Cours Hydraulique Generale

HYDRAULIQUE GENERALE

SEQUENCE 1 : GENERALITES..............................................................................................................................................2 1.

Objet de l'hydraulique :...................................................................................................................................................2

2.

Définition des fluides :.....................................................................................................................................................3

3. Caractéristiques :.............................................................................................................................................................3 SEQUENCE 2 : NOTION DE PRESSION...............................................................................................................................6 1.

Définition de la pression:.................................................................................................................................................6

2.

Hydrostatique (Etude des fluides au repos).....................................................................................................................7

3. Dispositifs de mesure de la pression................................................................................................................................9 SEQUENCE 3 : NOTION DE VISCOSITE...........................................................................................................................10 Le phénomène..........................................................................................................................................................................10 Viscosité dynamique - Viscosité cinématique..........................................................................................................................10 Introduction :...........................................................................................................................................................................11 Définition de la viscosité dynamique – Loi de Newton :.........................................................................................................12 Viscosité cinématique :............................................................................................................................................................12 SEQUENCE 4 : HYDRODYNAMIQUE OU ETUDES DES FLUIDES.............................................................................14 EN ECOULEMENTS...............................................................................................................................................................14 DEFINITIONS :......................................................................................................................................................................14 EQUATION DE CONSERVATION DE LA MASSE ou EQUATION DE CONTINUITE........................................................15 CONSERVATION DU DEBIT MASSE :..................................................................................................................................15 SEQUENCE 5 : REGIMES HYDRAULIQUES....................................................................................................................17 Ecoulements permanents ou stationnaires :............................................................................................................................14 Rappels : Les différents régimes d'écoulement : nombre de Reynolds...........................................Erreur ! Signet non défini. SEQUENCE 6 : THEOREME DE BERNOULLI (EQUATION DE CONSERVATION DE L'ENERGIE)....................21 RELATION DE BERNOULLI GENERALISEE.......................................................................................................................23 Relation générale....................................................................................................................................................................23 Application du Théorème de Bernoulli :.................................................................................................................................24 SEQUENCE 7 : THEOREME D'EULER...............................................................................................................................25 Introduction :..................................................................................................................................Erreur ! Signet non défini. Théorème d'Euler :..................................................................................................................................................................25 Application du théorème d'Euler :..........................................................................................................................................25 Remarques :....................................................................................................................................Erreur ! Signet non défini. SEQUENCE 8 : Pertes de Charges régulières........................................................................................................................26 Le phénomène..........................................................................................................................................................................26 PERTES DE CHARGE SYSTEMATIQUES............................................................................................................................27 Annexe : Abaques..................................................................................................................................................................30 SEQUENCE 9 : Pertes de Charges singulières.......................................................................................................................33 SEQUENCE 10 : écoulements sous pression..........................................................................................................................35 SEQUENCE 11 : détermination du débit dans un canal uniforme......................................................................................37

SEQUENCE 1 : GENERALITES 1. Objet de l'hydraulique : La mécanique des fluides concerne l’étude du comportement des fluides et des forces internes associées. Elle se divise en statique des fluides et dynamique des fluides : - Statique des fluides : C’est l’étude des fluides au repos - Dynamique des fluides : C’est l’étude des fluides en mouvement Anciennement, l'hydraulique désignait la science qui enseigne à mesurer, à diriger et à élever les eaux. Les machines hydrauliques désignaient principalement les pompes employées à cet effet. L'hydraulique désigne, aussi, la branche de la physique qui étudie la circulation des liquides, principalement l'eau et par extension de tout autre liquide tel que l'huile. L'hydraulique est une branche de la mécanique des fluides qui touche principalement l'étude du comportement de l'eau en mouvement ou au repos et son application dans différents travaux d'ingénierie. C'est bien avant Jésus Christ que le premiers ouvrages hydrauliques apparurent. En effet, les canaux d'irrigation de l'Égypte, les aqueducs romains et les conduites d'adduction voûtées des Mésopotamiens ne sont que quelques exemples des réalisations hydrauliques datant de l'Antiquité. Aujourd'hui, l'hydraulique appliquée occupe une place de premier ordre dans les sociétés civilisées. On n'a qu'à penser au traitement de l'eau potable et à sa distribution, aux ouvrages hydro-électriques, aux systèmes d'égouts pluviaux et sanitaires, à la gestion des catastrophes écologiques (inondations), etc. pour prendre conscience de l'importance de l'eau dans notre vie. Le mot hydraulique désigne de nos jours deux domaines différents : 

les sciences et les technologies de l'Eau naturelle usages : hydrologie, hydraulique urbaine, hydrogéologie, etc. ;



les sciences et les technologies de l'usage industriel des liquides sous pression : machines hydrauliques,……… etc . (L’hydraulique est un moyen simple de transmission de puissance d’un point à un autre, au même titre que la mécanique et l’électricité).

