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Universit´e Pierre et Marie Curie Licen Lic ence ce de M´eecan caniq ique ue Notes de cours UV2

Mat´ eriaux et propri´ et´ es Yves Berthaud Janvier 2004 Ces not notes es sont dest destin´ in´eees es `a fournir un support pour un cours mat´eriaux eriaux d’un volume horaire total (C + TD) de 20h. Le public publ ic est celui celu i d’´eetudiants tu diants en lic licence ence de M´eecaniq ca nique ue `a Paris 6. Elless sont bas´eees Elle es sur diff´eerents re nts do docume cuments nts perso pe rsonnel nnelss (no (notes tes de cours de DEA de M. Moranville Regourd et les ouvrages cit´es en r´ef´erence.

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Chapitre 1

Structure, Struct ure, text texture ure des mat´ eriaux eriaux et propri´ et´ es Nous allons dans cette partie de cours nous int´ eresser eresser essentiellement `a la relation qui existe exi ste entre les propri´ pro pri´et´ et´es es de la mati` mat i`ere ere (`a l’´echelle echelle microscopique) et celles couramment ob obse serv´ rv´ees ees a` l’´echelle echelle du m´ecanicien ecanici en des solides solide s d´eformables. eforma bles. Cette pr´esentation esentati on va balayer aussi aus si bien bie n les mat´eriaux eria ux cristal cris tallin linss (m´etaux eta ux en g´en´ en´eral, eral , certain cert ainss polym` po lym`eres) eres ) que des mat´eriaux esyst` riaux ditscomposites amorphes amorphe (certains (certa insant polym` pol ym` eres, eerents mat´ eriaux eriaux de construction constru ction sont des emes emes comp ositess comprenant compren diff´ eres, rentsverres). solides. solide s.Les Une analyse analys e compl` ete ete des solides polyphas´eess comprend la description de la structure cristalline des diff´erentes erentes phases et de leur texture. Les structures cristallines sont construites `a partir pa rtir d’un d ’un ensemble e nsemble d’identit´es es (atomes, (a tomes, ions, mol´ecules) ecules) en position relativement relativement fixe. En faisant une description statique parfaite on ne prend pas en compte les d´ efauts efauts de l’arrangeme l’arrangement nt qui sont fondamentaux fondamentaux dans la compr´ com pr´ehensio ehe nsion n de certain cert aines es propri´ pro pri´et´ et´es es (coh´ (co h´esion, esio n, duret´ dure t´e, e, plasti pla sticit´ cit´e, e, con conduc ductib tibili ilit´ t´e, e, coucou leur). La texture inclut la taille, la forme, l’orientation des cristaux ou des grains de chaque phase, les interfaces interfac es entre grains. grains . La r´esistance esistan ce m´ecanique, ecaniq ue, l’´elasticit´ elasti cit´e d´eependent pen dent de la texture. Les interactions entre grains peuvent donner naissance `a des mat´eriaux eriaux dont les prop pr opri´ ri´et´ et´eess so sont nt sup´ su p´erie er ieur ures es `a celles cell es des consti con stitua tuants nts pri priss s´epar´ epa r´eement. ment .

1.1

Les ´ etats etat s de la mati` m ati` ere ere

Trois ´etats etats sont couramment distingu´ es, es, gazeux, liquide et solide. Prenons le cas du gaz rare argon (Ar). 1. A l’´etat eta t gazeux gaz eux : la mati` mat i`ere ere est dilu´ dil u´ee, ee, d´esordon eso rdonn´ n´ee. ee. A un instant ins tant donn´ don n´e les atomes ato mes d’argon de diam`etre etre 0, 2nm   se trouvent `a une vingtaine vingtaine de diam` diam`etre etre les uns des 1 autres et se d´eplacent eplacent a` une vitesse de 100ms 100ms . −

2. A l’´etat etat liquide : la mati`ere ere est plus condens´ ee. ee. Les atomes sont a` 0, 4nm   et se 1 d´epla ep lace cent nt a` une vitesse de 10ms 10ms . On a d´ej` ej a` un ordre `a petite distance puisque les atomes sont proches les uns des autres. −

3. A l’´etat etat solide : la mati`ere ere est condens´ ee ee et ordonn´ee. ee. les atomes sont en contact les uns des autres et rang´eess p´eriodiquement eriodiquement suivant suivant un r´eseau eseau tridimensionnel de

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1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

sym´ etrie etrie cubique. Ils vibrent autour d’une position p osition moyenne mais ne changent quasiment pas de position. On va don d oncc co consi nsid´ d´erer er er maint ma inten enant ant deux deu x ´etats eta ts ordo or donn´ nn´es es et d´esordo eso rdonn´ nn´es es de la mati` ma ti`ere. ere .

1.2

L’´ e etat tat ordonn´ ordo nn´ e : les solides soli des cristall cris tallis´ is´ es es

Les cristaux cristaux sont sont obtenus obtenus par solidification solidification d’un liquide, liquide, ´evaporation evaporation d’une solution solution ou condensation condensation d’une vapeur. Ils se caract´ caract´erisent erisent par une transition transition brusque brusque passant passant d’un d’ un ´etat et at d´eesor s ordo donn nn´´e `a un ´etat etat ordonn´ee.. Ce sont des solides poly´ pol y´edriques edriques dont la forme correspond corre spond `a un des sept r´ eseaux eseaux cristallins fondamentaux.

1.2.1 1.2.1 1.2.1.1

Cr Crist istal al pa parf rfai aitt R´ eseaux eseaux cristallins

Un cristal crista l est form´e par la juxtaposi juxta position tion et l’empilement l’empil ement de parall´el´ el´eepip` pip`edes edes quelconques dans l’espace. Ce dernier est d´efini efini par ses vecteurs a vecteurs a,,  b  b et  et c  c formant  formant des angles α angles  α,, et  γ..On d´efinit efin it ainsi ain si la maille mai lle ´el´ el´ementair ement aire. e. Sa r´ep´ ep´etitio eti tion n donne don ne le cristal cris tal lorsqu’ lor squ’`a` chaque β   et γ noeud no eud est assoc ass oci´ i´e un (ou plusieu plu sieurs) rs) atomes. ato mes. Un atom a tomee plac´ pl ac´e en un noe n oeud ud est e st cara c aract´ ct´eris´ eris´e par pa r ses co coord ordonn´ onn´ees ees  u,  u, v,w  nombres entiers (en fait il vibre autour de sa position moyenne). On peut distinguer `a partir partir des vecteurs vecteurs de base et des angles sept syst` syst`emes emes cristallins cristallins diff´erents. erents. Si on a joute des noeuds noe uds au centre des faces ou du parall´el´ el´eepip` pip`ede ede on en obtient 14 qui forment for ment les r´eseaux esea ux de Bravais. Bravais . Tout cristal cris tal pe peut ut ˆetre etre d´ecrit ecri t p par ar l’u l’un n de d e ces c es r´eseaux. esea ux.

1.2.1.2

Disposition des atomes dans un r´ r´ eseau eseau cristallin cristallin

En fait on peut av avoir oir plusieurs plusieurs configurations configurations selon le nombre nombre d’atomes d’atomes dispos´ dispos´eess a` chaque noeud. Prenons l’exemple du cristal cubique `a ffaces aces centr´ees ees (CC). (CC) . 1. Un atome par noeud : c’est le cas des m´etaux, etaux, du cuivre par exemple. exemple. 2. Deux atomes atomes : c’est le cas du chlorure chlorure de sodium. 3. Six atomes atomes : on a la cristob cristobali alite. te.

1.2.1.3 1.2. 1.3

Liaisons Liaisons cristall cristallines ines

Les mat´eeriaux ri aux sont consti con stitu´ tu´es es d’atom d’a tomes es li´es es entre eux par des forces for ces ´electro ele ctromag magn´ n´etiques eti ques qui naissent naissent entre entre les ´electrons electrons d’atomes d’atomes voisins. voisins. Le ”rayon” ”rayon” d’un atome est de 10 7 a` 10 6 mm mm (soit  (soit de 0, 0, 1 `a 1nm nm). ). L’attraction L’attra ction ´electro-stati electro -statique que entre les charges n´egatives egati ves d des es ´electrons electrons et positives des noyaux est responsable de la coh´esion esion des atomes dans les cristaux. Un atome est constitu´e d’un noyau et de de Z   Z  ´  ´eelect le ctro rons ns r´epar ep arti tiss en diff´ di ff´erent er entes es couch co uches es K, L, M,... Le nombre nombre d’´ electrons electrons est limit´ limit´e dans chaque chaque couche couche : 2 dans la couche couche K, 8 dans la couche L. L’´eenergie nergie d’un ´electron electro n (i.e. l’´energie energie n´ecessaire ecessai re pour l’arracher de l’atome) est forte dans la couche K pr` es es du noyau (13, (13, 6eV  eV    pour pou r l’hydrog` l’ hydrog`ene ene et 115600 11560 0eV  pour l’uranium). Un cristal n’est stable que si son ´energie energie totale E  totale  E  est   es t inf´ i nf´erieu er ieure re a` l’´ l’´ener en ergi giee totalee des total de s atomes a tomes libres plac´es es `a l’infini.. Les forces qui lient les atomes peuvent ˆetre etre : −

−

1. Des liaisons liaisons fortes (quelques (quelques eV   eV )) a` distance courte (0, (0, 05nm 05nm), ),

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1.2.. L’´eetat 1.2 ta t oordo rdonn´ nn´e : les sol solide idess crist c ristall allis´ is´es es

Figure 1.1 – Quelques exemples d’empilements atomiques (Dorlot, p. 57) 2. Des liaisons liaisons faibles (quelques (quelques 0, 0, 01 01eV  eV )) a` grande distance (0, (0, 5nm nm))

Liaisons fortes 1.  Liaison ionique :  cett  cettee lliaison iaison s’effectue s’effect ue par ´echange echange d’´electron electro n entre entr e deux de ux atomes. atomes . Cette liaison est forte car elle sature la couche ´electronique electronique ext´ eerieure rieure des atomes qui deviennent des ions. On peut prendre l’exemple du sodium N sodium  N a  et du chlore  chlore   C l + qui donnent le cristal N cristal  N a C l . Cette liaison concerne essentiellement les atomes qui poss`edent edent beaucou b eaucoup p d’´electrons electro ns de valence (colonnes (co lonnes VIA et e t VIIA VI IA de la classifica cl assification) tion) et ceux qui en ont peu (colonnes IA et IIA). On peut donner comme exemple les oxydes : magn´esie, esie, alumine... alumin e... Cete liaison liaiso n n’a pas de direction directi on privil´egi´ egi´eee. e. −

2.   Liaison concerne des mat´ eriaux eriaux tels que le diamant, diamant, la silice, silice, Liaison cov covalente alente :   elle concerne le ver verre, re, le tungst` tungst`ene ene ... Elle consiste consiste en la mise en commun commun d’´ electrons electrons de deux atomes sur une mˆeme eme orbite. En fait le plus souvent ceci permet de saturer la couche ´electro elec troniq nique ue ext´ e xt´erieure. erie ure. Cette Cett e lliai iaison son est dirig´ diri g´eee, e, anisot ani sotrop rope. e. 3.   Liaison m´ liaison se car caract act´´erise erise par la mise mise en commu commun n des etallique etallique :   cette liaison ´electrons electrons de liaison qui ne sont plus localis´ localis´eess entre entre les atomes (covalen (covalente) te) ou sur un ion (ionique) mais qui sont r´ epartis epartis dans l’ensemble du r´ eseau eseau d’ions. On peut prendre l’exemple du sodium qui a un ´electron electron de valence. valence. Dans le cristal de sodium so dium chaque chaq ue atome perd un ´electron electron de valence de telle sorte que ce cristal cristal peut ˆetre etre + vu comme un ensemble d’ions  d’ions   N a baignant dans un nuage d’´electrons electrons libres. On trouve ces ´el´ el´ements ements dans les colonnes colonn es IA a` IIIA. En se d´epla¸ epla¸cant cant vers la droite du

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1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

Figure 1.2 – Liaison ionique (Ashby)

Figure 1.3 – Liaison covalente (Ashby) tableau on o n se rapproche de liaisons covalentes. Cette liaison de type ion-´electron electron est sa sans ns direc di recti tion on pri privi vil´ l´eegi´ g i´ee. ee. 4.   Liaison mixte :   dans le cas de liaisons entre deux atomes identiques (hydrog`ene ene par exemple) exemple) on a une liaison liaison covalen covalente te pure puisque puisque les ´electrons electrons de valence sont identiquementt attir´es identiquemen es par les noyaux. Il en est autrement dans le cas de liaison pour la mol´ mo l´ecule ecu le   H C l  car la diff´erence erence du nombre de protons dans les noyaux d´eforme eforme le nuage ´electroniq electronique. ue. La conclusion conclusion est la formation formation d’un dipˆ ole. o le. On peut ainsi montrer que la liaison dans le chlorure de sodium est mi covalente mi ionique (cf Des mat´eriaux, eria ux, p. 39). 39) .

