Cours Electrocinetique Ampli-1

ÉLECTROCINÉTIQUE J. Roussel Promotion Chem.I.St-1. Année 2005-2006

2

Table des matières 1 Lois générales de l’électrocinétique 1.1

1.2

1.3

7

Courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Notion d’intensité du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

L’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Loi des noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Tension électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Différence de potentiel (ou tension) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Puissance électrocinétique reçue par un dipôle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2

Caractère générateur et récepteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Circuits en régime continu 2.1

2.2

2.3

2.4

13

Dipôles passifs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.1

Définitions conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.2

L’interrupteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.3

Le conducteur ohmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.4

Le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.5

la bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Association des résistances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.1

en série, en parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.2

Ponts diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Modélisations linéaires d’un dipôle actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3.1

Sources de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3.2

Sources de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3.3

Équivalence Thévenin - Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3.4

Récepteurs actifs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Dipôles non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3

TABLE DES MATIÈRES

4

2.5

2.6

2.7

2.4.1

La diode à jonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4.2

La diode Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.5.1

Circuit à une maille : loi de P OUILLET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.5.2

Théorème de M ILLMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.5.3

Circuits complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Aspects énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.6.1

Énergie emmagasinée dans un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.6.2

Énergie emmagasinée dans une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.6.3

Puissance dissipée dans une résistance (effet Joule) . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.6.4

Puissance fournie et convertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3 Régimes transitoires 3.1

3.2

3.3

3.4

circuits R,C série soumis à un échelon de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.1.1

Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.1.2

Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.1.3

Bilan d’énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

circuit R,L série soumis à un échelon de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.1

Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.2

Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

circuit R,L,C série soumis à un échelon de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.1

Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.3.2

Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 4.1

4.2

4.3

29

35

Signaux périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.1.1

Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.1.2

Signaux sinusoïdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Étude du circuit R,L,C série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.2.1

Établissement du régime sinusoïdal forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.2.2

recherche de la solution forcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.2.3

Résonance d’intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.2.4

Résonance de tension aux bornes du condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Impédance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.3.1

40

Notion d’impédance et d’admittance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATIÈRES

4.4

4.5

5

4.3.2

Lois d’association. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.3.3

Réseau linéaire en régime sinusoïdal forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Puissance en régime sinusoïdal forcé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.4.1

Puissance moyenne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.4.2

Facteur de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5 Filtres

45

5.1

Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.1.1

Quadripôle linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.1.2

Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.1.3

Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Exemples de Filtres passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.2.1

Filtre passe-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.2.2

Filtre passe-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.2

5.3

6 Notions sur l’Amplificateur Opérationnel 6.1

6.2

6.3

6.4

51

Caractéristiques de l’A.O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

6.1.1

Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

6.1.2

Gain différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

6.1.3

Courants de polarisation, courants de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

6.1.4

Résistance d’entrée différentielle et de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

6.1.5

Modélisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Montages en régimes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

6.2.1

Montage suiveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

6.2.2

Amplificateur inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

6.2.3

Convertisseur courant-tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

6.2.4

Sommateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

6.2.5

Dérivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

6.2.6

Intégrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Ampli Op en régime saturé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

6.3.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

6.3.2

Comparateur de tensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

6.3.3

Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6

TABLE DES MATIÈRES

Ce cours est une initiation à l’électricité destiné aux élèves de première année du cycle Chem.I.St de l’École Nationale Supérieure de Chimie de Rennes. Ce cours se concentre essentiellement sur les notions théoriques, l’aspect pratique étant abordé en Travaux Pratiques. À partir des lois de l’électricité (lois de Kirrchoff) on cherchera à décrire l’état électrique des circuits linéaires : les régimes permanents, transitoires et sinusoïdal forcé sont mis en évidence. On abordera la notion très générale de résonance, ainsi que quelques aspects électroniques via l’étude de l’amplificateur opérationnel. Cet enseignement sera l’occasion de maîtriser les outils mathématiques tels que les systèmes d’équations linéaires, les équations différentielles linéaires ainsi que les équations complexes.

Chapitre 1

Lois générales de l’électrocinétique 1.1 Courant électrique 1.1.1 Notion d’intensité du courant Le courant électrique est le résultat d’un déplacement d’ensemble, sous l’effet d’une action extérieure (un champ électrique en général), de particules portant une charge électrique. L’intensité du courant dans une branche orientée de circuit est le débit de charges à travers une section du conducteur : i(t) =

dq (t) dt

L’intensité électrique s’exprime en Ampère (symbole : A) en hommage à André-Marie A MPÈRE 1 . IL s’agit d’une unité de base du Système Internationale. 1A = l’intensité du courant qui fait apparaître une force de 2.10−7 N entre deux conducteurs filiformes rectilignes infinis distants de 1 m, parcourus par ce courant électrique.( forces de Laplace). dans les conducteurs métalliques les porteurs sont des électrons libres ; dans une solution électrolytique ce sont des ions (cations et anions) ; dans les semi-conducteurs (silicium, germanium, etc ..) ce sont des électrons et / ou des trous (lacunes électroniques). L’ampèremètre : Le courant se mesure à l’aide d’un ampèremètre, appareil que l’on place en série dans le circuit. On distingue les appareils analogiques des appareils numériques : Il existe plusieurs types d’ampèremètres analogiques : L’ampèremètre le plus répandu est magnétoélectrique, il utilise un galvanomètre à cadre mobile. L’ampèremètre ferro-magnétique contient deux palettes de fer doux à l’intérieur d’une bobine. L’une des palette est fixe, l’autre est montée sur 1 André-Marie

Ampère (1775 - 1836) : Physicien et chimiste français, fondateur de l’électromagnétisme. Né à Polémieux-au-Mont-d’Or, près de Lyon, fils d’un juge de paix lyonnais guillotiné sous la Révolution, André-Marie Ampère mène une brillante carrière scientifique : titulaire de la chaire de mécanique à l’École Polytechnique en 1809, il est élu à l’Académie des Sciences en 1814, puis à la chaire de physique du Collège de France en 1824. En 1820, Ampère assiste à une reconstitution de la célèbre expérience d’Oersted (1819), où une aiguille aimantée se trouve déviée au voisinage d’un courant électrique. Observant que le courant électrique crée des effets similaires à ceux d’un aimant, celui que Maxwell appelait le "Newton de l’électricité" jette alors les bases d’une discipline nouvelle, l’électromagnétisme, et en donne les premières formulations mathématiques. Il montre également que deux courants peuvent agir l’un sur l’autre, fondant ainsi l’électrodynamique. Ampère invente les termes de courant et de tension électriques. Tous ces résultats sont publiés dans son ouvrage Sur la théorie mathématique des phénomènes électrodynamiques uniquement déduite de l’expérience (1827). Mathématicien, physicien, Ampère est aussi chimiste : il est l’un des premiers à distinguer les atomes des molécules. Indépendamment d’Avogadro, il formule en 1814 la loi, dite parfois loi d’Avogadro-Ampère, selon laquelle tous les gaz, à volume égal et à pression égale, renferment le même nombre de molécules. Mort pratiquement dans l’oubli, Ampère a laissé son nom à l’unité de courant électrique, l’ampère.

7

CHAPITRE 1. LOIS GÉNÉRALES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE

8

pivot. Quand le courant passe dans la bobine, les deux palettes s’aimantent et se repoussent, quel que soit le sens du courant. Cet ampèremètre n’est donc pas polarisé. Dans l’ampèremètre thermique, le courant circule dans un fil. Ce fil s’échauffe et s’allonge, ce qui provoque la rotation de l’aiguille. Les appareils thermiques ne sont pas polarisés. Pour changer de calibre, on utilise des shunts. Ce sont des résistances additionnelles branchées en dérivation. Plus le calibre est grand, plus la résistance du shunt est faible pour dériver une plus grande partie du courant. L’ampèremètre numérique est réalisé à partir d’un voltmètre par mesure de la tension aux bornes d’une résistance de faible valeur parcourue par le courant (shunt). ordres de grandeurs : • 1 A : arrêt du coeur • 75 mA : seuil de fibrilisation cardiaque irréversible • 30 mA : seuil de paralysie respiratoire • 10 mA : contraction musculaire - tétanisation • 0,5 mA : sensations très faibles • 1-100 kA : courant de foudre

1.1.2 L’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) En régime variable (dépendant du temps) les variations de courant se propagent à une vitesse proche de la vitesse de la lumière. Pour des circuits de taille raisonnable la durée de propagation τ est très petite devant le temps caractéristique T du régime variable (période du signal s’il est périodique). L’ARQS consiste à négliger τ devant T ; on considère alors la propagation instantanée . ARQS : Dans une branche d’un circuit, à un instant donné, le courant a la même intensité en tout point. Intensité algébrique : dans chaque branche, on définit un sens conventionnel (le choix est arbitraire !) du courant et une intensité algébrique i . Si i > 0 , le courant circule dans le sens conventionnel ; si i < 0 , le courant circule dans le sens opposé.

1.1.3 Loi des noeuds noeud : Un noeud est la rencontre d’au moins trois conducteurs électriques. La loi des noeuds traduit une conservation de la charge en régime stationnaire : X  k ik = 0 k

où ik est l’intensité algébrique du courant de la branche orientée k, où  k = +1 quand le courant est entrant et où k = −1 dans le cas contraire. Exemple : cf. figure 1.1 . Remarque : On admet l’extension de la loi des noeuds aux régimes lentement variables.

1.2 Tension électrique 1.2.1 Différence de potentiel (ou tension) Le transport électrique est assuré grâce aux forces électrostatiques. Chaque point du conducteur possède alors un potentiel électrique. Lorsque le potentiel électrique est le même partout, on dit que le conducteur est à l’équilibre : il n’y a alors aucun courant électrique.

1.2. TENSION ÉLECTRIQUE

9

i5 i1 i4 i2

i3

F IG . 1.1 – Trouver la relation entre i1 , i2 , i3 , i4 et i5 . Par contre lorsque le potentiel électrique n’est plus uniforme, le conducteur n’est plus à l’équilibre ce qui génère un courant électrique (qui tente de rétablir l’équilibre).On comprends alors que le grandeur qui joue un rôle est la différence de potentiel entre deux points A et B d’une branche : UAB = VA − VB cette tension s’exprime (comme le potentiel électrique) en Volt (symbole : V), en hommage à A LESSAN DRO VOLTA 2 . représentation fléchée : cf. figure 1.2. A B

UAB = VA − VB

F IG . 1.2 – Lorsque la tension est positive, le bout de la flèche est porté à un potentiel électrique plus élevé que l’autre extrémité. ordre de grandeur : • • • •

Électronique ( circuits intégrés, transistors ) : µ V , mV et V Piles : 1-10 V Tension maximale délivré par le réseau EDF : 325 V. Électrotechnique ( moteurs, centrales &) : 100V à 400kV.

