Cours Rdm Ens Cachan

IUT DE CACHAN

IUT Cachan Génie Mécanique et Productique Première année Fiches F112 et F213

TD de Dimensionnement des Structures Résistance des Matériaux

Pierre-Alain Boucard

http://meca.iutcachan.free.fr

« Se permettre de tout penser serait manquer de savoir vivre : les meilleures preuves de respect qu’on puisse donner à l’intelligence du lecteur, c’est de lui laisser quelque chose à penser. » Lawrence Sterne - Nouvelliste et humoriste irlandais

Table des matières 1 Hypothèses de la Résistance des Matériaux 1.1 Vérin électrique . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Raideur de matériaux composites . . . . . . 1.3 Poutrelles métalliques . . . . . . . . . . . . . 1.4 Barrage hydraulique . . . . . . . . . . . . .

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2 Torseur des efforts intérieurs - Notion de contrainte 2.1 Vis du vérin électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Poutrelle métallique chargée uniformément . . . . . . . . 2.3 Vanne-wagon d’un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Montage d’essai de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Relation torseur des efforts intérieurs / vecteur contrainte

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3 Sollicitation élémentaire : la traction 3.1 Étude de l’os du fémur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Arbre de machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Détermination de la hauteur limite d’un bâtiment . . . . . . . . 3.4 Étude expérimentale d’un aluminium . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Étude d’une poutre d’égale résistance . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Homogénéisation d’un bi-matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Étude d’un rail de chemin de fer sous l’action de la température 3.8 Étude d’une fibre optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Sollicitation élémentaire : la torsion 4.1 Transmission de puissance entre deux arbres . . 4.2 Optimisation d’arbres en torsion . . . . . . . . . 4.3 Arbre de turboréacteur . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Torsion d’un arbre étagé . . . . . . . . . . . . . 4.5 Étude d’une transmission de motrice ferroviaire

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5 Sollicitation élémentaire : la flexion 5.1 Cas classique de la poutre console . . . . . . . . . 5.2 Poutre simplement appuyée soumise à un effort en 5.3 Poutrelle métallique chargée uniformément . . . . 5.4 Vanne-wagon d’un barrage . . . . . . . . . . . . . 5.5 Montage d’essai de flexion . . . . . . . . . . . . . Dimensionnement des Structures

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. . . . . . son milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 2 4 7 8

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11 12 13 13 14 17

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19 20 20 21 22 22 25 26 27

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29 30 30 31 32 33

. . . . .

35 36 36 37 39 40 i

Table des matières 6 Concentrations de contraintes 6.1 Étude d’une éprouvette d’aluminium . . . 6.2 Dimensionnement d’une chape . . . . . . . 6.3 Étude d’une barre de section rectangulaire 6.4 Cylindre de laminoir . . . . . . . . . . . .

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41 42 43 45 46

7 Flambement 49 7.1 Étude d’une machine d’essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.2 Étude d’un vérin hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ii

TD de Dimensionnement des Structures

TD 1 Hypothèses de la Résistance des Matériaux

A partir d’exemples multiples, on discute d’une modélisation possible en RdM. Les différentes hypothèses faites sur le matériau, la géométrie et le cadre d’application sont mises en avant. C’est aussi l’occasion de montrer comment résoudre de façon simple des problèmes de statique sur les poutres.

Sommaire 1.1 1.2 1.3 1.4

Vérin électrique . . . Raideur de matériaux Poutrelles métalliques Barrage hydraulique .

. . . . . . . composites . . . . . . . . . . . . . .

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2 4 7 8

« Les maths peuvent être définies comme la science dans laquelle on ne sait jamais de quoi l’on parle ni si ce que l’on dit est vrai. » Bertrand Russell - Mathématicien et philosophe anglais

TD de Dimensionnement des Structures

1

2

1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1

A

10 11

13

8

B

B

12

Moteur électrique LEROY SOMER LS 56 Butée de vis Cylindre Entretoise Butée filetée Bout d'arbre Clavette parallèle , forme B de 3x3x15 Manchon d'accouplement Butée à billes SKF 52202 Demi-axe Chape Bague Métafram 25x32x32 Piston Corps

9

2a 4

1a

Z3CN18-02 A-G4

XC38 XC38

XC38 A-G4 XC38 XC38 XC38 XC38 XC38

collée sur 14

collé sur 1a,1b,1c

collée sur 1

2c

A-A

2b

1c

1 1 1 1 1 1

Nb

2c 2b 2a 1c 1b 1a

Rp

14

1b

5

6

0

A

15

VERIN ELECTRIQUE

Désignation

Ecrou Tr16x12 P4 Ecrou Tr16x4 Ecrou à billes SHBO 12x4R SKF transrol Vis Tr16x12 P4 Vis Tr16x4 Vis à billes SHBO 12x4R SKF transrol

15

15

Matière

CuZn23Al4 CuZn23Al4 XC48 XC38 XC38 XC48

50

7

B-B

Observations

100

1.1

16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3

16

3

1.Hypothèses de la Résistance des Matériaux

Vérin électrique

Figure 1.1 – Plan du vérin

On s’intéresse au vérin électrique proposé sur la figure 1.1.

TD de Dimensionnement des Structures

1.1. Vérin électrique

Étude technologique 1˚) Donner la fonction principale du système 2˚) Faire le graphe de structure du mécanisme 3˚) Proposer un schéma cinématique dans le plan de la coupe A–A

Dimensionnement de certaines pièces du mécanisme 4˚) On s’intéresse au dimensionnement des pièces 3, 4, 9, 11 et 14. Préciser pour chacune de ces pièces dans quelle mesure on peut en réaliser l’étude grâce à la RdM. 5˚) Considérons maintenant la vis (pièce 1). Quelles hypothèses faut il faire pour pouvoir considérer que la vis puisse être modélisée par une poutre ? La figure 1.2 est une modélisation de la vis (pièce 1) en vue de son dimensionnement par la RdM. On donne les actions mécaniques extérieures qui s’exercent sur

L/3

2L / 3

y

B

A

O z

x Figure 1.2 – Modélisation de la vis la vis : – En O : 

T(Ext.− →P outre)



 =

 → − 0 − C → x mot

– En A : 

T(Ext.− →P outre)



 =

O

 − − Xvis → x + Yvis → y − −Cmot → x A

6˚) Justifier cette modélisation en terme de conditions aux limites, ie liaisons et efforts extérieurs appliqués. Proposer une allure pour la déformée de cette poutre.

Étude statique de la vis 7˚) En utilisant les outils de la statique analytique, déterminer les actions mécaniques encaissées par les liaisons. Application numérique : L = 150 mm, Xvis = −1000 N , Yvis = −200 N . TD de Dimensionnement des Structures

3

1.Hypothèses de la Résistance des Matériaux

1.2

Raideur de matériaux composites

On s’intéresse ici à deux matériaux composites constitués de fibres très raides et d’une matrice dont la raideur est plus faible.

Composite 4D

QuickTime™ et un décompresseur sont requis pour visionner cette image. QuickTime™ et un décompresseur sont requis pour visionner cette image.

Figure 1.3 – Vue du col de tuyère

Z

R3

R3 R4

R2 R2

R1

R4

Y' Y

X

45°

X'

Figure 1.4 – Assemblage des fibres du composite 4D Le premier des deux matériaux est utilisé pour le col des tuyères du moteur Vulcain (voir figure 1.3). Le matériau constitutif de cette pièce est un composite carbone/carbone (fibres haute raideur carbone, et matrice de carbone) dit "4D", car les fibres sont présentes dans les quatre directions de l’espace (comme pour les quatre 4

TD de Dimensionnement des Structures

1.2. Raideur de matériaux composites diagonales d’un cube). Une vue des fibres seules sans la matrice est représentée sur la figure 1.4. Ce matériau a la particularité de résister à des températures de plus de 2500˚C. Ce matériau est considéré comme homogène élastique linéaire à l’échelle de la pièce pour lequel il est utilisé. 1˚) Quelle propriété doit encore vérifier ce matériau pour qu’il puisse être utilisé pour l’étude d’une poutre en RdM ? On a cherché à caractériser la raideur de ce matériau dans toutes les directions de l’espace. Pour celà on imagine qu’il est constitué d’une infinité de ressorts assemblés dans toutes les directions. On a tracé sur la figure 1.5 la variation de sa raideur dans toutes les directions.