Liaisons faibles Les liaisons fortes ne permettent pas d’expliquer la formation de mat´eriaux eriaux tels que la glace, les polym` p olym`eres. eres. Il faut fa ut rappel ra ppeler er que dans la plupart p lupart des mat´ m at´eeriaux riaux a` liaison covalente le barycentre des charges positives n’est pas confondu avec celui des charges n´egatives. egatives. Il s’ensuit la formation d’un dipˆole ol e ´elect el ectri rique que.. 1.   Liais Liaison on de Van der Waa aals ls :   c’est l’attraction entre ces dipˆoles oles qui en est responsable. Une simple augmentation de la temp´erature erature (agitation thermique) suffit a` rompre ces liaisons (c’est le cas de l’azote liquide). 2. Dans le cas de la glace on la d´ enomme enomme  lia  liaiso ison n hydrog` hydr og` ene ene  car c’est l’atome d’hydrog`ene ene qui est en cause. Ces liaisons liaiso ns se caract´erisent erisent par la temp´erature erature de fusion basse (glace, (glace , polym` pol ym`eres). eres).

1.2.2 1.2.2

An Anal alys yse e d de e lla a llia iaiso ison n   N a+ C l

−

Dans l’exemple du chlorure de sodium il faut fournir 5, 5, 14 eV pour que l’´electron electron soit arrach´e de l’atome l’atom e de sodium sodi um (c’est (c ’est `a di dire re d´eepla p lac´ c´e a` l’infini). Il en restitue restitue 4, 4, 02 eV lor lorsqu’i squ’ill

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1.2.. L’´eetat 1.2 ta t oordo rdonn´ nn´e : les sol solide idess crist c ristall allis´ is´es es

Figure 1.4 – Liaison de Van der Waals (Ashby) est dans l’atome de chlore. La diff´erence erence contribue a` l’´energie energie de liaison liaiso n de N de  N a+ C l . Ces deux atomes sont finalement soumis `a des efforts d’attraction.´electrostatique electrostatique de la forme : −

F   F   =

−

  q 2 4πǫ 0 r 2

 

(1.1)

avec :   q  la q  la charge de chaque ion,   ǫ0   la permitivit´e du vide (F m entre les ions. Le potentiel p otentiel dont d´erive erive cette force est :

1

−

U   =

−

  q 2 4πǫ0 r

 

) et   r   la distance

(1.2)

ce qui donne la courbe de la figure 1.2.2 figure  1.2.2..

´ ergie Figure 1.5 –  En Energ ie p our ou r NaCl Na Cl (Qu´ (Qu ´er´ er´e) e) Passage extrait de :  Physiq  Physique ue des mat´ eriaux, eriaux , p. 21. Ce type typ e de li liai aiso son n a ´et´ et´e im imag agin´ in´e pa parr Madelung (1910) de la mani`ere ere suivante suivante : consid´ erons erons une structure dite cubique a` face

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1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

centr´ee ee (CFC). ( CFC). Dans cette structure structu re chaque chaq ue C  C l est entou ent our´ r´e de n de  n 1   N a+ a` une distance distance r  r 1 puis de n de  n 2   C l a` une distance distance r  r 2  etc. Donc l’´energie energie (attraction Coulombienne) vaut : −

−

E c  =  = N   N 

e2 e2 n1 + n2 + ... r2 r1

−



2

=

−N er   M 

 

avec 2N  2N  le  le nombre d’ions du cristal,   M  la M  la constante de Madelung. Pour N Pour  N a+ C l a  M   M    = 1, 1 , 7476, 7476, e  e  = 4, 8 eV d’o` u  E c  = 8, 94eV.

(1.3) −

on

−

Or si seule cette force existait il y aurait effondrement de la structure. On sait par ailleurs que l’´energie energie de liaison   E l   de   N a+ C l vaut 7, 9 eV. L’´ energie energie de liaison liaison est l’´eenergie nergie n´ecessaire ecessair e pour pou r dissocier disso cier le cristal en ions.N ions. N a+ et C et  Cll . On constate constate que la contribution but ion de l’´energie ene rgie ´electro elec tro-sta -statiq tique ue E   E c  est principale dans l’´energie energie de liaison.

 −

−

−

Ceci nous permettra permet tra donc d’utiliser le mod` ele ele ´ electro-statique electro-sta tique par la suite. Remarque  : il ne faut pas confondre E  confondre  E l  av  avec ec l’´eenerg n ergie ie de coh´ co h´eesion si on E   E coh coh  qui correspond + a` une dissociation en atomes N atomes  N a  et C  et  C l. l. La  La cr´eeati a tion on de de N  N a a` partir de de N  N a  coˆ  co u ute ˆt e l’´energ en ergie ie d’ionisation E  d’ionisation  E i  et la cr´eation eat ion de de C  C l a` partir de C de  C l   coˆu ute t e l’´eenerg ne rgie ie d’ d’affi affini nit´ t´e  E a . On peut ´etabli eta blirr le l e bila b ilan n: −

E coh  =  E i  + E a  + E l  = 5, 14 3, 71 + E l  = 6, 5 d’o` u  E l  = 7, 9. Madelun Mad elungg a donc don c pour po ur ´eviter evi ter cet effondr effo ndrement ement imagin´ ima gin´e de mani` man i`ere ere ph´enom´ eno m´enolog eno logique ique un terme de r´epulsion epulsion de la forme :

−

−

−

 B   (1.4) rn con globale avec un terme d’attraction E  d’attraction  E c  et un terme de Au bilan  on se trouve de fa¸con r´epul ep ulsi sion on  E r .  On a deux conditions : E r   =

1. L’´energie ener gie totale tot ale du syst`eme eme est  E   E  =  =  E c + E r   =

−N 

e2  M  +  M   +   rBn . r

2. L’´ eequilibre quilibre global du syst` eme eme qui correspond a` une valeur   r0  de la distance entre   dE  atomes est donn´e par : dr   = 0.

Application : dans le cas consid´er´ er´ee,, connaissant conna issant la valeur de  de   r0   (0, (0, 281 281nm nm), ), on peut   E  en d´eduire eduire la valeur de l’exposant  l’exposant   n   = E  E  = 8, 9.  Cet exposant expo sant ´elev´ elev´e indique que la variation du terme de r´epulsion epulsion est forte. c

c−

t

Conclusion : on doit retenir que la forme g´ en´ en´ erale erale du potentiel d’interaction pour tout type de liaison (forte ou faible) est : U   =

B −  A + r r m

n

 

(1.5)

Le tableau suivant suivant donne quelques exemples de mat´eriaux eriaux avec l’´energie energie de liaison ainsi que des grandeurs auxquelles nous allons nous int´ eresser eresser (T (Temp´ emp´ erature erature de fusion, module mo dule d’´elasti ela sticit´ cit´e, e, dilata dil atatio tion n thermiq the rmique, ue, conduc con ductib tibilit´ ilit´e ´eelectri lec trique que et ductil duc tilit´ it´e) e) class´ cla ss´ees ees faible, faibl e, moyen, fort (´elev´ elev´e). e). Tableau issu de Des Mat´eriaux eriaux p. 42.

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1.2.. L’´eetat 1.2 ta t oordo rdonn´ nn´e : les sol solide idess crist c ristall allis´ is´es es

Liaison El   (eV/at.)   Diamant   (7) Diamant  Covalente   NaCl   (3 NaCl  (3,, 3) Ionique  (1,, 1) ;  C u  (3  (3,, 5) M´ etal et alli liqu que e   N a  (1 (0,, 3) (0,, 01); 01); C  C l2   (0 V. d. Waals   H 2   (0

1.2.3

Tf    Fort F mo moyen f

E   α   Cond.   Duct. F faible f f  F f f f   m f-m m-F F f F m f-m

Cons´ e equences quences macroscopiques

No us all Nous a llon onss monte mo nterr que qu e les le s prop pr opri´ ri´et´ et´es es tel t elles les que fra fragi gili lit´ t´ee,, d duc ucti tili lit´ t´e, e, ´elas el asti ticit cit´´ee,, d dil ilat atat atio ion n thermiq the rmique ue se d´eduisent edu isent ais´eement me nt de la nature nat ure des liaiso lia isons. ns. D´eebutons but ons par l’´elastic ela sticit´ it´e qui a e fait fai t l’o l’ob b jet d’´etudes etu des d`es es le 17 si` si`eecle c le a` savoir : 1. Hooke (1635, (1 635, 1703). Il a donn´e la relation de proportionnalit´e entre allongements et efforts appliqu´eess (application aux ressorts, lames minces), 2. Cauchy (1789, 1857) 1 857) Notion No tion de d´eformation eformation d’un milieu continu. 3. Thomas Young, physiologi physi ologiste, ste, physicien physici en et linguiste lin guiste anglai a nglaiss (1773-1829 (1773 -1829)lois )lois de l’´elasticit´ elastic it´e et concur concurren rentt de Champollion. Champollion. ´ DE LA DROITIERE. ` 4. G. Lam´ e (1795, 1870)dit LAME On peut trouver diverses contribu cont ributio tions ns dont : th´eorie eor ie math´ mat h´ematiq ema tique ue de l’´elastic ela sticit´ it´e. e. La plupart plupart des mat´ eriaux eriaux poss` ede ede un domaine de l’espace l’espace des contrain contraintes tes (ou des d´eefor f orma mati tion ons) s) `a l’int´ l ’int´erieur erieur duquel une variation des sollicitatio sollici tations ns n’entraˆıne ıne qu’une variatio tion n r´eversible evers ible des d´eforma efo rmatio tions. ns. On a `a ll’int´ ’int´erieur erie ur de d e ce dom domain ainee un mouvement mou vement r´eversible eversi ble d’atom d’a tomes es soit r´eguli` egu li`erement erem ent dispo dis pos´ s´es es (crista (cri stal) l) soit organi org anis´ s´es es dans dan s des chaˆ chaˆıne ıness mol´eculai ecu laires res (polym` (po lym`eres). eres). Afin de comprendre compren dre l’origine l’o rigine de ce comp c omportement ortement il est fondamental fonda mental d’´ d ’´etudier etudie r `a la fois les diff´erents erents types de liaisons intera-tomiques et l’organisation de la mati`ere, ere, ces deux points poi nts intervenant dans l’´elasticit´ elasti cit´e macroscopique. macrosc opique... ..

