Cours Physique3 Vibration
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Un niversité Ferhat A Abbas Séétif Facultéé de Tech hnologie Tronc C Commun n Sciencees et Tech hniques
A.CH HITER M M.GUELLLAL
V ratio Vibr ons et e Onde O es C Cours d phy de ysique 3 Destiné és aux éttudiants D la deu De uxième année a du tronc commun ST T
2 2011/201 12
Oscillations libres non amorties des Systèmes A un seul degré de liberté
Chapitre I
Oscillations libres non amorties des systèmes à un seul degré de liberté
Chapitre I Oscillations libres non amorties des systèmes à un seul degré de liberté 1. Introduction : Sous la vibration on comprendra tout les processus oscillatoires qui ont lieu dans les appareils et les machines comme la suite de l’excitation des constructions par des forces dynamiques. Les vibrations se présentent pendant le transport et l’exploitation. On distingue deux types de sources excitant les oscillations : extérieures et intérieures. Sources extérieures : -
Irrégularité de la route ;
-
turbulence de l’atmosphère ;
-
bruit acoustique;
-
agitation de l’eau.
Et comme sources intérieures : -
Rotation non uniforme d’un arbre ;
-
rotations des pièces d’une transmission ou des mécanismes.
D’habitude les vibrations produites par les sources extérieures sont plus intenses par rapport aux celles des sources intérieures.
2. Classification des processus oscillatoires (vibratoires) : Processus oscillatoire
Indéterminé (Aléatoire)
-
Stationnaire Non stationnaire (choc) Parfaitement aléatoire (bruit blanc) Markovien. Aléatoire à bande large. Aléatoire à bande étroite.
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Mixte
Déterminé
Périodique
-
Harmonique. Poly-harmonique.
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Apériodique
-
Presque périodique (Casi- périodique) Transitoire
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Chapitre I
Oscillations libres non amorties des systèmes à un seul degré de liberté
3. Caractéristique d’une oscillation sinusoïdale harmonique : Une oscillation est dite périodique, si les variations de son amplitude se reproduisent régulièrement au bout d'une période constante. La figure ci-dessous montre la courbe d’une oscillation « signal » périodique.
La durée d'une période corresponde à une rotation de 360 degrés (ou 2 π radians) sur le cercle trigonométrique. La période : C’est la durée d'un cycle, elle s'exprime en seconde et ses sous-multiples (voir unités) : Milliseconde:1 0,001 Microseconde: 1μ 0,000.001 Nanoseconde: 1 0,000.000.001 La fréquence : Elle correspond au nombre de cycles effectués par secondes. L'unité est l’Hertz (symbole Hz) avec ses multiples : Kilohertz, 1 kHz = 1000 Hz, Mégahertz, 1 MHz = 1000 000 Hz, Gigahertz, 1 GHz = 1000 000 000 Hz.
On peut aussi associer les unités suivantes : ms et kHz, µs et MHz, ns et GHz.
Exemple de calcul : Pour une fréquence de 50 Hz la période est égale à : 20 . La pulsation : Elle s'exprime en / et se calcule à l'aide de la formule : . !.
"
Cette fonction peut s’écrire (voir la figure ci-dessus):
.!
#$%& '. ()*$ . % + ,&
Où : ': est l’amplitude maximale, : la pulsation . , ,: Angle de phase , Physique 3 « C.A-G.M »
%: le temps ,
: la période
: fréquence /0 " 1.
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Chapitre I
Oscillati Oscillations libres non amortiess des systèmes à un seul degré de liberté
4. Quelques processus oscillatoires : Oscillatoire harmonique :
Casi- harmonique :
Distortionnel sinusoïdal :
Harmonique pendant le processus transitoire :
Harmonique pendant les battements :
Aléatoire à bande large :
Aléatoire à bande étroite :
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Chapitre I
Oscillations libres non amorties des systèmes à un seul degré de liberté
5. Définition de la vibration : On entend par vibration tout mouvement qui avec ou sans vitesse initiale, après un déplacement initial, oscille d’une manière libre. Exemple : • • • •
Systèmes mécaniques : Masse-ressort, pendule simple. Systèmes électriques. Systèmes acoustiques. Systèmes optiques : lasers.
6. Coordonnées généralisées : 6.1. Coordonnées cartésiennes : On définit par les coordonnées cartésiennes d’un point 1 par rapport à l’origine 2 par le
vecteur de position 33333334 21 334
3333334 6. 5 346 + 8. 5 348 + 0. 5 340 334 21 Coordonnées cartésiennes : 66 88 00
6.2. Coordonnées cylindriques : 3333334 . 5 34 + 0. 5 340 334 21 Coordonnées cartésiennes : 6 . 7 8 . 7 00
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Chapitre I
Oscillati Oscillations libres non amortiess des systèmes à un seul degré de liberté
6.3. Coordonnées sphériques : 3333334 . 5 34 + 0. 5 34304 334 21 334 3333334 21 . 5
Coordonnées cartésiennes : 6 . 7. 9 8 . 7. 9 0 . 7
6.3. Angle d’Euler : 3333334 . 5 34 + 0. 5 34304 334 21 3333334 334 21 . 5
Précession: par rotation de 9 autour de 20 : 6 : 6 et 8 : 8 Nutation: par rotation de Ψ autour de 26 : 8 : 8< et 0 : 0< $0< 0= ) Rotation propre: par rotation de 7 autour de 20< : 6 : 6= et 8< : 8=
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Chapitre I
Oscillations libres non amorties des systèmes à un seul degré de liberté
La position d’un point 1 dans l’espace peut être déterminée par trois coordonnées suivant les axes (6, 8, 0&. La position d’un corps solide dans l’espace peut être définie par six coordonnées : -
Trois coordonnées relatives au centre de gravité.
-
Trois coordonnées liées aux angles d’Euler$>é Ψ, "@@ 7, @@ A A 9&.
