Cours-MG-KamelMehdi-2009

République Tunisienne Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie Université El Manar

‫اﻟﻤﻌﻬﺪ اﻟﺘﺤﻀﻴﺮي ﻟﻠﺪراﺳﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ﺑﺎﻟﻤﻨﺎر‬ Institut Préparatoire aux Etudes d’Ingénieurs – El Manar

Kamel MEHDI

Cours et Exercices de Mécanique Générale

Classes Préparatoires aux Etudes d’Ingénieurs 1ères & 2èmes années Options : MP, PC & PT

Juin 2009

Avant-propos

Ce support de cours et ces applications sont destinés aux étudiants des 1ères et des 2èmes années du cycle préparatoire aux études d’ingénieurs. Ils sont élaborés conformément au programme officiel fixé par le Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie (République Tunisienne). Les bases théoriques de ce support, figurant dans de nombreux ouvrages de Mécanique Générale, sont extraites essentiellement des livres et des cours suivants : 1. P. Agati, Y. Brémont et G. Delville. (1996) « Mécanique du solide : Applications Industrielles », Ed. Dunod – Paris 2. C. Bard, J. F. Rigal (1996) « Cours de Mécanique Générale », Insa Lyon. 3. J. C. Bône, J. Morel et M. Boucher (1994) « Mécanique générale : Cours et Applications avec exercices et problèmes résolus », Ed. Dunod – Paris 4. A. Dhieb (1986) « Cours de Mécanique Générale », ENIS 5. J. Fayet (1997) « Mécanique du solide », Ed. Belin – Paris 6. B. Gattoufi (1985) « Cours de Mécanique Générale », ENIT Une sélection d’exercices est fournie en annexe. Ces exercices constituent des sujets d’examen et des devoirs surveillés que j’ai proposés avec mes collègues enseignants aux étudiants de l’I.P.E.I. de Mateur (1996-2002), de l’I.P.E.I. El Manar (2002-2009) et de la F.S.T (2003-2009).

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Table des Matières

CHAPITRE I : CALCUL VECTORIEL............................................................................................................... 1 I.

CARACTERISTIQUES D’UN VECTEUR................................................................................................. 1

II.

DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS ..................................................................................................... 1

III.

OPERATIONS SUR LES VECTEURS .................................................................................................. 2

III.1. SOMME ET DIFFERENCE............................................................................................................................ 2 III.2. MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN SCALAIRE............................................................................... 2 III.3. PRODUIT SCALAIRE .................................................................................................................................. 2 III.3.1. Définition ....................................................................................................................................... 2 III.3.2. Propriété........................................................................................................................................ 3 III.3.3. Composantes d’un vecteur ............................................................................................................ 3 III.3.4. Expression du produit scalaire en coordonnées cartésiennes. .................................................... 4 III.4. PRODUIT VECTORIEL ................................................................................................................................ 5 III.4.1. Définition ....................................................................................................................................... 5 III.4.2. Propriétés ...................................................................................................................................... 5 III.4.3. Interprétation géométrique ........................................................................................................... 6 III.4.4. Composantes du produit vectoriel (coordonnées cartésiennes) .................................................. 6 III.4.5. Double produit vectoriel ............................................................................................................... 7 III.5. PRODUIT MIXTE........................................................................................................................................ 7 III.5.1. Définition ....................................................................................................................................... 7 III.5.2. Propriétés ...................................................................................................................................... 7 III.5.3. Valeur du produit mixte en coordonnées cartésiennes................................................................. 7 III.5.4. Interprétation géométrique ........................................................................................................... 8 IV. V.

DIVISION VECTORIELLE .................................................................................................................... 8 MOMENTS D’UN VECTEUR LIE PAR RAPPORT A UN POINT....................................................... 9

VI.

MOMENTS D’UN VECTEUR GLISSANT PAR RAPPORT A UN AXE....................................... 10

VII.

EXERCICES D’APPLICATION........................................................................................................... 10

CHAPITRE II ; TORSEURS................................................................................................................................ 13 I.

APPLICATION SYMETRIQUE ET ANTISYMETRIQUE .................................................................. 13 I.1. I.2.

II.

DEFINITION ET THEOREME ..................................................................................................................... 13 PROPRIETES D’UNE APPLICATION ANTISYMETRIQUE ............................................................................. 14

CHAMP DE VECTEURS............................................................................................................................ 14 II.1. DEFINITIONS .......................................................................................................................................... 14 II.1.1. Champ de vecteurs ...................................................................................................................... 14 II.1.2. Champ affine ............................................................................................................................... 15 II.1.3. Champ antisymétrique................................................................................................................. 15 II.1.4. Champ équiprojectif.................................................................................................................... 15

III.

LES TORSEURS ..................................................................................................................................... 15

III.1. DEFINITION ............................................................................................................................................ 15 III.2. INVARIANTS D’UN TORSEUR .................................................................................................................. 16 III.2.1. Invariant vectoriel ....................................................................................................................... 16 III.2.2. Invariant scalaire ........................................................................................................................ 16 III.3. EQUIPROJECTIVITE ................................................................................................................................. 16 III.4. AXE CENTRAL D’UN TORSEUR ............................................................................................................... 17 III.4.1. Définition ..................................................................................................................................... 17

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Equation vectorielle de l’axe central.......................................................................................... 17 III.4.2. III.4.3. Définitions ................................................................................................................................... 18 III.5. OPERATIONS SUR LES TORSEURS ........................................................................................................... 18 III.5.1. Combinaison linéaire de deux torseurs ...................................................................................... 18 III.5.2. Egalité de deux torseurs.............................................................................................................. 18 III.5.3. Produit ou Comoment de deux torseurs ..................................................................................... 18 III.6. CLASSIFICATION DES TORSEURS A L’AIDE DE L’INVARIANT SCALAIRE ................................................. 19 III.6.1. Cas où l’invariant scalaire est automatiquement nul (torseur dit dégénéré)............................ 19 III.6.2. Cas où l’invariant scalaire est automatiquement non nul ......................................................... 19 III.7. DECOMPOSITION D’UN TORSEUR DE TYPE QUELCONQUE ...................................................................... 20 III.7.1. Décomposition en un point.......................................................................................................... 20 III.7.2. Décomposition centrale .............................................................................................................. 20 III.8. DEFINITION DES TORSEURS EQUIVALENTS ............................................................................................ 21 r III.8.1. Torseur équivalent à un vecteur lié ( A , u) .............................................................................. 21

r (A i , u i ) i =1..n ..................................... 22

III.8.2.

Torseur équivalent à un ensemble fini de vecteurs liés

III.8.3.

Torseur équivalent à un champ de vecteurs f ( P) P∈Ω .............................................................. 22

r

III.9. TORSEURS PARTICULIERS ...................................................................................................................... 23 r III.9.1. Système de vecteurs concourants (A , u i ) i =1..n ......................................................................... 23 III.9.2. Système de vecteurs parallèles.................................................................................................... 23 IV.

EXERCICES D’APPLICATION........................................................................................................... 25

CHAPITRE III : PARAMETRAGE.................................................................................................................... 44 I.

PARAMETRAGE D’UN SOLIDE ............................................................................................................. 44 I.1. NOTION DE SOLIDE INDEFORMABLE ...................................................................................................... 44 I.2. PARAMETRAGE DE LA POSITION D’UN SOLIDE ....................................................................................... 44 r r r r r r I.2.1. Paramétrage de la position de l’origine du repère R1(O1,x1, y1,z1) dans le repère R(O, x, y, z) 45 r r r I.2.2. Paramétrage de l’orientation de la base du repère R1(O1,x1, y1,z1) par rapport à la base du

r r r

repère R(O, x, y, z) ..................................................................................................................................... 47 I.3. APPLICATIONS ....................................................................................................................................... 49 I.3.1. Paramétrage d’un double pendule .................................................................................................. 49 I.3.2. Paramétrage de la position d’un disque en mouvement par rapport à un repère fixe (d’après Gatoufi [1985])............................................................................................................................................... 50 II.

PARAMETRAGE DES LIAISONS MECANIQUES NORMALISEES ............................................... 51 II.1. II.2. II.3.

III.

REPERE LOCAL ASSOCIE A UNE LIAISON ................................................................................................ 51 DEGRES DE LIBERTES D’UNE LIAISON .................................................................................................... 51 SCHEMATISATION DES LIAISONS NORMALISEES .................................................................................... 53 PARAMETRAGE D’UN MECANISME (SYSTEME DE SOLIDES) ............................................. 54

III.1. NOMBRE DE DEGRES DE LIBERTE D’UN MECANISME ............................................................................. 54 III.2. GRAPHE DES LIAISONS ........................................................................................................................... 55 III.3. LIAISON EN PARALLELE ......................................................................................................................... 55 III.3.1. Définition ..................................................................................................................................... 55 III.3.2. Liaison équivalente ..................................................................................................................... 55 III.4. LIAISON EN SERIE ................................................................................................................................... 56 III.4.1. Définition ..................................................................................................................................... 56 III.4.2. Liaison équivalente ..................................................................................................................... 56 III.5. CHAINE FORMEE DE SOLIDES ................................................................................................................. 56 III.5.1. Définition ..................................................................................................................................... 56 III.5.2. Loi entrée-sortie .......................................................................................................................... 56 IV.

EXERCICES D’APPLICATION........................................................................................................... 58

CHAPITRE IV : CINEMATIQUE ...................................................................................................................... 61

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INTRODUCTION ET DEFINITIONS ...................................................................................................... 61

I.

I.1. I.2. I.3. I.4. II.

MOUVEMENT ABSOLU ET MOUVEMENT RELATIF................................................................................... 61 VECTEUR DE POSITION D’UN POINT D’UN SOLIDE .................................................................................. 62 VECTEUR DE VITESSE D’UN POINT D’UN SOLIDE ................................................................................... 62 VECTEUR D’ACCELERATION D’UN POINT D’UN SOLIDE ......................................................................... 62

FORMULE DE DERIVATION VECTORIELLE ................................................................................... 62 II.1. DERIVEE D’UN VECTEUR MOBILE PAR RAPPORT A UN REPERE .............................................................. 62 II.2. DERIVATION COMPOSEE D’UN VECTEUR MOBILE PAR RAPPORT A DEUX REPERES ................................ 63 r r II.2.1. Cas d’un mouvement plan z = z 1 (direction fixe).................................................................... 64 II.2.2. Cas d’un mouvement spatiale ..................................................................................................... 65 II.3. COMPOSITION DES VECTEURS DES VITESSES INSTANTANEES DE ROTATION.......................................... 67

III.

CINEMATIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE ............................................................................ 68

III.1. III.2. III.3. III.4. III.5. III.6. IV.

CHAMP DES VITESSES D’UN SOLIDE ....................................................................................................... 68 DIFFERENTS MOUVEMENTS D’UN SOLIDE .............................................................................................. 70 COMPOSITION DES VECTEURS DES VITESSES ......................................................................................... 71 COMPOSITION DES TORSEURS CINEMATIQUE ......................................................................................... 73 CHAMP DES ACCELERATIONS D’UN SOLIDE ........................................................................................... 74 COMPOSITION DES VECTEURS DES ACCELERATIONS ............................................................................. 75 CINEMATIQUE DES SOLIDES EN CONTACT .............................................................................. 78

IV.1. VECTEUR DE VITESSE DE GLISSEMENT EN UN POINT DE CONTACT ENTRE DEUX SOLIDES ..................... 78 IV.2. VECTEURS ROTATION DE ROULEMENT ET ROTATION DE PIVOTEMENT ............................................... 80 IV.3. LES SURFACES AXOÏDES DU MOUVEMENT ............................................................................................. 80 IV.3.1. Définition ..................................................................................................................................... 80 IV.3.2. Propriété...................................................................................................................................... 80 V.

MOUVEMENT PLAN SUR PLAN (CINEMATIQUE PLANE) ........................................................... 82 V.1. CENTRE INSTANTANE DE ROTATION « C.I.R. » .................................................................................... 82 V.2. BASE ET ROULANTE ............................................................................................................................... 83 V.2.1. Définitions ........................................................................................................................................ 83 V.2.2. Propriété........................................................................................................................................... 83 V.3. RECHERCHE GEOMETRIQUE DU CENTRE INSTANTANE DE ROTATION ................................................... 84 V.4. MOUVEMENT PLAN SUR PLAN DE TROIS PLANS ..................................................................................... 87

VI.

TORSEUR CINEMATIQUE DES LIAISONS .................................................................................... 88

CHAPITRE V : ACTIONS MECANIQUES & STATIQUE ............................................................................ 90 I.

REPRESENTATION MATHEMATIQUE DES ACTIONS MECANIQUES...................................... 90 I.1. I.2. I.3.

DEFINITION ............................................................................................................................................ 90 CLASSIFICATION .................................................................................................................................... 90 PREMIER PRINCIPE DE LA STATIQUE ...................................................................................................... 91

II. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES A DISTANCE : APPLICATION AU CHAMP DE PESANTEUR ................................................................................................................................................... 91 III.

MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES DE CONTACT .............................................. 92

III.1. TORSEUR D’ACTION MECANIQUE DE CONTACT ..................................................................................... 92 III.2. ACTION DE CONTACT AVEC FROTTEMENT : LOIS DE COULOMB............................................................ 93 III.3. HYPOTHESE DU CONTACT SANS FROTTEMENT....................................................................................... 95 III.4. SOLIDES EN CONTACT PONCTUEL .......................................................................................................... 95 III.4.1. Loi de Coulomb pour le frottement de glissement...................................................................... 96 III.4.2. Loi de Coulomb pour le frottement de pivotement ..................................................................... 96 III.4.3. Loi de Coulomb pour le frottement de roulement....................................................................... 97 III.4.4. Torseur des actions des liaisons normalisées (sans frottement)................................................ 98 IV.

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (P.F.S.).............................................................. 99

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NOTION D’EQUILIBRE PAR RAPPORT A UN REPERE ................................................................................ 99 IV.1. IV.1.1. Cas d’un ensemble matériel ........................................................................................................ 99 IV.1.2. Cas d’un solide............................................................................................................................ 99 IV.2. ENONCE DU PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE ........................................................................ 99 IV.3. THEOREMES GENERAUX DE LA STATIQUE ........................................................................................... 100 IV.4. THEOREME DES ACTIONS MUTUELLES OU RECIPROQUES .................................................................... 100 V.

EXERCICES D’APPLICATION ............................................................................................................. 102

CHAPITRE VI : GEOMETRIE DES MASSES............................................................................................... 113 I.

MASSE D’UN SYSTEME MATERIEL .................................................................................................. 113 I.1. I.2. I.3.

II.

AXIOME : PRINCIPE DE CONSERVATION DE MASSE .............................................................................. 113 MASSE SPECIFIQUE .............................................................................................................................. 113 MASSE.................................................................................................................................................. 113

CENTRE D’INERTIE D’UN SYSTEME MATERIEL......................................................................... 114 II.1. DEFINITION .......................................................................................................................................... 114 II.2. PROPRIETES DU CENTRE D’INERTIE ..................................................................................................... 115 II.2.1. Détermination par fractionnement du centre d’inertie d’un système complexe...................... 115 II.2.2. Symétrie du système .................................................................................................................. 116 II.3. THEOREMES DE GULDIN.................................................................................................................... 116 II.3.1. Premier théorème ...................................................................................................................... 116 II.3.2. Deuxième théorème ................................................................................................................... 117

r

MOMENT D’INERTIE D’UN SOLIDE PAR RAPPORT A UN AXE ∆(O, n) ......................... 119

III. III.1. III.2. IV.

DEFINITION .......................................................................................................................................... 119 DEFINITION .......................................................................................................................................... 120 OPERATEUR D’INERTIE .................................................................................................................. 121

IV.1. DEFINITION .......................................................................................................................................... 121 IV.2. MATRICE OU TENSEUR D’INERTIE ........................................................................................................ 122 r IV.3. EXPRESSION DU MOMENT D’INERTIE PAR RAPPORT A UN AXE ∆( O, n) ........................................... 123 IV.4. PRODUIT D’INERTIE PAR RAPPORT A DEUX DROITES PERPENDICULAIRES ........................................... 123 IV.4.1. Définition ................................................................................................................................... 123 IV.4.2. Expression du produit d’inertie par rapport à deux droites perpendiculaires........................ 123 V.

LES DIFFERENTS MOMENTS D’INERTIE........................................................................................ 127 V.1. V.2.

DEFINITIONS ........................................................................................................................................ 127 RELATION ENTRE LES DIFFERENTS MOMENTS D’INERTIE .................................................................... 128

VI.

THEOREME DE HUYGHENS ........................................................................................................... 128

VII.

BASE PRINCIPALE D’INERTIE....................................................................................................... 131

VIII.

INFLUENCE DE LA SYMETRIE MATERIELLE DU SOLIDE .................................................. 132

VIII.1. VIII.2. VIII.3. IX. X.

PLAN DE SYMETRIE MATERIELLE .................................................................................................... 132 AXE DE SYMETRIE MATERIELLE...................................................................................................... 133 CONSEQUENCES GENERALES : THEOREMES.................................................................................... 133

EXEMPLES D’APPLICATION.......................................................................................................... 134 EXERCICES D’APPLICATION ............................................................................................................. 142

CHAPITRE VII : CINETIQUE ......................................................................................................................... 145 I.

TORSEUR CINETIQUE OU TORSEUR DES QUANTITES DE MOUVEMENT.......................... 145 I.1. DEFINITION .......................................................................................................................................... 145 I.2. CALCUL DE LA RESULTANTE CINETIQUE ............................................................................................. 146 I.3. CALCUL DU MOMENT CINETIQUE ......................................................................................................... 146 I.3.1. Théorème de Koënig ...................................................................................................................... 146

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I.3.2. II.

Moment cinétique d’un solide........................................................................................................ 147

TORSEUR DYNAMIQUE OU DES QUANTITES D’ACCELERATION......................................... 149 II.1. II.2. II.3.

III.

DEFINITION .......................................................................................................................................... 150 CALCUL DE LA RESULTANTE DYNAMIQUE ........................................................................................... 150 RELATION ENTRE MOMENT DYNAMIQUE ET MOMENT CINETIQUE ....................................................... 150 ENERGIE CINETIQUE ....................................................................................................................... 152

III.1. DEFINITION .......................................................................................................................................... 152 III.2. CALCUL DE L’ENERGIE CINETIQUE ...................................................................................................... 152 III.2.1. Théorème de Koënig.................................................................................................................. 152 III.2.2. Energie cinétique d’un solide ................................................................................................... 152 IV.

EXEMPLES D’APPLICATION.......................................................................................................... 155

IV.1. IV.2. IV.3. IV.4. I.

EXEMPLE 1 : PENDULE SIMPLE ............................................................................................................ 155 EXEMPLE 2 : CYLINDRE - PLAN INCLINE .............................................................................................. 156 EXEMPLE 3 : MOUVEMENT D’UNE TOUPIE ........................................................................................... 157 EXEMPLE 3 : MECANISME DE SUSPENSION .......................................................................................... 157

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE "P.F.D" .......................................................... 159 I.1. I.2. I.3. I.3.1. I.3.2. I.4. I.4.1. I.4.2.

II.

ENONCE DU P.F.D. DANS UN REFERENTIEL GALILEEN ........................................................................ 159 CAS D'UN SOLIDE ................................................................................................................................. 160 EQUATION DE MOUVEMENT ................................................................................................................. 160 Définition........................................................................................................................................ 160 Intégrale première du mouvement ................................................................................................. 161 EXEMPLES ............................................................................................................................................ 161 Pendule pesante simple.................................................................................................................. 161 Étude du mouvement d’un disque dans une couronne .................................................................. 162

THEOREME DES ACTIONS MUTUELLES ........................................................................................ 165

III.

EXPRESSION DU P.F.D. DANS UN REPERE NON GALILEEN ................................................ 166

III.1. III.2.

ENONCE DU P.F.D. DANS UN REPERE NON GALILEEN .......................................................................... 168 APPLICATION : ÉTUDE D’UN GYROSCOPE (D’APRES J. C. BONE ET AL. [1994]) .................................. 168

IV. EQUILIBRAGE DYNAMIQUE DES SOLIDES TOURNANT AUTOUR D’UN AXE (D’APRES P. AGATI ET AL. 1996) ...................................................................................................................................... 170 IV.1. IV.2. IV.3. IV.1.

SCHEMATISATION ADOPTEE................................................................................................................. 170 DETERMINATION DE L’ACTION MECANIQUE DE (S0) SUR (S)............................................................... 171 CONDITION D’EQUILIBRAGE DYNAMIQUE ........................................................................................... 172 REALISATION PRATIQUE DE L’EQUILIBRAGE DYNAMIQUE .................................................................. 172

CHAPITRE IX : ENERGETIQUE .................................................................................................................... 175 I.

PUISSANCE ................................................................................................................................................ 175 I.1.

PUISSANCE DEVELOPPEE PAR UNE ACTION MECANIQUE EXTERIEURE A UN ENSEMBLE MATERIEL DANS SON MOUVEMENT PAR RAPPORT A UN REPERE. .................................................................................................. 175

I.1.1. Définition........................................................................................................................................ 175 I.1.2. Théorème ........................................................................................................................................ 176 I.1.3. Conséquence................................................................................................................................... 177 I.1.4. Application ..................................................................................................................................... 178 I.2. PUISSANCE DEVELOPPEE PAR LES ACTIONS MUTUELLES ENTRE DEUX SYSTEMES MATERIELS ........... 179 I.2.1. Définition........................................................................................................................................ 179 I.2.2. Propriété......................................................................................................................................... 179 I.3. LIAISON PARFAITE ENTRE DEUX SOLIDES ............................................................................................ 179 I.3.1. Définition........................................................................................................................................ 179 I.3.2. Conséquence................................................................................................................................... 179 II.

ÉNERGIE POTENTIELLE ...................................................................................................................... 180

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ÉNERGIE POTENTIELLE D’UN SYSTEME MATERIEL ASSOCIEE A UNE ACTION MECANIQUE EXTERIEURE 180 II.1.1. Définition ................................................................................................................................... 180 II.2. ÉNERGIE POTENTIELLE DE DEUX SYSTEMES MATERIELS ASSOCIEE A UNE ACTION MUTUELLE........... 181 II.2.1. Définition ................................................................................................................................... 181 II.1.

III. III.1. III.2. III.3. IV. IV.1. IV.2.

THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE ................................................................................... 181 POUR UN SOLIDE .................................................................................................................................. 181 POUR UN ENSEMBLE DE SOLIDES ......................................................................................................... 182 INTEGRALE PREMIERE DE L’ENERGIE CINETIQUE ................................................................................ 183 EXEMPLES D’APPLICATION.......................................................................................................... 184 PENDULE PESANTE SIMPLE .................................................................................................................. 184 ÉTUDE DU MOUVEMENT D’UN DISQUE DANS UNE COURONNE............................................................. 185

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Chapitre I Calcul Vectoriel

CHAPITRE I CALCUL VECTORIEL

CHAPITRE I : CALCUL VECTORIEL

I.

Caractéristiques d’un vecteur

→ Un vecteur est un segment de droite orienté AB . Il est caractérisé par : • son origine ou point d’application A, • sa direction : droite ou support à laquelle appartient le segment AB, • son sens : celui du mouvement d’un mobile allant de A vers B, → • sa grandeur ou module : notée AB ou AB .

II.

Différents types de vecteurs

Définition • Vecteur libre: c’est un vecteur dont l’origine est arbitraire, • Vecteur lié : c’est un vecteur dont l’origine est fixe, • Vecteur glissant : c’est un vecteur qui glisse sur un support. → AB r • Vecteur unitaire : c’est un vecteur de module l’unité u = → AB

• Vecteurs équipollents : ce sont des vecteurs qui ont même direction, même sens et même module. Ils coïncident à une translation près. r r • Vecteurs opposés : ce sont deux vecteurs de sens contraires. L’opposé de V = − V .

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Chapitre I Calcul Vectoriel

III. Opérations sur les vecteurs III.1. Somme et différence

r r La somme vectorielle de deux vecteurs V et V ' est la r r diagonale du parallélogramme construit sur V et V ' . r r r La différence vectorielle W = V1 − V2 est le vecteur qui, r r r r r ajouté à V2 , donne V1 : W = V1 + ( − V2 ) .

r V

r r V + V'

r V'

Propriétés La somme vectorielle est :

r r r r • commutative : V + V ' = V ' + V r r r r r r r r r • associative : ( V1 + V2 ) + V3 = V1 + ( V2 + V3 ) = V1 + V2 + V3 .

III.2. Multiplication d’un vecteur par un scalaire

r r r Le vecteur V' = λ V a le même sens que V si λ > 0 et de sens contraire si λ < 0 . Le r r r module de V' dépend de la valeur de λ. Si u est le vecteur unitaire dans la direction de V on r r r a V= V u.

Propriété r r • Associative : λ 1 .(λ 2 V) = λ 1λ 2 V

• Distributive : r r r − par rapport à l’addition scalaire : (λ 1 + λ 2 ) V = λ 1 V + λ 2 V r r r r − par rapport à l’addition vectorielle : λ ( V1 + V2 ) = λV1 + λV2

III.3. Produit scalaire III.3.1.Définition

r r On appelle produit scalaire de deux vecteurs V1 et V2 que r r l’on note V1 . V2 le scalaire égal au produit de leur module par

r V2

θ r V1 r r r r V1 .V2 = V1 . V2 . cosθ

le cosinus de leur angle.

r r r r r r On peut encore écrire : V1 . V2 = V1 . proj r V2 = V2 . proj r V1 V1 V2 Cours de Mécanique Générale

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Chapitre I Calcul Vectoriel

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit du module de l’un des vecteurs par la mesure algébrique de la projection du second vecteur sur le premier. III.3.2.Propriété r r r r • Commutativité : V1 . V2 = V2 . V1 car cos θ = cos( −θ) r r r r r r π (θ aigu) alors V1. V2 > 0 et V1. V2 < V1 . V2 2 r r r r r r π Si θ > (θ obtus) alors V1 . V2 < 0 et V1 . V2 > − V1 . V2 2 r r r r Si θ = 0 ou θ = π alors V1 . V2 ± V1 . V2

Si θ <

r r r r π alors V1 . V2 = 0 ( V1 et V2 sont orthogonaux) 2 r r r Cas particulier : V. V = V 2 = carré du module de V

θ=

• Associativité par rapport à la multiplication par un scalaire : r r r r r r r r (λV1 ). V2 = V1.(λV2 ) = λ ( V1. V2 ) = λV1. V2 • Distributivité par rapport à l’addition vectorielle : r r r r r r r V1.( V2 + V3 ) = V1. V2 + V1. V3 III.3.3.Composantes d’un vecteur Tout vecteur de l’espace peut être décomposé en

z

la somme de trois vecteurs, ou composantes, suivant

C

trois directions orthogonales formant un système de r r r coordonnées cartésiennes ( O, x, y, z) . Dans ce cas, les

M r k

→ → → → trois composantes OA , OB et OC d’un vecteur OM → sont les projections orthogonales de OM sur les trois

r i x

A

O

r j

B

y

m

→ → → → OM = OA + OB+ OC

axes (O, x), (O, y) et (O, z) respectivement.

r r r Soient i , j et k les trois vecteurs unitaires suivants les axes (O, x), (O, y) et (O, z). En → → → r → r r r r r posant OA = xi , OB = yj et OC = zk , on a : OM = xi + yj + zk avec x, y et z sont les

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Chapitre I Calcul Vectoriel

→ → → mesures algébriques des composantes OA , OB et OC ou coordonnées cartésiennes du vecteur

⎛ x⎞ → ⎜ ⎟ → OM on note OM = ⎜ y⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ Propriété : r Chaque composante d’un vecteur V est égale à la mesure algébrique de la projection r orthogonale de V sur l’axe correspondant : r r ⎧ x = V. i = r r ⎪⎪ ⎨ y = V. j = r ⎪z = V .k = ⎪⎩

r V r V r V

r i cosθ x = r j cosθ y = r k cosθ z =

r V cosθ x r r V cosθ y avec θ x , θ y , θ z les angles que forme le vecteur V r V cosθ z

r r r avec les vecteurs unitaires i , j et k .

Théorème des projections La mesure algébrique de la projection orthogonale sur l’axe xx’ de la somme de deux r r vecteurs V1 + V2 est égale à la somme des mesures des projections de chacun des vecteurs. r r r r r r r ( V1 + V2 ). i = V1 . i + V2 . i

III.3.4.Expression du produit scalaire en coordonnées cartésiennes. r r r Notons que les vecteurs orthogonaux i , j et k satisfont les relations : rr rr rr i . j = j. k = k. i = 0 et

rr rr r r i . i = j. j = k . k = 1

r r r r r r v v V1 . V2 = ( x1 i + y1 j + z1 k ).( x2 i + y2 j + z2 k ) = x1x2 + y1y2 + z1z2

Applications • Norme d’un vecteur : r r V 2 = V. V = x2 + y2 + z2

⇒

r V = x2 + y2 + z2

• Cosinus directeurs

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Chapitre I Calcul Vectoriel

Soient θ x , θ y , θ z les angles que forme le r vecteur r r r V avec les vecteurs unitaires i , j et k . On a : r r ⎧x = V. i = r r ⎪⎪ ⎨y = V. j = r ⎪z = V .k = ⎪⎩

z

r V

θz θy

r V cos θ x r V cos θ y r V cos θ z

O

y

θx x

⇒ x2 + y2 + z2 = V 2 (cos2 θ x + cos2 θ y + cos2 θ z ) D’ou la relation fondamentale : cos2 θ x + cos2 θ y + cos2 θ z = 1 r cos θ x , cos θ y , cos θ z s’appellent « cosinus directeurs » de la direction u . ⎛ cos θ x ⎞ r ⎟ r r ⎜ V = V u avec u = ⎜ cos θ y ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ cos θ z ⎠

III.4. Produit vectoriel III.4.1.Définition

r r r r Le produit vectoriel de deux vecteurs V1 et V2 noté V1 ∧ V2 est un vecteur

r r r r r r ∧r r V = V1 ∧ V2 = V1 V2 sinθ n avec θ = (V1 , V2 ) . Sa direction est donné par le vecteur r r r r r r r r unitaire n perpendiculaire à V1 et V2 et qui constitue avec V1 et V2 un trièdre (V1 , V2 , n) orienté positivement. On convient que le sens de rotation positif dans

r r r V = V1 ∧ V2 r V2

l’espace est donné par la règle de « Tire Bouchon ».

r n

θ (+)

r V1

III.4.2.Propriétés • Le produit vectoriel est anticommutatif r r r r V1 ∧ V2 = − (V2 ∧ V1 ) car sin θ = − sin(−θ ) Le produit vectoriel est nul lorsque l’un des vecteurs est nul ou lorsque les deux vecteurs sont colinéaires (c.-à-d. θ = 0 ou π )

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Si θ =

r r r r r π alors V1 ∧ V2 = V1 V2 n 2

r r r ⎧i ∧ j = k rr r ⎪r r r Sur une base orthonormée directe ( i , j, k ) on a : ⎨ j ∧ k = i r r r ⎪k ∧ i = j ⎩ • Associativité par rapport à la multiplication par un scalaire : r r r r r r λ ( V1 ∧ V2 ) = λV1 ∧ V2 = V1 ∧ λV2 • Distributivité par rapport à l’addition vectorielle r r r r r r r V1 ∧ (V2 + V3 ) = V1 ∧ V2 + V1 ∧ V3

III.4.3.Interprétation géométrique r r r Le produit vectoriel V = V1 ∧ V2 est perpendiculaire r r au plan formé par les deux vecteurs V1 et V2 . Son

z

r r r V = V1 ∧ V2

module est égal à l’aire du parallélogramme construit sur r r les deux vecteurs V1 et V2 et son sens est tel qu’on tourne

r V1

positivement autour de lui pour amener le premier vecteur

O

y +

r V2

x

du produit sur le second.

r Le sens du tire bouchon donne le sens de V . C’est un vecteur dit axial ou pseudo-vecteur r ( symbolisé par V ou V , car son sens est lié à un choix de l’orientation de l’espace. III.4.4.Composantes du produit vectoriel (coordonnées cartésiennes)

⎛ x1⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ y1z2 − y2 z1 ⎞ r r r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ V = V1 ∧ V2 = ⎜ y1⎟ ∧ ⎜ y2 ⎟ = ⎜ z1x2 − x1z2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z1 ⎠ ⎝ z2 ⎠ ⎝ x1y2 − y1x2 ⎠ ( ri , rj , kr )

On peut l’écrire sous la forme d’un déterminant dont la première ligne est constituée par rr r les vecteurs de la base orthonormé ( i , j, k ) . r i

r r r V = V1 ∧ V2 = x1

r j

r k

y1

z1

x2

y2

z2

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III.4.5.Double produit vectoriel

r r r On appelle double produit vectoriel, le vecteur ( V1 ∧ V2 ) ∧ V3 . Il est coplanaire au plan r r r r défini par V1 et V2 . En effet, il est perpendiculaire à ( V1 ∧ V2 ) , lui même perpendiculaire au r r plan ( V1 , V2 ) . On peut donc l’exprimer sous la forme d’une combinaison linéaire de r r V1 et V2 . On vérifiera que : r r r r r r r r r ( V1 ∧ V2 ) ∧ V3 = ( V1 . V3 ) V2 − ( V2 . V3 ) V1

(Formule de Gibs)

Attention r :r r r r r ( V1 ∧ V2 ) ∧ V3 ≠ V1 ∧ ( V2 ∧ V3 )

r r r r r r r r r V1 ∧ ( V2 ∧ V3 ) = ( V1 . V3 ) V2 − ( V1 . V2 ) V3

III.5. Produit mixte III.5.1.Définition

r r r On appelle produit mixte de trois vecteurs V1 , V2 , V3 donnés dans cet ordre, le scalaire r r r r r r r r r noté ( V1 , V2 , V3 ) défini par : ( V1 , V2 , V3 ) = V1 .(V2 ∧ V3 )

III.5.2.Propriétés Le produit mixte est invariant dans une permutation circulaire des trois vecteurs. r r r r r r r r r r r r ( V1 , V2 , V3 ) = V1 .( V2 ∧ V3 ) = V2 .( V3 ∧ V1 ) = V3 .( V1 ∧ V2 )

On peut permuter l’ordre des signes scalaires et vectoriels. En effet, le produit scalaire est commutatif : r r r r r r r r r r r r ( V1 , V2 , V3 ) = V1 .( V2 ∧ V3 ) = ( V2 ∧ V3 ). V1 = ( V1 ∧ V2 ). V3 (Permutation circulaire) r r r r r r d’où V1 .( V2 ∧ V3 ) = ( V1 ∧ V2 ). V3

III.5.3.Valeur du produit mixte en coordonnées cartésiennes r r r i j k r r r r r r r r r r r r V1 .( V2 ∧ V3 ) = ( x1 i + y1 j + z1k ). x2 y2 z2 = ( x1 i + y1 j + z1k ).( X i + Y j + Zk ) x3

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y3

z3

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On peut alors écrire le produit mixte sous la forme d’un déterminant, il suffit de r r r r r remplacer dans le déterminant donnant le produit vectoriel ( V2 ∧ V3 ) les vecteurs i , j, k par x1 , y1 , z1

x1 r r r V1 .( V2 ∧ V3 ) = x2

y1 y2

z1 z2

x3

y3

z3

On retrouve alors les propriétés d’un déterminant. III.5.4.Interprétation géométrique r r Le produit vectoriel V1 ∧ V2 est perpendiculaire au r r plan formé par les deux vecteurs V1 et V2 . Son module est

égal à l’aire « s » du parallélogramme construit sur les r r deux vecteurs V1 et V2 .

r V3 h

O

r V2

s r V1

r r r r r r Le produit mixte ( V1 ∧ V2 ). V3 est égal au produit de V1 ∧ V2 par la projection de V3 sur r r r r r le support de V1 ∧ V2 . C’est à dire, la hauteur h du parallélépipède construit sur V1 , V2 , V3 . r r r Le module du produit mixte ( V1 ∧ V2 ). V3 = s. h = volume du parallélépipède construit sur les

3 vecteurs. Le produit mixte est nul si le volume du parallélépipède est nul, c.-à-d. si les trois vecteurs sont coplanaires.

IV. Division vectorielle

r r On considère deux vecteurs non nuls et libres u et v . Le problème est de trouver un r r v r (1) vecteur libre x tel que u ∧ x = v

r r v ⎧v⊥x ⎧v. x = 0 L’équation (1) impose deux conditions géométriques préliminaires : ⎨ r r ⇔ ⎨ r r ⎩v⊥u ⎩v. u = 0

r r v r r r Multipliant (produit vectoriel) l’équation (1) par le vecteur u : ( u ∧ x ) ∧ u = v ∧ u r r r r r r r r Il vient : ( u . u ) x − ( x . u ) u = v ∧ u r r r r r r soit : u 2 x − ( x . u ) u = v ∧ u

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(2)

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r Remarquons que si le vecteur x s’écrit sous la forme d’une combinaison linéaire d’un r r r r r r vecteur x 0 et du vecteur u ( x = x 0 + λ u ) alors le vecteur x 0 est une solution de l’équation (2) : r r r r r r r r u 2 ( x 0 + λ u ) − [ ( x 0 + λ u ) . u] u = v ∧ u r r r r r r r r u 2 x 0 + λ u 2 u − ( x 0 . u) u − λ u 2 u = v ∧ u Soit après simplification : r r r r r r u 2 x 0 − ( x 0 . u) u = v ∧ u

(3)

r Donc, il suffit de trouver un seul vecteur non nul x 0 pour connaître l’ensemble des r vecteurs x . r r r Une solution particulière est donnée par x 0 telle que ( x 0 . u ) = 0 . r r v∧u r x = D’où et d’après l’équation (3) : 0 u2

r r r r Et l’ensemble des solutions des vecteurs x est tel que x = x 0 + λ u : r r r v∧u r x = 2 +λu u r x0 r v

r x r u

r λu

Il y a donc une infinité de solution à ce problème de l’équation (1).

V.

Moments d’un vecteur lié par rapport à un point

r Soit P un point quelconque de l’espace et V un vecteur r libre. On note par VA le vecteur lié d’origine le point A r équipollent au vecteur V .

P *

r V r VA

A r Par définition, nous appelons le moment du vecteur lié VA par rapport au point P, le produit → → r → r r vectoriel des deux vecteurs PA et V : mP (VA ) = PA ∧ V

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VI. Moments d’un vecteur glissant par rapport à un axe

→ On appelle moment d’un vecteur glissant AB par rapport à un axe (∆ ) la projection sur

cet axe du moment du vecteur par rapport à un point O quelconque de cet axe.

m

∆

→ → → r → → r → → r (AB) = mO (AB) . u = (OA ∧ AB). u = (OA , AB, u)

(produit mixte)

r u étant un vecteur unitaire de l’axe (∆) Ce moment est indépendant de la position du point O sur l’axe (∆ ) En effet, soit O’ un autre point de l’axe (∆ ).

m

→ ( AB )= ∆

m

→ r → → r ⎡ → → →⎤ r ( AB ) . u ( O ' A AB ). u ( O ' O OA ) AB = ∧ = + ∧ O' ⎢ ⎥. u ⎣ ⎦

→ → r → → r = ( O' O∧ AB). u + ( OA ∧ AB). u → → r → → r = ( O' O, AB, u ) + ( OA , AB, u ) → → r → r Le produit mixte ( O' O, AB, u ) est nul car les vecteurs O' O et u sont colinéaires.

VII. Exercices d’application Exercice N°1 Dans un système d’axes orthonormé on donne les points : A= (8,6,0) et B = (3,4,0) r

r

1) Calculer les modules des vecteurs OA et OB , r

r

2) Déterminer les coordonnées du point C tel que l’on ait OA = BC , r

r

3) Calculer le produit scalaire OA.OB en déduire cosα et sinα , α est l’angle que fait r r OA et OB , r

r

r

4) Déterminer les composantes du vecteur V = OA ∧ OB , on déduire son module 5) Vérifier que le module du vecteur V est égal à l’aire du quadrilatérale OABC , Exercice N°2 Soit un triangle quelconque ABC de cotés a, b, c.

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A

c

$ A

b

$ B

C$

C

B

a

1) Démontrer la relation a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A$ 2) Démontrer la relation

a b c = = sinA$ sinB$ sin C$

Exercice N°3 r r r r r r r r r 1) Montrer que A ∧ (B ∧ C) = (A.C)B - (A. B)C r

r

r

r

2) Que devient chacun des membres de cette égalité, si B = C , si B est parallèle à C ?, r

r

r

r

r

r

r

r

r

3) On déduire que A ∧ (B ∧ C)+ B ∧ (C ∧ A)+ C ∧ (A ∧ B) = 0 .

