Cours Mecanique Des Fluides

NOTIONS DE MECANIQUE DES FLUIDES cours de mécaniques des fluides Janvier 2013© Noureddine GAALOUL Docteur en Sciences et Techniques de l'Eau Ecole Nationale de Génie de l’Eau et de l’Environnement Strasbourg Maître de Conférences

Cours de Mécaniques des Fluides - Université Libre de Tunis -ULT

Ce cours a pour objectif de permettre l’application des concepts appris en mécanique des fluides. Ce Cours est un cours de base de la mécanique des fluides. Cette première version est largement inspirée du cours dispensé par notre professeur M.JN. Gence à l’institut des mécaniques des fluides de Strasbourg. Ce cours introductif doit permettre à tout lecteur d’aborder un ouvrage quelconque de mécanique des fluides. A l’avenir nous l’enrichirons de compléments selon notre inspiration et selon le temps dont nous disposerons.

Nous commençons par un rappel de la mécanique des fluides classique, pour les étudiants n’ayant pas une base suffisante dans ce domaine. L'hydrostatique est la théorie des fluides au repos par rapport au référentiel considéré. Ce chapitre commence par un bref rappel du principe de Pascal, puis traite la décomposition des forces de volumes, et énonce la condition pour qu'un écoulement hydrostatique puisse exister. Dans le cas de fluides incompressibles, cette condition se résume à garder la pression motrice constante; plusieurs applications sont analysées. Ce chapitre étudie les fluides en équilibre. On y démontre l'équation fondamentale de la statique des fluides, le théorème d'Archimède. On y étudie plusieurs modèles simples d'atmosphère. On étudie ensuite les expressions des forces, couple et centre de poussée sur des surfaces immergées. On en déduit l'expression d'une force sur une surface plane ou gauche, ainsi que le célèbre principe d'Archimède. Le cas du fluide compressible est ensuite étudié, et plusieurs exemples sont traités.

Le chapitre Equations fondamentales de la mécanique des fluides débute par la détermination des équations de conservation : conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie totale. On en déduit les équations générales de Navier-Stokes régissant la dynamique des fluides compressibles. Ces équations sont complétées par des équations d'état ( de type gaz parfait par exemple ). Le cas particulier du fluide incompressible est ensuite abordé. Une forme intégrale de ces équations est développée, et est utilisée aux séances d'exercices pour la résolution de nombreux problèmes. Plusieurs équations sont ensuite établies à partir des équations de Navier-Stokes. Pour chacune d'elle, les conditions d'application sont clairement définies, et la définition physique de chaque terme est étudiée. On définit ensuite les notions de grandeurs totales et les fonctions de courant.

Le

chapitre Cinématique des fluides introductif présente différentes notions essentielles en mécanique des fluides: notion de milieu continu et de particule fluide, formalismes Lagrangien et Eulerien, notions de trajectoire et de ligne de courant, de dérivée particulière ou matérielle, décomposition physique de la divergence du champ de vitesse, tenseur des vitesses de déformation, tenseur des contraintes, flux thermique, flux de masse d'un constituant et transport convectif au travers d'une surface. Ce chapitre décrit les modèles Eulérien et Lagrangien. On y démontre les formules les plus utiles de cinématique. Une interprétation du tenseur "gradient de vitesses" est en outre proposée afin de bien comprendre l'influence des différents termes qui composent ce tenseur.

Dans le chapitre Dynamique des fluides, nous allons définir ce qu’est un fluide newtonien et nous allons aborder l’étude de son mouvement. On y démontre les équations de Navier-Stokes. Nous serons amenés à introduire un nombre sans dimension, le Nombre de Reynolds qui est très important et fondamental en mécanique des Fluides. On se limite ici au cas des écoulements ou les variations de la masse volumique sont négligeables.

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Sommaire

Chapitre 1. Hydrostatique :Statique des Fluides 1.1 La pression et ses propriétés (Forces extérieures de volume et de surface, La pression hydromécanique)

1.2 Equations fondamentales de la mécanique des fluides (Cas particulier d’un fluide soumis au champ de pesanteur (Liquide incompressible au repos, Cas des gaz) et Equations fondamentales de l’hydrostatique dans le cas général

1.3 Applications aux fluides incompressibles et compressibles 1.4 Forces hydrostatiques Chapitre 2. Cinématique 2.1 Définitions 2.2 Equations de continuité 2.3 Mouvement et déformation d’une particule 2.4 Fonction de courant 2.5 Potentiel des vitesses 2.6 Exemples d’écoulement plans Chapitre 3. Application aux fluides parfaits incompressibles 3.1 Equations de Bernouilli 3.2 Interprétation de l’équation de Bernouilli 3.3 Applications Chapitre 4. Dynamique des fluides réels 4.1 Ecoulement laminaires 4.2 Ecoulement transitoires 4.3 Interprétations de Poiseuille 4.4 Coefficient de perte de charge 4.5 Pertes singulières 4.6 Régime turbulent

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Chapitre 1 : Hydrostatique -Statique des Fluides Situations dans les quelles il n’y a pas de mouvement relatif entre les particules fluides :  Fluides au repos  Fluides uniformément accélérés  Il n’y a pas de contraintes dues aux frottements entre particules  Les forces en jeu sont uniquement des forces de surface dues a la pression

1- Pression en un point d’un fluide Dans un fluide au repos (uniformément accéléré), la pression désigne la force par unité de surface qui s’exerce perpendiculairement à un élément de surface dS.