Les coordonnées généralisées, d’un système de B points matériels et C corps solides est définie par : D E. B F G. C coordonnées. On désigne par : H $%&, H $%&, HE $%&, … … … . . HD $%& Les coordonnées généralisées. HJ $%&, H J $%&, HEJ $%&, … … … HDJ $%& Les vitesses généralisées.
7. Degré de liberté : C’est le nombre de coordonnées indépendantes nécessaires pour déterminer la position de chaque élément d’un système pendant son mouvement à tout instant. K F où K 3> F 6N
On écrit alors :
3> F 6N F
: Degré de liberté (ddl). K: Nombre de coordonnées généralisées. : Nombre de relations entre les coordonnées (nombre de liaisons). Exemple : Soit un système mécanique constitué de deux points 1 et 1< reliés par une tige de longueur O. Trouver le nombre de degré de liberté de ce système. 1 P6, 8 , 0 Q : 3 1< P6: 6&5 &
$ /
%5 ' :,= >: 6&5 & ?
D1 et D2 : sont des constantes qui dépendent des conditions initiales du mouvement La courbe déplacement-temps correspondante à cette solution possède trois formes distinctes %5
'
dépendant du radical : 4) *+ ,6&5 & Il existe 3 cas selon que ce radical soit : réel, nul ou imaginaire 1er cas : le radical est réel : ) @ *+
Le mouvement du système est dominé par l’amortissement. En déplacement et relâchement, le système atteint l’équilibre exponentiellement. Il n’ya pas d’oscillations qui se produisent. Théoriquement le système ne retourne jamais à sa position initiale : On dit que le système est fortement amorti (Amortissement Fort). Exemple de systèmes élastiques fortement amortis : Fermeture automatique d’une porte.
Le mouvement est exprimé par l’équation : 789 / :;. : 6&5 & ?
et peut être représenté sur la figure ci-dessous.
Remarques : 789 tend vers zéro avec l’augmentation du temps. Cet amortissement est caractérisé
par un mouvement non sinusoïdal (pas d’oscillation) 2ème cas : le radical est nul : ) *+
Dans ce cas, le mouvement est caractérisé par un amortissement critique. Et la valeur du coefficient d’amortissement pour laquelle le système devient ainsi est appelée : Coefficient d’amortissement critique, et notée αc .
αc est fonction des constantes du système m et k. Physique 3 « C.A-G.M »
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Chapitre II ) *+
Oscillations libres amortis des systèmes à un seul degré de liberté A
%5 ' 6&5 &
0
A B 4
A B 2√ 2*+
Rapport d’amortissement critique (taux d’amortissement) : %
D
- √'& % c’est un paramètre adimensionnel. E
Dans le cas d’un amortissement critique, le système est ramené à sa position d’équilibre en un temps minimum et sans oscillation. Mathématiquement les deux racines caractéristiques 1 et 1 de l’équation sont identiques, dans ce cas le déplacement s’écrit :
%
789 7 $ 89/ :;. 7 $ 89/ :&.
3ème cas : le radical est imaginaire : ) @ *+
C’est le cas d’un amortissement harmonique dans lequel une oscillation se produit près de la position d’équilibre, et chaque amplitude diminue par rapport à celle qui la précède. Dans ce cas la solution générale est exprimée comme suit :
789 /
:;.
& 6& / ?
$ /
:F,GH5 :; 5
?
Ou bien en forme trigonométrique :
789 / :;. IJ. KLM7*N 89 $ O. MPQ7*N 89R S/ :;. MPQ7*N 8 $ T9
Avec : *N ,*+ ) : la pulsation de l’harmonique amortie *+ : la pulsation de l’harmonique non amortie
) : le coefficient d’amortissement relatif Physique 3 « C.A-G.M »
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Chapitre II
Oscillations libres amortis des systèmes à un seul degré de liberté
A, B, C, D1 et D2 sont des constantes qui peuvent être déterminées par les conditions initiales. Le mouvement est montré par la figure ci-dessous :
La pulsation amortie *N et la pulsation non amortie *+ sont reliées pas la relation suivante : ;5
*N ,*+ ) *+ ,1 5 G *N *+ ,1 -
H
où
;
-G
H
En fonction du taux d’amortissement, la pulsation naturelle amortie étant toujours inférieure à la pulsation naturelle non amortie (*N U *+ 9.
La figure ci-dessous montre la diminution de la pulsation naturelle avec l’augmentation de l’amortissement. Cette caractéristique est obtenue par l’équation *N *+ ,1 - qui est légèrement transformée algébriquement à: G
GV $ - 1 et qui correspond à l’équation d’un cercle. H
En génie mécanique, l’amortissement représente une petite fraction de l’amortissement critique, mais ne peut pas être négligé (< à 1/1000). Les systèmes amortis ayant un taux d’amortissement
supérieur à - 0.2 sont à considérer. La valeur typique de l’amortissement pour les par-chocs des automobiles est de l’ordre de - 0.1 ÷ 0.5.
Par contre la valeur typique de l’amortissement pour le caoutchouc est plus petite, et est de l’ordre de - 0.04
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Chapitre II
Oscillations libres amortis des systèmes à un seul degré de liberté
2- CAS D’UN SYSTEME ELECTRIQUE : Soit le système électrique suivant :
On a : XY $ X $ XZ X789
Si X789 0 (Sans potentiel d’excitation) : XY $ X $ XZ 0 ]
[ \. P $ . $ Z 0
La charge 789 est liée au courant P789 par : 789 ^ P_8 [
5
Y
\. $ . 5 $ Z 0
[
# $ . $ Z 0
[
[
# $ 2). $ *+ . 0 Y
)
Avec :
Et
*+
[
Y
. # $ \. $ Z 0
5 5
]
√Z
P789
√Z
Dans le cas d’un amortisseur Critique [
) *+
\ \B 2,Z
3- DECREMENT LOGARITHMIQUE: C’est le Logarithme du rapport de deux amplitudes successives des oscillations amorties: "7 9
Q "7` 9 5
avec :
8 8 $ N
Il caractérise la décroissance relative de l’amplitude de l’oscillation pendant une période. Q a
78 9 78 9 b Q a b 78 9 8 $ N
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Chapitre II
Oscillations libres amortis des systèmes à un seul degré de liberté
789 S/ :;. MPQ7*N 8 $ T9
1 S/ :;.` MPQ7*N 8 $ T9 f Q g :;.e h Qi/ ;.eV j ). N Q c :;.7 de 9 V ` V MPQ7* 78 $ 9 $ T9 / S/ N N Donc : ). N
D’autre part on a : N
k GV
*N *+ ,1 -
et
,
-
; GH
Donc : ).