Les champs d'études de l’hydraulique regroupent plusieurs domaines :  les machines hydrauliques (hydromécanique et oléohydraulique) ;

et

ses

 les écoulements de fluides incompressibles en conduite ou à surface libre ;  l'énergie hydraulique ;  l'hydraulique urbaine ;  l'hydraulique fluviale ;  les canaux. 2. Définition des fluides : Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.

   

Les liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes, mobiles et visqueux : l'isotropie assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'espace. la mobilité fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la forme du récipient qui les contient. la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme d’un fluide réel s'accompagne d'une résistance (frottements). Compressibilité : Variation de volume d’un fluide avec la pression et ou la température. En général les liquides sont peu ou pas compressibles, les gaz par contre sont compressibles.

Différence entre un liquide et un gaz  Les liquides ne sont pas expansibles tandis que les gaz occupent tout le volume disponible.  La loi de variation de la viscosité avec la température n’est pas la même : pour les gaz la viscosité croit avec la température et pour les liquides elle décroît avec celle-ci.  On admet souvent l’incompressibilité des liquides. La propriété physique qui permet de faire la différence entre les deux est la compressibilité. 3. Définition des liquides : La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible. Le liquide est une forme de fluide : les molécules sont faiblement liées, ce qui rend les liquides parfaitement déformables. Mais, à l'inverse du gaz, elles sont tout de même liées : une molécule ne peut s'éloigner beaucoup d'une autre, ce qui fait que la matière liquide a une cohésion que ne possède pas le gaz (et comme dans les solides, les molécules sont très proches les unes des autres, ce qui rend les liquides difficilement compressibles). 4. Caractéristiques : Comme tout problème de mécanique, la résolution d'un problème de mécanique des fluides passe par l’application les principes et théorèmes généraux de mécanique et thermodynamique :  principe de la conservation de la masse : Lors de tout processus chimique ou physique dans un système isolé, la matière conserve intégralement sa masse.

 

principe fondamental de la dynamique (loi de Newton) : La variation de la quantité de mouvement d'une particule par rapport au temps est égale à la somme des forces qui agissent sur cette particule. principe de la conservation de l'énergie: Lors de tout processus physiques ou chimiques, dans un système isolé, la somme de toutes les formes d'énergie demeure constante.

Le Système d’Unités SI En mécanique des fluides, le système d’unités SI (‘’ Système International ‘’ ) comporte 3 unités primaires à partir desquelles toutes les autres quantités peuvent être décrites :

Les Propriétés des Fluides

La densité représente le rapport entre la masse volumique d’un corps donné et la masse volumique de l’eau à 0°C.

SEQUENCE 2 : NOTION DE PRESSION

1. Définition de la pression: Dans un milieu quelconque, donc aussi dans un milieu fluide, la force que la partie (1) exerce sur la partie (2) à travers un élément de surface réel ou fictif dS a une direction quelconque. Mais cette force d f peut toujours être décomposée en : df

- une composante tangentielle dfT

df p N dS

-

une df df

N

T

2

composante normale dfN. 1

dS

La quantité dfT /dS représente la contrainte tangentielle et df N /dS la contrainte normale. Remarque : En statique des fluides, seules interviennent les forces de pression df N, normales à l'élément dS. Les forces tangentielles dfT n'apparaissent qu'en dynamique des fluides : elles correspondent aux frottements visqueux des couches fluides en mouvement les unes par rapport aux autres et par rapport à la paroi de la conduite.

Par définition on appelle Pression la contrainte normale : Unité: Le Pascal (Pa) [p] = M L-1 T-2 (kg.m-1.s-2) La pression peut aussi s’exprimer en :  Pascal ( Pa ) : 1 Pa = 1 N/m2  Bar ( Bar ) : 1 Bar = 105 N/m2