Exercice N°4 Dans un système d’axes formant un trièdre trirectangle direct, on donne le vecteur ⎧1 ⎫

r glissant V ⎪⎨2⎪⎬ dont la direction passe par le point A(3,4,2) ⎪3⎪ ⎩ ⎭

1) Calculer son moment par rapport à l’origine O et par rapport aux trois axes des coordonnées, 2) Calculer son moment par rapport à un axe ∆ passant par O et dont les cosinus directeurs sont ( −

1 1 1 , , ) 2 2 2

3) Calculer son moment par rapport au point B(3,6,0), 4) Calculer son moment par rapport à l’axe ∆' passant par B et parallèle à ∆

Exercice N°5 r r r r On considère les quatre vecteurs a , b , c et d de l'espace vectoriel ℜ 3 .

r r r 1) Montrer que le produit mixte des trois vecteurs a , b et c reste invariant par permutation des signes du produit vectoriel et du produit scalaire. {c.-à-d. : r r r r r r r r r (a , b , c) = (a ∧ b). c = a.( b ∧ c) }. 2) Montrer les égalités suivantes :

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r (a ∧ r (a ∧

r r r r r r r r r r r b) ∧ ( c ∧ d ) = ( a , c , d ) * b − ( b , c , d ) * a r r r rr rr rr rr b).( c ∧ d ) = (a. c) *( b. d ) − (a. d ) *( b. c)

On note par : (*)

(.)

(^)

Produit de deux nombres réels

Produit scalaire de deux

Produit vectoriel de deux

vecteurs

vecteurs

Exercice N°6 Dans un système d’axes formant un trièdre trirectangle direct, on donne le vecteur ⎧1 ⎫

r glissant V ⎪⎨2⎪⎬ dont la direction passe par le point A(3,4,2) ⎪3⎪ ⎩ ⎭

1) Calculer son moment par rapport à l’origine O et par rapport aux trois axes des coordonnées, 2) Calculer son moment par rapport à un axe ∆ passant par O et dont les cosinus directeurs sont ( −

1

1 1 , , ) 2 2 2

3) Calculer son moment par rapport au point B(3,6,0), 4) Calculer son moment par rapport à l’axe ∆' passant par B et parallèle à ∆

Exercice N°7 r r r r r r r r Soient les deux vecteurs V1 = 2 i + 3 j − 4 k et V2 = i − j + k r r r r r 1) Déterminer α = V1 . V2 et V3 = V1 ∧ V2 r r r r r r r 2) On considère les vecteurs P = V2 ∧ ( V2 ∧ V1 ) et Q = V1 ∧ P , Comparer les r r vecteurs Q et V3 r r r r r r r r r r 3) Montrer que ∀ Vi et Vj on a : Vi ∧ [ Vj ∧ ( Vj ∧ Vi )] = − Vj ∧ [ Vi ∧ ( Vi ∧ Vj )] r r r r r 4) Résoudre l’équation V4 ∧ X = V5 et donner le vecteur X1 orthogonal à V4 sachant r r r r r r r r que V4 = i + j + k et V5 = 3 i − j − 2 k .

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Chapitre II Torseurs

CHAPITRE II TORSEURS

CHAPITRE II ; TORSEURS

I.

Application symétrique et antisymétrique I.1.

Définition et théorème

Toute application φ de l’espace vectoriel ℜ3 dans ℜ3 vérifiant l’une des deux propriétés suivantes est linéaire. r r r r r r • Première propriété : ∀ u, v ∈ℜ 3 xℜ 3 : u. φ( v) = v. φ( u) alors φ est dite linéaire symétrique. r r r r r r • Deuxième propriété : ∀ u, v ∈ℜ 3 xℜ 3 : u. φ( v) = − v. φ( u) alors φ est dite linéaire antisymétrique.

Démonstration r r r On considère les trois vecteurs u, v, w de ℜ3 et un scalaire α de ℜ. Montrons que si φ est une application vérifiant la première ou la deuxième propriété alors r r r r φ est linéaire : c’est à dire : φ( u + αv) = φ( u) + αφ( v) . En effet, si φ vérifie l’une des deux propriétés alors : r r r r r r ( u + αv). φ( w ) = ±[ w. φ( u + αv)]

(1)

r r r r r r r r r r or ( u + αv). φ( w ) = [ u. φ( w ) + αv. φ( w )] = ± w.[φ( u) + αφ( v)]

(2)

r r r r Par conséquent, φ( u + αv) = φ( u) + αφ( v) et φ est alors linéaire.

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Chapitre II Torseurs

I.2.

Propriétés d’une application antisymétrique

Première propriété r L’image de tout vecteur u par une application antisymétrique φ est orthogonale à celuici.

r r r ∀ u ∈ℜ 3 ; φ antisymé rt ique ⇔ u. φ(u) = 0 r r r r r r r En effet, si φ est antisymétrique alors : ∀ u ∈ℜ 3 ; u. φ(u) = -u. φ(u) ⇒ u. φ(u) = 0 . r r r D’autre part, si φ est linéaire vérifiant ∀ u ∈ℜ 3 ; u. φ(u) = 0 , montrons que φ est

antisymétrique: r r r r r r ∀ u, v ∈ℜ 3 xℜ 3 : ( u + v). φ( u + v) = 0 .

r r r r r r r r r r r r Or φ est linéaire ⇒ ( u + v). φ( u + v) = u. φ( u) + u. φ( v) + v. φ( u) + v. φ( v) = 0 123 123 =0 =0 r r r r r r Par conséquent : ∀ u, v ∈ℜ 3 xℜ 3 : u. φ( v) = − v. φ( u) ⇒ φ est antisymétrique:

Deuxième propriété La matrice associée à une application antisymétrique, dans une base orthonormée directe,

[ ]

est aussi antisymétrique : [φ] = ϕ ij

ek

; ϕ ij = −ϕ ji et ϕ ii = 0 .

Troisième propriété r A toute application antisymétrique φ est associé un unique vecteur R , appelé vecteur r r r r axial tel que ∀ u ∈ℜ 3 ; φ(u) = R ∧ u .

⎡ 0 r ⎛ r1 ⎞ Soit R = ⎜ r2 ⎟ ⇒ [φ] = ⎢ r3 ⎜ ⎟ ⎢− r ⎝ r3 ⎠ ( ei ) ⎣ 2

II.

− r3 0 r1

r2 ⎤ − r1 ⎥ . 0 ⎥⎦ ( e ) i

Champ de vecteurs II.1. Définitions On considère un domaine Ω de l’espace euclidien .

II.1.1. Champ de vecteurs r Un champ de vecteurs V est une application qui à tout point M de Ω on fait associé un r vecteur V( M) de l’espace vectoriel ℜ3.

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Chapitre II Torseurs

II.1.2. Champ affine r Le champ de vecteurs V est affine, s’il existe un point O du domaine Ω et une

application linéaire φ tel que : → r r ∀ M ∈ Ω; V( M ) = V(O) + φ(OM ) . II.1.3. Champ antisymétrique r Le champ de vecteurs V est antisymétrique s’il est affine et défini à l’aide d’une

application φ antisymétrique : r r r → ∀ M ∈ Ω; V( M ) = V(O) + R ∧ OM .

II.1.4. Champ équiprojectif r Le champ de vecteurs V est équiprojectif

r V( B)

s’il vérifie la relation suivante : r V( A )

→ r → r ∀ A , B ∈ ΩxΩ; AB. V(A ) = AB. V( B) .

B A

III. Les Torseurs III.1. Définition Nous appelons torseur l’ensemble de deux vecteurs : • l’un des vecteurs est un élément d’un champ antisymétrique, • l’autre est le vecteur axial de ce champ. r r r Soit V un champ antisymétrique de vecteur axial R et V( M) un élément de ce champ au point M. r r ⎧ ⎫ Le torseur associé au champ V défini au point M est noté : {T } M = ⎨ r R ⎬ V M ( ) ⎩ ⎭M En un point N≠M (M et N sont tous les deux du même domaine Ω), le torseur est défini r r r r → r ⎫ ⎧ par {T } N = ⎨ r R ⎬ avec V( N ) = V( M ) + R ∧ MN (puisque le champ V est ⎩ V( N ) ⎭ N antisymétrique). Terminologie courante Cours de Mécanique Générale

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r • V est appelé le champ des moments du torseur {τ} . r • V( M) est appelé le moment du torseur {τ} au point M. r • R est appelé le vecteur résultant ou la résultante du torseur {τ} . r r • R et V( M ) sont tous les deux appelés les éléments de réduction du torseur point M.

{τ}

au

III.2. Invariants d’un torseur III.2.1.Invariant vectoriel r Le vecteur axial R est indépendant du point M. Si nous écrivons le torseur en un autre r r r r r → ⎧r R ⎫ point N, il aura le même vecteur axial R : {T } N = ⎨ avec V( N ) = V( M) + R ∧ MN . ⎬ ⎩ V( N ) ⎭ N III.2.2.Invariant scalaire r r r r Le produit scalaire I = R. V( M) = R. V( N ) = cte est indépendant du point choisi. (Sa

valeur est toujours constante). En effet si nous multiplions scalairement la relation du champ r r r r r ⎡r → ⎤ r antisymétrique par le vecteur axial R nous aurons: R. V( N ) = R. V( M) + R. ⎢R ∧ MN ⎥ ⎣ ⎦ r ⎡r → ⎤ or R. ⎢R ∧ MN ⎥ est un produit mixte nul (= 0), ⎣ ⎦ r r r r par conséquent R. V( M) = R. V( N ) = cte = I appelé l’invariant scalaire du torseur.

III.3. Equiprojectivité Le champ des moments d’un torseur est équiprojectif. En effet on a : → r r r → V( N ) = V( M) + R ∧ MN ; multiplions scalairement cette relation par le vecteur MN , → r → r → ⎡r → ⎤ nous aurons : MN. V( N ) = MN. V( M ) + MN. ⎢R ∧ MN ⎥ . ⎣ ⎦ → ⎡r → ⎤ → r → r Or le produit mixte MN. ⎢R ∧ MN ⎥ est nul. Par conséquent : MN. V( N ) = MN. V( M) . ⎣ ⎦ C’est la relation d’un champ équiprojectif.

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Chapitre II Torseurs

Théorème On démontre que, tout champ équiprojectif est un champ du moment d’un torseur (c’est à

dire un champ antisymétrique).

III.4. Axe central d’un torseur III.4.1.Définition On appelle axe central (noté ∆) d’un torseur, l’ensemble des points P où les éléments de r r réduction sont colinéaires : ∆ = P ∈ Ω, ∃ λ ∈ℜ / V(P) = λR

{

}

III.4.2.Equation vectorielle de l’axe central On considère le torseur défini en un point A (A est un point quelconque ∈ Ω) par:

{T } A

r ⎧ ⎫ = ⎨r R ⎬ . V A ( ) ⎩ ⎭A

Soit P un point de l’axe central ∆. Nous avons alors les deux relations suivantes : r r r → V( P) = V(A ) + R ∧ AP

(1)

r r r et V( P) ∧ R = 0

(2)

r En remplaçant, dans la deuxième relation, V( P) par sa valeur de la première relation, r r r r r → r r nous pouvons alors écrire : V( P) ∧ R = V(A ) ∧ R + ( R ∧ AP) ∧ R = 0 .

→ r → r r r r Soit alors : V(A ) ∧ R + R 2 AP − ( R. AP) R = 0 ; → r → r r r ⇔ R 2 AP − ( R. AP) R = R ∧ V(A ) → Nous avons donc à résoudre cette dernière équation avec AP comme vecteur inconnu.

Nous avons vu, dans le paragraphe division vectorielle du chapitre calcul vectoriel, que cette équation admet une infinité de solutions données par l’équation vectorielle suivante : r r → R ∧ V( A ) r AP = + α R ; ∀ α ∈ℜ R2

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Chapitre II Torseurs

r C’est l’équation d’une droite parallèle à direction de la résultante R du torseur. Cette

droite est appelée axe central du torseur. Par suite, l’axe central ∆ du torseur est une droite r passant par un point P0 et de vecteur directeur le vecteur axial R . Le point P0 peut être retrouvé par la projection orthogonale du point A sur ∆ (prendre α = 0). Ce point est donné r r → R ∧ V( A ) par la relation suivante : AP0 = . R2 III.4.3.Définitions • Un point central est un point de l’axe central.

• Le moment en un point central est appelé moment central. r I r Nous vérifions que le moment central est : ∀ M ∈ ∆; V(M) = 2 R avec I = l’invariant R scalaire du torseur.

III.5. Opérations sur les torseurs On considère deux torseurs

{τ1 } A

r ⎧ R1 ⎫ r =⎨ ⎬ et ⎩V1 (A ) ⎭ A

{τ 2 } B

r ⎧ R2 ⎫ r =⎨ ⎬ ⎩V2 ( B) ⎭ B

Remarque Aucune opération ne peut être effectuée entre ces deux torseurs que s’ils sont écrits au même point.

III.5.1.Combinaison linéaire de deux torseurs Soit α un scalaire réel. La combinaison linéaire des deux torseurs

{τ}

défini de la manière suivante :

{τ1 } M

{τ1 }

{τ1 } M + α {τ 2 } M

{τ 2 }

par le scalaire α est un torseur r r ⎧ ⎫ + α R R 1 r2 = ⎨r ⎬ . ⎩V1 ( M) + α V2 ( M) ⎭ M

et

III.5.2.Egalité de deux torseurs r r ⎧ R = R 1 r2 = {τ 2 } M ⇔ ⎨ r V M = V ( ) 2 ( M) ⎩ 1

III.5.3.Produit ou Comoment de deux torseurs C’est le scalaire K défini par :

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K = {τ 1 } M ⊗ {τ 2 } M

r r r r r r ⎧ R1 ⎫ ⎧ R2 ⎫ r r =⎨ ⎬ ⊗⎨ ⎬ = R 1 . V2 ( M) + R 2 . V1 ( M) ⎩V1 ( M) ⎭ M ⎩V2 ( M) ⎭ M

Ce produit est invariant scalaire (nous vérifions qu’il est indépendant du point M).

III.6. Classification des torseurs à l’aide de l’invariant scalaire On considère le torseur

{τ}

A

r r r ⎧ ⎫ = ⎨ r R ⎬ et I = R. V(A ) son invariant scalaire. ⎩ V( A ) ⎭ A

Nous allons donner les particularités du torseur selon les cas où son invariant scalaire et nul ou non nul. III.6.1.Cas où l’invariant scalaire est automatiquement nul (torseur dit dégénéré) Nous distinguons les quatre cas suivant :

r r ⎧ r R = 0 r Le torseur est dit torseur nul ou torseur équivalent à zéro. a) ⎨ ⎩ V( A ) = 0 r r r r r ⎧ r R = 0 r Le champ des moments est uniforme : ∀ M ∈ Ω; V( M) = V(A ) = C b) ⎨ r ⎩V(A ) ≠ 0 On dit que le torseur se réduit à un couple (ou torseur couple) de moment C .

r r ⎧rR ≠ 0 r c) ⎨ ⎩ V( A ) = 0

r r ⎧rR ≠ 0 r d) ⎨ ⎩ V( A ) ≠ 0

r Le torseur se réduit à un vecteur glissant R ou le torseur est un glisseur

d’axe central ∆ passant par le point A (car dans ce cas le moment central est r nul): ∆(A, R ). r r r r R⊥V(A ) . Il existe au moins un point Q pour lequel V(Q) = 0 . En effet si r r V(Q) = 0 alors : r r r → r r → r V(Q) = V(A ) + R ∧ AQ = 0 ⇒ R ∧ AQ = − V(A ) r r → R ∧ V( A ) r ⇒ AQ = + α R ; ∀ α ∈ℜ R2

Dans ce cas, le torseur est un glisseur d’axe central ∆ passant par le point Q. III.6.2.Cas où l’invariant scalaire est automatiquement non nul Le torseur est quelconque et peut être décomposé en une infinité de manière en particulier

en une somme d’un glisseur et d’un couple ou en une somme de deux glisseurs.

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III.7. Décomposition d’un torseur de type quelconque On considère le torseur

{τ} A

r ⎧rR ⎫ =⎨ ⎬ quelconque qui est ni un glisseur ni un couple. ⎩ V( A ) ⎭ A

Nous proposons de décomposer ce torseur en une somme d’un couple {C } et d’un glisseur

{G } . III.7.1.Décomposition en un point r r ⎧r⎫ ⎧r 0 ⎫ Il suffit de prendre {G } A = ⎨R C = et { } A ⎨ V( A ) ⎬ . ⎬ ⎩ 0 ⎭A ⎩ ⎭A

Nous aurons ainsi

{τ} A = {C } A + {G } A

Pour un point A choisi, cette décomposition est unique. Elle change donc avec le point.

{τ} B

r ⎧ ⎫ R = ⎨r r r → ⎬ avec : ⎩V( B) = V(A ) + R ∧ AB⎭ B

•

{G } B

•

{C } B

r ⎧ R ⎫ = ⎨ r → ⎬ est toujours un glisseur. ⎩R ∧ AB⎭ B r ⎧r 0 ⎫ =⎨ ⎬ est toujours un couple. ⎩ V( A ) ⎭ B

Et nous aurons aussi

{τ} B = {C } B + {G } B .

Si nous faisons la décomposition au point B, il vient :

{G } '

B

r ⎧R ⎫ = ⎨ r ⎬ ≠ {G } B et C ' 0 ⎩ ⎭B

{ }

B

r ⎧r 0 ⎫ =⎨ ⎬ ≠ {C } B . ⎩V( B) ⎭ B

III.7.2.Décomposition centrale

r ⎧r R ⎫ = G C’est la décomposition en une somme d’un glisseur { } A ⎨ ⎬ ⎩V1 (A ) ⎭ A r r r r r ⎧r 0 ⎫ tel que V2 (A ) / / R . R. V1 (A ) = 0 et d’un couple {C } A = ⎨ ⎬ ⎩V2 (A ) ⎭ A

avec

r r r r Connaissant R et V(A ) , les inconnues sont les deux moments V1 (A ) et V2 (A ) et les

équations s’écrivent :

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r r R. V1 (A ) = 0

(1)

r r V2 (A ) = λ R

(2)

r r r V1 (A ) + V2 (A ) = V(A )

(3)

r Multiplions scalairement la deuxième et la troisième équation par le vecteur axial R , nous aurons : r r V2 (A ). R = λ R 2

(4)

r r r r V2 (A ). R = V(A ). R

(5)

Nous pouvons déduire que :

r r V(A ). R I = 2 avec I est l’invariant scalaire du torseur • λ= 2 R R

{τ} A

r r I r r • V2 (A ) = λ R = 2 R = I ; c’est le moment central du torseur R (invariant vectoriel). r r r r r • V1 (A ) = V(A ) − V2 (A ) = V(A ) − I . r r ⎧0r ⎫ ⎧ r R r⎫ Finalement, nous aurons : {G } A = ⎨ ⎬ et {C } A = ⎨ I ⎬ . ⎩ ⎭A ⎩ V( A ) − I ⎭ A

r ⎧rR ⎫ =⎨ ⎬ . ⎩ V( A ) ⎭ A

{τ}

A

r ⎧ ⎫ = ⎨rR ⎬ ( ) V A ⎩ ⎭A

Cette décomposition et unique et intrinsèque. Si nous écrivons cette décomposition en un r r r r I r ⎧R ⎫ ⎧0r ⎫ r point M de l’axe central ( V( M) = I = 2 R ), il vient : {τ} M = ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬ . R ⎩ 0 ⎭ M ⎩I ⎭ M Dans ce cas particulier, cette décomposition donne le même résultat que la décomposition en un point. Remarque Un torseur couple n’admet pas un axe central (ne peut pas être défini car son champ des

moments ne peut pas être colinéaire avec un vecteur nul). Par conséquent, un torseur quelconque (ni couple, ni glisseur) et son glisseur admettent le même axe central.

III.8. Définition des torseurs équivalents r III.8.1.Torseur équivalent à un vecteur lié (A , u) r A ce vecteur lié est associé un champ de vecteur V défini par :

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E → ℜ3 r r r r r → (moment du vecteur lié (A , u) par rapport au point M) M a V( M ) = mM ( u) = u ∧ AM

r Ce champ est équiprojectif de vecteur axial u . Nous lui associons un torseur dit r u ⎫ ⎧ r équivalent au vecteur lié (A , u) : {τ} M = ⎨ r r →⎬ . ⎩V( M) = u ∧ AM ⎭ M r Ce torseur est un glisseur d’axe central ∆(A, u ) :

{τ} A

r u r⎫ = ⎧⎨ r ⎬ . ⎩ V ( A ) = 0⎭ A

r III.8.2.Torseur équivalent à un ensemble fini de vecteurs liés (A i , u i ) i =1..n r A cet ensemble de vecteurs liés est associé un champ de vecteur V défini par : E → ℜ3 n n → r r r r M a V( M) = ∑ mM ( u i ) = ∑ u i ∧ A i M i =1

i =1

n r r Nous vérifions que ce champ est équiprojectif de vecteur axial R = ∑ u i . Nous lui i =1

r associons un torseur dit équivalent à l’ensemble des vecteurs liés (A i , u i ) i =1..n :

{τ} M

n r ⎧ ⎫ r R = ui ∑ ⎪⎪ ⎪⎪ i =1 = ⎨r n → ⎬ . r ⎪ V( M ) = ∑ u i ∧ A i M ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ M i =1

r III.8.3.Torseur équivalent à un champ de vecteurs f ( P) P∈Ω

r f ( P) P∈Ω est défini sur un domaine Ω de l’espace euclidien . Dans ce cas le nombre des

vecteurs lié est défini en tout point P de Ω. r Par analogie au cas précédent, à ce champ de vecteurs liés f ( P) P∈Ω est associé un champ r de vecteur V défini par :

E → ℜ3 r M a V( M ) =

r ∫m

M

r ( f ( P)) dΩ =

P ∈Ω

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r

→

∫ f ( P) ∧ PM dΩ

P ∈Ω

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r Nous vérifions que ce champ est équiprojectif de vecteur axial R =

r

∫ f ( P) dΩ . Nous lui

P ∈Ω

r associons un torseur dit équivalent au champ de vecteurs liés f ( P) P∈Ω :

{τ} M

r r ⎧ ⎫ R = ∫ f ( P) dΩ ⎪⎪ ⎪⎪ P ∈Ω = ⎨r → ⎬ . r ⎪V( M ) = ∫ f ( P) ∧ PM dΩ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ M P ∈Ω

Remarque r • Si le champ de vecteur f ( P) P∈Ω représente une répartition volumique sur un volume V alors dΩ représente un élément de volume dv. r • Si le champ de vecteur f ( P) P∈Ω représente une répartition surfacique sur une surface S alors dΩ représente un élément de surface ds. r • Si le champ de vecteur f ( P) P∈Ω représente une répartition linéique sur une Longueur L alors dΩ représente un élément de longueur dl.

III.9. Torseurs particuliers r III.9.1.Système de vecteurs concourants (A , u i ) i =1..n r Toutes les directions des vecteurs (A , u i ) i =1..n se coupent au même point A. Par n r r conséquent la direction du vecteur axial R = ∑ u i passe elle aussi par ce point A. i =1

Le torseur équivalent à ce système de vecteurs en un point M de l’espace euclidien E est

alors :

{τ} M

n r n ⎧ ⎫ r r ⎫ ⎧ r R = ui ∑ ⎪⎪ ⎪⎪ = R ui ∑ ⎪ ⎪ i =1 = ⎨r i =1 ⎬ . n → ⎬ = ⎨r r → r ⎪ ⎪ ⎪V( M ) = ∑ u i ∧ AM ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ M ⎩V( M ) = R ∧ AM ⎭ M i =1

Ce torseur est alors un glisseur d’axe central ∆ passant par le point A (car dans ce cas le r moment central est nul): ∆(A, R ).

III.9.2.Système de vecteurs parallèles r r r r On considère le système de vecteurs liés (A i , u i ) i =1..n avec u i = a i u avec u un vecteur unitaire libre.

Le torseur équivalent à ce système de vecteur en un point M de l’espace est alors : Cours de Mécanique Générale

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{τ} M

{τ} M

n n r r ⎧ ⎧ ⎫ ⎫ r r R ai u R = u = ∑ ∑ i ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ i =1 i =1 = = ⎨r ⎨ ⎬ n n → → ⎬ r ⎪V( M ) = ∑ ur i ∧ A i M ⎪ ⎪V( M ) = ∑ a i ur ∧ A i M ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ M ⎪⎩ ⎪⎭ M i =1 i =1

r r ⎫ ⎧ R=au n ⎪ ⎪r n → avec a = ∑ a i . =⎨ r ⎬ a i A i M)⎪ i =1 ⎪⎩V( M ) = u ∧ ( ∑ i =1 ⎭M

On peut alors distinguer deux cas:

1er cas n

Si a = ∑ a i ≠ 0 alors i =1

n

∑a

i

→ → A i M = a GM avec G est le barycentre des points Ai affectés

i =1

des scalaires ai. Par conséquent, le torseur équivalent au système de vecteurs parallèles est :

{τ} M

r r r r ⎧⎪ ⎫⎪ ⎧⎪ ⎫⎪ R=au R=au = = ⎨r → → r r ⎨ ⎬ ⎬ r ⎪⎩V( M ) = u ∧ a GM ⎪⎭ M ⎪⎩V( M ) = R ∧ GM ⎪⎭ M

Ce torseur est alors un glisseur d’axe central ∆ passant par le point G (le moment est nul r en ce point): ∆(G, R ).

2ème cas

n n → r r r r r r Si a = ∑ a i = 0 alors R = a u = 0 et V( M ) = u ∧ ( ∑ a i A i M ) = C ; vecteur indépendant i =1

i =1

du point M ( ∀ M ∈ E ). Par conséquent, le torseur équivalent au système de vecteurs parallèles est un couple :

{τ} M

r r ⎫ ⎧ R=0 ⎪ ⎪r n → r r . =⎨ V( M ) = u ∧ ( ∑ a i A i M ) = C ⎬ ⎪ ⎪⎩ i =1 ⎭M

.../...

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IV. Exercices d’application Exercice N°1

On considère le champ des vecteurs défini en tout point P de l’espace par :

r ( P) = ⎧⎪ab−+ααyx++α2zz⎫⎪ m ⎨ ⎬ 2

⎪⎩ c − x − 2 y ⎪⎭

où x, y, et z sont les coordonnées du point P et a, b et c sont des constantes et α est un paramètre réel. 1) Déterminer les valeurs de α pour lesquelles le champ est équiprojectif. 2) Pour chaque valeur de α, solution de la première question, déterminer le vecteur résultant (axial). Exercice N°2

⎧⎪ 1 + 3y − αz ⎫⎪ r Répondre aux mêmes questions pour le champ de vecteur m( P) = ⎨ 2αz − 3x ⎬ 2 ⎩⎪2 + αx − α y ⎭⎪

Exercice N°3

⎧⎪ 0 ⎫⎪ ⎧⎪R C ⎫⎪ r r r ⎪⎧ 0 ⎪⎫ On considère les trois vecteurs R A = ⎨R A ⎬ ; R B = ⎨ 0 ⎬ et R C = ⎨ 0 ⎬ liés ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎩⎪R B ⎭⎪

respectivement aux trois points de l’espace A(a,0,0) ; B(0,b,0) et C(0,0,c) 1) Déterminer la condition sur les scalaires a, b, c, RA, RB, et RC pour que le torseur associé à ces trois vecteurs liés soit un glisseur. 2) Trouver l’axe central de ce glisseur. Que devient-il si RA=RB=RC=R. Exercice N°4

r r r Dans un repère orthonormé direct R(O, e1 , e 2 , e 3 ) , on considère le torseur les moments

{τ}

défini par

r (O) = ⎧⎪21⎫⎪ ; m r (A) = ⎧⎪22⎫⎪ avec A(1,-1,1) et m r ( B) = ⎧⎪40⎫⎪ avec B(2,1,0) m ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩⎪3⎭⎪

⎩⎪2⎭⎪

⎩⎪4⎭⎪

1) Déterminer le vecteur axial de ce torseur, r 2) Déterminer le moment par rapport à la droite (O, e 3 ) , 3) Ce torseur est il un glisseur ?,

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4) Décomposer ce torseur en la somme d’un couple et d’un glisseur, 5) Déterminer l’axe central de ce torseur. Exercice N°5

Chercher le torseur associé à l’ensemble des vecteurs définis ci-dessous puis trouver l’axe central de ce torseur. RA A

RC

PB

RB p(x)

B

αL

C L

PA A

(a)

x

B

Q L

( b) : Répartition linéaire p(x) est affine en fonction de x traiter les cas où : • PA = 0 • PA = PB • PA+PB = 0

Exercice 5 (avec réponses)

Un cadre carré (L x L) est soumis à une répartition d’efforts sur chaque coté. Ces répartitions sont affines (Voir figure ci - dessous) e3

On pose :

2p

p1 (x)

p2 (y) e2

2

O

B p3 (x)

1 p4 (y) e1

A

→ → r OA = BC = Le1 et → → r OB = AC = Le 2

4

p 3 C

1. Trouver les expressions des fonctions des répartitions pi avec i ∈ {1,2,3,4} 2. Considérer chaque côté du carré à part et trouver le torseur

{τ } i

équivalent à l’effort

réparti sur le coté N° i. 3. Ecrire le torseur

{ τ}

O

équivalent aux quatre répartitions sur le cadre tout entier.

{ τ} est

- il un glisseur ?

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r r 4. Soit Mo un point central du plan (O, e1 , e 2 ) , trouver les coordonnées de ce point (xo, yo).

{ τ} . r r r 5. Calculer les moments du torseur { τ} par rapport aux axes (O, e ); (O, e ) et (O, e ) . Donner l’axe central ∆ du torseur

1

2

3

Réponses

1) Les expressions des fonctions pi avec i ∈ {1,2,3,4} : Les quatre répartitions des charges appliquées sur les quatre cotés du cadre sont toutes

des fonctions affines de la forme p i ( x) = a i . x + b i avec i ∈ {1,2,3,4} Coté N° 1 : Barre OA , y = 0 Pour x = 0, p 1 (0) = 2 p ⇒ b 1 = 2 p et pour x = L, p 1 ( L) = 0 ⇒ a 1 = p 1 ( x) =

d’où

−2 p L

−2 p x + 2p L

Coté N° 2 : Barre OB , x = 0

p 2 ( y) =

−2 p y + 2p L

Coté N° 3 : Barre BC , y = L Pour x = 0, p 3 (0) = 0 ⇒ b 3 = 0 et pour x = L, p 3 ( L) = p ⇒ a 3 = p 3 ( x) =

d’où

p L

p x L

Coté N° 4 : Barre AC , x = L p 4 ( y) =

p y L

2) Calcul du torseur

{τ } équivalent à l’effort réparti sur le coté i i

Coté N° 1 : L L r −2 p r r r R 1 = ∫ p 1 ( x)dx e 3 = ∫ ( x + 2 p)dx e 3 = pL e 3 L 0 0 r r r −2 p 2 r − pL2 r m1 (O) = ∫ x. e1 ∧ p 1 ( x) e 3 dx = − ∫ ( x + 2 p. x)dx e 2 = e2 L 3 0 0 L

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L

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d’où :

{τ } 1

O

r ⎧ pL e 3 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ − pL2 r ⎬ ⎪⎩ 3 e 2 ⎪⎭ O

Coté N° 2 : L L r −2 p r r r R 2 = ∫ p 2 ( y)dy e 3 = ∫ ( y + 2 p)dy e 3 = pL e 3 L 0 0 r r r −2 p 2 r pL2 r m 2 (O) = ∫ y. e 2 ∧ p 2 ( y) e 3 dy = ∫ ( y + 2 p. y) dy e1 = e1 L 3 0 0 r ⎧ pL e 3 ⎫ ⎪ ⎪ d’où : τ 2 O = ⎨ pL2 r ⎬ ⎪⎩ 3 e1 ⎪⎭ O L

L

{ }

Coté N° 3 : L L r r p r pL r R 3 = ∫ p 3 ( x)dx e 3 = ∫ x dx e 3 = e3 L 2 0 0 r r r p r − pL2 r m 3 ( B) = ∫ x. e1 ∧ p 3 ( x) e 3 dx = − ∫ x 2 dx e 2 = e2 L 3 0 0 L

L

⎧ pL r ⎫ e3 ⎪ ⎪ d’où : τ 3 B = ⎨ 2 2 ⎬ − pL r ⎪ e2 ⎪ ⎩ 3 ⎭B pL r ⎧ ⎧ ⎫ e3 ⎪ ⎪ ⎪ 2 =⎨ Au point (O), τ 3 O = ⎨ ⎬ 2 → − pL2 − pL r pL r ⎪ ⎪ e 2 + OB∧ e3 ⎪ 2 ⎭O ⎩ 3 ⎩ 3 Coté N° 4 : L L r r p r pL r R 4 = ∫ p 4 ( y) dy e 3 = ∫ y dy e 3 = e3 2 L 0 0

{ }

{ }

L

pL r ⎫ e3 ⎪ 2 2 pL r ⎬ r e2 + e1 ⎪ 2 ⎭O

L

r r r p r pL2 r m 4 (A ) = ∫ y. e 2 ∧ p 4 ( y) e 3 dy = ∫ y 2 dy e1 = e1 L 3 0 0

d’où :

{τ } 4

A

Au point (O),

⎧ pL r ⎫ e3 ⎪ ⎪ = ⎨ 22 ⎬ pL r ⎪ e1 ⎪ ⎩ 3 ⎭A

{τ } 4

O

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pL r pL r ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ e3 e3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 =⎨ 2 =⎨ 2 2 ⎬ 2 → pL r pL r ⎬ pL r pL r ⎪ ⎪ ⎪ e1 − e2 ⎪ e1 + OA ∧ e3 2 ⎭O ⎩ 3 2 ⎩ 3 ⎭O

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3) Calcul du torseur

{τ} O soit

=

{τ} O

équivalent aux quatre répartitions sur le cadre tout entier

{τ } + {τ } + {τ } + {τ }

{τ} O

1

2

O

3

4

O

O

O

r 3pL e 3 ⎧⎪ ⎫⎪ = ⎨7 2 r r ⎬ ⎪⎩ 6 pL ( e1 − e 2 ) ⎪⎭ O

{τ}

est un glisseur car sa résultante est différent du vecteur nul et son r r invariant scalaire est égal à zéro ( I = R. m O = 0 ). Le torseur

4) Calcul des coordonnées du point central et de l’axe central du torseur r r → R ∧ mO r r Mo est un point central du plan (O, e1 , e 2 ) ⇒ OM o = R2 →

soit, après tout calcul fait, OM o =

{τ}

7 r r L ( e1 + e 2 ) 18

r L’axe central du torseur ∆ ( M o , R ) passe par le point Mo et de vecteur directeur la résultante 5) Calcul des moments du torseur

{τ} par rapport aux axes du repère

r r 7 m ( O , er1 ) = m O . e1 = pL2 6 7 r r m ( O , er2 ) = m O . e 2 = pL2 6 r r r m ( O , e3 ) = m O . e 3 = 0

Exercice 6

r r Soit A un point de l’espace affine euclidien à trois dimensions. Soit R et m deux vecteurs

orthogonaux. On considère le glisseur

{τ } 1

A

r ⎧R ⎫ = ⎨ r ⎬ et le couple ⎩ 0 ⎭A

1. Calculer le comoment des deux torseurs 2. On pose

{τ } 2

r ⎧0⎫ = ⎨r⎬ ⎩m⎭

{τ1 } et {τ 2 }

{τ} = {τ1 } + {τ 2 }

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a) calculer les éléments de réduction en A du torseur

{τ} ,

b) calculer les éléments de réduction en un point B, différent de A, du torseur

{τ} .

3. Quelle est la particularité du torseur {τ} . Donner l’équation vectorielle de son axe centrale. r ⎧w ⎫ r 4. Soit {τ 3 } B = ⎨r ⎬ un second glisseur non défini. Déterminer w et le lieu des point B ⎩0 ⎭ B pour que {τ} + {τ 3 } = {τ 2 } . r 5. Déterminer w et le lieu des point B pour que {τ} + {τ 3 } = {0} (torseur nul). Exercice 7

Soient deux glisseurs Posons

{τ1 } et {τ 2 } d’axes centraux ∆ 1 et ∆ 2 .

{τ} = {τ 1 } + λ{τ 2 }

λ ∈ℜ *

1. Montrer que l’axe central (∆) de commune de ∆ 1 et ∆ 2 . 2. 3.

{τ}

coupe à angle droit la droite (D) perpendiculaire

{τ} est - il un glisseur, Justifier votre réponse. Montrer que {τ} est un glisseur dans le cas ou

∆ 1 et ∆ 2 se coupent en un point.

Exercice 8

r r r Soit R(O, e1 , e 2 , e 3 ) un repère orthonormé direct. Dans ce repère on défini les quatre vecteurs suivants : ⎛ −1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ −λ ⎞ ⎛ 2λ − 3⎞ r r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r OM = ⎜ −1⎟ ; R g = ⎜ 0 ⎟ ; R λ = ⎜ λ − 1⎟ et m λ (O) = ⎜ 3λ − 5⎟ avec λ ∈ℜ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎝ λ ⎠ ⎝ 3λ − 4⎠ →

On considère : • Le glisseur

r

{τ } défini par sa résultante R g

g

et dont l’axe central passe par le point

M.

r ⎧ Rλ ⎫ • Le Torseur {τ λ } O = ⎨ r ⎬ . ⎩ m λ ( O) ⎭ O

{τ } par ses éléments de réduction au point O. 2. Montrer qu’il existe une valeur λ pour laquelle on a {τ } = {τ } . 1. Déterminer le glisseur

g

λo

o

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g

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3. Montrer qu’il existe une deuxième valeur λ 1 ≠ λ o pour laquelle

{τ } λ1

est un glisseur.

Déterminer alors l’axe central de ce glisseur par son expression analytique. 4. Donner une décomposition centrale du torseur Exercice 9

On considère les deux glisseurs {G1} A

{τ λ =2 } .

r r r ⎧ R1 ⎫ ⎧ X⎫ = ⎨ r ⎬ et {G 2 } B = ⎨ r ⎬ où R1 est un vecteur ⎩ 0 ⎭B ⎩ 0 ⎭A

r connu et X un vecteur quelconque.

On désigne par

{τ}

le torseur somme des deux glisseurs précédents.

Questions

1) Donner les éléments de réduction du torseur {τ} en un point M quelconque r 2) Déterminer la valeur de X pour que le torseur {τ} soit un couple? Donner le moment du couple au point M. r 3) Un point M étant un point fixé quelconque de l'espace, peut-on choisir X pour que r ⎧R ⎫ le torseur {τ} soit un glisseur {G } M = ⎨ r ⎬ . ⎩ 0 ⎭M

4) Le point M étant choisi en fonction des conditions imposées par la question r ⎧R⎫ précédente, calculer la résultante du glisseur {G } M = ⎨ r ⎬ ⎩ 0 ⎭M r ⎧R ⎫ 5) Dans le cas où {τ} = {G } M = ⎨ r ⎬ , calculer le produit (Comoment) des deux ⎩ 0 ⎭M r r ⎧ R1 ⎫ ⎧ X⎫ glisseurs {G1} A = ⎨ r ⎬ et {G 2 } B = ⎨ r ⎬ . ⎩ 0 ⎭B ⎩ 0 ⎭A

Exercice 10

r r r Dans un repère orthonormé direct R (O, x , y , z) , on considère les systèmes de vecteurs appliqués sur deux barres en forme de L (figure 10) :

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Chapitre II Torseurs

r y

p C B

2L/3 L

r F L

A L/2 r x

O Figure 10

Questions

1) Déterminer le torseur

{τ1}B

au point B, équivalent au champ de vecteurs appliqué

sur la barre horizontale. 2) Déterminer le torseur

{τ 2 }O

r au point O, équivalent au vecteur F appliqué au point

A sur la barre verticale. 3) En déduire le torseur

{τ}

au point O, équivalent à la somme des torseurs

{τ1}

et

{τ 2 } 4) Donner l'axe central du torseur

{τ} .

Exercice 11

r r r Dans un repère orthonormé direct R (O, x , y , z) , on considère le système des vecteurs liés r ( M i , Vi ) suivants : ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝

0⎞⎟ ⎟ M1 3⎟⎟ ⎟ 1⎟⎠

⎛ 5⎞ r ⎜⎜ ⎟⎟ V ⎜⎜ 1⎟⎟ ; 1⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝

1 ⎞⎟ ⎟ M 2 0 ⎟⎟ ⎟ −1⎟⎠

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ r ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ V ⎜ 4⎟ ; M 3 ⎜11⎟⎟ 2⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 0⎠

⎛ 1 ⎞ r ⎜⎜ ⎟⎟ V ⎜⎜ −2⎟⎟ 3⎜ ⎟ ⎜ m⎟ ⎝ ⎠

1) Déterminer en fonction du paramètre m, la résultante et le moment en O du torseur associé à ce système de vecteurs. 2) Classer ce torseur suivant la valeur de m.