k
[
GH ,:l 5
kl
,:l 5
Le décrément logarithmique et le taux d’amortissement sont des constantes du système qui ne sont pas arbitraires, mais dépendantes des conditions de la surface, de la température, de la dimension, de la forme et d’autres conditions.
Comme exemple 4 est une valeur du décrément logarithmique d’un système absorbeur de choc
dans une automobile. Après six mois d’utilisation le décrément diminue jusqu’à 2.
6- ENERGIE PERDUE PAR FROTTEMENT VISQUEUX
Soit un système mécanique (m, k, α).On suppose qu’il reçoit une énergie extérieure compensant son énergie perdue par frottement, de sorte que l’amplitude de ses vibrations reste constante. C'est-àdire que l’énergie perdue par frottement visqueux est égale à l’énergie reçue de l’extérieur. Le taux de dissipation de l’énergie par unité de temps est défini par : _m _ _ n = > _8 _8 _8
L’énergie dissipée au cours d’un cycle complet est : deV
Δm pq
deV
n_ p pq
Pour un mouvement harmonique simple :
deV
_ p pq
_8p
789 + MPQ7*+ 8 $ T9
deV
Δm p q
789 + *+ KLM7*+ 8 $ T9
r+ *+ KLM7*+ 8 $ T9s _8p deV
Δm p + *+ q
rKLM7*+ 8 $ T9s _8p
deV dBuv7GH dw9
Δm t + *+ ^
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_8t
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Chapitre II Δm p Δm t
Oscillations libres amortis des systèmes à un seul degré de liberté
deV
+ *+ 1 MPQ27*+ 8 $ T9h p g8 $ 2 2*+
%"H 5 GH 5 N t
Δm | z + *+ |
qui devient en supposant N x +
k GH
Δm z + *+
Par ailleurs, on peut examiner l’évolution de la force en fonction du déplacement :
. et
789 + MPQ7*+ 89 [
789 + *+ KLM7*+ 89 "
{ H GH
Ce qui donne : " $ %" H
MPQ7*+ 89
"79 "H
" 79 H GH
[ KLM7*+ 89 "
:{ H GH
%"
KLM 7*+ 89 $ MPQ 7*+ 89 1
Le résultat obtenu est une équation d’ellipse qu’on représente sur la figure ci-dessous :
γ : Constante d’amortissement
L’aire de l’ellipse est l’énergie dissipée par cycle Δm z + *+, l’énergie est proportionnelle au carré de l’amplitude de mouvement. L’énergie dissipée dépend également de la fréquence.
7- AMORTISSEMENT SPECIFIQUE : La capacité d’amortissement spécifique est définie comme étant la partie fractionnelle de l’énergie totale du système vibrant qui est dissipée durant chaque cycle du mouvement : |} }
Pour un système simple avec coordonnées généralisées est directement liée au décrément logarithmique et au taux d’amortissement. On désigne le rapport
dissipation de l’énergie ou (coefficient d’absorption) :
Ψ
| }
le coefficient de
Δm z + *+ *+ 2z
1 E 2 +
*+ 1 4z 2z
*+ 4z 4z) ) 2) Ψ 2z 2 *+ *+ *+ *+ 7 ⁄9
Ψ
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Chapitre II
Oscillations libres amortis des systèmes à un seul degré de liberté ) 4z*+
Ψ 2) 4z kl
Or
,:l 5
x 2z- (- 9
Donc : Ψ 2) 4z- 2 L’énergie totale U peut être exprimée soit comme l’énergie potentielle maximale l’énergie cinétique maximale
*+ +,
+
, soit comme
les deux étant approximativement égales pour un
amortissement faible. L’amortissement n’est souvent pas utilisé dans les vibrations mécaniques, sauf pour un amortissement faible (D < 0,01), ou il est utilisé pour la comparaison de la capacité d’amortissement. 8- FACTEUR DE QUALITE
La force de frottement . fait perdre au système son énergie mécanique à chaque période. Le facteur de qualité est défini par : 2z
V
|||
m&N" : Energie maximale stockée dans le système
|Δm| : Energie perdue par cycle
Pour un système (m, k, α) : 789 + MPQ7*+ 89
+ *+ + m&N" &N" `
&GH5 "H5
5 Donc : 2z k%"
[
GH ;
7;⁄G
H
5G H
H9
[
&GH %
[ l
G
car *+ G
%⁄H& 7%⁄H&9
Remarque : Lorsque les mouvements sont rapides, le décrément logarithmique n’est pas mesurable et sa mesure est remplacée par celle du facteur de qualité Q. Cas d’un système électrique (R, L, C): m&N" Z &N" Z + *+ + car S G5 Δm z + *+
[
GH Y
H
l
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Oscillations forcées des systèmes à un seul degré de liberté
Chapitre III
Oscillations forcées des systèmes à un seul degré de liberté
Chapitre III Oscillations forcées des systèmes à un seul degré de liberté 1- INTRODUCTION Dans ce chapitre on s’intéresse principalement aux oscillations linéaires forcées pour des systèmes à un seul degré de liberté, et on considère que la force d’excitation est linéaire de type sinusoidale de fréquence différente à la fréquence propre du système. Pour un tel système, l’équation différentielle peut être écrite comme suit :
2- EQUATION DIFFERENTIELLE DU MOUVEMENT
Soit le système mécanique : Masse m, Ressort k, Amortisseur
La forme générale de l’équation de Lagrange est : Ce qui donne :
Avec : . ! : Force sinusoïdale appliquée à la masse m. . ! "
$
%
# # #& . ! %
2( ! #& . ! équation différentielle du 2ème ordre avec 2nd membre
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Chapitre III
Oscillations forcées des systèmes à un seul degré de liberté
3- SOLUTION DE L’EQUATION DIFFERNTIELLE DU MOUVEMENT : La solution de cette équation différentielle est égale à la somme de la solution de l’équation sans second memebre (ou solution homogène) ) et d’une solution paticulière de l’équation avec
second membre * , tel que : ) * 3-1- Solution homogène :
C’est la solution de l’équation différentielle : 2( ! 0
On suppose que ( , ! : Cas des oscillations faiblement amorties. ) -. /0. !1 2
Avec : !1 3! ( : la pulsation de l’harmonique amortie ! : la pulsation de l’harmonique non amortie
( : le coefficient d’amortissement relatif 3-2- Solution particulière:
%
2( ! 5. !