Figure 1.5 – Variation de la raideur du 4D en fonction de la direction 2˚) Justifier la forme de la figure 1.5, en particulier, le fait que quatre lobes soient présents, et le fait que six creux existent. On replacera aussi les directions des lobes par rapport aux directions de la figure 1.4. 3˚) La propriété permettant l’utilisation en RdM de ce matériau est-elle vérifiée ?

Composite SiC/T i On étudie maintenant le second matériau constitué de fibres de carbure de silicium dans une matrice de titane. La raideur du carbure de silicium est plus grande que celle du titane. On considère le matériau comme homogène élastique linéaire à l’échelle d’un pli unidirectionnel. Un pli unidirectionnel étant constitué de nombreuses fibres dans une direction de l’espace entourées de matrice comme représenté sur la figure 1.6. Comme pour le matériau précédent, on a représenté sur la figure 1.7 la variation de la raideur en fonction de la direction. 4˚) Quelle propriété doit-on encore vérifier ce matériau pour qu’il puisse être utilisé pour l’étude d’une poutre en RdM ? TD de Dimensionnement des Structures

5

1.Hypothèses de la Résistance des Matériaux

Fibre (carbure de silicium)

Matrice (titane)

Figure 1.6 – Vue d’un pli unidirectionnel d’un composite SiC/T i

5

0 Z

-5

-20 -10 5 0 0

Y

X 10 -5 20

Figure 1.7 – Variation de la raideur du SiC/T i en fonction de la direction

6

TD de Dimensionnement des Structures

1.3. Poutrelles métalliques 5˚) Justifier la forme de la figure 1.7, en particulier, le fait qu’on ait qu’un lobe principal, et qu’une coupe par le plan X = 0 donne un cercle. On replacera aussi les directions X, Y, Z par rapport aux directions du pli. 6˚) La propriété permettant l’utilisation en RdM de ce matériau est-elle vérifiée ? 7˚) Quelle figure géométrique serait obtenue pour un matériau isotrope ? 8˚) Un matériau dont la figure représentative de la variation de la raideur est similaire à celle de la figure 1.7 est dit isotrope transverse. Citer d’autres matériaux ayant cette même propriété.

1.3

Poutrelles métalliques

Dans la construction, on utilise de nombreuses poutrelles métalliques (voir figure 1.8).

Centre Multi-Service Ville dʼAnjou, QC Fabricant et monteur : Soudure Germain Lessard

Aréna Sportsplex, Pierrefonds, QC Fabricant : Les Structures Breton inc.

Van Andel, Grand Rapids, MI Fabricant : Steel Supply and Engineering Co.

Figure 1.8 – Exemples de charpentes métalliques On s’intéresse ici à différents profilés standards, dont les sections droites sont données sur la figure 1.9

Étude des sections 1˚) Pour chacune des sections numérotées de 1 à 3, préciser et donner les éventuelles conditions permettant de dimensionner les poutres représentées en utilisant la RdM.

Étude d’une poutrelle soumise à une pression uniforme 2˚) On reprend l’exemple de la poutre 3. On suppose que les conditions aux limites sur la poutre sont telles que l’on peut les modéliser par les deux liaisons TD de Dimensionnement des Structures

7

1.Hypothèses de la Résistance des Matériaux Y 2

1

X

X Z

Y W

Y

X

X

Z

W

3

Figure 1.9 – Profilés courants représentées sur la figure 1.10. Le chargement proposé est celui d’une pression linéique constante répartie sur toute la longueur L = 10 m de la poutre telle que la pression linéique soit de p = 10 N m−1 . Justifier le choix de ce chargement à partir de la figure 1.9.

L=10 m y p=10 N.m-1 O z

A x

Figure 1.10 – Modélisation de la poutrelle 3 3˚) Réaliser l’étude statique de la poutre et déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en O et en A.

1.4

Barrage hydraulique

Dans de nombreux barrages hydrauliques, on utilise des vannes pour contrôler le débit d’eau ou la hauteur de l’eau dans le bassin de retenu. On s’intéresse ici à un type de vannes couramment utilisé et qui est dit vanne-wagon. Ces vannes fonctionnent sur le principe de portes descendantes comme celà est représenté sur la figure 1.11. Compte tenu de la structure de la porte de la vanne, on s’intéresse ici à une des 8

TD de Dimensionnement des Structures

1.4. Barrage hydraulique AVANT MONTAGE GUIDE

BRONZE CADRE VANNE FACE AVANT

PARTIE BOULONNÉE

APRÈS MONTAGE

Figure 1.11 – Un exemple de vanne-wagon nervures verticales de renfort de la porte, pour laquelle on fait les hypothèses suivantes : – chaque nervure a un comportement indépendant (ce qui revient à négliger l’influence des nervures horizontales) – on étudie la nervure lorsque la porte est fermée et l’on suppose que la vanne est en liaison complète avec le sol – le niveau d’eau est tel qu’il n’atteint pas le sommet de la vanne – l’épaisseur e d’une nervure est petite devant la longueur

Modélisation d’une nervure

L/3

B A

y

2L / 3

z

x

Partie immergée

O Figure 1.12 – Modélisation d’une nervure TD de Dimensionnement des Structures

9

1.Hypothèses de la Résistance des Matériaux 1˚) Justifier la modélisation choisie (voir figure 1.12) pour étudier la nervure. On s’appuiera sur les hypothèses de la RdM ainsi que sur les hypothèses faites précédemment pour justifier la réponse. Proposer une allure pour la déformée de cette poutre. 2˚) Donner l’équation traduisant la répartition de pression linéique affine en fonction de l’abscisse x de la poutre, g l’accélération de la pesanteur, ρ la masse volumique de l’eau et L la longueur de la poutre. Application numérique : g = 10 m.s−2 , ρ = 1000 kg.m−3 et L = 1, 5 m, e = 2 cm.

Étude statique de la nervure 3˚) Réaliser l’étude statique de la poutre et déterminer les actions de liaisons au point O

10

TD de Dimensionnement des Structures

TD 2 Torseur des efforts intérieurs Notion de contrainte

Dans la première partie, on reprend des modélisations vues dans le premier TD pour déterminer les efforts intérieurs subis par les poutres. Ceci permet de tracer les diagrammes des efforts intérieurs et d’en déduire les sollicitations élémentaires. Dans une seconde partie, sur des cas ou la répartition des contraintes est donnée, on explicite la relation entre les composantes du torseur des efforts intérieurs et les contraintes normales et tangentielles.

Sommaire 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Vis du vérin électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poutrelle métallique chargée uniformément . . . . . . . . Vanne-wagon d’un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . Montage d’essai de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relation torseur des efforts intérieurs / vecteur contrainte

12 13 13 14 17

« Si la science ne s’intéresse pas aux choses délirantes, elle risque fort de passer à côté de choses intéressantes.» Antoine Labeyrie - Astronome français

TD de Dimensionnement des Structures

11

2.Torseur des efforts intérieurs - Notion de contrainte

2.1

Vis du vérin électrique

On reprend l’étude de la vis vue au paragraphe 1.1. On en rappelle la modélisation adoptée sur la figure 2.1. On a déjà réalisé l’étude statique de la vis, ainsi

L/3

2L / 3

y

B

A

O z

x Figure 2.1 – Modélisation de la vis on peut écrire les torseurs mécaniques d’actions extérieures qui s’exercent sur la vis comme suit : – En O :   − −  −Xvis → x + − 23 Yvis → y T(Ext.− = →P outre) − Cmot → x O – En B : 

T(Ext.− →P outre)



– En A : 

T(Ext.− →P outre)



 = 

=

− y − 13 Yvis → → − 0

 B

− − Xvis → x + Yvis → y → − −Cmot x

 A

On rappelle que L = 150 mm, Xvis = −1000 N , Yvis = −200 N et Cmot = 100 N.m.

Détermination du torseur des efforts intérieurs 1˚) Combien de coupures faut-il réaliser pour déterminer le torseur des efforts intérieurs ? 2˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs en utilisant deux méthodes de calcul pour chaque tronçon. 3˚) Tracer, en fonction de l’abscisse x, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intérieurs.