La masse : c’est le potentiel de référence (fixé par convention à 0 V ) du montage électrique : un potentiel n’est pas défini dans l’absolu, on parle toujours de différence de potentiel. Dans un montage électronique, quand on parlera du potentiel d’un point, il sera sous entendu que ce potentiel est référencé à la masse du montage. La masse sera en général le pôle moins de l’alimentation continue servant à polariser le montage. Cette règle est uniquement une coutume, elle ne sera pas systématiquement respectée sur les schémas rencontrés ! La terre : c’est une connexion physique au sol (à la terre !). Contrairement aux croyances souvent énoncées, en aucun cas ce potentiel ne peut être considéré comme référence absolue, car il est différent d’un endroit de la Terre (la planète) à un autre. De plus, le câble de liaison du laboratoire au sol présente une impédance non nulle : si un courant parasite circule dans ce câble, il va y créer une chute 2 (1745

-1827) : Physicien italien et inventeur de la première pile en 1800.

CHAPITRE 1. LOIS GÉNÉRALES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE

10










(a) La masse

(b) La terre

de potentiel ; on aura une différence de potentiel entre la prise de terre du labo et le sol. La fonction d’une terre est la sécurité : elle permet de protéger les utilisateurs d’équipement sous tension , et aussi d’évacuer les courants induits par la foudre.

1.2.2 Loi des mailles maille : ensemble de branches adjacentes que l’on parcours une seule fois pour relier un noeud à lui même. La loi des mailles s’exprime par X

 k uk = 0

k

où uk est la k-ième tension adjacente de la maille orientée (sens arbitraire) ,où  k = +1 lorsque la tension uk est orientée (la flèche représentative) dans le même sens que le sens de parcours de la maille et où k = −1 dans le cas contraire. Exemple : Trouver les relations entre les tension u1 , u2 , u3 , u4 , u5 et u6 représentées sur la figure 1.3. u1

u5

u6

u4

u2

u3

F IG . 1.3 – Loi des mailles. La flèche courbe indique le sens de parcours de la maille (arbitraire).

1.3 Puissance électrocinétique reçue par un dipôle. 1.3.1 Définitions dipôle : partie d’un circuit qui peut être reliée au reste du circuit par deux fils. La puissance électrocinétique reçue (l’énergie reçue par unité de temps) par un dipole D à l’instant t , soumis à une tension u(t) et traversé par un courant d’intensité i(t) vaut, en convention récepteur : P (t) = u(t)i(t)

1.3. PUISSANCE ÉLECTROCINÉTIQUE REÇUE PAR UN DIPÔLE.

11

La puissance électrique se mesure en Watt (symbole : W) en homage à James Watt 3 . On rappelle que 1 W = 1J.s−1 . ordre de grandeur • • • • • • • •

en électronique : P ≈ 1 µW − 1 mW mW : montre - DEL, laser, calculatrices W : lampe de poche, tube fluorescent, lampe à incandescence kW : appareil électroménager installation électrique domestique MW : moteur de TGV GW : centrale électrique PW : futur laser "petawatt" du CEA consommation électrique de la France en hiver : P ≈ 100 000 M W .

1.3.2 Caractère générateur et récepteur si P (t) > 0, le dipôle absorbe effectivement, à l’instant t, de l’énergie électrique. Cette énergie reçue par le dipôle est soit stockée soit convertie sous une autre forme (effet joule dans une résistance, énergie mécanique dans un moteur). Si P (t) < 0, le dipôle fournit effectivement de l’énergie électrique ; on dit que le dipôle à un caractère générateur (batterie en fonctionnement par exemple). on distingue également les dipôles passifs et actifs. Un dipôle passif ne fournit pas de courant à tension nulle. Dans le cas contraire on parle de dipôle actif.

récepteur générateur

3 James

passif (résistance, condensateur en charge) actif (moteur électrique, batterie en charge,D.E.L) passif (condensateur en décharge) actif (batterie en fonctionnement,pile, photopile)

Watt (1736-1819) : Ingénieur britannique, il est l’inventeur de la machine à vapeur à piston (1869).

12

CHAPITRE 1. LOIS GÉNÉRALES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE

Chapitre 2

Circuits en régime continu 2.1 Dipôles passifs linéaires 2.1.1 Définitions conventions Dipôle : Partie d’un circuit qui peut être reliée au reste du circuit par deux fils. • conventions : En général, on adopte la convention récepteur pour les récepteurs et la convention générateur pour les générateurs (cf. figure 2.1).

(a) Convention générateur

(b) Convention récepteur

F IG . 2.1 – Différentes conventions. • Caractéristique courant tension d’un dipôle : représentation graphique de la relation i = f (u) en régime continu. • Point de fonctionnement : quand on relie deux dipôles , l’intersection des deux caractéristiques donne le point de fonctionnement, c’est-à-dire, les valeurs de i et u en régime continu (cf. figure 2.2). Dipôle passif : Si on branche ensemble deux dipôles identiques et qu’aucun courant permanent ne passe entre les deux dipôles quel que soit le sens du branchement, ces dipôles sont passifs. Ex : résistances, thermistances, selfs, condensateurs. La caractéristique d’un dipôle passif passe donc par l’origine. Dipôle actif : La caractéristique d’un dipôle actif ne passe pas par l’origine, c’est-à-dire que la tension à ses bornes est différente de zéro même en boucle ouverte. Pour un dipôle actif, une partie de l’énergie électrique est transformée ou issue d’une transformation. Ex : moteur, pile, accumulateur, alternateur. Dipôle linéaire : Dipôle dont la relation entre u et i est soit affine (i = a ∗ u + b) soit intégro-différentielle.

2.1.2 L’interrupteur Il permet d’introduire une coupure dans un circuit électrique. Nous allons étudier ici le comportement d’un interrupteur parfait. 13

CHAPITRE 2. CIRCUITS EN RÉGIME CONTINU

14

i

i

D1 u

U i

U i

D2 u

i I0

D1 I0

P

U0

U0

u

D2

F IG . 2.2 – Détermination graphique du point de fonctionnement.

Lorsque l’interrupteur est ouvert, aucun courant ne circule dans la boucle, et toute la tension se retrouve sur l’interrupteur. Lorsque l’interrupteur est fermé, le courant peut circuler librement, la tension à ses bornes étant nulle ; on suppose celui-ci parfaitement conducteur, exempt de toute impédance parasite. On peut donc modéliser un interrupteur fermé par un simple fil (supposé infiniment conducteur).

2.1.3 Le conducteur ohmique • Loi d’O HM : U = Ri en convention récepteur. R désigne la résistance du conducteur ohmique et s’exprime en Ohm (symbole Ω) en hommage à Georg O HM 1 . • Le conducteur ohmique est un dipôle linéaire passif car sa caractéristique est linéaire (droite passant par l’origine). • Pour un fil cylindrique de longueur L et de section S on a R=

1L L =ρ σS S

où σ désigne la conductivité (en S.m−1 ) . σ dépend du matériaux, de la température et de la pression. σ augmente avec T dans les métaux ; c’est l’inverse dans les semi-conducteurs. On définit également la résisitivité ρ = σ1 (en Ωm). Le tableau suivant donne quelques ordres de grandeur. • principe du ohmmètre : Le ohmmètre se compose d’une pile et d’un ampèremètre 1*

Georg Ohm (Erlangen, 1789 - Munich, 1854) : Physicien allemand. Il publie son oeuvre maîtresse en 1827, “Die galvanishe Kette” dans lequel il énonce la loi qui porte aujourd’hui son nom. À l’époque,ses travaux ne sont pas reconnus par ses pairs, peu enclins aux développements mathématiques en physique.

2.1. DIPÔLES PASSIFS LINÉAIRES

15

i

i

K u

U i

i

K u

U

F IG . 2.3 – Caractéristiques de l’interrupteur.

i

R

U

i

R U

F IG . 2.4 – Différentes représentations d’un conducteur ohmique.

Substance Argent Cuivre Aluminium Carbone graphite Silicium Eau distillée Verre

conductivité σ(S.m−1 ) 6, 1.107 5, 8.107 3, 5.107 8, 0.104 1, 6.10−3 4.10−6 10−12

TAB . 2.1 – Quelques valeurs de conductivités à 20◦ C. Notez le rapport d’échelle entre les isolants et les conducteurs.

CHAPITRE 2. CIRCUITS EN RÉGIME CONTINU

16

2.1.4 Le condensateur Principe : Le condensateur se compose de 2 armatures composés de matériaux conducteurs séparés par un matériau isolant appelé diélectrique. Lorsque l’on applique une tension aux bornes d’un condensateur, les charges électriques de la source de tension ont tendance à migrer mais comme le diélectrique est non conducteur les charges stagnent sur les armatures du condensateur. Il apparaît donc une différence de potentiel et ceci, même si on débranche la source de tension puisque les charges sont accumulés sur les armatures du condensateur. Condensateur idéale q

−q

i

Condensateur réelle R i

C

i’ U U

F IG . 2.5 – Différentes représentations d’un condensateur. Capacité : La tension au borne du condensateur est proportionnelle aux charges présentes sur les armatures du condensateur (cf. électrostatique 1ère année) : q = CU ⇒ i = C

dU dt

en convention récepteur. • C se mesure en Farad (symbole : F ) en hommage à Michael FARADAY (1791-1867) 2 • Ordre de grandeur :10−12 − 10−3 F . • Modélisation d’un condensateur réel : Lorsque qu’un condensateur chargé est abandonné, en circuit ouvert, on constate que sa charge diminue au cours du temps ; on parle de fuite de charge. Pour caractériser cette fuite, on la modélise par une résistance en parallèle, dite résistance de fuite (ordre de grandeur ≈ 106 Ω). • Principe du capacimètre à courant constant : Pour déterminer la valeur d’une capacité C, on charge celle ci avec un courant constant I. Soit t le temps nécessaire à ce que la tension aux bornes atteigne la valeur V0 . On a C = VIt0 . On commence par décharger le condensateur dans une résistance faible puis lorsque la charge à courant constant commence, on compte les tops de l’horloge du système pour déterminer t. Quand la tension aux bornes du condensateur atteint la valeur V 0 , un comparateur de tension interrompt le comptage du temps. • Principe du capacimètre numérique (cf chapitre 6 sur l’oscillateur à relaxation).

2.1.5 la bobine Principe : Lorsque qu’un bobinage est parcouru par un courant, un champ magnétique apparaît. Le phénomène d’auto-induction crée aux bornes de la bobine une tension qui tend à s’opposer aux variations du champ magnétique et donc du courant (notion d’inertie). En courant continue, le champ magnétique ne varie pas et la bobine peut être remplacée par un fil. Self-inductance : La tension est proportionnelle à la dérivée du courant par rapport au temps (cf induction 2 ème année). En convention récepteur, pour une bobine idéale (sans résistance), on a : U (t) = L 2 Michael

di (t) dt

FARADAY (Newington, Surrey, 1791 - Hampton Court, 1867) : Physicien et chimiste anglais. En 1831, il découvre l’induction électromagnétique qui permettra la construction des dynamos. En 1833, il établit la théorie de l’électrolyse. Il travailla également sur le phénomène d’électroluminescence, le diamagnétisme et l’action d’un champ magnétique sur la lumière polarisée.