Avec : 5 #&
La solution * est de la même forme que la force extérieure, donc :
* 6. ! 7
Qu’on peut exprimer sous forme complexe par : 8* 6. . 9: ;! ! 2(! ? 5
Et on obtient :
6
@
C
3AB:&C /:C D ;0:C E
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Chapitre III
Oscillations forcées des systèmes à un seul degré de liberté
On a aussi d’après (1) :
6. ! ! 5. F 7
6. 2(! 5. 7 Ce qui donne :
G7
/0:
B:&C /:C D
La solution particulière s’écrit enfin : *
5
H>! ! 2(! ?
. I! JG K
2(! LM ! !
Remarques importantes : 1- La solution générale est la somme de deux solutions : •
Une solution homogène dont l’amplitude et l’énergie diminue avec le temps ce qu’elles deviennent nulles. C’est une solution transitoire.
•
Une solution particulière de pulsation ! et d’amplitude A égale à:
6
5
H>! ! 2(! ?
C’est une solution permanente ou stationnaire. 2-
Après un certain temps, le régime transitoire disparait et le mouvement oscillatoire n’est dû
qu’au mouvement permanent* .
Pour , : ) * Pour N : *
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Chapitre III
Oscillations forcées des systèmes à un seul degré de liberté
4- VARIATION DE L’AMPLITUDE EN FONCTION DE LA PULSATION DE LA FORCE EXTERIEURE : 6!
6! 6! 6
5
H>! ! 2(! ? 5 !
( ! ! ! OP1 R! S R2 ! ! S T
! ( ! OP1 R S R2 S T ! ! !
1
5
6
! ! OP1 R S R2U S T ! !
! ! OP1 R S R2U S T ! !
@
0
Avec : 6 :C et U : V: V&
&
&
: W
est maximale pour R: S H1 2U &
La valeur de ! pour laquelle l’amplitude A est maximale dépend du rapport d’amortissement 0
U : . &
Remarques importantes : 0
: W
V W
1- Quand le rapport d’amortissementU : augmente, le point RR: S , RV S S se déplace vers &
&
&
la gauche.
2- L’amplitude A varie non linéairement en fonction de la pulsation !.
3- L’amplitude A diminue quand le rapport d’amortissement augmente.
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Chapitre III
Oscillations forcées des systèmes à un seul degré de liberté
5- VARIATION DE LA PHASE EN FONCTION DE LA PULSATION DE LA FORCE EXTERIEURE :
La phase est exprimée par : /0: B:&C /:C D
G7
G! G7
Y Z Z& Z& ZC K[/ C L Z&
/
Z S Z& C Z
/\ R
[/R
Z&
Z Z& ZC K[/ C L Z&
/\
S
L’étude des variations de la phase permet d’écrire :
Pour : 1
G1 ∞
&
Pour U 0
]
7
G7 0
7 0 F_ `
^U
:
^ R: S &
6-INTERPRETATION DES GRAPHES : Il y a trois cas : 1er cas : Faibles fréquences
U a 1 (! a ! )
@
6 b 6 :C
,
&
2ème cas : Hautes fréquences
U c 1 (! c ! )
,
6b0
%& $
et
7 0
7 `
et
Aux environs des hautes fréquences, l’amplitude décroit jusqu’à ce qu’elle se rapproche de la valeur zéro. En effet, la fréquence de la perturbation extérieure est très grande, donc les variations appliquées sur la masse m sont très rapides. Puisque la masse m possède une inertie, alors elle ne peut pas suivre ces variations.
3ème cas : Cas de la Résonnance U b 1 (! b ! b !d )
L’amplitude est maximale 6 6#1 ]
7 ^U
V&
\H[/\ C
pour
: :&
H1 2U
* Si e b f (système sans amortissement) :
L’amplitude tend vers l’infini. Or en réalité les systèmes sont tous amortis, donc l’amplitude a toujours une valeur finie. * Si e a (système faiblement amorti) : Physique 3 « C.A-G.M »
Vghi V&
b
[ \
et ! b ! b !d
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Chapitre III
Oscillations forcées des systèmes à un seul degré de liberté
7-PHENOMENE DE RESONNANCE ET FACTEUR DE QUALITE : - Le phénomène de résonnance apparait quand la pulsation de l’excitation se rapproche de pulsation propre du système. - A la résonnance l’amplitude d’oscillation augmente jusqu’à dépassement des limites d’élasticité des systèmes mécaniques produisant leur destruction. - Dans les systèmes électriques (exemple : appareil de réception) ce phénomène permet de calculer le facteur de qualité Q qui augmente lorsque l’amplitude maximale augmente : j
6#1 1 6 2U
- Une autre méthode pratique permettant de déterminer le facteur de qualité : j
:& :C /:k
! ![ : C’est la bande passante. Quand U augmente :
Q augmente et la quantité ! ![ augmente aussi
Donc la courbe de résonnance est plus large, conduisant à une diminution de l’amplitude de résonnance, donc de la qualité aussi.
