Cours Engrenages

MPSI/PCSI

SI, cours sur les engrenages

COURS SUR LES ENGRENAGES I. Définitions. Pour que la roue (1) entraîne la roue (2), il faut qu’il y ai roulement sans glissement au point de contact entre les 2 roues. Pour éviter le glissement, même avec des efforts importants, on interpose des obstacles (des dents) au niveau des surfaces primitives.

On appelle engrenage deux roues dentées qui engrènent l'une avec l'autre. On a l'habitude d'appeler « pignon » la roue dentée la plus petite et « roue » la plus grande. Pour que deux roues dentées engrènent entre elles il faut qu'elles aient le même module. Pour toutes les roues dentées qui engrènent ensemble on a la relation : d1 : diamètre primitif

d d m 1  2 Z1 Z 2

On peut aussi écrire :

d1  m.Z1

m : module Z1 : nombre de dents

et

d 2  m.Z 2

Le module d'une roue dentée n'est pas choisi au hasard. Il fait partie d'une série de nombres normalisés. Plus le module est grand, plus la taille des dents est grande et plus l’effort transmissible par l’engrenage est important. Les diamètres primitifs des roues dentées correspondent aux diamètres qu’auraient 2 roues de friction générant le même rapport de réduction. Valeurs normalisées principales du module :

1/12

MPSI/PCSI

SI, cours sur les engrenages

II. Forme des dentures. Les dents ont un profil en développante de cercle : La distance entre deux dents consécutives, mesurée sur le cercle primitif se nomme le « pas circonférentiel » et vaut :

p

 .d Z

.

d : diamètre primitif Z : nombre de dents.

On utilise dans certains cas des roues à dentures hélicoïdales pour éviter des interférences de fonctionnement. III.

Engrenage cylindrique extérieur.

Les axes de rotation sont parallèles, le sens de rotation est inversé.

k

2 / 0 R D m.Z 1 Z  1  1   1 1 / 0 R2 D2 m.Z 2 Z2

L’entraxe est égal à la somme des rayons primitifs.

a  R1  R2

2/12

MPSI/PCSI

Représentation

SI, cours sur les engrenages

Schématisation (schéma cinématique)

IV. Engrenage cylindrique intérieur. Les axes de rotation sont parallèles, le sens de rotation est conservé.

k

 2 / 0 R1 D1 m.Z 1 Z1     1 / 0 R2 D2 m.Z 2 Z 2

L’entraxe est égal à la différence des rayons primitifs :

a  R2  R1 Représentation

Schématisation (schéma cinématique)

V. Pignon crémaillère. Une des deux roues a un diamètre infini, c’est la crémaillère. L’entraxe n’est pas défini. La relation cinématique s’écrit :

V 2 / 0  R1  1 / 0

3/12

MPSI/PCSI

SI, cours sur les engrenages

Représentation

Schématisation (schéma cinématique)

VI. Engrenages coniques. Ils permettent de transmettre le mouvement entre 2 arbres dont les axes sont concourants et non parallèles. Représentation

Schématisation (schéma cinématique)

VII. Roue et vis sans fin. Les axes de rotations sont orthogonaux. La relation cinématique entre la roue et la vis s’écrit : k 

 2 / 0 Z1  1/ 0 Z 2

Z1 : nombre de filet de la vis Le signe de ce rapport dépend de l’orientation des axes des roues mais aussi du sens de l’hélice (généralement à droite). Représentation

Schématisation (schéma cinématique)

4/12

MPSI/PCSI

SI, cours sur les engrenages

Ces engrenages permettent de grands rapports de réduction (jusqu'à 1/200) et offrent des possibilités d'irréversibilité. Ils donnent l'engrènement le plus doux de tous les engrenages, silencieux et sans chocs. Contrepartie : un glissement et un frottement imposant provoquent un rendement médiocre. De ce fait, une bonne lubrification est indispensable ainsi que des couples de matériaux à faible frottement (exemple : vis acier avec roue en bronze).