1.2.3.1 1.2. 3.1

Module Mo dule ´ elastiqu elas tique e selon selo n le mod` mo d` ele ele ´ electroelec tro-stat statique ique

Si l’on reprend l’expression du potentiel p otentiel d’interaction on peut p eut s’int´eresser eresser au calcul du module d’´elasticit´ elasticit´ e en prenant comme exemple le chlorure de sodium. Dans une section 2

  1

unit un it´´e (1 (1m m ) i l y a r atom atomes. es. Imagin Imaginons ons deux deux demi-c demi-cris ristau taux x face face a` face fa ce s´epar´ ep ar´es es de   r (diff´erent erent de la valeur a` l’´equilib equi libre re   r0 ). Le syst`eeme me ´etant etant hors de l’´equilibre equilib re une force ext´erieure erie ure doit doi t ˆetre etr e appli ap pliqu´ qu´ee. ee. Suppo Sup posons sons qu’au qu’ au voisi vo isinag nagee de l’´eequilib qui libre re exist e xistee une un e relat re lation ion F   F   =  k  k((r r0 ) avec k avec  k  la raideur. On a : 2 0

−

k  =

  dF    d2 U   = dr 2 dr

 

(1.6)

Mais par d´efinition efinition en divisant l’effort par la section unit´ e on obtient la contrainte   1 moyenne. Sachant qu’il y a r liaisons dans cette section on a : 2 0

F   F   =  k  k((r

− r ) =⇒ F  r1 0

2 0

=  σ =  σ  =

  k r r0   k = ǫ r0 r0 r0

−

 

(1.7)

Cette expression expressio n ffait ait apparaˆıtre ıtre `a la fois une contrainte et une d´eformation. eformation. Le terme rk0

est donc homog`ene ene au module recherch´ recherch´e. e. Dans le cas du chlorure de sodium on peut le

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1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

calculer et on obtient (voir TD) : K   =

 k   q 2 = (n r0 4πǫ 0 r03

Ceci donne avec ǫ avec ǫ0  = 8, 85410 exp´erimentaux erimentau x sur ce cristal. cristal .

2

−

Fm

1

−

− 1)

avec  n  n =  = 0, 58

(1.8)

une valeur de 38GP 38GP a qui est e st pro p roche che des de s r´eesulta su ltats ts

Remarques : 1. Le modul mo dulee d’´elastic ela sticit´ it´e est li´e `a la courbure du potentiel au voisinage de l’´equilibre. equilibre. Cette derni` ere ere est en relation avec les exposants  exposants   n   et  et   m   du potentiel d’interaction. La connaissance des ces exposants donne imm´ediatement ediatement une id´ee ee du type de comporte po rtement ment ´elastiq ela stique. ue.

Figure 1.6 – Modules (extrait de Dorlot) 2. On peut p eut ´egalement egalement affirmer que cette courbure courbure sera d’autant plus forte que le puits de potentiel pot entiel sera marqu´ee.. Ce dernier est par ailleurs ailleu rs reli´e `a l’enthalpie de sublimation. Il y a donc une relation entre ces quantit´ es. es. 3. Ce calcul est une estimation estimation qui ne tient tient pas compte de l’arrangemen l’arrangementt particulier particulier des atomes. En particulier aucune information sur l’anisotropie n’est fournie ici. Nous reviendrons sur ce point plus loin. 4. Plus la temp´ erature erature de vaporisation (ou aussi de fusion) est ´elev´ elev´ ee, ee, plus le module de rigidit´ rigidi t´e est grand. Vous avez dans le tableau ci-dessous quelques ordres de grandeur (attention ce ne sont que des ordres ord res de grandeurs grande urs car ca r il y a possibil p ossibilit´ it´e d’anisotro d’a nisotropie pie parfois pa rfois tr`eess fo forte). rte).

10

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1.2.. L’´eetat 1.2 ta t oordo rdonn´ nn´e : les sol solide idess crist c ristall allis´ is´es es

 (GP GP a)   α  ( 10 6 C Liaison Exemple Tf   ( C )   E  ( Covalente   T iC    331180 315 7 ,4   Si O2   1600 72 0 ,5 Ionique   Mo   1535 210 11,8 M´ e etal t alli liqu que e Polyethyl` e´thylene e`ne   115 0 ,2 210 V. d. Waals   Poly´ ◦

1.2.3.2

−

◦

1

−

)

Dilatation thermique t hermique selon se lon le mod` mo d` ele ele ´ electro-statique electro-st atique

Nous n’avons jusqu’ici pas pris en compte le terme d’´energie energie cin´etique  etique   W  W    li l i´e a` l’agitation thermique. thermique. On peut supposer supposer qu’un atome vibre entre deux positions extrˆ emes emes dont la moyenne moyenn e d´etermine eter mine l’´evolutio evolu tion n des d es posi p ositio tions ns d’´equilib equi libre re avec ave c la temp´ tem p´erature era ture.. Ainsi A insi on comprend que la courbe   U (r) n’´etant etant pas sym´etrique etrique (les coefficients coeffi cients   m   et   n   sont diff´erents) erents) on o n obtient obt ient une variation de d e la position posi tion d’´equilibre equilib re des atomes a tomes lorsque l’on modimodi fie la temp´erature. erature. C’est l’origine de la dilatation dila tation thermique. Celle-ci sera plus importante imp ortante pour un mat´eriau eriau poss´edant edant une faible ´energie energie de liaison a` l’´equil equ ilib ibre re (p (pro ropr pri´ i´et´ et´e de la courbe au voisinage de l’´equilibre). equilibre). On s’attend donc - selon ce mod`ele ele - a` une corr´elatio ela tion n entre module modu le d’´elasticit´ elasti cit´e et coefficient coeffi cient de dilatation dilata tion thermique thermiq ue ce qui est bien v´erifi´ erifi´e par l’ex l’ exp´ p´eerienc ri ence. e.

Figure 1.7 – Dilatation thermique (Dorlot)

1.2.3.3 1.2. 3.3

Conducti Cond uctibili bilit´ t´ e´ electriq elec trique ue

Les cristaux covalents covalents et ioniques sont isolants car tous les ´electrons electrons sont li´es es a` un atome et ne peuvent pas se d´eplacer eplacer sous l’action d’un champ ´electrique electrique ext´eerieur. rieur. Par contre les m´etaux etaux qui poss`edent edent un nuage d’´electrons electro ns de valence peuvent se d´eplacer eplace r car ils ne sont attach´ att ach´es es a` aucun a ucun atome en particu p articulier lier : un courant ´eelectrique lectri que ttraverse raverse le m´etal. etal.

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11

 

1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

1.2.3 1.2 .3.4 .4

Concl Conclusi usions ons

On a utilis´e principalement le mod`ele ele ´electro-statique electro-statique pour notre raisonnement. En reprena repr enant nt les diff´erents erent s r´eseaux esea ux cristal cris tallin linss on pe peut ut ais´eement ment imagin ima giner er que les propri´ prop ri´et´ et´es es (´elasticit´ elasticit´e, e, dilatation thermique,...) ne sont plus isotropes mais anisotropes. Les modules ´elastiques elasti ques correspondent corresp ondent a` un tenseur d’ordre quatre  quatre   C   alors que les coefficients de dilaC  alors tation sont des nombres unt´eeriel tenseur d’ordre deux deux  α. Un cristal triclinique ne po poss` ss` eede d e au aucu cun n ´eel´ l´ement em entappartenant de sym´ sym ´etrie et rie `amat´ ma ri elle le : en cons´ co ns´equen equ ence ce  α. les le Un s tens te nseu eurs rs d’´ elas el asti tici cit´ t´e et de dilatation dilatation thermique thermique n’en auront auront pas. Par contre un cristal cristal monoclinique monoclinique poss` ede ede un plan de sym´etrie etrie ; ceci impose que certains ´el´ el´ ements ements des tenseurs respectent cette sym´etrie. etri e. La L a ccons´ ons´equence eque nce est l’appa l’a pparit rition ion de z´ero ero dans dan s les le s tenseu te nseurs rs ce c e qui qu i r´eduit edui t le l e nombre no mbre de constantes constantes.. On aboutit ainsi aux tableaux tableaux de r´ epartition epartition du nombre nombre de constante constantess ´elastiques elastiques et de dilatation thermique classique.

On peut montrer que : 1. L’isotropie L’isot ropie ´elastique elastiq ue constat´ consta t´eeee sur la plupart plupa rt des mat´eriaux eriaux est le r´esultat esultat de l’arrangement al´eatoire eatoire des cristaux au a u sein du poly-cristal. 2. Que d’un d’unee fa¸con con g´en´ en´erale era le les condit con dition ionss de sym´etries etri es mat´erielles erie lles sont plus plu s fortes for tes sur des tenseurs d’ordre faible que d’ordre ´elev´ elev´ e. e. Cela s’observe sur le cristal cubique qui poss` p oss`ede ede 3 constantes consta ntes ´elastiques elasti ques (la (l a plus plu s faible fai ble anisotro an isotropie) pie) alors a lors qu’il qu ’il est es t isotrope isot rope thermiquement (1 constante).

1.3 1. 3

L’´e etat tat d´ esor es ordo donn´ nn´e : les les verr verres es

Les verres ou corps c orps amorphes a morphes ou solides so lides non cristallins cristal lins repr´esentent esentent un u n ´etat etat exceptionexcepti onnel de la mati` mati`ere. ere. Ils sont sont solides solides mais l’arrangeme l’arrangement nt des atomes dans leur structure est celui du liquide dont ils sont issus, par trempe. Les verres industriels sont essentiellement des verres de silicates (70%   SiO 2 , 20%   N a2 O , 10%   C aO   (%   mol.)). mol.)). L’´etat etat vitreux est m´etastable. etasta ble. Les compos´ comp os´es es m´etalliques etalli ques ne donnent pas (sauf par hyper trempe tremp e de couches minces) de phase vitreuse. La figure  ??  repr´  re pr´esente esent e un mˆeme eme compo com pos´ s´e sous sou s forme for me cristal cris tallin linee et vitreuse.

1.4

Entre ordre et d´ esordre esordre

Entre l’´etat etat ordonn´e des cristaux cristau x et d´esordonn´ esordon n´e des verres existent des structures structu res (int´´eressant (int eressant un grand nombre nombre d’atomes) d’atomes) qui se rapprochen rapprochentt de celle du cristal cristal avec avec des ´ecar ec arts ts a` l’ordre l’o rdre impor i mportants, tants, ou des d es structures st ructures apparemment appare mment d´esordonn´ esordon n´ees ees dans d ans lesquell l esquelles es on trouve un ordre `a moyenne distance. Ce sont les mati`eres eres plastiques, les caoutchoucs, cao utchoucs, les textiles.