2.2. ASSOCIATION DES RÉSISTANCES

17

où L représente la Self-inductance. L se mesure en H ENRY (symbole : H) en hommage à Joseph H ENRY3 Dans la pratique, le fil formant la bobine est résistive ; il existe de plus une petite capacité entre les fils. C’est pourquoi, on modélise une bobine réelle en ajoutant en série une résistance (~quelques ohm) et un condensateur en parallèle. Dans la plupart des cas, on pourra négliger l’effet capacitif (sauf si la fréquence est très grande). Bobine idéale

Bobine réelle L

i i

i−i’

L

r

i’ C

U

U

F IG . 2.6 – Représentations de la bobine.

• mesure de L : l’auto-inductance se mesure à l’aide d’un inductancemètre. Il existe plusieurs méthode de mesure. Un exercice du chapitre 4 propose un principe simple basée sur une mesure de temps.

2.2 Association des résistances 2.2.1 en série, en parallèle En série (les conducteurs sont parcourus par le même courant) : X Req = Rk k

En parallèle (les conducteurs sont soumis à la même tension) : X Geq = Gk k

où Gk =

1 Rk

est la conductance du k-ème conducteur ohmique.

Remarques : R2 On retiendra que deux résistances en parallèle sont équivalent à une résistance R eq = RR11+R . 2 R N résistances identiques R en parallèle sont donc équivalentes à un conducteur de résistance N . 3 H ENRY , Joseph (Albany 17 décembre 1797 - Washington13 mai 1878) : Physicien américain. En 1830, Henry découvre qu’un courant peut être induit dans un conducteur par déplacement d’un champ magnétique ; principe de l’électromagnétisme qu’il ne publiera pas. Dès 1831, il démontre la possibilité de transmettre des messages à distance en utilisant simplement une source de courant, un interrupteur et un électro-aimant. Une pièce métallique générait des chocs audibles au même rythme que l’action de l’opérateur sur l’interrupteur. Henry présenta au public un appareil expérimental à Albany, dans l’état de New York et établit une liaison de plus de 150 mètres, démontrant ainsi la faisabilité du procédé. Mais il ne breveta pas son invention, pas plus qu’il ne lui trouva d’application pratique.. Henry sera "doublé" par M. Faraday qui découvrira seul le phénomène d’induction magnétique (août 1831) et par S. Morse qui appliquera cette découverte à la transmission d’information (1832). On lui attribue malgré tout, la découverte de l’auto-induction (juillet 1832), phénomène fondamental en électromagnétisme

CHAPITRE 2. CIRCUITS EN RÉGIME CONTINU

18

2.2.2 Ponts diviseurs Diviseur de tension : On considère deux résistances R1 et R2 en série soumises à une tension globale U . la tension aux bornes des résistances vaut alors Rk U k = 1 ou 2 Uk = R1 + R 2 Diviseurs de courant : On considère deux résistances R1 et R2 en parallèle alimentées par un courant global i. le courant traversant chacune résistance a pour intensité : ik =

Gk i k = 1 ou 2 G1 + G 2

i i2

i1

R1 R1

R2

U R2

U2

Diviseur de courant

Diviseur de tension

Démonstration : au tableau. Exemple : On considère le montage de la figure 2.7. Calculer l’intensité du courant i.

R i U R

R

F IG . 2.7 – Exemple d’application. Calculer i.

2.3 Modélisations linéaires d’un dipôle actif 2.3.1 Sources de tension • source de tension idéale : Ce qui caractérise une source de tension idéale c’est la capacité à imposer une tension indépendamment du courant qui la traverse. U = E ∀i

2.3. MODÉLISATIONS LINÉAIRES D’UN DIPÔLE ACTIF

19

où E est la force électromotrice (f.é.m) de la source de tension. • source de tension réelle : Pour tenir compte des pertes par effet joule d’une source de tension, on modélise la source par une source idéale en série avec une résistance dite résistance interne. La caractéristique s’écrit alors : U = E − Ri On notera qu’une source de tension se rapproche d’une source de tension idéale quand sa résistance interne R → 0 Ω. Source de tension idéale i

E

U u

Source de tension réelle i

E U

u

R

2.3.2 Sources de courant • source de courant idéale :

i = J ∀U

où J est le courant électromoteur (c.é.m). • source de courant réelle : Pour tenir compte des pertes par effet joule d’une source de courant, on modélise la source par une source idéale en parallèle avec une résistance dite résistance interne. La caractéristique s’écrit alors : i = J − GU où G = R1 est la conductance interne. On notera qu’une source de courant se rapproche d’une source de courant idéale quand sa résistance interne G → 0 Ω−1 .

2.3.3 Équivalence Thévenin - Norton Considérons une source de tension réelle de caractéristique linéaire U = E − Ri. Cette caractéristique peut se ré-écrire i = E R − GU ; autrement dit cette source de tension peut s’interpréter comme une source de 1 courant de c.e.m. J = E R et de conductance G = R . Ainsi une source linéaire peut se modéliser de deux manières : • modélisation de Thévenin : une source de tension idéale en série avec une résistance.

CHAPITRE 2. CIRCUITS EN RÉGIME CONTINU

20 J

J

i

i

U

i’

R U

Source de courant idéale

Source de courant réelle

E

I= E r F IG . 2.8 – Équivalence Thévenin - Norton • modélisation de Norton : une source de courant idéale en parallèle avec une conductance. Il est possible de passer d’une représentation à une autre en retenant l’équivalence Thévenin-Norton : J= G=

E R 1 R

2.3.4 Récepteurs actifs linéaires • modélisation : U = E 0 + Ri où E 0 représente la force contre électromotrice (f.c.é.m). • schéma : Récepteur

i

+

E’ _

U

R

F IG . 2.9 – Schéma d’un récepteur actif. • récepteurs réversibles (ou polarisés) : E 0 est fixé => fonctionnement en récepteur ou en générateur (batterie)

2.4. DIPÔLES NON LINÉAIRES

21

• récepteurs non réversibles (non polarisés) : fonctionnement récepteur : la f.c.é.m s’oriente de façon à ce que le courant “rentre par le +” (moteur continu)

2.4 Dipôles non linéaires 2.4.1 La diode à jonction La diode à jonction (dont le schéma est donné sur la figure 2.10) se compose de deux semi-conducteurs dopés différemment, accolés. Les propriétés semi-conductrices donnent à ce dipôle un comportement particulier : lorsque l’on soumet cette diode à une tension U , un courant apparaîtra que si la tension dépasse une tension de seuil U0 . Son fonctionnement macroscopique est assimilable à celui d’un interrupteur commandé qui ne laisse passer le courant que dans un seul sens.

id Vd

F IG . 2.10 – Représentation et caractéristique de la diode à jonction. Un phénomène d’avalanche a lieu dans la partie grisée (la diode est alors détruite) La diode est un dipôle non linéaire (cf caractéristique). Cependant pour des raisons de commodités de calcul, on linéarise la caractéristique. On distingue alors trois modèles linéaires pour la diode : la diode idéale, la diode avec seuil mais sans résistance, et la diode avec seuil et avec résistance (cf. figure) i

i

i pente=1/r

U0

u

Diode avec seuil

Diode idéale

i Interrupteur commandé : K ouvert si U t1 : le dipôle ne peut pas rendre l’énergie fournie ; l’énergie est dissipée sous forme de chaleur : c’est l’effet J OULE.

2.6.4 Puissance fournie et convertie • source de tension : puissance fournie Pf = Ei − Ri2 • source de courant : Pf = JU − GU 2 • récepteur actif : puissance convertie Pc = E 0 i.

2.7. EXERCICES

25

2.7 Exercices 1. Résistance d’un cube 12 résistances identiques r sont réparties suivant les arêtes d’un cube. Ce cube est relié à un circuit extérieur

F IG . 2.13 – par 2 sommets opposés (cf. figure 2.13). Calculer sa résistance équivalente en tenant compte de considérations de symétrie.

2. résistance équivalente Calculer la résistance équivalente entre A et B (cf.fig 2.14) dans les cas suivants :

K R R

A

R

R

B

R K

F IG . 2.14 – • Tous les interrupteurs sont fermés. • Tous les interrupteurs sont ouverts. • un seul interrupteur est fermé. 3. Transformation étoile↔triangle

On se donne un quadripôle en triangle (ou en Π) et un quadripôle en étoile (ou en T ) constitués par des résistances. A

r3

A

B

B

R1

R2

r1

r2

R3 C C

(a) En analysant les résistances vues entre A et C, entre A et B puis entre B et C, trouver les relations liant leurs résistances respectives pour que ces deux réseaux soient interchangeables.

CHAPITRE 2. CIRCUITS EN RÉGIME CONTINU

26

(b) application : déterminer la résistance équivalente entre les point A et B du dipôle D de la figure ??. 4. Circuits simples R1

i1

i1 i2 E

i3

R2

R3

R2

i0

R3

F IG . 2.15 – (a) Dans les circuits de la figure 2.15, calculer les intensités dans toutes les branches ; (b) A.N. : E = 10 V, i0 = 2 A, R1 = R2 = 10 Ω, R3 = 5 Ω. 5. Caractéristique. (a) Représenter la caractéristique courant-tension i = f (u) du dipôle suivant (la diode sera considérée idéale) :

R i

i R’ U

6. Diode idéale On étudie le circuit de la figure 2.16 dans lequel la diode sera supposée idéale. I R

2A

R 50 V

F IG . 2.16 – (a) Calculer I dans le cas où R = 10 Ω. (b) Même question si on inverse le sens de la diode. 7. Réseau de résistances On considère le montage de la figure 2.17. Calculer la tension UAB = VA − VB

2.7. EXERCICES

27 1 kΩ

I

2 kΩ

6V

1 kΩ

1 kΩ

2 kΩ

A

1 kΩ

2 kΩ

B

F IG . 2.17 – (a) En utilisant au maximum l’équivalence T HÉVENIN -N ORTON. (b) En appliquant les lois de K IRCHHOFF. 8. Pont de Mance La figure 2.18 représente un pont de Mance. B

R1

R2

E r

C

R3

D

R4 A

K

F IG . 2.18 – (a) En simplifiant le réseau, calculer l’intensité qui circule dans la branche AB du circuit lorsque l’interrupteur K est ouvert.

(b) même question lorsque l’interrupteur K est fermé. (c) Quelle relation doit-il exister entre les 4 résistances pour que l’intensité soit la même dans les 2 cas (K ouvert ou fermé) ?

(d) Quelle application pouvez vous en tirer ? 9. Adaptation d’impédance Un électromoteur de f.e.m. E et de résistance interne r forme un circuit avec une résistance R. Comment doit-on choisir R pour que la puissance dissipée dans cette résistance soit maximale ?