Pression en point d'un fluide : En tout point d'un fluide existe une certaine pression. Soit un point M dans un fluide. Si on considère une surface imaginaire dS passant par M, la résultante de toutes les forces dues aux chocs sur dS des particules de fluides en mouvement désordonné est perpendiculaire à cette surface dS et on peut écrire :   d f  p n dS  n n étant le vecteur unitaire de la normale à dS orienté vers l'extérieur. M Cette force df dépend évidemment de la surface dS envisagée, mais dS la pression pM au point M du fluide ne dépend pas de dS. 2. Hydrostatique (Etude des fluides au repos) L’hydrostatique étudie les conditions d’équilibre des liquides au repos. Soit un élément de volume de fluide dV se trouvant au point M. Il est soumis à des forces de pression exercées par les parties voisines du fluide. Si le fluide est en équilibre, les forces force de frottement sont nulles. L'élément de volume dV n'est alors soumis, généralement, qu'à son poids et aux forces de pression. Expression différentielle de la relation fondamentale :    ( O, i , j , k ) (l'axe Oz orienté vers le haut) et dans le champ de pesanteur, Dans un repère   g   g . k , l’expression différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides s'écrit : dp   g dp    g dz dz ou Dans le cas d'un liquide, (ou pour un gaz dans lequel la variation de pression est faible), la masse volumique  ne dépend pas de la pression. De plus, si on suppose la température uniforme, la masse volumique sera considérée comme constante. D'autre z part, pour des différences d'altitude courantes, l'accélération de la pesanteur g peut aussi être considérée constante. Dans ce cas on peut M 1 (z1 ) intégrer la relation précédente :



2

1

2

2

dp   gdz  g dz

ou encore

1

1

p 2  p1  g (z 2  z1 )

p 2  gz 2  p1  gz1 soit :

M 2 (z2 )

p   g z  Cte

La condition d'équilibre de cet élément de fluide permet d'écrire l’équation fondamentale de la « Statique des Fluides »:

p   g z  Cte

Conclusions : - Dans un fluide la pression croît de haut en bas (La pression augmente donc linéairement en fonction de la profondeur). - les surfaces isobares sont des plans horizontaux (Loi de Pascal : La pression d’un fluide en un point est la même dans toutes les directions). - la surface de séparation entre deux fluides non miscibles est un plan horizontal.

Pression absolue et pression relative ou effective :  La pression absolue est une grandeur essentiellement positive (nulle à la limite : >= 0).  La pression relative est mesurée par rapport à la pression atmosphérique p at : elle est égale à p1 - pat ; elle peut être positive (surpression) ou négative (dépression). Unités de pression : Dans le système international, l'unité légale est le pascal (Pa). Mais dans la pratique on utilise des unités dérivées du pascal, ou des unités liées à la méthode de mesure des pressions. D'autre part en divisant tous les termes de la relation de P a tm l'hydrostatique par la quantité .g on obtient :

p  z  Cte g

H

P

1 bar = 105 Pa

1 mbar = 10-3 bar = 100 Pa = 1 hPa

On exprime souvent les pressions en hauteur de colonne de fluide (mCF). Ex : Pression atmosphérique normale : p0= 760 mm Hg = 101 325 Pa  1 013 mbar. Unités de mesure : L’unité légale est le pascal : 1 Pa = 1N/m2 Un multiple du pascal est le bar : 1 bar = 105 Pa Il existe d’autres unités plus pratiques :  Le mètre de colonne d’eau : 1,0 mCE→1,0mCE.ρ .g =1 * 103 * 9,81 Pa = 0,098bar (1 bar = 10mCE). 1 bar =105 Pa = (105/(ρeau*g)) = 10,19mCE  Le millimètre de mercure : 1 mmHg → 10-3 * ρ mercure * g = 1,33.102 Pa 1 bar → 105 Pa → (105/ (ρmercure *g))*1000 = 752,5mmHg En hydraulique des réseaux urbains, la pression est le plus souvent exprimée en mètres de colonne d’eau et en bars. Remarque : on rencontre encore certaines unités ne faisant partie d'aucun système :  L'atmosphère (atm) correspond à la pression d’une colonne de 760 mm de mercure (Hg).  Le Torr correspond à la pression d’une colonne de 1 mm Hg (soit 133,3 Pa)  Le Psi (pound square inch) correspond à 6,895 x 10 3 Pa.

Grandeurs physiques utilisées :  : masse volumique (M L-3 ). g : accélération de la pesanteur (LT-2 ) p : pression statique (M L-1 T-2 ) F Force (M L T-2 ) Notion de pression dans une conduite : Lorsque la conduite est cylindrique notamment, on admettra que la répartition des pressions est hydrostatique dans une section droite. On peut donc brancher des tubes piézométriques ; ils mesurent par rapport au plan de référence la quantité : p  z  Cte g

3. Dispositifs de mesure de la pression Le dispositif utilisé dépend de l’importance des pressions à mesurer. Il existe 2 types de dispositifs de mesure des pressions :  Les tubes manométriques : utilisés pour la mesure de pressions relativement faibles (en laboratoires)  Les manomètres mécaniques : utilisés pour la mesure de pressions relativement plus élevées 4.