VIII. Les trains d’engrenages. 8.1. Train simple. C'est une succession d'engrenages tournant autour d'axes fixes. On identifie l’entrée et la sortie et on définit le rapport de réduction k Pour calculer ce rapport, on effectue le produit des rapports des engrenages qui constituent le train tout en identifiant clairement pour chaque engrenage l'entrée et la sortie.

k

sortie entrée

Exemple 1

k

sortie 4 / 0  entrée 1 / 0

Engrenage (3-4) :

Engrenage (1-2) :

k

4 / 0 Z  3 3 / 0 Z4 2 / 0 Z  1 1 / 0 Z2

4 / 0 3 / 0 2 / 0 . . 3 / 0 2 / 0 1 / 0

k  (

Z3 Z Z Z ).(1).( 1 )  3 . 1 Z4 Z2 Z4 Z2

Généralisation :

sortie k  (1) p . entrée

Application avec l’exemple 1

 Zmenantes

p : nombres de contacts extérieurs

 Zmenées

Z nombre de dents de la roue

k

sortie 4 / 0 Z .Z Z .Z   (1) 2 . 1 3  1 3 entrée 1/ 0 Z 2 .Z 4 Z 2 .Z 4 5/12

MPSI/PCSI

SI, cours sur les engrenages

Exemple 2

k

sortie 5 / 0  entrée 1 / 0

k  (1) 2 .

k

Z1 Z 2 Z 4 . . Z 2 Z3 Z5

Z1 Z 4 . Z3 Z5

Exemple 3

k

sortie 4 / 0  entrée 1 / 0

k  (1) 2 .

k

Z1 Z 2 p Z3 p . . Z 2 r Z3r Z 4

Z1 Z 2 p Z3 p . . Z 2 r Z3r Z 4

IX. Les trains d’engrenages épicycloïdaux. Définition : On dit qu'un train d'engrenages est épicycloïdal lorsque les roues dentées ou les pignons qui composent le train ne tournent pas tous autour d'axes fixes dans le repère lié au bâti de l'appareil. Remarque : Le caractère épicycloïdal d'un train d'engrenages dépend du repère dans lequel se place l'observateur. 6/12

MPSI/PCSI

Exemple :

SI, cours sur les engrenages

les deux schémas représentent le même train d'engrenages.

L'observateur immobile sur le solide 4 voit tous des autres solides qui composent le train tourner autour d'axes fixes, on est en présence d'un train simple.

L'observateur immobile sur le solide O voit le solide 2 tourner autour d'un axe qui se déplace au cours du temps, c'est un train épicycloïdal

Vocabulaire : Le pignon qui tourne autour d'un axe en mouvement dans le repère lié au bâti est appelé satellite. Les trajectoires des points du satellite dans le repère fixe sont des courbes cycloïdales, d'où le nom donné au dispositif. Le satellite est le premier élément qu'il faut repérer quand on étudie un train épicycloïdal (sur la figure b, c'est bien sûr le solide 2). Lorsqu'on a déterminé le satellite, on peut rechercher les trois entrées du train :  Le satellite est en liaison pivot avec le porte-satellite (solide 4 de la figure b)  Les dentures du satellite sont en contact avec les deux planétaires. Les planétaires tournent autour d'axes fixes dans le repère de l'observateur et engrènent avec le satellite. Les planétaires peuvent être des pignons (solide 1) ou des couronnes dentées intérieures (solide 3). Le porte satellite et les deux planétaires constituent les trois entrées usuelles d'un train épicycloïdal. Si le porte satellite joue un rôle bien caractérisé, en revanche les deux entrées sur les planétaires jouent des rôles tout à fait symétriques. Classification  Train plan : train construit à partir d'engrenages à axes parallèles.  Train élémentaire : train à trois entrées.  Train composé : train résultant de la juxtaposition de plusieurs trains élémentaires, l'étude d'un train composé nécessite sa décomposition en trains élémentaires.  Train valseur : train épicycloïdal dans lequel la sortie de puissance s'effectue par le satellite. Relation de Willis : La relation de Willis traduit le comportement d'un train épicycloïdal indépendamment de son 7/12