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Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
Chapitre IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté 1. Introduction : Les systèmes qui nécessitent plusieurs coordonnées indépendantes pour spécifier leurs position sont appelés systèmes à plusieurs degrés de liberté. Il y’a autant d’équations de Lagrange que de degrés de liberté ou de coordonnées généralisées. Les systèmes à deux degrés de liberté, bien que faisant partie des systèmes à degré de liberté, sont traités à part. En effet leur petite taille facilite les calculs analytiques, la compréhension des méthodes plus générales et l’introduction de la notion de couplage. Par ailleurs, ils permettent d’expliquer des applications utiles telles que l’étouffeur de vibration (amortisseur) et la fixation des systèmes. Dans ce qui suit, on s’intéresse aux oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté comme un cas particulier des systèmes à plusieurs degrés de liberté. Pour l’étude des systèmes à deux degrés de liberté, il est nécessaire d’écrire deux équations différentielles du mouvement.
0
0
, : Coordonnées généralisées
2. Les différents types de couplage pour un système à deux degrés de liberté : Un système oscillatoire à deux degrés de liberté possède deux coordonnées généralisées , , deux équations différentielles et deux pulsations propres , .
2 .
2 ! .
!
" . ! # . !
"! . #! .
Les deux seconds membres du système représentent les termes de couplages. Les coefficients % et % : représentent la raideur « ressort » ;
& et & : représentent l’amortissement « amortisseur » ;
' et ' : représentent l’inertie « masse » .
% , %, & , & , ' , ' : sont des constantes.
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Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
Il existe quatre cas : « Trois types de couplage » Premier cas : Toutes les constantes sont nulles. Ce qui se traduit par -
Deux équations, qui ne sont pas couplées. Le système possède deux mouvements indépendants.
Si les constantes ne sont pas nulles, le mouvement par la première coordonnée influe sur la deuxième, et on dit que les deux équations différentielles sont couplées. Deuxième cas : % , % ( 0 , & , & 0 )* ' , ' 0
On appelle ce type de couplage : Elastique ou capacitif, et les deux sous-systèmes sont liés par un ressort (dans le cas d’un système mécanique) ou une capacité (dans le cas d’un circuit électrique). Exemple : 1. Systèmes mécaniques : Couplage élastique
2. Système électrique : Couplage capacitif
Troisième cas : % , % 0 , & , & ( 0 )* ' , ' 0 On appelle ce type de couplage : Visqueux ou résistif, et les deux sous-systèmes sont liés par un amortisseur (dans le cas d’un système mécanique) ou une résistance (dans le cas d’un circuit électrique). Exemple : 1. Systèmes mécaniques : Couplage visqueux
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Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
2. Système électrique : Couplage résistif
Quatrième cas : % , % 0 , & , & 0 )* ' , ' ( 0 On appelle ce type de couplage : Inertiel ou inductif, et les deux sous-systèmes sont liés par une masse (dans le cas d’un système mécanique) ou une bobine (dans le cas d’un circuit électrique). Exemple : 1. Systèmes mécaniques : Couplage inertiel
2. Système électrique : Couplage inductif
3. Etude des oscillations libres non amorties de deux pendules couplés : (Couplage parallèle élastique) Les systèmes les plus répondus dans la pratique sont les systèmes à couplage élastique. 3.1. Equation différentielle : - . ./01 3 + , - . '2.1 - . ./01 3 + , - . '2.1 |5 | %. ./01 %. ./01
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Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
L’énergie cinétique : 6 67 67
or :
9 97 97 95
67 . + . - . 1
et
1 1 6 . + . - . 1 . + . - . 1 2 2
L’énergie potentielle :
Et 95 . ;. 5
67 . + . - . 1
or :
97 + . :. - . '2.1 , 97 + . :. - . '2.1
95 . ;. %. ./01 %. ./01
95 . ;. % ./01 ./01
Pour le cas des petites oscillations : ./01 < 1 95 . ;. % 1 1
1 9 + . :. - . '2.1 + . :. - . '2.1 . ;. % 1 1 2
1 1 9 + . :. - . '2.1 + . :. - . '2.1 . ;. % 1 ;. % 1 1 . ;. % 1 2 2
Le Lagrangien :
= 6 9
= . + . - . 1 . + . - . 1 + . :. - . '2.1 + . :. - . '2.1 . ;. % 1 ;. % 1 1 . ;. % 1
Equations de Lagrange :
B
B
+ . - . 1
B
> @= @= 0 ? A >* @1 @1
> @= @= 0 ? A @1 >* @1
+ . - . 1 …………………………………………………………….………………..(1)
+ . :. - . ./01 ;. % 1 ;. % 1
B
+ . :. - . 1 ;. % . 1 ;. % . 1
B
;. % + . :. - 1 ;. % 1 …………………………………………………………..……………………..(2)
B
+ . :. - . ./01 ;. % . 1 ;. % . 1
B
B
+ . - . 1
B
+ . - . 1 ……………….……………………..…………….………………………..(3)
B
+ . :. - . 1 ;. % . 1 ;. % . 1
;. % + . :. - . 1 ;. % . 1 ……….……………………………….……………………………………..(4)
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Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
D’après les relations (1) et (2) :
+ . - . 1 ;. % + . :. - . 1 ;. % . 1 0
Ce qui donne la première équation du système : + . - . 1 ;. % + . :. - . 1 ;. % . 1 Et d’après les relations (3) et (4) :
+ . - . 1 ;. % + . :. - . 1 ;. % 1 0
Ce qui donne la deuxième équation du système : + . - . 1 ;. % + . :. - . 1 ;. % . 1 B B
+ . - . 1 ;. % + . :. - . 1 ;. % . 1
0
B B
0
+ . - . 1 ;. % + . :. - . 1 ;. % . 1
Terme de couplage c’est le : C. ! qui est un couplage élastique.