1.4.1

Polym` e eres res

Le Less po polym lym``eres ere s so sont nt co const nstit itu´ u´es es de gr gros osses ses mol´ mo l´ecule ecu les, s, chaˆıınes n es po polym lym´´eriqu eri ques es (p (pol oly´ y´ethyl` et hyl`ene ene par exemple) exem ple) form´ for m´ees ees par la r´ep´ ep´etitio eti tion n d’un d’u n monom` mon om`ere.( ere. ( C H 2 C H 2  (´ethy et hyl` l`ene) en e) par pa r exemple). exemp le). On peut voir alors cette chaˆ chaˆıne comme sur la figure suivante suivante (Verdu, (Verdu, p.59) et l’´elargi ela rgirr au cas des polym` po lym`eres eres consti con stitu´ tu´es es d’imbric d’i mbricati ation on de chaˆıınes ne s diff´erentes. erent es. On trouve tro uve

−

 −

−

ais´ement ement un million d’atomes dans des polym`eres eres qui ont des masses molaires de l’ordre

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Notes de cours Mat´eriaux Licence UPMC - 2004 - YB

 

1.4. Entre ordre et d´eesordre sordre

de 105 `a 107 g/mole. g/mole. La  La mol´ecule ecule peut prendre plusieurs plusieu rs configu c onfiguration rationss comme co mme une chaˆ chaˆıne articul´ articu l´eeee se repliant d´epliant. epliant. Elle est donc de longueur longu eur variable. On a des polym` pol ym`eres eres cristallis´ cristal lis´es, es, amorphes amorph es et ´evidemment evidemm ent toutes toute s les possibilit´ pos sibilit´es es interm´ediaires ediair es avec des polym` poly m`eres eres semi-cristalli semi-cri stallins ns (taux de cristallinit´ cristal linit´e variable).

Figure 1.8 – Structure amorphe et cristallis´ ee ee

1.4.1.1 1.4. 1.1

Polym` eres eres cristal cri stallis´ lis´ e ess

A traiter. traiter.

1.4.1.2

Polym` eres eres amorphes

On a dans ce cas une structure d´esordonn´ esordonn´ ee ee construite a` partir de longues chaˆ chaˆınes. Ces chaˆ chaˆınes peuvent se mouvoir, s’emmˆeler. eler. On a comme ´el´ el´eement ment de base des atomes de carbone, carb one, d’hydrog`ene, ene, d’oxyg`ene ene de soufre, soufre , ... li´es es entre eux par des liaisons liaiso ns covalentes, ioniques et faibles. On a aussi bien du plexyglass, dur et fragile que du caoutchouc, mou, tr` tr`eess d´eefor f orma mabl ble. e.

´ 1.4.2   Elasticit´ Elasti cit´ e caoutchoutique caoutchouti que (ou entropique) Dans ce type de mat´eriau eriau on constate consta te exp´erimentalement erimental ement que le comportement comp ortement ´elastique elasti que macroscopique macrosc opique permet perme t des d es ´eelongations longa tions de l’ordre l ’ordre de 1000% 1000 % avec une non lin´earit´ earit´e forte f orte et une concavit´ e vers le bas (en d´ebut ebut de courbe). Ceci signifie que le mat´eriau eriau a` tendance «  ` a se raidir   ». (courbe p. 1945 Verdu). On peut calculer le module ´elastique elastique en consid´erant erant la structure particuli`ere ere de la mati`ere ere : amorphe. amorph e. Si dans le cas pr´ec´ ec´edent edent des cristaux cristau x on a utilis´e l’´energie energi e d’interacd’interac tion pour effectuer nos calculs, il faut prendre d´esormais esormais consid´ erer erer qu’une d´eformation eformation ap appl pliq iqu´ u´eeee a` une chaˆ chaˆıne ne sollicitera sollici tera que tr`es es peu p eu les le s liaisons liai sons inter-atom i nter-atomiques iques (sauf dans le le cas tr`es es particulier de l’effet Mullins). Supposons Supp osons qu’on applique une force F  force F  pour  pour produire un allongement dl allongement  dl  : le travail de d´eforma efo rmatio tion n s’exprim s’ex primee de mani` man i`ere ere g´en´ en´erale eral e par : dW    =  dU  dW 

  −− T dS   ==  F dldl =  =⇒

  ∂U  F  F    = ∂l   T 

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−

 ∂S   ∂ S  T  ∂l   T 

(1.9)

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1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

Figure 1.9 – Courbe de comportement typique d’un caoutchouc (Verdu) avec U  avec  U  l’´  l’´energie ener gie interne inte rne et S  et  S  l’entropie.  l’entropie.

Remarques : 1. Dans ce cas on ne sollicite que tr`eess peu les liaisons internes internes de sorte que le premier premier termee (´elastic term ela sticit´ it´e cristal cris tallin line) e) reste rest e n´eglige egl igeabl ablee devant le second seco nd (´elasti ela sticit´ cit´e entropiq entro pique) ue).. 2. Dans le cas des cristaux la d´eformation eformation ne modifie pas ou peu l’ordre g´eom´ eom´etrique etrique et c’est le second terme qui est n´egligeable. egligeable. So Soit it un unee chaˆııne n e  OM . On sait calculer l’entropie de configuration : `a l’´ l ’´equi eq uili libr bree la l a chaˆ chaˆııne ne 2 2 2 2 2  ´ forme une pelote isotrope de rayon   r0   =  x 0  +  + y  y0  +  + z  z0   = 3x0 . Etudions une conformation quelconque (le point M a des nouvelles coordonn´ees ees (x,y ( x,y ,z)). ,z)). Si la chaˆ chaˆıne est Gaussienne, Gaussi enne, la probab pro babili ilit´ t´e de pr´esence esen ce de M dans dan s un ´el´ el´ement eme nt de volume volu me dxdydz  dxdydz es  estt donn´ don n´ee ee par : Ωr   = Ω x Ωy Ωz   = Ω 0 exp

−

  3r 2 2  < r02   >



 

(1.10)

Or la loi de Boltzmann lie l’entropie S  l’entropie  S  d’  d’un un syst` sy st`eeme m e a` sa probabilit´ probab ilit´e d’existe d ’existence nce : S (r ) =  k ln Ωr   k constante de Bolztmann

(1.11)

On aboutit tous calculs faits `a : E   = =

  3RT ρ M c

(1.12)

avec M  avec  M c  la masse molaire moyenne d’une chaˆ chaˆıne et R et  R  la constante des gaz parfaits.

1.5 1.5.1 1.5 .1

Notion Noti on de limite li mite d’´ d ’´ elastic ela sticit´ it´ e Mo Mod` d` e ele le ´ e electro le ctro-st -stati atique que

Essayons de d´eterminer etermin er a` partir du mod`ele ele ´electro-statique electro-statique la contrainte maximale supportable par le r´ eseau eseau suppos´e parfait. Celle-ci correspond au point d’inflexion de la

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1.5. Notion Notio n de limite limit e d’´elasticit´ elasti cit´e

courbe   U ( U (r ) entre le point   U (r0 ) et  et   U ( ). On trouve donc (voir TD) pour un potentiel   q  B U   = 4πǫ r + r   :

−

∞

2

0

2

n

σ  =  = E   E 

  n+1 2

  1 n−1

−1



 

(1.13)

On constate qu’avec n qu’avec n de  de l’ordre de 4 on trouve une contrainte de rupture de l’ordre du module mod ule d’´elasticit´ elasti cit´e ce qui n’est pas observ´e ssauf auf sur de minces filaments mono-cristall mono-c ristallins. ins. Dans la pratique les contraintes de rupture sont de l’ordre de   E/1000 E/ 1000..  On peut donc en d´eduire edu ire que d’autre d’a utress m´ecanism eca nismes es interv i ntervien iennent nent dans dan s lles es mat´ m at´eriaux eria ux a` la fois pour expliquer l’existence de d´eformations eformations permanentes et des contraintes de ruptures.

1.5.2

Glissem Glissemen entt cristallogra cristallographiqu phique e

Figure 1.10 – D´eeformation forma tion ´elastique elasti que et plastique plasti que (Douin) (Doui n) Lorsque l’on observe un poly-cristal d´eform´ eform´e plastiquement au microscope optique on observe de nombreuses no mbreuses bandes elles mˆemes emes constitu´ consti tu´ees ees de d e fines fine s lignes lig nes de d e glissement. gl issement. Dans le cas d’un mono cristal ce ph´enom` enom`ene ene est plus marqu´ e puisque toutes les bandes de glissement glissem ent sont parall`eles. eles. On peut p eut alors a lors supposer supp oser que qu e la d´eformation eforma tion plastique plasti que des d es m´etaux etaux est due du e `a un glissement cristallographique des plans les uns par rapport aux autres. Soit une ´eprouvette eprouvette de traction 1.11). ). Il est logique de calculer la mono-cristalline et un plan de glissement (voir figure   1.11 contrainte de cisaillement qui agit dans ce plan pour une contrainte   F /S   /S   de traction appliq app liqu´ u´ee. ee. On trouve tro uve ais´ement eme nt : τ   =

  F    cos θ cos κ  S 

 

(1.14)

Le terme cos θ cos κ  est appel´ appe l´e facteur f acteur de Schmid. Calculons cette contrainte a` partir des caract´eeristiques ristiqu es du r´eseau eseau atomique atomi que (voir TD). Pour cela on consid` con sid`ere ere un r´eseau esea u ssoum oumis is a` une contrainte de cisaillement τ  cisaillement  τ .. Dans ce cas il y a glissement glis sement d’une d’u ne partie part ie du r´eseau eseau par p ar rapport rapp ort `a l’autre dans la direction x direction  x.. La p´erio er iodi dici cit´ t´e du r´ eseau eseau permet de supposer que la variation de la cission en fonction du d´ eplacement x eplacement x

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1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

Figure 1.11 – Mono-cristal et crit`ere ere de Schmidt est sinus si nusoo¨ıd ıdal ale. e. x   (1.15) b avec   τ tthh  la valeur de la cission th´eorique avec eorique de glissement. En lin´earisant earisant et en prenant un facteur facteu r de d e Schmid ´egal egal `a 0, 5 on aboutit `a une contrainte F contrainte  F /S  ´   ´egale a` environ environ E  E /10 ce qui ne permet toujours toujours pas d’expliquer d’expliquer les valeurs aleurs exp´ exp´erimental erimentales. es. L’objet de la suite de ce cours est d’arriver `a expli exp liqu quer er ce cett ttee di diff´ ff´erenc ere ncee entre ent re propr pro pri´ i´et´ et´es es esti es tim´ m´ees ees et mesur´ mes ur´ees. ee s.

 

τ   =  τ tthh sin 2π

1.5.3

D´ e efauts fauts dans lles es mat´e eriaux riaux

Nous allons dans ce passage nous int´ eresser eresser essentiellement essentiellement aux mat´eriaux eriaux cristallins pour lesquels l’ordre parfait n’existe pas. Certaines propri´ et´ et´eess macroscopiques (modules d’´elasticit´ elasticit´ee,, coefficient de dilatation, ...) qui r´ esultent esultent de moyenne spatiale sont peu affect´ees ees par ces imperfecti imp erfections ons ; ce n’est pas le cas pour les ph´enom` enom`enes enes de plasticit´ plasti cit´e. e.

