Cours Rl

La bobine et le circuit RL A- La bobine 1-Connaître la bobine Une bobine est un dipôle constitué généralement par un enroulement cylindrique dans le même sens, de fil (L,r) conducteur recouvert d'une gaine isolante symbolisée par r L 2-Le courant induit A B A B a- Expérience Instruction : Déplacer l’aimant à l’aide de la souris (Laisser le bouton gauche appuyé)

Réaliser l’expérience b- Constatation : L’aiguille du galvanomètre ne dévie que lorsqu’on déplace l’aimant (On fait varier le champ magnétique à l’intérieur de la bobine ) c- Conclusion : Toute variation de champ magnétique à proximité ou à l’intérieur d'une bobine en circuit fermé produit un courant électrique appelé courant induit. Si ce champs magnétique est créé par le courant qui traverse la bobine, le courant induit est appelé : courant d’auto-induction Remarque : L’aimant s’appelle l’inducteur et la bobine s’appelle l’induit 3-Comportement du courant induit (La loi de Lenz ) a- Expérience Instruction : Déplacer l’aimant à l’aide de la souris (Laisser le bouton gauche appuyé)

Pour inverser les pôles appuyer sur ‘’Inverser les pôles

Réaliser l’expérience

b- Constatation : La bobine présente la face qui s’oppose au déplacement de l’aimant c- Conclusion (Loi de Lenz) Le courant induit a un sens tel qu'il s'oppose par ses effets à la cause qui lui donne naissance. 4-L’auto-induction a- Le courant d’auto-induction a1- Expérience (Retard à l'établissement d'un courant)

Réaliser l’expérience a2- constatation La lampe du côté de la bobine s’allume en retard par rapport à celle du coté du conducteur ohmique a3- Interprétation L'augmentation de l'intensité dans la bobine engendre une augmentation du champ magnétique. Il y a donc un phénomène d'induction et une fém e négative apparaît aux bornes de la bobine qui va s'opposer à la variation de courant (loi de Lenz). La bobine s'oppose donc à la variation du champ magnétique qu'elle crée elle-même; d'où le terme auto-induction. b -La f.é.m d’auto-induction Toute bobine parcourue par un courant variable d'intensité i est le siège d'une f.é.m d’auto-induction di notée par ‘’e’’ telle que e = -L dt Notez bien : Le champ magnétique créé par le courant du générateur s’appelle le champ inducteur et celui créé par le courant d’auto-induction s’appelle le champ induit 5-La loi d’ohm pour la bobine et convention récepteur Pour une bobine d'inductance L, de résistance interne r, parcourue de sa borne A à sa borne B par un courant variable d'intensité i, la tension à ses bornes s'écrit: uAB = r.i + L

di dt

A

i L

uAB

B r

Savoir plus (La détermination expérimentale de l’inductance L d’une bobine) Ce qu’il faut savoir : *La loi d’ohm relative à un conducteur ohmique (résistor) uR = R.i di dt *Le courant débité par un G.B.F est de même nature que la tension à ses bornes

*La loi d’ohm relative à une bobine ub = r.i + L

Approximation : On peut écrire ub = L

di = -e si la bobine est en série avec un résistor de résistance R dt

très supérieure à la résistance r de cette bobine Expérience

Réaliser l’expérience Interprétation uR A

ub M

B

di di L = -e dt dt Les tensions visualisées sont : La tension uAM = uR(tension triangulaire ) sur la voieY1 i di La tension uBM = -ub = e = - L sur la voieY1 dt u di 1 du R di L du R L du AM Or i = R  = donc uBM = -ub = e = - L ==R dt R dt dt R dt R dt

R>>>r  ub = r.i + L

Détermination de l’inductance L Pour N= 502 Hz, on détermine la pente ‘’a’’ du segment JK qui représente la courbe de uR sur u  u Rmax u R T 1 du R l‘intervalle t =  on a : a = = = Rmin = 2N(u Rmin  u Rmax ) 2 2N t T/2 dt R.u BM du R di di R.e e d’autre part : a = =R. avec =  donc a =  = dt dt L L dt L R.u BM R.e on peut déduire qe L=  = a a AN : a = 2N(u Rmin  u Rmax ) = 2. 502(-4-4) = -8032 V.s-1 uBM = 16 V 103 .1,6 L = = 0 ,2 H -8032