Application diverses de la pression



Principe de Pascal - Application à la presse hydraulique



Application de la loi de l'hydrostatique au baromètre (torricelli)



Poussée Archimède = Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide

une force (poussée) verticale, vers le haut dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé (ce volume est donc égal au volume immergé du corps)

PARCH=ρfluide.Vimm.g

SEQUENCE 3 : VISCOSITE

Fluide parfait = pas de viscosité

NOTION DE

Le phénomène Observations   

L'eau, l'huile, le miel coulent différemment : l'eau coule vite, mais avec des tourbillons ; le miel coule lentement, mais de façon bien régulière. La chute d'un parachutiste se fait à vitesse constante, contrairement à la loi de la chute libre. La pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans laquelle il s'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme.

1 Fluide parfait Un fluide est un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de viscosité : il s’écoule alors sans frottement.

5. Fluide visqueux ou réel Dans un fluide visqueux ou réel, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s'exercent. La viscosité est due à ces frottements qui s'opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres.

Les phénomènes dus à la viscosité des fluides ne se produisent que lorsque ces fluides sont en mouvement. 6. Viscosité dynamique - Viscosité cinématique-unités de mesure Les fluides non-newtoniens (comme le sang, les gels, boues, pâtes, suspensions, émulsions, etc.) peuvent avoir des comportements très variés. Ils sont généralement inclus dans la rhéologie avec les solides plastiques et des corps aux comportements plus complexes.

Mécanique des milieux continus

Mécanique du solide ou Résistance des matériaux

Élasticité Plasticité

Mécanique des fluides

Fluides nonnewtoniens

Rhéologie

Fluides newtoniens

Les fluides visqueux et qui obéissent à la loi de viscosité établie par Newton sont appelés ‘’ Fluides Newtoniens ‘’. L’expérience montre que, lors d’un écoulement d’un fluide, la pression (force normale) ne suffit pas à expliquer les phénomènes et qu’il convient d’introduire des forces tangentielles qui s’opposent au mouvement du fluide. Ces forces, de type frottement, dues aux interactions entre molécules du fluide, sont appelées forces de viscosité.

La viscosité (du latin viscum) peut être définie comme la résistance à l'écoulement uniforme et sans turbulence se produisant dans la masse d'une matière. La viscosité dynamique correspond à la contrainte de cisaillement qui accompagne l'existence d'un gradient de vitesse d'écoulement dans la matière.

La viscosité μ est une propriété d’un fluide due à la cohésion et à l’interaction entre les molécules qui présentent une résistance aux déformations. Lorsque la viscosité augmente, la capacité du fluide à s'écouler diminue. Pour un liquide (au contraire d'un gaz), la viscosité tend généralement à diminuer lorsque la température augmente. On pourrait croire que la viscosité d'un fluide s'accroît avec sa densité mais ce n'est pas nécessairement le cas : l'huile est moins dense que l'eau (huile de colza : 0,92 à 20 °C, contre 1 pour l'eau) cependant elle est nettement plus visqueuse. On classe notamment les huiles mécaniques selon leur viscosité, en fonction des besoins de lubrification du moteur et des températures auxquelles l'huile sera soumise lors du fonctionnement du moteur. Profil des vitesses Sous l'effet des forces d'interaction entre les molécules de fluide et des forces d'interaction des molécules de fluide et celles de la paroi, chaque molécule de fluide ne s'écoule pas à la même vitesse. On dit qu'il existe un profil de vitesse. Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une section droite perpendiculaire à l'écoulement d'ensemble, la courbe lieu des extrémités de ces vecteurs représente le profil de vitesse. v m ax z+dz

v+dv z

v v = 0

Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe : v = v(z). Définition de la viscosité dynamique – Loi de Newton : Considérons 2 couches contiguës distantes de dz. La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit dv, à leur surface S et inversement proportionnelle à dz : dv Le facteur de proportionnalité  est le coefficient de viscosité dynamique du fluide. F   S dz Dimension : [] = M·L-1·T-1. Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité est le Pas ou Poiseuille (Pl) : 1 Pl = 1 kgm-1s-1 On trouve encore les tables de valeurs numériques le coefficient de viscosité dans un ancien système d'unités (CGS) : L'unité est le Poise (Po) ; 1 Pl = 10 Po = 1 daPo = 103 cPo.