1.5.3.1

D´ e efauts fauts ponctuels

L’ordre L’o rdre r´egulie egu lierr d’un d’u n cristal cris tal pe peut ut ˆetre etre pe pertu rturb´ rb´e par la pr´esence esen ce soit soi t : 1.   d’atomes interticiels  (de mˆeme eme nature que les atomes du cristal) qui cr´ eeent ent une forte distorsion distor sion du r´eseau, eseau, 2. d’ato dont le nombre nombre est r´ egit egit par une loi de type type ’atomes mes manquan manquants ts (lacunes (lacunes))   dont Arheniuss dans les m´etaux. Arheniu etaux. Ces lacunes lac unes jouent j ouent un rˆole ol e imp im p ortant ort ant da dans ns les l es ph´ p h´enom` en om`enes en es de diffusion, diffusion,

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1.5. Notion Notio n de limite limit e d’´elasticit´ elasti cit´e

Figure 1.12 – Facteur de Schmid (Dorlot)

3.  de solutions solides. Un corps pur pouvant dissoudre une certaine proportion d’un autre corps, on trouve donc deux cas : – des atomes atomes   « ´etra et rang nger erss   »  qui occupent des noeuds du maillage et conduisent `a une distorsion et `a des modifi mo dificat cation ionss de propri´ pro pri´et´ et´es es ´eelectri lec triques ques,, – des atomes atomes   « ´etra et rang nger erss   »  qui sont en insertion. C’est le cas du carbone dans le fer.

1.5.3.2 1.5. 3.2

D´ efauts efau ts lin´ eiques eiqu es

Il s’agit de dislocations dont l’existence a ´et´ et´ e imagin´e par Voltera avant avant mˆeme eme de pouvoir en observer. Il existe deux types de dislocations : vis et coin. Dislocation coin. Elle correspond a` l’interruption d’un plan atomique le long d’une ligne ce qui conduit `a une forte distorsion du r´ eseau eseau atomique ato mique avec des zones en tension et d’autres d’autres en compression compression.. Une dislocation dislocation se caract´ caract´eerise rise par son vecteur vecteur de Burgers Burgers   b. Celui d’une dislocation coin est perpendiculaire a` la ligne de dislocation. eseau qui donne un vecteur de Dislocation vis. Dans ce cas on a un cisaillement du r´eseau Burgers Burg ers parall` para ll`ele ele a` la ligne de dislocation.

Remarques   : Ces d´ efauts efauts qui perturbent perturbent l’arrangeme l’arrangement nt cristallin cristallin augmenten augmententt son ´eenergie nergie totale total e puisqu’il puisqu’ il y a distorsion distor sion du r´eseau. eseau. On peut montrer que l’´energie energi e associ´ asso ci´eeee a` chaque dislocation est de la forme (voir TD) : W  W    =  µb2 /unit´e de longueur

(1.16)

En cons´ con s´equence equ ence le mat´eriau eria u qui q ui recherche reche rche a` minimiser mi nimiser son ´energie energi e interne intern e va donc do nc pripr ivil´egier egier des dislocations dislo cations dont le vecteur de Burgers est le plus court possible (soit la plus petite distance inter-atomique en pratique). Dans une structure CFC on a la direction

110  et une longueur (a ( a√ 22)/ )/2 alors que pour une structure CC c’est la direction   111 Notes de cours Mat´eriaux Licence UPMC - 2004 - YB

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1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

Figure 1.13 – Dislocations observ´ ees ees au MET dans un ´echantillon echantillon de fer (Dorlot)

Figure 1.14 – Dislocation coin et vecteur de Burgers(Dorlot)

√ 

avec une un e longueur longue ur associ´ asso ci´eeee (a 3) 3)//2. Leur observation observation est possible au microscope ´electronique electronique a` transmission. transmi ssion. Les densit´eess varient selon le traitement thermique (qui tend `a diminuer la densit´ e de dislocations) et les sollicita sol licitations tions m´ecaniques.(qu ecaniq ues.(quii l’augmentent). l’au gmentent).

Mat´eriau Densit´e de dislocation dislo cation (cm/cm3 )

M´etal recuit 106

M´etal ´ecroui 1012

Remarque  : On peut trouver l’expression (Friedel p. 54) de la contrainte cisaillement n´ecessaire ecessaire au mouvement mouvement d’une dislocation qui de proche en proche va cisailler le cristal. Elle est donn´ee ee pour une dislocation vis avec a avec a  un param`etre etre de maille par : τ   = 2µ exp

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a 2π b

− 

 

(1.17)

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1.5. Notion Notio n de limite limit e d’´elasticit´ elasti cit´e

Figure 1.15 – Dislocation vis (Dorlot)

Figure 1.16 – M´ecanisme ecanisme de multiplication des dislocations (Dorlot) Cette relation permet de constater que l’ordre de grandeur ainsi trouv´ e est de  de   µ/100 µ/100 `a   µ/1000 µ/1000 pour la contrain contrainte te de cisaillemen cisaillementt critique critique ce qui signifie signifie que ce m´ ecanisme ecanisme est probable pour expliquer la plasticit´e cristalline.

1.5.3.3

D´ efauts efauts surfaciques surfaciques

On trouve dans cette cat´egorie egorie les joints de grains et les macles. 1.   Les Les joint jointss de grain grainss   corresponden correspondentt a` la limite entre entre les diff´ erents erents grains d’un mat´eriau eriau poly-cristallin. Les joints de grains ont une ´epaisseur epaisseur de quelques couches atomiques, sont des zones fortement distordues ce qui permet l’insertion d’atomes. Si les grains sont syst´ ematiquement ematiquement ´elastiquement elastiquement anisotropes le poly-cristal peut ˆetre etre isotrop is otropee en raison ra ison de d e l’orientatio l’o rientation n al´eatoire eatoi re des orientations orientati ons cristall cr istallines. ines. 2. Les   macles   corresponden correspondentt a` des d´ efauts efauts dans l’ordre l’ordre d’empilemen d’empilementt des couches couches d’atomes. On peut donc trouver `a l’int´ erieur erieur d’un mˆeme eme grain des traces de maclage.

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1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

Figure 1.17 – Joint de grain (MET), (Qu´er´ er´e) e)

Figure 1.18 – Maclage, principe et observation (Dorlot)

1.5.3.4

D´ e efauts fauts volumiques

On a de tels d´efauts efaut s lorsqu’u l orsqu’une ne partie du cristal crista l est e st remplac´e par p ar un autre mat´eriau eriau : inclusi inc lusion on ou pr´eecit´ ci t´e. e. Ils jouent jou ent un rˆole ole tr`es es importa imp ortant nt pour p our la modifi mo dificat cation ion des propri´ pro pri´et´ et´es es des mat´eriaux eria ux (limit (li mitee ´elasti ela stique que). ).

1.5.4 1.5 .4

Forc orces es s’e s’exer xer¸¸ccant ant sur une dislocation

Soit un cristal d’´epaisseur epaisse ur unit´e qui a subi un cisaillement cisaill ement donn´e par le vecteur vecteur b.  b. Si  Si il faut appliquer une force F  force  F    pour obtenir ce cisaillement alors le travail travail effectu´e est  F L.  Si L. Si l’o l’on n s’int´eresse eres se a` la dislocation, elle subi une contrainte de cisaillement cisaillement τ   τ  ce  ce qui donne un effort τ effort  τ L  par ´epaisseur epaisse ur unit´e. e. Le travail de cette force est donc  τ Lb Lb ce  ce qui signifie que : F   F   =  τ b La d´eformation eforma tion plastiq p lastique ue macroscopi mac roscopique que n’est n’ est rien rie n d’autre d’au tre que la cons´ co ns´equence equence du moumou vement d’un grand nombre de dislocations.

1.5.5 1.5 .5

Ph´ e enom` nom`e enes nes d’inte d’interac ractio tion n

En fait lorsque lorsque l’on observe la courbe de plasticit´ plasticit´ e d’un cristal dans lequel lequel un seul syst`eme eme de glissement glissem ent est activ´e on obtient une courbe courb e de type ´elasticit´ elasti cit´e plasti plasticit´ cit´e par-

20

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1.5. Notion Notio n de limite limit e d’´elasticit´ elasti cit´e

faite . Si on s’int´eresse faite. eresse au mˆeme eme cristal c ristal dans lequel plusieurs plusieu rs syst` sys t`emes emes de glissement g lissement sont activ´ act iv´eess alors alo rs il y a interact inte raction ion entre eux et en r´esulte esu lte le ph´enom` eno m`ene ene de  durcissement ou d’´ecro ec roui uiss ssag age e  comme le montrent les deux figures suivantes. D’une fa¸con con g´en´ en´erale erale le durcissement durcisse ment est une cons´equence equence d’interactions d’interac tions entre les dislocations loc ations et des d´efauts efauts qui peuvent ˆetre etre :  1.19)) 1. des inclusions inclusions (figure (figure 1.19

Figure Fig ure 1.19 1.1 9 – Durcisse Durc issement ment par pr´ecipit´ eci pit´es es 2. des joints joints de grain, grain, 3. les dislocations elles mˆemes. emes.

Figure 1.20 – Augmentation de la densit´ e de dislocations au a u cours d’un essai de traction

1.5.6 1.5 .6 1.5.6.1 1.5. 6.1

Crit`e eres res de pla plasti sticit´ cit´e Mat´ eriaux eriau x m´ etallique etal liquess

A l’´echelle echelle macroscopique on traduit la transition entre comportement ´elastique elastique et plastique plasti que par un crit`ere ere de type Mises (pour (po ur les mat´eeriaux riaux m´etalliques etalli ques dans des conditions condit ions

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21

 

1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

Figure 1.21 – Essai de traction usuelles de pression hydro-statique). Ce dernier postule que l’´energie energie ´elastique elastique emmagasin´ee ee attei at teint nt une certa c ertaine ine valeur vale ur c alors il y a mouvement local des dislocations et apparition de d´eformat efo rmation ionss plasti pla stiques ques.. Ce crit` cri t`ere ere s’´ecrit ecri t :

  − J 2

c  = 0

Figure 1.22 – Crit` ere ere de von Mises

√ 

avec J 2  le deuxi` avec J  de uxi`eme eme invariant invaria nt du tenseur ten seur d´eviateur evia teur des contra c ontraintes intes J   J 2  =   12 σij σij . Il ne fait intervenir que q ue des termes d’´energie energie de distorsion dis torsion.. La partie hydro-statique hydro-stat ique de l’´eenergie nergi e apport´ee ee n’intervient n’intervient pas ce qui est conforme au crit`ere ere local lo cal de schmidt (voir TD). Il a la forme d’un cylindre dans l’espace des contraintes, de base circulaire. d’ autres crit`eres eres existent de type typ e Tresca qui q ui sont s ont des de s crit` cri t`eeres res en contrainte. c ontrainte. Remarque : d’autres En fait fa it il n’y a que peu p eu de diff´erence erence entre Mises et Tresca.