28

CHAPITRE 2. CIRCUITS EN RÉGIME CONTINU

Chapitre 3

Régimes transitoires 3.1 circuits R,C série soumis à un échelon de tension 3.1.1 Mise en équation • Principe : On soumets un dipôle R - C à un échelon de tension c’est-à-dire à une tension e(t) telle que e(t) =



0 E

pour t < 0 pour t ≥ 0

C i(t)

U c(t)

Générateur de signaux

e(t)

R

F IG . 3.1 – Schéma de principe. • Obtention de l’équation-différentielle (premier ordre linéaire avec second membre) à l’aide des lois de Kirchhoff puis à l’aide d’une analyse énergétique : dUc Uc E + = pour t > 0 dt τ τ où τ = RC est homogène à un temps. (le vérifier à l’aide de l’équa-diff puis à l’aide des unités) • Conditions initiales : Uc (0+ ) = 0 V car la charge varie de façon continue dans un condensateur. 29

CHAPITRE 3. RÉGIMES TRANSITOIRES

30

3.1.2 Résolution Rappel-math : Une équation différentielle linéaire à coefficients constants avec second membre du type an y (n) + ... + a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = f (t) admet comme solution y(t) = yh (t) + ypart (t) où yh est la solution de l’équation sans second membre (équation homogène) et ypart est la solution particulière. yh s’exprime comme une somme d’exponentielle n X yh = A k e rk t k=1

où rk sont solution de l’équation caractéristique

an rkn + ... + a2 rk2 + a1 rk + a0 = 0 S’il existe des racines doubles, l’exponentielle est à remplacer par (A k + Bk t)erk t . On vérifiera que le nombre de constantes d’intégration (Ak et Bk ) est égal à n. Pour la solution particulière il existe une méthode générale (méthode de la variation des constantes) dont on peut se passer dans les cas simples. On retiendra que la solution particulière est du même type que le second membre : si le second membre est constant, on cherchera une constante, s’il s’agit d’un polynôme, on cherchera un polynôme du même ordre à priori (si ça ne marche pas il faut envisager un polynôme d’ordre plus élevé), si c’est une fonction circulaire ( sinus ou cosinus) , on cherchera un sinus et un cosinus de même fréquence. solution : i h t Uc (t) = E 1 − e− τ E −t e τ R • tracés : la tangente à l’origine coupe l’asymptote en t = τ . τ représente le temps de relaxation. Plus τ est petit plus la charge du condensateur est rapide. Le temps de réponse à 5% vaut ≈ 3τ . i=

F IG . 3.2 – Charge d’un condensateur • La mesure d’un temps de relaxation peut permettre de mesurer une capacité ou une résistance (résistance de fuite par exemple).

3.2. CIRCUIT R,L SÉRIE SOUMIS À UN ÉCHELON DE TENSION

31

3.1.3 Bilan d’énergie. le générateur a fourni une énergie W = CE 2 ; la résistance en a dissipé la moitié ; le condensateur en a stocké la moitié. Démonstration : au tableau. Remarque : l’énergie dissipée ne dépend pas de la résistance. c’est la durée de la dissipation qui en dépend.

3.2 circuit R,L série soumis à un échelon de tension 3.2.1 Mise en équation • Principe : On soumets un dipôle R - L à un échelon de tension.

L

i(t)

UL(t) Générateur e(t)

de signaux

R

F IG . 3.3 – Schéma de principe. • Obtention de l’équation-différentielle à l’aide des lois de Kirchhoff puis à l’aide d’une analyse énergétique : diL iL E + = pour t > 0 dt τ L où τ = L/R est homogène à un temps. (le vérifier à l’aide de l’équa-diff puis à l’aides des unités). Conditions initiales : iL (0+ ) = 0 A car le courant varie de façon continue dans une bobine.

3.2.2 Résolution • solution : iL (t) =

i Eh t 1 − e− τ R

• tracé. la tangente à l’origine coupe l’asymptote en t = τ . • τ représente le temps de relaxation. Plus τ est petit plus la charge du condensateur est rapide. Le temps de réponse à 5% vaut ≈ 3τ . • La mesure d’un temps de relaxation peut permettre de mesurer une auto-inductance.

CHAPITRE 3. RÉGIMES TRANSITOIRES

32

3.3 circuit R,L,C série soumis à un échelon de tension 3.3.1 Mise en équation On obtient l’équation-différentielle (second ordre linéaire à coefficients constants avec second membre constant) à l’aide des lois de Kirchhoff ou à l’aide d’une analyse énergétique : d 2 Uc ω0 dUc + + ω02 Uc = ω02 E pour t > 0 dt2 Q dt où ω0 =

√1 LC

est la pulsation propre du circuit RLC (si il n’y avait pas d’amortissement, la tension 2π ω0 )

et où ωQ0 = R L est le coefficient d’amortissement. Le facteur de qualité q 1 L Q est sans dimension et vaut Q = R C . On notera que faire disparaître le terme dissipatif (terme de frottement) revient au cas limite Q → ∞. oscillerait à la fréquence f0 =

Conditions initiales : nue.

dUC + dt (0 )

= 0 et Uc (0+ ) = 0 V car la charge et le courant varient de façon conti-

On obtient un oscillateur harmonique amorti soumis à une excitation constante. On rencontrera ce type d’équation différentielle en mécanique. L’analyse sera analogue.

3.3.2 Résolution solution : Les racines de l’équation caractéristique sont réelles si le discriminent ∆ = ω 02 ( Q12 − 4) ≥ 0 ; sinon, les racines sont complexes. • régime pseudo périodique (Q > 21 ) : Uc (t) = −Ee−αt [cos ωt +

α sin ωt] + E ω

p où ω = ω02 − α2 . Pseudo-période T = 2π ω . • régime critique (Q = 21 ) : Uc (t) = E[1 + −e−ω0 t (1 + ω0 t)] régime pour lequel le retour à l’équilibre est le plus rapide. • régime apériodique (Q < 21 ) : x(t) = Ee−αt [ où Ω =

p

−(α + Ω) Ωt α − Ω −Ωt e + e ] 2Ω 2Ω

α2 − ω02 .

Représentation La figure montre différents comportements suivant la valeur de Q . On notera que plus R augmente plus l’amortissement est important et moins il y a d’oscillations. L et C influencent à la fois la fréquence des éventuelles oscillations et le facteur de qualité. (cf. animation regressi)

3.4. EXERCICES

33 x(t) pour diffØrentes différentes valeurs de Q

Q = 0,5

1.8

Q=2 1.6

Q = 10

1.4

1.2

1

0.8

0.6

Q = 0,2

0.4

0.2

0

5

10

15

20

25

30

F IG . 3.4 – Différents régimes transitoires. Ici x =

UC (t) E

3.4 Exercices 1. Décharge d’un condensateur dans un autre On considère le schéma de la figure 3.5 . À l’instant initial, t = 0, on ferme l’interrupteur K. Auparavant, on i

K

q

q’

C

C R

F IG . 3.5 – Décharge d’un condensateur dans un autre a pris soin de charger le condensateur de gauche sous une tension U = 10 V , l’autre étant déchargé. Les deux condensateurs sont identiques, de même capacité C = 10 µF .

(a) Établir une relation entre l’intensité du courant i et les charges q et q 0 . En déduire une relation entre q et q 0 . Comment interpréter cette relation.

(b) Établir l’équation différentielle que vérifie q(t) et résoudre l’équation. (c) En déduire q 0 (t) et i(t). Tracer les graphes de q, q 0 et i. (d) Calculer l’énergie dissipée pendant le régime transitoire. Que se passe-t-il si R → 0 ? 2. Charge de deux condensateurs On étudie la charge de deux condensateurs en série initialement déchargés, de capacité C1 et C2 ; pour cela, à l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K (cf. figure 3.6).

(a) Donner l’expression de q1 (t) et de q2 (t) (conventions à imposer). (b) Pour t → ∞, déterminer l’énergie de chaque condensateur, l’énergie fournie par la source de tension et l’énergie perdue par effet joule.

(c) Les deux condensateurs sont désormais montés en parallèle ; répondre aux mêmes questions.

CHAPITRE 3. RÉGIMES TRANSITOIRES

34 K

A R C1

E C2

B

F IG . 3.6 –

3. Doubleur de tension Une source de tension continue de f.e.m E = 10 V est montée en série avec un interrupteur K, une diode parfaite, une bobine idéale d’inductance L = 10 mHet un condensateur idéal de capacité C = 0, 1 µF. Le condensateur étant initialement déchargé, on ferme K à partir de l’instant t = 0. L

K

uc

E

F IG . 3.7 – Schéma du doubleur de tension. (a) Trouver l’équation différentielle vérifiée par la tension uC (t). (b) Résoudre l’équation différentielle et montrer que ce dispositif permet de doubler la tension de la source. 4. Système R0 L k RC

Au temps t = 0, on ferme K dans le circuit de la figure 3.8 ; le condensateur de capacité C est initialement K

E

I i’

i

R’

R

L C

F IG . 3.8 – déchargé.

(a) (b) (c) (d)

Donner, en les justifiant, les expressions des intensités i(0) et i0 (0). Donner de la même façon i(∞), i0 (∞) et I(∞). Calculer les intensités i(t), i0 (t) et I(t) fonctions du temps. Est-ce un système du second ordre ? À quelle condition le courant d’intensité I, débité par le générateur, est-il stationnaire (I constant) lorsque t > 0. Combien vaut-il alors ?

Chapitre 4

Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 4.1 Signaux périodiques 4.1.1 Caractéristiques période : durée T telle que y(t + T ) = y(t) ∀t. T s’exprime en seconde pour les signaux temporels. fréquence : nombre f de périodes dans une seconde : f = T1 . La fréquence s’exprime en Hertz en hommage à Heinrich H ERTZ 1 RT grandeur moyenne : y = T1 0 y(t) dt. physiquement il s’agit de la composante continue d’un signal. q grandeur efficace : yef f = y(t)2 : distinction entre yef f DC et yef f AC , Série de Fourier : un signal périodique (sous certaines conditions mathématiques que l’on supposera valide ici) peut se décomposer, en sinus et cosinus de fréquences multiple de la fréquence f : y(t) = a0 +

∞ X

ai cos(i

i=1

2πt 2πt ) + bi sin(i ) T T

2πt où a0 représente la composante continue (valeur moyenne) et ai cos(i 2πt T ) + bi sin(i T ) la i-ème harmonique (en musique la première harmonique s’appelle le fondamental). Pour un signal créneau d’amplitude A et de période T on a (cf. animation régressi) :

y(t) =

4A π

∞ X

n impair

2πt 1 sin(n ) n T

4.1.2 Signaux sinusoïdaux Un signal sinusoïdal y(t) s’exprime par : y(t) = A cos(ωt + φ) où A désigne l’amplitude, φ la phase (en radian), ω la pulsation (en rad/s). 1 Heinrich Hertz est né à Hambourg en Allemagne (1857-1894). Physicien théoricien, il combina l’ensemble des connaissances nécessaires et réussit la première émission et réception d’ondes radio en 1887, sur une distance de 20 mètres donnant du même coup une preuve de la validité de la théorie électromagnétique de Maxwell. Dans les milieux scientifiques, il est considéré comme le découvreur de la radio. C’est la raison pour laquelle on a donné le nom d’ « ondes hertziennes » aux signaux radio et pourquoi l’unité de la fréquence vibratoires qu’on appelait cycles au départ, a été remplacée par « Hertz ».