dF est la force exercée sur l’élément de surface dS. P est la pression régnant au point M. n est un vecteur unitaire porté par la normale. La force de pression agit toujours vers l’extérieur du volume délimité par l’élément de surface. La pression est toujours indépendantes de la surface et de l’orientation de cette surface

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Pour tous fluides au repos, nous arrivons à l’expression suivante : P = Psta + ρgz = Cte P = Pression piézomètrique Psta = Pression statique absolue ρ = masse volumique du fluide g = accélération de la pesanteur z = cote du point considéré Ce qui veut dire qu’en tous point d’un fluide au repos, la pression piézomètrique est constante et nous aurons :

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PA = PB = PC = PD Pour calculer la constante, nous passerons par un point où nous connaissons la pression statique : ici le point A où la pression statique est égale à la pression atmosphérique. Nous pouvons remarquer que la pression statique augmente lorsque la cote diminue. L’ensemble des points soumis à la même pression statique est un plan horizontal.

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2-

Equation fondamentale de la statique

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3 - Application aux fluides incompressibles

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4 - Application aux fluides compressibles

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5 – Forces hydrostatiques

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Chapitre 2 : Cinématique des Fluides 1. Définitions a) Système de référence: Pour étudier le mouvement d’un fluide quelconque, on peut employer deux méthodes : - La méthode d’Euler : Cette description de l’écoulement consiste à établir à un instant t donné l’ensemble des vitesses associées à chaque point de l’espace occupée par le fluide. On déterminera donc, en fonction du temps, la vitesse des particules fluides qui viennent successivement passer par ce point. La vitesse VM(t) étant déterminée par ses trois composantes u, v, w sur trois axes OX, OY et OZ, on disposera dons des trois équations suivantes : u = f (x,y,z,t) V v = φ (x,y,z,t) w = ψ (x,y,z,t) u, v et w sont les variables d’Euler. La vitesse VM(t) associée au point M évolue au cours du temps. A chaque instant t, l’écoulement du fluide est décrit au moyen d’un champ des vecteurs vitesse. Dans cette de description d’Euler, on appelle ligne de courant la courbe qui, en chacun de ses points, est tangente aux vecteurs vitesses.

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Remarque : Les lignes de courant évoluent dans le temps, au même titre que le champ de vecteurs vitesse. - La méthode de Lagrange : Cette description de l’écoulement consiste à suivre une particule donnée au cours de son mouvement au sein du fluide. On procède donc comme pour la cinématique d’un système matériel, c’est à dire qu’on exprime les coordonnées d’un point M de la masse fluide en fonction du temps et de la position initiale du point considéré. M

x = f (x0,y0,z0,t) y = φ (x0,y0,z0,t) z = ψ (x0,y0,z0,t)

Ici, c’est l’évolution de la position des particules qui permet la description de l’écoulement. Ainsi, le lieu géométrique des positions successives occupées par une particule constitue ce qu’on appelle la trajectoire de cette particule. Attention : Il ne faut pas confondre ligne de courant et trajectoire. CE sont deux notions bien différentes.

Remarque : Si l’écoulement est stationnaire, le champ de vecteurs vitesse est constant dans le temps : il y a coïncidence entre lignes de courant et trajectoires.

b) Ligne d’émission : Toutes les particules qui sont passes par un même point E sont situées, a l’instant t, sur une courbe appelée ligne d’émission relative au point E.

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c) Ecoulement permanent : Un écoulement est dit permanent (ou stationnaire) lorsque le champ de vecteurs vitesse est statique : il ne varie pas dans le temps. Dans ce cas :   

Les lignes de courant sont fixes dans l’espace ; Les trajectoires coïncident avec les lignes de courant ; Les lignes d’émission coïncident également avec les lignes de courant. Lignes de courant Ξ trajectoires Ξ lignes d’émission

2. Equation de continuité a) Cas général : L’équation de continuité doit traduire le principe de conservation de la masse. La variation de masse pendant un temps dt d ‘un élément de volume fluide doit être égale à la somme des masses de fluide entrant diminue de celle de fluide sortant. On considère alors un élément de volume fluide : dV= dx dy dz Sa masse peut s’exprimer comme : m = ρ dx dy dz Pendant le temps dt, la variation de cette masse s’écrit : dm cette variation doit alors être égale a : (i) (ii)

la somme des masses de fluide qui entre et sort par les 6 faces de l’élément de volume dV. La somme des masses de fluide spontanément détruites (puits) ou crées (sources à l’intérieur de dV.

la somme des masses de fluide qui entre et sort par les 6 faces de l’élément de volume dV.

Suivant l’axe Y, le fluide entre avec la vitesse vy et sort avec la vitesse v y+dy. Par conséquent, la masse entrant pendant le temps dt s’exprime : [ρ v dx dz dt]y On, par ailleurs, pour la masse sortant : [ρ v dx dz dt]y+dy Le bilan sur l’axe Y donne alors : ([ρ v]y - [ρ v]y+dy ) dx dz dt er Un développement au 1 ordre permet d’écrire : Noureddine Gaaloul : Docteur en Sciences & Technique de l’Eau – Maître de Conference

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La somme des masses de fluide spontanément détruites (puits) ou crées (sources à l’intérieur de dV Si on appelle qv le débit volumique de fluide crée (qv>0 ; source) On détruit (qv0 si le fluide reçoit de l'énergie de la machine (pompe), P