1.5.6.2

Mat´ eriaux eriaux poreux

Dans le cas de mat´eriaux eriaux poreux (sols, roches, b´eton, eton, mousses...) il n’est pas raisonnable d’utiliser d’util iser le crit`ere ere de Mises car c ar d’autres d’a utres m´ecanismes ecanism es de ruine r uine existent ex istent par p ar croissance croi ssance

22

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1.6. Grandes Grandes classes classes de comportemen comportementt

ou effondrement de cavit´ es. es. Par ailleurs des interactions existent entre la plasticit´e classique (du squelette) squelett e) et l’´evolution evolutio n de la porosit´ p orosit´e. e. Il est donc d onc logique logiq ue de d e faire fa ire apparaˆıtre ıtre le premier invariant du tenseur des contraintes dans le crit`eere re qui peut s’´ecrire ecrire ainsi (crit`ere ere de Drucker Prager, 1952) : J 2

  −

αI 1

c  = 0

−

Ce crit` ere ere transforme le cylindre en un cˆone. one. Son inconv´enient enient est de ne pas d´ecrire ecrire l’effondrement de la mati`ere ere sous de fortes pressions hydro-statiques puisque le crit`ere ere est ouvert dans ce domaine.

Figure 1.23 – Crit` ere ere de Mohr Coulomb

1.6

Grande Grandess clas classes ses de com comport portem emen entt

L’objectif de cette partie est de classer classer le comportement comportement des mat´ eeriaux riaux en grandes grandes classes : ´elasticit´ elasti cit´e - visco (thermo, (therm o, hydro) ´elasticit´ elastic it´e - plasticit´ plasti cit´e - visco-plastic visco-p lasticit´ it´e - endommagement afin de mettre en place les grandeurs importantes pour chaque type de comportement. On a vu que l’´elasticit´ elasticit´e macroscopique provient soit d’une modification de l’´energie energie interne des mat´eriaux eriaux cristallins soit de la modification de l’entropie pour p our les mat´eeriaux ri aux amorphe amo rphes. s.

´ asti 1.6.1   Elas El tici cit´ t´ e Un mat´eriau eriau a un comportement ´elastique elastique si et seulement si il y a r´ eversibilit´ eversibilit´e de la courbe contrainte d´eformation. eformation. Les principales caract´eeristiques ristiques d’un comportement ´elasti ela stique que sont : 1.   Lin´eaire eair e ou non . En fait tout d´epend epend des mat´eriaux. eriaux. Dans de nombreux cas, la lin´ li n´eeari a rit´ t´e est es t ob obse serv rv´´eeee (m´ (m ´etau et aux) x) a` temp´ te mp´eratu era ture re ambi a mbiant ante. e. Les L es ´elas el asto tom` m`eres, ere s, les l es sol s olss sont so nt clairem cla irement ent des mat´eeriaux ri aux ´elastiq ela stiques ues non lin´eaires eai res..Dans ce cas il faut des fonctions pour d´ecrire ecrire l’´elasticit´ elasti cit´e (souvent des formes exponentielle expo nentielless ou puissance). puissan ce).

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1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

2.   Isotropie. Dans ce cas le nombre nombre des constantes constantes (dans le cas lin´ lin´eeaire) aire) a` identifier est de 2 (module de compressibilit´ e et de cisaillement). De D e nombreux mat´eriaux eriaux cristallins crist allins obtenus par fonderie fonderie sont isotropes (aciers, (aciers, alliages alliages d’aluminium) d’aluminium).. 3.  Anisotropie   (hypoth` (hypo th`ese ese de lin´earit´ earit´e pour pou r simplifier). simpli fier). Le degr´e d’aniso d’anisotropie tropie est variable. Il I l est faible pour des cristaux cri staux de sym´etrie etrie cubique (3 constantes co nstantes ´elastiques), elasti ques), ´elev´ elev´e pour des cristaux cristau x tricliniques triclin iques (aucune (aucun e sym´etrie etrie donc 21 consta constantes). ntes). On peut pour les mat´eriaux eriaux distinguer les principaux cas suivants suivants : – isotropie transverse (5 coefficients). co efficients). Il y a un axe de sym´ etrie etrie (intersection de plans de sym´ sym´etrie). etrie). Dans ce cas on a isotropie isotropie dans le plan perpendi p erpendiculair culairee a` l’axe de sy sym´ m´etri et rie. e. – orthotropie ortho tropie (9 coefficients) co efficients).. C’est C’es t le cas d’un d’ un mat´ m at´eeriau riau poss´edant edant 3 plans de sym´etrie etrie perpendiculaires. Le bois est localement orthotrope. – Les autres a utres cas ne sont que de peu p eu d’int´erˆ erˆ eett compte tenu du nombre de constantes a` identifier.

1.6.1 1.6 .1.1 .1

Ident Identific ificati ation on

Pour mesurer les constantes consta ntes ´elastiques elastiq ues on peut utiliser utili ser des m´ethodes etho des diff´eerentes rentes : 1.  J  Jauge augess de d´ eformati efor mation on. Ce sont des fils r´esistifs esistifs (le plus souvent ; parfois ils sont piezo esistifs) ede sistifs) coll´es es du surfillaest surface dont on veut mesurer les d´eformations. eOn formations. riationr´ r´esistance esistance proportionnelle `a l’allongement. a dans le La casvade nl avec   ρ  la r´esist es istivi ivit´ t´e du mat´ ma t´eriau eri aux x et   S  S    sa section. Si n   brins brin s en parall` par all`ele ele   R   =   ρ S    avec  on veut mesurer des d´eformations eformations dans diff´erentes erentes directions il faut coller plusieurs  jauges.

Figure 1.24 1.2 4 – Jauge de d´eformation eformation (cours Challande UPMC) 2.   M´ D ans ce cas on utilise les relations entre des fr´equences equences de ethode etho de de vibratio vibr ation n. Dans r´esonan eso nance ce et les caract´ car act´eristiq eris tiques ues ´elastiq ela stiques ues du mat´eeriau. ri au. On fait fai t souvent sou vent l’hypo l’hy poth` th`ese ese que le coefficient de Poisson est connu et vaut 0, 0, 3 po pour ur les m´etaux. eta ux. 3.   M´ ethode ethode de propagation d’ondes ultra-sonores. La vitesse des ondes de volume est une fonction des modules mo dules ´elastiques elastiques et de la masse volumique. Dans le cas d’un mat´eriau eriau isotrope isotrop e on a deux ondes dites L (longitudinale) et T (transversale). ρV L2  = ρV T 2  =

  E ((11 υ ) (1 + υ )(1 2υ)   E 

−

−

2(1 + υ )

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1.6. Grandes Grandes classes classes de comportemen comportementt

L’ordre de grandeur des vitesses est 1500ms 1500 ms 1 pour l’onde longitudinale dans l’eau, 6000ms 6000 ms 1 pou pourr les le s autres au tres mat´eriaux eriaux et la l a moiti´ m oiti´e (e (en n premi` p remi`ere ere approximat a pproximation) ion) pour pou r l’onde de cisailleement. Si le mat´eriau eriau est anisotrope, des mesures dans diff´erentes erentes directions directi ons permettent p ermettent de d e calculer calcul er le tenseur tense ur complet compl et (21 constantes, co nstantes, tth` h`ese ese M. Fran¸cois cois UPMC). −

−

1.6. 1.6.2 2

The Thermo rmo-´ -´ e elas lasti tici cit´ t´ e

On a vu qu’une qu ’une variation varia tion de temp´ te mp´erature erature a pour p our cons´ c ons´eequence quence une dilatat di latation ion thermique thermiq ue (via l’agitation thermique). Il est alors ais´e de d´eterminer eterminer le coefficient de dilatation qui prend les valeurs valeurs suivantes suivantes selon les mat´eriaux eriaux :

Ma t´ Mat´ eri ria au   α  ( 10 6 C   5 Silice   10 Verre   5 Acier   100 Pollym` Po ere −

◦

1

−

) .

Remarques  : 1. Ce coefficie co efficient nt ne demeure demeure constant que dans une gamme de temp´ temp´erature erature pour p our laquelle le mat´eriau eriau ne subit sub it aucune au cune transfo t ransformatio rmation n m´etallurgique. etallu rgique. Dans les l es autres au tres cas ca s (changement de phase) il peut y avoir des changement brutaux. 2. Le b´eton et on arm´ ar m´e est es t co comp mpos´ os´e de deux deu x mat´ ma t´eriau eri aux x tr`es es di diff´ ff´erents ere nts : le b´eton eto n et des de s arma ar ma-ture m´etalliques etalli ques (acier). (acier) . N´eanmoins eanmoi ns les coefficients coeffi cients de dilatation dilat ation des deux mat´eeriaux riaux sont les mˆemes emes ce qui permet leur assemblage.

1.6. 1.6.3 3

Hyd Hydro ro-´ -´ e elast la stic icit´ it´e

En fait pour la mat´eriaux eriaux tels que le bois bo is on sait qu’il existe un relation entre la teneur en eau et la g´eom´ eom´etrie. etri e. Ce ph´enom` eno m`ene ene est en tout tou t point po int semblabl sembl ablee a` la th therm ermo-´ o-´elas el asti tici cit´ t´e en rempla¸cant cant la variable temp´erature erature par la variable humidit´e. e. Tous les mat´eriaux eriaux poreux poreu x pr´esentent esent ent ce mˆeme eme caract` car act`ere ere (b´etons, eto ns, ro roches, ches, bois, bo is, argile arg iles, s, po polym` lym`eres... eres ...). ). Dans Dan s certain cert ainss cas les variations variat ions dimensionnell dimensi onnelles es peuvent p euvent ˆetre etre spectaculai spect aculaires res : des argiles a rgiles peuvent en pr´esence esence d’eau tripler leur volume volume apparent !

1.6. 1.6.4 4

Vi Visc sco-´ o-´elast ela stic icit´ it´e

Il s’agit de la d´ependance ependance des modules d’´elasticit´ elasticit´ e avec la vitesse de sollicitation qui conduit `a des courbes de comportement contrainte d´eformation eformation d´ependantes ependantes du temps. C’est pour les polym` eres eres que ce point est particuli` particuli` erement erement important important Pour les autres mat´eeriaux ri aux il faut fau t en g´en´ en´eral eral une temp´erature era ture ´elev´ ele v´ee ee po pour ur l’obte l’o btenir nir.. On caract´ car act´eerise ris e ce ph´enom` en om`ene en e pa parr di diff´ ff´erent er entss types typ es d’ d’ess essai aiss : 1. sp spectr ectrom´ om´etrie etri e de fr´equence equ ence,, 2. fluage, 3. relaxation. relaxation.

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25

 

1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

1.6.4.1 1.6. 4.1

Spectr Sp ectrom´ om´ etrie etri e de fr´ equence eque nce

Dans ce cas on cherche `a mesurer directement directem ent les caract´eeristiques ristiq ues ´elastiques elasti ques par divers essais pour p our couvrir toute la gamme de fr´equence equence : 1. fluage pour des fr´equences equences nulles, 2. essais pendulaires pour des fr´equences equences faibles (H z ), 3. essais essais de vibrations vibrations de poutres, de plaques (kH (kH z ), 4. propagation propagation d’ondes d’ondes (M (M H z ).