35

36 • • • •

CHAPITRE 4. CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

La période est telle que ωT = 2π. ω . la fréquence vaut donc f = 2π la grandeur moyenne vaut zéro. la valeur efficace yef f = √A2 .

4.2 Étude du circuit R,L,C série 4.2.1 Établissement du régime sinusoïdal forcé Math : On branche un circuit RLC série aux bornes d’un GBF (Générateur basse Fréquence) qui délivre une tension sinusoïdale de pulsation ω (signal d’excitation). L’équation différentielle vérifiée par la charge q(t) du condensateur s’écrit q¨ +

ω0 E q˙ + ω02 q = cos ωt pour t > 0 Q L

où ω0 et Q sont définis comme dans le chapitre précédent. La tension capacitive Uc = Cq vérifie ω0 ˙ U¨c + Uc + ω02 Uc = ω02 E cos ωt pour t > 0 Q • solution de l’équation homogène = régime transitoire. Ce régime se dissipe après une durée ~ ωQ0 . Concrètement le régime transitoire disparaît en moins d’une seconde. Chercher le régime sinusoïdal forcé revient donc à chercher la solution particulière. • solution particulière = régime sinusoïdal forcé de type A cos(ωt + φ) où A et φ sont à déterminer . • Remarques : lorsque ±jω est aussi racine du polynôme caractéristique de l’équation différentielle il faut chercher une solution particulière sous la forme f (t) cos(ωt + φ). Simulations : la figure 4.1 montre l’établissement du régime forcé, c’est à dire la disparition du régime transitoire au détriment d’un régime sinusoïdal forcé de même fréquence que l’excitation. On note la présence du régime transitoire par l’apparition d’interférence entre deux signaux non synchrones : si le facteur de qualité est grand, le régime transitoire est pseudo périodique de pulsation ~ ω 0 6= ω. Si la fréquence d’excitation est proche de la fréquence propre, on voit apparaître un phénomène de battement (interférence entre deux signaux non synchrones de fréquence voisine).

4.2.2 recherche de la solution forcée On recherche donc la solution particulière sous la forme d’un sinus et d’un cosinus. On considère q(t) sous la forme q(t) = A cos(ωt + φ) et l’on cherche les valeurs de A et φ qui vérifient l’équation différentielle. L’outil complexe permet de trouver rapidement la solution particulière. La méthode consiste à associer à une grandeur sinusoïdale y(t) un complexe y(t) : y(t) = A cos(ωt + φ) ↔ y(t) = Aej(ωt+φ) = Aejωt où j 2 = −1 . Le complexe A = Aejφ est appelé amplitude complexe et contient toute l’information recherchée (l’amplitude et la phase). L’intérêt de la notation complexe réside dans le fait que l’opération dérivée est remplacée par une simple multiplication. En effet d d y(t) = A cos ωt ↔ jωAejωt = jωy dt dt

4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT R,L,C SÉRIE

F IG . 4.1 – Établissement du régime sinusoïdal

37

CHAPITRE 4. CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

38

En notation complexe, l’équation différentielle devient : −ω 2 q +

jωω0 E q + ω02 q = ejωt Q L

simplifions par ejωt , on obtient : A= 1−



CE 2

ω ω0

+ j ωω0 Q

Ainsi l’amplitude de charge et le déphasage de la charge par rapport à la tension excitatrice valent A = |A| = s

1−

φ = arg(A)



ω ω0

CE 2  2

+



ω Qω0

2

4.2.3 Résonance d’intensité Le courant oscille donc à la même fréquence que le signal d’excitation : i(t) = I. cos(ωt+φ i ). En notation complexe, on a i(t) = I.ejωt La relation entre le courant et la charge permet de relier I à A : d q(t) ↔ I = jωA dt on détermine I(w) et φi (ω). cf. figures 4.2 et4.3. i(t) =

influence de la bobine

influence de la rØsistance

influence de la capacitØ

0.05

0.05

0.05

0.04

0.04

0.04

0.03

0.03

0.03

i

i

i

0.02

0.02

0.02

0.01

0.01

0.01

0

100

200

300 w

400

500

600

0

100

200

300 w

400

500

600

0

100

200

300 w

400

500

600

F IG . 4.2 – Influence des différents paramètres sur la courbe de réponse en intensité. 1 Pour ω = ω0 = √LC , on a I = Imax = E R : on dit qu’il y a résonance de courant. Le circuit se comporte comme une seule résistance (l’effet capacitif est donc compensé par l’effet inductif). √ . L’intervalle [ω− , ω+ ] définit la bande Les pulsations de coupures ω± sont telles que I(ω± ) = Imax 2 passante. On montre que plus le facteur de qualité est grand et plus la bande passante est étroite : r ω0 1 L =Q= ω+ − ω − R C

4.2. ÉTUDE DU CIRCUIT R,L,C SÉRIE

39 influence de la bobine

influence de la rØsistance

influence de la capacitØ

1.5

1.5

1.5

1

1

1

phase

phase

0.5

0.5

0

phase

100

200

300 w

400

500

0.5

0

600

100

200

300 w

400

500

0

600

–0.5

–0.5

–0.5

–1

–1

–1

–1.5

–1.5

–1.5

100

200

300 w

400

500

600

F IG . 4.3 – Influence des différents paramètres sur le déphasage courant/tension d’entrée.

4.2.4 Résonance de tension aux bornes du condensateur La tension aux bornes du condensateur est sinusoïdale en régime forcé : u c (t) = U cos(ωt + φu ). En notation complexe on a uc = Cq d’où l’on tire que la tension uc (t) est en phase avec la charge q(t) et A l’amplitude U = C . Analysons l’évolution U (ω) et φu (ω). cf. figures 4.4 et 4.5. influence de la rØsistance

influence de la capacitØ

influence de la bobine

3

30

6

2.5

25

5

20

4

2 Uc

Uc

Uc 15

3

1.5

10

2

5

1

1

0.5

0

100

200

300 w

400

500

600

0

100

200

300 w

400

500

600

0

100

200

300 w

400

500

600

F IG . 4.4 – Influence des différents paramètres sur la courbe de réponse en tension.

√

On observe une résonance quand Q > 22 . La résonance est d’autant plus aigue que Q est grand. Il existe une surtension capacitive à la résonance. On a Uc (ω0 ) = QUe

CHAPITRE 4. CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

40

influence de la bobine influence de la rØsistance 100

200

w 300

100 400

500

600

influence de la capacitØ

w 300

200

400

500

600

0

100

0

200

w 300

400

500

600

0

–0.5 –0.5

–0.5

–1 –1

–1

–1.5 phase

phase –1.5

phase

–1.5

–2 –2 –2

–2.5 –2.5 –2.5

–3 –3

F IG . 4.5 – Influence des différents paramètres sur le déphasage tension capacitive/tension d’entrée.

4.3 Impédance complexe 4.3.1 Notion d’impédance et d’admittance Définition : Impédance d’un dipôle passif linéaire : Z=

U = R + jX I

où R désigne la résistance et X la réactance. Z se mesure en Ω. L’admittance du dipôle vaut 1 Y = = G + jS Z où G désigne la conductance et S la susceptance. Y se mesure en Ω −1 = S (Siemens) exemples (à retenir) : • résistance : ZR = R • Bobine : ZL = jLω • condensateur : ZC =

1 jCω

4.3.2 Lois d’association. En régime sinusoïdal forcé, dans un réseau linéaire, on peut remplacer chaque dipôle par son impédance puis simplifier le réseau en utilisant des lois similaires à celles que l’on connait pour les résistances. En série (les conducteurs sont parcourus par le même courant) : X Zeq = Zi i

En parallèle (les conducteurs sont soumis à la même tension) : X Yeq = Yi i

Exemples :

4.4. PUISSANCE EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ.

41

1 ). • Circuit LC série : Z = j(Lω − Cω On note qu’il existe une pulsation pour laquelle l’effet capacitif est compensé par l’effet inductif :

Z=0⇔ω= √

1 LC

Il s’agit de la condition de résonance du circuit LC 1 • Circuit LC parallèle : Y = j(Cω − Lω ) On note qu’il existe une pulsation pour laquelle l’admittance s’annule Y=0⇔ω= √

1 LC

Il s’agit de la condition d’anti-résonance du circuit LC //.

4.3.3 Réseau linéaire en régime sinusoïdal forcé Dans un réseau linéaire en régime sinusoïdal forcé, toutes les grandeurs sont sinusoïdales. On peut remplacer chaque dipôle passif par son impédance et les sources par les grandeurs complexes associées. Les équations de Kirchhoff (loi des noeuds + loi des mailles) donnent des équations algébriques complexes. Les problèmes sont donc identiques à ceux rencontrés en régime continu, à ceci près que les grandeurs recherchées sont complexes (une amplitude et une phase). • Loi des mailles :

X

k uk = 0

X

 k ik = 0

k

• Loi des noeuds :

k

• Théorème de Millman :

VN

• Diviseur de tension :

Uk =

• Diviseur de courant :

ik =

• Équivalence Thévenin-Norton

P k Yk Vk = P k Yk

Zk k = 1 ou 2 Z1 + Z 2

Yk i k = 1 ou 2 Y1+Y2 J= Y =

E Z 1 Z

4.4 Puissance en régime sinusoïdal forcé. 4.4.1 Puissance moyenne puissance √ instantanée : Supposons un dipôle linéaire en √régime sinusoïdal forcé. la tension s’écrit u(t) = 2Uef f cos(ωt) et l’intensité du courant i(t) = 2Ief f cos(ωt − φ) où φdésigne le déphasage de la tension par rapport au courant. La puissance instantanée vaut donc : P (t) = u(t)i(t) = Uef f Ief f [cos φ + cos(2ωt + φ)] On remarque ainsi que cette puisance oscille autour de Uef f Ief f cos φ.

42

CHAPITRE 4. CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

puissanc eactive : la puissance active est la puissance électrique moyenne reçue par le dipôle : P = Uef f Ief f cos φ Conséquence : tout dipôle résistif dissipe une puissance électrique 2 P = RIef f

L’intensité efficace correspond donc à l’intensité du courant continu qui produirait la même dissipation d’énergie. NB : S = Uef f Ief f est la puissance apparente (en VA ou Volt Ampère) Pr = Uef f Ief f sin φ est la puissance réactive (en VAR ou Volt Ampère Réactif)

4.4.2 Facteur de puissance Définition : le facteur de puissance est la quantité positive cos φ. Importance du cos φ : Une installation industrielle ou domestique présente en général un caractère inductif d^à la présence des moteurs (bobinages). Si l’installation consomme une puissance active P¯ , l’intensité du courant arrivant vaut donc Ief f =

P¯ Uef f cos φ

À cette intensité correspond une puissance dissipée par effet joule dans la ligne de transport qui vaut 2 Pligne = RIef f =

RP¯ 2 cos2 φ

2 Uef f

Ainsi une faible valeur du facteur de puissance entraîne une perte d’énergie électrique en ligne plus importante. C’est pourquoi , en France, E.D.F impose une valeur au facteur de puissance d’être ≥ 0, 93.