6- L'énergie magnétique emmagasinée dans une bobine a- Mise en évidence

Réaliser l’expérience Comme on peut utiliser l’expérience suivante

Réaliser l’expérience

b- Expression L'énergie magnétique emmagasinée dans une bobine parcourue par un courant d intensité i a pour expression

EL =

1 2 Li 2

B- Le dipôle RL Un dipôle RL est constitué de l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance R0 et d'une bobine d'inductance L et de résistance interne r (R = R 0+r ) K 1- Réponse à un échelon de tension (Etablissement du courant : On ferme K) a- *L’équation différentielle relative à i(t) D ub (L,r) di E Loi d’ohm ub = L + r.i et uR = R0.i dt uR R0 Loi des mailles ub + uR –E = 0  ub + uR = E di Or ub =L + r.i et uR = R0.i dt On ferme K, la diode est bloquée di di Donc L + r.i + R0.i = L + (r + R0).i =E C’est l’équation différentielle relative à i(t) qui a pour dt dt solution générale i(t) = A. e .t + B où A ,B et  sont des constantes *L’équation différentielle relative à uR(t)

On a uR = R0.i  i =

uR 1 du R di =  R0 R 0 dt dt

di di par leurs expressions l’équation précédente L + (r + R0).i =E dt dt u L du R on déduit que +(r + R0) R = E C’est l’équation différentielle relative à uR(t) qui a pour R 0 dt R0

En remplaçant i et

solution générale uR(t) = A1. e .t + B1 où A1 ,B1 et  sont des constantes *L’équation différentielle relative à ub(t) E-u b 1 du b di On a ub + uR =E  uR =E- ub  i = et = R0 R 0 dt dt Donc ub =L

E-u b L du b L du b r.E r.u b di  + r.i =  + r.  ub +  R 0 dt R 0 dt R0 R0 R0 dt

 L du b r.E r  + 1  C’est l’équation différentielle relative à ub(t) qui a pour solution  ub = R 0 dt R0  R0  générale ub(t) = A2. e .t + B2 où A2 ,B2 et  sont des constantes

Remarque : On peut déterminer les constantes A , B…… à partir de la condition initiale et du régime permanent

K 2- Le courant de rupture :( On ouvre K) a- *L’équation différentielle relative à i(t) D ub (L,r) E di Loi d’ohm ub = L + r.i et uR = R0.i dt uR R0 Loi des mailles ub + uR = 0 di Or ub =L + r.i et uR = R0.i On ouvre K, la diode est passante dt di di Donc L + r.i + R0.i = L + (r + R0).i = 0 C’est l’équation différentielle relative à i(t) qui a pour dt dt solution générale i(t) = A. e .t où A et  sont des constantes *L’équation différentielle relative à uR(t) u 1 du R di On a uR = R0.i  i = R  = R0 R 0 dt dt di di par leurs expressions l’équation précédente L + (r + R0).i = 0 dt dt u L du R on déduit que +(r + R0) R = 0 C’est l’équation différentielle relative à uR(t) qui a pour R 0 dt R0

En remplaçant i et

solution générale uR(t) = A1. e .t où A1 et  sont des constantes *L’équation différentielle relative à ub(t) On a ub = - uR donc elle aura la même équation différentielle u L du b +(r + R0) b = 0 C’est l’équation différentielle relative à ub(t) R 0 dt R0 Les courbes de réponse du circuit RL

E

Réaliser l’expérience

Application On réalise le circuit de la figure -1- : Un générateur de tension idéal de f.e.m E. Un interrupteur K. Une diode D, Une bobine de résistance r et d'inductance L. Deux résistors R1= 50  et R2 .

