.29)

;

(3.30)

)

Donc la force de précontrainte choisie au niveau d’ancrage  P max



max( P  I  , P II  ) .

41