Autres unités : La viscosité de produits industriels (huiles en particulier) est exprimées au moyen d'unités empiriques : degré ENGLER en Europe, degré Redwood en Angleterre, degré Saybolt aux USA. Viscosité cinématique : Dans de nombreuses formules apparaît le rapport de la viscosité dynamique  et de la masse volumique .



  Dimension : [] = L2·T-1.

Ce rapport est appelé viscosité cinématique  : Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité n'a pas de nom particulier : (m2/s). Dans le système CGS, l'unité est le Stoke (St) : 1 m2/s = 104 St. Influence de la température : La viscosité des liquides diminue beaucoup lorsque la température augmente. Ainsi pour l'eau : à 10°C  = 1,3 x 10-3 Pl à 20°C

 = 1,0 x 10-3 Pl

à 90°C

 = 0,3 x 10-3 Pl

Il n'existe pas de relation rigoureuse liant  et T. On peut cependant utiliser un modèle utilisant l'équation empirique de Guzman-Andrade de la forme :

ae

b

T

a et b étant des constantes dépendant de la nature du liquide et T la température

absolue. Contrairement à celle des liquides, la viscosité des gaz augmente avec la température.

SEQUENCE 4 : HYDRODYNAMIQUE OU ETUDES DES FLUIDES EN ECOULEMENTS Dans ce chapitre, nous allons étudier les fluides en mouvement. Contrairement aux solides, les éléments d’un fluide en mouvement peuvent se déplacer à des vitesses différentes. L’écoulement des fluides est un phénomène complexe. L’écoulement d’un fluide réel est plus complexe que celui d’un fluide idéal. En effet, il existe des forces de frottement, dues à la viscosité du fluide, qui s’exercent entre les particules de fluide et les parois, ainsi qu’entre les particules elles-mêmes. 1 Définition Hydrodynamique: Science du mouvement des liquides incompressibles et des résistances qu'ils opposent aux corps qui se meuvent par rapport à eux. Hydrodynamique : Branche de la physique qui a pour objet l'étude des liquides en mouvement Ecoulements permanents ou stationnaires : Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique, ..), ont une valeur constante au cours du temps. Un écoulement est dit "permanent" lorsque la vitesse des particules et la masse volumique du fluide ne dépendent pas du temps. I Notons cependant que cela ne veut pas dire que le champ des vecteurs vitesse est uniforme dans l’espace. Il a été démontré que dans un écoulement permanent, il y a conservation du débit massique. 2 Débit Le DEBIT est la quantité de matière qui traverse une section droite de la conduite pendant l'unité de temps. Débit masse : Si dm est la masse élémentaire de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant l’intervalle de temps dt, le débit-masse s’écrit :

qm 

dm dt

unité : kgs-1 (M T-1)

Débit volume : Si dV est le volume élémentaire de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant l’intervalle de temps dt , le débit-volume s’écrit :

qV 

dV dt

unité : m3s-1 (L3 T-1 )

Relation entre qm et qV : La masse volumique  est donnée par la relation : d'où :



dm dV

qm   qV

Remarques : Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'écoulements isovolumes.

EQUATION DE CONSERVATION DE LA MASSE ou EQUATION DE CONTINUITE ligne de courant surface S entourant le point M

M

v

section S1

filet de courant tube de courant section S2

DEFINITIONS :

Ligne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe fermée. Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un élément de surface dS. La section de base dS du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses points (répartition uniforme).

CONSERVATION DU DEBIT MASSE : v2.dt dS2' dS2 v1.dt dS1 sens de M1 l'écoulement

ligne de courant (L) M2'

dS1'

M2 v2

M1' v1

Pendant l'intervalle de temps dt, infiniment petit, la masse dm 1 de fluide ayant traversé la section dS1 est la même que la masse dm2 ayant traversé la section dS2. Les volumes correspondants sont égaux à M 1 M1'. dS1 et M2M2'. dS2. La conservation de la masse s'écrit : 1 .M 1 M 1' .dS1   2 .M 2 M 2' .dS 2 soit encore : dQm1  dQm 2

En régime stationnaire, le débit masse est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant.

3

Vitesse

Expression en fonction de la vitesse : La distance MM' s'écrit v dt en fonction de la vitesse du fluide et donc la relation précédente se met sous la forme : dqm1  dqm2 soit : 1v1dS1  2 v 2 dS 2 ou dqm   v dS  Cte Pour un écoulement isovolume ( = Cte) : dqV  v dS  Cte

dqV1  dqV 2

soit :

v1dS1  v 2dS 2

ou

On retrouve évidemment la relation : dqm =  dqv Vitesse Moyenne : En général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (forces de frottement). Le débit masse ou le débit volume s'obtient en intégrant le débit élémentaire sur toute la surface S. S

S

vmoy

Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne vm la vitesse telle que :

qV S qm  ( S ) dqm  Cte ou qV  ( S ) dqV  Cte qV  v1moy S1  v 2moy S 2  Cte

v moy 

La vitesse moyenne vmoy apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section S qui assurerait le même débit que la répartition réelle des vitesses. Si l'écoulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle à l'aire de la section droite.