4.5. EXERCICES

43

4.5 Exercices 1. Déphasage Considérons deux tensions sinusoïdales de même fréquence f = 300 Hz :

(a) (b) (c) (d)

u1

=

u2

=

π ) 4 π 10 cos(ωt + ) 6 5 cos(ωt +

Exprimer les tensions complexes associées. Déduire le déphasage de u1 par rapport à u2 . Quelle est la tension en avance sur l’autre ? Quelle est l’amplitude de la tension u3 = u1 + u2 ? Retrouver ces résultats graphiquement (échelle des temps : 10cm=3ms, échelle des tension : 2cm=1V).

2. Circuit R1 R2 C en régime sinusoïdal On considère le circuit de la figure 4.6 alimenté en courant sinusoïdal de pulsation ω.

A R1

R2

C

B

F IG . 4.6 – R1 = 40 kΩ, R2 = 320 kΩ et C = 25 nF . (a) Déterminer en fonction de ωl’expression de l’impédance complexe Z du dipôle de bornes A et B. (b) Donner les valeurs numériques de l’impédance dans les deux cas suivants : i. la fréquence vaut 50 Hz. ii. ωinfiniment grande (courant haute fréquence) (c) La valeur efficace de la tension u appliquée entre A et B est de 1000 V . Calculer les valeurs efficaces de i dans les deux cas précédents, ainsi que les déphasages correspondants de i par rapport à u.

3. Régime transitoire et régime permanent Soit le circuit représenté figure 4.7, pour lequel L et R sont des constantes. On s’intéresse aux tensions UR (t) et UL (t), en supposant que pour t < 0, toutes les tensions sont nulles. √ (a) On applique pour t > 0 la tension sinusoïdale v(t) = V 2 sin ωt. ` ´ L i. Déterminer les expressions de UR (t) et UL (t)(on pourra poser ϕ = arctan Lω ). et τ = R R

ii. Dessiner les courbes représentatives dans le cas particulier où R = Lω. iii. Montrer, à partir de l’équation différentielle liant v(t) et i(t), que lorsque les courbes représentatives de UR (t) et de v(t) se coupent, la courbe UR (t) présente une tangente horizontale.

CHAPITRE 4. CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

44

UL

i(t)

L

v

R

UR

F IG . 4.7 – Circuit R-L √

(b) On applique pour t > 0 la tension sinusoïdale v(t) = V 2 sin(ωt + θ) où θ est une constante réglable. Déterminer les nouvelles expressions de UR (t) et UL (t). Existe-t-il une valeur particulière de θpour laquelle la réponse est sinusoïdale quel que soit t > 0 pour la tension UR (t) ?

4. Principe d’un inductancemètre L’inductancemètre permet de mesurer l’auto-inductance L d’une bobine inconnue. Le principe de mesure est le suivant : Un oscillateur LC comprend une bobine L0 de 10 µH et un condensateur C0 de 10 nF. La bobine L à mesurer est placée en série avec la bobine L0 ce qui modifie la fréquence de l’oscillateur. Un dispositif (un compteur en fait) mesure le rapport r des fréquences

(a) Donner l’expression des fréquences f0 et f de l’oscillateur électrique avant et après avoir placé la bobine inconnue.

(b) Montrer que la valeur de L ne dépend que de ce rapport r. 5. Étude énergétique d’un circuit en régime sinusoïdal On considère le circuit représenté sur le schéma de la figure 4.8. Il est alimenté par un générateur délivrant une tension sinusoïdale de pulsation ω, de valeur efficace U = 220 V et de fréquence f = 50 Hz. La résistance R est variable et L = 1 H. L’

U(t)

L

C

R

F IG . 4.8 – (a) (b) (c) (d) (e)

Calculer la puissance moyenne P absorbée par la résistance R en fonction de R, L0 , ω et U . Calculer la valeur de R0 de R pour laquelle la puissance P est maximale ? Calculer L0 et la valeur maximale Pm de P sachant que R0 = 12 Ω. Pour une valeur R = R1 > R0 , la puissance délivrée par le générateur vaut P1 = 800 W . Calculer R1 . Le facteur de puissance est égale à l’unité et R = R1 . Calculer dans ces conditions, la valeur de C.

Chapitre 5

Filtres 5.1 Fonction de transfert 5.1.1 Quadripôle linéaire. Définition : Un quadripôle est un système électrique possédant deux bornes d’entrée et deux bornes de sortie. Les grandeurs d’entrée et de sortie sont les tensions et les courants. On utilisera la convention récepteur pour l’entrée et la convention générateur pour la sortie. Entrée

Sortie is

ie ^ Quadripole

ve

vs

F IG . 5.1 – Schéma d’un quadripôle. • Un quadripôle est linéaire quand les éléments qui le constituent le sont. • Pour un quadripôle linéaire les grandeurs électriques obéissent à une équation différentielle linéaire à coefficient constant. Lorsque l’équation différentielle est d’ordre 1 on parle de filtre du premier ordre. • Le quadripôle est passif s’il ne possède que des éléments passifs (R, L, C). Dans ce cas, la puissance moyenne en sortie est toujours inférieure ou égale à la puissance moyenne en entrée. • Le quadripôle est actif quand il possède des éléments actifs (sources, A.O, etc..). Il est possible d’avoir un gain de puissance dans ce cas. • On caractérise également le quadripôle par son impédance d’entrée Z e et son impédance de sortieZs . Ze est l’impédance du modèle équivalent de Thévenin en entrée. Z s est l’impédance du modèle équivalent de Thévenin en sortie.

5.1.2 Fonction de transfert On se place dans le cadre du régime sinusoïdal forcé : tous les signaux sont de même fréquence. On utilise alors la notation complexe. 45

CHAPITRE 5. FILTRES

46 Définition : la fonction de transfert est le rapport H(jω) =

vs (t) Us = H(ω)ejϕ(ω) = ve (t) Ue

où Us et Ue sont les amplitudes complexes,H(ω) est l’amplification en tension et ϕ(ω) est le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée. • Pour un quadripôle du premier ordre on a en général H(jω) =

α + jβω γ + jδω

• Suivant l’allure de H(ω) on donne un nom au quadripôle (cf. figure 5.2) H

Filtre passe-bas

H

ω

H

Filtre passe-bande

Filtre passe-haut

ω

H

ω

Filtre réjecteur de bande

ω

F IG . 5.2 – Différents types idéaux de filtres.

5.1.3 Diagramme de Bode La fonction de transfert s’étudie en général sur un domaine fréquentiel très vaste. IL est alors commode d’utiliser une échelle logarithmique. Définitions : • le gain en décibel vaut

GdB = 20 log10 H(ω)

• La représentation de Bode consiste à tracer  GdB = f (log10 (ω)) ϕ = g(log10 (ω)) • Une décade est un intervalle de fréquence [f1 , f2 ] telle que f2 = 10f1 . Sur une échelle logarithmique, cela correspond à une intervalle d’une unité. • Une octave est un intervalle de fréquence [f1 , f2 ] telle que f2 = 2f1 .

5.2 Exemples de Filtres passifs 5.2.1 Filtre passe-bas traitons l’exemple du filtre R-C en boucle ouverte. On obtient :

5.2. EXEMPLES DE FILTRES PASSIFS

47

GdB 20

10

f0

0

I

10f0

f

R

−10

Ue

C

Us

−20

F IG . 5.3 – Filtre passe bas et diagramme de Bode associé.

H(jω) = où ω0 =

1 RC

Uc 1 = Ue 1 + j ωω0

= τ1 .

• comportements asymptotiques : – BF (basse fréquence) : ω  ω0 ⇒ GdB ≈ 0 dB .asymptote horizontale y=0. et ϕ ≈ 0. – HF (haute fréquence) : ω  ω0 ⇒ GdB ≈ −20 log10 ( ωω0 ) . asymptote horizontale y = −20x + 20 log10 ω0 : droite de pente -20 dB/décade. pour la phase on a ϕ ≈ − π2 . – pour ω = ω0 , H = √12 et ϕ = − π4 . – Cette étude préalable est souvent suffisante pour tracer l’allure du diagramme de Bode (cf. figure) • fréquence et pulsation de coupure à -3dB : La fréquence (pulsation) est la fréquence (pulsation) pour √ laquelle le gain en tension est réduit d’un facteur 2 par rapport au gain maximum. C’est aussi la fréquence (pulsation) pour laquelle le gain en décibel est diminué de 3 dB par rapport au gain maximum. Ici GdB max = 0 dB et GdB (ωc ) = −3 donne ωc = ω 0 fc = ω0 /2π • Bande passante : le filtre atténue donc les hautes fréquences : c’est un filtre passe bas. Le domaine [0, ω c ] est la bande passante (en rad/s). • Remarque : ici la bande passante vaut [0, τ1 ] où τ est le temps de relaxation du circuit RC. un filtre RC de grande bande passante est un système électrique de petit temps de réponse. On retiendra cette relation assez générale RAPIDITÉ ⇔ LARGE BANDE PASSANTE.

5.2.2 Filtre passe-haut traitons l’exemple du filtre C-R en boucle ouverte. On obtient : H(jω) = où ω0 =

1 RC

= τ1 .

j ωω0 1 + j ωω0

CHAPITRE 5. FILTRES

48

GdB 20

10

0,1f0

0

f0

f

C=100 nF

Y2 −10

Y1

GBF

Ve

R

Vs

−20

F IG . 5.4 – Filtre passe haut et diagramme de Bode associé. • comportements asymptotiques : – HF : ω  ω0 ⇒ GdB ≈ 0 dB : asymptote horizontale y = 0 et ϕ ≈ 0. – BF : ω  ω0 ⇒ GdB ≈ 20 log10 ( ωω0 ) : asymptote horizontale y = 20x + 20 log10 ω0 : droite de pente +20 dB/décade. pour la phase on a ϕ ≈ π2 . – pour ω = ω0 , H = √12 et ϕ = π4 . – Cette étude préalable est souvent suffisante pour tracer l’allure du diagramme de Bode (cf. figure) • fréquence et pulsation de coupure à -3dB : GdB max = 0 dB et GdB (ωc ) = −3 donne ωc = ω 0 fc = ω0 /2π • Bande passante : le filtre atténue donc les basses fréquences : c’est un filtre passe haut. Le domaine [ωc , ∞] est la bande passante.

5.3. EXERCICES

49

5.3 Exercices 1. Filtre du second ordre. On se place en régime sinusoïdal forcé et l’on considère différents filtres.

Ue

R

I

R

I

Ue

Us

C

R

C

C

Us

F IG . 5.5 – Filtres. (a) Calculer H1 =

VS Ve

dans le cas du montage a) de la figure 5.5, page 49.