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Chapitre II Torseurs

3) Dans le cas où le système possède un axe central, déterminer cet axe ainsi que son moment central. 4) Dans le cas ou le torseur est quelconque, on demande de le décomposer en la somme d'un couple et d'un glisseur (décomposition centrale ) Exercice 12

r r r Dans un repère orthonormé direct R (O, x , y , z) , on considère les systèmes de vecteurs

appliqués sur deux barres en forme de T (figure 12) : r y

p B D

C

L/3

2L/3

r F L

A L/2 r x

O Figure 12

Questions

1) Déterminer le torseur

{τ1}B

au point B, équivalent au champ de vecteurs appliqué

sur la barre horizontale. 2) Déterminer le torseur

{τ 2 }O

r au point O, équivalent au vecteur F appliqué au point

A sur la barre verticale. 3) En déduire le torseur

{τ}

au point O, équivalent à la somme des torseurs

{τ1}

et

{τ 2 } 4) Donner l'axe central du torseur

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{τ} .

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Exercice 13

Dans un repère orthonormé direct r r r R(O, x, y, z) , on considère les systèmes de

.

charges appliquées sur deux barres OA et OC → → r r tel que OA = Ly et OC = Lx . (Figure 13).

L/2

r z

2p p O

L

r F

r y

A L

B

La barre OA est soumise à une répartition C

affine de charges tel que les valeurs des charges aux points O et A sont respectivement

r x

égales à p et 2p.

Figure 13

r Sur la barre OC, le système de charges est donné par le vecteur force F appliqué au point → Lr B tel que OB = x . 2

Questions 1) Déterminez le torseur

{τ1 } O

r ⎧ R1 ⎫ = ⎨r ⎬ au point O équivalent à la charge répartie ⎩ m1 ( O) ⎭ O

sur la barre OA. 2) Quel est le type du torseur 3) Déterminez le torseur

{τ1 } ?. Donnez son axe central s'il existe.

{τ 2 } O

r F appliqué sur la barre OC.

4) Calculer le torseur

{τ 3 } C

r ⎧ R2 ⎫ = ⎨r ⎬ au point O équivalent au vecteur force ⎩m 2 ( O) ⎭ O

r ⎧ R3 ⎫ = ⎨r ⎬ , somme des deux torseurs ⎩ m 3 ( C) ⎭ C

{τ1 }

et

{τ 2 } au

point C.

r ⎧R C ⎫ 5) Soit {τ 4 } C = ⎨ r ⎬ le torseur représentant l'action mécanique de la liaison ⎩m C ⎭ C d'encastrement au point C.

{τ 4 } pour que sa somme avec le torseur {τ 3 } soit égale au torseur nul : {τ 3 } + {τ 4 } = {0} .

Déterminez les éléments de réduction du torseur

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Exercice 14 r z

Dans un repère orthonormé direct r r r R(O, x, y, z) , on considère les systèmes de

.

2p

p

r y

A

charges appliquées sur deux barres AB et OC → → r → Lr r tel que AB = Ly , OB = y et OC = Lx . 2

L/2 L

B

O L/2

L/2 r F D

(Figure 1). C

La barre AB est soumise à une répartition affine de charges tel que les valeurs des

r x

charges aux points A et B sont respectivement

Figure 14

égales à p et 2p. r Sur la barre OC, le système de charges est donné par le vecteur force F appliqué au point → Lr D tel que OD = x . 2

Questions

r ⎧ R1 ⎫ 1) Déterminez le torseur {τ 1 } A = ⎨ r ⎬ au point A équivalent à la charge ⎩ m1 ( A ) ⎭ A répartie sur la barre AB. En déduire ces éléments de réduction au point O.

2) Quel est le type du torseur 3) Déterminez le torseur

{τ1 } ?. Donnez son axe central s'il existe.

{τ 2 } O

r F appliqué sur la barre OC.

4) Calculer le torseur

{τ 3 } C

r ⎧ R2 ⎫ = ⎨r ⎬ au point O équivalent au vecteur force ⎩m 2 ( O) ⎭ O

r ⎧ R3 ⎫ = ⎨r ⎬ , somme des deux torseurs ⎩ m 3 ( C) ⎭ C

{τ1 }

et

{τ 2 } au

point C.

r ⎧R C ⎫ 5) Soit {τ 4 } C = ⎨ r ⎬ le torseur représentant l'action mécanique de la liaison ⎩m C ⎭ C d'encastrement au point C.

{τ 4 } au point C pour somme avec le torseur {τ 3 } soit égale au torseur nul : {τ 3 } + {τ 4 } = {0} .

Déterminez les éléments de réduction du torseur

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que sa

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Chapitre II Torseurs

Exercice 15 r z

Un corps pesant (Figure 15) de masse M, assimilé à un point matériel, est accroché aux sommets A, B, C d'un

A

triangle équilatéral de coté a, par l'intermédiaire de 3 fils. r r r L'origine du repère orthonormé direct R (O, x, y, z) est

a

a

B

r TA

ce repère, le plan horizontal défini par les points A, B, C est tel que :

r TB

a a a a a a a a A ( − ,− , ) ; B( ,− , ) ; C(0, , ). 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 Les tensions des fils OA, OB et OC sont notées respectivement TA, TB et TC telle que : r r r r r r r r TA = TA n A ; TB = TB n B ; TC = TC n C où n A , n B et

C

a

confondue avec le centre de gravité du corps pesant. Dans

r TC

O r r P = − Mg z r x

Figure 15

r n C sont les vecteurs unitaires relatifs aux directions (OA), (OB) et (OC).

Questions 1) Vérifiez que les fils OA, OB, et OC sont de même longueur L (exprimée en fonction de a). r r r 2) Déterminez les composantes des vecteurs n A , n B et n C dans la base du repère r r r R ( O, x , y , z ) . r r r 3) Montrez que le torseur {τ 1 } associé à l'ensemble des 3 forces ( TA , TB , TC ) est un glisseur. En déduire son axe central. r r r 4) Pour quelles valeurs de TA ; TB et TC le torseur {τ} associé au système des 4 r r r r r forces ( P = − Mg z , TA , TB , TC ) appliquées en O est égal au torseur nul {0} ? → r 5) Calculez l'angle α = (OC, z) .

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r y

Chapitre II Torseurs

Exercice 16

r r r Soit R (A , x, y, z) un repère orthonormé direct lié à une poutre (AB) articulée en A et reposant sur un appui simple en B.

Première partie Soit le système de vecteurs forces sur la poutre (AB) (voir figure 16-a) : → r r r En C tel que AC = a. x est exercé l'effort connu FC = FC . y → r r r r En D tel que AD = b. x est exercé l'effort connu FD = F1 D . x + F2 D . y . r r 1. Déterminer le torseur {τ1 }A équivalent au système de vecteurs liés (C, FC ) et ( D, FD ) .

2. Soit : r r r r • R A : l'action de l'articulation sur la poutre en A. On donne R A = x A . x + y A . y r r r • R B : l'action de l'appui simple sur la poutre en B. On donne R B = y B . y . r a) Déterminer le torseur {τ 2 }A associé au système de vecteurs liés (A , R A ) et r ( B, R B ) . b) Calculer xA, yA, et yB afin que

{τ1} + {τ 2 } = {0} (torseur nul)

Deuxième partie La poutre (AB) est maintenant soumise à une répartition affine d'efforts (voir figure 16-b) 1. Déterminer le torseur

{τ} A équivalent à l'effort réparti sur la poutre (AB) au point

A.

2. Quelle est la particularité du torseur {τ} . Donner l'équation de son axe central. r y

r y

r FC

r FD

B

A C r z

r x

PA

PB

A

B E

D

a

r z

b

L/2 L

L

Figure 16-a

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Figure 16-b

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r x

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Exercice 17

Dans un repère orthonormé direct r r r R(O, x, y, z) , on considère les systèmes de

p r z

charges appliquées sur deux barres AB et OC → → r → Lr r tel que AB = Ly , OB = y et OC = Lx . 2

.

r y

A

B

O L/2

L/2

L/2 L r F

(Figure 17). La barre AB est soumise à une répartition

D

C

affine de charges tel que les valeurs des r x

charges aux points A et B sont respectivement nulles et la charge au point O est égales à p.

Figure 17

r r r Sur la barre OC, le système de charges est donné par le vecteur force F = F1 . x + F2 . y

→ Lr appliqué au point D tel que OD = x . 2

Questions 1) Déterminez le torseur

{τ1 } O

r ⎧ R1 ⎫ = ⎨r ⎬ au point O équivalent à la charge répartie ⎩ m1 ( O) ⎭ O

sur la barre AB. 2) Quel est le type du torseur 3) Déterminez le torseur

{τ1 } ?. Donnez son axe central s'il existe.

{τ 2 } O

r F appliqué sur la barre OC.

4) Calculer le torseur

{τ 3 } C

r ⎧ R2 ⎫ = ⎨r ⎬ au point O équivalent au vecteur force ⎩m 2 ( O) ⎭ O

r ⎧ R3 ⎫ = ⎨r ⎬ , somme des deux torseurs ⎩ m 3 ( C) ⎭ C

{τ1 }

et

{τ 2 } au

point C.

r ⎧R C ⎫ 5) Soit {τ 4 } C = ⎨ r ⎬ le torseur représentant l'action mécanique de la liaison ⎩m C ⎭ C d'encastrement au point C.

{τ 4 } au point C pour somme avec le torseur {τ 3 } soit égale au torseur nul : {τ 3 } + {τ 4 } = {0} .

Déterminez les éléments de réduction du torseur

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que sa

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Chapitre II Torseurs

Exercice 18

On considère une plaque ayant la forme d'un triangle r x

équilatéral ABC, de coté a comme illustre la figure 18. On associe aux point A, B et C respectivement trois r r r r r r vecteur FA ; FB et FC exprimés dans un repère R (A , x, y, z)

r r r r FA = X A x + YA y + Z A z

C

a

a r y

par :

a

A

A

Figure 18

r r r FB = X B x + YB y

r r FC = X C x

Questions 1) Déterminer au point A les éléments de réduction du torseur associé au système des r r r vecteurs ( FA , FB , FC . On note ce torseur {τ 1 } .

{

}

2) Quel est le type du torseur

{τ1 } .

r r 3) Soit M un point central du plan de la plaque (A , y, z) . Déterminer les coordonnées de M et donner les éléments de réduction du torseur {τ 1 } en ce point. ABC. En déduire les relations entre les 4) Soit G le barycentre du triangle r r équilatéral r composantes des vecteurs FA , FB , FC pour que le moment résultant du torseur {τ 1 } en G soit nul. r r r r 5) On associe au barycentre G, un vecteur U = U x x + U y y + U z z . Déterminer les r r r r composantes des vecteurs FA , FB , FC en fonction de celles de U pour que le torseur r r r r associé au système des vecteurs FA , FB , FC , U soit équivalent à un torseur nul.

{

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}

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r z

Chapitre II Torseurs

Exercice 19

Soient A, B, C, D, A', B', C' et D' les sommets d’un parallélépipède de centre O (figure 19), dont les r r r coordonnées dans le repère R(O, e1 , e 2 , e 3 ) sont données

e3

par :

C

A (a, b, c ) ;

A'(a, b, -c) ;

B(-a, b, c) ;

D

B'(-a, b, -c) ;

C(-a, -b, c )

C'(-a, -b, -c );

D( a, -b, c)

D'(a, -b, -c)

D'

B

A

e2

C' O

B' A'

e1

Figure 19 où a, b et c sont des constantes positives.

Soit le torseur

{τ}

⎧⎪ → ⎫⎪ {τ1 } = ⎨DB r ⎬ ⎩⎪ 0 ⎭⎪ D

⎧⎪ → ⎫⎪ {τ 5 } = ⎨Dr' A ⎬ ⎩⎪ 0 ⎭⎪ D '

la somme des six glisseurs suivants :

⎧⎪ → ⎫⎪ ' ; {τ 2 } = ⎨AB r ⎬ ⎩⎪ 0 ⎭⎪ A

⎧⎪ → ⎫⎪ ; {τ 3 } = ⎨Ar' C'⎬ ⎩⎪ 0 ⎭⎪ A '

⎧⎪ → ⎫⎪ ' et {τ 6 } = ⎨CB r ⎬ ⎩⎪ 0 ⎭⎪ C

1) Déterminer les éléments de réduction du torseur

⎧⎪ → ⎫⎪ ; {τ 4 } = ⎨Dr' C⎬ ⎩⎪ 0 ⎭⎪ D '

{τ}

2) Déterminer l’axe central ∆ de {τ} . r 3) Soit R le vecteur résultant de {τ} . Déterminer le glisseur l’axe central ∆7, soit le même que celui de 4) Calculer le torseur

{τ} .

la somme de deux glisseurs

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r r R 7 = R et

{τ} - {τ 7 } . Que peut-on conclure ?.

5) Supposons que b2 = 2 a2 . Montrer que le torseur

6) Déterminer alors

{τ 7 } tel que :

{τ 8 } et {τ 9 }

{τ} - {τ 7 } peut être décomposé en

⎧⎪ → ⎫⎪ tels que {τ 8 } = ⎨CA r ⎬ . ⎪⎩ 0 ⎪⎭ C

{τ 9 } .

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Chapitre II Torseurs

Exercice 19

r z

Un corps pesant (Figure 19-a) de masse M, assimilé à un point matériel, est accroché aux sommets A, B, C de la plaque, par l'intermédiaire de 3 fils. L'origine du repère r r r orthonormé direct R (O, x, y, z) est confondue avec le centre

A a

a

B C

a

de gravité du corps pesant. Dans ce repère, le plan horizontal

r TA

défini par les points A, B, C est tel que :

r TC

r TB

a a a a a a a a A ( − ,− , ) ; B( ,− , ) ; C(0, , ). 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 Les tensions des fils OA, OB et OC sont notées

O r r P = − Mg z

r x

respectivement TA, TB et TC telle que :

r y

r r r r r r r r r TA = TA n A ; TB = TB n B ; TC = TC n C où n A , n B et n C

Figure 19-a

sont les vecteurs unitaires relatifs aux directions (OA), (OB) et (OC).

Questions 1) Vérifiez que les fils OA, OB, et OC sont de même longueur L (exprimée en fonction de a). r r r 2) Déterminez les composantes des vecteurs n A , n B et n C dans la base du repère r r r R ( O, x , y , z ) . r r r 3) Montrez que le torseur {τ 1 } associé à l'ensemble des 3 forces ( TA , TB , TC ) est un glisseur. En déduire son axe central. r r r 4) Pour quelles valeurs de TA ; TB et TC le torseur {τ} associé au système des 4 r r r r r forces ( P = − Mg z , TA , TB , TC ) appliquées en O est égal au torseur nul {0} ? Deuxième partie Dans cette partie, la plaque est placée dans le plan r r r r r (A , z, y) du repère R (A , x, y, z) (Figure 19-b) On associe aux point A, B et C respectivement trois r r r r r r vecteur FA ; FB et FC exprimés dans le repère R (A , x, y, z) r r r r par : FA = X A x + YA y + Z A z r r r FB = X B x + YB y ;

r r FC = X C x

a

A

a

a r y

r z

C

r x B

Figure 19-b

Questions

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Chapitre II Torseurs

1) Déterminer au point A les éléments de réduction du torseur associé au système des r r r vecteurs ( FA , FB , FC . On note ce torseur {τ 1 } .

{

}

ABC. En déduire les relations entre les 2) Soit G le barycentre du triangle r r équilatéral r composantes des vecteurs FA , FB , FC pour que le moment résultant du torseur {τ 1 } en G soit nul. r r r r 3) On associe au barycentre G, un vecteur U = U x x + U y y + U z z . Déterminer les r r r r composantes des vecteurs FA , FB , FC en fonction de celles de U pour que le torseur r r r r associé au système des vecteurs FA , FB , FC , U soit équivalent à un torseur nul.

{

}

Troisième partie r r r Dans cette partie on considère le repère R1 (A , x1 , y1 , z1 ) lié

r z

r z1

→ r à la plaque tel que AB = a x1 et C se trouve constamment dans r r le plan ( A, x1 , z1 ) .

r y1 C

r r r Le repère R (A , x, y, z) est supposé lié à un solide fixe (S0)

r y

A

(Figure 19-c) B

r x

r x1

La plaque est mise en mouvement de rotation autour du

Figure 19-c

point A par rapport au solide (S0) de telle façon que le coté AB r r de la plaque reste toujours dans le plan (A , x, y) (Figure 3)

Question Définir les paramètres de position de la plaque par rapport r r r au repère R (A , x, y, z) .

Exercice 20

Soit une plaque ayant la forme d'un carré de coté a et de centre G (figure 20), soumise à r r r r des actions mécaniques F A en A , F B en B, F C en C et F D en D.

r r r Ces actions mécaniques sont exprimées dans un repère R ( A, x, y, z) par :

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Chapitre II Torseurs

r r r FA = X A x + YA y

r r r FB = X B x + YB y r F

r r r FC = X C x + YC y

y

r F

D

r r r FD = X D x + YD y

C

C

D

G A

r F

On note par

{τ1 }

x

B

r F

A

B

r r r r le torseur associé au système des vecteurs { F A , F B , F C , F D}.

1) Déterminer la résultante et le moment en A du torseur 2) Quel est le type du torseur

{τ1 } .

{τ1 } ?. Déterminer son axe et son moment central.

r r 3) On applique au point G une action mécanique supplémentaire FG = ZG z et on note r r r r r par {τ 2 } le torseur associé au système des vecteurs { F G , F A , F B , F C , F D}.

3-a) Déterminer la résultante et le moment en A du torseur 3-b) Quel est le type du torseur 3-c) Dans le cas où le torseur

{τ2 } .

{τ2 } ?.

{τ2 }

est quelconque, décomposer le en la somme d'un

couple et d'un glisseur (décomposition centrale)

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Chapitre III Paramétrage

CHAPITRE III PARAMETRAGE

CHAPITRE III : PARAMETRAGE I.

Paramétrage d’un solide

I.1.

Notion de solide indéformable Nous appelons solide indéformable (S),

l’association

d’un

ensemble

de

Solide (S)

points

matériels, rigidement liés les uns aux autres, A

c’est-à-dire, les distances de ces points restent

B

constantes quel que soit le mouvement du solide.

I.2.

→

(S) est indéformable ⇒ ∀A,B∈S, AB =cte

Paramétrage de la position d’un solide r z

Pour définir la position d’un solide

r z1

indéformable (S) dans un référentiel r rr R(O, x, y, z) , il faut commencer par lier à ce r r r solide (S) un repère R1(O1,x1,y1,z1) et ensuite

r y1 (S)

O1

définir la position du repère R1 par rapport au repère R. O

r x1 r y

r x

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Chapitre III Paramétrage

r r r Le repère R1 est caractérisé par son origine O1 et sa base (x1,y1,z1) . Nous devons donc r r r définir la position de l’origine O1 dans R et l’orientation de la base (x1,y1,z1) de R1 par rapport rrr à la base (x, y,z) du repère R.

Tous les repères introduits sont orthonormés directs. Le déplacement de R1 par rapport à R s’effectue donc avec six degrés de liberté : •

Trois degrés de liberté de translation caractérisés par le vecteur de position du point O1 dans le repère R,

•

Trois degrés de liberté de rotation que l’on peut caractériser par trois angles

A chaque degré de liberté on fait correspondre un paramètre. r r r I.2.1. Paramétrage de la position de l’origine du repère R1(O1,x1,y1,z1) r r r dans le repère R(O, x, y, z)

Les paramètres qui définissent la position d’un point dans un repère sont habituellement : •

Les coordonnées cartésiennes,

•

Les coordonnées cylindriques,

•

Les coordonnées sphériques.

Le type de coordonnées choisi est fonction du problème que l’on a à traiter (problème de symétrie de révolution autour d’un axe, problème de symétrie sphérique, etc.).

I.2.1.1. Les coordonnées cartésiennes Notion de paramétrage strict (paramètres indépendants) Les coordonnées (x,y,z) du point O1 sont les paramètres de la position de ce r r r point dans le repère R(O, x, y, z) . Ces

paramètres

sont

en

r z (S)

z

nombre

O1

nécessaire et suffisant pour positionner le y

point O1 dans R. Par suite, (x,y,z) sont dits

O

indépendants et un paramétrage strict du

point O1 dans le repère R est donné par les trois coordonnées (x,y,z).

r y

x H

r x

Notion de paramétrage surabondant (paramètres liés ou dépendants)

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Chapitre III Paramétrage

Imaginons que OO1 est une tige de longueur L ayant une liaison rotule de centre O avec un bâti et supposons que pour la commodité du calcul on soit amené à traiter le problème avec quatre paramètres x, y, z et L. Dans ce cas, les paramètres introduits sont liés entre eux par l’unique relation. Dans ce cas les paramètres x, y, z et L sont dits dépendants, et le paramétrage donné par (x, y, z, L) est appelé paramétrage surabondant. D’une manière générale, si on défini la position d’un point dans un repère par n paramètres (n ≥ 3), il existe entre ces n paramètres introduits un nombre q de relations indépendantes (indépendante l’une de l’autre) calculées par l’équation suivante : q=n −3 .

I.2.1.2. Les coordonnées cylindriques Les coordonnées cylindriques du point r r r O1 dans le repère R(O, x, y, z) sont :

r z (S)

z

•

•

•

r =OH ; mesure algébrique de → r OH sur l’axe (O,u) , rr θ=(x,u) ; angle orienté par le r vecteur unitaire z normal au plan rr (O,x,u) .

O1

y

O θ

r y

r

x H

r x

r u

→ r z = projection orthogonale de OO1 sur l’axe (O,z) .

(r, θ, z) sont les paramètres du point O1 dans le repère R. Ils sont indépendants. Un paramétrage strict est donné par (r, θ, z).

Relation entre les systèmes de coordonnées cartésiennes et cylindriques Si on défini la position du point O1 par les cinq (5) paramètres x, y, z, r, et θ, il existe alors entre eux q = 5-3 = 2 relations indépendantes. Ces relations sont :

x =rcos(θ) et y=rsin(θ)

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Chapitre III Paramétrage

I.2.1.3. Les coordonnées sphériques Les coordonnées sphériques du point O1 r r r dans le repère R(O, x, y, z) sont :

r z r w

z

•

(S)

r =OO1 ; mesure algébrique de

r OO1 sur l’axe (O,w) , rr θ=(x,u) ; angle orienté par le r vecteur unitaire z normal au plan rr (O,x,u) .

ϕ

→

•

•

O1

r y

r y

O θ x

r x

H

r u

r r r r r ϕ=(z,w) ; angle orienté par le vecteur unitaire v normal au plan (O,z,w) .

(r, θ, ϕ) sont les paramètres du point O1 dans le repère R. Ils sont indépendants. Un paramétrage strict est donné par (r, θ, ϕ).

Relation entre les systèmes de coordonnées cartésiennes et cylindriques Si on défini la position du point O1 par les six (6) paramètres x, y, z, r, θ et ϕ, il existe

alors entre eux q = 6-3 = 3 relations indépendantes. Ces relations sont : x =rsin(ϕ)cos(θ) ; y=rsin(ϕ)sin(θ) et z=rcos(ϕ) r r r I.2.2. Paramétrage de l’orientation de la base du repère R1(O1,x1,y1,z1) r r r par rapport à la base du repère R(O, x, y, z) r r r Il faut et il suffit de trois paramètres indépendants pour orienter la base (x1,y1,z1) par rrr rapport à la base (x,y,z) .

Les trois paramètres choisis habituellement sont les Trois Angles d’Euler.

I.2.2.1. Schématisation des angles d’Euler rrr r r r Plaçons les six origines des vecteurs libres des bases (x, y,z) et (x1,y1,z1) en un même point A (voir figure )

rr r r Soit D la droite d’intersection des plans π1(A,x1, y1) et π(A,x, y) . r Soit u un vecteur unitaire de la droite D.

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Chapitre III Paramétrage

r z

r z1

r y1 θ π1 r y A

π

ψ

r x1

ϕ r u

r x

D

Les trois angles d’Euler sont les suivants : • • •

rr rr ψ =(x,u) ; angle orienté par le vecteur unitaire z normal au plan (A,x,u) ; rr rr θ=(z,z1) ; angle orienté par le vecteur unitaire u normal au plan (A,z,z1) ; rr rr ϕ=(u,x1) ; angle orienté par le vecteur unitaire z1 normal au plan (A,u,z1) .

Ces trois angles d’Euler correspondent à trois rotations planes et successives qui rrr r r r permettent de faire coïncider la base (x, y,z) avec la base (x1,y1,z1) . Ce qui défini au passage deux bases intermédiaires, orthonormées directes.

r v ψ

r z

r y

r y1

r z1

θ

r z

ϕ

r z1

r w

r w r x

ψ

θ

r u

r u r rr (x,y,z)

r Rot(ψ, z )

r v

r u

ϕ

r x1

rrr (u,v,z) r Rot(θ, u )

r rr (x1,y1z1)

Cours de Mécanique Générale

r Rot(ϕ, z1 )

r rr (u,w,z1)

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Chapitre III Paramétrage

Les trois rotations planes et successives définissant les angles d’Euler

Définitions : rrr • (u,v,z) est appelée la première base intermédiaire ; r r r • (u,w,z1) est appelée la deuxième base intermédiaire ;

Les trois angles d’Euler que l’on retrouve dans l’étude du mouvement gyroscopique sont appelés : •

ψ = angle de précession ;

•

θ = angle de nutation ;

•

ϕ = angle de rotation propre.

La droite D est appelée l’axe nodal ou la ligne des nœuds. Remarque : Les angles ψ et ϕ ne sont pas définis lorsque θ =0.

I.3.

Applications

I.3.1. Paramétrage d’un double pendule Un double pendule est constitué de deux

barres articulées OA (solide S1 de longueur

r r r z1 = z2 = z

(S1)

L1) et AB (solide S2 de longueur L2).

r y1

(S0)

O

r y

r y2

Le mouvement de (S1) et (S2) par

(S2)

rapport au solide fixe « bâti (S0) » est A

supposé plan, les deux barres restent dans le r r r plan R(O, x, y, z) . r x

B r x1

r x2

Pour définir la position de (S1) et (S2) par rapport à (S0), on considère les trois repères suivants : • • •

r r r R(O, x, y, z) , repère lié au bâti (S0), r r r r r R1(O,x1, y1,z1) , repère lié à (S1) avec z1 =z , r r r r r R 2(A,x 2, y2,z 2) , repère lié à (S2) avec z 2 =z ,

La barre OA est articulée en O avec le bâti (S0). Le point O est fixe. Il ne reste plus qu’une seule possibilité de rotation à la barre OA. Nous utilisons un paramètre θ pour définir r r l’angle, variable au cours du temps, entre les vecteurs x et x1 .

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Chapitre III Paramétrage

La barre AB est articulée en A avec la barre OA. Donc le mouvement de la barre AB par rapport au bâti (S0) n’est pas indépendant de celui de OA. La position du point A par rapport au bâti est définie à l’aide de son vecteur position → r r r OA=L1x1 =L1[cos(θ) x +sin(θ) y]. Pour fixer la position du point B par rapport au bâti (S0), il r r r suffit de définir, en plus de l’angle θ, un angle ϕ entre les vecteurs x et x1 .et x 2 .

La barre AB est donc paramétrée par les deux angles θ et ϕ. → → r r r r r r OA=L1x1 =L1[cos(θ) x +sin(θ) y] et AB=L2 x 2 =L2[cos(ϕ) x +sin(ϕ) y]

I.3.2. Paramétrage de la position d’un disque en mouvement par rapport à un repère fixe (d’après Gatoufi [1985]) r z Nous considérons un disque de centre C r

et de rayon R traversé perpendiculairement

r x1

A

en son centre par une barre AB d’épaisseur négligeable et de longueur 2R de sorte que →

r y1

z1

C

→

AB = CB =R

(S)

B

r y

O

r x

Un paramétrage strict de ce système dans l’espace est donné par les trois coordonnées du point C (Cx, Cy, Cz) et les trois angles d’Euler (ψ, θ, ϕ). Supposons

maintenant

que

ce

r z

ψ

système soit posé sur le plan horizontal rr π(O,x, y) de telle sorte que le point B

r z1

r x1

A

soit toujours sur ce plan (B ∈ π).

ϕ

O

La cote du point C (Cz) devient

r u

alors une constante : Cz = R 2 , ainsi 2 que l’angle θ= π . 4

r w

r y1

θ r v

C

r y

B

r x

En conséquence, le paramétrage (Cx, Cy, Cz, ψ, θ, ϕ) devient surabondant.

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Chapitre III Paramétrage

Un paramétrage strict est obtenu avec (Cx, Cy, ψ, ϕ). Il ne reste plus que quatre paramètres. Nous vérifions bien que le système a quatre degré de liberté : •

II.

•

Une rotation propre autour de AB = ϕ, r Une rotation autour de z = ψ,

•

Deux translations Cx et Cy.

Paramétrage des liaisons mécaniques normalisées

II.1. Repère local associé à une liaison Les liaisons les plus rencontrées en construction mécanique sont normalisées par la norme AFNOR (Norme NF E 04-015). Pour décrire à un instant donné, les translations et les rotations autorisées par une liaison, r r r nous plaçons sur cette liaison un repère R(O, x, y, z) , de façon à décomposer le mouvement relatif entre les deux solides en six mouvements élémentaires : • •

r r r Translations de directions x, y ou z , r r r Rotations autour des axes x, y ou z .

Définition r r r Le repère R(O, x, y, z) est appelé repère local associé à la liaison à l’instant considéré. Remarques • En général, le repère local associé à la liaison n’est lié à aucun des deux solides en

présence. •

La position du repère local est choisi de façon que les mouvements élémentaires soient indépendants.

II.2. Degrés de libertés d’une liaison Le nombre de degrés de libertés d’une liaison est le nombre de mouvements élémentaires indépendants que la liaison autorise (nombre de rotations et de translations suivants les axes du repère local).

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Chapitre III Paramétrage

II.3. Schématisation des liaisons normalisées

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Chapitre III Paramétrage

III. Paramétrage d’un mécanisme (système de solides) III.1. Nombre de degrés de liberté d’un mécanisme On

considère

un

système r e3

mécanique (Σ) composé d’un nombre k

Σ

de solides indéformables.

S2

Sk

S1

Paramétrer un système mécanique

S3

Sk-1

(Σ), c’est ayant choisir un système de l’espace, associer à ce système (Σ) une famille finie de réels [qi(t)]i =1..m de telle

O

r e2

sorte que la position de tout point de (Σ) soit déterminée de façon unique à l’aide

r e1

des paramètres [qi(t)]i =1..m . r r r r r r ∀M∈Σ,OM =x1(t)e1 +x 2 (t)e2 +x 3(t)e3 avec x j(t)=f j[q1(t),q 2(t),L,q m(t)]; pour j = 1, 2, 3

[qi(t)]i=1..m

sont appelés les paramètres primitifs du système.

Dans un mécanisme, la liaison entre deux solides se traduit par des équations ou des inéquations de liaison faisant intervenir les paramètres primitifs du système [qi(t)]i =1..m leurs dérivés [q& i(t)]i =1..m et éventuellement le temps. Si le système est composé de k solides ayant entre eux (p) équations de liaisons indépendantes, le nombre de degrés de liberté (r) du système est donné par la relation suivante : r =6(k −1)−p . Ce sont les p équations indépendantes de liaison qui sont les plus difficiles à trouver. Le nombre de degrés de liberté du système (Σ) correspond au nombre de paramètres primitifs indépendants. r = nombre de paramètres introduits – nombre de relations indépendantes.

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Chapitre III Paramétrage

III.2. Graphe des liaisons (D’après P. Agati et al. [1996] : Chapitre - Hyperstatisme et mobilité des mécanismes) Le graphe des liaisons d’un mécanisme L01

est une représentation plane qui sert à décrire les liaisons entre les pièces d’un mécanisme.

S1

S0

L05

L04

L12

Dans ce graphe, les solides sont schématisés par des cercles et les liaisons par des arcs de courbe joignant les cercles.

S5 S2

S4

L35 L34

L23

S3

Exemple : r L01 : liaison pivot d’axe (O, z) , r L12 : liaison glissière d’axe (A, x 1 ) ,

etc.

III.3. Liaison en parallèle (D’après P. Agati et al. [1996] : Chapitre - Hyperstatisme et mobilité des mécanismes) III.3.1.Définition n liaisons L1, L2, …, Ln sont disposées en parallèles entre deux solides (S1) et (S2) si

chaque liaison relie directement les deux solides. Le graphe des liaisons a la forme suivante : L1 S1

L2

S2

Ln-1 Ln

Le S2

S1

III.3.2.Liaison équivalente La liaison équivalente à l’ensemble des liaisons situées en parallèle entre deux solides

(S1) et (S2) est la liaison théorique (Le) qui autorise le même mouvement relatif entre les deux solides. La liaison équivalente doit être compatible avec toutes les liaisons en parallèles.

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Chapitre III Paramétrage

III.4. Liaison en série (D’après P. Agati et al. [1996] : Chapitre - Hyperstatisme et mobilité des mécanismes) III.4.1.Définition n liaisons L1, L2, …, Ln sont disposées en parallèles, ou réalisent une chaîne ouverte,

entre deux solides (S0) et (Sn) si elles sont disposées l’une à la suite de l’autre par l’intermédiaire de (n-1) solides. Le graphe des liaisons a la forme suivante : L2

L1 S0

Sn-1

S2

S1

Ln

Ln-1

L3

Sn

Le Sn

S0

III.4.2.Liaison équivalente La liaison équivalente à l’ensemble des liaisons situées en série entre deux solides (S0) et

(Sn) est la liaison théorique (Le) qui autorise le même mouvement relatif entre les deux solides.

III.5. Chaîne formée de solides (D’après P. Agati et al. [1996] : Chapitre - Hyperstatisme et mobilité des mécanismes) III.5.1.Définition a) Une chaîne formée de solides, ou

L1

une boucle, est une chaîne ouverte dont

Ln

S1

les deux solides extrêmes sont reliés par

S0 Sn

L2

une liaison.

Ln-1 S2

b) Généralement, le graphe des liaisons d’un mécanisme est constitué d’une ou a)

plusieurs chaînes fermées de solides

Sn-1

L3

S3

III.5.2.Loi entrée-sortie La loi entrée-sortie d’un mécanisme est la relation entre les paramètres de position de la

pièce d’entrée et les paramètres de position de la pièce de sortie du mécanisme. La loi « entrée-sortie » peut s’obtenir en exprimant la fermeture géométrique de chacune des chaînes fermées de solides. Cours de Mécanique Générale

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Chapitre III Paramétrage

Exemple On considère le système bielle manivelle

y

.

représenté par la figure ci-contre. y2

r r r Soit R(O, x, y, z) un repère lié au bâti S0.

x1

S1

y1

z

S2

S3

A

La manivelle S1 a une liaison pivot d’axe r (O, z) avec le bâti S0.

B

α

x

O

β x2

r r r r r r r Soit le repère R 1 (O, x 1 , y 1 , z1 ) lié au solide S1. On pose α = ( x, x 1 ) avec z = z 1 . r La bielle S2 d’extrémités A et B a une liaison pivot d’axe (O, z) avec S1 telle que → r r OA = r x 1 ( r > 0) et une liaison pivot d’axe (O, z) avec le coulisseau S3 telle que le point B → r r r r r décrive l’axe (O, x) . Soit R 2 (A, x 2 , y 2 , z 2 ) un repère lié au solide S2 telle que AB = l x 2 → r r r r r avec (l > 0) . On pose β = ( x, x 2 ) et z = z 2 . (Sur la figure β < 0 ) et OB = X x . a) Les paramètres introduits au système

L1

sont : α, β et X.

S0 L4

S1

b) Le graphe des liaisons est donné par la

S3

L2

figure ci-contre : c) La fermeture géométrique de la chaîne

a)

S2

L3

s’obtient en écrivant la relation vectorielle → → → suivante : OA + AB = OB . Soit : r r r r x 1 + lx 2 = Xx . En projetant suivant les deux axes (O,x) et (O,y), nous obtenant les deux relations scalaires suivantes : r cos α + l cos β = X et r sin α − l sin β = 0 . Nous avons alors trois paramètres introduits (α, β et X) avec deux relations scalaires indépendantes. Le système possède alors un seul degré de mobilité. (Un paramétrage strict du système peut être donné par un seul paramètre tel que α).

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Chapitre III Paramétrage

IV. Exercices d’application Exercice N°1 La figure 1 schématise un système plan constitué par trois

barres OA, AB, et BC articulées en leurs extrémités. Les points

C

O θ

O et C sont fixes.

A B

Paramétrer ce système.

β

Figure 1

Le paramétrage (θ, β) est-il strict ou surabondant ? Dans cette éventualité, quelle est la relation liant θ et β ?

Exercice N°2 On donne le schéma cinématique d’un système mécanique en mouvement plan (figure 2).

1. Paramétrer le système et écrire les relations indépendantes entre les différents paramètres introduits. 2. En déduire le nombre de degré de liberté du système.

d

(S0)

D

yo

O

1

1

c

a C A

b

4 2

5

4

(S0)

(voir détail A)

B

Détail A (S0)

3

On donne : OA = a, DC = c AB = b, OD = d

2

xo

Figure 2

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Chapitre III Paramétrage

Exercice N° 3 La figure 3 représente un schéma cinématique d’un système mécanique en mouvement

plan. Un moteur électrique entraîne la manivelle (2) d’un mouvement de rotation uniforme. Par l’intermédiaire de la bielle (1), le coulisseau (5) est animé d’un mouvement de translation alternatif. Ce déplacement du coulisseau par rapport au bâti (0) est défini par le vecteur → r EC = x. x o

1. Paramétrer le système et écrire les relations indépendantes entre les différents paramètres introduits. 2. En déduire le nombre de degré de liberté du système.

yo

5

D (0)

E (0)

A

C 4

2

B 3

On donne : OA = a AB = r OE = L

1

zo . O

xo (0)

Figure 3

Exercice 4 On considère le mécanisme de transmission de mouvement schématisé par la figure 4. I. Paramétrer le système et établir le graphe des liaisons du système (en précisant la nature et le degré de liberté de chaque liaison). II.

Etablir les relations indépendantes entre les paramètres introduits et donner un

paramétrage strict du mécanisme. En déduire le degré de mobilité de ce mécanisme.

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Chapitre III Paramétrage r y0

On pose : →

S3

C

S1 B

→

→

BC = L 2 ; IB = L 3 ;

A S0 r z0

→

OI = L 0 ; AB = L1 ;

S4

→

S2

S5

O

r x0

D

I

ID = L 4

S0

S0

Figure 4 Exercice 5 On considère le mécanisme schématisé par la figure 5 . I. Paramétrer le système et établir le graphe des liaisons du système (en précisant la nature et le degré de liberté de chaque liaison). → Donner l’expression du vecteur de position OE , dans la base du repère r r r R 0 (O, x 0 , y 0 , z 0 ) lié au solide (S0), en fonction des paramètres introduits au système et

II.

les constantes géométriques. III. Etablir les relations indépendantes entre les paramètres introduits et donner un paramétrage strict du mécanisme. En déduire le degré de mobilité de ce mécanisme . r z0 S1 B A S2

C

S0 O

r y0

D

r x0

S4

E

S3

Les données géométriques du système. →

On pose : AB = d ;

→

BC = L1 ;

→

CD = L 2 ;

→

DE = L 3 .

Figure 5 Cours de Mécanique Générale

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Chapitre IV Cinématique

CHAPITRE IV CINEMATIQUE

CHAPITRE IV : CINEMATIQUE

I.

Introduction et définitions L’objet de la cinématique est l’étude des mouvements des corps en fonction du temps,

sans tenir compte des causes qui les produisent. L’étude du mouvement d’un corps est l’étude des positions successives de ce corps par rapport à un repère pris comme référence. Il est essentiel de préciser le repère utilisé, car le mouvement dépend de celui-ci.

I.1.

Mouvement absolu et mouvement relatif

On considère deux référentiels (ou repères) R et R’. Par hypothèse, on suppose que le référentiel R est fixe pour les mouvements que l’on étudie. Ce référentiel sera dit référentiel absolu. Tout autre référentiel R’ en mouvement par rapport au référentiel absolu R sera dit référentiel relatif. Donc un point matériel ou un solide en mouvement par rapport à R et R’ pourra être caractérisé par : • son mouvement par rapport à R dit mouvement absolu, • son mouvement par rapport à R’ dit mouvement relatif.