Sollicitations élémentaires 4˚) Décomposer le torseur des efforts intérieurs, déterminé précédemment en somme de torseurs caractéristiques de sollicitations élémentaires. Identifier alors pour chaque tronçon les sollicitations élémentaires auxquelles il est soumis. 12

TD de Dimensionnement des Structures

2.2. Poutrelle métallique chargée uniformément

2.2

Poutrelle métallique chargée uniformément

On reprend l’exemple de la poutre dont le modèle est donné sur la figure 2.2. Le chargement extérieur est celui d’une pression linéique constante répartie sur toute la longueur L = 10 m de la poutre telle que la pression linéique soit de p = 10 N m−1 .

L=10 m y p=10 N.m-1 O z

A x Figure 2.2 – Modélisation de la poutrelle

L’étude statique a permis de déterminer les actions dans les liaisons en O et en A : – En O :  pL →  −  y 2 T(Ext.− = → − →P outre) 0 O – En A : 

T(Ext.− →P outre)



 =

pL → − y 2

→ − 0

 A

Étude des efforts intérieurs 1˚) Combien de coupures faut-il réaliser pour déterminer le torseur des efforts intérieurs ? 2˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs en utilisant deux méthodes de calcul pour chaque tronçon. 3˚) Tracer, en fonction de l’abscisse x, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intérieurs. 4˚) Identifier pour chaque tronçon la nature des sollicitations élémentaires.

2.3

Vanne-wagon d’un barrage

On rappelle la modélisation choisie pour l’étude d’une vanne–wagon sur la figure 2.3. L’étude statique a permis de déterminer le torseur des actions mécaniques transmissibles par la liaison en O :   2L2 −  ρge→ y 9 T(Ext.− = →P outre) − 4L3 ρge→ z 81

O

On rappelle que : g = 10 m.s−2 , ρ = 1000 kg.m−3 et L = 1, 5 m, e = 2 cm. TD de Dimensionnement des Structures

13

2.Torseur des efforts intérieurs - Notion de contrainte

L/3

B A

y

2L / 3

z

x

Partie immergée

O Figure 2.3 – Modélisation d’une nervure

Étude des efforts intérieurs 1˚) Combien de coupures faut-il réaliser pour déterminer le torseur des efforts intérieurs ? 2˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs en utilisant la méthode minimisant les calculs pour chaque tronçon. 3˚) Tracer, en fonction de l’abscisse x, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intérieurs. 4˚) Identifier pour chaque tronçon la nature des sollicitations élémentaires.

2.4

Montage d’essai de flexion

Pour l’étude de certaines liaisons présentes sur le lanceur européen Ariane 5, on a réalisé des éprouvettes en carbone/nid d’abeille comportant différentes liaisons (voir figure 2.4). Pour tester ces éprouvettes, un montage d’essai spécifique a été réalisé dont le plan est donné sur la figure 2.5 et une vue 3D sur la figure 2.6. On souhaite ici étudier les sollicitations subies par une éprouvette qui sera installée dans le montage. Dans un premier temps on considère une éprouvette sans liaison dont on supposera, à l’échelle de l’étude, que le matériau est homogène, élastique linéaire, isotrope (supposition dont il faut être conscient qu’elle est très fausse !). 1˚) Les liaisons entre le montage et l’éprouvette sont supposées se comporter comme des liaisons pivots parfaites dont l’axe est celui de la direction de la largeur de l’éprouvette. Justifier cette hypothèse avec les plans et les vues fournies. On considère maintenant la modélisation de l’éprouvette proposée sur la figure 2.7. Le système étant symétrique, on suppose que les efforts appliqués sur l’éprou14

TD de Dimensionnement des Structures

2.4. Montage d’essai de flexion vette le sont aussi.

Figure 2.4 – Les 4 types de liaisons à tester

Éprouvette

Figure 2.5 – Plan du montage d’essai Les efforts extérieurs appliqués à l’éprouvette sont les suivants : – En A :   −  −F → y T(Ext.− = → − →P outre) 0 A – En B : 

T(Ext.− →P outre)



 =

− −F → y → − 0

 B

Étude statique 2˚) Déterminer les actions mécaniques dans les liaisons en O et C. TD de Dimensionnement des Structures

15

2.Torseur des efforts intérieurs - Notion de contrainte

Figure 2.6 – Vues de la maquette numérique et du montage réel

L=70 cm y

O z

F = 500 N L/4

F = 500 N L/4 C

A

x

B

Figure 2.7 – Modélisation de l’éprouvette

16

TD de Dimensionnement des Structures

2.5. Relation torseur des efforts intérieurs / vecteur contrainte

Détermination du torseur des efforts intérieurs 3˚) Combien de coupures faut-il réaliser pour déterminer le torseur des efforts intérieurs ? 4˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs pour chaque tronçon. 5˚) Tracer, en fonction de l’abscisse x, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intérieurs.

Sollicitations élémentaires 6˚) Identifier alors pour chaque tronçon les sollicitations élémentaires auxquelles il est soumis. 7˚) Commenter le montage d’essai proposé. On s’intéressera en particulier à la partie centrale de l’éprouvette (entre A et B).

2.5

Relation torseur des efforts intérieurs / vecteur contrainte

On cherche à expliciter dans deux cas précis la relation intégrale qui existe entre le vecteur contrainte et le torseur des efforts intérieurs. Dans les deux cas, on considère que la poutre est de longueur L et de section droite rectangulaire de hauteur h et de largeur b (voir figure 2.8). De plus la contrainte tangentielle est toujours supposée nulle en tout point d’une section droite quelconque. y

y

O

z

x

z

h b

Figure 2.8 – Modèle de poutre utilisé

Contrainte normale constante − Pour toute section de la poutre de normale → x , on considère que la contrainte normale est constante dans toute la section. 1˚) Donner l’expression du vecteur contrainte en tout point M de la section droite. 2˚) Calculer le torseur des efforts intérieurs en tout point d’abscisse x de la poutre. En déduire à quelle sollicitation élémentaire est soumise cette poutre. 3˚) Déterminer les actions mécaniques extérieures aux deux extrémités de la poutre. TD de Dimensionnement des Structures

17

2.Torseur des efforts intérieurs - Notion de contrainte

Contrainte normale linéique dans l’épaisseur − Pour toute section de la poutre de normale → x , on considère que la contrainte → − normale est constante sur une ligne de direction z et varie linéairement dans l’épais− seur (direction → y ). Ainsi on peut écrire l’expression de la contrainte normale sous la forme : A −h h σ = y avec y ∈ { , } B 2 2 A est une constante et B vaut : ZZ bh3 y 2 dS = B= 12 S 4˚) Donner l’expression du vecteur contrainte en tout point M de la section droite. Représenter sur une vue en perspective la distribution des contraintes normales sur une section droite. 5˚) Calculer le torseur des efforts intérieurs en tout point d’abscisse x de la poutre. En déduire à quelle sollicitation élémentaire est soumise cette poutre. 6˚) Déterminer les actions mécaniques extérieures aux deux extrémités de la poutre.

18

TD de Dimensionnement des Structures

TD 3 Sollicitation élémentaire : la traction

On s’intéresse ici à des solides modélisables par des poutres soumises uniquement à de la traction. L’étude complète sera menée, en partant des efforts extérieurs, permettant de déterminer selon le cas, la contrainte maximale, la déformation, le déplacement. On ira jusqu’au dimensionnement des poutres dans certains cas.

Sommaire 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Étude de l’os du fémur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbre de machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Détermination de la hauteur limite d’un bâtiment . . . Étude expérimentale d’un aluminium . . . . . . . . . . Étude d’une poutre d’égale résistance . . . . . . . . . . Homogénéisation d’un bi-matériau . . . . . . . . . . . . Étude d’un rail de chemin de fer sous l’action de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude d’une fibre optique . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

20 20 21 22 22 25

. .

26 27

« Tout grand progrès scientifique est né d’une nouvelle audace de l’imagination.» John Dewey - Philosophe et pédagogue anglais

TD de Dimensionnement des Structures

19

3.Sollicitation élémentaire : la traction

3.1

Étude de l’os du fémur

Le fémur, qui est l’os principal de la cuisse, a un diamètre minimum chez l’adulte d’environ 2.8 cm. 1˚) Si l’on suppose que le fémur est soumis uniquement à un chargement de compression, déterminer la valeur de l’effort nécessaire pour briser le fémur. 2˚) Pour un homme de 80kg, déterminer l’accélération équivalente que doit subir le fémur pour se rompre. 3˚) On souhaite comparer pour différents matériaux la résistance d’un cylindre en compression (on supposera qu’à la limite, σ = Rp ). Pour classer les différents matériaux, on prend comme critère le rapport Rρp . Justifier ce choix et classer les différents matériaux du tableau 3.1.