Si D Ressort fixé aux points de fixation des deux pendules E et E autrement dit le ressort n’a aucune influence ou comme s’il n’existe pas c'est-à-dire : C D.
+ . - . 1 ;. % + . :. - . 1 0
Le système devient :
+ . - . 1 ;. % + . :. - . 1 0
Donc le couplage est nul et les deux systèmes sont indépendants. Si non : Pour simplifier la tâche des calculs, on pose : - - - et + + + +. - . 1 ;. %2 +. :. -. 1 ;. % . 1
+. - . 1 ;. %2 +. :. -. 1 ;. % . 1
Ou encore sous la forme suivante :
+. - . 1 F;. %2 +. :. -G. 1 ;. % . 1 0 +. - . 1 ;. % . 1 ;. %2 +. :. -. 1 0
Qu’on peut l’écrire sous forme matricielle comme suit : H+. 0 Physique 3 « C.A-G.M »
2 0 I . J1 K J;. % +. :. +. - 1 ;. %2
;. %2 1 0 K . H I L M 0 ;. %2 +. :. - 1
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Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
3.2. Pulsations propres du système: On suppose que la solution est de la forme :
1 . 1
1 * N . sin. * R et
1 . 1
1 * N . sin. * R
On posant toujours : : - - - et + + +
Les deux équations différentielles possèdent deux solutions 1 * et 1 *, qui sont des fonctions périodiques et sont composées de deux fonctions harmoniques de pulsations différentes et d’amplitudes différentes. N , N , R sont des constantes et : est l’une des deux pulsations propres du systèmes. On reprend le système :
+. - . 1 F;. %2 +. :. -G. 1 ;. % . 1 0 +. - . 1 ;. % . 1 ;. %2 +. :. -. 1 0
Et, on remplace 1 et 1 par leurs valeurs . 1 et . 1 , ce qui donne :
+. - . ;. % +. :. -. 11 ;. %2 . 12 0 +. - . ;. % +. :. -. 12 ;. %2 . 11 0
Qu’on réécrit sous la forme :
+. - . ;. % +. :. -. 11 ;. %2 . 12 0
;. % . 1 +. - . 2 ;. %2 +. :. - . 1 0 2
Sous forme matricielle :
+. -2 . 2 ;. %2 +. :. -
J
;. %
Ce qui revient que le déterminant est nul:
+. -2 . 2 ;. %2 +. :. -
S
;. %
+. -
2
;. %
. 2
;. %
+. -2 . 2 ;. %2 +. :.
L +. - . 2 ;. %2 +. :. -M T ;. % U 0 2
;. %2
+. :. -
K.H
1 0 I L M 1 0
S 0
L +. - . 2 ;. %2 +. :. -M T;. % U 2
+. - . ;. % +. :. - VT;. %2 U
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Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté ;.%2
7.W
V : -
;.%2
7.W
[
XYZ 7.W W 7.W ] W 2 7 . W
5.[
5.[
\
\
5.[
\
5.[
\
X^Z 7.W W 7.W ] W
5
\
(Si ; 0 ou % 0 (pas de couplage) ] W on a deux systèmes indépendants) Lorsque le système oscille avec l’une de ses deux pulsations, on dit que le système oscille dans un de ses deux modes qu’on appelle mode d’oscillation. Mode d’oscillation : c’est l’état dans lequel les éléments dynamiques du système effectuent des oscillations harmoniques avec la même pulsation qui correspond à une de ses deux pulsations propres.
3.3. Calcul des modes d’oscillation: Dans chaque mode, les deux masses effectuent des mouvements harmoniques simples avec la même pulsation ou et les deux pendules passent par la position d’équilibre en même temps (instant).
a. Premier mode : On remplace dans le système :
+. - . ;. % +. :. -. 1 ;. % . 1 +. - . ;. % +. :. -. 1 ;. % . 1 [
Par qui est égale à ] W 2 7 . W
\
5
Après remplacement et simplification des termes, on obtient: ;. % . 1 ;. % . 1
;. % . 1 ;. % . 1
` `!
Dans le premier mode les deux pendules ont la même pulsation , la même amplitude et un déphasage de _ ce qui implique que les deux pendules ont des mouvements opposés et le ressort subit soit une compression ou une traction à chaque période sauf le point du milieu de ce dernier qui reste fixe. a a
` `!
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Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
b. Deuxième mode : On remplace dans le système :
+. - . ;. % +. :. -. 1 ;. % . 1 +. - . ;. % +. :. -. 1 ;. % . 1 \
Par qui est égale à ] W
Après remplacement et simplification des termes, on obtient: ` `! Les deux pendules se déplacent dans le même sens ce qui implique que le ressort ne subit aucune déformation (variation de longueur).