Cours de Mécanique Générale

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Chapitre IV Cinématique

I.2.

Vecteur de position d’un point d’un solide r z

On considère un solide (S) en mouvement

(C)

S

par rapport à un repère R et P(t) un point de ce solide. On désigne par (C) la trajectoire du

P(t) → OP( t )

point P(t) dans le repère R.

r V( P ∈ S / R )

Le vecteur position du point P(t) du

r y

O

solide (S) dans le repère R à la date t est le → vecteur OP( t ) . O est l’origine du repère R.

r x

Figure IV-1

I.3.

Vecteur de vitesse d’un point d’un solide

Le vecteur de vitesse du point P(t) du solide (S) par rapport au repère R, à la date t, est la → dérivée par rapport au temps, pour un observateur lié au repère R, du vecteur position OP( t ) . ⎡ → ⎤ r d OP( t ) ⎥ On note : V( P ∈ S / R) = ⎢ (L’unité de la vitesse est m/s) ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦R

I.4.

Vecteur d’accélération d’un point d’un solide

Le vecteur d’accélération du point P(t) du solide (S) par rapport au repère R, à la date t, est la dérivée par rapport au temps, pour un observateur lié au repère R, du vecteur de vitesse r r r ⎡ dV( P ∈ S / R) ⎤ 2 V( P ∈ S / R) . On note : Γ ( P ∈ S / R) = ⎢ ⎥ (L’unité de l’accélération est m/s ) dt ⎦R ⎣

II.

Formule de dérivation vectorielle II.1. Dérivée d’un vecteur mobile par rapport à un repère

r r r r On considère un vecteur U( t ) = u 1 ( t ) x + u 2 ( t ) y + u 3 ( t ) z mobile par rapport à un r r r repère R (O, x, y, z) . r La dérivée du vecteur mobile U( t ) pour un observateur lié au repère R est : r r r r ⎡ dU( t ) ⎤ ⎡ d ( u 1 ( t ) x + u 2 ( t ) y + u 3 ( t ) z) ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ dt ⎦R ⎣ dt ⎦ R ⎣

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Chapitre IV Cinématique

r r r Comme les vecteurs ( x, y, z) sont fixes pour un observateur lié au repère R et u1(t), u2(t)

et u3(t) sont des fonctions scalaires du temps, alors: r ⎡ dU( t ) ⎤ ⎡ d(u1 (t) ⎤ r ⎡ d(u 2 (t) ⎤ r ⎡ d(u 3 (t) ⎤ r ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ x + ⎢ dt ⎥ y + ⎢ dt ⎥ z ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦

r ⎡ dU( t ) ⎤ r r r On note : ⎢ ⎥ = u& 1 ( t ) x + u& 2 ( t ) y + u& 3 ( t ) z ⎣ dt ⎦ R

II.2. Dérivation composée d’un vecteur mobile par rapport à deux repères

r r r r On considère un vecteur U( t ) mobile par rapport à deux repères R (O, x, y, z) et r r r R 1 (O 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) . Le repère R1 est lui même mobile par rapport au repère R. r r r r r r r r On pose : U( t ) = u 1 ( t ) x + u 2 ( t ) y + u 3 ( t ) z et U( t ) = a ( t ) x 1 + b( t ) y 1 + c( t ) z 1

r Cherchons la relation qui existe entre la dérivée du vecteur mobile U( t ) pour un r r ⎡ dU( t ) ⎤ ⎡ dU( t ) ⎤ observateur lié au repère R et un autre lié au repère R1 : ⎢ ⎥ . ⎥ et ⎢ ⎣ dt ⎦ R1 ⎣ dt ⎦ R Remarque Afin de simplifier l’écriture, nous supposons que toutes les fonctions scalaires et leur

dérivée sont fonction du temps. On n’aura pas besoin de le préciser à chaque fois la notion du temps entre les deux parenthèses. Nous pouvons écrire : r r r r ⎡ dU( t ) ⎤ ⎡ d ( a ( t ) x 1 + b ( t ) y 1 + c( t ) z 1 ) ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ dt ⎦R ⎣ dt ⎦ R ⎣

r r r r r r ⎡ d z1 ⎤ ⎡ d y1 ⎤ ⎡ d x1 ⎤ & & & = a x1 + b y1 + c z1 + a ⎢ ⎥ + b ⎢ dt ⎥ + c ⎢ dt ⎥ ⎦R ⎦R ⎣ ⎣ ⎣ dt ⎦ R r ⎡ dU ⎤ r r r & Or a& x 1 + b y 1 + c& z 1 = ⎢ ⎥ , d’où : ⎣ dt ⎦ R1 r r r r r ⎡ dU ⎤ ⎡ dU ⎤ ⎡ d x1 ⎤ ⎡ d y1 ⎤ ⎡ d z1 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ +a ⎢ ⎥ + b ⎢ dt ⎥ + c ⎢ dt ⎥ ⎣ dt ⎦ R ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦ R1

Cours de Mécanique Générale

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(1)

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Chapitre IV Cinématique

r ⎡d x ⎤ Calculons maintenant ⎢ 1 ⎥ ⎣ dt ⎦ R

r r ⎡d z ⎤ ⎡d y ⎤ , ⎢ 1 ⎥ et ⎢ 1 ⎥ ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦ R

r r II.2.1. Cas d’un mouvement plan z = z 1 (direction fixe) r r r r r r y On pose α ( t ) = ( x, x 1 ) = ( y, y 1 ) y1 α r r r x1 angle orienté par le vecteur z = z1 . r r z = z1

α

r x

Figure IV-2

r ⎡ d x1 ⎤ Calculons ⎢ ⎥ . ⎣ dt ⎦ R r L’orientation du vecteur x 1 est donnée par l’angle α, fonction du temps. Par conséquent, r r x 1 est fonction du temps : x 1 [α ( t )] , d’où : r r r ⎡ d x1 ⎤ ⎡ d α ⎤ & ⎡ d x1 ⎤ ⎡ d x1 ⎤ ⎢ dt ⎥ = ⎢ dα ⎥ ⎢ dt ⎥ = α ⎢ dα ⎥ ⎦R ⎦ ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R ⎣ ⎣ r r r r r r r r r ⎡ d x1 ⎤ = − sin α x + cos α y = y 1 = z ∧ x 1 or x 1 = cos α x + sin α y ⇒ ⎢ ⎥ ⎣ dα ⎦ R r Ce résultat s’interprète en disant que la dérivée du vecteur x 1 par rapport à son angle r r polaire α est le vecteur directement perpendiculaire à x 1 . C’est à dire déduit de x 1 par r rotation de (+π/2) autour du vecteur unitaire z par rapport auquel l’angle polaire α est orienté. r r r r r r r r ⎡ d y1 ⎤ ⎡ d z1 ⎤ = ∧ = − z y x z z = ∧ = 0 De la même manière, nous aurons : ⎢ et 1 1 1 ⎥ ⎢ dα ⎥ ⎣ dα ⎦ R ⎣ ⎦R

Finalement nous pouvons écrire :

r r r ⎡ d x1 ⎤ ⎢ dt ⎥ = α& ( z ∧ x 1 ) ; ⎣ ⎦R r r r ⎡ d y1 ⎤ ⎢ dt ⎥ = α& ( z ∧ y 1 ) et ⎣ ⎦R r r r ⎡ d z1 ⎤ ⎢ dt ⎥ = α& ( z ∧ z 1 ) ⎣ ⎦R

En remplaçant ces dérivées dans l’équation (1) nous aurons :

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Chapitre IV Cinématique

r r r ⎡ dU ⎤ ⎡ dU ⎤ r r r r r r r & avec z a x b y c z a x b y c z U α + + = = + ∧ + + [ ] 1 1 1 1 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦ R1 r r ⎡ dU ⎤ ⎡ dU ⎤ r r ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ + α& z ∧ U ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦ R1 r r On pose Ω( R 1 / R ) = α& z : c’est un vecteur libre qui mesure la vitesse angulaire α& de changement d’orientation de la base du repère R1 par rapport à la base du repère R, autour du r vecteur z pour ce cas particulier.

r r Ce vecteur a pour direction z et sa mesure algébrique sur z est égale à la vitesse angulaire α& .

r r r r ⎡ dU( t ) ⎤ ⎡ dU( t ) ⎤ Finalement, ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ + Ω ( R 1 / R ) ∧ U( t ) ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦ R1 II.2.2. Cas d’un mouvement spatiale Dans ce cas, la base du repère R1 est orientée par trois paramètres (les trois angles

d’Euler) par rapport à la base du repère R. r r ⎡ d x1 ⎤ ⎡ d y1 ⎤ Nous allons calculer ⎢ ⎥ , puis de la même manière, nous obtiendrons ⎢ dt ⎥ et ⎣ dt ⎦ R ⎣ ⎦R r ⎡ d z1 ⎤ ⎢ dt ⎥ . ⎣ ⎦R

r L’orientation du vecteur x 1 est donnée par les trois angles d’Euler (ψ, θ, ϕ), fonction du temps. Par conséquent : r r r r ⎡ ∂ x1 ⎤ ⎡ d ψ ⎤ ⎡ ∂ x1 ⎤ ⎡ d θ ⎤ ⎡ ∂ x1 ⎤ ⎡ d ϕ ⎤ ⎡ d x1 ⎤ ⎢ dt ⎥ = ⎢ ∂ψ ⎥ ⎢ dt ⎥ + ⎢ ∂θ ⎥ ⎢ dt ⎥ + ⎢ ∂ϕ ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎦ ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R ⎣ r r r r ⎡ ∂ x1 ⎤ ⎡ ∂ x1 ⎤ ⎡ d x1 ⎤ ⎡ ∂ x1 ⎤ & & & ⎢ dt ⎥ = ψ ⎢ ∂ψ ⎥ + θ ⎢ ∂θ ⎥ + ϕ ⎢ ∂ϕ ⎥ ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R

(2)

r r r r En projetant le vecteur x 1 dans la base ( x, y, z) du repère R (en passant par les deux bases intermédiaires), nous démontrons que les dérivées partielles ci-dessus sont égales aux résultats suivantes :

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Chapitre IV Cinématique

r ⎡ ∂ x1 ⎤ r r r • ⎢ = z ∧ x 1 ; C’est le vecteur déduit de x 1 par rotation de (+π/2) autour du vecteur ⎥ ⎣ ∂ψ ⎦ R r unitaire z par rapport auquel l’angle polaire ψ est orienté. r r r r ⎡∂ x ⎤ • ⎢ 1 ⎥ = u ∧ x 1 ; C’est le vecteur déduit de x 1 par rotation de (+π/2) autour du vecteur ⎣ ∂θ ⎦ R r unitaire u par rapport auquel l’angle polaire θ est orienté. r ⎡ ∂ x1 ⎤ r r r • ⎢ = z 1 ∧ x 1 ; C’est le vecteur déduit de x 1 par rotation de (+π/2) autour du ⎥ ⎣ ∂ϕ ⎦ R r vecteur unitaire z 1 par rapport auquel l’angle polaire ϕ est orienté. Il sera de même pour :

r ⎡ ∂ y1 ⎤ r r • ⎢ = z ∧ y1 ; ⎥ ⎣ ∂ψ ⎦ R r r r ⎡ ∂ y1 ⎤ = u ∧ y1 ; • ⎢ ⎥ ⎣ ∂θ ⎦ R r ⎡ ∂ y1 ⎤ r r • ⎢ = z1 ∧ y 1 ; ⎥ ⎣ ∂ϕ ⎦ R

r ⎡ ∂ z1 ⎤ r r • ⎢ = z ∧ z1 ; ⎥ ⎣ ∂ψ ⎦ R r r r ⎡ ∂ z1 ⎤ = u ∧ z1 ; • ⎢ ⎥ ⎣ ∂θ ⎦ R r r ⎡ ∂ z1 ⎤ r r • ⎢ = z1 ∧ z1 = 0 ; ⎥ ⎣ ∂ϕ ⎦ R

Finalement, en remplaçant chacune des dérivées partielles par sa valeur dans l’équation (2) et après factorisation nous obtenons :

r r &r r r ⎡ d x1 ⎤ ⎢ dt ⎥ = ( ψ& z + θ u + ϕ& z 1 ) ∧ x 1 ⎦R ⎣ Il sera de même pour : r r r &r r r r &r r r ⎡ d y1 ⎤ ⎡ d z1 ⎤ & & ⎢ dt ⎥ = ( ψ z + θ u + ϕ z 1 ) ∧ y 1 et ⎢ dt ⎥ = ( ψ& z + θ u + ϕ& z 1 ) ∧ z 1 ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R

En remplaçant ces dérivées dans l’équation (1) nous obtenons :

r r r ⎡ dU ⎤ ⎡ dU ⎤ r &r r r r r r r r ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ + ( ψ& z + θ u + ϕ& z1 ) ∧ [a x 1 + b y 1 + c z 1 ] avec a x 1 + b y 1 + c z 1 = U ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦ R1 r r r ⎡ dU ⎤ ⎡ dU ⎤ r &r r ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ + ( ψ& z + θ u + ϕ& z1 ) ∧ U ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦ R1

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Chapitre IV Cinématique

r r r r On pose Ω( R 1 / R ) = ( ψ& z + θ& u + ϕ& z 1 ) : c’est un vecteur libre qui mesure les vitesses angulaires ( ψ& , θ& , ϕ& ) de changement d’orientation de la base du repère R1 par rapport à la base r r r du repère R, respectivement autour des vecteurs ( z, u, z 1 ) .

r Par définition Ω( R 1 / R ) est appelée la vitesse instantanée de rotation du repère R1 par rapport au repère R. L’unité de sa valeur algébrique est le (rd/s).

r r r r ⎡ dU( t ) ⎤ ⎡ dU( t ) ⎤ En conclusion, ⎢ ⎥ + Ω ( R 1 / R ) ∧ U( t ) ⎥ =⎢ ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦ R1

II.3. Composition des vecteurs des vitesses instantanées de rotation

r On considère un vecteur U( t ) mobile par rapport à trois repères R, R1 et R2. Les deux

repères R1 et R2 sont mobiles par rapport au repère R. Nous avons les relations suivantes :

r r r r ⎡ dU( t ) ⎤ ⎡ dU( t ) ⎤ ⎥ + Ω ( R 1 / R ) ∧ U( t ) ⎥ =⎢ ⎢ ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦ R1

(3)

r r r r ⎡ dU( t ) ⎤ ⎡ dU( t ) ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ + Ω( R 2 / R ) ∧ U( t ) ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦ R 2

(4)

r r r r ⎡ dU( t ) ⎤ ⎡ dU( t ) ⎤ ⎥ + Ω( R 2 / R 1 ) ∧ U( t ) ⎥ =⎢ ⎢ ⎣ dt ⎦ R1 ⎣ dt ⎦ R 2

(5)

D’après les relations (3) et (5) nous déduisons que :

r r r r r ⎡ dU( t ) ⎤ ⎡ dU( t ) ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ + Ω ( R 2 / R 1 ) + Ω ( R 1 / R ) ∧ U( t ) ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt ⎦ R 2

[

]

(6)

En comparant cette dernière relation (6) avec la relation (4), nous déduisons:

r r r Ω( R 2 / R ) = Ω( R 2 / R 1 ) + Ω ( R 1 / R ) Cette relation fondamentale de composition des vecteurs des vitesses instantanées de rotation peut être généralisée à plusieurs repères mobiles (Ri)i=1..n par rapport à un repère de référence. Conséquences

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Chapitre IV Cinématique

r r r r r r r 1) Ω( R / R ) = 0 ⇔ Ω( R / R 1 ) + Ω( R 1 / R ) = 0 ⇒ Ω( R / R 1 ) = −Ω( R 1 / R ) r r r r r r 2) Les angles d’Euler : Soient B1 ( u, v, z) la première base intermédiaire et B1 ( u, v, z) la deuxième base intermédiaire. On a :

r r r r r r r r Ω( R 1 / R ) = Ω( R 1 / B 2 ) + Ω( B 2 / B1 ) + Ω( B1 / R ) ⇔ Ω( R 1 / R) = ϕ& z 1 + θ& u + ψ& z

III. Cinématique du solide indéformable III.1. Champ des vitesses d’un solide r z1

r z

On considère un solide (S) en mouvement r r r par rapport à un repère R (O, x, y, z) et A et B deux points distincts du solide.

r y1

S

A O1

r r r On désigne par R 1 (O 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) le repère

r x1

B

lié au solide (S). r y

O r x

Figure IV-3 Nous avons : → → → ⎡ d AB ⎤ ⎡ d AB ⎤ ⎡ d AB ⎤ → → r r ⎥ =⎢ ⎥ + Ω( R 1 / R) ∧ AB avec ⎢ ⎥ = 0 car AB est un vecteur 1) ⎢ ⎢ dt ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦R ⎣ ⎦ R1 ⎣ ⎦ R1

fixe (immobile) dans le repère R1. → → → ⎡ d AB ⎤ ⎡ d OB ⎤ ⎡ d OA ⎤ r r ⎥ =⎢ ⎥ −⎢ ⎥ = V( B ∈ S / R ) − V ( A ∈ S / R ) 2) Et ⎢ ⎢ dt ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R

En égalisant ces deux équations, nous pouvons écrire : → r r r V( B ∈ S / R ) = V(A ∈ S / R ) + Ω( R 1 / R ) ∧ AB

Et puisque le repère R1 est lié au solide (S), nous pouvons remplacer dans cette dernière r r relation Ω( R 1 / R ) par Ω(S / R ) . Finalement nous aurons la relation suivante : Cours de Mécanique Générale

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Chapitre IV Cinématique → r r r V( B ∈ S / R ) = V(A ∈ S / R ) + Ω(S / R ) ∧ AB

Cette relation montre que les vecteurs des vitesses des points d’un même solide vérifient la relation d’un champ antisymétrique ou bien la relation de champ des moments d’un torseur. Par suite, le champ des vecteurs des vitesses des points d’un solide répond à la définition d’un torseur. Ce torseur est noté au point A par :

{ V (S / R)}

A

r ⎧ Ω(S / R ) ⎫ = ⎨r ⎬ ⎩ V( A ∈ S / R ) ⎭ A

Ce torseur est appelé torseur cinématique du solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R. L’axe central du torseur cinématique (s’il existe) sera appelé axe instantané de rotation. Le torseur cinématique obéit à toutes les définitions et les remarques présentées au chapitre torseur. Au point B du solide (S), le torseur s’écrit :

{ V (S / R)}

B

r ⎧ Ω(S / R ) ⎫ = ⎨r ⎬ avec la ⎩ V( B ∈ S / R ) ⎭ B

→ r r r relation du champ antisymétrique : V( B ∈ S / R ) = V(A ∈ S / R ) + Ω(S / R ) ∧ AB

Application : Etude du mouvement d’un pendule simple

On considère un pendule simple constitué d’une

v

(S0)

tige rectiligne (S) de longueur l, d’épaisseur négligeable et de centre d’inertie G.

r r r Soit R (O, x, y, z) un repère lié au bâti (S0). La tige r (S) a une liaison pivot d’axe (O, z) avec (S0).

O y

r r r Soit R 1 (O, u, v, z) un repère lié à la tige (S) tel que :

θ (S)

→ r r r OG = a u et ( x, u) = θ .

r r r On suppose que le repère R (O, x, y, z) est galiléen

u

x

(repère fixe).

Figure IV-4

Questions

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Chapitre IV Cinématique

1. Déterminer le torseur cinématique de (S) dans son mouvement par rapport à R au point O :

{ V (S / R)}

O

.

r 2. Calculer la vitesse du point G par rapport à R: V(G ∈ S / R ) .

3. Préciser le type du torseur et donner son axe instantané de rotation.

III.2. Différents mouvements d’un solide On considère le torseur cinématique

{ V (S / R)}

A

r ⎧ Ω(S / R) ⎫ r =⎨ ⎬ et I son invariant ⎩ V( A ∈ S / R ) ⎭ A

scalaire. Nous allons étudier le type du mouvement du solide (S) par rapport au repère R selon la r r valeur de son invariant scalaire (nul ou non nul) I = Ω(S / R). V(A ∈ S / R ) .

Cas où l’invariant scalaire est automatiquement nul Nous distinguons les quatre cas suivant : r r Le torseur est nul et tous les points du solide (S) ont à l’instant t ⎧ Ω(S / R ) = 0 r a) ⎨ r ⎩V(A ∈ S / R ) = 0 considéré une vitesse nulle par rapport à R. Le mouvement du solide

(S) par rapport à R est alors dit tangent au repos. r r r r r Le torseur est un couple : ∀ P ∈ S; V( P / R ) = V(A / R ) = V . ⎧ Ω(S / R ) = 0 r b) ⎨ r ⎩V(A ∈ S / R ) ≠ 0 Tous les points du solide (S) ont à l’instant t considéré le même r vecteur de vitesse V par rapport à R. Le mouvement du solide (S) r par rapport à R est alors dit tangent à une translation de vitesse V . r r ⎧ Ω(S / R ) ≠ 0 r r c) ⎨ ∈ = V ( A S / R ) 0 ⎩

r Le torseur est un glisseur d’axe central ∆[A, Ω(S / R ) ]. Tous les points de l’axe instantané de rotation ont à l’instant t considéré une vitesse de translation nulle. Le mouvement du solide (S) par rapport à R est alors tangent à une rotation autour de ∆ de vitesse angulaire r Ω(S / R ) .

r r ⎧ Ω(S / R ) ≠ 0 r r d) ⎨ ∈ ≠ V ( A S / R ) 0 ⎩

r r Ω(S / R ) ⊥V(A ∈ S / R ) . Le torseur est un glisseur d’axe central r r r ∆[Q, Ω(S / R ) ] tel que V(Q ∈ S / R) = 0 et

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Chapitre IV Cinématique

r r r Ω(S / R ) ∧ V(A ∈ S / R ) r Ω (S / R ); ∀ α ∈ℜ . AQ = + α Ω(S / R ) 2 →

Tous les points de l’axe instantané de rotation ont à l’instant t considéré une vitesse de translation nulle. Le mouvement du solide (S) par rapport à R est alors tangent à une rotation autour de ∆ de r vitesse angulaire Ω(S / R ) .

Cas où l’invariant scalaire est automatiquement non nul Le torseur est quelconque et le mouvement du solide (S) par rapport à R est tangent à un mouvement hélicoïdal d’axe ∆ (axe instantané de rotation).

III.3. Composition des vecteurs des vitesses

r z1

r z

On considère un solide (S) en mouvement r r r par rapport à deux repères R (O, x, y, z) et r r r R 1 (O 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) . Le repère R1 est en

r y1

O1

mouvement par rapport à R. On désigne par P un point du solide (S).

r x1 P

r Cherchons la relation entre V( P ∈ S / R ) et

r y

O

r V( P ∈ S / R 1 ) .

r x

S

Figure IV-5 → ⎡ d OP ⎤ r ⎥ Par définition, nous avons : V( P ∈ S / R ) = ⎢ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦R

→ ⎡ d OO ⎤ ⎡ d O→P ⎤ r 1⎥ ⎢ En écrivant OP = OO 1 + O 1 P , nous aurons V( P ∈ S / R ) = +⎢ 1 ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R →

→

→

→ ⎡ d OO ⎡ d O→P ⎤ ⎡ d O→P ⎤ ⎤ → r r 1 1 ⎥ = ⎢ 1 ⎥ + Ω( R 1 / R ) ∧ O 1 P ⎥ = V(O 1 / R ) et ⎢ Or ⎢ ⎢ dt ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦R ⎣ ⎦ R1 ⎣ ⎦R

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Chapitre IV Cinématique

⎡ d O→P ⎤ r avec ⎢ 1 ⎥ = V( P / R 1 ) ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ R1 → r r r r d’où V( P ∈ S / R ) = V(O 1 / R ) + V( P / R 1 ) + Ω( R 1 / R ) ∧ O 1 P

(1)

r r Si on suppose que le point P est lié au repère R1, alors V( P / R 1 ) = 0 et la relation précédente s’écrit alors : → r r r V ( P ∈ R 1 / R ) = V( O 1 / R ) + Ω( R 1 / R ) ∧ O 1 P

C’est la relation entre les vecteurs des vitesses de deux points O1 et P d’un solide lié à R1. Alors la relation (1) peut s’écrire:

r r r V ( P ∈ S / R ) = V( P ∈ S / R 1 ) + V ( P ∈ R 1 / R )

(2)

Définitions r • V( P ∈ S / R ) est appelé vecteur de vitesse absolue, r • V( P ∈S / R 1 ) est appelé vecteur de vitesse relative, r • V( P ∈ R 1 / R ) est appelé vecteur de vitesse d’entraînement. Application : Mécanisme plan d’entraînement d’une pompe à main On considère le mécanisme plan

r V( B ∈ S1 / R )

d’entraînement d’une pompe à main (fig. IV-6) composé essentiellement des solides suivants :

• Un bâti (S0) auquel est lié le r r r repère R ( O, x, y, z ) . • Un levier (S1) auquel est lié le r r r repère R 1 (O 1 , x 1 , y 1 , z) . Le

r V( A ∈ S 2 / R )

r V( A ∈ S1 / R )

r y1

B r S1 A V( A ∈S2 / S1 )

O1

S0

r y

O

r r z = z1

solide (S1) est en liaison pivot r d’axe (O 1 , z) avec le bâti (S0).

r x1

S2 r x

Figure IV-6 (d’après P. Agati et al. 1996)

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Chapitre IV Cinématique

r • Un piston (S2) en liaison glissière d’axe (O, x) avec le bâti (S0). Le centre A du r r maneton lié à (S2) situé sur l’axe (O, x) d’écrit l’axe (O 1 , y 1 ) lié à (S1). Question Connaissant le vecteur de vitesse de translation du piston (S2) par rapport à R, déterminer graphiquement le vecteur de vitesse de l’extrémité B du levier (S1) par rapport à R.

Réponse Appliquons la relation de la composition des vecteurs des vitesses:

r r r V( A ∈S 2 / R ) = V( A ∈S 2 / R 1 ) + V( A ∈ R 1 / R ) r r r Or V( A ∈S 2 / R ) = V x (translation suivant l’axe (O, x) ) (§ figure IV-6) et r r r V( A ∈S 2 / R 1 ) = V1 y1 (translation suivant (O 1 , y 1 ) ) (§ figure IV-6). r La levier (S1) a une liaison pivot d’axe (O 1 , z) par rapport à (S0). Donc tout point de (S1) r décrit un arc de cercle. Le vecteur de vitesse V( A ∈ R 1 / R ) est donc tangent à l’arc de cercle de centre O1 et de rayon O1A au point A. Il est donc perpendiculaire à O1A. Tous les points du levier (S1) ont la même vitesse de rotation. Donc les vitesses de tous les points de (S1) sont proportionnelles à la distance du centre de rotation. D’où la r construction de V( B ∈ R 1 / R ) (§ figure IV-6).

III.4. Composition des torseurs cinématique

r r r On considère un solide (S) en mouvement par rapport à deux repères R ( O, x, y, z ) et r r r R 1 (O 1 , x 1 , y 1 , z) et P un point de (S). Nous avons établi les deux relations suivantes :

r r r Ω(S / R ) = Ω(S / R 1 ) + Ω( R 1 / R ) r r r V ( P ∈ S / R ) = V( P ∈ S / R 1 ) + V ( P ∈ R 1 / R ) Ces deux égalités traduisent l’égalité des deux torseurs suivants :

r r r ⎧ Ω(S / R ) ⎫ ⎧ Ω(S / R 1 ) ⎫ ⎧ Ω( R 1 / R ) ⎫ ⎨r ⎬ = ⎨r ⎬ + ⎨r ⎬ V ( P S / R ) V ( P S / R ) ∈ ∈ 1 ⎩ ⎭P ⎩ ⎭ P ⎩V( P ∈ R 1 / R )⎭ P D’où la relation de composition des torseurs cinématique:

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Chapitre IV Cinématique

{ V (S / R )} = { V (S / R )} + { V ( R P

1

P

1

}

/ R)

P

III.5. Champ des accélérations d’un solide r z1

r z

On considère un solide (S) en mouvement r r r par rapport à un repère R (O, x, y, z) et A et B deux points distincts du solide.

r y1

S

A O1

r r r On désigne par R 1 (O 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) le repère

r x1

B

lié au solide (S). r y

O r x

Figure IV-7 Nous avons établi la relation suivante: → r r r V( B ∈ S / R ) = V(A ∈ S / R ) + Ω(S / R ) ∧ AB

Dérivons cette équation par rapport au temps pour un observateur lié au repère R. → r ⎡ d AB ⎤ → r r r ⎡ d Ω(S / R ) ⎤ ⎥ Γ ( B ∈S / R ) = Γ ( A ∈S / R ) + ⎢ ⎥ ∧ AB+ Ω(S / R ) ∧ ⎢ ⎢ ⎥ dt dt ⎦R ⎣ ⎣ ⎦

R

ou encore :

r → → r r r ⎡ d Ω(S / R ) ⎤ ⎡r ⎤ Γ ( B ∈S / R ) = Γ( A ∈S / R ) + ⎢ ⎥ ∧ AB+ Ω(S / R ) ∧ ⎢Ω(S / R ) ∧ AB⎥ dt ⎣ ⎦ ⎣ ⎦R → r r A cause de l’existence du terme Ω(S / R ) ∧ ⎡⎢Ω(S / R ) ∧ AB⎤⎥ , les vecteurs accélération ⎣ ⎦

des points d’un solide ne vérifient pas le relation de changement de point du moment d’un torseur (ce n’est pas un champ antisymétrique). Par suite, le champ des vecteurs accélération des points d’un solide ne peut pas être représenté par un torseur.

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III.6. Composition des vecteurs des accélérations r z1

r z

On considère un solide (S) en mouvement r r r par rapport à deux repères R (O, x, y, z) et r r r R 1 (O 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) . Le repère R1 est en

r y1

O1

mouvement par rapport à R. On désigne par P un point du solide (S).

r x1 P r y

O

r Cherchons la relation entre Γ( P ∈S / R ) et

S

r x

r Γ( P ∈S / R 1 ) .

Figure IV-7

r r r Nous avons montré la relation suivante : V ( P ∈ S / R) = V ( P ∈ S / R1 ) + V ( P ∈ R1 / R) → r r r r ou encore : V( P ∈S / R ) = V( P / R 1 ) + V( O 1 / R ) + Ω( R 1 / R ) ∧ O 1 P

Dérivons cette expression par rapport au temps pour un observateur lié au repère R.

r r r ⎡ dV ( P / R1 ) ⎤ ⎡ dV (O1 / R ) ⎤ ⎡ dV ( P ∈ S / R ) ⎤ ⎥ ⎥ +⎢ ⎥ =⎢ ⎢ dt dt dt ⎦R ⎦R ⎣ ⎦R ⎣ ⎣ r ⎡ → ⎤ → r ⎡ d Ω( R1 / R ) ⎤ d O1 P ⎥ +⎢ ⎥ ∧ O1 P + Ω( R1 / R ) ∧ ⎢ ⎢ dt ⎥ dt ⎦R ⎣ ⎣ ⎦

(1)

R

Calculons successivement chaque terme de cette dernière expressions:

r r ⎡ d V ( P ∈ S / R) ⎤ 1) Par définition ⎢ ⎥ = Γ( P ∈ S / R ) dt ⎣ ⎦R

r r r r ⎡ d V ( P / R1 ) ⎤ ⎡ d V ( P / R1 ) ⎤ 2) ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ + Ω( R1 / R ) ∧ V ( P / R1 ) dt dt ⎣ ⎦R ⎣ ⎦ R1 r r r = Γ( P / R 1 ) + Ω( R 1 / R ) ∧ V( P / R 1 ) r r ⎡ d V (O1 / R ) ⎤ 3) Par définition ⎢ ⎥ = Γ(O1 / R) dt ⎣ ⎦R

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Chapitre IV Cinématique

r → ⎡ d Ω( R1 / R) ⎤ 4) ⎢ ⎥ ∧ O1 P reste inchangée dt ⎣ ⎦R ⎡ → ⎤ ⎡ → ⎤ → r r r d O P dO P ⎡r ⎤ 5) Ω( R1 / R ) ∧ ⎢ 1 ⎥ = Ω( R1 / R ) ∧ ⎢ 1 ⎥ + Ω( R1 / R ) ∧ ⎢Ω( R1 / R ) ∧ O1 P ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦R ⎣ ⎦ R1 ⎡ d O→P ⎤ → r r r r r 1 ⎥ soit Ω( R 1 / R ) ∧ ⎢ = Ω( R 1 / R ) ∧ V( P / R 1 ) + Ω( R 1 / R ) ∧ ⎡⎢Ω( R 1 / R ) ∧ O 1 P⎤⎥ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦R Remplaçons alors chacune de ces dérivées dans l’expression (1) : r → r r r ⎡ d Ω( R1 / R ) ⎤ Γ( P ∈ S / R) = Γ( P ∈ S / R1 ) + Γ(O1 / R ) + ⎢ ⎥ ∧ O1 P dt ⎣ ⎦R → r r r r ⎡ ⎤ + 2Ω( R1 / R) ∧ V ( P / R1 ) + Ω( R1 / R) ∧ ⎢Ω( R1 / R ) ∧ O1 P ⎥ ⎣ ⎦ Si on suppose que le point P est lié au repère R1 (ou entraîné par R1), la relation précédente s’écrit : r → → r r r ⎡ d Ω( R1 / R ) ⎤ ⎡r ⎤ O P ( R / R ) ( R / R ) O Γ( P ∈ R1 / R ) = Γ(O1 / R ) + ⎢ ∧ + Ω ∧ Ω ∧ ⎥ 1 1 1 1P⎥ ⎢⎣ dt ⎦ ⎣ ⎦R C’est la relation entre les vecteurs des accélérations des deux points O1 et P d’un solide lié au repère R1. Finalement, nous pouvons écrire : r r r r r Γ( P ∈ S / R ) = Γ( P ∈ S / R1 ) + Γ( P ∈ R1 / R) + 2Ω( R1 / R) ∧ V ( P / R1 ) Définitions : r • Γ( P ∈S / R ) est appelé vecteur d’accélération absolue, r • Γ( P ∈S / R 1 ) est appelé vecteur d’accélération relative, r • Γ ( P ∈ R 1 / R ) est appelé vecteur d’accélération d’entraînement, r r • 2Ω( R1 / R ) ∧ V ( P / R1 ) est appelé vecteur d’accélération de Coriolis. Remarque (Attention) r r r r r ⎡ d V( P ∈ R 1 / R ) ⎤ ⎡ d V( P ∈ R 1 / R ) ⎤ Γ( P ∈ R 1 / R ) = ⎢ ⎥ − Ω( R 1 / R ) ∧ V( P / R 1 ) ≠ ⎢ ⎥ dt dt ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R Cours de Mécanique Générale

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Chapitre IV Cinématique

Application : Etude du mouvement d’un double pendules

On considère le système du double pendules

(S0)

r y1

constitué de deux tiges OA (solide S1 de longueur a) et AB (solide S2 de longueur b). r • La tige (S1) est en liaison pivot d’axe (O, z) avec

r y

O (S1)

r y2

le bâti (S0). r • La tige (S2) est en liaison pivot d’axe ( A , z ) avec

α

la tige (S1).

A

(S2)

Soient les trois repères suivants (figure IV-8): r r r • R (O, x, y, z) lié au bâti (S0), r r r r r • R 1 ( O, x 1 , y1 , z ) lié à (S1) tel que α = ( x, x 1 ) et → r OA = a x 1 r r r r r • R 2 ( A , x 2 , y 2 , z ) lié à (S2) tel que β = ( x, x 2 ) et

β

r x r x

B

r x1

r x2

Figure IV-8

→ r AB = b x 2 .

Questions 1. Déterminer le torseur cinématique de (S2) dans son mouvement par rapport à R au

point B :

{ V (S

2

}

/ R)

.

B

2. Déterminer le torseur cinématique de (S2) dans son mouvement par rapport à R1 au point B :

{ V (S

2

}

/ R1 )

B

.

3. Déterminer le torseur cinématique de R1 dans son mouvement par rapport à R au point B :

{ V (R

1

}

/ R1 )

B

.

4. Vérifier la relation de composition des torseurs cinématique du solide (S2). 5. Déterminer le vecteur d’accélération du point B du solide (S2) dans son mouvement r par rapport à R : Γ( B ∈S 2 / R ) 6. Déterminer le vecteur d’accélération du point B du solide (S2) dans son mouvement r par rapport à R1 : Γ( B ∈S 2 / R 1 )

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Chapitre IV Cinématique

7. Déterminer le vecteur d’accélération du point B du solide (S2) entraîné par le repère r R1 (solide S1) dans son mouvement par rapport à R : Γ( B ∈ R 1 / R ) . 8. Déterminer le vecteur d’accélération de Coriolis du point B dans son mouvement par rapport à R et R1. 9. Vérifier la relation de composition des vecteurs accélération du solide (S2) au point B.

IV. Cinématique des solides en contact IV.1. Vecteur de vitesse de glissement en un point de contact entre deux solides r z1

r z

On considère deux solides (S1) et (S2) en r r r mouvement par rapport à un repère R (O, x, y, z) de telle

r y1

(S1)

sorte que leurs surfaces soient en contact.

r x1

O1 π

Pour simplifier, nous allons supposer que le contact est ponctuel en un point I (figure IV-9).

I O2

O

• Soit (π) le plan tangent commun en I à (S1) et (S2) r r r • R 1 ( O 1 , x 1 , y1 , z1 ) est le repère lié à (S1) r r r • R 2 ( O 2 , x 2 , y 2 , z 2 ) est le repère lié à (S2)

r x2

(S2) r y

r z2 r y2

r x Figure IV-9

Par définition, le vecteur de vitesse de glissement au point I du solide (S2) par rapport au solide (S1) est le vecteur de vitesse d’entraînement du point I par (S2) dans son mouvement r r par rapport à (S1) : Vg ( I ) = V( I ∈S 2 / S1 ) . D’après la relation de composition des vecteurs des vitesses entre (S1) et (S2) : r r r V( I ∈S 2 / S1 ) = V( I ∈S 2 / R ) − V( I ∈S1 / R ) avec : → r r r • V( I ∈S1 / R ) = V( O 1 ∈S1 / R ) + Ω(S1 / R ) ∧ O 1 I : c’est la vitesse d’entraînement du

point I par (S1) dans son mouvement par rapport à R.

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Chapitre IV Cinématique → r r r • V( I ∈S 2 / R ) = V( O 2 ∈S1 / R ) + Ω(S 2 / R ) ∧ O 2 I : c’est la vitesse d’entraînement du

point I par (S2) dans son mouvement par rapport à R. Remarque r r Comme V( I ∈ S1 / R ) et V( I ∈S 2 / R ) appartiennent tous les deux au plan tangent

commun (π), alors il est de même pour la vitesse de glissement. Définition On dit que (S2) roule sans glisser sur (S1) si la vitesse de glissement en I est nul. C’est la

Condition de Roulement Sans Glissement « C.R.S.G » : r r r C.R.S.G. en I ⇒ Vg ( I ) = V( I ∈S 2 / S1 ) = 0

Remarque Lorsque deux solides (S1) et (S2) sont en contact en un point I, il faut toujours distinguer en ce point, à la date t, trois points: 1) Le point géométrique I de contact. Ce point n’appartient ni au solide (S1) ni au solide (S2). Il se déplace, au cours du mouvement, sur (S1) et sur (S2). Sa vitesse par rapport →

au repère R peut être calculée en dérivant par rapport au temps le vecteur position OI : → ⎡ d OI ⎤ r ⎥ V( I / R ) = ⎢ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦R

2) Un point I1 lié au solide (S1), noté par I ∈S1 , et qui coïncide à la date t avec le point géométrique I de contact. Sa vitesse peut être calculée en appliquant la relation des vitesses entre deux points du même solide : → r r r V( I ∈S1 / R ) = V( O 1 ∈S1 / R ) + Ω(S1 / R ) ∧ O 1 I

3) Un point I2 lié au solide (S2), noté par I ∈S 2 , et qui coïncide à la date t avec le point géométrique I de contact.. Sa vitesse peut être calculée en appliquant la relation des vitesses entre deux points du même solide : → r r r V( I ∈S 2 / R ) = V( O 2 ∈S1 / R ) + Ω(S 2 / R ) ∧ O 2 I

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Chapitre IV Cinématique

IV.2. Vecteurs Rotation de Roulement et Rotation de Pivotement r Ω p (S 2 / S1 )

On considère deux solides (S1) et (S2) en contact ponctuel en un point I (figure IV-10).

r Ω(S 2 / S1 )

(S2)

• Soit (π) le plan tangent commun en I à (S1) et (S2) r et Ω(S 2 / S1 ) la vitesse instantanée de rotation de

r n π

(S2) par rapport à (S1). r • Soit n le vecteur unitaire normal au plan (π) en I.