Matériau

Masse Volumique Module d’Young Limite pratique d’élasticité ρ en kg/m3 E en 109 N/m2 Rp en 106 N/m2

Acier

7860

210

370

Aluminium

2710

70

110

Verre

2190

65

50 (en compression)

Béton H.P.

2320

30

40 (en compression)

Bois

525

13

50 (en compression)

Os

1900

9

170 (en compression)

Polystyrène

1050

3

48

Table 3.1 – Données matériaux

3.2

Arbre de machine

Un élément d’arbre de machine AD en acier peut-être représenté par la figure 3.1. → − Il repose sur deux paliers P 1 et P 2. En A il est soumis à une action A de la partie → − de l’arbre situé à gauche, en B à l’action B d’une butée à billes non représentée, en → − C à l’action C longitudinale d’une vis de réducteur à vis tangente, non représentée, → − en D à une action D de la partie de l’arbre située à droite 1˚) Peut-on réaliser l’étude de cet arbre en RdM ? Préciser les limites des résultats obtenus si l’on fait l’étude en RdM. Proposer le modèle poutre associé à l’arbre. 2˚) Combien de coupures faut-il réaliser pour déterminer le torseur des efforts intérieurs ? 3˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs pour chaque tronçon et identifier la nature des sollicitations. 20

TD de Dimensionnement des Structures

3.3. Détermination de la hauteur limite d’un bâtiment P1

C

B

P2 D

A -7000 N

-5000 N

10000 N

L1

L2

2000 N

x

L3

Figure 3.1 – Modélisation de l’arbre 4˚) Tracer, en fonction de l’abscisse x de l’arbre, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intérieurs. 5˚) En déduire les valeurs des contraintes pour chaque partie de l’arbre. 6˚) Déterminer le coefficient de sécurité (rapport entre la limite pratique d’élasticité Rp et la contrainte normale en traction) pour les nuances d’acier suivantes : S185 : Rp = 185 M P a, S235 : Rp = 235 M P a, E360 : Rp = 360 M P a et C55 : Rp = 420 M P a Applications numériques d1 = 30 mm, d2 = 45 mm, d3 = 35 mm

3.3

Détermination de la hauteur limite d’un bâtiment

On s’intéresse au dimensionnement d’un bâtiment soumis uniquement à son poids propre. On suppose que l’on peut modéliser le bâtiment par une poutre de section constante S et de hauteur L. Le bâtiment est supposé être constitué en première approximation d’un matériau homogène élastique linéaire isotrope de masse volumique ρ. 1˚) Proposer le modéle pour une étude de RdM détaillant en particulier les conditions aux limites et le chargement. 2˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs dans une section droite quelconque de la poutre (on précisera le nombre de coupures à effectuer). 3˚) Tracer le diagramme des sollicitations et en déduire la nature des sollicitations à laquelle est soumise la poutre 4˚) Déterminer la contrainte maximale à laquelle est soumise la poutre. On suppose que cette contrainte doit rester inférieure à une valeur maximale notée Rp . En déduire pour les différentes valeurs de Rp la hauteur maximale du bâtiment. Le coefficient de sécurité usuel en construction étant de 8, conclure sur les résultats. Application aux matériaux suivants où Rp est la résistance pratique et ρ la masse volumique : – maconnerie courante Rp = 15 M P a, ρ = 2000 kg/m3 – béton Rp = 40 M P a, ρ = 2500 kg/m3 TD de Dimensionnement des Structures

21

3.Sollicitation élémentaire : la traction – acier de construction Rp = 170 M P a, ρ = 7800 kg/m3

3.4

Étude expérimentale d’un aluminium

On donne sur le graphe de la figure 3.3 le résultat d’un essai de traction réalisé sur une éprouvette plate d’aluminium 2219 T 37. Une photo de l’éprouvette testée est donnée sur la figure 3.2. Les deux courbes représentent d’une part l’évolu-

Figure 3.2 – Vue de l’éprouvette d’aluminium tion de la contrainte normale en fonction de la déformation longitudinale et d’autre part l’évolution de la contrainte normale en fonction de la déformation transversale. L’éprouvette d’aluminium a une section rectangulaire de largeur 15, 11 mm et d’épaisseur 4, 96 mm. La longueur utile de l’éprouvette est de 100 mm. 1˚) Identifier les deux courbes présentes sur le graphique en justifiant votre réponse. Identifier la zone élastique et la zone plastique. 2˚) Déterminer le module d’Young E et le coefficient de Poisson ν de ce matériau. On comparera les valeurs obtenues aux données constructeurs qui indiquent : 72 GP a < E < 75, 69 GP a et 0, 33 < ν < 0, 3435. 3˚) Évaluer la limite élastique Re du matériau et calculer la valeur de la limite d’élasticité pratique Rp 0,2 à 0, 2 %. On comparera aux données constructeurs : 248 M P a < Re < 274, 1 M P a et 248 M P a < Rp < 274, 1 M P a . 4˚) Quel est le point de rupture de l’éprouvette ? Que valent la contrainte à rupture σr et la déformation à rupture r ? Ces deux dernières valeurs vérifientelles la loi de Hooke ? Pourquoi ? 5˚) Déterminer la valeur maximum de l’effort exercé sur l’éprouvette dans le domaine élastique, ainsi que son allongement pour cette valeur de l’effort. Calculer la variation de section de l’éprouvette pour cette valeur maximum de l’effort.

3.5

Étude d’une poutre d’égale résistance

On considère un pilier métallique soumis uniquement à son poids propre. Ce pilier est supposé encastré à son extrémité inférieure, et libre à son extrémité supérieure. La section du pilier est notée S, sa hauteur L et la masse volumique du matériau qui le constitue ρ. 1˚) A quelle sollicitation est soumise ce pilier ? 22

TD de Dimensionnement des Structures

Déformation (%)

3.5. Étude d’une poutre d’égale résistance

Contrainte (MPa) Figure 3.3 – Courbe de l’essai de traction

TD de Dimensionnement des Structures

23

Déformation (%)

3.Sollicitation élémentaire : la traction

Contrainte (MPa) Figure 3.4 – Zoom sur la courbe de l’essai de traction

24

TD de Dimensionnement des Structures

3.6. Homogénéisation d’un bi-matériau On souhaite que ce pilier soit dit d’égale résistance, i.e. pour chaque section droite du pilier, la contrainte normale est constante. 2˚) On considère une section variable qui varie linéairement sur toute la hauteur du pilier qui vaut S0 au sol et SL à l’extrémité libre. On suppose que S0 > SL : justifier cette hypothèse et déterminer l’évolution des contraintes en fonction de la hauteur. Cette évolution est-elle constante ? 3˚) On considère une section variable qui varie paraboliquement sur toute la hauteur du pilier. L’équation qui caractérise la section en fonction de la hauteur (notée x) du pilier est : S(x) = ax2 + bx + S0 . Déterminer l’évolution des contraintes en fonction de la hauteur. Cette évolution est-elle constante ? 4˚) Déterminer l’évolution de la section S pour que le critère de contrainte normale constante soit respecté. Pour celà, on étudiera l’équilibre statique d’un petit élément de poutre de longueur dx. 5˚) Calculer l’écrasement du pilier pour le cas où la contrainte est constante.

3.6

Homogénéisation d’un bi-matériau

On considère une cellule unidimensionnelle d’un matériau composite. Cette cellule est composé de deux éléments de même longueur : l’un en carbone de module d’Young Ec , l’autre en aluminium de module d’Young Ea . La figure 3.5 représente l’assemblage des matériaux soit en "série", soit en "parallèle". A l’échelle de ces deux

y y x

O

z

x Matériaux en "série"

y

y

O

z

x

z

Matériaux en "parallèle" Figure 3.5 – Assemblage de deux matériaux cellules, on ne peut évidemment pas considérer que le matériau est homogène. Ainsi, pour se permettre d’utiliser un tel matériau dans une étude de RdM, on va homogénéiser le matériau. Cette opération consiste à construire un matériau TD de Dimensionnement des Structures

25

3.Sollicitation élémentaire : la traction équivalent de module d’Young E dont le comportement est le même, en un certain sens, que celui des matériaux assemblés.