(b) En déduire la fréquence de coupure f0 et la bande passante ∆f . (c) On considère maintenant le montage b) de la figure 5.5, page 49. i. Pourquoi H2 =

VS Ve

6= H12 ?

ii. Exprimer H2 sous la forme H2 = “

.

1+j

ω ω1

1 ”“

1 + j ωω2

”

iii. On injecte un signal de tension efficace Uef f et de fréquence f0 et sans phase. En déduire la tension de sortie Vs (t) .

iv. Représenter le diagramme de Bode et calculer le fréquence de coupure. 2. Chaîne hi-fi. Pour réaliser une chaîne de reproduction du son à partir d’un enregistrement électrique, on peut utiliser le montage de la figure 5.6. Filtre passe−bas

Amplificateur HPBF

Enregistreur

ZS e(t) Ampli Ve(t)

Re e(t) Filtre passe−haut

G.e(t)

R

HPHF

F IG . 5.6 – A gauche : schéma de principe d’une chaîne hi-fi. A droite : Modèle de l’amplificateur. HPBF est un haut parleur basse fréquence qu’il convient d’alimenter par l’intermédiaire d’un filtre passe-bas. HPHF est un haut parleur haute fréquence qu’il convient d’alimenter par l’intermédiaire d’un filtre passe haut adapté à sa bande passante. On modélise l’amplificateur par le schéma de la figure 5.6.On considérera Re infinie et G réel. De plus, on réalise deux expériences : Test 1 : e(t) = Ecos(2πf t) ; R = R1 = 16 Ω ; tension efficace d’entrée eef f = 1 mV . On mesure alors en sortie une tension efficace Ve ef f 1 = 23 V .

CHAPITRE 5. FILTRES

50

Test 2 : e(t) = Ecos(2πf t) ; R = R2 = 8 Ω ; tension efficace d’entrée eef f = 1 mV . On mesure alors en sortie une tension efficace Ve ef f 2 = 0, 5 V . De plus, on constate pour les deux tests, que le signal de sortie est en phase avec le signal d’entrée quelque soit la fréquence.

(a) Déterminer le gain à vide G et l’impédance de sortie Zs . (b) L’amplificateur étant alimenté par une tension e(t) = Ecos(2πf t), quelle doit être la résistance de charge R pour qu’il fournisse à celle-ci le maximum de puissance moyenne à E constant.

(c) Le filtre passe-bas est de type BUTTERWORTH : la fonction de transfert est telle que ˛ ˛ ˛TB (ω)˛2 =

1+

1 “

ω ω0

”6

où ω0 = 6000 rad.s−1 . Représenter le diagramme de Bode 20 log |TB (x)| = f (log x) avec x =

ω ω0

(d) Les deux filtres peuvent être considérés comme non dissipatifs. On désire que la puissance moyenne ˛ ˛ totale fournie aux deux résistances R soit indépendante de la fréquence du signal d’entrée. Soit ˛˛TH (x)˛˛ ˛ ˛ le module de la fonction de transfert du filtre passe-haut chargé˛ par une ˛ résistance R. Exprimer TH (x) pour que la condition ci-dessus soit respectée (on admettra que ˛TH (0)˛ = 0).

(e) Tracer le diagramme de Bode 20 log |TH (x)| = f (log x). 3. Filtres en cascade

On considère deux quadripôles Q1 et Q2 de fonction de transfert en boucle ouverte H 1 et H 2 . On note Z e1 et Z e2 les impédances d’entrée ; Z s1 et Z s2 sont les impédances de sortie. On place en sortie de Q1 le quadripôle Q2 .

(a) Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte H du quadripôle ainsi formé. (b) À quelle condition H = H 1 .H 2 ?

Chapitre 6

Notions sur l’Amplificateur Opérationnel 6.1 Caractéristiques de l’A.O. 6.1.1 Description On appelle amplificateur opérationnel (abrégé par la suite “A.O.”), un amplificateur possédant une entrée différentielle, un très grand gain de tension en mode différentiel, un taux de réjection de mode commun élevé et une faible impédance de sortie. La tension de sortie est généralement définie par rapport à la borne commune de terre. Le qualificatif "opérationnel" provient du fait que ce type d’amplificateur a été largement utilisé au début de l’électronique pour réaliser des calculateurs analogiques ou des simulateurs de systèmes contrôlés. Ces calculateurs permettent de résoudre des équations différentielles (calcul opérationnel). Actuellement les amplificateurs opérationnels dépassent largement le cadre de ce type d’application. Les premiers A.O. apparus sur le marché étaient constitués d’éléments discrets (résistances, diodes et transistors) assemblés sur un circuit de petite dimension, le tout coulé dans un bloc de résine synthétique pour améliorer la tenue mécanique et assurer une homogénéité lors de variations de température. Le volume était semblable à celui d’une boîte d’allumettes. Peu avant 1970, des A.O. sous forme de circuits intégrés sur un unique substrat de silicium de petite dimension sont devenus disponibles. Dans cette technologie, qualifiée de monolithique, on produit des circuits très fiables, très performants, à faible consommation et peut coûteux parce que produits en grandes quantités. La structure interne de ces A.O. peut être très compliquée et comporter plusieurs dizaines de composants, presque uniquement des transistors (bipolaires, JFET, MOS). L’A.O. sous forme de circuit intégré est devenu l’élément de base de toute l’électronique analogique aux basses fréquences (jusqu’à quelques mégahertz). Recommandations : • Il faut avant toute chose, alimenter l’A.O. avec une alimentation continue (±15 V ). La masse du montage (référence des potentiels) est imposée par l’alimentation continue. Par la suite, le circuit d’alimentation n’est plus représenté bien qu’il soit indispensable au fonctionnement de l’A.O. • Il possède deux entrées différentielles (entrée inverseuse - et entrée non inverseuse +) à ne pas confondre avec les bornes d’alimentation de l’A.O.

6.1.2 Gain différentiel. Caractéristique : on étudie la Vs = f () en boucle ouverte. On obtient la caractéristique représentée sur la figure 6.1. On distingue deux régimes : 51

CHAPITRE 6. NOTIONS SUR L’AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL

52 i+

ε

−

Vs

∝ A.O

+Vsat

+

ε

i− Vs





















 





















−Vsat

F IG . 6.1 – • Régime saturé Vs = ±Vsat où Vsat est légèrement inférieur à la tension d’alimentation (on prend souvent Vsat = 15 V ) • Régime linéaire : On peut écrire Vs = µ où µ est le gain différentiel en boucle ouverte. µ ≈ 105 • Conclusion : En régime linéaire, l’intervalle dans lequel peut varier  vaut environ 10−4 V , ce qui justifie alors la modélisation idéalisée pour laquelle on pose  = 0 V .

2Vsat ≈ µ

Remarque : En réalité, on a en régime linéaire : a Vs = µ(V + − V − ) + (V + + V − ) 2 µ où a est le gain en mode commun. Le rapport a est le taux de réjection en mode commun (TRMC). Pour l’ampli-op on peut négliger a devant µ car le TRMC est très grand.

6.1.3 Courants de polarisation, courants de sortie. • En entrée les courants de polarisations i+ et i− sont très faibles (≈ nA − pA). On considère dans une modélisation idéale qu’aucun courant ne rentre dans l’A.O. • En sortie le courant est quelconque, la puissance étant fournie grâce à l’alimentation de l’A.O. Cependant il existe également une saturation en sortie. imax ≈ 20 mA. Conséquence : la puissance maximum délivrée par l’A.O vaut environ Pmax ≈ 20.10−3 ∗ 15 = 0, 3 W .

6.1.4 Résistance d’entrée différentielle et de sortie. • résistance d’entrée différentielle : red = { ie }boucle ouverte . Pour un A.O, cette résistance est très grande (≈ M Ω − T Ω) c’est d’ailleurs pour cette raison que les courants d’entrée sont très petits. vs • résistance de sortie : rs = { −i }ve =0 . Pour un A.O, cette résistance est assez faible, ce qui signifie que s la tension de sortie ne dépendra quasiment pas du courant de sortie.

6.1.5 Modélisations • Le modèle de l’A.O réel est représenté sur la figure 6.2 . • Dans de nombreux cas le modèle de l’A.O idéal suffit : on écrit alors : – i+ = i− = 0 (red → ∞) –  = 0 en régime linéaire (µ → ∞) – si  > 0 alors Vs = Vsat – si  < 0 alors Vs = −Vsat • Caractéristiques électriques.

6.2. MONTAGES EN RÉGIMES LINÉAIRES

53

ed

A.O ε=0

i-

+

-

ε

µε

A.O re

+

Vs

rs µε

i+

Vs

F IG . 6.2 – À gauche : schéma de l’ampli-op idéal. À droite : schéma de l’ampli-op réel. Paramètres Gain différentiel µ courant de sortie maximum imax 20 log10 (T RM C) “slew rate” σ tension de décalage ed courant de polarisation impédance d’entrée différentielle red

LM741C 2.105 25 90 0,5 2,0 20 2,0

TL081C 2.105

13 0.03 106

Unités mA dB V/µs mV nA MΩ

A.O. idéal ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 ∞

6.2 Montages en régimes linéaires À savoir : il faut retenir que la stabilité du régime linéaire nécessite une rétroaction de la sortie vers l’entrée inverseuse et qu’une rétroaction vers l’autre entrée conduit à une saturation en sortie.

6.2.1 Montage suiveur On considère le montage de la figure 6.3.

10 kΩ

ε

-

∝ A.O 10 kΩ

+ Vs

GBF ve






























 






























Résistance variable d’un potentiomètre 100 kΩ

F IG . 6.3 – • Calcul du gain VVse en considérant l’A.O idéal et en régime linéaire. Vs = Ve quelque soit la résistance de sortie. • intérêt du montage : adaptateur d’impédance. l’étage de sortie ne prélevant aucune puissance sur l’étage d’entrée, ne perturbe pas l’entrée.

6.2.2 Amplificateur inverseur Considérons le montage de la figure 6.4.

CHAPITRE 6. NOTIONS SUR L’AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL

54

R2

R1

∝ A.O

-

ε

+ Ve

Vs






























 




























F IG . 6.4 – • l’A.O fonctionne-t-il en régime linéaire ou saturé ? • l’A.O. étant considéré idéal on a

Vs = −

R2 Ve R1

6.2.3 Convertisseur courant-tension Considérons le montage de la figure 6.5. R

∝

-

is

A.O +

J

Rg

Vs

Ru

                                 F IG . 6.5 –

• (on supposera l’A.O idéal et fonctionnant en régime linéaire). V s = RJ. • Quelle est l’influence de Rg et Ru sur la tension de sortie ? • Ce montage transforme une source de courant réelle en source de tension idéale. Ce montage peut servir à amplifier le signal d’une photo-diode.