SEQUENCE 5 : REGIMES HYDRAULIQUES

1. Expérience de couette On sait que dans un fluide immobile, les forces intérieures qui se manifestent sont des forces de pression, normales aux surfaces. Qu’en est-il dans un fluide en mouvement ? L’expérience de Couette (fin du 19e s.) apporte une réponse claire à cette question. EXPÉRIENCE FONDAMENTALE DE COUETTE

Deux cylindres coaxiaux sont séparés par un mince espace annulaire rempli d’air. Ils n’ont pas de liaison mécanique entre eux, et le cylindre intérieur est libre autour de son axe (fig. 1.1). L’expérience consiste à mettre le cylindre extérieur en rotation, à une vitesse constante ω. Alors, on observe que le cylindre intérieur, initialement fixe, se met à tourner dans le même sens.

L’interprétation du phénomène est immédiate : la mise en mouvement du cylindre intérieur ne peut se faire que par l’intermédiaire du fluide situé dans l’espace annulaire. Ceci prouve que des forces tangentielles s’exercent au sein du fluide et sur les parois. En effet, les forces de pression, perpendiculaires aux surfaces, ne pourraient pas faire tourner le cylindre. Ces forces tangentielles sont appelées forces de viscosité, ou encore forces de cisaillement en raison de leur analogie avec les forces tangentielles rencontrées en mécanique des solides, et elles se traduisent par une résistance au mouvement. En fait, ce concept remonte à Newton, qui en a proposé la première formulation mathématique, à partir d’observations faites en hydrodynamique. Mais l’expérience de Couette apporte la preuve formelle de l’existence des forces de viscosité. Ajoutons que le cisaillement dans un fluide peut être raccroché à la notion de frottement, mais un frottement différent de celui qui s’exerce entre deux surfaces solides. Il s’agit plutôt ici d’un frottement interne réparti dans toute l’épaisseur du fluide, et associé (comme des expériences fines peuvent le montrer) à un gradient de vitesse entre les deux parois. 4 Ecoulement laminaire Un écoulement est dit "laminaire" lorsque les particules ont une vitesse parallèle aux parois du contenant. C’est aussi un régime d'écoulement d'un fluide dont les différentes couches glissent les unes sur les autres sans se mélanger. L'hypothèse d'un écoulement ordonné, dit « laminaire », où les filets fluides restent parallèles à l'axe du tuyau. La viscosité stabilise et régularise les écoulements de façon générale. Un fluide présentant une viscosité importante s'écoulera de façon laminaire. 2. Ecoulement dans les milieux poreux- Loi de Darcy La loi expérimentale de Darcy (ou loi de Darcy) est une loi physique, mécaniste et déterministe qui exprime le débit d'un fluide incompressible filtrant au travers d'un milieu poreux. La circulation de ce fluide entre deux points est déterminée par la conductivité hydraulique du substrat et par le gradient de pression du fluide. Dans le cas d'un cours d'eau ou d'un réservoir alimentant une nappe, ce gradient est lié à la hauteur de l'eau. Autrement dit, cette loi montre que « la vitesse de l’eau entre deux points est proportionnelle au gradient de l’état énergétique entre ces deux points ». La conductivité hydraulique K (m/s) est un coefficient dépendant des propriétés du milieu poreux où l’écoulement a lieu (granulométrie, forme des grains, répartition et forme des pores), des propriétés du fluide concerné par les écoulements ( viscosité, masse volumique) et de la saturation du milieu poreux. Elle s'exprime en fonction des propriétés intrinsèques du milieu poreux et du fluide : k : la perméabilité intrinsèque du milieu poreux (m2), \rho : la masse volumique du fluide (kg/m3), g : l'accélération de la pesanteur (m/s2), \mu : la viscosité dynamique du fluide (Pa s). La conductivité hydraulique (et la perméabilité intrinsèque) est une fonction strictement décroissante du taux de saturation du milieu poreux ou du potentiel matriciel. Lorsque le milieu est saturé en eau (), cette propriété est appelée conductivité hydraulique à saturation Ksat .