Homogénisation d’une cellule : matériaux en série On soumet les deux extrémités de la cellule à un effort F de traction. 1˚) Déterminer le module d’Young du matériau équivalent Es permettant d’obtenir le même état de déformation.

Homogénisation d’une cellule : matériaux en parallèle , et l’exOn soumet l’extrémité gauche de la cellule à un déplacement de − ∆L 2 ∆L trémité droite à un déplacement de 2 , de tel sorte qu’une cellule de longueur L, s’allonge de ∆L. 2˚) Déterminer le module d’Young du matériau équivalent Ep permettant de retrouver le même effort normal.

3.7

Étude d’un rail de chemin de fer sous l’action de la température

Figure 3.6 – Photo de rails Une ligne de chemin de fer a été posée par une température de 25 ˚C. Les tronçons de rail sont soudés les uns aux autres. En supposant que les extrémités des rails soient fixes, on cherche à déterminer les contraintes dans les rails lorsque la température tombe à −25 ˚C, sachant que la déformation T associée à une variation de température ∆T s’écrit : T = α∆T où α est le coefficient de dilatation thermique. On précise que lors de cette déformation thermique, le matériau ne subit aucune contrainte. 1˚) Déterminer l’unité de α. 26

TD de Dimensionnement des Structures

3.8. Étude d’une fibre optique 2˚) Utiliser le principe de superposition pour déterminer la contrainte dans le rail. Application numérique Coefficient de dilatation thermique : α = 1, 5 10−5 U.S.I. Module d’Young : E = 2 1011 N/m2

3.8

Étude d’une fibre optique

Figure 3.7 – Photo d’une fibre optique propageant un faisceau laser Lors de l’installation de la fibre, un capuchon est collé sur les extrémités de la fibre pour la protéger. On suppose que ces deux capuchons sont soumis à un même effort normal N . Le but de l’étude proposée est de déterminer l’effort normal noté Nv encaissé par le verre et l’effort normal noté Np encaissé par le polymère.

gaine en polymère, section Sp

y

O

z

y

z

x

Capuchons

fibre optique, section Sv

Figure 3.8 – Composition d’une fibre optique 1˚) En réalisant une coupure de la fibre, déterminer la relation liant N , Nv , Np . Représenter alors graphiquement les contraintes subies par le verre et la gaine. Peut-on en déduire Nv et Np ? Pourquoi ? 2˚) Proposer une relation supplémentaire traduisant le collage parfait entre la fibre de verre et la gaine. TD de Dimensionnement des Structures

27

3.Sollicitation élémentaire : la traction 3˚) En déduire Nv et Np . 4˚) Déterminer l’allongement d’une fibre de verre de longueur L. En déduire la valeur du module d’Young Eh d’un matériau homogène équivalent permettant de retrouver l’expression de l’allongement. 5˚) L’expression de Eh faisant intervenir Ev , Ep , Sv et Sp est appelée loi des mélanges. Justifiez cette dénomination. Application numérique Diamètre de la fibre de verre (composée de plusieurs fibres optiques) : 10 mm Module d’Young du verre : E = 65 109 N/m2 Épaisseur de la gaine de polymère : 0, 5 mm Module d’Young du polymère : E = 1 GP a

28

TD de Dimensionnement des Structures

TD 4 Sollicitation élémentaire : la torsion

On considère des poutres à section circulaire soumises à de la torsion. Les études proposées porteront plus particulièrement sur le dimensionnement d’arbres de transmission. Le cas du ressort hélicoïdal à spires serrées est étudié afin de déterminer les formules classiques permettant de dimensionner et choisir un ressort.

Sommaire 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Transmission de puissance entre deux arbres . . Optimisation d’arbres en torsion . . . . . . . . . Arbre de turboréacteur . . . . . . . . . . . . . . . Torsion d’un arbre étagé . . . . . . . . . . . . . . Étude d’une transmission de motrice ferroviaire

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

30 30 31 32 33

« Informatique : Alliance d’une science inexacte , et d’une activité humaine faillible.» Luc Fayard - Journaliste français

TD de Dimensionnement des Structures

29

4.Sollicitation élémentaire : la torsion

4.1

Transmission de puissance entre deux arbres

Les arbres (1) et (2) de la figure 4.1 ont des rayons identiques de 10 mm et sont en acier (Rpg = 220 M P a). Ils sont montés dans un même système mécanique non représenté ici. Les chargements extérieurs de torsion pris en compte dans cette étude sont les suivants : – sur l’arbre (1), en A un couple M1 = 300 N m, en B un couple −M1 = −300 N m, – sur l’arbre (2) en C un couple M2 = 170 N m, en D un couple −M2 = −170 N m.

300 N.m

B 170 N.m

(1) 300 N.m A

1,2 m

(2)

D

170 N.m C

0,5 m

Figure 4.1 – Transmission de puissance 1˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs dans les deux arbres 2˚) Calculer la contrainte maximale pour chaque arbre et déterminer son coefficient de sécurité. 3˚) Proposer un nouveau dimensionnement de l’arbre (1) pour que son coefficient de sécurité soit le même que celui de l’arbre (2).

4.2

Optimisation d’arbres en torsion

Le but de cet exercice est de comparer les puissances P1 et P2 transmissibles par deux arbres de torsion de même masse, constitués d’un même matériau, sous les conditions : – ω1 = ω2 (même vitesse de rotation) – τmax1 = τmax2 (même contrainte tangentielle maxi) On suppose que les deux arbres sont soumis uniquement à de la torsion. Pour la réalisation de ces deux arbres, la première solution envisagée est la réalisation d’un arbre plein de diamètre extérieur D1 . La deuxième solution est un arbre tubulaire de diamètre extérieur D2 et de diamètre intérieur d2 = kD2 . La longueur des deux arbres est identique. 1˚) Calculer le rapport des moments de torsion Mt1 et Mt2 transmissibles par les deux arbres. 30

TD de Dimensionnement des Structures

4.3. Arbre de turboréacteur 2˚) Déterminer alors le rapport des puissances transmissibles P1 et P2 . 3˚) Compte-tenu que les arbres ont la même masse, déterminer ce rapport en fonction de k. 4˚) Calculer le rapport de puissance pour un tube normalisé de diamètre extérieur D2 = 80 mm et d’épaisseur e = 2 mm. 5˚) Expliquer ce résultat en traçant la répartition des contraintes tangentielles sur un arbre tubulaire.

4.3

Arbre de turboréacteur

Figure 4.2 – Évolution du gaz à travers le turboréacteur On cherche à dimensionner l’axe de turbine d’un turboréacteur. Lors du fonctionnement d’un turboréacteur (figure 4.2), l’air est aspiré par l’avant et est comprimé au travers des différents étages de compression avant de traverser la chambre de combustion et d’être éjecté au travers de la turbine. La figure 4.3 précise la position des différents éléments intervenant dans le turboréacteur. Dans le domaine aéronautique, le poids étant une contrainte majeure, on souhaite que l’arbre supportant les ailettes soit à iso-contrainte tangentielle maxi pour que le dimensionnement soit optimal. Compte tenu de l’empilage de disques porte-ailettes sur l’arbre, on considèrera que dans la turbine le moment de torsion dans l’arbre n’est pas constant et s’écrit sous la forme : a Mt = 3 x On notera : – pour l’abcisse xA (extrémité A de l’arbre) la valeur du moment de torsion est MtA – pour l’abcisse xB (extrémité B) la valeur du moment de torsion est MtB , avec xB > xA . 1˚) Déterminer la constante a en fonction des paramètres et calculer sa valeur. 2˚) Calculer le diamètre d(x) pour vérifier le critère d’égale contrainte de cisaillement maxi. Tracer sur le même graphique l’évolution de Mt et d(x) en fonction de x. TD de Dimensionnement des Structures

31

4.Sollicitation élémentaire : la torsion

Exercice 3 : Pour transmettre un couple de 400 Nm on envisage d’utiliser un arbre cylindrique plein ou creux. Ces deux arbres sont constitués du même acier pour lequel τ e = 240 MPa et G = 8 10 4 MPa .On adopte dans les deux cas le même coefficient de sécurité s=3 L’arbre plein a un diamètre D1. L’arbre creux a pour diamètres D2 et d2 tels que d 2 = 0.6 D 2 .