I

r Ω r (S2 / S1 )

(S1) Figure IV-10

Par définition: r • Nous appelons vecteur rotation de pivotement Ω p (S 2 / S1 ) du mouvement du solide r (S2) par rapport au solide (S1) la projection du vecteur rotation Ω(S 2 / S1 ) sur la droite r r r r normale au plan (π) en I : Ω p (S 2 / S1 ) = Ω(S 2 / S1 ). n n .

(

)

r • Nous appelons vecteur rotation de roulement Ω r (S 2 / S1 ) du mouvement du solide (S2) r par rapport au solide (S1) la projection du vecteur rotation Ω(S 2 / S1 ) sur le plan tangent r r r (π) en I : Ω r (S 2 / S1 ) = Ω(S 2 / S1 ) − Ω p (S 2 / S1 ) .

IV.3. Les surfaces axoïdes du mouvement IV.3.1. Définition On considère deux solides (S1) et (S2) en contact au cours de leur mouvement par rapport

à un repère R. On note par ∆ l’axe instantané de rotation du mouvement de (S2) par rapport à r r (S1). (∆ existe si Ω(S 2 / S1 ) ≠ 0 ). Cet axe central est défini à toute date t. Lorsque t varie, ∆ engendre dans (S2) et dans (S1) deux surfaces réglées (surfaces engendrées par une droite) appelées surfaces axoïdes du mouvement de (S2) par rapport à (S1). IV.3.2. Propriété Les deux surfaces axoïdes sont tangentes suivant ∆.

Application Etude du mouvement d’un disque dans une couronne

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Chapitre IV Cinématique

r v

Un disque homogène(S) de centre G, de rayon r

sur une couronne (S0) circulaire de rayon R. La couronne est supposée fixe dans un repère galiléen r r r R ( O, x , y, z) .

r y

S

et d’épaisseur négligeable, roule sans glisser en I

r j

O

β

(S0) G

r r r Soit R 1 (G , i , j, z) le repère lié au disque (S)

I

(fig. IV-11) tel que :

θ

→ r r OG = ( R − r ) u ; Le vecteur u est unitaire.

r i

r x

r r r r On pose β = ( x, u) et θ = ( x, i )

r u

Figure IV-11

Questions : 1. Déterminer le torseur cinématique du mouvement de (S) par rapport à R au point G :

{ V (S / R )}

G

.

2. En tenant compte de la condition de roulement sans glissement au point I du disque (S) par rapport à la couronne (S0), déterminer une relation entre les vitesses angulaires θ& et β& . 3. Définir le plan tangent commun en I à (S) et (S0) puis déterminer les vecteurs rotation de roulement et de pivotement de (S) par rapport à (S0). 4. Déterminer l’axe instantané de rotation (S) par rapport à (S0). En déduire les surfaces axoïdes de mouvement. Réponses Torseur cinématique du mouvement de S/R au point G

{

r ⎧ Ω(S / R ) ⎫ V (S / R) = ⎨ r ⎬ avec : ⎩ V( G / R ) ⎭ G

}

r r r r r ⎡ d(R − r) u ⎤ & = ( R − r ) β& v Ω(S / R ) = θ z et V(G / R ) = ⎢ ⎥ dt ⎣ ⎦R

D’où

{

r ⎧ ⎫ θ& z V (S / R) = ⎨ r⎬ & ⎩( R − r ) β v⎭ G

}

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Chapitre IV Cinématique

2) En tenant compte de la condition de roulement sans glissement de S/S0 au point I, on a r r V( I ∈ S / R ) = 0 . → r r r Or V(I ∈ S / R ) = V(G / R ) + Ω(S / R ) ∧ GI r r r r r ⇒ V(I ∈ S / R ) = ( R − r ) β& v + θ& z ∧ r u = 0 −( R − r ) & β ⇒ ( R − r ) β& + r θ& = 0 ⇒ θ& = r

r r 3) Le plan tangent commun à (S) et (S0) en I est : π( I, z, v ) de normal le vecteur unitaire r u . Par suite le vecteur de rotation de pivotement de (S) par rapport à (S0) est porté par ce r vecteur u . r r Or dans notre cas Ω(S / S 0 ) = θ& z r r r r r r ⇒ Ω p (S / S 0 ) = 0 u = 0 et Ω r (S / S 0 ) = Ω(S / S 0 ) = θ& z

4)

{

r ⎧θ& z⎫ V (S / S 0 ) = ⎨ r ⎬ c’est un glisseur d’axe ∆(I, rz ). ⎩ 0 ⎭I

}

• Si on suppose que le solide (S) est fixe et lorsque t varie, le mouvement de ∆ par rapport r à (S) est tangent à une rotation autour de l’axe D(G, z ). Par suite, la surface engendrée r par ∆ dans (S) est un cylindre d’axe D(G, z ) et de rayon r. • Si on suppose que le solide (S0) est fixe et lorsque t varie, le mouvement de ∆ par r rapport à (S0) est tangent à une rotation autour de l’axe D’(O, z ). Par suite, la surface r engendrée par ∆ dans (S0) est un cylindre d’axe D’(O, z ) et de rayon R.

V.

Mouvement plan sur plan (Cinématique plane) V.1. Centre Instantané de Rotation « C.I.R. »

r r r On considère un solde solide (S1) lié au repère R 1 ( O 1 , x 1 , y1 , z1 ) et en mouvement par r r r rapport à un repère R 0 ( O 0 , x 0 , y 0 , z 0 ) lié à un solide (S0). On suppose qu’au cours du mouvement de (S1) par rapport à (S0), les deux plans r r r r r r π 1 ( O 1 , x 1 , y1 ) et π 0 ( O 0 , x 0 , y 0 ) restent confondus ( z 0 = z1 ). Alors le mouvement de (S1) par rapport à (S0) est dit mouvement plan sur plan.

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Chapitre IV Cinématique

r y0

L’orientation de la base du repère R1 par rapport à la base du repère R0 est définie par r r un seul paramètre θ = ( x 0 , x 1 ) .

r y1

r y0 θ

r x1 θ

O1 r r z 0 = z1

r x0 r x0

O0 Figure IV-12

On considère le torseur le torseur cinématique du mouvement de R1 (ou S1) par rapport à r ⎧Ω( R 1 / R 0 )⎫ R0 (ou S0) : V ( R 1 / R 0 ) = ⎨ r ⎬ . ⎩ V ( O 1 / R 0 ) ⎭ O1

{

}

r r r r r Or Ω( R 1 / R 0 ) = θ& z 0 et V( O 1 / R 0 ) et dans le plan π 0 ( O 0 , x 0 , y 0 ) . r Par conséquent, ce torseur est un glisseur (invariant scalaire nul), d’axe ∆(I, z 0 ). Le point r r r r I est un point central (point de ∆) et des deux plans π 1 ( O 1 , x 1 , y1 ) et π 0 ( O 0 , x 0 , y 0 ) .

r r Le moment central étant nul, par suite V( I ∈ R 1 / R 0 ) = 0 . Par définition Le point I est appelé Centre Instantané de Rotation « C.I.R. » à la date t, du mouvement r r r r plan sur plan de π 1 ( O 1 , x 1 , y1 ) par rapport à π 0 ( O 0 , x 0 , y 0 ) .

Au cours du mouvement, le point I change de position dans (π1) et (π0).

V.2. Base et Roulante V.2.1. Définitions r r 1) La trajectoire du Centre Instantané de Rotation « I » dans le plan π 0 ( O 0 , x 0 , y 0 ) est

appelée la Base du mouvement plan sur plan de (π1) par rapport à (π0). r r 2) La trajectoire du Centre Instantané de Rotation « I » dans le plan π 1 ( O 1 , x 1 , y1 ) est appelée la Roulante du mouvement plan sur plan de (π1) par rapport à (π0). V.2.2. Propriété Nous montrons que la base et la roulante sont deux courbes tangentes en I qui roule sans

glisser l’une sur l’autre.

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Chapitre IV Cinématique

Remarques 1) Pour déterminer analytiquement la position du C.I.R., il suffit de projeter, par exemple, r r → Ω(S1 / S 0 ) ∧ V( O 1 ∈S1 / S 0 ) r le point O1 sur ∆ puis calculer le vecteur O 1 I = Ω(S1 / S 0 ) 2

2) Pour déterminer l’équation cartésienne de la base, il suffit d’exprimer le vecteur → → r r position O 0 I sous la forme O 0 I = X 0 x 0 + Y0 y 0 , ensuite déterminer la relation entre

les coordonnées X0 et Y0. 3) Pour déterminer l’équation cartésienne de la roulante, il suffit d’exprimer le vecteur → → r r position O 1 I sous la forme O 1 I = X 1 x 1 + Y1 y1 , ensuite déterminer la relation entre les

coordonnées X1 et Y1. (voir exemple ci-dessous)

V.3. Recherche géométrique du Centre Instantané de Rotation Soit (CM) la trajectoire dans le plan (π0) d’un point M lié au plan (π1) r V( M ∈π 1 / π 0 ) sa vitesse à la date t.

r y0

et

r V( M ∈π 1 / π 0 ) est tangent en M à (CM).

r V (M ∈ π 1 / π 0 )

(CM)

(CN) M

r r z 0 = z1

r V (N ∈ π1 / π 0 )

I

D’après la relation entre les vitesses de deux point du même solide, nous avons:

N r x0

O0 Figure IV-13

→ r r r V( M ∈ π 1 / π 0 ) = V( I ∈ π 1 / π 0 ) + Ω( π 1 / π 0 ) ∧ IM

r r avec I = le C.I.R. ⇒ V( I ∈ π 1 / π 0 ) = 0 → r → → r r r D’où V( M ∈ π 1 / π 0 ) = Ω( π 1 / π 0 ) ∧ IM = θ& z 0 ∧ IM ⇒ IM ⊥ V( M ∈ π 1 / π 0 )

Par suite, le point I se trouve sur la normale en M à la trajectoire (CM) (figure IV-13). Conséquence Si l’on connaît les trajectoires dans le plan (π0) de deux points M et N du plan (π1), on

détermine le C.I.R. par l’intersection des normales aux trajectoires de ces points.

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Chapitre IV Cinématique

Application : Etude du glissement d’une échelle On considère une échelle AB, noté par (S1) de longueur L.

r r r • R 0 ( O 0 , x 0 , y 0 , z 0 ) est un repère lié au mûr et le sol modélisés par le même solide (S0). → r r r r r r • R 1 ( A , x 1 , y1 , z 0 ) est un repère lié à (S1) tel que AB = L y1 . On pose θ = ( x 0 , x 1 ) r y0

r y1

Roulante

I

B

Base r x1

S1

r r z 0 = z1

θ

O0

r x0

A S0

Figure IV-14 Questions 1) Déterminer le torseur cinématique du mouvement de (S1) par rapport à (S0) au point A

{ V (S

1

}

/ S0 )

A

.

2) Trouver le C.I.R. par la méthode analytique puis par la méthode graphique. 3) Déterminer la base et la roulante du mouvement plan sur plan de (S1) par rapport à (S0). Réponses

1)

{ V (S

1

}

/ S0 )

A

r ⎧ Ω(S1 / S 0 ) ⎫ = ⎨r ⎬ ⎩V( A ∈S1 / S 0 )⎭ A

→ r ⎡ d OA ⎤ r r r r ⎡ d L sin θ x 0 ⎤ & ⎢ ⎥ = Lθ& cos θ x 0 =⎢ avec Ω(S1 / S 0 ) = θ z 0 et V( A ∈S1 / S 0 ) = ⎥ ⎢ dt ⎥ dt ⎣ ⎦R ⎣ ⎦R

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Chapitre IV Cinématique

D’où

{ V (S

1

}

/ S0 )

A

r ⎧ θ& z 0 ⎫ =⎨ ⎬ r & ⎩Lθ cos θ x 0 ⎭ A

2) Recherche du C.I.R. par la méthode analytique: r r r r Ω(S1 / S 0 ) ∧ V( A ∈S1 / S 0 ) θ& z 0 ∧ Lθ& cos θ x 0 r r AI = = = L cos θ y 0 2 2 θ& Ω(S1 / S 0 ) →

Recherche du C.I.R. par la méthode géométrique: r r Le point A se déplace suivant l’axe ( O 0 , x 0 ) et le point B se déplace suivant ( O 0 , y 0 ) . r r r r Par suite, V( A ∈S1 / S 0 ) est suivant x 0 et V( B ∈S1 / S 0 ) est suivant y 0 . → → r r Or IA ⊥ V( A ∈S1 / S 0 ) et IB ⊥ V( B ∈S1 / S 0 ) (voir figure IV-14). Alors le C.I.R. « I »

est le point d’intersection des deux normales en A et B respectivement à leur trajectoire. → r Sur la figure on a AI = L cosθ y 0 .

3) r r • La base est la trajectoire du C.I.R. « I » dans le plan π 0 ( O 0 , x 0 , y 0 ) . Exprimons alors le → → r r vecteur position O 0 I sous la forme O 0 I = X 0 x 0 + Y0 y 0 , ensuite nous déterminons la

relation entre les coordonnées X0 et Y0. → → → → → r r On a O 0 I = O 0 A + AI avec O 0 A = L sin θ x 0 et AI = L cosθ y 0 → r r D’où O 0 I = L sin θ x 0 + L cos θ y 0 ⇒ X 0 = L sin θ et Y0 = L cosθ

Nous pouvons alors déduire la relation X 02 + Y02 = L2 . C’est l’équation du cercle de centre O0 et de rayon L (Le grand cercle sur la figure IV-14). r r • La roulante est la trajectoire du C.I.R. « I » dans le plan π 1 ( A, x1 , y1 ) . Exprimons alors → → r r le vecteur position AI sous la forme AI = X1 x1 + Y1 y1 , ensuite nous déterminons la

relation entre les coordonnées X1 et Y1. → r r r On a et AI = L cos θ y 0 = L cos θ[sin θ x1 + cos θ y1 ]

2 ⇒ X1 = L cos θ sin θ et Y1 = L cos θ

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Chapitre IV Cinématique

Nous pouvons alors déduire la relation X12 + Y12 = L2 cos 2 θ = LY1 . 2

2

L⎞ ⎛ L⎞ ⎛ Nous pouvons mettre cette équation suivant la forme suivante : X12 + ⎜ Y1 − ⎟ = ⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ 0 ⎞ L C’est l’équation du cercle de centre C⎜ et de rayon (Le petit cercle sur la ⎟ 2 ⎝ L 2⎠ π1 ( A , xr 1 , yr1 ) figure IV-14).

V.4. Mouvement plan sur plan de trois plans

r r r r r r considère les trois repères R 1 ( O 1 , x1 , y1 , z1 ) , R 2 (O 2 , x 2 , y 2 , z 2 ) r r r R 3 ( O 3 , x 3 , y 3 , z 3 ) liés respectivement aux trois solides (S1), (S2) et (S3). On

et

r r Nous supposons qu’au cours de leur mouvement relatif, les trois plans π 1 ( O 1 , x1 , y1 ) , r r r r π 2 ( O 2 , x 2 , y 2 ) et π 3 ( O 3 , x 3 , y 3 ) restent confondus. r r r r On pose : z1 = z 2 = z 3 = z . r r r r r r Ω( R 2 / R 1 ) = ω 21 z , Ω( R 3 / R 2 ) = ω 32 z et Ω( R 1 / R 3 ) = ω 13 z On note par :

I21 = le C.I.R du mouvement plan sur plan de π2 sur π1, I32 = le C.I.R du mouvement plan sur plan de π3 sur π2, I13 = le C.I.R du mouvement plan sur plan de π1 sur π13.

Nous montrons que ces trois C.I.R. sont alignés. Démonstration r r Dans le mouvement plan sur plan de π2 sur π1, on a : V( I 21 ∈ π 2 / π 1 ) = 0 .

D’autre part, nous pouvons écrire : r r r r V( I 21 ∈ π 2 / π 1 ) = V( I 21 ∈ π 2 / π 3 ) + V( I 21 ∈ π 3 / π 1 ) = 0 .

→ → r r r r Or V( I 21 ∈ π 2 / π 3 ) = V( I 32 ∈ π 2 / π 3 ) + Ω( R 2 / R 3 ) ∧ I 32 I 21 = Ω( R 2 / R 3 ) ∧ I 32 I 21 1442r443 =0 → → r r r r et V( I 21 ∈ π 3 / π 1 ) = V( I 31 ∈ π 3 / π 1 ) + Ω( R 3 / R 1 ) ∧ I 31 I 21 = Ω( R 3 / R 1 ) ∧ I 31 I 21 1442r443 =0

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Chapitre IV Cinématique

→ → ⎤ r → → ω r ⎡ D’où : z ∧ ⎢ω 23 I 32 I 21 + ω 31 I 31 I 21 ⎥ = 0 ⇒ I 32 I 21 = − 31 I 31 I 21 ⇒ les deux vecteurs ω 23 ⎣ ⎦ → → I 32 I 21 et I 31 I 21 sont colinéaires. Par suite, les trois C.I.R. sont alignés. Exemple

I02

I01, I12 et I02 sont alignés et I03, I23 et I02 sont alignés

I23

D’où le point I02

I12 S3

S1

S2 I03

I01

S0

VI. Torseur cinématique des liaisons Nous définissons le torseur cinématique de liaison entre deux solides (S1) et (S2) :. Ce r r r torseur s’écrit à l’origine du repère local de la liaison R (O, x , y, z ) avec O le centre géométrique de la liaison.

{V ( S

2

}

/ S1 )

O

r ⎧ Ω ( S 2 / S1 ) ⎫ =⎨r ⎬ ⎩V (O ∈ S 2 / S1 )⎭ O

Pour chaque type de liaison, les composantes des éléments de réduction dans la base du repère R s’écrit sous la forme : r r r r ⎧Ω( S 2 / S1 ) = α x + β y + γ z ⎨r r r r ⎩V (O ∈ S 2 / S1 ) = u x + v y + wz Et nous écrivons le torseur cinématique avec ces composantes de la manière suivante :

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Chapitre IV Cinématique

{

⎧α V (S 2 / S1 ) O = ⎪⎨β ⎪γ O⎩

}

u⎫ ⎪ v⎬ z ⎪⎭ ( xr , yr , zr )

Dans le tableau ci-dessous, nous donnons le torseur cinématique exprimé dans la base du repère R. Attention: Pour mettre en évidence les composantes nulles du torseur, il faut placer

convenablement le repère R. Liaison

{V ( S

2

}

/ S1 )

Ponctuelle de normale r (O, z )

⎧α ⎪ ⎨β ⎪γ O⎩

Linéique rectiligne r d’axe (O, x ) et de r normale (O, z )

⎧α u ⎫ ⎪ ⎪ ⎨0 v⎬ ⎪γ 0 ⎪ r r r ⎭( x, y, z ) O⎩

Linéique annulaire r d’axe (O, x )

⎧α ⎪ ⎨β ⎪γ O⎩

u⎫ ⎪ 0⎬ 0 ⎪⎭ ( xr , yr , zr )

Rotule de centre O

⎧α ⎪ ⎨β ⎪γ O⎩

0⎫ ⎪ 0⎬ 0⎪⎭ ( xr , yr , zr )

Appui plan de r normale (O, z )

⎧0 u ⎫ ⎪ ⎪ ⎨0 v ⎬ ⎪γ 0 ⎪ r r r ⎭( x, y,z ) O⎩

Cours de Mécanique Générale

Liaison

O

u⎫ ⎪ v⎬ 0 ⎪⎭ ( xr , yr , zr )

{V ( S

2

}

/ S1 )

O

Pivot glissant d’axe r (O, x )

⎧α u ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ 0 0⎬ ⎪ 0 0⎪ r r r ⎭( x, y, z ) O⎩

Glissière hélicoïdale r d’axe (O, x )

⎧α u ⎫ ⎪ ⎪ , u=pα ⎨ 0 0⎬ ⎪ 0 0⎪ r r r ⎭( x, y,z ) O⎩

r Glissière d’axe (O, x )

r Pivot d’axe (O, x )

Encastrement

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⎧0 u ⎫ ⎪ ⎪ ⎨0 0 ⎬ ⎪0 0 ⎪ r r r ⎭( x , y,z ) O⎩ ⎧α ⎪ ⎨0 ⎪0 O⎩

0⎫ ⎪ 0⎬ 0⎪⎭ ( xr , yr , zr )

⎧0 0⎫ ⎪ ⎪ ⎨0 0⎬ ⎪0 0⎪ r r r ⎭( x , y, z ) O⎩

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Chapitre V Statique

CHAPITRE V ACTIONS MECANIQUES & STATIQUE

CHAPITRE V : ACTIONS MECANIQUES & STATIQUE I. I.1.

Représentation mathématique des actions mécaniques Définition Nous appelons action mécanique toute cause susceptible de maintenir un corps au repos,

ou de créer un mouvement ou de déformer un corps.

I.2.

Classification On distingue deux sortes d’action mécaniques : •

Les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, champ électromagnétique, etc.)

•

Les actions mécaniques de contact (liaisons surfaciques, etc.)

On peut avoir des actions mécaniques dites extérieures et des actions mécaniques dites intérieures à un ensemble de corps.

Exemple On considère les trois solides (S1), (S2) et

(S3)

(S3) et le système Σ={(S1),(S2)} . •

L’action mécanique de (S3) sur (S2) et extérieure au système Σ.

•

(S1)

(S2)

L’action mécanique de (S2) sur (S1) est intérieure à Σ.

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90

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Chapitre V Statique

Cette dernière classification est nécessaire pour appliquer le principe fondamental de la statique ou de la dynamique d’un ensemble de corps.

I.3.

Premier principe de la statique

Enoncé du principe Toute action mécanique est entièrement caractérisée d’un point de vue mécanique par un torseur. L’action mécanique de (S1) sur (S2) sera notée par :

r r ⎧ R (S1 →S2) ⎫ ⎧ R12 ⎫ r (S1→S2)}A =⎨ r = ⎬ . ⎬ ⎨ ⎩m(S1 →S2)(A)⎭A ⎩m12(A)⎭A

{τ • •

r R12 est la résultante générale du torseur d’action mécanique de (S1) sur (S2). r m12(A) est le moment résultant au point (A) du torseur d’action mécanique de (S1) sur (S2).

Le torseur d’action mécanique possède toutes les propriétés du torseur (voir chapitre II).

II.

Modélisation des actions mécaniques à distance : Application au champ de pesanteur r z

Nous considérons que le champ de pesanteur est uniforme en tout point d’une

(E)

région localisée dans l’espace. Il est orienté dm

suivant la verticale descendante.

P

r r r Soit R(O, x, y, z) un repère lié à la terre, r tel que l’axe (O,z) soit dirigé suivant la

r g O

r y

verticale ascendante. r x

L’action mécanique du champ de pesanteur en chaque point P d’un ensemble matériel (E) r r est défini par sa densité g=−gz (g>0) relativement à la mesure de masse dm du point P considéré. Par suite, le torseur d’action mécanique de la pesanteur sur (E) s’écrit en un point A quelconque par :

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91

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Chapitre V Statique

r ⎧ R g →E ⎫ (g→E)}A =⎨ r ⎬ avec : ⎩mg →E(A)⎭

{τ

A

•

r r r r R g → E = ∫gdm=mg =−mgz P∈E

•

→ → → r r r r → r mg→E(A)= ∫ AP∧gdm=(∫ APdm)∧g =mAG∧g =AG∧R g→E

P∈E

→

→

Le point G est appelé le centre d’inertie du système matériel (E) : AG= 1 ∫ APdm m P∈E r r On constate que mg →E(A)⊥R g → E . Par suite le torseur

{τg→E} est un glisseur.

Le moment au point G est nul. Alors G est point de l’axe central ∆. r ⎧R g → E ⎫ (g→E)}G =⎨ r ⎬ ⎩ 0 ⎭G

{τ

III. Modélisation des actions mécaniques de contact III.1. Torseur d’action mécanique de contact On considère deux solides (S1) et (S2)

r pn S1 →S2 (M)

en contact suivant une surface (S). Soit ds un élément de surface

r pS1 →S2 (M)

(S2)

π

infiniment petit défini au voisinage d’un

M

point M de la surface (S).

ds

Soit (π) le plan tangent commun à

r ptS1 →S2 (M)

S

(S1) et (S2) en M.

(S1)

L’action mécanique de contact de (S1) sur (S2) est défini en chaque point M de la surface r (S) par une densité surfacique de force pS1 →S2 (M) appelée aussi répartition de pression de r contact. Elle est homogène à une force divisée par une surface. Le module de pS1 →S2 (M) s’exprime généralement en méga pascale (MPa).

r pS1 →S2 (M) est toujours dirigée vers la matière du solide étudié. L’action mécanique de contact de (S1) sur (S2) se représente globalement par le torseur : Cours de Mécanique Générale

92

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Chapitre V Statique

r ⎧ pS1 →S2 (M)ds ⎫ r ∫ ⎧ R ⎫ ⎪ ⎪ (S1→S2)}A =⎨ r S1 →S2 ⎬ =⎨ M→∈S r ⎬ m ( A ) ⎩ S1 →S2 ⎭A ⎪ ∫ AM∧pS1 →S2 (M)ds⎪ ⎩M∈S ⎭A

{τ

III.2. Action de contact avec frottement : Lois de Coulomb Supposons que (S1) et (S2) puissent glisser l’un par rapport à l’autre. En présence de r frottement entre (S1) et (S2) la densité surfacique des forces de contact pS1 →S2 (M) s’écrit : r r r pS1 →S2 (M)=pSn1 →S2 (M)+ pSt 1 →S2 (M) avec :

•

r pSn1 →S2 (M) perpendiculaire au plan (π) est appelée densité surfacique normale au

•

point M des forces de contact de (S1) sur (S2), r pSt 1 →S2 (M) parallèle au plan (π) est appelée densité surfacique tangentielle au point M des forces de contact de (S1) sur (S2),

Enoncé des lois de Coulomb [Se sont des lois expérimentales établies par Coulomb permettant la définition de la densité surfacique tangentielle].

r Soit V(M∈S2 /S1) la vitesse de glissement au point M du solide (S2) par rapport à (S1). Ce vecteur est parallèle au plan (π).

r r a) Premier cas : V(M∈S2 /S1)≠0 r r Dans ce cas, pSt 1 →S2 (M) est opposée à V(M∈S2 /S1) . Alors : r r r pSt 1 →S2 (M) ∧V(M∈S2 /S1)=0 r r pSt 1 →S2 (M)⋅V(M∈S2 /S1) 0. • H2. Les barres (S1) et (S2) roulent sans glisser sur le plan horizontal (S0) et sur le solide (S3) • H3. La distance L entre les axes des barres (S1) et (S2) est constante au cours du mouvement. • H4. L’abscisse du centre de gravité G du solide (S3) par rapport au centre C1 de la barre (S1) est égale à x tel que 0 < x < L • H5. On considère, aux différents points de contact, les torseurs d’action mécanique du plan (S0) et du solide (S3) sur les barres (S1) et (S2) : r r r r ⎧X 1 x + Y1 y ⎫ ⎧X 2 x + Y2 y ⎫ T ( S 0 → S1 ) = ⎨ r ⎬ ; T (S 0 → S 2 ) = ⎨ r ⎬ ⎩ M 1z ⎭A 1 ⎩ M 2 z ⎭A 2

{

}

{

r r T (S 3 → S1 ) = ⎧⎨X 3 x + rY3 y⎫⎬ ; ⎩ M 3 z ⎭A 3

{

}

}

r r ⎧X 4 x + Y4 y ⎫ T (S 3 → S 2 ) = ⎨ M zr ⎬ 4 ⎩ ⎭A 4

{

}

r y

S3 r Fx

P

G x

h

r −Mgy

A3

A4 S2

2r

C1

C2

S1

r x A1

A2

S0

L

Figure 6

Questions:

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107

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Chapitre V Statique

1. Ecrire les trois équations scalaires déduites du principe fondamental de la statique appliqué au solide (S1). 2. Ecrire les trois équations scalaires déduites du principe fondamental de la statique appliqué au solide (S2). 3. Ecrire les trois équations scalaires déduites du principe fondamental de la statique appliqué au solide (S3).

r r 4. Déterminer les vectrices rotations Ω(S1 / S 0 ) et Ω(S1 / S 3 ) en fonction de V et de r. 5. Sachant qu’aux quatre points A1, A2, A3 et A4, il y a roulement sans glissement entre les solides en contact, appliquer les résultats du cours formulés sur le contact ponctuel, pour déterminer les relations que vérifient : • X1, Y1 et M1; • X2, Y2 et M2; • X3, Y3 et M3; • X4, Y4 et M4.

r 6. Déterminer la force ( P, F) qui engendre le mouvement du solide (S3). faire l’application numérique pour : M = 200 kg; m = 12 kg; g = 10 m/s2; r = 3 cm; η = 0.4 cm 7. Déterminer les composantes des résultantes générales des torseurs d’action mécanique de contact : X1, Y1, X2, Y2, X3, Y3, X4, Y4. 8. Quelle est la valeur maximale que peut prendre x pour que le solide (S3) soit toujours en contact avec le solide (S1), sachant que h = 1 m et L = 1.5 m ? 9. Lorsque le solide (S3) est en contact avec les deux barres (S1) et (S2) et que le coefficient de frottement est f = 0.5, déterminer entres quelles valeurs peut varier x pour que l’hypothèse de roulement sans glissement des barres sur le plan (S0) soit vérifiée. Exercice N° 7 Le mécanisme, schématisé par la figure 7, représente un système de serrage d’une pièce

(S5) sur un étau (S0). Sa commande est pneumatique, la pression de l’air comprimé est

p = 6 bar (1 bar = 1 daN/cm2). Le but de l’exercice est de déterminer la section du vérin pour obtenir un effort de serrage en I égal à 150 daN.

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Chapitre V Statique

Nous supposons que :

r • Les liaisons aux points A, B, C et D sont de type pivot d’axe parallèle à ( O, z ) . • Les contacts aux points I et J sont ponctuels. Nous considérons que le mécanisme est plan, le poids est négligeable et les contacts sont parfaits (sans frottement). On donne :

d = CD = 100 mm, L = BC = 150 mm, a = 20 mm, b = 70 mm. ∧ ∧ ( BCD) = 60° , ( BAD) = 45° , FI = 150 daN.

v

B

λ

M

L

y S3

Pression p

S2 S1 60°

d

N A

S5

C D

45°

b

I

u

a

S4 x

J

S0

O . z

Figure 7 Questions: 1.- On assimile l’ensemble

∑ = {S , S 1

2

, air comprimé} à un solide indéformable.

a) Faire l’inventaire des actions mécaniques exercées sur Σ. b) Ecrire les équations déduites du principe fondamental de la statique appliqué à Σ r r r r ( F c) Exprimer l’action mécanique de S3 sur S2 au point B B ) dans la base ( x , y, z ) . 2.- On considère le solide S3. a) Faire l’inventaire des actions mécaniques exercées sur S3. b) Ecrire les équations déduites du principe fondamental de la statique appliqué à S3. c) En déduire FB en fonction de FI . Faire l’application numérique.

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Chapitre V Statique

3.- On considère le solide S4. a) Faire l’inventaire des actions mécaniques exercées sur S4. b) Ecrire les équations déduites du principe fondamental de la statique appliqué à S4. 4.- Nous supposons que les contacts entre S1 et S2 aux points M et N sont ponctuels, a) Faire l’inventaire des actions mécaniques exercées sur S2. b) Déterminer la section du vérin en fonction de la pression p et la force FB . Faire l’application numérique. 5.- On considère l’ensemble Σ 1 = {S 3 , S 4 } . a) Faire l’inventaire des actions mécaniques exercées sur Σ 1 . b) Ecrire les équations déduites du principe fondamental de la statique appliqué à Σ 1 . c) En déduire l’action mécanique de (S5) sur (S4) au point J. Faire l’application numérique. Exercice N°8 Etude d’un réducteur de vitesse On considère le réducteur de vitesse schématisé par figure 8. Il est constitué :

r r r • d'un bâti (S0). On pose le repère R o (O, x o , y o , z o ) lié à (S0), r • d'un plateau (S1) lié à l'arbre d'entrée qui est en liaison pivot d'axe (O, y 0 ) avec le bâti (S0). r r r On pose le repère R 1 (O, x 1 , y 0 , z 1 ) tel que le paramètre de mouvement de (S1)/(S0) est donné r r r r par l'angle ψ 1 = ( x 0 , x 1 ) = ( z 0 , z 1 ) , r • d'un plateau conique (S2) lié à l'arbre de sortie qui est en liaison pivot d'axe (O, x o ) avec le r r r bâti (S0). On pose le repère R 1 (O, x 0 , y 2 , z 2 ) tel que le paramètre de mouvement de (S2)/(S0) r r r r est donné par l'angle ψ 2 = ( y 0 , y 2 ) = ( z 0 , z 2 ) , r • d'un galet sphérique (S3), de rayon R et de centre C, en liaison pivot autour de (C, u) . Cet r r axe de liaison est d'une part coplanaire avec (O, x o ) et (O, y 0 ) et d'autre part fait un angle α r r r r constant avec (O, x o ) . On pose le repère R 3 (C, u, v, w ) lié à (S3) tel que le paramètre de r r r r mouvement de (S3) par rapport à (S0) est ϕ. Dans ce cas : ϕ = ( v 0 , v) = ( z 0 , w) Par ailleurs, le galet (S3) est en contact ponctuel sans glissement en I et J avec respectivement les plateaux (S1) et (S2). Les caractéristiques géométriques sont définies sur la figure 1. Partie I : Etude cinématique

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Chapitre V Statique

Donner les torseurs cinématiques des mouvements de (S1/S0), de (S2/S0) et de (S3/S0) :

{ V (S

1

/ So

} , { V (S O1

2

/ So

}

O2

et

{ V (S

3

/ So

}

C

Exprimer les conditions de non glissement en I et J. En déduire le rapport des vitesses ρ=

ψ& 2 &1 ψ

1) Dans le mouvement sans glissement de (S3) par rapport à (S1), définir en I en fonction de & 1) : ( R 1 , R , α et ψ a) le vecteur de rotation de roulement, b) le vecteur de rotation de pivotement, 2) Calculer dans le mouvement par rapport à (S1) : a) l'accélération du point I lié à (S3), b) l'accélération du point géométrique I. Partie II : Etude des actions mécaniques

On suppose qu'aux points de contact I et J, les torseurs des actions mécaniques exercées respectivement par le solide (S1) et le solide (S2) sur le solide (S3) sont de la forme suivante :

τ

⎫ ⎧ ⎬ ⎨ ⎩ ( S1 → S 3 ) ⎭ I

τ

⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ (S 2 → S 3 ) ⎭ J

=

v r r r ⎧ R13 = X 13 x0 + Y13 y 0 + Z13 z 0 ⎫ r r ⎨r r ⎬ ⎩m13 ( I ) = L13 x0 + M 13 y 0 + N 13 z 0 ⎭ I

=

v r r r ⎧ R23 = X 23 x0 + Y23 y 0 + Z 23 z 0 ⎫ ⎨r r r r ⎬ ⎩m23 ( J ) = L23 x0 + M 23 y 0 + N 23 z 0 ⎭ J

On suppose que toutes les autres liaisons sont parfaites (sans frottement) et que le solide (S3) a une masse négligeable. Donner le torseur d'action mécanique exercée par le bâti (S0) sur le solide (S3). (Préciser en quel point et dans quelle base est défini ce torseur). Isoler le solide (S3) et faire l'inventaire des actions mécaniques extérieures appliquées sur ce solide. Dans l'hypothèse du roulement sans glissement du solide (S3) sur le solide (S1) au point de contact I et avec : ∗ un coefficient de frottement de glissement f, ∗ un paramètre de résistance au pivotementδ, ∗ un paramètre de résistance au roulementη.

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Chapitre V Statique

a) Quelle relation y a - t - il entre X13, Y13 et Z13 ? b) Quelle relation y a - t - il entre Y13 et M13 ? r

c) Déterminer le moment de roulement en I m13t ( I ) et quelle relation y a - t - il entre L13 et Y13 ?

r y0

S2

r v0

r i δ

B

r x0

O2 O

r j

r u S3 A

J

α

C

S1

O1

I

On donne :

→ r IO 1 = R 1 x 0 → r JO 2 = R 2 y 0

O S0

x1 y0

z0

v0

ψ1 x0

z2 ψ2 z0

ψ2

ψ1 z1

y2 y0

x0 w

y0

α

ϕ

z0

u α

z0

v ϕ

x0

u

v0

Figure 8

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Chapitre VI Géométrie des Masses

CHAPITRE VI GEOMETRIE DES MASSES

CHAPITRE VI : GEOMETRIE DES MASSES

I.

Masse d’un système matériel I.1.

Axiome : Principe de conservation de masse

Il est possible de faire correspondre à tout système matériel un nombre positif, appelé sa masse, invariant au cours du temps (en mécanique classique, solide indéformable) et possédant la propriété d’additivité à savoir : la masse d’un système matériel est la somme des masses de ses parties. En mécanique relativiste, (solide déformable) la masse d’un ensemble matériel est fonction du temps.

I.2.

Masse spécifique

A tout point P du système matériel (E), on associe un nombre positif ρ( P ) appelé sa masse spécifique et définie de la façon suivante : Soit dv un élément de volume entourant le point P, de masse dm, ρ( P ) =

dm dv

Si ρ( P ) est constante, le système est homogène.

I.3.

Masse

On peut définir la masse d’un système matériel (E) par :

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Chapitre VI Géométrie des Masses

m( E ) =

∫ dm( P )

(1)

P ∈E

(Grandeur tensorielle d’ordre 0)

dm( P ) est la mesure de la masse au voisinage de P Si (E) est représenté par un volume V alors m( E ) =

∫∫∫ dm avec dm = ρ dV V

ρ est la masse volumique Si (E) est représenté par une surface S alors m( E ) = ∫∫ dm avec dm = ρ dS S

ρ est la masse surfacique Si (E) est représenté par une courbe Γ alors m( E ) = ∫ dm avec dm = ρ dl Γ

ρ est la masse linéique Si (E) est un ensemble de points matériels, m( E ) = ∑ dm pts

Le système matériel (E) peut être bien sûr un ensemble comprenant ces différentes catégories.

II.

Centre d’inertie d’un système matériel II.1. Définition On appelle centre d’inertie d’un système matériel (E), le point G défini par la relation : → r GP ∫ dm = 0

(2)

P ∈E

Soit O un point arbitraire de l’espace, il vient immédiatement : → 1 → OG = OP dm m P∫∈E

(2’)

(Grandeur tensorielle d’ordre 1)

r r r On peut en déduire les coordonnées de G dans un repère R ( O, x, y, z ) :

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Chapitre VI Géométrie des Masses

⎛ x⎞ ⎛x ⎞ → ⎜ ⎟ → ⎜ G⎟ soit OP = ⎜ y⎟ ; OG = ⎜ y G ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ ( xr , yr , rz ) ⎝ z G ⎠ ( xr , yr , rz )

∫x

xG =

1 x dm m P∫∈E

(2’) ⇒ y G =

1 y dm m P∫∈E

zG =

1 z dm m P∫∈E

i

r r dm est appelé moment statique du système par rapport au plan ( O, x j , x k ) i ≠ j ≠ k

P ∈E

II.2. Propriétés du centre d’inertie II.2.1. Détermination par fractionnement du centre d’inertie d’un système complexe Soit une partition du système matériel (E) en n sous ensembles (Ei) de masse mi et de centre Gi. → → 1 (2’) ⇒ OG = ∑ ∫ OP dm m i P∈E i → 1 Or OG i = mi →

d’où : OG =

→ OP ∫ dm

P ∈E i

→ 1 m i OG i ∑ m i

(3)

Donc le centre d’inertie G du système (E) apparaît comme le barycentre des points Gi affectés des coefficients mi. Ainsi, quand le système (E) peut être décomposé en sous ensemble (Ei) disjoints, de formes simples, on procède en deux étapes pour déterminer le centre d’inertie : - On détermine de centre Gi de chacun des sous ensembles de masses mi, - On détermine le centre d’inertie G comme le barycentre des points Gi affectés des coefficients mi.

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Chapitre VI Géométrie des Masses

II.2.2. Symétrie du système Si le système matériel (E) est homogène et admet un élément de symétrie (plan, axe, point), son centre d’inertie appartient à cet élément de symétrie.