3.4. Solutions des équations différentielles : Chacune des deux mouvements 1 et 1 possède deux composantes harmoniques de pulsations
et :
1 * N . sin . * R N . sin . * R
1 * N . sin . * R N . sin . * R
Dans le premier mode : , 1 1 N N Dans le deuxième mode : , 1 1 N N
1 * b . sin . * R b . sin . * R
1 * b . sin . * R b . sin . * R
Conditions initiales: En posant :
1 0 1 , 1 0 0
1 0 0 , 1 0 0
1 * b . . cos . * R b . . cos . * R
1 * b . . cos . * R b . . cos . * R
Physique 3 « C.A-G.M »
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Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
1 0 b . sinR b . sinR b . sinR b . sinR 1 ……………………………….……….(1)
1 0 b . sinR b . sinR b . sinR b . sinR 0 ………………………..….……….(2)
1 0 b . . cosR b . . cosR b . . cosR b . . cosR 0 ………………….(3)
1 0 b . . cosR b . . cosR b . . cosR b . . cosR 0 ………..….(4)
(3)+(4) 2. b . . cosR 0
(3)-(4) 2. b . . cosR 0 (1)+(2) 2. b . sinR 1
(1)-(2) 2. b . sinR 1
cosR 0
R V
e
cosR 0
R V
2. b 1
b
2. b 1
b
e
Bf
Bf
En remplaçant les valeurs de b , b , R et R dans le système, on trouve :
1 * 1 . cos
. * cos l m.* 2 2
1 * 1 . sin
. * sin l m.* 2 2
Si est peu différente de < (cas ou ; g) :
On observe le phénomène de battement de pulsation Ω i Yi pulsation
i ^i
et les deux pendules ont la même
(la différence entre les deux pulsations petite Δ Battement) ; c'est-
à-dire que chaque pendule oscille avec une pulsation qui est égale à la moyenne des deux pulsations k.e Yi
naturelles, avec un temps 6 i 1 * 1
1
1 *
1
et les deux pendules inter-changent l’énergie. 6o
2. _ 4. _ Ω
* 6
4. _
*
1 Physique 3 « C.A-G.M »
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Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
4. Etude des oscillations libres non amorties de deux pendules couplés en série: (Couplage inertiel)
- . ./01 3 + , - . '2.1 - . ./01 - . ./01 3 + , - . '2.1 - . '2.1
L’énergie cinétique : Or :
6 67 67
67 . + . - . 1
67 . + . LF- . '2.1 . 1 - . '2.1 . 1 G F- . ./01 . 1 - . ./01 . 1 G M
Et
1 1 6 . + . - . 1 . + . p- . 1 - . 1 2. - . - . 1 . 1 . cos 1 1 q 2 2
1 g 1 g cos 1 1 < 1
cos1 1 cos 1 . cos1 sin1 sin1 < 1 1 . 1 < 1
Tel que : '2.1 < 1 , ./01 < 1, 1 1 < 1
1 1 6 . + . - . 1 . + . p- . 1 - . 1 2. - . - . 1 . 1 q 2 2
L’énergie potentielle :
1 1 6 . + . - . 1 . + . p- . 1 - . 1 q 2 2
9 + . :. - . '2.1 + . :. - . '2.1 + . :. - . '2.1
9 :. + + . - . '2.1 + . :. - . '2.1
Le Lagrangien :
= 6 9
1 1 = . + . - . 1 . + . p- . 1 - . 1 q :. + + . - . '2.1 + . :. - . '2.1 2 2
Physique 3 « C.A-G.M »
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Chapitre IV B
+ . - . 1 + . - . - 1 - . 1 + + . - . 1 + . - . - . 1
B B
B B
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
+ + . - . 1 + . - . - . 1
:. + + . - . ./01
+ . - - 1 - . 1 + . :. - . ./01
B
B
+ . - . - . 1 + . - . 1
+ + . - . 1 + . - . - . 1 :. + + . - . 1 0
+ . - . - . 1 + . - . 1 + . :. - . 1 0 7 - . 1 L7 Y7 M . - . 1 :. 1 0
- . 1 - . 1 :. 1 0 - . 1 :. 1 H
+ I . - . 1 + +
- . 1 :. 1 - . 1
On remarque que les deux équations sont couplées par une masse (couplage inertiel). La solution est de la même manière que la précédente. On posant :
+ + + et - - -
Le système précédent devient : -. 1 :. 1 H
+ I . -. 1 + +
-. 1 :. 1 -. 1 Solution :
et
Physique 3 « C.A-G.M »
-. 1 :. 1 -. 1
TrU
1 . 1
1 * N . sin. * R 1 * N . sin. * R
Ou encore
W -. 1 :. 1 . 1
1 . 1
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Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
En remplaçant les valeurs de 1 , 1, 1 et 1 dans le système TrU on trouve : : -. . 1
W.i . 1
0
: -. . 1 -. . 1 0 : -. . 1
W.i . 1
0
-. . 1 : -. . 1 0 Qu’on peut écrire sous forme matricielle : : -. s -.
-. 1 0 2 t . H1 I L0M : -.
: -. u -.
-. 2 u 0 : -.
: -. -. 0
: -. V \
WY XYZ X^Z
w √ \ W^w √
. -.
√
\
]WY
w √ \ ]W^w √
5. Exemple des oscillations libres amorties d’un système à deux degrés de liberté : Soit le système électrique avec un couplage résistif représenté par la figure ci-dessous :
En appliquant la loi des mailles on trouve :
xy x xz xy{ 0 xy x xz xy{ 0
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Chapitre IV
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté >/ |} . / / 0 >* b >/ | . / = . |} . / / 0 >* b | . / = .
Après dérivation on aura : ( avec /
>/ > / / >/ >/ = . |} . l m 0 >* >* b >* >* >/ > / / >/ >/ = . |} . l m 0 | . >* >* b >* >* | .
On réarrange le système :
)
> / >/ / >/ | |} . |} . >* >* b >* > / >/ / >/ = . | |} . |} . >* >* b >* = .
Qui peut être aussi réécrit sous la forme :
1 . ~ |} . ~ b 1 = . ~ | |} . ~ . ~ |} . ~ b = . ~ | |} . ~
La solution est de la forme :
~ ~ . ) i.Y ~ ~ . ) i.Y
avec :
~ . . ~ ~ . . ~
et
On remplaçant ~ , ~ , ~ et ~ dans le système précédent on trouve :
~ . . ~ ~ . . ~
1 . ~ . . |} . ~ b 1 =. . ~ . . | |} . ~ . ~ . . |} . ~ b =. . ~ . . | |} . ~
On réarrange une autre fois le système :
1 Hl =. m . . | |} I . ~ T . . |} U. ~ 0 b 1 T . . |} U. ~ Hl =. m . . | |} I . ~ 0 b
La même procédure de résolution que les précédentes.