(k=0.6) a) Déterminer le diamètre D1 de l’arbre plein à utiliser et la déformation angulaire entre deux sections Figure 4.3 – Éléments de base d’un distantes de 300 mm. turboréacteur b) Déterminer les diamètres D2 et d2 de l’arbre creux à utiliser et la déformation angulaire entre deux sections 300 mm. avecentre le a). les sections A et B. 3˚)distantes Calculerdel’angle de Comparer torsion φAB Les application numériques avec :? c) Déterminer le rapport λ de leur seront masse. faites Conclusion xA = 2 m et xB = 4 m, MtA = 800 N m et MtB = 100 N m, Rspg = 100 N/mm2 et G = 85 000 N/mm2 .

Exercice 4 : . Torsion d’un arbre étagé

4.4

Torsion d’un arbre étagé

On considère un arbre en acier ( G = 8.10 4 N mm −2 ) de longueur L = 1, 20 m étagé en trois morceaux de On considère un arbre en acier (G = 80 000 N.mm−2 ) de longueur L = 1, 2 m diamètres respectifs 40, 30 et 20 mm. étagé en trois morceaux de diamètres respectifs 40, 30 et 20 mm. Cet arbre est Cet arbre est sollicité en torsion par couple un couple t. sollicité en torsion pure pure par un MtM . On négligera ici les concentrations de contraintes relatives aux changements de diamètre. ∅ 40

D

∅ 30

C

B

∅ 20

A Mt

400

400

400

Figure 4.4 – Arbre étagé en torsion a) Décrire et donner l’expression des contraintes dans une section droite S de cet arbre 1˚) Décrire et donner l’expression des contraintes dans une section droite S de d) Quelle doit être l’intensité du couple de torsion Mt pour que les sections d’extrémités SA et SD tourcet arbre nent de 360 radians rapport du à l’autre ? de torsion M pour que les sections 2˚)π Quelle doit l’une être par l’intensité couple t

SA et de π/360 l’une à l’autre ? D tournent e) Donner extrêmes le diagramme desSangles de torsion le longradians de l’arbre ( α par = f ( xrapport ) ). 3˚) Tracer le diagramme des angles de torsion le long de l’arbre. f) Quelle est la contrainte maximale ? (On néglige les concentrations de contraintes) 4˚) Calculer la contrainte maximale subie par l’arbre. 32

TD de Dimensionnement des Structures

4.5. Étude d’une transmission de motrice ferroviaire

4.5

Étude d’une transmission de motrice ferroviaire

Du fait de l’évolution des ensembles moteurs/boîtes de vitesses sur les motrice ferroviaires on retrouve sur nombre d’entre elles une configuration où la sortie de la puissance n’est plus centrée dans la largeur de la motrice. Un exemple d’une telle transmission est représenté sur la figure 4.5.

Figure 4.5 – Transmission de puissance vers les roues L’implantation de la boîte de vitesse en position transversale conduit à ce que les deux arbres qui transmettent la puissance depuis la sortie de la boîte de vitesse jusqu’aux roues de la motrice ne soient pas de même longueur. On notera Ld et Lg les longueurs respectives des arbres de droite et de gauche. On suppose que Lg > Ld . On suppose que chaque arbre est soumis uniquement au même moment torsion, et on notera Mt ce moment. 1˚) Déterminer pour chaque arbre la relation liant la différence d’angle de rotation entre la sortie de la boite de vitesse et l’extrémité de l’arbre. On supposera que les rayons et les matériaux constitutifs des deux arbres sont les mêmes. Que pensez vous de ce résultat ? TD de Dimensionnement des Structures

33

4.Sollicitation élémentaire : la torsion 2˚) A partir de la question précédente, proposez un critère permettant d’assurer le bon fonctionnement. En déduire la conséquence sur le rapport des rayons des deux arbres si l’on suppose que le matériau est le même. 3˚) Déterminer le rapport entre les coefficients de sécurité associés au dimensionnement à la contrainte tangentielle maximale de ces deux arbres. Ce résultat est-il "optimal" ? 4˚) Pour avoir un dimensionnement mieux pensé on propose la démarche suivante. L’arbre de droite est plein de rayon Rid et l’arbre de gauche est creux de rayon extérieur Rig et de rayon intérieur Rint . – Déterminer le rayon de l’arbre de droite pour vérifier le critère de contrainte tangentielle maximale avec un coefficient de sécurité s. Exprimer alors la relation entre Rid , Rig et Rint . – En écrivant l’égalité des angles de torsion pour ces deux arbres, en déduire une relation liant Rid , Rig , Ld et Lg . Déterminer Rid , Rig et Rint . Toutes les applications numériques seront faites avec : Lg = 110 cm, Ld = 55 cm, Couple maxi à la roue : 1200 N m, Rpg = 220 M P a, coefficient de sécurité s = 2.

34

TD de Dimensionnement des Structures

TD 5 Sollicitation élémentaire : la flexion

On considère des poutres soumises à de la flexion. Les études proposées reprendront certaines configurations vues lors d’exercices précédents. On étudiera évidemment les cas classiques de chargement (poutre console, poutre soumise à une effort en son milieu).

Sommaire 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Cas classique de la poutre console . . . . . . . . . . . . Poutre simplement appuyée soumise à un effort en son milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poutrelle métallique chargée uniformément . . . . . . . Vanne-wagon d’un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . Montage d’essai de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

36

. . . .

36 37 39 40

« Couple, au sens mécanique du mot : système de forces parallèles et de sens contraires» Pierre Baillargeon - Romancier et traducteur français

TD de Dimensionnement des Structures

35

5.Sollicitation élémentaire : la flexion

5.1

Cas classique de la poutre console

On rencontre dans de nombreux systèmes le cas d’une pièce mécanique sollicitée en flexion qui peut se modéliser par la figure 5.1. Un telle poutre est appelée poutre console : elle est encastrée à une de ses extrémités et soumise à une charge concentrée à l’autre.

y

F O A

x

z

L

Figure 5.1 – Cas d’une poutre console 1˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs dans toute section droite de la poutre 2˚) On suppose que l’on néglige les contraintes de cisaillement. Déterminer les contraintes normales et trouver leur maximum. On étudiera plus particulièrement le cas où la section est circulaire de diamètre d et le cas où la section est rectangulaire, de largeur b de hauteur h (cf. figure 5.2).

y

G

x

y

z diamètre d = 2 r rayon r

h

x

G

z

b

Figure 5.2 – Les deux cas de sections à étudier 3˚) Déterminer l’équation de la déformée v(x) de la poutre. Intégrer cette équation et en utilisant les conditions aux limites, déterminer son expression. En déduire sa valeur maximale.

5.2

Poutre simplement appuyée soumise à un effort en son milieu

Un autre cas couramment utilisé est le cas d’une pièce mécanique soumise en son milieu à un effort concentré. Un exemple est donné sur la figure 5.3. On considère 36

TD de Dimensionnement des Structures

5.3. Poutrelle métallique chargée uniformément alors le modèle présenté sur la même figure.

L y L/2 F O z

A x

Figure 5.3 – Cas d’une poutre simplement appuyée 1˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs dans toute section droite de la poutre. 2˚) On suppose que l’on néglige les contraintes de cisaillement. Déterminer les contraintes normales et trouver leur maximum. On supposera que la section est circulaire de diamètre d. 3˚) Déterminer l’équation de la déformée v(x) de la poutre. Intégrer cette équation et en utilisant les conditions aux limites, déterminer son expression. En déduire sa valeur maximale. 4˚) Comment peut-on retrouver ce dernier résultat à partir de l’exercice précédent (cas de la poutre console) ?