3. Ecoulement turbulent Par opposition d’un écoulement laminaire, un écoulement est turbulent si certaines particules ont des vitesses non parallèles aux parois du contenant: présence de tourbillons (turbulences). Les écoulements de fluides peuvent donc être classés selon deux catégories:  Les écoulements dits "laminaires" pour une vitesse d'écoulement faible par rapport à la viscosité de ce fluide.  Les écoulements dits "turbulents" pour des vitesses d'écoulement élevées. (toujours en fonction de la viscosité du fluide). Il faut toujours comparer la vitesse à la viscosité du fluide. Par exemple, si de l'eau et du pétrole s'écoulent dans le même canal à la même vitesse, il est possible que l'un soit dans un régime d'écoulement turbulent, et l'autre dans un régime laminaire. (A priori, le pétrole étant le plus visqueux des deux, c'est lui qui s'écoulera en laminaire). Par ailleurs, un même fluide à la même vitesse peut passer d'un écoulement laminaire à un écoulement turbulent : la fumée d'une cigarette posée s'écoule d'abord selon un écoulement laminaire, et au bout de quelques dizaines de centimètres, l'écoulement devient turbulent.

4.

Distribution des vitesses

5. Nombre de Reynolds Les expériences réalisées par Reynolds (1883) lors de l'écoulement d'un fluide dans une conduite cylindrique rectiligne, ont montré l'existence de deux régimes d'écoulement : laminaire et turbulent. En utilisant des fluides divers (viscosité différente), en faisant varier le débit et le diamètre de la canalisation, Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l'écoulement est laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et donné par :

Re 

vD 

ou

Re 

vD 

avec :

 = masse volumique du fluide, v = vitesse moyenne, D = diamètre de la conduite     = viscosité dynamique du fluide,  = viscosité cinématique L'expérience montre que : si Re < 2000 le régime est LAMINAIRE si 2000 < Re < 3000 le régime est intermédiaire si Re > 3000 le régime est TURBULENT Ces valeurs doivent être considérées comme des ordres de grandeur, le passage d'un type d'écoulement à un autre se faisant progressivement. Visualisation de l’écoulement filet coloré

écoulement turbulent écoulement turbulent vue instantanée vue en pose p://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/Tp-phys/Term/Reynolds/Reynolds3.htm écoulement laminaire

htt

Turbulence intermitten te

3000 =2000 Un écoulement est caractérisé par son nombre de Reynolds, qui permet de se faire une idée de sa stabilité : quand ce nombre est petit, l'écoulement est laminaire, quand il est grand, l'écoulement est en général instable et turbulent.

La transition entre les écoulements stables et les écoulements instables voire turbulents (chaotiques) est un sujet d'étude important.

SEQUENCE 6 : THEOREME DE BERNOULLI (EQUATION DE CONSERVATION DE L'ENERGIE) 1

Définition physique du théorème de Bernoulli

Le théorème de Bernoulli s'applique aux fluides parfaits, c'est-à-dire aux fluides sans viscosité. Dans son expression la plus simple, il traduit la conservation de l'énergie dans un écoulement parfait.

Cela signifie que la charge totale d'un fluide parfait pendant son écoulement ne varie pas et qu'elle reste constante. Seules les composantes de la charge totale varient en fonction des modifications géométriques que rencontre le fluide lors de son écoulement. 5

Démonstration du théorème de Bernoulli

Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible

z dS2' g

dS2 pression P2 v2 cote z2 dS1'

M2

dS1 pression P1 v1

masse volumique  cote z1

M1 sens de l'écoulement masse volumique 1

Soit m une masse de fluide parfait (écoulement stationnaire isovolume, pas de frottement) entre les sections dS1 et dS2 à l'instant t (schéma ci-dessous); à l'instant t + dt, m se trouve entre dS 1' et dS2'.

Par application de la conservation de l’énergie, appliquée à cette masse m entre les instants t et t + dt , on montre que l'on peut écrire : v2 v2  2  gz 2  p 2   1  gz1  p1 2 2 = Cte

soit encore :

p est la pression statique, gz est la pression de pesanteur,



v2



2

 gz  p  Cte

v2 2 est la pression cinétique.