II.3. Théorèmes de GULDIN II.3.1. Premier théorème L’aire de la surface engendrée par une courbe plane et homogène, tournant autour d’un axe de son plan, ne la traversant pas, est égale au produit de la longueur de la courbe par le périmètre du cercle décrit par son centre de gravité.

Démonstration : Soit une courbe plane et homogène (C) r tournant autour d’un axe ( O, x ) de son plan (π) et

x

ne la traversant pas (Figure VI-1). (C) La position du centre de gravité G de la

G

→ 1 → courbe (C) est donnée par : OG = OP dl . L P∫∈C

1 r à ( O, x ) on obtient : rG = r dl . L P∫∈C

r

dl

r En projetant sur l’axe ( O, y ) perpendiculaire

rG

y

P

π

O Figure VI-1 1 Multipliant les deux membres de cette équation par 2π, on aura : 2π rG = 2 π r dl L P∫∈C Or 2π rG représente le périmètre du cercle engendré par G

et

∫ 2π r dl

représente l’aire (S) de la surface engendrée par la courbe ( C ) en tournant

P ∈C

r autour de l’axe ( O, x ) . D’où : S = L 2π rG Exemples • Exemple 1 : Centre de gravité d’une demie - circonférence, homogène de centre O et de rayon R (Figure VI-2)

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Chapitre VI Géométrie des Masses

r Par symétrie, le centre de gravité G est sur l’axe ( O, y ) .

y

La longueur de la demie - circonférence est : L = π R .

R x

La surface engendrée par la demie - circonférence tournant r autour de l’axe ( O, x ) est une sphère de centre O et de rayon R. Son

O

Figure VI-2

aire est égale à S = 4 πR 2 . 4 πR 2 S D’où et d’après le premier théorème de GULDIN : y G = = 2 πL 2 π 2 R Soit : y G =

2R π

Ce dernier résultat peut être aussi retrouvé par un calcul direct : Soit : y G =

d’où y G =

1 y dl avec dl = R dθ ; L = π R ; y = R sin θ pour 0 ≤ θ ≤ π L P∫∈C π 2R R2 R π sin θ dθ = [ − cos θ]0 . Soit : y G = ∫ π πR 0 π

• Exemple 2 : Surface d’un tore (anneau cylindrique) (Figure VI-3) y

En appliquant le premier théorème de GULDIN S = L 2π R avec L = 2 π r

R

r

2 d’où : S = 4 π R r

x G

O

Figure VI-3

II.3.2. Deuxième théorème Le volume engendré par une surface plane et homogène, tournant autour d’un axe de son plan, ne la traversant pas, est égal au produit de l’aire de la surface par la du périmètre du cercle décrit par son centre de gravité.

Démonstration :

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Chapitre VI Géométrie des Masses

Soit une surface plane et homogène (S) r tournant autour d’un axe ( O, x ) de son plan (π) et

x

ne la traversant pas (Figure VI-4). (S) La position du centre de gravité G de la → 1 → surface (S) est donnée par : OG = ∫ OP ds . S P∈S

r

P

r En projetant sur l’axe ( O, y ) perpendiculaire r 1 à ( O, x ) on obtient : rG = ∫ r ds . S P∈S

rG

G

y

ds

π

O Figure VI-4

En multipliant les deux membres de cette équation par 2π, on aura : 2 π rG =

1 2 π r ds S P∫∈S

Or 2π rG représente le périmètre du cercle engendré par G et

∫ 2π r ds

représente le volume (V) engendré par la surface (S) en tournant autour de

P ∈S

r l’axe ( O, x ) . D’où : V = S 2π rG Exemples • Exemple 1 : Centre de gravité d’un demi - disque, homogène de centre O et de rayon R (Figure VI-5)

r Par symétrie, le centre de gravité G est sur l’axe ( O, y ) . La surface du demi - disque : S =

y

π R2 . 2

R x O

Le volume engendré par la surface tournant autour de l’axe r ( O, x ) est celui d’une sphère de centre O et de rayon R. Ce volume est égal à V =

Figure VI-5

4 πR 3 . 3

D’où, en appliquant le deuxième théorème de GULDIN : y G =

4R V = 2 πS 3π

De même, par un calcul direct, en appliquant la définition du centre de gravité, on a :

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Chapitre VI Géométrie des Masses

Soit : y G =

π R2 1 avec ds = rdr d θ ; S = ; y = r sin θ pour : 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ r ≤ R . y ds 2 S P∫∈S

1 d’où y G = π R2

π

R

∫ r dr ∫ sin θ dθ = 2

0

0

4R 4R . Soit : y G = 3π 3π

• Exemple 2 : Volume d’un tore (anneau cylindrique) (Figure VI-6) y

En appliquant le deuxième théorème de GULDIN V = S 2π R avec S = π r 2 d’où : V = 2 π R r 2

R

r

x

2

G

O

Figure VI-6

r

III. Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe ∆ (O, n) r r r Soient un repère R(O, x, y, z) et un axe r r ∆ (O, n) d’origine O et de vecteur unitaire n

∆

z

(S) H

défini par ces cosinus directeurs (α, β, γ ) . r r r r n = αx + βy + γz

P

r n

Soit (S) un solide de masse m et soient P

y O

un point quelconque du solide S et H le pied de la perpendiculaire abaissée de P sur ∆.

x

(Figure VI-7) Figure VI-7

→ r r r On pose OP = x x + y y + z z

III.1. Définition Le moment d’inertie du solide (S), par rapport à l’axe ∆, est le scalaire positif défini par : I(S / ∆ ) =

∫ PH

2

dm

(4)

P ∈S

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Chapitre VI Géométrie des Masses

→ Sachant que le module du vecteur PH peut s’exprimer en fonction du module du vecteur → → → r → r → r → r → OP et de sinus de leur angle; PH = OP sin(OP, n) et que OP ∧ n = OP n sin(OP, n)

r avec n = 1 , on a donc : → → r PH = OP ∧ n

(5)

⎛ x⎞ ⎛ α⎞ ⎛ λy − βz ⎞ → r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Or OP∧ n = ⎜ y⎟ ∧ ⎜ β ⎟ = ⎜ αz − γx ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ ⎝ γ ⎠ ⎝ βx − αy⎠ d’où : → PH

2

→ r = OP ∧ n

→ Soit : PH

2

= ( λy − βz) 2 + (αz − γx) 2 + (βx − αy) 2

2

= α 2 ( y 2 + z 2 ) + β 2 ( x 2 + z 2 ) + γ 2 ( x 2 + y 2 ) − 2βγ yz − 2αγ xz − 2αβ xy

Conséquences avec (α, β, γ ) sont des constantes : I(S / ∆ ) = α 2

∫ (y

2

+ z 2 ) dm + β 2

P ∈S

− 2βγ

∫ (x

2

+ z 2 ) dm + γ 2

P ∈S

∫ (x

2

+ y2 )

P ∈S

(6)

∫ yz dm − 2αγ ∫ xz dm − 2αβ ∫ xy dm

P ∈S

P ∈S

P ∈S

On pose (notation de Binet) : A=

∫ (y

2

+ z 2 ) dm B =

P ∈S

D=

∫ yz dm

P ∈S

∫ (x

2

+ z 2 ) dm C =

P ∈S

E=

∫ xz dm

∫ (x

2

+ y 2 ) dm

P ∈S

F=

P ∈S

(7)

∫ xy dm

P ∈S

D’où : I(S / ∆ ) = α 2 A + β 2 B + γ 2 C − 2βγ D − 2αγ E − 2αβ F

(8)

III.2. Définition

r A = Ixx est le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe ( O, x ) , r B = Iyy est le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe (O, y) ,

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r C = Izz est le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe (O, z) , r r D = Iyz est le produit d’inertie du solide (S) par rapport aux axes (O, y) et (O, z) , r r E = Ixz est le produit d’inertie du solide (S) par rapport aux axes ( O, x ) et (O, z) ,

r r F = Ixy est le produit d’inertie du solide (S) par rapport aux axes ( O, x ) et (O, y) .

IV. Opérateur d’inertie Dans ce paragraphe, nous allons définir un opérateur qui va nous permettre de rassembler les six quantités A, B, C, D, E et F dans une matrice 3 * 3.

IV.1. Définition On appelle opérateur d’inertie d’un solide (S) en un point O, l’application définie de la manière suivante :

ℜ3 → ℜ3 r r r u → IO (S, u) =

→ r → OP ∫ ∧ ( u ∧ OP) dm

P ∈S

r r r r r r r Cet opérateur est linéaire IO (S, u + αv) = IO (S, u) + α IO (S, v) et symétrique. En effet : r r r r r r r r ∀ u , v ∈ℜ 3 , IO (S, u). v = IO (S, v). u Ceci est obtenu grâce à la propriété du produit

mixte :

→ r → r ⎡→ r → ⎤ r OP ∧ u ∧ OP v OP ( ) . = ( , u ∧ OP, v) ⎢⎣ ⎥⎦ r → r → = ( u ∧ OP, v, OP) ( permutation circulaire) r → r → = ( u ∧ OP).( v ∧ OP) r → r → = ( v ∧ OP, u, OP) → r → r = (OP, v ∧ OP, u) ⎡→ r → ⎤ r = ⎢OP∧ ( v ∧ OP) ⎥. u ⎣ ⎦

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L’opérateur d’inertie du solide (S) au point O peut être donc représenté par une matrice

[I O (S)] appelée Matrice d’inertie ou tenseur d’inertie du solide (S) au point O. On aura donc : r r r IO (S, u) = [I O (S)] u . IV.2. Matrice ou tenseur d’inertie

r r r La matrice d’inertie [I O (S)] du solide (S) au point O, relativement à la base ( x, y, z) , s’obtient en disposant en colonnes les composantes des vecteurs transformés des vecteurs de r r r r r r base par l’opérateur d’inertie. C’est - à - dire, IO (S, x), IO (S, y) et IO (S, z) . ⎡• • •⎤ [I O (S)] = ⎢⎢• • •⎥⎥ ⎢⎣• • •⎥⎦ r r IO (S, x) r r IO (S, y)

r r IO (S, z) (9)

r r Calculons les composantes du vecteur IO (S, x) . r r Par définition, on a : IO (S, x) =

→ r → OP ∫ ∧ ( x ∧ OP) dm

P ∈S

→ r r r On pose OP = x x + y y + z z ⎛ 1⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 0 ⎞ r → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x ∧ OP = ⎜ 0⎟ ∧ ⎜ y⎟ = ⎜ − z⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ z⎠ ⎝ y ⎠ 2 2 ⎛ x⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ y + z ⎞ → r → ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ OP ∧ ( x ∧ OP) = ⎜ y⎟ ∧ ⎜ − z⎟ = ⎜ − xy ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ z⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ − xz ⎟⎠

La première colonne de la matrice d’inertie [I O (S)] est donc constituée des termes :

∫ (y

P ∈S

2

+ z 2 ) dm = A ; − ∫ xy dm = − F et − P ∈S

∫ xz dm = − E

P ∈S

De même et après un calcul identique des deux autres colonnes de la matrice d’inertie, cette dernière s’écrit sous la forme :

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⎡ I xx ⎡ A −F −E ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ = ⎢− I xy [I O (S)] = ⎢ − F B − D⎥ ⎢⎣− E − D C ⎥⎦ ( xr ,yr ,rz ) ⎢⎣ − I xz

− I xy I yy − I yz

− I xz ⎤ ⎥ − I yz ⎥ I zz ⎥⎦

(10) r r r ( x ,y ,z )

r Cette matrice est symétrique dont les moments d’inertie par rapport aux axes (O, x) , r r (O, y) et (O, z) apparaissent sur sa diagonale. r

IV.3. Expression du moment d’inertie par rapport à un axe ∆ (O, n) Nous avons, par définition : 2 ∫ PH dm =

I(S / ∆ ( O ,nr ) ) =

P ∈S

r → 2 [ n ∫ ∧ OP] dm =

P ∈S

r → r → ( n ∫ ∧ OP).( n ∧ OP) dm

P ∈S

r → r → r → r → = ∫ ( n, OP, n ∧ OP) dm = n . ∫ OP ∧ ( n ∧ OP) dm P ∈S

P ∈S

r r = n .[I O (S)] n r

[

]

r

d’où : I(S / ∆ ( O ,nr ) ) = n . I O (S) n = I nn

(11)

r Avec n un vecteur unitaire de ∆. Définition : r Le moment d’inertie du solide (S) par rapport à une droite ∆(O, n) est le produit r doublement contracté du tenseur d’inertie [I O (S)] par le vecteur unitaire n de ∆.

IV.4. Produit d’inertie par rapport à deux droites perpendiculaires IV.4.1. Définition r Le produit d’inertie du solide (S) par rapport à deux droites perpendiculaires (O, n) et r (O, t ) est le scalaire : Int =

∫x

n

→ r → r x t dm avec x n = OP. n et x t = OP. t

(12)

P ∈S

Soit : I n t =

→ r → r

∫ (OP. n)(OP. t ) dm

(12’)

P ∈S

IV.4.2. Expression du produit d’inertie par rapport à deux droites perpendiculaires

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On a : I n t =

→ r → r

∫ (OP. n)(OP. t ) dm

P ∈S

r r r r r r r r r r r r Or on démontre facilement l’égalité suivante : (a ∧ b).( c ∧ d ) = (a . c)( b . d ) − (a . d )( b . c) d’où : → r → r r → r → (OP. n)(OP. t ) = − ( n ∧ OP).( t ∧ OP) r → r → = − ( n ∧ OP, t , OP) r → r → = − ( t , OP, n ∧ OP) r → r → = − t .[OP∧ ( n ∧ OP)]

r → r → r r Donc : I n t = − t ∫ OP ∧ ( n ∧ OP) dm = − t .[I O (S)] n P ∈S

r

[

]

r

Soit : I n t = − t . I O (S) n

(13)

Définition r Le produit d’inertie du solide (S) par rapport aux deux axes perpendiculaires (O, n) et r r r r (O, t ) définis dans un repère R(O, x, y, z) est égal à l’opposé du produit doublement r r contracté du tenseur d’inertie [I O (S)]( xr ,yr ,rz ) par les vecteurs unitaires n et t . r r r r I n t = − t .[I O (S)] n = − n .[I O (S)] t

Remarque r r r Connaissant le tenseur d’inertie en O dans la base (e) du repère R(O, x, y, z) . Si on veut r r r son expression dans une autre base (e’) ( x ' , y ' , z ' ) et au même point O, on utilisera les résultats précédents :

r r A ' = I x ' x ' = x ' [I O (S)] x'

r r D' = I y ' z ' = − y ' [I O (S)] z'

r r B' = I y ' y ' = y ' [I O (S)] y'

r r E' = I x ' z ' = − x ' [I O (S)] z'

r r C' = I z 'z ' = z ' [I O (S)] z'

r r F' = I x 'y ' = − x ' [I O (S)] y'

r r r r r r Les vecteurs de la base (e’) ( x ' , y ' , z ' ) sont exprimés dans la base (e) ( x, y, z) .

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Cette méthode est avantageuse par rapport à la formule de changement de bases de l’opérateur que représente le tenseur d’inertie [I O (S)]( e ') = [ Pee ' ] [I O (S)]( e ) [ Pee ' ] . Car elle t

décompose le calcul élément par élément et le rend plus succinct, évitant tout produit matriciel, car le produit doublement contracté (forme quadratique, bilinéaire) s’écrit immédiatement.

Application On considère une tige (S) de longueur L, de dimensions

z v

π/6

transversales négligeables, homogène, de masse m et de

(S)

centre d’inertie G (Figure VI-8).

u

r r r Soit R(O, x, y, z) un repère tel que son origine O est r confondu avec G et dont l’axe (O, z) est confondu avec

π/6 G=O

y

x

l’axe de la tige (S). Figure VI-8

π r r r r∧r r∧r Soit R 1 (O, x, u, v) un repère tel que ( y, u) = ( z, v) = . 6

Question : Déterminer la matrice d’inertie du solide (S) au point O :

r r r 1. relativement à la base du repère R (O, x, y, z) , r r r 2. relativement à la base du repère R 1 (O, x, u, v) : a) par la méthode du produit doublement contracté,

r r r r r r b) en utilisant la matrice de passage de la base ( x, u, v) vers la base ( x, y, z) . Réponses

r r r 1- Matrice d’inertie de (S) au point O relativement dans la base ( x, y, z) .

[I O (S)]( xr ,yr ,rz) A=

∫ (y

2

⎡ A −F −E ⎤ = ⎢⎢ − F B − D⎥⎥ ⎢⎣− E − D C ⎥⎦ ( xr ,yr ,rz )

+ z 2 ) dm =

P ∈S

B=

∫ (x

2

∫z

2

dm . (y est négligeable).

2

dm = A . (x est négligeable).

P ∈S

+ z 2 ) dm =

P ∈S

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∫z

P ∈S

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C=

∫ (x

2

+ y 2 ) dm = 0

E=

∫ yz dm = 0

D=

P ∈S

P ∈S

∫ xz dm = 0

F=

P ∈S

d’où : [I O (S)]( xr ,yr ,rz )

∫ xy dm = 0

P ∈S

⎡A 0 0⎤ = ⎢⎢ 0 A 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦ ( xr ,yr ,rz )

Calcul de A : On a : dm = ρ dl avec ρ =

d’où A =

2 ∫ z dm =

P ∈S

m L

L/2

m mL2 2 z dl = 12 L − L∫/ 2

r r r La matrice d’inertie de (S) en O relativement dans la base ( x, y, z) s’écrit donc :

[I O (S)] xr ,yr ,rz)

⎡ mL2 ⎢ 12 ⎢ =⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣

0 mL2 12 0

⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎦ ( xr ,yr ,rz )

r r r 2- Matrice d’inertie de (S) au point O relativement dans la base ( x, u, v) . a) En appliquant les formules du produit doublement contracté.

r r A ' = I xx = x[I O (S)] x = A

r r A 3 D' = I uv = − v[I O (S)] u = 4

r r 3A B' = I uu = u[I O (S)] u = 4

r r E ' = I xv = − v[I O (S)] x = 0

r r A C' = I vv = v[I O (S)] v = 4

r r F' = I xu = − u[I O (S)] x = 0

r r r La matrice d’inertie de (S) en O relativement dans la base ( x, u, v) s’écrit donc :

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[I O (S)]( xr ,ur ,vr )

⎡ ⎢A ⎢ = ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣

0 3A 4 −A 3 4

⎤ 0 ⎥ −A 3 ⎥ mL2 ⎥ avec A = 4 ⎥ 12 A ⎥ ⎥ 4 ⎦ ( xr ,ur ,vr )

r r r r r r b) En utilisant la matrice de passage de la base (e) ( x, y, z) vers la base (e') ( x, u, v)

[I O (S)]( e') = [ Pee' ] t [I O (S)]( e) [ Pee' ]

⎡ ⎢1 ⎢ avec [ Pee ' ] = ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣

0 3 2 1 2

⎤ ⎡ ⎢1 0 ⎥ ⎥ ⎢ −1 t ⎥ et [ Pee ' ] = ⎢0 2 ⎥ ⎢ ⎢ 3⎥ ⎥ ⎢0 2 ⎦ ⎣

0 3 2 −1 2

⎤ 0 ⎥ 1 ⎥ ⎥ 2 ⎥ 3⎥ ⎥ 2 ⎦

On retrouve le résultat calculé ci-dessus.

V.

Les différents moments d’inertie

r r r Soient un repère R (O, x, y, z) et un solide

z (S)

S en position par rapport à ce repère. D’une

manière

générale,

le

moment

P

d’inertie du solide (S) par rapport à un point O

(C), une droite (∆) ou d’un plan (π) est égale à : I=

∫r

2

dm

P ∈S

y x

où r représente la distance de l’élément

Figure VI-9

matériel P de masse dm par rapport au point (C), à la droite (∆), au plan (π). Cette définition nous permet de calculer et de définir les moments d’inertie au point O et r r r r r r par rapport aux plans (O, x, y) , (O, x, z) et (O, y, z) .

V.1. Définitions - Moment d’inertie du solide S par rapport au point O est : I O =

∫ (x

2

+ y 2 + z 2 )dm ,

P ∈S

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r r - Moment d’inertie du solide S par rapport au plan (O, x, y) : I ( O ,xr ,yr ) = I ( O , yr ,xr ) =

∫ z dm , 2

P ∈S

- Et par permutation circulaire : I ( O ,rz ,yr ) = I ( O ,yr ,rz )

∫ x dm 2

et I ( O ,rz ,xr ) = I ( O , xr ,rz )

P ∈S

∫ y dm . 2

P ∈S

V.2. Relation entre les différents moments d’inertie On vérifie facilement les relations suivantes : I O = I ( O ,xr ,yr ) + I ( O ,xr ,zr ) + I ( O ,yr ,zr ) A = I xx = I ( O ,xr ,yr ) + I ( O ,xr ,rz ) , B = I yy = I ( O ,xr ,yr ) + I ( O ,yr ,zr ) , C = I zz = I ( O ,xr ,rz ) + I ( O ,yr ,rz )

A + B + C = 2I O

VI. Théorème de HUYGHENS Problème Le tenseur d’inertie au centre d’inertie G

z

z

du solide (S) étant connu dans une base (e) r r r par exemple ( x, y, z) . On se propose de

(S)

déterminer le même tenseur d’inertie en un P*

autre point O et dans la même base (e).

y

G

O

y

Soit P un point du solide (S) défini part : x

x

Figure VI-10

⎛ x⎞ ⎛ a⎞ ⎛x ⎞ → ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ → ⎜ 1⎟ , OG = ⎜ b⎟ , GP = ⎜ y 1 ⎟ OP = ⎜ y⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ ( O ,xr ,yr ,rz ) ⎝ c ⎠ ( O ,xr ,yr ,rz ) ⎝ z1 ⎠ ( O ,xr ,yr ,rz ) ⎧x = a + x1 ⎡ A −F −E ⎤ → → → ⎪ On a : OP = OG + GP ⇒ ⎨y = b + y 1 ; [I O (S)] = ⎢⎢ − F B − D⎥⎥ ⎪z = c + z ⎢⎣− E − D C ⎥⎦ ( xr ,yr ,rz ) 1 ⎩ ⎡ AG On pose [I G (S)] = ⎢⎢ − FG ⎢⎣− E G

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− FG BG −DG

−E G ⎤ − D G ⎥⎥ C G ⎥⎦ ( xr ,yr ,zr )

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Commençons par chercher la relation qui existe entre les moments d’inertie par rapport r r aux axes (O, x) et (G , x) . Par définition, nous avons : A=

∫ (y

2

P ∈S

A=

∫ (y

∫ (b

+ z 2 ) dm =

2

+ y 12 + 2 by 1 + c 2 + z12 + 2cz1 ) dm

P ∈S

2 1

+ z12 ) dm +

P ∈S

∫ (b

2

P ∈S

+ c 2 ) dm + 2 b ∫ y 1 dm + 2c ∫ z1 dm P ∈S

(13)

P ∈S

Or nous avons déjà défini le centre d’inertie G du solide (S) par

→ r GP ∫ dm = 0

P ∈S

⇒

∫x

1

P ∈S

dm =

∫y

1

dm =

P ∈S

∫z

1

dm = 0 .

P ∈S

d’où et à partir de la relation (13) en tenant compte que a et b sont des constantes : A = A G + m( b 2 + c 2 )

(14)

De la même manière, on démontre que : B = BG + m(a 2 + c 2 )

(14’)

C = C G + m(a 2 + b 2 ) (14’’ )

Remarque: La quantité ( b 2 + c 2 ) , par exemple, représente le carré de la distance entre les axes r r (O, x) et (G , x) .

Cherchons maintenant la relation entre les produits d’inertie D et DG. Par définition, nous avons : D=

∫ yz dm = ∫ ( b + y )(c + z ) dm 1

P ∈S

1

P ∈S

Soit après simplification D =

∫y z

1 1

P ∈S

dm +

∫ bc dm

P ∈S

d’où : D = D G + m bc

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(15)

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De la même manière, on retrouve : E = E G + mac

(15’)

F = FG + mab (15’’ )

En résumé et sous une forme matricielle, on a :

[I O (S)]( xr ,yr ,rz) = [I G (S)]( xr ,yr ,rz) + [I O (G)]( xr ,yr ,rz) avec

[I O (G)]( xr ,yr ,rz)

⎡b 2 + c 2 ⎢ = m ⎢ − ab ⎢ − ac ⎣

− ab a + c2 − ad 2

− ac ⎤ ⎥ − ad ⎥ a 2 + b 2 ⎥⎦

appelé tenseur d’inertie au r r r ( O ,x,y,z )

r r r point O du centre d’inertie G du solide (S) relativement dans la base ( x, y, z) affecté de la masse totale (m) du système. d’où : L’énoncé du théorème de Koenig pour le tenseur d’inertie Le tenseur d’inertie au point (O) d’un système matériel (ou solide) est égal au tenseur

d’inertie au centre d’inertie G de ce système augmenté du tenseur d’inertie au point O du centre d’inertie du système affecté de la masse totale. Ce théorème contient en particulier le théorème de HUYGHENS. Théorème de HUYGHENS r T1 : Le moment d’inertie d’un système matériel (ou solide) par rapport à la droite (O, n) r est égal au moment d’inertie par rapport à la droite (G, n) augmenté du moment d’inertie de r G affecté de la masse totale par rapport à la droite ( O, n) . (G est le centre d’inertie du

système). I(S / ∆ ( O ,nr ) ) = I(S / ∆ ( G ,nr ) ) + md 2

r où d2 représente le moment d’inertie de G par rapport à la droite (O, n) et est égale au r r carré de la distance entre les deux droite (O, n) et (G, n) . Ce théorème peut être généralisé pour les moments d’inertie en un point et les moment d’inertie par rapport au plan.

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I O (S) = I G (S) + md 2

avec d 2 = OG 2

I(S / π ( O ,nr ,rt ) ) = I(S / π ( G ,nr ,rt ) ) + md 2 avec d = dis tan ce entre π ( O ,nr ,rt ) et π ( G ,nr ,rt ) . T2 : Le produit d’inertie d’un système matériel (ou solide) par rapport à deux droites r r perpendiculaires (O, n) et (O, t ) est égal au produit d’inertie de ce système par rapport aux r r droites (G , n) et (G , t ) augmenté du produit d’inertie de G affecté de la masse totale par r r rapport aux droites (O, n) et (O, t ) .

Remarque De toutes les droites parallèles à une direction donnée, celle pour laquelle le moment

d’inertie d’un système matériel est minimal passe par le centre d’inertie G de ce système.

VII. Base principale d’inertie Nous avons montré au paragraphe IV que l’opérateur d’inertie est symétrique. Il possède donc un système de trois vecteurs propres orthogonaux deux à deux. Par conséquent, il existe toujours, en tout point de (S) au moins une base orthonormée directe appelée base principale d’inertie, dans laquelle la matrice d’inertie est diagonale (produits d’inerties nuls).

r r r Soit, par exemple ( e1 , e 2 , e 3 ) cette base principale d’inertie de l’opérateur d’inertie du solide (S) au point O. Dans cette base, la matrice d’inertie est de la forme : ⎡λ 1 [I O (S)] = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 λ2 0

0⎤ 0 ⎥⎥ λ 3 ⎥⎦ ( er ,er 1

r

2 ,e3 )

r r r Les axes (O, e1 ), (O, e 2 ) et (O, e 3 ) sont appelés axes principaux d’inertie du solide (S) au point O. Les moments d’inertie λ 1 , λ 2 et λ 3 sont appelés moments principaux d’inertie du solide (S) au point O. Ce sont les valeurs propres de la matrice d’inertie [I O (S)]( xr ,yr ,rz ) . = • les valeurs propres sont définies par : det ⎛⎜ [I O (S)]( xr ,yr ,rz ) − λ I ⎞⎟ = 0 . ⎝ ⎠ = r • les vecteurs propres sont définis par : ⎛⎜ [I O (S)]( xr ,yr ,rz ) − λ i I ⎞⎟ . e i = 0 . ⎝ ⎠

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r r r • si le centre O du repère principal R( O, e1 , e 2 , e 3 ) est confondu avec le centre d’inertie G, alors le repère est dit repère principal central d’inertie.

VIII. Influence de la symétrie matérielle du solide Il y a symétrie matérielle s’il y a, à la fois, une symétrie géométrique et une symétrie de la répartition de masse. Nous allons voir la forme du tenseur d’inertie dans le cas où le système présente un plan de symétrie ou un axe de symétrie matérielle.

VIII.1. Plan de symétrie matérielle Supposons que le système (S) possède un plan de r r symétrie matérielle, par exemple le plan (O, x, y)

z Plan de symétrie

P O

(Fig. VI-11).

y

A tout point P(x,y,z) de masse dm, on peut associer le point P’(x,y,-z) également de même masse

x

P’

Figure VI-11

dm. Par conséquent le produit d’inertie I xz est nul car

∫ xz dm pour z ≥ 0

est opposé à

P ∈S

∫ xz dm pour z ≤ 0 , De la même façon pour le produit d’inertie I

yz

.

P ∈S

I xz =

∫ xz dm = 0

P ∈S

I yz =

∫ yz dm = 0

P ∈S

⎡ I xx ⇒ [I O (S)] = ⎢⎢− I xy ⎢⎣ 0

− I xy I yy 0

0⎤ 0 ⎥⎥ I zz ⎥⎦ ( xr ,yr ,rz )

Ainsi, tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie.

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VIII.2.Axe de symétrie matérielle z

Supposons que le système (S) possède un axe de r symétrie matérielle, par exemple l’axe (O, z) (Fig. VI-12).

P’

axe de symétrie

P

A tout point P(x,y,z) de masse dm, on peut associer le

O

point P’(-x,-y,z) également de même masse dm.

y

x

Figure VI-12

Par conséquent le produit d’inertie I xz est nul car

∫ xz dm pour x ≥ 0

est opposé à

P ∈S

∫ xz dm pour x ≤ 0 , De la même façon pour le produit d’inertie I

yz

.

P ∈S

d’où le tenseur d’inertie est : I xz =

∫ xz dm = 0

⎡ I xx ⇒ [I O (S)] = ⎢⎢− I xy ⎢⎣ 0

P ∈S

I yz =

∫ yz dm = 0

P ∈S

− I xy I yy 0

0⎤ 0 ⎥⎥ I zz ⎥⎦ ( xr ,yr ,rz )

Ainsi, tout axe de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie.

VIII.3. Conséquences générales : Théorèmes Premier théorème Tout trièdre trirectangle, dont deux de ses plans sont plans de symétrie matérielle pour un

système est trièdre principal d’inertie de ce système. Deuxième théorème Tout trièdre trirectangle, dont deux de ses axes sont axes de symétrie matérielle pour un

système est trièdre principal d’inertie de ce système. Remarque : Le tenseur d’inertie d’un solide (S) est dit cylindrique si deux de ses moments d’inertie

principaux, par exemple λ 1 et λ 2 sont égaux. ⎡λ 1 [I O (S)] = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 λ1 0

0⎤ 0 ⎥⎥ λ 3 ⎦⎥ ( er ,er

Cours de Mécanique Générale

1

r

2 ,e3 )

133

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Chapitre VI Géométrie des Masses

Le tenseur d’inertie du solide (S) est dit sphérique si les trois moments d’inertie principaux sont égaux. ⎡λ 1 [I O (S)] = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 λ1 0

0⎤ 0 ⎥⎥ λ 1 ⎥⎦ ( er ,er ,er ) 1 2 3

IX. Exemples d’application Exemple 1 z

z

R R y dθ

dz

r

r

h

θ

x

α z y

y O x

Déterminer : 1. le centre d'inertie G d’un cône plein et homogène, 2. le tenseur d’inertie en la pointe et au centre d'inertie du cône, 3. le moment d’inertie par rapport à une génératrice du cône. Réponse :

→ 3 r 1. OG = h z 4 2 Forme du tenseur d’inertie [I O (S)]( xr ,yr ,rz ) :

r Le solide étant de révolution cylindrique autour de l’axe (O, z) .

d’où

⎡A 0 0 ⎤ [I O (S)] = ⎢⎢ 0 A 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 C⎥⎦ ( xr ,yr ,rz )

Calcul des moments d’inertie

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134

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Chapitre VI Géométrie des Masses

On a : I xx + I yy = 2A =

∫ (y

2

+ z 2 ) dm +

P ∈S

' soit : 2A = C + 2C

avec C =

∫ (x

2

+ z 2 ) dm

P ∈S

∫ (x

2

+ y 2 ) dm et C ' =

P ∈S

C=

2 2 ∫ ( x + y ) dm =

P ∈S

∫z

2

dm

P ∈S

2 2 ∫ r dm = ρ ∫ r dv avec dv = r dr dθ dz , V =

P ∈S

V

πR 2 h m et ρ = . V 3

⎛ Rh z ⎞ ⎜ 3 ⎟ 3 C = ρ ∫∫∫ r dr dθ dz = 2 πρ∫ ⎜ ∫ r dr⎟ dz ⎟ V 0⎜ 0 ⎝ ⎠ h

Soit C =

3 m R2 10

⎛ Rh z ⎞ ⎟ ⎜ C ' = ∫ z 2 dm = ρ ∫∫∫ z 2 r dr dθ dz = 2 πρ∫ z 2 ⎜ ∫ r dr ⎟ dz ⎟ ⎜0 P ∈S V 0 ⎠ ⎝ h

' Soit C =

3 mh 2 5

d’où : A =

(

C 3 + C' = m R2 + 4 h2 2 20

)

3. Moment d’inertie par rapport à une génératrice

Toutes les génératrices jouent le même rôle. On considère celle définie par le vecteur ⎛ 0 ⎞ ⎟ r⎜ unitaire n⎜ sin α ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ cos α⎠ ( xr ,yr ,rz )

I nn

⎡A 0 0 ⎤ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ r r = n.[I O (S)] n = (0 sin α cos α ) ⎢⎢ 0 A 0 ⎥⎥⎜ sin α ⎟ ⎢⎣ 0 0 C⎥⎦⎜⎝ cos α⎟⎠

Soit : I nn = A sin 2 α + C cos2 α Or : sin 2 α =

R2 h2 2 et cos α = R2 + h2 R 2 + h2

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135

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d’où I nn =

(

3 R2 R 2 + 6 h2 m 2 20 R + h 2

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)

136

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Chapitre VI Géométrie des Masses

Exemple 2

r r r r r r Soit R (O, x, y, z) un repère lié à un arbre (So) et R 1 (G , x 1 , y 1 , z1 ) un repère lié au volant d’inertie (S) cylindrique plein, homogène, de centre d’inertie G, de masse m, de rayon R et de hauteur h, tel que :

r • (G , z 1 ) est l’axe de révolution du volant (S) r r r ∧r • ( z, z 1 ) = α et y = y 1 r r • O et G sont dans le plan (O, z, x) Question : Déterminer le tenseur d’inertie du volant (S) au point O relativement dans la r r r base ( x, y, z) . x x1 l (S) So)

O’

z

O

α

G

e

R

z1

h

Solution

r r r Le tenseur d’inertie du volant au point G dans la base du repère R 1 (G , x 1 , y 1 , z 1 ) est de la forme : ⎡I 1 [I G (S)] = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 I1 0

0⎤ 0 ⎥⎥ avec I 3 ⎥⎦ ( xr ,yr ,rz )

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1

1

1

1 1 MR 2 + Mh 2 4 12 1 I 3 = MR 2 2 I1 =

137

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Chapitre VI Géométrie des Masses

r r Le plan (O, z, x) est un plan de symétrie matérielle pour le volant (S), d’où le tenseur r r r d’inertie du solide (S) au point O dans la base ( x, y, z) est de la forme :

[I O (S)]( xr ,yr ,rz)

⎡ A 0 − E⎤ = ⎢⎢ 0 B 0 ⎥⎥ ⎢⎣− E 0 C ⎥⎦ ( xr ,yr ,rz )

Pour calculer le tenseur d’inertie

[I O (S)]( xr ,yr ,rz) connaissant

le tenseur d’inertie

[I G (S)]( xr ,yr ,rz ) il faut faire : 1

1

1

1. un changement de base en appliquant les formules du produit doublement contracté, 2. un changement de point en appliquant le théorème de HUYGHENS. 1 Changement de base : Calculons le tenseur d’inertie du volant (S) en son centre d’inertie G relativement dans la

⎡ A ' 0 − E '⎤ r r r car le plan base ( x, y, z) . Ce tenseur est de la forme [I G (S)]( xr ,yr ,rz ) = ⎢⎢ 0 B' 0 ⎥⎥ ⎢⎣− E ' 0 C' ⎥⎦ ( xr ,yr ,rz ) r r (O, z, x) est un plan de symétrie matérielle pour le volant (S). En appliquant les formules du produit doublement contracté on aura : ⎛ cos α ⎞ ⎟ r r r ⎜ A ' = x .[I G (S)]( xr ,yr ,rz ) x avec x = ⎜ 0 ⎟ 1 1 1 ⎜ ⎟ ⎝ − sin α⎠ ( xr 1 ,yr 1 ,rz1 ) A ' = I 1 cos 2 α + I 3 sin 2 α

r B' = I 1 car (O, y) est un axe principal d’inertie, ⎛ sin α ⎞ ⎟ r r r ⎜ C' = z .[I G (S)]( xr ,yr ,rz ) z avec z = ⎜ 0 ⎟ 1 1 1 ⎜ ⎟ ⎝ cos α⎠ ( xr 1 ,yr 1 ,rz1 ) C' = I 1 sin 2 α + I 3 cos 2 α r r E ' = − x .[I G (S)]( xr ,yr ,rz ) z 1

1

1

E ' = (I 3 − I 1 ) sin α cos α

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138

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Chapitre VI Géométrie des Masses

2 Changement de point en appliquant le théorème de HUYGHENS On a :

[I O (S)]( xr ,yr ,rz) = [I G (S)]( xr ,yr ,rz) + [I O (G )]( xr ,yr ,rz) r r r Cherchons les coordonnées du point G dans le repère R (O, x, y, z) . → → → r r r r OG = OO'+ O' G = L z − e x 1 = − e cos α x + (l − e sin α ) z D’où : A = A ' + m(l − e sin α ) 2 B = B' + m[e 2 cos 2 α + (l − e sin α ) 2 ] C = C' + m(e 2 cos 2 α ) E = E' + m( − e cos α )(l − e sin α ) r r r Le tenseur d’inertie au point O du volant (S) dans la base ( x, y, z) est ainsi déterminé.

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139

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Chapitre VI Géométrie des Masses

Tableau VI-1 : Quelques exemples couramment rencontrés. Corps homogène de masse M Centre d’inertie (ou de masse)

Moments et produits d’inertie

L x z

O

I1 = I 2 =

R

Centre y

1 1 MR 2 + ML2 2 12

I 3 = MR 2

Cylindre creux (épaisseur négligeable) L x z

O

I1 = I 2 =

R

Centre y

Cylindre plein b

c

y

x

Centre

a

Parallélépipède rectangle

z y

R x

1 MR 2 2

1 M( b 2 + c 2 ) 12 1 I2 = M(a 2 + c 2 ) 12 1 I3 = M(a 2 + b 2 ) 12 I1 =

z O

I3 =

1 1 MR 2 + ML2 4 12

I1 = I 2 = I 3 =

2 MR 2 3

I1 = I 2 = I 3 =

2 MR 2 5

Centre

O

Sphère creuse (épaisseur négligeable) z

Centre

y

R O x

Sphère pleine R

h

2h zG = 3

z

I1 = I 2 = I3 =

1 1 MR 2 + Mh 2 4 2

1 MR 2 2

O x

y

Cône creux (épaisseur négligeable)

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140

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Chapitre VI Géométrie des Masses

Corps homogène de masse M

Centre d’inertie (ou de masse)

Moments et produits d’inertie

R O

x

zG =

y

R 2

I1 = I 2 = I 3 =

2 MR 2 3

z

Demie - sphère creuse (épaisseur négligeable) y

2R xG = yG = π R O

I xx = I yy = I zz = MR 2 I xy =

x

1 MR 2 2

z

MR 2 4

Quart de cercle matériel (épaisseur négligeable) y

4a 3π 4b yG = 3π xG =

b a O

x

z

Quart de plaque elliptique (épaisseur négligeable) y

R α

O

xG =

x

2 sin α R α 3

z

Secteur circulaire (épaisseur négligeable) z

R 2 5r 2 + ) 2 4 3r2 ) I 3 = M( R 2 + 2 I 1 = I 2 = M(

y

x

r

Mb 2 4 Ma 2 I yy = 4 M 2 I zz = (a + b 2 ) 4 Mab I xy = 2π 2 sin 2α MR (1 − ) I1 = 4 2α sin 2α MR 2 (1 + ) I2 = 4 2α MR 2 I 3 = I1 + I 2 = 2 I xx =

Centre

O R

Tore creux (épaisseur négligeable)

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141

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Chapitre VI Géométrie des Masses

X.