5.3

Poutrelle métallique chargée uniformément

On reprend l’exemple de la poutrelle métallique (figure 5.4) dont le modèle est donné sur la figure 5.5. Le chargement extérieur est celui d’une pression linéique constante répartie sur toute la longueur L = 10 m de la poutre telle que la pression linéique soit de p = 10 N m−1 . L’étude statique a permis de déterminer les actions dans les liaisons en O et en A: – En O :   pL → −  y 2 T(Ext.− = → − →P outre) 0 O – En A : 

T(Ext.− →P outre)



 =

pL → − y 2

→ − 0

 A

1˚) Calculer le torseur des efforts intérieurs et tracer en fonction de l’abscisse x, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intérieurs. 2˚) On suppose que les contraintes tangentielles sont négligeables, déterminer alors les contraintes normales, et en particulier la valeur maximale de celles-ci. On rappelle que la section droite de la poutre est un profilé en H dont les caractéristiques géométriques sont données sur la figure 5.4. TD de Dimensionnement des Structures

37

5.Sollicitation élémentaire : la flexion

y

x

G

h

z

e

b

Figure 5.4 – Poutrelle et section

L=10 m y p=10 N.m-1 O z

A x Figure 5.5 – Modélisation de la poutrelle

38

TD de Dimensionnement des Structures

5.4. Vanne-wagon d’un barrage N.B. Pour le calcul du moment quadratique de la section en H, on négligera l’influence de l’âme et on supposera que e  h. 3˚) Déterminer l’équation de la déformée v(x) de la poutre et calculer sa valeur maximale. 4˚) Pour des raisons d’économie, on souhaite réaliser des poutres à isocontraintes normales. En effet les critères de dimensionnement à appliquer permettent de minimiser le gaspillage de matière. Lors de la réalisation de l’Université Pierre et Marie Curie, on a calculé les poutres supports en respectant la règle précédente. On a donc été amené à construire des poutres à section évolutive. On reprend donc le problème précédent en supposant que la hauteur h du profilé est maintenant une fonction de l’abscisse x. Déterminer l’expression de la contrainte normale dans ce cas. 5˚) En déduire alors, pour le profilé en H, la hauteur h de la section en un point courant, si l’on suppose que la largeur b et l’épaisseur de la semelle e sont constantes.

5.4

Vanne-wagon d’un barrage

On rappelle la modélisation choisie pour l’étude d’une nervure d’une vanne– wagon sur la figure 5.6.

L/3

B A

y

z

x

2L / 3

Partie immergée

O Figure 5.6 – Modélisation d’une nervure L’étude statique a permis de déterminer le torseur des actions mécaniques transmissibles par la liaison en O : 

T(Ext.− →P outre)



 =

− 2L2 ρge→ y 9 3 → − 4L ρge z 81

 O

On rappelle que : g = 10 m.s−2 , ρ = 1000 kg.m−3 et L = 1, 5 m. TD de Dimensionnement des Structures

39

5.Sollicitation élémentaire : la flexion 1˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs puis tracer, en fonction de l’abscisse x, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intérieurs. 2˚) Calculer les contraintes normales et tangentielles. Est-il possible de négliger l’influence de la contrainte tangentielle devant la contrainte normale ? 3˚) Déterminer la déformée de la nervure de la vanne-wagon et calculer sa valeur maximale. On supposera que la section est carrée de côté e = 2 cm.

5.5

Montage d’essai de flexion

On rappelle la modélisation de l’éprouvette proposée sur la figure 5.7. Le système étant symétrique, on suppose que les efforts appliqués sur l’éprouvette le sont aussi. Les efforts extérieurs appliqués à l’éprouvette sont les suivants :

L=70 cm y

F = 500 N L/4

F = 500 N L/4

O z

C A

B

x

Figure 5.7 – Modélisation de l’éprouvette – En A : 

T(Ext.− →P outre)



 =

– En B : 

T(Ext.− →P outre)



 =

− −F → y → − 0



− −F → y → − 0



A

B

1˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs et tracer, en fonction de l’abscisse x, les diagrammes des composantes non nulles du torseur des efforts intérieurs (on effectuera, si celà est nécessaire, l’étude statique de la poutre). 2˚) Calculer la contrainte normale et déterminer sa valeur maximale. On suppose que le matériau est un aluminium de limite d’élasticité Rp à laquelle on associe un coefficient de sécurité s, et que la section est rectangulaire (largeur b, hauteur h). Dimensionner alors la section de l’éprouvette. 3˚) Déterminer la déformée de l’éprouvette et calculer sa valeur maximale.

40

TD de Dimensionnement des Structures

TD 6 Concentrations de contraintes

On considère des poutres en prenant en compte leurs géométries réelles. Différentes sollicitations sont revisitées en prenant en compte les accidents géométriques à l’aide des coefficients de concentration de contraintes. Le dimensionnement avec les critères usuels est alors étudié.

Sommaire 6.1 6.2 6.3 6.4

Étude d’une éprouvette d’aluminium . . . . Dimensionnement d’une chape . . . . . . . Étude d’une barre de section rectangulaire Cylindre de laminoir . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

42 43 45 46

« Diplôme : signe de science. Ne prouve rien.» Gustave Flaubert - Écrivain français

TD de Dimensionnement des Structures

41

6.Concentrations de contraintes

6.1

Étude d’une éprouvette d’aluminium

On considère une éprouvette d’aluminium avec deux entailles à fond semi-circulaire dont les dimensions sont données sur la figure 6.1.

r N

D

d

N

t e Figure 6.1 – Éprouvette entaillée Les dimensions de l’éprouvette sont les suivantes : D = 60 mm, e = 10 mm et t = 5 mm. Le paramètre r est celui qu’il faut déterminer, de telle sorte que si l’on applique sur l’éprouvette une force N = 90 000 N , celle-ci reste dans le domaine élastique avec Rp = 360 M P a. 1˚) A partir de l’abaque donné sur la figure 6.2, déterminer la valeur de r. Kt

r/t 6

0,03

0,05

0,07

0,09

0,11

0,13

0,15 0,17

5,5

0,19 0,21 0,23

5

0,25 0,27 0,29 4,5

0,4 4 0,5 3,5

0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

3

1,5

2,5

2 3 2

4 5 10

1,5

1 0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

d/D

Figure 6.2 – Abaque d’une plaque entaillée

42

TD de Dimensionnement des Structures

6.2. Dimensionnement d’une chape

6.2

Dimensionnement d’une chape

On s’intéresse au dimensionnement d’une chape située à l’extrémité d’une tige de vérin. La sollicitation principale à laquelle est soumise la tige du vérin est de la traction, de telle sorte que :  →   P− x Tint = → − 0 G Les dimensions de la chape sont données sur la figure 6.3 et P = 500 000 N . r1

R A

ø1

P

ø2

P

B

r2 a ø3

R a r1 r2

C

= 76 mm = 48 mm = 5 mm = 12 mm

ø 1 = 130 mm ø 2 = 100 mm ø 3 = 98 mm

Figure 6.3 – Chape étudiée 1˚) Les concentrations de contraintes conduisent à une étude plus précise pour les points A, B, et C. Justifiez le fait qu’on s’intéresse à chacun de ces trois points. Quels sont les accidents géométriques à prendre en compte pour chacun de ces points (on se référera aux abaques de la figure 6.4) ? Pour chacun, on donnera l’expression de la contrainte nominale. 2˚) Déterminer les coefficients de concentration de contraintes associés à chacun des accidents géométriques, en considérant éventuellement plusieurs cas pour les points B et C. On conservera le plus grand coefficient de concentration de contraintes si celà est nécessaire. 3˚) Calculer les contraintes réelles pour chacun des points A, B, C. En déduire le point à prendre en compte pour le dimensionnement.

TD de Dimensionnement des Structures

43

6.Concentrations de contraintes

b

Kt

P

6

d

5

a 4

P 3

2

1 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

d /b

0,8

Kt

Kt 6

r /t 0,03

0,02

6

0,03

r /t 0,04

0,04

5

0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,80 1,00 2,00 3,00 4,00 8,00 10,00

5 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,80 1,00 2,00 4,00 6,00 10,00

4

3

2

1 0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

d /D

4

3

2

1 0,4

0,5

0,6

0,7

r P

0,8

0,9

1

d /D

r

D

d

t

P

P

D

d

P

t e

Figure 6.4 – Différents abaques de Kt

44

TD de Dimensionnement des Structures

6.3. Étude d’une barre de section rectangulaire

6.3

Étude d’une barre de section rectangulaire

On considère une barre dont le modèle est donné sur la figure 6.5. La hauteur de la barre est notée h = 6 cm, sa largeur e = 2cm.