6.2.4 Sommateur Considérons le montage de la figure 6.6. • Montrer (A.O. idéal et en régime linéaire) que Vs = −R

n X Vej j=1

Rj

• L’A.O était au début utiliser pour faire des calculs analogiques (somme, produit, calcul différentiel).

6.3. AMPLI OP EN RÉGIME SATURÉ

55 R

R1 R2 R3

-

ε

Ve1

∝ A.O

+

Ve2

Vs

Ve3
























































































 






























F IG . 6.6 –

6.2.5 Dérivateur Considérons le montage de la figure 6.7. R C ε

-

∝ A.O

+ Ve

Vs

                                           F IG . 6.7 – • Montrer que

dVe (t) dt • Ce montage permet de transformer un signal triangulaire en un signal carré par exemple. Vs (t) = −RC

6.2.6 Intégrateur • Intégrateur idéal : refaire le schéma précédent en permutant la résistance et le condensateur. la relation devient : Z t 1 Vs (t) = Vs (0) − Ve (t0 )dt0 RC 0 • On observe une dérive du signal de sortie vers la saturation (haute ou basse). En effet, toute composante continue et en particulier, la tension de décalage de l’A.O., si faible soit-elle est intégrée. De plus le signal fourni par le GBF comporte souvent une légère composante continue. Tout ceci entraîne donc la tension de sortie à croître ou à décroître jusqu’à saturation. • Pour rétablir un fonctionnement normal, on place une résistance R 0 en parallèle avec le condensateur (cf. figure 6.8). La composante continue n’est plus intégrée mais simplement amplifiée.

6.3 Ampli Op en régime saturé 6.3.1 Introduction Les montages précédents sont qualifiés de "linéaires" car l’amplificateur fonctionne avec la condition V+ = V- , soit dans sa plage de fonctionnement en amplificateur linéaire. Nous allons voir maintenant plusieurs montages (et il en existe bien d’autres) dans lesquels cette condition n’est plus vérifiée.

56

CHAPITRE 6. NOTIONS SUR L’AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL Ro C R -

ε

∝ A.O

+ Ve

Vs




















































































 






























F IG . 6.8 – Pour ce faire, on va forcer artificiellement les deux entrées à des valeurs différentes, ce qui impliquera en sortie, du fait du gain infini (très grand pour les amplis réels), que l’ampli ne pourra prendre que deux valeurs : Vsat et −Vsat , qui sont respectivement les tensions de saturation positive et négative de l’ampli. En effet , ce dernier est alimenté par deux sources de tension dont on ne pourra pas dépasser la valeurs en sortie. À savoir : il faut retenir qu’une rétroaction de la sortie vers l’entrée positive conduit à une saturation en sortie. Vu que l’ampli ne peut prendre que les deux valeurs des tension en sortie, ces montages sont appelés montages en commutation, et peuvent être interfacés avec des circuits logiques, qui ne connaissent, eux aussi, que deux états.

6.3.2 Comparateur de tensions C’est un montage qui sert de base à de nombreux autres schémas plus élaborés. Le principe est simple : on compare un signal d’entrée à une tension de référence, et selon que la valeur du signal est supérieure ou inférieure à la référence, l’ampli prendra l’une ou l’autre des valeurs V sat ou −Vsat en sortie. Il existe deux configurations : le comparateur non inverseur (signal sur l’entrée +) et le comparateur inverseur (signal sur l’entrée -). Dans le premier cas, si la référence est égale à 0, la sortie vaut Vsat quand le signal est positif et −Vsat sinon. Dans le deuxième cas, on a l’inverse. ε Ve

+

∝ A.O

−

Vs                                                                                                                    

F IG . 6.9 – Comparateur non inverseur

Si on met un signal sinusoïdal à l’entrée, on observe en sortie le signal représenté sur la figure 6.10 Remarque : ce montage est souvent fait avec des amplificateurs opérationnels, mais on remplacera avantageusement ce composant par un comparateur différentiel, qui est une sorte d’amplificateur à grand gain et deux entrées aussi, mais qui est prévu pour fonctionner en mode non linéaire (commutation) de façon bien plus rapide qu’un ampli op qui n’a pas des caractéristiques exceptionnelles dans ce domaine. De plus, ces composants sont souvent conçus pour fonctionner avec une seule alimentation 0-5V de manière à s’interfacer facilement avec des composants logiques.

6.3. AMPLI OP EN RÉGIME SATURÉ

57

F IG . 6.10 –

6.3.3 Trigger Ce montage est très utilisé dans tout système de mesure où l’on doit détecter un seuil : il est donc fondamental. Il est une évolution du comparateur, destinée à améliorer les performances avec des signaux bruités. Il existe plusieurs schémas possibles. Le montage suivant a été choisi comme cas d’école : R2

R1 ε

+

∝ A.O

− Ve

Vs























































































































F IG . 6.11 – Trigger ou comparateur à hystérésis. A première vue, ce montage ressemble à un ampli inverseur, mais, il ne faut pas se tromper : le réseau de résistances R1 , R2 est relié à l’entrée +, ce qui fait que cette fois, le signal de sortie revient en phase sur l’entrée ; on a non plus une contre réaction, mais une réaction positive (effet boule de neige), ce qui entraîne la divergence de la tension de sortie vers une des valeurs Vsat ou −Vsat . Dans ce montage donc, l’amplificateur fonctionne en comparateur : comme le gain est infini (ou très grand), on a les relations : v+ v+

> v− ⇒ Vs = Vsat

< v− ⇒ Vs = −Vsat

Ici, V− = 0 et la valeur de V+ se calcule aisément à l’aide du théorème de Millman V+ = ε =

Ve R1 1 R1

+ +

Vs R2 1 R2

Ainsi, comme l’état de saturation de l’A.O dépend du signe de ε, on obtient une condition sur V s et Ve : Vs = Vsat Vs = −Vsat

si Ve > − si Ve <

R1 Vsat R2

R1 Vsat R2

58

CHAPITRE 6. NOTIONS SUR L’AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL

La figure 6.12 donne la tension de sortie en fonction de celle d’entrée (on a pris R 2 /R1 = 3 et Vsat = 3 V ).

F IG . 6.12 – Signaux sur le trigger et cycle d’hystérésis. En fait, tout se passe comme si on avait un comparateur de tension ayant deux seuils de basculement liés aux états de la sortie : quand la sortie est à l’état bas, le seuil a une valeur haute ; passé ce seuil, la sortie bascule à l’état haut, et le seuil prend une valeur basse. De ce fait, pour faire rebasculer la sortie à l’état bas, il faut que le signal diminue d’une quantité supérieure à la valeur l’ayant faite basculer précédemment : c’est l’hystérésis du trigger. Un trigger est donc caractérisé par son cycle d’hystérésis (la réponse est différente suivant la valeur de l’état de la sortie). Ce cycle est centré autour de zéro, qui est la valeur de la tension de référence. On y voit les deux seuils de basculement de la sortie ; La différence de ces deux seuils est la valeur de l’hystérésis. Quelle est l’utilité d’un tel montage ? Lorsqu’on doit transformer un signal analogique en signal numérique binaire (deux états définis par une valeur de seuil sur le signal analogique), si le signal d’entrée est bruité, il suffit d’ajuster la valeur de l’hystérésis en fonction de l’amplitude du bruit. Remarques : l’Amplificateur Opérationnel peut souvent être idéalisé pour aborder un montage mais il ne faut pas oublier que certains phénomènes ne s’interprètent correctement qu’en modélisant l’A.O de façon plus réaliste. On verra en TP certains défauts de l’A.O qui expliquent certaines observations.

6.4. EXERCICES

59

6.4 Exercices 1. Filtre de R AUCH. On considère le montage de la figure 6.13 où les Zi représentent des impédances complexes. On admettra que l’amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire et qu’il est idéal.

Z5

Z2 Z1

Z3

iε

Ve

Z4

i+

-

∝ A.O

+ Vs


























































































F IG . 6.13 – (a) Montrer que la fonction de transfert du montage de la figure s’écrit : H=

vs −Y1 .Y3 = ve Y2 .Y3 + Y5 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 )

où les Yi représentent les admittances complexes.

(b) Les impédances Z1 , Z4 et Z5 sont réalisées par des conducteurs ohmiques identiques de résistance R et les impédances Z2 et Z3 sont réalisées par des condensateurs identiques de capacité C. Déterminer la fonction de transfert et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme : H = H0

2jλ ωω0 1 + 2jλ ωω0 −

ω2 ω 02

où H0 , λ et ω0 sont des constantes à déterminer.

(c) Comportements asymptotiques : i. Établir la fonction de transfert H en BF (basses fréquences : on précisera le domaine des basses fréquences).

ii. Établir la fonction de transfert H en HF (hautes fréquences : on précisera le domaine des hautes fréquences).

iii. tracer les asymptotes du diagramme de B ODE HdB = f (log ω). (d) Le module |H| passe par un maximum. i. Calculer la pulsation ωm correspondant au maximum Hm du module de la fonction de transfert. Calculer Hm . et compléter le diagramme de B ODE . De quel type de filtre s’agit-il ? ωm . |ω2 − ω1 | = 200 Hz et C = 1, 0 µF . Quelle est la valeur à donner

ii. Déterminer les pulsations de coupure à 3 dB, ω1 et ω2 . En déduire le facteur de qualité Q = iii. On désire une fréquence de résonance fm à R?

(e) Quels avantage et inconvénients peut représenter ce circuit par rapport à un filtre passif RLC série ? 2. Principe d’un capacimètre numérique On associe à un montage comparateur (représenté à l’intérieur des pointillés sur la figure 6.14) une résistance R et un condensateur de capacité C inconnue. On admettra que l’amplificateur fonctionne en régime saturé (le fonctionnement en régime linéaire est instable). On note Usat et −Usat les tensions de saturation.

(a) Établir la relation entre US , Ue et .

CHAPITRE 6. NOTIONS SUR L’AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL

60



 
 


R2

R1

ε

+

∝ A.O

− Us

C

Ue



 



R




 




F IG . 6.14 – (b) En déduire la condition sur Ue pour que l’A.O soit en régime saturé haut (Us = Usat ) (c) En déduire également la condition sur Ue pour que l’A.O soit en régime saturé bas (Us = −Usat ) (d) On suppose que l’état initial du circuit est caractérisé par Us = Usat et Ue = 0 (condensateur déchargé). Déterminez l’équation différentielle vérifiée par Ue (t) tant que l’A.O est en régime saturé haut. Résoudre l’équation différentielle.

(e) Montrez qu’au bout d’un certain temps, l’A.O bascule en sortie de Usat en −Usat . En déduire la nouvelle évolution de Ue (t).

(f) Montrer que le circuit est un oscillateur auto-entretenu. Représenter l’évolution temporelle de Ue et Us . (g) La mesure de la fréquence des oscillations permet d’en déduire la capacité inconnue. On a R = 10 kΩ, R1 = 90 kΩ et R2 = 10 kΩ. On mesure une fréquence f = 2, 5 kHz. En déduire la capacité du condensateur.