Exercices d’application

Exercices N°1 Déterminer le centre d’inertie d’un cône de révolution de

r z

hauteur h, de rayon de cercle de base R dans les deux cas suivant : R

1. Le cône est supposé creux et d’épaisseur négligeable sans

h

la base. r y

2. Le cône est plein.

O

r x

Dans les deux cas le cône est homogène. Exercices N°2 Déterminer le centre d’inertie d’une plaque homogène,

d’épaisseur négligeable, ayant la forme d’un quart de cercle de rayon R.

R

O

Exercices N°3 Déterminer le centre d’inertie d’une demie - sphère de rayon R

R dans les deux cas suivant : O

1. La demie - sphère est creuse et d’épaisseur négligeable (sans la base) 2. La demie - sphère est pleine Dans les deux cas la sphère est homogène Exercices N°4 Déterminer le centre d’inertie d’une plaque

homogène, d’épaisseur négligeable, ayant la forme indiquée sur la figure ci-contre.

R

R

On donne OA = AB = R O

Cours de Mécanique Générale

142

A

B

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Chapitre VI Géométrie des Masses

Exercices N°5 r r r r r Dans le plan (O, y, z) d'un repère orthonormé direct R (O, x, y, z) , on considère de la

plaque homogène (S1) de forme trapézoïdale et d'épaisseur négligeable. Les dimensions de (S1) sont indiquées sur la figure 1. r r r 1. Déterminer, dans le repère R (O, x, y, z) , le centre d'inertie G1 de la plaque (S1).

2. En déduire le volume du tronc de cône (S2) engendré par la rotation de la plaque (S1) r autour de l'axe (O, z) (figure 2). 3. Le tronc de cône (S2) est homogène de masse m2. Déterminer sa matrice d'inertie au r r r point O relativement dans la base ( x, y, z) : [I O (S 2 )]( xr ,yr ,rz ) . 4. On considère le cylindre plein (S3), homogène, de masse m3, de rayon de base R1 et de longueur L (figure 3). Déterminer sa matrice d'inertie en centre d'inertie G3 r r r relativement dans la base ( x, y, z) : I G 3 (S 3 ) r r r

[

]

( x ,y ,z )

r r r 5. En déduire la matrice d'inertie de (S3) au point O relativement dans la base ( x, y, z) :

[I O (S 3 )]( xr ,yr ,rz) 6. Le tronc de cône (S2) et le cylindre (S3) sont maintenant unis et constituent le même solide homogène (S) de masse m (figure 4). Déterminer la matrice d'inertie du solide r r r (S) au point O dans la base ( x, y, z) : [I O (S)]( xr ,yr ,rz )

r z

r z

R2

r z

R2

S2

S1

r y O r x

G

r y

H

R2

S3 L

H

r z

R1

r y

H r y

O r x

O

r x

R1

L

R1

r x

R1

Figure 1

Cours de Mécanique Générale

Figure 2

Figure 3

143

Figure 4

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Chapitre VI Géométrie des Masses

Exercices N°6 Une sphère (S) de centre O et de rayon a est

r z0

r z

S1

θ

constituée de deux demi-sphères pleines (S1) et (S2) de masses volumiques ρ1 et ρ2 constantes (figure 1).

G

1. Quelle relation doit-il exister entre ρ1 et ρ2 pour que le centre d’inertie G de (S) vérifie → → a OG 1 OG = → 5 OG 1

S2

O

r y

r x

Figure 1

2. Etudier la symétrie de ce solide et montrer que dans des axes convenables, sa matrice ⎡A 0 0 ⎤ d’inertie s’écrit sous la forme : [I O (S)] = ⎢⎢ 0 A 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 C⎥⎦ 3. Calculer la matrice d’inertie en G de (S) : [I G (S)]

Exercices N°7 Déterminer la matrice d'inertie d'un double panneau

r z

solaire, de masse M, en son centre O. [I O (S)] .

r y

O

Les caractéristiques géométriques de ce solide sont b données sur la figure 2. Remarque : L'épaisseur des plaques ainsi que la masse de la tige reliant les deux plaques sont négligeable.

c

a r x Figure 2

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144

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Chapitre VII Cinétique

CHAPITRE VII CINETIQUE

CHAPITRE VII : CINETIQUE

I.

Torseur cinétique ou torseur des quantités de mouvement Soit un système matériel (Σ) de masse m, de centre d’inertie G, en mouvement par

rapport à un repère R.

I.1.

Définition

Le torseur cinétique du système matériel (Σ) dans son mouvement par rapport au repère R en un point A quelconque est donné par : r ⎧ V( P / R ) dm ⎫ ∫ ⎪⎪ P∈Σ ⎪⎪ ⎧ ⎫ C ( Σ / R) = ⎨ r (1) ⎬ =⎨ → r ⎬ ⎩σ A ( Σ / R ) ⎭ A ⎪ ∫ AP ∧ V( P / R ) dm⎪ ⎪⎩P∈Σ ⎪⎭ A r La résultante générale Q du torseur cinétique est appelée résultante cinétique ou la r quantité de mouvement. Le moment résultant σ A ( Σ / R ) est appelé moment cinétique du

{

}

r Q

mouvement du système matériel (Σ) par rapport au repère R au point A. Ce moment obéie à la relation fondamentale d’un champ de moment d’un torseur, c’est→ r r r à-dire, en un autre point B, on a σ B ( Σ / R ) = σ A ( Σ / R ) + BA ∧ ∫ V( P / R ) dm . P ∈Σ

Cours de Mécanique Générale

145

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Chapitre VII Cinétique

I.2.

Calcul de la résultante cinétique

Nous avons défini, dans le chapitre géométrie des masses, le centre d’inertie d’un → → système matériel par m OG = ∫ OP dm . P ∈Σ

Dérivons chaque terme de cette formule par rapport au temps, en tenant compte du principe de conservation de masse, on aura : ⎡d → ⎤ ⎡d →⎤ m⎢ OG ⎥ = ⎢ ∫ OP dm⎥ = ⎣ dt ⎦ R ⎣ dt P∈Σ ⎦R r mV(G / R ) =

⎡d →⎤ ∫ ⎢ dt OP⎥⎦ R dm P ∈Σ ⎣

r V ∫ ( P / R) dm

(2)

P ∈Σ

Donc :

La quantité du mouvement d’un système matériel (Σ) en mouvement par rapport à un repère R est égale à la quantité du mouvement du centre d’inertie affectée de la masse totale du système matériel (Σ). r ⎧ ⎫ mV(G / R ) ⎪ → r ⎪ Le torseur cinétique s’écrit alors : C ( Σ / R ) = ⎨ AP ∧ V( P / R ) dm⎬ ⎪⎩P∫∈Σ ⎪⎭ A

{

I.3.

}

(3)

Calcul du moment cinétique

I.3.1. Théorème de Koënig Soit un système matériel (Σ) de masse m, de centre d’inertie G, en mouvement par r r r r r r rapport à un repère R (O, x, y, z) . On considère le deuxième repère R G (G , x, y, z) d’origine le

centre d’inertie G du système matériel (Σ) et en translation par rapport au repère R. Ce repère RG est dit repère de Koënig et le mouvement du système par rapport à ce repère est dit

mouvement du système autour du centre d’inertie.

Cours de Mécanique Générale

146

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Chapitre VII Cinétique

Nous cherchons à relier le moment

z

z

cinétique du système dans son mouvement par rapport à R, au moment cinétique dans le

(Σ)

mouvement autour du centre d’inertie. P*

D’après la loi de composition des

y

G

O

y

vitesses, on a : x

x

Figure VII-1 r r r V( P / R ) = V( P / R G ) + V( P ∈ R G / R )

r r Or V( P ∈ R G / R ) = V(G / R ) (car RG est en translation par rapport à R). r r r d’où : V( P / R ) = V( P / R G ) + V(G / R )

⇒

→ r AP ∫ ∧ V( P / R) dm =

P ∈Σ

→ r AP ∫ ∧ V( P / R G ) dm +

P ∈Σ

→ r AP ∫ ∧ V(G / R) dm

P ∈Σ

→ r r r ⇒ σ A ( Σ / R ) = σ A ( Σ / R G ) + AG ∧ mV(G / R ) → r r r Or σ A ( Σ / R G ) = σ G ( Σ / R G ) + AG ∧ mV(G / R G ) (car G est l’origine du repère RG) 144 42r444 3 =0 r r ⇒ σ A (Σ / R G ) = σ G (Σ / R G )

r

r

→

r

d’où : σ A ( Σ / R ) = σ G ( Σ / R G ) + AG ∧ mV( G / R )

(4)

D’où le théorème de Koënig pour le moment cinétique :

Le moment cinétique d’un système matériel (Σ) dans son mouvement par rapport à un r r r repère R (O, x, y, z) est égal au moment cinétique dans le mouvement autour du centre d’inertie augmenté du moment cinétique du centre d’inertie affecté de la masse totale. I.3.2. Moment cinétique d’un solide Le système matériel (Σ) est maintenant considéré un solide (S).

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147

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Chapitre VII Cinétique

I.3.2.1. Formule de Koënig

Exprimons le moment cinétique dans le mouvement autour du centre d’inertie (Repère r r r R G (G, x, y, z) ) dans le cas d’un solide. →

r σ G (S / R G ) =

r

∫ GP∧ V( P / R

G

) dm

P ∈S

Or, d’après la cinématique du solide, on a : → r → r r r r V( P / R G ) = V( P ∈ S / R G ) = V(G / R G ) + Ω(S / R G ) ∧ GP = Ω(S / R G ) ∧ GP 142r43 =0 →

r ⇒ σ G (S / R G ) =

⎡r

∫ GP∧ ⎢⎣Ω(S / R

P ∈S

Or

G

→⎤ ) ∧ GP ⎥ dm ⎦

→ ⎡r →⎤ r représente l’image du vecteur Ω( / ) Ω( S / R G ) calculée par GP S R GP dm ∧ ∧ G ∫ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P ∈S

l’opérateur d’inertie du solide (S) au point G. r

[

]

r

d’où : σ G (S / R G ) = I G (S) Ω(S / R G )

(5)

r r Comme Ω(S / R G ) = Ω(S / R ) et en tenant compte des équations (4) et (5), la formule

essentielle pour le calcul du moment cinétique d’un solide est : → r r r σ A (S / R ) = [I G (S)] . Ω(S / R ) + AG ∧ mV(G / R )

(6)

I.3.2.2. Moment cinétique d’un solide en un point A lié au solide

r r r Soit A un point lié au solide (S) en mouvement par rapport à un repère R(O, x, y, z) .

Par définition : r σ A (S / R ) =

→

r

∫ AP∧ V( P / R) dm

P ∈S

Or, d’après la cinématique du solide, on a : → r r r r V( P / R ) = V( P ∈ S / R ) = V(A ∈ S / R ) + Ω(S / R ) ∧ AP r ⇒ σ A (S / R ) =

→ ⎡r →⎤ r ∧ ∈ + ∧ AP V ( A S / R ) Ω ( S / R ) AP ∫ ⎢ ⎥ dm ⎣ ⎦ P ∈S

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Chapitre VII Cinétique

→ r r Soit σ A (S / R ) = ( ∫ AP dm) ∧ V(A ∈ S / R ) + P ∈S

r

[

]

→

r

→ ⎡r →⎤ AP ∧ Ω ( S / R ) ∧ AP ∫ ⎢⎣ ⎥⎦ dm P ∈S r

d’où : σ A (S / R ) = I A (S) . Ω(S / R ) + m AG ∧ V( A ∈ S / R )

(7)

r r Dans le cas où le point A est fixe par rapport au repère R ( V(A ∈ S / R ) = 0 ), le moment

cinétique de mouvement de (S) par rapport à R devient égal à : r r σ A (S / R ) = [I A (S)] Ω(S / R )

(8)

I.3.2.3. Moment cinétique d’un solide par rapport à l’axe instantané de rotation (axe de viration)

r Soit ∆ ( S/ R ) = (I, n) , l’axe instantané de rotation de mouvement du solide (S) par rapport au r r r repère R (O, x, y, z) .

Par définition, le moment cinétique par rapport à l’axe ∆ (S/ R ) est le moment du torseur cinétique par rapport à l’axe ∆ (S/ R ) . r r σ ∆ = σ I (S / R ) . n

r ( n vecteur unitaire)

⎛ → r ⎞r σ ∆ = ⎜ ∫ IP ∧ V( P / R ) dm⎟ n ⎝ P∈S ⎠ D’après la cinématique du solide : → r r r r V( P / R ) = V( P ∈ S / R ) = V(I ∈ S / R ) + Ω(S / R ) ∧ IP r r r I est un point de l’axe central. Donc V(I ∈ S / R ) = λ Ω(S / R ) = λ ω n

→ r r D’où : σ ∆ = λ ω ( ∫ IP ∧ n dm) . n + ω ( P ∈S

→ ⎡ r →⎤ r IP ∧ ⎢ n ∧ IP ⎥ dm) . n ⎣ ⎦ P ∈S

∫

→ r r r r soit σ ∆ = λ ω m (IG ∧ n) . n + ω n .[I I (S)] . n 14243 =0 r

[

]

r

d’où : σ ∆ = ω n . I I (S) . n = ω I nn

II.

(9)

Torseur dynamique ou des quantités d’accélération Soit un système matériel (Σ) de masse m, de centre d’inertie G, en mouvement par

rapport à un repère R.

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149

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Chapitre VII Cinétique

II.1. Définition Le torseur dynamique, du système matériel (Σ) dans son mouvement par rapport au repère R en un point A quelconque, est défini par : r ⎧ Γ ( P / R ) dm ⎫ r ⎪⎪ ⎪⎪ P∫∈Σ ⎧r a ⎫ D( Σ / R) = ⎨δ ( Σ / R)⎬ = ⎨ → r (10) ⎬ ⎩ A ⎭ A ⎪ ∫ AP ∧ Γ ( P / R ) dm⎪ ⎪⎭ A ⎪⎩P∈Σ r La résultante générale a du torseur dynamique est appelée résultante dynamique ou la r quantité d’accélération du système. Le moment résultant δ A ( Σ / R ) est appelé moment

{

}

dynamique du mouvement du système matériel (Σ) par rapport au repère R au point A. En un autre point B, le moment dynamique du torseur est : r r → r δ B ( Σ / R ) = δ A ( Σ / R ) + BA ∧ a

II.2. Calcul de la résultante dynamique D’après la définition : r a=

⎡d r ⎤ ⎢⎣ dt V( P / R ) ⎥⎦ dm = R P ∈Σ

∫

⎡d r ⎤ ⎡d r ⎤ ⎢ ∫ V( P / R ) dm⎥ = ⎢ mV(G / R ) ⎥ ⎦R ⎣ dt P∈Σ ⎦ R ⎣ dt

d’où : r r a = mΓ(G / R )

(11)

Donc :

La quantité d’accélération du système est égale à la quantité d’accélération du centre d’inertie affectée de la masse totale du système matériel (Σ). r ⎧ ⎫ mΓ ( G / R ) ⎪ ⎪ Le torseur dynamique s’écrit alors : D( Σ / R ) = ⎨ → r ⎬ ∧ AP Γ ( P / R ) dm ⎪⎩P∫∈Σ ⎪⎭ A

{

}

(12)

II.3. Relation entre moment dynamique et moment cinétique On cherche à relier le moment dynamique au moment cinétique. Pour cela, on dérive le moment cinétique par rapport au temps compte tenu de la définition du moment cinétique et du moment dynamique.

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150

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Chapitre VII Cinétique

⎡d → r ⎤ ⎡d r ⎤ ⎢⎣ dt σ A ( Σ / R ) ⎥⎦ = ⎢ dt ∫ AP ∧ V( P / R ) dm⎥ R ⎣ P∈Σ ⎦R =

⎡d → r ⎤ ∫P∈Σ ⎢⎣ dt (AP∧ V( P / R))⎥⎦ R dm

⎡ →⎤ → r r d AP ⎥ ∧ V( P / R ) dm + ∫ AP ∧ Γ ( P / R ) dm = ∫ ⎢ ⎢ dt ⎥ P ∈Σ P ∈Σ ⎣ ⎦R ⎡ →⎤ r r d AP ⎥ = V( P / R ) − V( A / R ) or ⎢ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦R D’où : r r r ⎡d r ⎤ ⎢⎣ dt σ A ( Σ / R ) ⎥⎦ = − V(A / R ) ∧ ∫ V( P / R ) dm + δ A ( Σ / R ) R P ∈Σ r

⎡d r

⎤

r

r

Soit : δ A ( Σ / R ) = ⎢ σ A ( Σ / R ) ⎥ + V( A / R ) ∧ mV(G / R ) ⎣ dt ⎦R

(12)

Remarques 1. Dans cette formule, le point A est un point géométrique. Par conséquent le vecteur r ⎡d →⎤ V(A / R ) est uniquement égal à ⎢ OA ⎥ ⎣ dt ⎦R

r ⎡d r ⎤ 2. Nous avons δ A ( Σ / R ) = ⎢ σ A ( Σ / R ) ⎥ dans les trois cas particuliers suivants : ⎣ dt ⎦R

• si A est fixe dans le repère R • si A est confondu avec le centre d’inertie r r • si V(A / R ) est colinéaire à V(G / R )

3. Le torseur dynamique est le torseur dérivé par rapport au temps du torseur cinétique

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151

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Chapitre VII Cinétique

III.

Energie cinétique III.1. Définition

r r r Soit un système matériel (Σ) en mouvement par rapport à un repère R (O, x, y, z) . Par

définition, l’énergie cinétique de ce système est le scalaire : E c ( Σ / R) =

r 2 1 V ( P / R) dm ∫ 2 P∈Σ

[

]

(13)

III.2. Calcul de l’énergie cinétique III.2.1.Théorème de Koënig r r r On considère, comme précédemment, le repère de Koënig R G (G, x, y, z) . La composition

des vitesses nous donne : r r r V( P / R ) = V( P / R G ) + V( P ∈ R G / R ) r r or V( P ∈ R G / R ) = V(G / R )

D’ou : E c ( Σ / R) =

r 2 1 1 r V( P / R G ) dm + m V(G / R ) ∫ 2 P∈Σ 2

r or Q( Σ / R G ) =

[

]

[

]

2

r + V( G / R ) .

r

∫ V( P / R G ) dm

P∈Σ

→ ⎤ ⎡d r V ( P / R ) dm = GP dm ⎥ = 0 (par définition du centre d’inertie) ⎢ G ∫ ∫ ⎥⎦ ⎢⎣ dt P∈Σ P∈Σ

⇒ E c ( Σ / R) = E c ( Σ / R G ) +

1 r m V( G / R ) 2

[

]

2

(14)

D’où le théorème de Koënig pour l’énergie cinétique : r r r L’énergie cinétique d’un système (Σ) dans son mouvement par rapport à R(O, x, y, z) est

égale à l’énergie cinétique dans le mouvement autour du centre d’inertie augmentée de l’énergie cinétique du centre d’inertie affecté de la masse totale. III.2.2.Energie cinétique d’un solide Le système est maintenant un solide (S) de masse m, de centre d’inertie G en mouvement r r r par rapport à un repère R (O, x, y, z) .

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152

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Chapitre VII Cinétique

III.2.2.1.Formule de Koënig

Exprimons l’énergie cinétique dans le mouvement autour du centre d’inertie. E c (S / R G ) =

r 2 1 V( P / R G ) dm ∫ 2 P∈S

[

]

→ r r or V( P / R G ) = Ω(S / R G ) ∧ GP E c (S / R G ) =

→ ⎤2 1 ⎡r Ω ( S / R ) ∧ GP G ⎥ dm 2 P∫∈S ⎢⎣ ⎦

or compte tenu du calcul fait en géométrie des masses (cf. IV.3.) I nn =

r

→

∫ ( n ∧ OP)

2

r r dm = n .[I O (S)] n

P∈S

E c (S / R G ) =

r 1r Ω(S / R G ) .[I G (S)] . Ω(S / R G ) 2

r r et comme Ω(S / R G ) = Ω(S / R ) , il en résulte la formule essentielle pour le calcul de

l’énergie cinétique d’un solide : E c (S / R ) =

r 1r 1 r Ω(S / R) .[I G (S)] . Ω(S / R ) + m V(G / R ) 2 2

[

]

2

(15)

III.2.2.2. Cas d’un solide en mouvement quelconque

Soit A un point lié au solide (S). Par définition, l’énergie cinétique du solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R est : E c (S / R ) =

r 2 1 V ( P / R ) dm ∫ 2 P∈S

[

]

Or, d’après la cinématique du solide, on a : → r r r r V( P / R ) = V( P ∈ S / R ) = V(A ∈ S / R ) + Ω(S / R ) ∧ AP ⇒ E c (S / R ) =

→⎤ r r 1 ⎡r V ( A ∈ S / R ) + Ω ( S / R ) ∧ AP ⎥ . V( P / R ) dm 2 P∫∈S ⎢⎣ ⎦

Soit :

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153

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Chapitre VII Cinétique

2E c (S / R ) =

r r V ( A ∈ S / R ) . V ( P / R ) dm + ∫

P∈S

r 2E c (S / R ) = V(A ∈ S / R ) .

r

→⎤ r ⎡r Ω ( S / R ) ∧ AP ∫⎢ ⎥ . V( P / R ) dm ⎦ P∈S ⎣

→

r

r

∫ V( P / R) dm + Ω(S / R) . ∫ AP∧ V( P / R) dm

P∈S

P∈S

Cette quantité est égale au comoment des deux torseurs cinétique et cinématique, exprimés au point A, du mouvement du solide (S) par rapport au repère R. D’où : 2E c (S / R ) =

{C (S / R)}.{ V (S / R)}

(16)

Ce qui correspond à : r r r r 2E c (S / R ) = mV(G / R) . V(A ∈ S / R ) + Ω(S / R) . σ A (S / R )

(17)

Cas particuliers r r r r r • Cas où le point A est fixe dans le repère R (O, x, y, z) { V(A ∈ S / R ) = 0 } : r r 2E c (S / R ) = Ω(S / R) . σ A (S / R ) r r En remplaçant σ A (S / R ) = [I A (S)] . Ω(S / R ) (équation 8)

E c (S / R ) =

r 1r Ω(S / R) .[I A (S)] . Ω(S / R) 2

(18)

• Cas ou le point A est confondu avec le centre d’inertie G r r 2 r 2 E c (S / R ) = m V(G / R ) + Ω(S / R ) . σ G (S / R )

[

]

r r En remplaçant σ G (S / R) = [I G (S)] Ω(S / R ) (équation 6) r r r 2 2 E c (S / R ) = m V(G / R ) + Ω(S / R) .[I G (S)] . Ω(S / R)

[

]

(19)

On retrouve l’expression de l’énergie cinétique vue dans le cas du mouvement du solide autour de son centre d’inertie (formule de Koënig pour le cas d’un solide). Sauf qu’ici, le solide peut avoir une rotation quelconque.

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Chapitre VII Cinétique

IV.

Exemples d’application IV.1. Exemple 1 : Pendule simple On considère un pendule simple constitué d’une

v

(S0)

tige rectiligne (S) de longueur l, d’épaisseur négligeable, homogène de masse m et de centre d’inertie G. r r r Soit R(O, x, y, z) un repère lié au bâti (S0). La tige r (S) a une liaison pivot d’axe (O, z) avec (S0).

O y

r r r Soit R 1 (O, u, v, z) un repère lié à la tige (S) tel que :

θ (S)

→ lr r r OG = u et ( x, u) = θ . 2 Questions

u

x Figure VII-2

1. Déterminer le torseur cinétique, au point O, de la tige (S) dans son mouvement par rapport au repère R. 2. Déterminer le torseur dynamique, au point O, de la tige (S) dans son mouvement par rapport au repère R. 3. Déterminer l’énergie cinétique de la tige (S) dans son mouvement par rapport au repère R.

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Chapitre VII Cinétique

IV.2. Exemple 2 : Cylindre - plan incliné On considère le cylindre de révolution (S)

x

roulant sans glisser sur un plan incliné (S0). On x

suppose qu’au cours du mouvement, l’axe de révolution du cylindre reste orthogonale à la

x1

θ

ligne de plus grande pente du plan, de façon à schématiser cette étude à un problème plan. r r r Soit R(O, x, y, z) un repère lié au plan (S0) r tel que l’axe (O, y) soit dirigé suivant la ligne

de plus grande pente.

O (S)

G I

y1

Le cylindre est supposé homogène, plein,

(S0) y

de masse m et de centre d’inertie G a pour axe r de révolution (G , z) .

Figure VII-3

Questions 1. Déterminer le torseur cinétique, au point G et au point I, du cylindre (S) dans son

mouvement par rapport au repère R. 2. Déterminer le torseur dynamique, au point G et au point I, du cylindre (S) dans son mouvement par rapport au repère R. 3. Déterminer l’énergie cinétique du cylindre (S) dans son mouvement par rapport au repère R.

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Chapitre VII Cinétique

IV.3. Exemple 3 : Mouvement d’une toupie On considère une toupie (S) d’axe de r symétrie matérielle (O, z1 ) dont la pointe r r O reste immobile sur un plan π(O, x, y) .

z z1

θ

r r r Soit R (O, x, y, z) un repère lié au r plan (p), l’axe (O, z) étant dirigé suivant

y1

G (S)

la verticale ascendante.

O

r r r Soit R 1 (O, x 1 , y 1 , z 1 ) un repère lié au

à (S). La matrice d’inertie de (S) au point

π

ψ

y ϕ

x1

x u

O relativement à la base de ce repère est : Figure VII-4

⎡A 0 0 ⎤ [I O (S)] = ⎢⎢ 0 A 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 C⎥⎦ ( xr ,yr ,rz ) 1

1

1

La position de la base du repère R1 par rapport à la base du repère R est définie par les trois angles d’Euler ( ψ , θ, ϕ) . Questions 1. Déterminer le torseur cinétique, au point O, de (S) dans son mouvement par rapport

au repère R. 2. Déterminer le torseur dynamique, au point O, de (S) dans son mouvement par rapport au repère R. 3. Déterminer l’énergie cinétique de (S) dans son mouvement par rapport au repère R.

IV.4. Exemple 3 : Mécanisme de suspension Soit le mécanisme d’une suspension schématisé par la figure VII-4. r r r On se propose de déterminer dans le mouvement par rapport au repère R(O, x, y, z) :

1. les torseurs dynamiques :

• de S3 en O3 • de S3+S2 en O1

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Chapitre VII Cinétique

• de la suspension en O1 2. l’énergie cinétique de la suspension sachant due l’inertie de S2 est négligeable. Ψ

z0=z1

z2

S1 O1 S2

S3

O2

ϕ

R

L

O3 x2 x

I O S0 ’ S0 Figure VII-4

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Chapitre VIII Dynamique

CHAPITRE VIII DYNAMIQUE

I.

Principe Fondamental de la Dynamique "P.F.D" I.1.

Enoncé du P.F.D. dans un référentiel galiléen

Dans un référentiel galiléen Rg il y a chaque instant, une équipollence entre le torseur dynamique d'un système matériel (Σ) calculé en un point A quelconque de l’espace (fixe ou mobile) dans Rg et le torseur équivalent associé aux actions mécaniques extérieures agissantes sur ce système :

{D(Σ / R )} = {T (Σ → Σ)} g

A

A

Tout référentiel qui est dynamiquement équivalent à Rg, est un référentiel galiléen, où par conséquent, le P.F.D. est vérifié. Ainsi est défini une classe de référentiel galiléens. r r R1 est dynamiquement équivalent à Rg ⇔ ∀P ∈ Σ, Γ( P / R g ) = Γ( P / R1 )

R1 est alors en translation uniforme par rapport à Rg. r r r r r On rappelle : Γ( P / R g ) = Γ( P / R1 ) + Γ( P ∈ R1 / R g ) + 2Ω( R1 / R g ) ∧ V ( P / R1 )

avec : r → r →⎤ ⎡ dΩ( R1 / R g ) ⎤ r r ⎡r Γ( P ∈ R1 / R g ) =Γ(O1 / R g ) + ⎢ ⎥ ∧ O1 P +Ω( R1 / R g ) ∧ ⎢Ω( R1 / R g ) ∧ O1 P ⎥ dt ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ Rg

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Chapitre VIII Dynamique

I.2.

Cas d'un solide

Explicitons l’égualité fournie par le P.F.D. dans le cas d'un solide (S) de masse M et de centre d'inertie G.

{

r r Γ (G / R g ) ⎪⎫ ⎧ F ⎫ ⎪⎧M D( Σ / R g ) = ⎨ r ⎬ et {T ( S → S)} = ⎨ r ⎬ ⎩m A ⎭ A ⎩⎪ δ A (S / R g ) ⎭⎪ A

{

r r ⎪⎧ rMΓ (G / R g ) = F (1) D(S / R g ) = {T ( S → S)} ⇔ ⎨ r ⎩⎪δ A (S / R g ) = m A (2)

}

}

Les deux équations vectorielles (1) et (2) constituent les théorèmes généraux. (1) est appelée théorème ou équation des résultantes, (2) est appelée théorème ou équation des moments. Elles nous donnent six équations scalaires dans l'espace R3 et uniquement trois équations pour un problème plan dans R2. Ces équations nous permettent dans la plupart des cas de trouver les actions dans les liaisons et d'écrire les équations des mouvements du solide.

I.3.

Equation de mouvement

La projection sur un axe d’une équation vectorielle traduisant l’un des théorèmes généraux appliqué à un sous système matériel (E) du système matériel (Σ) donne une équation différentielle du second ordre, non linéaire en général. Dans ces équations peuvent figurer :

• les paramètres géométriques de position q i ( t ) , leurs dérivées premières et secondes par rapport au temps et éventuellement la date t,

• les données du problème (données géométriques d’inertie, composantes connues d’action mécanique),

• les composantes inconnues d’action mécanique. I.3.1. Définition Une équation de mouvement est une équation différentielle de second ordre traduisant les

théorèmes généraux, dans laquelle ne figure aucune composante inconnue d’action mécanique).

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160

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Chapitre VIII Dynamique

Remarques • Une équation de mouvement peut être obtenue en éliminant, entre plusieurs

équations scalaires les composantes inconnues d’action mécanique.

• L’ensemble des équations de mouvement que l’on peut écrire pour un sous système matériel (E) constitue un système d’équations différentielles dont il est souvent difficile de trouver la ou les solutions en fonction des conditions initiales données.

• Les conditions initiales du mouvement de (E) par rapport au repère galiléen Rg, à la date to, sont constituées par la donnée de n paramètres q i ( t o ) et leurs dérivées premières q 'i ( t o ) I.3.2. Intégrale première du mouvement Un intégrale première du mouvement est une équation du premier ordre obtenue par

[

]

intégration d’une équation de mouvement. Elle est de la forme f q i ( t ), q 'i ( t ), t = contante . Dans la pratique, il est très utile de mettre en évidence, avant tout calcul, des intégrales premières du mouvement.

I.4.

Exemples

I.4.1. Pendule pesante simple On considère un pendule simple constitué d’une

v

(S0)

tige rectiligne (S) de longueur l, d’épaisseur négligeable, homogène de masse m et de centre d’inertie G. r r r Soit R (O, x, y, z) un repère lié au bâti (S0). La tige r (S) a une liaison pivot d’axe (O, z) avec (S0).

O y

r r r Soit R 1 (O, u, v, z) un repère lié à la tige (S) tel que :

θ (S)

→ r r r OG = a u et ( x, u) = θ . r r r On suppose que le repère R (O, x, y, z) est galiléen

et que l’action du bâti (So) est équivalent à un glisseur r r ⎧ F⎫ {T (So → S)} = ⎨ r ⎬ où F est la résultante à déterminer. ⎩0⎭ O

x

u Figure VIII-1

Appliquons le P.F.D. au solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R

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Chapitre VIII Dynamique

{

r r r ⎧ mΓ (G / R ) = F + mg (1) D(S / R) = {T ( S → S)} ⇔ ⎨r r ⎩δ O (S / R ) = m O ( So → S) (2)

}

r r r ⎡ dV(G / R ) ⎤ ⎡ d (aθ& v) ⎤ && r & 2 r Or Γ (G / R ) = ⎢ = ⎥ ⎢ ⎥ = a (θ v − θ u) dt ⎣ ⎦ R ⎣ dt ⎦ R

r && sin θ) xr + ( −θ& 2 sin θ + θ && cos θ) yr Γ (G / R) = a −(θ& 2 cos θ + θ

[

]

r r r && sin θ) + g xr + a m( −θ& 2 sin θ + θ && cos θ) yr D’où F = m Γ(G / R ) − g x = − m a (θ& 2 cos θ + θ

[

]

[

[

]

]

⎛ − m a (θ& 2 cos θ + && θ sin θ) + g ⎞ ⎟ r ⎜ && cos θ) ⎟ F = ⎜ a m( −θ& 2 sin θ + θ ⎟ ⎜ 0 ⎠ ( xr ,yr ,rz ) ⎝ r r (2) en O : δ O (S / R o ) = mO ( S → S)

avec :

r r⎤ r ⎡d r ⎤ ⎡d δ O (S / R o ) = ⎢ σ O (S / R o )⎥ = ⎢ I zz θ& z⎥ = && θ I zz z ⎣ dt ⎦ R o ⎣ dt ⎦ Ro

→ r r r m O ( S → S) = OG ∧ mg x = − amg sin θ z θI zz + amg sin θ = 0 Par conséquent, l’équation de mouvement de S/Rg est : && I.4.2. Étude du mouvement d’un disque dans une couronne r Un disque homogène(S) de centre G, de masse v

m, de rayon r et d’épaisseur négligeable, roule sans glisser en I sur une couronne (So) circulaire de rayon R. La couronne est supposée fixe dans un r r r repère R (O, x, y, z) .

r j

O

β

S0 G

r r r Soit R 1 (G , i , j, z) le repère lié au disque (S)

I

(fig. VIII-2) tel que :

θ

→ r r OG = ( R − r ) u ; Le vecteur u est unitaire.

r x

r r r r On pose β = ( x, u) et θ = ( x, i )

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r y

S

r u r i

Figure VIII-2

162

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Chapitre VIII Dynamique

r r r On suppose que le repère R (O, x, y, z) est galiléen et que l’action du bâti (So) est r r ⎧ F⎫ équivalent à un glisseur {T (S o → S)} = ⎨ r ⎬ où F est la résultante à déterminer. ⎩0⎭ I Questions : 1. Déterminer le torseur cinématique du mouvement de S/R au point G.

2. Déterminer le torseur cinétique du mouvement de S/R au point G. En déduire l’expression de l’énergie cinétique du mouvement de S/R. 3. Déterminer le torseur dynamique de S/R au point G. r 4. Trouver la résultante F et l’équation du mouvement de S/R.

Réponses Torseur cinématique du mouvement de S/R au point G

{

r ⎧ Ω(S / R ) ⎫ V (S / R) = ⎨ r ⎬ avec : ⎩ V( G / R ) ⎭ G

}

r r r r r ⎡ d(R − r) u ⎤ & Ω(S / R ) = θ z et V(G / R ) = ⎢ = ( R − r ) β& v ⎥ dt ⎣ ⎦R D’où

{

r ⎧ ⎫ θ& z V (S / R) = ⎨ r⎬ & ⎩( R − r ) β v⎭ G

}

Torseur cinétique du mouvement de S/R au point G. r r ⎧mV(G / R ) ⎫ r r mr 2 & r & C (S / R) = ⎨ r θz ⎬ avec σ G (S / R ) = [I G (S)] Ω(S. R ) = I zz θ z = 2 ⎩ σ G (S / R ) ⎭ G

{

}

r ⎧m( R − r ) β& v ⎫ ⎪ ⎪ D’où C (S / R ) = ⎨ mr 2 r ⎬ &θ z ⎪⎩ ⎪⎭ 2 G

{

}

L’expression de l’énergie cinétique du mouvement de S/R est : r r ⎧m( R − r ) β& v ⎫ ⎧ ⎫ θ& z mr 2 & 2 ⎪ ⎪ 2 2 E C (S / R ) = ⎨ ⊗ = θ + m( R − r ) 2 β& 2 mr ⎬ ⎨ r ⎬ r &v &z 2 θ R − r ( ) β ⎩ ⎭ G ⎪⎩ ⎪⎭ 2 G

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163

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Chapitre VIII Dynamique

⇒ E C (S / R ) =

mr 2 & 2 1 θ + m( R − r ) 2 β& 2 4 2

Torseur dynamique du mouvement de S/R au point G

{

&& vr − β& 2 ur ) ⎫ ⎧m( R − r ) (β ⎪ ⎪ D(S / R) = ⎨ mr 2 && r ⎬ θz ⎪⎩ ⎪⎭ 2 G

}

r Expression de la résultante F et l’équation de mouvement de S/R

Appliquons le P.F.D. au disque S dans son mouvement par rapport au repère R :

{D(S / R)} = {T ( S → S)} avec, au point de contact I, :

{T (S → S)} = {T (S I

{T (S → S)}

I

o

} + {T (gr → S)}

→ S)

I

r r ⎧F⎫ ⎧ mg x = ⎨r ⎬ + ⎨ r ⎩ 0 ⎭ I ⎩mg x ∧ r

I

r r ⎫ ⎧ F + mg x ⎫ r⎬ = ⎨ r⎬ u⎭ I ⎩rmg sin β z⎭ I

&& vr − β& 2 ur ) ⎫ ⎧ m( R − r ) (β ⎪ ⎪ et D(S / R ) = ⎨⎡ mr 2 && && ⎤ rz⎬ mr ( R r ) − − θ β ⎥ ⎪ ⎪⎢ 2 ⎦ ⎭I ⎩⎣

{

}

D’après le théorème de la résultante dynamique : r r && vr − β& 2 ur ) F + mg x = m( R − r ) (β

[

]

[

]

r r && vr ⇒ F = − m g cos β + ( R − r )β& 2 u + m g sin β + ( R − r )β

D’après le théorème du moment dynamique : 2 mr 2 && && = rmg sin β ⇒ r θ && − rg sin β = 0 && − r ( R − r )β θ − mr ( R − r )β 2 2

c’est l’équation de

mouvement de S/R En tenant compte de la condition de roulement sans glissement de S/So au point I, on a r r V( I ∈ S / R ) = 0 . → r r r Or V(I ∈ S / R ) = V(G / R ) + Ω(S / R ) ∧ GI

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Chapitre VIII Dynamique

r r r r r ⇒ V(I ∈ S / R ) = ( R − r ) β& v + θ& z ∧ r u = 0 ⇒ ( R − r ) β& + r θ& = 0 && + r θ && = 0 ⇒ (R − r) β Par conséquent, l’équation de mouvement de S/R en fonction du paramètre β et de sa 3 && + g sin β = 0 ( R − r )β 2

dérivée seconde est

II.

Théorème des actions mutuelles

r z

Ce théorème a été démontré dans le cas particulier de la statique. Nous le démontrons

(E1)

en dynamique.

(E2)

On considère un système matériel (Σ) en mouvement par rapport à un repère galiléen r r r R ( O, x , y , z ) .

r y

O r x

Et soient (E1) et (E2) deux sous-systèmes

Figure VIII-3

du système (Σ) (figure VIII-3). Appliquons le P.F.D. à (E1) dans son mouvement par rapport au repère R :

} {T ( E

{D( E

1

/ R) =

{T ( E

1

→ E1 ) =

⇒

1

}

→ E 1 ) avec

} {T ( Σ → E )} + {T ( E

{D( E

1

1

} {T ( Σ → E )} + {T ( E

/ R) =

1

}

→ E1 )

2

2

}

→ E1 )

(1)

Appliquons le P.F.D. à (E2) dons son mouvement par rapport au repère R :

} {T ( E

{D( E

2

/ R) =

{T ( E

2

→ E2 ) =

⇒

{D( E

2

}

→ E 2 ) avec

} {T (Σ → E )} + {T (E

2

2

1

} {T ( Σ → E )} + {T ( E

/ R) =

2

1

}

→ E2 )

}

→ E2 )

(1)

(1)+(2) donne :

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Chapitre VIII Dynamique

{D( E

1

} { D( E

/ R) +

2

} {T ( Σ → E )} + {T ( Σ → E )}

/ R) =

+ Or

{T ( E

1

} {D( E

/ R) +

2

1

{T ( E

2

2

} {T (E

→ E1 ) +

1

}

→ E2 )

} {D(Σ / R)} et

/ R) =

{T ( Σ → E )} + {T ( Σ → E )} = {T (Σ → Σ)} avec {D(Σ / R)} = {T (Σ → Σ)} 1

Par conséquent :

2

{T ( E

2

} {T ( E

→ E1 ) = −

1

}

→ E2 )

D’où le théorème : L’action mécanique du sous système matériel (E2) sur le sous système matériel (E1) est opposée à l’action mécanique de (E1) sur (E2). Remarque L’écriture du P.F.D. se ramène à celle du P.F.S. lorsque le torseur dynamique du sous

système matériel (E) du système (Σ) dans son mouvement par rapport au repère galiléen Rg est nul. Le torseur dynamique est nul, en particulier dans les trois cas suivants : • 1er cas : (E) est en équilibre par rapport à Rg ⇒ Le P.F.S. est un cas particulier du P.F.D. • 2ème cas : (E) est de masse nulle. • 3ème cas : (E) est un solide en mouvement de rotation uniforme autour d’un axe passant par son centre d’inertie G.