1. 1.6. 6.4. 4.2 2

Fl Flua uage ge

Dans un essai de fluage on impose une contrain contrainte te constante constante et on observe observe l’´eevolution volution des d´eformations. eformations. On obtient le graphe suivant suivant (Figure 1.25 (Figure  1.25)) :

Figure 1.25 – Essais de Fluage (Dorlot)

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1.6. Grandes Grandes classes classes de comportemen comportementt

1.6.4 1.6 .4.3 .3

Relax Relaxati ation on

Il s’agit de l’essai inverse inverse du pr´ec´ ec´ eedent. dent. On d´eforme eforme l’´echantillon echantillon et on observe la relaxation (diminution) des contraintes. Rep renons ns l’exemp l’ex emple le du b´eton eto n arm´e pr´econtrai eco ntraint. nt. Le b´eton eto n ´etant eta nt un Remarque   : Repreno mat´eriau eriau ne r´ esistant esistant pas aux contrainte de traction, on place des armatures d’aciers que l’on met en tension et qui par cons´ co ns´ equence equence compriment le b´eton. eton. Au cours du temps il est n´ecessai eces saire re de venir tendre tend re les aciers aci ers car la visco-´ visc o-´elasti ela sticit´ cit´e (` ( a` la fois de l’acier l’a cier et du b´eton) eton) fait fai t dispa di sparaˆ raˆıtre ıtr e progres pro gressivem sivement ent la l a pr´e-contra e-co ntrainte. inte.

1.6.4.4 1.6. 4.4

Mod`eles eles rh´ eologiqu eolo giques es

Pour d´ ecrire ecrire ces ph´enom` enom`enes enes il est commode d’utiliser un assemblage de ressorts et amortisseurs. On a les arrangements simples suivants : 1. amortisseur et ressort en s´erie, erie, 2. amortisseur et ressort en parall`ele, ele, 3. ressort en s´erie erie avec un ressort et un amortisseur en parall`ele. ele. Ce dernier mod`eele le est le plus simple qui permette une description r´ealiste ealiste des essais de spectrom´etrie etrie fr´equentiel eque ntielle le (voir (voi r TD). T D).

1.6.5

Elastoplasticit´ e

Ce comportement est commun `a la plupar plu partt des mat´eriaux eria ux m´etalli eta llique quess aux polym` po lym`eres. eres . 1. l’´elasti ela sticit´ cit´e lin´eaire eai re ou non (comp (co mporte ortement ment r´eversible eversi ble), ), 2. suivie d’un phase au cours de laquelle des transformations irr´eeversibles versibles naissent au sein du mat´eriau eriau (multiplication et interaction des dislocations). dislo cations). Dans Da ns cette seconde phase il y a en raison des interactions entre dislocations et d´efauts efauts du mat´eriau eriau un ´ecrouis ecro uissag sagee (aug ( augmenta mentatio tion n de la limite lim ite d’´elasti ela sticit´ cit´e appa a pparente rente du mat´eriau). eria u). 3. Lors d’une d’u ne d´echarge echa rge on o n retrou ret rouve ve des d´eformat efo rmation ionss perman pe rmanentes entes appel´ app el´ees ees d´eforma efo rmatio tions ns plastiques. plasti ques. Une recharge permet perme t de constater consta ter que le domai domaine ne d’´elasticit´ elastic it´e a augment´e en raison de l’´ecrouissage. ecrouiss age. Remarque : La zone de transition entre ´elasticit´ elasticit´e et plasticit´e permet d’identifier l’´eevoluti vol ution on de la surface surf ace de charge char ge (domai (do maine ne d’´elasti ela sticit´ cit´e) e) du mat´eriau. eria u.

1.6.6 1.6 .6

Gran Grandeur deurss ca caract´ ract´e eristiqu ris tiques es d’ d’un un ma mat´ t´ e eriau ria u ´ e elastola sto-plas plastiq tique ue et m´ e ethodes tho des d’essai

Un mat´eeriau ri au ´elasto ela sto-pla -plasti stique que se caract´ cara ct´erise eris e par : 1. Son  ´ elasticit´ e. 2. Son domaine domain e d’´elasticit´ elasti cit´e initial initia l (limite (limit e d’´elasticit´ elasti cit´e initia initiale). le). On mesure pour cela de fa¸con con conventi conventionnell onnellee la contrain contrainte te seuil  seuil   σs   d´etermin´ eter min´ee ee par l’appa l’a ppariti rition on d’une d’u ne d´eeformation forma tion plastique plasti que de 0, 2% pour les m´etaux. etaux. 3. Sa  r´ maximale  σ M  et la d´eforma efo rmatio tion n plas p lastiq tique ue associ´ asso ci´ee ǫ ee  ǫ M   que esis es ista tanc nce e  contrainte maximale σ l’on d´eduit eduit de la courbe effort d´eformation eformation par la relation :   F M    F  M  σM   = S    = S 0 exp(  exp(ǫǫM )

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1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

Remarques  : – On fait dans ce calcul l’hypoth`ese ese d’incompressibilit´ e plastique et on n´eglige eglige les d´eeformations forma tions ´elastiques elasti ques devant les d´eformations eforma tions plastiques plasti ques (voir TD). – On peut utiliser une autre m´ethode ethode beaucoup b eaucoup plus simple dite de  du  duret´ e  ou d’indentation. sur la que surface mat´eriau eriau une bille l’effort. (ou un cˆ one one d´ ou une pyramide selon On les pose m´ethodes) ethodes) l’ondu enfonce en mesurant Des eformations eformations plastiques sont alors impos´ imp os´eees es lo localement calement ; elles donnent naissance a` une empreinte sph´erique erique (cas de d e la bille). bille) . On r´ealise ealise de fait fa it un essai de compression com pression complexe. complex e. Le rapport de l’effort `a la surface pro jet´ee ee de l’empreinte (mesure sous microscope) do donn nnee un unee quanti qua ntit´ t´e appe ap pel´ l´eee H  e  H    (h (har ardn dness ess duret´ dur et´ee)) h hom omog` og`ene en e `a une contrainte qui dans le cas des m´etaux etaux donne

 ∼

H B =  3  3σ σl La valeur σ valeur  σ l  r  repr´ epr´esente esent e la limite lim ite d’´elasti ela sticit´ cit´e actuel act uelle le et local lo calee du mat´eeriau. ri au. H   H B   est relatif `a l’essai de duret´ e Brinnell (avec la bille de 10mm 10mm et  et des efforts de l’ordre de 1000N  1000N ). ).

Figure 1.26 – Corr´elation elatio n entre duret´e et contrainte limite

4. Sa duct erise son aptitude aptit ude a` se d´eformer eformer plastiquement plasti quement sans s ans se rompre. ctil ilit it´ ´ e qui caract´erise On mesure mes ure pour p our cela c ela la l a d´eforma efo rmatio tion n (appe (ap pel´ l´ee ee allong all ongement ement A%) `a rupture rupt ure La ductili duct ilit´ t´e est recherch´ re cherch´ee ee pour p our l’embou l ’emboutissag tissagee des tˆoles oles par exemple. 5. La  t´  qui ui caract´ car act´erise eris e la r´esistan esis tance ce d’un d’u n mat´eeriau ria u a` la propagation brutale de  t´ enacit´ e  q fissure.

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1.7. Grandes Grandes classes d’endommag d’endommagemen ementt et de rupture

1.6.7 1.6 .7

Quel Quelques ques pro propri´ pri´e et´ t´ e ess  ( M P a)   Rm  (  (M M P a)   A% Re  (M 20 45 50 100 120 7 100 225 16

Mat´ Mat eria riau Aluminium recuit Aluminium ´ecroui Al-7075 recuit Al-7075 Acier (0,55%C) Acier tremp´e

1.7

500 430 705

570 800 1000

11 14 8

Grande Grandess classe classess d’en d’endom dommag mageme emen nt et de rup ruptur ture e

Les mat´eriaux eriaux que ce soit des alliages alliag es m´etalliques, etalli ques, des c´eramiques, eramiqu es, des polym` pol ym`eres eres arrivent tous `a un stade de rupture. Celle-ci est totalement conditionn´ee ee par les d´efauts efauts qui existent dans ces mat´eriaux. eriaux. On distingue selon les mat´eriaux eriaux et les cas de chargement des endommagements : 1.   fragile. Dans ce cas l’amor¸cage cage d’une fissure pr´ec` ec`eede de de peu la rupture. 2.   ductile. Il y a une phase assez longue de propagation de d´efauts. efauts. 3.   de fluage. Il est r´egit egit par des m´ecanismes ecanism es de diffusion. diffusi on. 4.  de fatigue. C’est un cas particulier.

1.7.1 1.7. 1

End Endomm ommage agemen mentt fra fragile gile

Un mat´ ma t´eriau eriau est dit d it fragile fr agile si l’appari l’ apparition tion d’un d´efaut efaut conduit rapidement rapide ment `a la rupture. rupture. C’est le cas des c´eramiques, eramiques, des b´etons, etons, des m´etaux etaux dans certaines conditions. On peut ˆeetre tre tent´e d’adopter d’adop ter un crit`ere ere macroscopique macros copique de rupture fragile fragil e de type Rankine : Si Si   σ

 ≥ σ   alors rupture c

(1.18)

On Pour peut raisonner en  t´ principale mesurer la caract´ cara ct´erise eride se traction ce ph´enom` enopar m`ene eexemple. ne on utilis uti lisee l’´energie ene rgie requise requ ise tcontrainte ´ enacit´ e   qui pourr entraˆ pou entraˆıner la rupture d’un ´el´ el´ement ement de surface. surfac e. Griffith (1930) (1930 ) a prop propos´ os´e une th´eorie eorie permettant perme ttant de d´ecrire ecrire l’exp´erience erience qui montre que pour des mat´eriaux eriaux tels que les verres (donc exempts de plasticit´ plasti cit´ee)) la contrainte de rupture est tr`es es largem largement ent inf´erieure erieure a` ce que pr´evoit evoit un mod` mo d`ele ele atomiqu ato mique. e. Il a observ´ obs erv´e que des fils de verre tr`es es minces min ces et fraˆııchement chem ent obtenus avaient une r´esistance esista nce exp´erimentale erimental e a` la rupture proche de la valeur th´eorique eorique maiss que mai q ue ray´es es cel celle-c le-cii s’en s ’en ´eloign elo ignait ait..

1.7.1.1 1.7. 1.1

Concent Concentrati ration on de cont contrain rainte te

Consid´ erons erons une plaque infinie perc´ee ee d’un trou de rayon quelconque. On sait grˆ aace ce a` l’´ elasticit´ elasticit´ e lin lin´´eaire eaire que la contrain contrainte te locale de traction traction est 3 fois plus grande que la contrai cont rainte nte appliq app liqu´ u´eeee `a ll’i ’infi nfini ni.. C Con onsi sid´ d´eeron r onss un u n d´efau ef autt g´eom´ eo m´etri et riqu quee `a la surf surface ace d’un d ’un mat´ m at´eeriau ria u soumis a` une contrainte contrainte nominale de traction traction σ  σ nom . De la mˆeme em e mani` ma ni`ere ere qu’e qu ’en n m´ecani eca nique que

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1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

des fluides, on imagine un flux des contraintes qui admet des concentrations au voisinage du d´efaut. efaut. On peut montrer que :

   

 = σ σ  =  σ nom 1 +

a r

 

(1.19)

a pointe de fissure et   σ avec   a  la profondeur avec fissure, r   le rayon de courbure   est appel´ app el´e facteu facteurr de la contrainte de traction de en la pointe de  fissure. Le terme 1 + en r concentration de contrainte.