K

D R2

I-1- On ferme K à t = 0 s et on observe sur un oscilloscope les tensions UAB = ub (t) sur la voie 1 et UBC = u1(t) sur la voie 2. (Figure-2-)

C

R1 u1

B

L, r A ub Figure-1-

Voie 2

Base de temps : 1ms/div Sensibilité verticale : pour les deux voies : 2V/div

Voie 1 0 Figure-2-

a- Recopier le circuit de la figure-1- en ajoutant les connexions qu’il faut faire pour visualiser les tensions ub et u1. b- Montrer que la courbe u1(t) représente aussi la variation de l'intensité du courant i (t) .Expliquer. c- En appliquant la loi des mailles, établir l’expression en fonction de E, r et R1 de l'intensité I0 du courant dans la bobine en régime permanent. 2- Déterminer, à partir de ces courbes, les valeurs de : a- L'intensité I0. b- La tension ub à t = 0 et en régime permanent et déduire les valeurs de E et de r.

c- La constante de temps 1 du dipôle AC et déduire la valeur de L. 3- Le régime permanent établi, on ouvre l’interrupteur K à la date t =0. En gardant le même sens positif du courant dans la bobine, quel est le signe de l'intensité i du courant dans le circuit fermé de la bobine (après l’ouverture de K). Expliquer. a- Etablir l’équation différentielle relative à i (t). -t τ2

b- Vérifier que i(t) = I0. e est une solution de cette équation pour une valeur particulière de 2 dont on donnera l’expression en fonction de L , r, R1 et R2. c- Sachant que 2 est égale à la moitié de 1, calculer la résistance R2. d- Etablir l’expression en fonction du temps de la tension ub. e- Calculer l’énergie dissipée par effet joule dans ce circuit lorsque le courant qui le traverse

Corrigé E

Lorsqu’on ferme K, la diode D est bloquée D  Interrupteur ouvert

I-1-aK

D R2

C Y2

B

L, r

R1 u1

ub

A

L’entrée Y2 est inversée

Y1

b- La courbe u1(t) représente la tension aux bornes du résistor R1donc d’après la loi d’ohm u1= R1.i et par suite u1 est proportionnelle à i E c- Loi des mailles u1+ ub –E = 0  u1+ ub = E avec u1= R1.i = R1.I0 (en régime permanent) i di L, r ub = r.i + L = r. I0 lorsque i = constante = I0 B A dt C R1 En régime permanent ub u1 u1+ ub = R1.I0 + r. I0 = (R1 + r). I0 =E E donc I0 = R 1 +r U 5div.2V/div 10V 2-a- On a en régime permanent u1= U1max = R1.I0  I0 = 1max = = = 0,2 A R1 50 50 b- A t=0 on a ub = 6div.2V/div= 12 V et en régime permanent ub = 1div.2V/div= 2V = ubP A t = 0 u1(0)+ ub(0) = E or u1(0) = 0  ub(0) = E = 12 V U 2 En régime permanent ub = r. I0  r = bp = = 10  0,2 I0 c- On a u1(1) = 0,63 .U1max = 0,63.10 = 6,3 V ce qui correspond à 3,15 div  1 = 2ms L On a 1 =  L = 1(R1 + r) = 2.10-3. (50+10) = 0,12 H R1 + r

3- Lorsqu’on ouvre K le courant qui circule dans la bobine s’annule ce qui donne naissance à un courant induit de même sens que le courant inducteur donc le courant sera positif a- Loi des mailles u1+ ub + u2 = 0 u2 di donc R1.i + r.i + L + R2.i = 0  R2 dt L

di +( R1 + r + R2).i = 0 dt

i

C’est l’équation différentielle relative à i(t) C

L, r

B

A

R1

-t τ2

ub u1 b- Pour que i(t) = I0. e soit une solution il faut qu’elle vérifie l’équation -t -t 1 1 di i(t) = I0. e τ  =  I0. e τ =  . i(t) 2 2 dt 1 L di L +( R1 + r + R2).i = L.[  . i(t)] +( R1 + r + R2).i = i(t).[  +( R1 + r + R2)] = 0 2 2 dt L L lorsque = ( R1 + r + R2)  2 = R1 + r + R 2 2 L L 1 1 c- 2 = 1  = .  ( R1 + r + R2) = 2. ( R1 + r)  R2 = r + R1 = 60  R1 + r + R 2 2 2 R1 + r 2

2

d- On a u1+ ub + u2 = 0  ub = -( u1 + u2 ) = -( R1.i+ R2.i) = -( R1 + R2).i = -( R1 + R2). I0. e 1 e- La variation d’énergie du circuit est EL = 0- .L. I 02 = - 0,5. 0,12. 0,2² = - 2,4.10-3 J 2 -3 L’énergie perdue est 2,4.10 J

-t τ2