III. Expression du P.F.D. dans un repère non galiléen

r r r r r r On considère un repère galiléen R g (O, x, y, z) et un repère R 1 (O 1 , x 1 , y 1 , z1 ) mobile par

rapport au repère Rg. Soit (Σ) un système matériel en mouvement par rapport à Rg et R1. On cherche à définir le P.F.D. appliqué au système (Σ) dans son mouvement par rapport au repère R1. Le P.F.D. appliqué au système (Σ) dans son mouvement par rapport au repère Rg donne :

{D( Σ / R )} = {T ( Σ → Σ)} avec : g

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166

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Chapitre VIII Dynamique

{

r ⎧ Γ ( P / R g ) dm ⎫ ∫ ⎪⎪ ⎪ P∈Σ D( Σ / R g ) = ⎪⎨ → ⎬ ; A est un point quelconque de l’espace. r ⎪ ∫ AP ∧ Γ ( P / R g ) dm⎪ ⎪⎭ A ⎪⎩P∈Σ

}

Or pour faire apparaître le repère R1, on a : r r r r r Γ ( P / R g ) = Γ ( P / R 1 ) + Γ ( P ∈ R 1 / R g ) + 2 Ω( R 1 / R g ) ∧ V( P / R 1 )

Considérons les trois torseurs suivants :

•

{

r ⎧ Γ ( P / R 1 ) dm ⎫ ∫ ⎪⎪ ⎪ P∈Σ D( Σ / R 1 ) = ⎪⎨ → ⎬ appelé torseur dynamique de (Σ) dans son r ⎪ ∫ AP ∧ Γ ( P / R 1 ) dm⎪ ⎪⎭ A ⎪⎩P∈Σ

}

mouvement par rapport au repère R1. r ⎧ − Γ ( P ∈ R 1 / R g ) dm ⎫ ∫ ⎪⎪ ⎪⎪ P ∈Σ • D ( Σ, R 1 / R g ) = ⎨ → ⎬ r ie ⎪− ∫ AP ∧ Γ ( P ∈ R 1 / R g ) dm⎪ ⎪⎭ A ⎪⎩ P∈Σ

{

}

appelé torseur des effets

d’inertie d’entraînement de (Σ) par R1 dans son mouvement par rapport au repère Rg. •

{

r r ⎧ − 2Ω( R 1 / R g ) ∧ V( P / R 1 ) dm ⎫ ∫ ⎪⎪ ⎪ Dic ( Σ, R 1 / R g ) = ⎪⎨ →P∈Σ r ⎬ appelé torseur des r ⎪− ∫ AP ∧ 2Ω( R 1 / R g ) ∧ V( P / R 1 ) dm⎪ ⎪⎭ A ⎪⎩ P∈Σ

}

[

]

effets d’inertie de Coriolis de (Σ) dans son mouvement par rapport aux repères Rg et R1 Par suite, entre ces trois torseurs et le torseur dynamique de (Σ) dans son mouvement par rapport au repère Rg existe la relation :

{D( Σ / R )} = {D( Σ / R )} + {Die ( Σ, R 1

g

} {Dic (Σ, R

1

/ Rg ) +

1

/ Rg ) +

}

1

/ Rg )

1

/ Rg )

Par conséquent :

{D( Σ / R )} = {T ( Σ → Σ)} + {Die (Σ, R 1

Cours de Mécanique Générale

} {Dic (Σ, R

167

}

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Chapitre VIII Dynamique

III.1. Enoncé du P.F.D. dans un repère non galiléen Le P.F.D. s’applique relativement à tout repère, à condition d’ajouter au torseur d’action mécanique extérieures, le torseur des effets d’inertie d’entraînement et le torseur des effets d’inertie de Coriolis. Remarque : Si le repère R1 est en mouvement de translation uniforme par rapport au repère Rg alors il

est galiléen. En effet : r r r r r V( P ∈ R 1 / R ) = cte ⇒ Γ ( P ∈ R 1 / R ) = 0 avec Ω( R 1 / R g ) = 0

D’où

{D( Σ / R )} = {T (Σ → Σ)} 1

III.2. Application : Étude d’un gyroscope (D’après J. C. Bône et al. [1994]) Pour tester une série de petits gyroscopes entrant dans des appareils de repérage et de r r r navigation, on utilise un support (S1) {repère R 1 (O 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) } sur lequel est fixé le gyroscope à examiner. Le support (S1) pouvant lui même être monté sur différents plateaux, r r r fixes ou mobiles par rapport à un repère R 0 (O 0 , x 0 , y 0 , z 0 ) supposé galiléen et lié à un solide r (S0). L’axe (O 0 , z 0 ) est vertical ascendant. Dans une première schématisation grossière, on assimile le gyroscope à son rotor R, r r r r r solide de révolution d’axe (O 1 , z) . z est le troisième vecteur unitaire du repère R (O 1 , x, y, z) lié au rotor R (voir figure 1). Le rotor est en liaison rotule sans frottement de centre le point O1 avec le support (S1). Le paramétrage de l’orientation du rotor R par rapport au support (S1) est définie par les trois angles d’Euler (figure 2). → r Le rotor R est supposé homogène de masse m, de centre d’inertie G tel que O 1G = L z ⎡A 0 0 ⎤ (L est une constante positive). Sa matrice d’inertie est I O1 ( R ) = ⎢⎢ 0 A 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 C⎥⎦ ( − , − ,zr )

[

]

Nous voulons écrire les équations qui régissent de l’application du P.F.D. dans les trois cas suivants : (S1) est fixe dans le repère R0 (figure 3-a)

Cours de Mécanique Générale

168

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Chapitre VIII Dynamique

(S1) est en mode vibratoire par rapport à (S0) : C’est un mouvement de translation → r r alternée par rapport à (S0) d’axe (O 0 , z 0 ) (figure 3-b). On donne O 0 O 1 = h sin ωt z 0 ; h et ω sont des constantes positives. → r r (S1) est en liaison pivot d’axe (O 0 , z 0 ) avec (S0) (figure 3-c). On donne O 0 O 1 = a x 1 r r α = Ω t = angle ( x 0 , x 1 ) avec a, Ω et L des constantes positives. Questions 1. Ecrire le torseur des actions mécaniques extérieures exercées sur le rotor R

2. Etude du mouvement du Rotor R 2-1 Premier cas : (S1) est fixe dans le repère R0 (figure 3-a) r Déterminer Ω( R / R 1 ) En appliquant le P.F.D. , écrire les équations du mouvements du rotor R suivants les trois axes de rotations 2-2 Deuxième cas : (S1) est en mode vibratoire par rapport à (S0) (figure 3-b): En appliquant le P.F.D. , écrire l’équation du mouvements du rotor R suivants les l’axe r ( O 1 , u) r 2-3 Troisième cas : (S1) est en liaison pivot d’axe (O 0 , z 0 ) avec (S0) (figure 3-c). En appliquant le P.F.D. , écrire les équations du mouvements du rotor R suivants les trois axes de rotations

r z

G

r z

r x O1

r x1

r x Figure 1

Cours de Mécanique Générale

r y

θ

Rotor R lié au repère r r r R ( O 1 , x , y , z)

r y

O1

r z1

ϕ ψ

r y1 r u

Figure 2 : Paramétrage de l’orientation de la base du repère R par rapport à la base du repère R1

169

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Chapitre VIII Dynamique r z0

r z1

r z

r r z1 z

r z0

0

r y1

O1

O1

r x1

O0

r x

0

r y1 r y0

(S1)

r x1

r y

O0

r x

r z

r z1

r y

O0 0

0

O1

r x

0

r x1

(S1)

0

Figure 3-a

Figure 3-b

Figure 3-c

(S1) est fixe dans le repère R0

Mouvement vibratoire de (S1) par rapport à R0

Liaison pivot d’axe ( O 0 , z 0 ) de (S1) avec R0

r

IV. Equilibrage dynamique des solides tournant autour d’un axe (D’après P. Agati et al. 1996) L’équilibrage des systèmes tournants à une grande importance pratique. Nous connaissons tous, par expérience certaines des conséquences d’un mauvais équilibrage : par exemple la remontée dans le volant des vibrations d’une roue d’automobile. Un équilibrage défectueux peut nuire à la précision des machines (exemple machines-outils), rendre un système instable (exemple roues et volant d’inertie) et même engendrer des grands efforts qui peuvent détruirent les pièces (phénomène de fatigue) (exemple les paliers à roulements), etc.

IV.1. Schématisation adoptée

r y0

r y

On considère un solide (S) de masse m, de centre d’inertie G ayant une liaison pivot r d’axe (O, z 0 ) avec un bâti (S0). (fig. VIII-4)

r x

r r r Soit R 0 (O, x 0 , y 0 , z 0 ) un repère galiléen c

lié au bâti (S0). r r r Soit R (O, x, y, z 0 ) un repère lié à (S), r r choisi de manière que le plan (O, x, z 0 ) r r contienne le point G. On pose θ = ( x 0 , x) et → r r OG = a x + c z 0 .

O a

θ

r x0

G

r z0

Figure VIII-4

⎡ A −F −E ⎤ Soit [I O (S)] = ⎢ − F B − D⎥ la matrice d’inertie du solide (S) au point O dans la ⎢⎣− E − D C ⎦⎥ ( xr ,yr ,rz0 ) base du repère R. Cours de Mécanique Générale

170

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Chapitre VIII Dynamique

L’action mécanique (inconnue) exercée par (S0) sur (S) est représentée au point O par le r ⎪⎧X L ⎪⎫ torseur T (S 0 → S) = ⎧⎨ r R ⎫⎬ = ⎨Y M ⎬ ⎩m(O) ⎭ O O ⎩⎪ Z 0 ⎭⎪ ( xr ,yr ,rz )

{

}

0

Sur (S) s’exerce également l’action mécanique, supposée connue, d’un ensemble matériel r ⎧ R1 ⎫ (E) représentée au point O par le torseur : T ( E → S) = ⎨ r ⎬ = ⎩ m 1 ( O) ⎭ O

{

}

⎧⎪X 1 ⎨ Y1 ⎪Z O⎩ 1

L1 ⎫ ⎪ M1 ⎬ N 1 ⎪⎭ ( xr ,yr ,rz

0)

Le système matériel (E) peut être un ensemble constitué par exemple des solides en contact avec S, du champ de la pesanteur, système de transmission de S, etc.

IV.2. Détermination de l’action mécanique de (S0) sur (S) Le torseur d’action mécanique de (S0) sur (S) s’obtient en appliquant le P.F.D. à (S) dans son mouvement par rapport au repère R0 :

{D(S / R )} = {T ( S → S)} avec {T ( S → S)} = {T (S 0

r ⎧m Γ(G / R 0 ) = Soit : ⎨ r ⎩ δ O (S / R 0 ) =

0

} {T (E → S)}

→ S) +

r r R + R1 r r m(O) + m1 (O)

(1) et (2)

r r Calculons Γ(G / R 0 ) et δ O (S / R 0 ) r r r ⎡ dV(G / R 0 ) ⎤ ⎡ d (a θ& y) ⎤ && r &2 r Γ(G / R 0 ) = ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ = aθ y−a θ x dt ⎣ ⎦ R 0 ⎣ dt ⎦ R 0

(3)

r r ⎡ d σ O (S / R 0 ) ⎤ Le point O est fixe dans le repère R0. Alors δ O (S / R 0 ) = ⎢ ⎥ dt ⎦ RO ⎣ r r r r ⎡ d σ O (S / R 0 ) ⎤ δ O (S / R 0 ) = ⎢ + Ω( R / R 0 ) ∧ σ O (S / R 0 ) ⎥ dt ⎣ ⎦R ⎡ − E θ& ⎤ ⎡ A − F − E ⎤ ⎡0⎤ r = ⎢− D θ& ⎥ avec σ O (S / R 0 ) = ⎢ − F B − D⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ & − E − D C ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎥ ⎣θ⎦ ( xr ,yr ,rz0 ) ⎢ C θ& ⎥ r r r ⎣ ⎦ ( x ,y ,z0 )

Cours de Mécanique Générale

171

(4)

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Chapitre VIII Dynamique

⎡− E && θ + D θ& 2 ⎤ r Soit : δ O (S / R 0 ) = ⎢− D && θ − E θ& 2 ⎥ ⎥ ⎢ C && θ ⎥⎦ ( xr ,yr ,rz0 ) ⎢⎣

(5)

La projection des équations (1) et (2), suivant les trois axes du repère R1, donne : &2 r / xr ⎧⎪− m a θ = X + X 1 θ = Y + Y1 (1) ⇒ / yr ⎨ m a && /z0 ⎪ 0 = Z + Z1 ⎩

et

&& &2 r / xr ⎧⎪− E θ + D θ 2 = L + L1 (2) ⇒ / yr ⎨− D && θ − E θ& = M + M 1 /z0 ⎪ C && θ = N1 ⎩

Équations à partir desquelles on peut exprimer X, Y, Z, L et M.

IV.3. Condition d’équilibrage dynamique Pour éviter les vibrations, il faut rendre l’action mécanique dans la liaison entre (S) et (S0) aussi constante que possible. En particulier indépendante du mouvement de (S) par rapport à (S0); c’est à dire de θ& et && θ. D’après les équations précédentes, les conditions d’équilibrage dynamique sont donc : r • a = 0 : Le centre d’inertie G est sur l’axe de rotation (O, z 0 ) : C’est la condition d’équilibrage statique. r • D = 0 et E = 0 : l’axe de rotation (O, z 0 ) est principal d’inertie pour (S). Remarques : • Dans un équilibrage statique (a = 0), seule la résultante générale de l’action

mécanique de (S0) sur (S) est indépendante du mouvement de (S) par rapport à (S0). • Un solide équilibré dynamiquement est aussi équilibré statiquement. L’inverse n’est pas vrai.

IV.1. Réalisation pratique de l’équilibrage dynamique Nous remplaçons (S) par un solide (S’) constitué de (S) et de deux solides (S1) et (S2) assimilables à des points matériels tel que (S’) soit dynamiquement équilibré. Soit (mi) la masse du solide (Si)i = 1, 2 placé aux points Mi de coordonnées (xi, yi, zi) dans le repère R. Notons G’ le centre d’inertie de (S’), D’ et E’ les produits d’inertie de (S’) par rapports aux axes du repère R. (S’) est dynamiquement équilibré si :

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172

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Chapitre VIII Dynamique

r • G’ est sur l’axe de rotation (O, z 0 ) , • D’ = 0 et E’ = 0. Traduisons ces conditions : → → → → mOG + m1 OM 1 + m 2 OM 2 OG ' = m + m1 + m 2 r Si G’ est sur l’axe de rotation (O, z 0 ) , cette équation s’écrit en projetant : r / xr : ⎧m a + m1 x 1 + m 2 x 2 = 0 / y : ⎨⎩ m1 y 1 + m 2 y 2 = 0

(1) et (2)

Les produits d’inertie D’ et E’ ont pour valeurs : ⎧ D' = D + m1 y 1 z 1 + m 2 y 2 z 2 ⎨ E' = E + m x z + m x z 1 1 1 2 2 2 ⎩

Si D’ et E’ sont nuls, alors : ⎧D + m1 y 1 z 1 + m 2 y 2 z 2 = 0 ⎨E + m x z + m x z = 0 1 1 1 2 2 2 ⎩

(3) et (4)

Remarques: Si D est différent de zéro (cas le plus général), alors l’équilibrage ne peut se faire avec

une seule masse. En effet, si m2 = 0, l’équation (2) indique y1 = 0 et l’équation (3) montre que D doit être nul (ce qui est contradictoire avec l’hypothèse). Nous avons donc quatre équations avec huit inconnues (xi, yi, zi, mi)i=1,2 le problème admet une infinité de solutions. Il faut donc se fixer quatre conditions. Cas de l’équilibrage d’une roue de véhicule

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173

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Chapitre VIII Dynamique

Notons Hi la projection orthogonale du r point Mi sur l’axe (O, z 0 ) .

r y

M2 r2

→ r → On pose θ i = ( x, H i M i ) et ri = H i M i

θ2

H2 M1

Remplaçons les coordonnées cartésiennes

r1

(xi, yi, zi) du point Mi par les coordonnées

θ1 H1 z2

O

cylindriques (ri, θi, zi).

z1

Les quatre paramètres imposés sont (z1, z2, r1, r2) (généralement r1 = r2) et les quatre

r z0

inconnues sont (m1, m2, θ1, θ2,).

r x

Figure VIII-6

D’après les équations (1), (2), (3) et (4) ci-dessus, on a : (1)⇒ m 2 x 2 = m a - m1 x 1 (4)⇒ m1 x 1 (z 2 - z 1 ) = E - m a z 2

(5)

(2)⇒ m 2 y 2 = -m1 y 1 (3)⇒ m1 y 1 (z 2 - z 1 ) = D

(6)

(D ≠ 0 ⇒ z1 ≠ z2) En remplaçant x1 par r1cosθ1 dans l’équation (5) et y1 par r1sinθ1 dans l’équation (6), on à résoudre le système en m1 et θ1 suivant : m1 r1 cosθ 1 (z 2 - z 1 ) = E - m a z 2

m1 r1 sinθ1 (z 2 - z 1 ) = D D’où le résultat : tgθ 1 =

D E − m a z2

Connaissant θ1 nous pouvons calculer la masse m1. De même pour θ2 et m2, nous pouvons les déterminer à partir des équations (1) et (2).

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Chapitre IX Energétique

CHAPITRE IX ENERGETIQUE

CHAPITRE IX : ENERGETIQUE I.

Puissance I.1.

Puissance développée par une action mécanique extérieure à un ensemble matériel dans son mouvement par rapport à un repère. r z0

On considère deux systèmes matériels (Σ) et (E) distinct, en mouvement par rapport à un

Σ

E

repère R.

r f (M, t) M(dm)

Supposons que le système matériel (Σ) exerce

sur

(E)

une

action

r V( M / R )

mécanique

r y0

O

représentée par une densité de forces r massique f ( M , t ) (relativement à la mesure

r x0

de masse dm) en chaque point M de (E) à la date t. Figure IX-1 I.1.1. Définition

r La puissance développée à la date t par f ( M , t ) dans le mouvement de (E) par rapport à R est :

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Chapitre IX Energétique

P( Σ → E / R ) =

r r f ( M , t ) ⋅ V ( M / R) dm ∫

M ∈E

Remarques • On adopte la même définition lorsque le champ des forces est défini par une densité

linéique, surfacique ou volumique. • Dans le cas où l’action mécanique sur (E) est représentée par un force concentrée en un point A de (E), la puissance développée est : r r P( Σ → E / R ) = F(A , t ) ⋅ V(A / R ) I.1.2. Théorème Lorsque (E) représente un solide (S) et :

• Le mouvement de (S) par rapport à un repère R est donné par le torseur r ⎧ Ω(S / R ) ⎫ cinématique V (S / R ) = ⎨ r ⎬ A ⎩ V( A ∈ S / R ) ⎭ A

{

}

• (S) est soumis à un chargement dont le torseur équivalent des actions mécaniques r ⎧ ⎫ . F extérieures exercées par (Σ) est {T ( Σ → S)} A = ⎨ r ⎬ ⎩m(A ) ⎭ A Alors, la puissance développée par ce chargement dans le mouvement de S/R est égale au produit (Comoment) des deux torseurs P( Σ → S / R ) =

{ V (S / R)}

A

{ V (S / R)}

A

et {T ( Σ → S)} A .

⊗ {T ( Σ → S)} A

Démonstration du théorème Par définition, on a P( Σ → S / R ) =

r r f ∫ ( M, t ) ⋅ V( M / R) dm

M ∈S

→ r r r Or, d’après la cinématique de solide V( M ∈ S / R ) = V(A ∈ S / R ) + Ω(S / R ) ∧ AM (A est un point quelconque du solide S) Soit : P( Σ → S / R ) =

r

→⎞ r ⎛r f ( M , t ) ⋅ ⎜ Ω(S / R ) ∧ AM⎟ dm ⎠ ⎝ M ∈S

r

∫ f ( M, t ) ⋅ V(A ∈S / R) dm + ∫

M ∈S

r P ( Σ → S / R ) = V( A ∈ S / R ) ⋅

r r f ( M , t ) dm + Ω (S / R ) ⋅ ∫

M ∈S

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176

→ r AM ∫ ∧ f ( M, t ) dm

M ∈S

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Or

r

→ r

r

r

∫ f ( M, t ) dm = F et ∫ AM ∧ f ( M, t ) dm = m(A)

M ∈S

: Ce sont les éléments de réduction

M ∈S

au point A du torseur d’actions mécanique extérieures exercées par (Σ) sur (S) :

{T ( Σ → S)} A

r ⎧ ⎫ . F r =⎨ ⎬ ( ) m A ⎩ ⎭A

Finalement : r r r r r ⎧ Ω(S / R ) ⎫ r ⎧r F ⎫ P( Σ → S / R ) = V(A ∈ S / R ) ⋅ F + Ω(S / R ) ⋅ m(A ) = ⎨ r ⊗ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩V(A ∈ S / R ) ⎭ A ⎩m(A ) ⎭ A soit : P( Σ → S / R ) =

{ V (S / R)}

A

⊗ {T ( Σ → S)} A

Remarque : Comme pour l’énergie cinétique, la puissance développée par l’action mécanique de (Σ)

sur (S) dépend du repère par rapport auquel nous la calculons. Ainsi, cette puissance est nulle dans tout repère lié à (S). I.1.3. Conséquence On considère un solide (S) en mouvement par rapport à deux repères R et R1. (R1 est

mobile par rapport à R). On a : P( Σ → S / R ) =

{ V (S / R)}

P( Σ → S / R 1 ) =

A

⊗ {T ( Σ → S)} A et

{ V (S / R )} 1

A

⊗ {T ( Σ → S)} A

Par conséquent : P( Σ → S / R ) − P( Σ → S / R 1 ) =

[{ V (S / R)} − { V (S / R )} ] ⊗ {T (Σ → S)} 1

A

Soit : P( Σ → S / R) − P( Σ → S / R 1 ) =

{ V (R

1

}

/ R)

A

A

A

⊗ {T ( Σ → S)} A

Ce résultat reste aussi valable dans le cas d’un système mécanique (E) composé de n solide (Si)i=1..n en mouvement par rapport aux deux repères R et R1. P( Σ → E / R ) − P( Σ → E / R 1 ) =

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{ V (R

1

}

/ R)

A

177

⊗ {T ( Σ → E)} A

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I.1.4. Application (S)

x

(S2)

V

(S1)

A y

y

I

O

A

(S0) x

(S)

z

z

Figure IX-2 r r r r r r Soit R(O, x, y, z) un repère lié à la route (S0) de plan horizontal (O, y, z) . L’axe (O, x) est vertical ascendant. La roue motrice avant (S), d’épaisseur négligeable de centre « A » et de rayon « a », roule r sans glisser au point « I » sur l’axe (O, y) avec (S0). r La roue (S) a une liaison pivot sans frottement d’axe (O, z) avec le châssis (S1). L’arbre de transmission (S2) entraîne en rotation la roue (S) en ne lui transmettant qu’un r couple C z (liaison joint cardan par exemple). On considère les torseurs cinématiques suivants : •

{ V (S

1

}

/ S0 )

A

r = ⎧⎨ 0r ⎫⎬ et ⎩v y⎭ A

{ V (S / S )} 1

A

r ⎧ω z⎫ =⎨ r ⎬ ⎩ 0 ⎭A

On considère les torseurs des actions mécaniques suivants : r r ⎧N x r+ T y⎫ • {T (S 0 → S)} I = ⎨ ⎬ ; 0 ⎩ ⎭I r • {T (S 2 → S)} A = ⎧⎨ 0r ⎫⎬ ⎩C z⎭ A

{T (S1 → S)} A

r r r X x + Y y + Z z⎫ ⎧ r r =⎨ ⎬ ; ⎩ L x + M y ⎭A

Questions: Déterminer la puissance développée par l’action mécanique de :

1. (S2) sur (S) dans le mouvement de S/S1. 2. (S0) sur (S) dans le mouvement de S/S0. 3. (S0) sur (S) dans le mouvement de S/S1. 4. (S) sur (S1) dans le mouvement de S1/S0. Cours de Mécanique Générale

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5. (S) sur (S1) dans le mouvement de S1/S.

I.2.

Puissance développée par les actions mutuelles entre deux systèmes matériels

On considère deux systèmes matériels (Σ) et (E) distinct, en mouvement par rapport à un repère R. I.2.1. Définition La puissance développée à la date t par les actions mutuelles entre (Σ) et (E) dans leur

mouvement par rapport à R est :

P ( Σ ↔ E / R ) = P( Σ → E / R ) + P ( E → Σ / R ) I.2.2. Propriété La puissance développée à la date t par les actions mutuelles entre (Σ) et (E) est

indépendante du repère de mouvement R. En effet, on considère les deux repères R et R1. D’après ce qui précède, on a : P( Σ → E / R ) − P( Σ → E / R 1 ) =

{ V (R

1

/ R)

}

A

⊗ {T ( Σ → E)} A

(1)

P( E → Σ / R ) − P( E → Σ / R 1 ) =

{ V (R

1

/ R)

}

A

⊗ {T ( E → Σ )} A

(2)

(1)+(2) : P( Σ ↔ E / R ) − P( Σ ↔ E / R 1 ) = 0 Soit : P( Σ ↔ E / R) = P( Σ ↔ E / R 1 ) = P( Σ ↔ E)

I.3.

Liaison parfaite entre deux solides

I.3.1. Définition Deux solides (S1) et (S2) ont une liaison parfaite si, quelque soit le mouvement autorisé

par la liaison de (S2) par rapport à (S1), la puissance développée par les actions mutuelles entre (S1) et (S2) est nulle. P(S1 ↔ S 2 ) = 0 ; quelque soit les composantes non nulles du torseur cinématique

{ V (S

2

}

/ S1 ) .

I.3.2. Conséquence r r r On considère le repère local R (O, x, y, z) de la liaison entre deux solides (S1) et (S2).

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Chapitre IX Energétique

On a :

P(S1 ↔ S 2 ) = P(S1 → S 2 / R) + P(S 2 → S1 / R ) Si le repère R est lié à (S1) alors : P(S1 ↔ S 2 ) = P(S1 → S 2 / S1 ) =

{ V (S

2

}

/ S1 ) ⊗ {T (S1 → S 2 )}

Si le repère R est lié à (S2) alors : P(S1 ↔ S 2 ) = P(S 2 → S1 / S 2 ) =

{ V (S

1

}

/ S 2 ) ⊗ {T (S 2 → S1 )}

Par conséquent, pour une liaison parfaite entre deux solides (S1) et (S2), on a :

{ V (S

2

}

/ S1 ) ⊗ {T (S1 → S 2 )} = 0

Ce qui signifie que dans une liaison parfaite, les torseurs statiques et cinématiques de la liaison sont réciproques. Exemple de liaison parfaite • Liaison sans frottement (contact ponctuel, linéique ou surfacique).

• Liaison sans glissement (bille ou cylindre de révolution roulant sans glisser sur un plan). Les résistances au roulement et au pivotement étant également négligées.

II.

Énergie potentielle On considère deux systèmes matériels (Σ) et (E) distinct, en mouvement par rapport à un

repère R.

II.1. Énergie potentielle d’un système matériel associée à une action mécanique extérieure II.1.1. Définition Le système matériel (E) possède une énergie potentielle, associée à l’action mécanique de

(Σ) sur (E), dans le mouvement de (E) par rapport au repère R, s’il existe un fonction scalaire U( Σ → E / R ) telle que : P( Σ → E / R) = −

d U( Σ → E / R ) dt

U( Σ → E / R) est appelée énergie potentielle de (E), associée à l’action mécanique de (Σ) sur (E), dans le mouvement de (E) par rapport au repère R. Cours de Mécanique Générale

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Chapitre IX Energétique

Remarques • L’existence du signe moins (-) est nécessaire pour interpréter facilement les

résultats. • L’énergie potentielle est une fonction primitive de la puissance. Elle est donc définie à une constante près, que l’on choisit arbitrairement. • On dit que la puissance dérive d’une énergie potentielle (au signe près). • Un système matériel possède de l’énergie lorsqu’il a la capacité de développer une puissance (ou produire un travail). • L’énergie cinétique et l’énergie potentielle sont les deus formes de l’énergie mécanique. L’énergie cinétique correspond au mouvement des corps. L’énergie potentielle est l’énergie que possède un corps du fait, soit de sa position (exemple : marteau pilon, presse mécanique, etc.) soit de sa forme (ressort, etc.).

II.2. Énergie potentielle de deux systèmes matériels associée à une action mutuelle II.2.1. Définition Les deux systèmes matériels (Σ) et (E) possèdent une énergie potentielle, associée à une

action mutuelle, s’il existe une fonction scalaire U( Σ ↔ E) telle que : P( Σ ↔ E) = −

d U( Σ ↔ E ) dt

U( Σ ↔ E) est appelée énergie potentielle de (Σ) et (E), associée à l’action mutuelle considérée. Remarque • Comme pour la puissance, U( Σ ↔ E) est indépendante de tout repère.

III. Théorème de l’énergie cinétique III.1. Pour un solide Énoncé du théorème La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléen d’un solide est égale à la

puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à (S). Démonstration D’après le P.F.D. on a :

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Chapitre IX Energétique

{D(S / R )} = {T (S → S)} g

Multiplions chaque membre par

{ V (S / R )} g

{D(S / R )} ⊗ { V (S / R )} = {T ( S → S)} ⊗ { V (S / R )} = P( S → S / R g

g

g

g

)

C’est la puissance développée par l’action extérieure à (S) sur (S), dans son mouvement par rapport au repère galiléen Rg, et appelée puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à (S).

{

r r ⎧mr Γ (G / R ) ⎫ ⎧⎪ Ω(S / R g ) ⎫⎪ D(S / R g ) = {T ( S → S)} = ⎨ ⎬⊗⎨r ⎬ ⎩ δ G (S / R ) ⎭ ⎪⎩V(G / R g ) ⎪⎭

}

r r r r = mΓ (G / R g ) ⋅ V(G / R g ) + Ω(S / R g ) ⋅ δ G (S / R g ) r2 1 ⎡ d V (G / R g ) ⎤ = m⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ dt ⎥⎦

r2 1 ⎡ d V (G / R g ) ⎤ = m⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ dt ⎥⎦ =

=

Finalement :

d E C (S / R g ) dt

Rg

r r ⎡ d σ G (S / R g ) ⎤ + Ω(S / R g ) ⋅ ⎢ ⎥ dt ⎣ ⎦ Rg

Rg

r2 1 ⎡ d [I G (S)] Ω (S / R g ) ⎤ + ⋅⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ dt ⎥⎦

Rg

r2 d ⎡1 r 2 1 ⎤ mV G R I S ( / ) + ( ) Ω (S / R g ) ⎥ [ ] g G ⎢ dt ⎣ 2 2 ⎦ Rg d E C (S / R g ) dt = P( S → S / R g )

III.2. Pour un ensemble de solides Énoncé du théorème La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléen d’un système de solides

(E) est égale à la somme de la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à (E).et des puissances des actions mutuelles entre chaque solide de (E) (puissances des actions intérieures à (E)). Démonstration

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On considère un système mécanique (E) composé de n solides (Si)i=1..n en mouvement par rapport à un repère galiléen Rg. Pour un solide (Si) de (E) on a :

d E C (S i / R g ) dt

= P( Si → S i / R g )

n d n E C (S i / R g ) = ∑ P( Si → S i / R g ) ∑ dt i =1 i =1

Pour les n solides de (E) ensemble :

n d E (S / R ) d n C i g E C (S i / R g ) = ∑ représente la dérivée par rapport au temps de ∑ dt dt i =1 i =1

l’énergie cinétique galiléenne du système mécanique (E) et notée par n

∑ P( Si → S i / R g ) = i =1

d E C (E / R g ) dt

n

n

i =1; j=1 i< j

j=1

.

∑ P(S i ↔ S j ) + P( E → E / R g ) puisque Si = E + ∑ S j − S i .

D’où le théorème de l’énergie cinétique s’écrit pour un système de solides : d E C (E / R g ) dt

= P( E → E / R g ) +

n

∑ P(S

i

↔ Sj)

i =1; j=1 i< j

Remarques • La puissance des actions mutuelles entre les solides de (E) est appelée développée

par les actions intérieures à (E). • L’application du P.F.D. donne six équations scalaires indépendantes et l’application du théorème de l’énergie cinétique ne donne qu’une seule. Par suite, l’application du théorème de l’énergie cinétique est généralement insuffisante à elle seule pour résoudre un problème dynamique.

III.3. Intégrale première de l’énergie cinétique Dans le cas où la puissance développée par les actions mécaniques intérieures et extérieures, au cours du mouvement d’un système mécanique (E) par rapport à un repère galiléen, est nulle ou dérive d’une énergie potentielle U( E / R g ) à un signe près, le théorème de l’énergie cinétique s’écrit : d E C (E / R g ) dt

=−

d U( E / R g )

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dt

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Par conséquent, il existe une intégrale première du mouvement, appelée intégrale première de l’énergie cinétique. E C ( E / R g ) + U( E / R g ) = cte La « cte » est une constante déterminée en fonction des conditions initiales de mouvement.

Définition Nous appelons énergie mécanique du système mécanique (E) la somme de son énergie

cinétique et de son énergie potentielle calculées par rapport au repère galiléen Rg. Remarque Le théorème de l’énergie cinétique mesure des transferts d’énergie et les transformations

d’énergie en puissance (ou en travail) et inversement. L’unité de l’énergie est le Joule.

IV. Exemples d’application IV.1. Pendule pesante simple On considère un pendule simple constitué d’une

v

(S0)

tige rectiligne (S) de longueur l, d’épaisseur négligeable, homogène de masse m et de centre d’inertie G. r r r Soit R(O, x, y, z) un repère lié au bâti (S0). La tige r (S) a une liaison pivot d’axe (O, z) avec (S0).

O y

r r r Soit R 1 (O, u, v, z) un repère lié à la tige (S) tel que :

θ (S)

→ r r r OG = a u et ( x, u) = θ . r r r On suppose que le repère R (O, x, y, z) est galiléen

u

x

et que la liaison du bâti (So) avec (S) est parfaite.

Figure IX-3

Questions 1. Déterminer l’énergie cinétique de S dans son mouvement par rapport à R.

2. Déterminer l’intégrale première de l’énergie cinétique de S dans son mouvement par rapport à R, sachant qu’à t = 0, α (0) = α 0 et α' (0) = 0

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IV.2. Étude du mouvement d’un disque dans une couronne r v

Un disque homogène(S) de centre G, de masse

(S)

r y

m, de rayon r et d’épaisseur négligeable, roule sans glisser en I sur une couronne (S0) circulaire de rayon R. La couronne est supposée fixe dans un r r r repère R (O, x, y, z) .

r j

O

β

(S0) G

r r r Soit R 1 (G , i , j, z) le repère lié au disque (S)

I

(fig. IX-4) tel que :

θ

→ r r OG = ( R − r ) u ; Le vecteur u est unitaire.

r i

r x

r r r r On pose β = ( x, u) et θ = ( x, i )

r u

Figure IX-4

r r r On suppose que le repère R (O, x, y, z) est galiléen et que l’action du bâti (So) est r r ⎧ F⎫ équivalent à un glisseur {T (S o → S)} = ⎨ r ⎬ où F est la résultante à déterminer. ⎩0⎭ I Questions : 1. Déterminer le torseur cinématique du mouvement de S/R au point G.

2. Déterminer le torseur cinétique du mouvement de S/R au point G. En déduire l’expression de l’énergie cinétique du mouvement de S/R. 3. Déterminer le torseur dynamique de S/R au point G. r 4. Trouver la résultante F et l’équation du mouvement de S/R.

5. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, retrouver l’équation de mouvement de S/R et déterminer une intégrale première de l’énergie cinétique. Réponses Torseur cinématique du mouvement de S/R au point G

{

r ⎧ Ω(S / R ) ⎫ V (S / R) = ⎨ r ⎬ avec : ⎩ V( G / R ) ⎭ G

}

r r r r ⎡ d(R − r) u ⎤ & r Ω(S / R ) = θ& z et V(G / R ) = ⎢ ⎥ = (R − r) β v dt ⎣ ⎦R

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D’où

r θ& z

⎫ r & ⎬ ⎩( R − r ) β v⎭ G

⎧ { V (S / R)} = ⎨

Torseur cinétique du mouvement de S/R au point G. r r ⎧mV(G / R ) ⎫ r r mr 2 & r C (S / R) = ⎨ r θz ⎬ avec σ G (S / R ) = [I G (S)] Ω(S. R ) = I zz θ& z = 2 ⎩ σ G (S / R ) ⎭ G

{

}

r ⎧m( R − r ) β& v ⎫ ⎪ ⎪ D’où C (S / R ) = ⎨ mr 2 r ⎬ &θ z ⎪⎩ ⎪⎭ 2 G

{

}

L’expression de l’énergie cinétique du mouvement de S/R est : r r ⎧m( R − r ) β& v⎫ ⎫ ⎧ θ& z mr 2 & 2 ⎪ ⎪ 2 θ + m( R − r ) 2 β& 2 = ⊗ 2 E C (S / R ) = ⎨ ⎨ mr & r ⎬ r⎬ & 2 θz ⎪ ⎩( R − r ) β v ⎭ G ⎪⎩ 2 ⎭G ⇒ E C (S / R ) =

mr 2 & 2 1 θ + m( R − r ) 2 β& 2 4 2

Torseur dynamique du mouvement de S/R au point G

{

&& vr − β& 2 ur ) ⎫ ⎧m( R − r ) (β ⎪ ⎪ D(S / R) = ⎨ mr 2 && r ⎬ θz ⎪⎩ ⎪⎭ 2 G

}

r Expression de la résultante F et l’équation de mouvement de S/R

Appliquons le P.F.D. au disque S dans son mouvement par rapport au repère R :

{D(S / R)} = {T ( S → S)} avec, au point de contact I, :

{T (S → S)} = {T (S I

{T (S → S)}

I

o

} + {T (gr → S)}

→ S)

I

r r ⎧F⎫ ⎧ mg x = ⎨r ⎬ + ⎨ r ⎩ 0 ⎭ I ⎩mg x ∧ r

I

r r ⎫ ⎧ F + mg x ⎫ r⎬ = ⎨ r⎬ u⎭ I ⎩rmg sin β z⎭ I

&& vr − β& 2 ur ) ⎫ ⎧ m( R − r ) (β ⎪ ⎪ et D(S / R ) = ⎨⎡ mr 2 && && ⎤ rz⎬ mr R r ( ) θ − − β ⎥ ⎪ ⎪⎢ 2 ⎦ ⎭I ⎩⎣

{

}

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D’après le théorème de la résultante dynamique : r r && vr − β& 2 ur ) F + mg x = m( R − r ) (β

[

]

[

]

r r && vr ⇒ F = − m g cos β + ( R − r )β& 2 u + m g sin β + ( R − r )β

D’après le théorème du moment dynamique : 2 mr 2 && && = rmg sin β ⇒ r θ && − rg sin β = 0 && − r ( R − r )β θ − mr ( R − r )β 2 2

c’est l’équation de

mouvement de S/R En tenant compte de la condition de roulement sans glissement de S/S0 au point I, on a r r V( I ∈ S / R ) = 0 . → r r r Or V(I ∈ S / R ) = V(G / R ) + Ω(S / R ) ∧ GI

r r r r r ⇒ V(I ∈ S / R) = ( R − r ) β& v + θ& z ∧ r u = 0 ⇒ ( R − r ) β& + r θ& = 0 && + r && ⇒ (R − r) β θ=0 Par conséquent, l’équation de mouvement de S/R en fonction du paramètre β et de sa dérivée seconde est

3 && + g sin β = 0 ( R − r )β 2

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