MPSI/PCSI

SI, cours sur les engrenages

mode effectif de fonctionnement. Elle relie les fréquences de rotation des trois entrées mesurées par rapport à n'importe quel référentiel R0 dans lequel les axes de rotation des planétaires et du porte satellite sont des droites fixes. Pour l'établir, on doit :  Définir clairement le train auquel on s'intéresse, déterminer le satellite SAT, le porte satellite PS, les entrées sur planétaires E1 et E2.  Placer l'observateur sur le porte satellite PS : il voit alors un train simple (les axes sont tous fixes dans le repère d'observation) et peut donc déterminer, en fonction des caractéristiques des dentures, le rapport :

E 2 / PS  E1 / PS

Remarque :



 sortie  Zmenantes  (1) p . entrée  Zmenées



E 2 / PS Z .Z  (1)1. E1 SAT  E1/ PS Z SAT .Z E 2



Z E1 ZE2

Changer de repère pour écrire la relation définitive entre les trois entrées, appelée « formule de Willis » dans la littérature.

E 2 / 0  PS / 0  E1 / 0  PS / 0

Il est très vivement déconseillé d'apprendre la formule par cœur, il faut simplement retenir le raisonnement.

8/12

MPSI/PCSI

SI, cours sur les engrenages

Fonctionnement d'un train épicycloïdal, Pour faire fonctionner un train épicycloïdal, Il faut imposer la fréquence de rotation deux des trois entrées. La manière la plus courante consiste à fixer l'une à entrées par rapport repère d'observation (bâti), d'imposer le mouvement d'une autre et récupérer la sortie sur le troisième. On bloque le porte satellite

 PS / 0  0

E 2 / 0  PS / 0  E1 / 0  PS / 0 E 2 / 0   E1 / 0

On bloque le planétaire E1

 E1 / 0  0 E 2 / 0  PS / 0  E1/ 0  PS / 0

E 2 / 0  PS / 0   PS / 0 E 2 / 0  PS / 0  .PS / 0

E 2 / 0 1  PS / 0

9/12

MPSI/PCSI

SI, cours sur les engrenages

On bloque le planétaire E2

E 2 / 0  0 E 2 / 0  PS / 0  E1/ 0  PS / 0  PS / 0  E1/ 0  PS / 0

 PS / 0  .(E1/ 0  PS / 0 )

PS / 0 .(  1)  .E1 / 0

E1 / 0   1  PS / 0  Cas d’un satellite double :



C / PS Z .Z  (1)1. PL S 2 PL / PS Z S 1.ZC



C / PS Z .Z   PL S 2 PL / PS Z S1.ZC

10/12

MPSI/PCSI

SI, cours sur les engrenages

Différentiel On appelle différentiel un train épicycloïdal de raison de base La relation de Willis

E 2 / 0  PS / 0  E1 / 0  PS / 0

devient :

  1 .

E 2 / 0  E1 / 0  2.PS / 0  0

La fréquence de rotation du porte satellite est la moyenne des fréquences de rotation des deux autres entrées. Exemple : différentiel d'automobile - sommateur de vitesses

Associations de trains épicycloïdaux En examinant le mécanisme, on peut détecter un certain nombre de symptômes caractéristiques d'un train composé, par exemple :  Il y a plusieurs satellites guidés par des portes satellites différents

11/12

MPSI/PCSI

SI, cours sur les engrenages

On retrouve 2 fois le cas planétaire E2 bloqué

 Un même porte-satellite guide deux satellites qui ne sont pas en contact avec les mêmes planétaires

Méthode de mise en équation  Rechercher les trains épicycloïdaux élémentaires. Pour cela on envisage chaque satellite séparément, et chaque couple de planétaires en contact avec ce satellite.  Puis écrire les relations de Willis pour chacun de ces trains élémentaires, indépendamment de leur mode de fonctionnement dans l'ensemble. Trains valseurs On appelle train valseur un mode d'utilisation très particulier d'un train épicycloïdal qui consiste à prendre comme sortie le mouvement du satellite. 12/12