En divisant tous les termes de la relation précédente par le produit g, on écrit tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimées en mètres de colonne de fluide).

v2 p z  HT  Cte 2g g

( HT = Hauteur Totale)

v2 p g = Hauteur de Pression, 2g = Hauteur dynamique, z = Hauteur de position ou côte p z g = Hauteur piézométrique. V2/2g et P/ g : termes représentant respectivement la charge dynamique et la charge de pression sont déterminés facilement en plaçant des piézomètres dans l’écoulement. Ligne de charge L.C : lieu géométrique des extrémités des segments déterminés par (z + P/g+ V2/2g) en tout point de la ligne de courant. Ligne piézométrique L.P : lieu géométrique des extrémités des segments déterminés par z + P/g en tout point de la ligne de courant. z + P/g: hauteur piézométrique ou énergie potentielle par unité de poids. V2/2g: hauteur piézomètre ou énergie cinétique par unité de poids. Charge hydraulique : est la somme des énergies potentielles et cinétiques. Ainsi, l’intégrale de Bernoulli exprime la conservation de l’énergie mécanique de particule fluide le long d’une ligne de courant. En effet, pour un fluide parfait la transformation de l’une des énergies en une autre sur une ligne de courant se fait sans perte. Cas d'un écoulement (1)  (2) sans échange de travail Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s’écrire sous l'une ou l'autre des formes suivantes : p  p  1 2 1 v 2  v 12  (z 2  z1 )  2 1  0  v 22  v12  g (z 2  z1 )   p 2  p1   0 2g g 2 ou









RELATION DE BERNOULLI GENERALISEE Cas d'un écoulement (1)(2) avec échange d’énergie Si les forces de frottement interviennent (P f puissance dissipée < 0) ou lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l’énergie avec cette machine : la puissance P échangée est :  p  p1   P 1 2 v 2  v 12  ( z 2  z 1 )  2 2g g gq v





 P > 0 si l’énergie est reçue par le fluide (ex. : pompe P G) ;  P< 0 si l’énergie est fournie par le fluide (ex. : turbine P R ).

P  PR  PG v 22 v 12 (  gz 2  p 2 )  (  gz 1  p1 )  f 2 2 q qv

1

2

pompe

Cas d’une pompe :  p  p1   P 1 2 v 2  v 12  ( z 2  z 1 )  2 2g g gq v





Pour une pompe on appelle Hauteur nette ou Hauteur manométrique la grandeur H donnée par : P P H H gq V g qm ou qV est le débit volume, qm est le débit masse Frottements Il reste maintenant à établir la puissance dissipée par les forces de frottement ; c'est le calcul des pertes de charge qui sera détaillé ultérieurement. Relation générale On utilise la relation entre deux points 1 et 2 (le fluide se déplaçant dans le sens 1  2) sous la forme : Pour une pompe (générateur) :

HT1  Hpompe  HT 2   hi

Pour une turbine (récepteur) :

HT1  HT 2   hi  Hturbine

v2 p z  HT 2g g  hi représente toutes les pertes de charge (mCF) entre 1 et 2.

( Par ex :

v12 p1 v2 p   z1 )  Hpompe  ( 2  2  z 2 )   hi 2g g 2g g i

1

Diverses applications du théorème de Bernouilli h

A

B

Tube de pitot On considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeant dans le liquide, l'un débouchant en A face au courant, et l'autre en B est le long des lignes de courant, les deux extrémités étant à la même hauteur. Au point B, le liquide a la même vitesse v que dans la canalisation et la pression est la même que celle du liquide p B = p. En A, point d'arrêt, la vitesse est nulle et la pression est p A. D'après le théorème de Bernoulli, 1 pB  v 2  p A 2

soit

1 2 v  gh 2

En mesurant la dénivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v d'écoulement du fluide. Phénomène de Venturi

A

B

Un conduit de section principale SA subit un étranglement en B où sa section est SB. La vitesse d’un fluide augmente dans l’étranglement, donc sa pression y diminue : vB > vA  pB < pA Le théorème de Bernoulli s'écrit ici : 1 1 1 p A  v 2A  pB  v B2  p C  v C2 2 2 2 D'après l'équation de continuité, v BSB  v A S A  qv et v B  v A donc p A  pB p A  pB 

1 1 1  ( 2  2 ) q2  k q2 2 SB S A

La différence de pression aux bornes aux extrémités du tube de Venturi est proportionnelle au carré du débit ; application à la mesure des débits (organes déprimogènes). On peut citer aussi la trompe à eau, le pulvérisateur... Écoulement d'un liquide contenu dans un réservoir - Théorème de Torricelli

v1=0

z1 z z2

s

v2

jet parabolique

Considérons un réservoir muni d'un petit orifice à sa base, de section s et une ligne de courant partant de la surface au point (1) et arrivant à l'orifice au point (2). En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points (1) et (2), v12 v 22   gz1  p1    gz 2  p2 2 2 Or p1 = p2 = pression atmosphérique.

v 2  2gz Et v1