Physique 3 « C.A-G.M »
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Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté: liberté Application de la méthode matricielle
Chapitre IV-1
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté : Application de la méthode matricielle 1. Energie cinétique généralisée : (Opérateur )
On suppose que le système est à degré de liberté, donc le nombre de variable est égale à : , , , … … … .
L’énergie cinétique généralisée :
1 1 1 . . . . … … … . . . 2 2 2
Dans le cas ou . … … .
1 . … … … . 2 . ∑
(1)
En utilisant la méthode de ket et bras, et on désigne par ket tout vecteur colonne : . " | .. ! ! .
Et bras tout vecteur ligne :
# |
(2)
. .
. .
Le ket-bras s’écrit comme suit : # |
. .
. .
(3)
. " . . ! . ! .
(4)
Qui peut aussi écrit comme suit : # | $%&'( ; tel que : &'(
$%&'(: trace de la matrice&'(, qui est égale à la somme des carrés de la diagonale. Physique 3 « C.A-G.M »
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" !
Page 49
Chapitre IV-1
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
La dérivée de (4) : # |
. .
. .
Qui est égale aussi à : # | ∑
. " . . ! … … … . . . . . ! .
(5)
On réécrit la relation (1) : . ∑ sous forme de ket-bras:
Qu’on réécrit sous la forma suivante :
Tel que :
)
1 . # | 2
# |)|
" !
(6)
(matrice masse)
) : c’est une matrice carrée de dimension * est s’appelle Opérateur de , et on peut calculer les éléments de cette matrice par les dérivées partielles : +,
Où est l’énergie cinétique généralisée.
+- .
2. Energie potentielle généralisée : (Opérateur /)
1 1 1 0 . 1 . . 1 . … … . . 1 . 2 2 2
Dans le cas où : 1 1 … . 1 1
0 . 1. ∑
0 . 1. |# | |
Tel que : 2
1
Physique 3 « C.A-G.M »
0 # |2|
1
1
1
(7) (8) (9)
" ! (matrice raideur)
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Page 50
Chapitre IV-1
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
2 : c’est une matrice carrée de dimension * est s’appelle Opérateur de 0, et on peut calculer les éléments de cette matrice par les dérivées partielles : +3
Où 0 est l’énergie potentielle généralisée.
+-.
3. Fonction de Lagrange généralisée et recherche de l’équation différentielle : 4 50
En remplaçant les relations (6) et (9) dans 4 , on trouve : 4
1 | 5 1 # |2| # |) 2 2 6 84 84 7 95 0 6$ 8 8
84 1 8 # |)| . 8 2 8 84 1 8 . # |2| 8 2 8
Selon la définition de la dérivée :
; ∆ 5 ; ∆-AB ∆
; < lim
lim
6C A∞
8 # 6C |2| 6C 5# |2| # |2| lim 6C A∞ 8 6C
# |2| # 6C |2|6C # |2|6C # 6C |2| 5# |2|
6C
# 6C |2|6C # |2|6C # 6C |2| 6C A∞ 6C
lim
# 6C |2| # |2|6C
# 6 |2|6 6 E 0 + +-.
# |2| 2. # F |2|
1,0,0, 5, 5, 5 Avec F G0,1,0, 5, 5, 5 0,0,1, 5, 5, 5
C 1 C 2 C 3
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(10)
F : vecteur unitaire ou matrice unitaire. Page 51
Chapitre IV-1
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté + # +- .
Par remplacement on trouve :
|)| 2. # F |)|
(11)
# F |)|I # F |2| 0 )|I J 2| J 0
L K KM L
L K KM L
)| J 2| J 0
| J ) N . 2| J 0
6 | J O| J 0 6$
(12)
L’équation (12) représente l’équation différentielle généralisée du système. O : Opérateur de la fonction de Lagrange. KL KM L
: Opérateur de la dérivée seconde.
) N : Matrice inverse de ). Tel que : ) N
PQR ) S TUV )
; ) M : matrice transposée
4. Equation des valeurs propres : On remarque que la solution de l’équation (12) peut s’écrire de la façon suivante : W. X Y.Z.M
De (12) 5[ |J O| J 0
6 5[ . 6$ O| J 5 [ | J 0
(13)
La relation (13) représente l’équation des valeurs propres ([ : valeurs propres). \UV] 5 ^_ . ` a
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Chapitre IV-1
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
Exemple : Trouver les valeurs propres d’un système de deuxième degré
O| J 5 [ |J 0
O 7
4 4
7
4 9 4
4 4
| J b c
4 5 [ 4 9 . b c 5 [ . b c 0 7 4 4 411 5 [2 421
d
412 d 0 422 5 [2
4 9 . b c 0 4 5 [
4 5 [ . 4 5 [ 5 4 . 4 0
[ et [ sont les solutions de l’équation.
5. Calcul des vecteurs propres :
gghf . On reprend l’exemple précédent, chaque valeur propre [ a un vecteur propre e gggh b c [ A e gggh b c [ A e
Pour la première valeur propre ^ ^i :
l
j
4 5 [ 4
4 5 [ . 4 . 0 ? gggh b c m e ? 4 . 4 5 [ . 0
Pour la deuxième valeur propre ^ ^_ :
l
4 k . b c 0 4 5 [
j
4 5 [ 4
(15)
4 k . b c 0 4 5 [
4 5 [ . 4 . 0 ? gggh b c m e ? 4 . 4 5 [ . 0
(16)
6. Solution des équations différentielles :
b c '. b c . X Y.Zo .Mpqo r. b c . X Y.ZL .MpqL
$ '. 11 . Xs.[1 .$t1 r. 21 . Xs.[2 .$t2 l $ '. 12 . Xs.[1 .$t1 r. 22 . Xs.[2 .$t2
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Chapitre IV-1
Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté
7. Exemple :
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