  

Exemple  : dans le cas d’une rayure d’un milli`eme eme de millim`etre etre ce facteur vaut 140 pour un rayon de courbure donn´e par la distance inter-atomique (0, (0, 2nm nm). ). La vitesse de propagation de cette fissure est alors donn´ee ee par la vitesse des ondes de Rayleigh soit 40% de la vitesse des ondes longitudinales environ (2000ms (2000 ms 1 ). −

1.7.1.2

Champ de contrainte contrainte en tˆ ete ete d’une fissure

Dans ce cas d’une plaque fissur´ee ee on peut montrer que le champ de contrainte admet une sol soluti ution on de type typ e g´en´ en´eral eral : σ

  K  f (θ) 2πr f (

(1.20)

 ≈ √ 

expressi on donn´eeee en coordonn´ expression coo rdonn´ees ees polaires pol aires dans laquelle laquel le K   K  rep  repr´ r´esente esente le facteur facte ur d’intensit´e des contraintes. contrainte s. Ceci signifie sig nifie que les le s contraintes sont so nt infinies dans d ans le cas d’une d’ une fissure de rayon de courbure nul en pointe. En fait dans la r´ealit´ ealit´e il existe une zone plastifi´ee ee en pointe de fissure.

1.7.1.3

Th´ eorie eorie de Griffith Griffith

Cons Co nsid´ id´erons ero ns un mat´ ma t´eria er iau u fis fissu sur´ r´e da dans ns deux deu x ´etats eta ts : 1. av avec ec une fissure de longueur longueur 2a 2a, 2. av avec ec une fissure de longueur longueur 2(a 2(a + da da)). L’´eenerg n ergie ie ´eelasti la stiqu quee lib´ li b´er´ er´ee ee pa parr la propa pro paga gati tion on de de da  da  est donn´ don n´ee ee par : σ2  = π  = π W el  πa a σε σε =  πa a e´l  = E  La variation d’´energie energie en fonctio f onction n de  da  est donn´ don n´ee ee par : 2

2

 

(1.21)

σ2   (1.22)  da E  Mais pour que la propagation propagation soit possible il faut donner l’´ eenergie nergie n´ ecessaire ecessaire a` la rupture ruptu re des liaisons liaisons atomiques. atomiques. On note γ  note γ s  l’´energie energie de surface du mat´eriau eriau ce qui donne : dW el e´l  = 2πa

dW s  = 4γ s da

 

(1.23)

Au bilan la variation de l’´energie energie potentielle du syst` eme eme est donc : dW    =  dW s dW 

30

− dW 

el e´l

 

(1.24)

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1.7. Grandes Grandes classes d’endommag d’endommagemen ementt et de rupture

Figure 1.27 – Propagation de fissure (Dorlot) Le crit`ere ere de Griffith est que la fissure se propagera de da de  da sous  sous l’action de la contrainte appliqu´ee ee si la mat´eriau eriau peut tendre vers une ´eenergie nergie potentielle plus faible (´etat etat plus stable) ce qui s’exprime par : dW  0 da D’o` u en e n repre r eprenant nant les expressi expr essions ons pr´ec´ ec´edentes ede ntes :

 ≤

(1.25)

 

2Eγ s   (1.26) πa Exprim´eeee en terme d’´energie energie la condition condit ion de Griffith peut s’interpr´eter eter comme suit : en en dessous de la valeur a valeur ac  il n’y n ’y a aucun auc un risqu r isquee alors al ors que dans dan s le cas contrai cont raire, re, l’´eenergie ner gie lib´er´ er´ee ee ´etan et antt sup´ su p´erie er ieur uree a` l’´energie energi e n´ecessaire ecessai re pour cr´eer eer de nouvelle surface il y a propagation propag ation instable de la fissure. σnom

 ≥

l’ex pressio sion n issue issu e du crit`ere ere de Griffith Griffi th peut pe ut ˆetre etre inte interpr´ rpr´et´ et´ee ee : Remarque  : l’expres 1. Soit comme un crit` ere ere en contrainte et dans ce cas on retrouve un crit` ere ere de type Rankine. 2. Soit Soi t comme com me un cri crit` t`ere ere ´energ´ ene rg´etique eti que en notant not ant   G  la quant qu antit´ it´e 2γ s .

1.7. 1. 7.1. 1.4 4 T´ enac en acit´ it´e Sa mesure correspond a` la mesure de l’´energie energie n´ecessaire ecessair e pour pou r rompre un mat´eriau. eriau. 2 Son unit´e est le   J m .  On constate que selon le comportement ductile ou fragile cette quantit´ qua ntit´e est tr`es es variable variab le et que cette cet te notion not ion de t´enacit´ ena cit´e est diff´erente erent e de celle cel le de rig rigidi idit´ t´e ou de ductilit´e. e. On la mesure pratiquement grˆaace ce au mouton de Charpy (1901) qui donne la  r´esil ma t´eeriau ri au.. es ilie ienc nce e  du mat´ −

alo rs la r´esilience esilien ce equation   1.26   en notant   G   = 2γ s   alors Remarque   : si l’on reprend l’´equation mesur´eeee dans l’essai Charpy est la quantit´e   G  qui est l’´eenergie nergie n´ecessaire ecessair e pour pou r atteindre attein dre la rupture du mat´eriau. eriau.

1.7.1. 1.7 .1.5 5

M´ ethod eth odes es pour po ur am´ e eliore li orerr la t´ enacit´ ena cit´e d’un d’ un mat´ mat ´ eriau eri au

Le cas des mat´eriaux eriaux fragiles fragi les (verres, b´etons) etons) pose probl`eme eme puisque l’existence l’exist ence d’un d´eefaut faut critique critiqu e provoque pr ovoque la rupture brutale. brutal e. Pour Pou r l’´eviter eviter on peut :

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31

 

1. Structu Stru cture, re, texture tex ture des mat´eriaux eria ux et propri´ prop ri´et´ et´es es

1. Mettre Mettre les d´ efauts efauts de surface surface (rayures (rayures)) en compressio compression n par des traitement traitementss thermiques. 2. Renforcer le mat´eriau eriau par des inclusions (granulats, fibres) qui constituent des obstacles `a la propagation et qui augmenten aug mententt de fait l’´energie energie de surface. 3. Utiliser la plasticit´e qui augmente cette ´energie energie et qui modifie la g´eom´ eom´etrie etrie de la fissure.

1.7.2 1.7 .2

End Endomm ommage agemen mentt duc ductil tile e

Pour des mat´ eriaux eriaux polycristallins polycristallins on a vu que le premier premier stade de la d´ eformation eformation plastique s’accompagne de mouvements irr´eversibles eversibles de dislocations. Ce n’est qu’apr`es es avoir accumul´e de nombreuses nombreuse s dislocatio dislo cations ns qu’on voit apparaˆıtre ıtre des cavit´es es ou des fissures. Dans le cas de mat´eriaux eriaux contenant des inclusions (alliages m´etalliques etalliques ou composites) il est courant que l’endommagement s’amorce `a la surface des ces inclus inclusions ions par d´ecoh´ ecoh´esion. esion. Il est ´egalement egalement possible que ce soit la fragmentat fragmentation ion de l’inclusion l’inclusion qui est `a l’origine de la d´eegra g rada dati tion on ult´ ul t´eerieu ri eure re du mat´ ma t´eeriau ri au..

1.7.3

Endom Endommagem magemen entt viscoplastiq viscoplastique ue (de fluage fluage))

Ce cas correspond dans la pratique `a des charges impos´ees ees et constantes dans le temps t emps (aube de turbine turbine en rotation rotation pendant pendant un vol d’avion, d’avion, charges charges li´ees ees au poids dans le cas d’un pont, fluage des polym` pol ym`eres). eres). Pendant des dur´ees ees tr`es es longues longu es ou a` des temp´ tem p´eratures erat ures ´elev´ elev´ees ees des m´ecanismes ecanism es de diffusion diffusi on interviennent. intervienn ent. Dans le cas des m´etaux etaux on observe des courbes qui ont la forme suivante : On remarque trois stades dit de  fluage primaire  qui concerne une toute petite partie de la vie du mat´ eriau, eriau, une phase de fluage   secondaire   au cours de laquelle la vitesse de d´ eformation eformation est constante et une phase de fluage  tertiaire  qui conduit `a la rupture. Pendant cette derni`ere ere phase on constate consta te une acc´el´ el´eration eratio n de la vitesse de d´eformation. eforma tion. Selon la valeur de la contrainte impos´ee ee ou la temp´erature erature de l’essai on constate une activation de ces ph´enom` enom`enes enes ce qui permet perme t d’´ecrire ecrire pour pou r le fluage secondaire seconda ire :

dǫ   =  B  Bσ σ n pour T  pour  T    =  cste dt dǫ Q   =  C  exp  exp   pour σ pour  σ  =  = cste  cste dt RT 

− 

Si on combine ces deux ´equations equations on obtient l’effet simultan´ e des deux variables (loi de Norton) : dǫ   =  ǫ0 dt

  −  σ G

n

exp

Q RT 

 

(1.27)

Penda Pendant nt le fluage fluage seconda secondaire ire les dislocat dislocation ionss sous sous l’effet l’effet de la con contra train inte te et de la temp´´erature temp erature s’accumul s’accumulee aux joints joints de grains ce qui finit par cr´ eeer er des fissures fissures (ou des porosit´ poro sit´es) es) intergranula i ntergranulaires ires qui q ui conduisent co nduisent `a la rupture. Cette rupture est appel´ a ppel´ee ee rupture intergranulaire.

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1.8. 1. 8. R´ef´ ef´eren er ence cess

ecrire le troisi`eme eme stade du fluage on peut raisonner ainsi. La Remarque :   Pour d´ecrire Remarque surface effective effecti ve qui r´esiste esiste est diminu´eeee en raison de la pr´esence esence de fissures ou porosit´ poro sit´e intergranulaires. Soit D Soit  D  le param`etre etre d’endommagem d’endom magement ent qui qu i traduit tradui t cette porosit´ poro sit´e. e. Il est tel que : 1

D  =

  S 

(1.28)

S  Si D Si  D  vaut 0 le mat´eriau eriau est sain, si  si   D  vaut 1 alors il est totalement endommag´e donc rompu. Si on consid` ere ere que dans les essais c’est le plus souvent un effort qui est impos´ imp os´e et non une contrainte alors on peut ´ecrire ecrire :

−

dǫ   =  B dt

0

n

   F  S 

=  B

  σ 1 D

n

−

(1.29)

Au d´ebut ebut du fluage tertiaire tertiai re D  D  vaut 0 et on retrouve la loi initiale, au cours du fluage tertiaire on a une ´evolution evolution de l’endommagement qui augmente la contrainte effective et permett de d´ecrire perme ecrire l’augmentation l’augm entation de la vitesse de d´eformation. eforma tion.

1.8 1. 8

R´ ef´ ere er ences ce s

1. Bailon J-P. J-P. et J.M. Dorlot, des mat´eriaux, eriaux, 3e ´edition, edition, Presses internationales polytechniques, 2000. 2. Douin, M´ecanique ecanique des milieux continus, introduction a` la plasti pla sticit´ cit´e des mat´eriaux, eria ux, Diderot arts et sciences, 1997. 3. Qu´er´ er´e, e, Physique Physi que des mat´eriaux, eria ux, Ellipse Ell ipses. s. 4. Verdu J., dans Introduction Introduction a` la m´ecanique ecaniqu e des polym` pol ym`eres, eres, G’sell and J.M. Haudin ed., INP Lorraine, 1995. 5. Asbhy M.F. and D.R.H. Jones, mat´eriaux, eriaux, Dunod, Duno d, 1991. 6. http ://gallica.bnf ://gallica.bnf.fr/th .fr/themes/ emes/SciXVIIII7.h SciXVIIII7.htm tm

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