L=10 m L/3

F= 500 N

y

p=10 N.m-1 O z

A x Figure 6.5 – Modèle de la barre

1˚) Déterminer le torseur des efforts intérieurs. Tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant. En déduire en particulier la valeur du moment fléchissant maximal. 2˚) Calculer la valeur de la contrainte maximale, et en supposant que l’on utilise un matériau de limite élastique pratique Rp = 370 M P a, déterminer le coefficient de sécurité. 3˚) Pour faire passer un câble de fixation, on ajoute à la barre précédente une entaille en x = L3 . Les dimensions caractéristiques de cette entaille sont données par r = 2 mm et t = 0, 6 cm.

y r t

D

z

x

d e

Figure 6.6 – Caractéristiques de l’entaille On peut calculer la valeur du coefficient de concentration de contraintes associé à cette entaille en flexion à partir des formules suivantes : Kt = q avec

s Kp =

1 1 (0,684Kp )2

+

1 (1,622Kq )2

+1

1 t Dd + 1 − 1 et Kq = p r d r1− D t

Calculer le coefficient de concentrations de contrainte et conclure sur le dimensionnement de la barre. TD de Dimensionnement des Structures

45

6.Concentrations de contraintes

6.4

Cylindre de laminoir

On s’intéresse à un cylindre de laminoir à tube (figure 6.7). Compte tenu des différents roulements utilisés pour le montage de l’arbre principal et des efforts extérieurs dus au tube à laminer, on adopte la modélisation proposée sur la figure 6.8.

Figure 6.7 – Laminoir à tube

F

y

O

z

x

2L / 3

L/3

Figure 6.8 – Modèle d’étude 1˚) Écrire le Principe Fondamental de la Statique appliqué à la poutre. Est-il possible de déterminer les inconnues statiques ? 2˚) On donne sur la figure 6.9 des expressions de la flèche et de sa dérivée pour un chargement paramétré par α. En décomposant le problème initial en deux sous problèmes de flexion dont l’un est soumis à l’effort F et l’autre à un effort inconnu, déterminer la flèche à l’extrémité de la poutre par superposition de ces deux problèmes. 3˚) Déterminer alors les actions mécaniques extérieures dues aux liaisons. 4˚) Calculer le moment fléchissant et en particulier le point où il est maximum. 46

TD de Dimensionnement des Structures

6.4. Cylindre de laminoir

P A

C

α

−α

B

P A à C : v = – ----------- x 2 ( 3 α – x ) 6E I P C à B : v = – ----------- x 2 ( 3 x – α ) 6E I P v B = – ----------- α 2 ( 3 – α ) 6E I

P A à C : v‘ = – ----------- x ( 2 α – x ) 2E I v‘ A = 0 P C à B : v‘ = – ----------- α 2 2E I P α2 v‘ B = – ------------2E I

Figure 6.9 – Formulaire 5˚) Indiquer où vont se situer les concentrations de contraintes, et calculer le coefficient de concentration de contraintes. On prendra rt = 0, 3 et les autres dimensions seront mesurées sur le plan. β2 est l’angle du cône de raccordement entre les deux diamètres (mesuré à partir de la verticale sur le plan). On donne : √ β cos( 2 ) (β) Kt = K t avec Kt = q et

s Kp =

1 1 (0,715Kp )2

+

1 (2Kq )2

+1

t Dd 1 + 1 − 1 et Kq = p r d r1− D t

TD de Dimensionnement des Structures

47

TD 7 Flambement

On s’intéresse à différentes poutres dont les conditions aux limites varient. Le but est de balayer l’éventail classique des valeurs de charges critiques et de construire un tableau résumant les résultats obtenus.

Sommaire 7.1 7.2 7.3

Étude d’une machine d’essai de traction . . . . . . . . . . Étude d’un vérin hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 51 53

« Le commencement de toutes les sciences, c’est l’étonnement de ce que les choses sont ce qu’elles sont.» Aristote - Philosophe grec

TD de Dimensionnement des Structures

49

7.Flambement

7.1

Étude d’une machine d’essai de traction

On considère une machine d’essai de traction de laboratoire dont une photographie est donnée sur la figure 7.1.

T

E

h

B

B

H

L

Figure 7.1 – La machine étudiée On propose sur cette même figure un modèle d’étude constitué de l’assemblage de plusieurs poutres : – deux barres latérales notées B de section S b , de hauteur H et de module d’Young E b ; t – une traverse notée T , de longueur L, de moment quadratique en flexion IGz et t de module d’Young E ; – une éprouvette notée E de longueur l, de section S e , de moment quadratique e et de module d’Young E e . en flexion IGz → − L’axe z est perpendiculaire au plan de la figure. Sur cette machine, on peut mesurer le déplacement de la traverse par la mesure du nombre de tours des vis à billes (modélisées par les deux poutres B) sur lesquelles est montée la traverse. 1˚) On suppose que l’éprouvette est soumise à un effort de compression N . Déterminer les sollicitations dans toutes les poutres du système. 2˚) Représenter une allure de la déformée du système constitué des différentes poutres. 3˚) Calculer les déplacements maximaux dans chacune des poutres du système en fonction de l’effort N et des caractéristiques géométriques et matériau de chacune des poutres. On notera ∆T le déplacement maximal de la traverse, ∆B celui des barres et ∆E celui de l’éprouvette. 4˚) Quelle relation relie les différents déplacements calculés précédemment ? Conclure sur la pertinence d’une mesure de d’allongement sur l’éprouvette à partir de la mesure du nombre de tour des vis à billes. 50

TD de Dimensionnement des Structures

7.2. Étude d’un vérin hydraulique 5˚) L’éprouvette est soumise à de la compression. On souhaite vérifier qu’elle ne risque pas de flamber au cours de l’essai. Pour celà, on adopte le modèle proposé sur la figure 7.2 y

O z

A

N

x

h Figure 7.2 – Éprouvette en compression Tracer une allure de la déformée flambée de la poutre 6˚) Déterminer l’équation vérifiée par la flèche et écrire les conditions aux limites. 7˚) Calculer la valeur de la charge critique en fonction de l’effort N , de la lone gueur h, du module d’Young E e et du moment quadratique de la section IGz

7.2

Étude d’un vérin hydraulique

La figure 7.3 représente un vérin hydraulique. Un des critères de dimensionnement à prendre en compte pour le choix d’un vérin est le flambement de la tige. On retrouve en effet dans de nombreux catalogues de constructeurs des graphes permettant de valider le critère de non flambement de la tige (voir figure 7.4).

Figure 7.3 – Plan du vérin hydraulique Nous allons ici nous intéresser à la détermination de la charge critique de flambement de la tige dans diverses configurations : – tige totalement sortie et non guidée à son extrémité : modèle de la figure 7.5, – tige à moitié rentrée et guidée à son extrémité, modèle de la figure 7.6 – tige totalement rentrée, modèle de la figure 7.7. Pour chacune des configurations proposées, on propose de mener une étude permettant de déterminer la valeur de la charge critique d’Euler. Pour celà, on répondra aux questions suivantes pour chaque configuration. 1˚) Tracer une allure de la déformée flambée de la poutre TD de Dimensionnement des Structures

51

7.Flambement

Palier à rotule Valeurs limites pour course et pression de fonctionnement pour des efforts de flambage 1200 1100 1000

Course [mm]

900 800 700 600

Ø 80

500

Ø 63

400 300 200 100 0

Ø 50 Ø 40

piston Ø 32 piston Ø 25

0

50

100

150

200

Pression [bars]

Figure 7.4 – Extrait du catalogue ROEMHELD 2˚) Déterminer l’équation vérifiée par la flèche et écrire les conditions aux limites. 3˚) Calculer la valeur de la charge critique en fonction de l’effort F , de la longueur L, du module d’Young E et du moment quadratique de la section IGz y

F

O A

x

z

L Figure 7.5 – Tige totalement sortie

y

O

z

L/2 A

F

x

L Figure 7.6 – Tige à moitié rentrée

52

TD de Dimensionnement des Structures

7.3. Bilan y

F

O

A x

z

L Figure 7.7 – Tige totalement rentrée

7.3

Bilan

On propose de résumer les différents résultats dans le tableau ci-dessous. On suppose que la charge critique de flambement s’écrit sous la forme : Fc =

π 2 EIGz (µL)2

F

L x

y z

z

x

L/2 y

x z

y

z

y z

O

µ=1

O

O

O

O

y

x

x

L

L

L

L

A

A

F A

A

A

F

F

F

1˚) À partir des résultats des exercices précédents, remplir le tableau 7.1.

µ=

µ=

µ=

µ=

Table 7.1 – Bilan des valeurs de charges critiques 2˚) Justifier certaines valeurs du coefficient µ sans faire aucun calcul.

TD de Dimensionnement des Structures

53

7.Flambement

54

TD de Dimensionnement des Structures