Cours de Mécanique
Short Description
Description : Cours de Mécanique...
Description
Mécanique des solides
Statique
Introduction à la mécanique des solides Hypothèses utilisées en mécanique classique Hypothèses En mécanique classique, nous allons étudier : des systèmes matériels (dont le contenu matériel est ou non variable) qui existent pendant un intervalle donné de temps dans un espace réel à trois dimensions.
n admettra que, à c!aque instant, le système matériel considéré est constitué d"éléments individualisable, de points matériels.
Si un ensemble de points matériel est tel que les distances entre c!aque point constituant l"ensemble sont constantes, alors cet ensemble de points sera appelé solide. #n solide est donc indé$ormable.
%a masse d"un élément (d"une partie ou de l"ensemble du système matériel) ne dépend que de la quantité de matière qui le compose.
2
Introduction à la mécanique des solides Hypothèses utilisées en mécanique classique Hypothèses En mécanique classique, nous allons étudier : des systèmes matériels (dont le contenu matériel est ou non variable) qui existent pendant un intervalle donné de temps dans un espace réel à trois dimensions.
n admettra que, à c!aque instant, le système matériel considéré est constitué d"éléments individualisable, de points matériels.
Si un ensemble de points matériel est tel que les distances entre c!aque point constituant l"ensemble sont constantes, alors cet ensemble de points sera appelé solide. #n solide est donc indé$ormable.
%a masse d"un élément (d"une partie ou de l"ensemble du système matériel) ne dépend que de la quantité de matière qui le compose.
2
Introduction à la mécanique des Introduction solides Méthodologie
%a mét!ode que nous allons utiliser consiste à s"intéresser successivement à c!acun des solides ou ensemble de solides constituant un mécanisme. 'l $aut isoler le solide. ous analyserons alors : Ses mouvements : un solide possède six derés de liberté, et à c!aque deré de liberté correspond un paramètre éométrique, linéaire ou anulaire. *eux cas sont alors possible :
Soit ce paramètre est connu (on dira asservi). +ela suppose qu"une action mécanique inconnue permet d"obtenir la loi de variation de ce paramètre en $onction du temps. Soit ce paramètre est inconnu, on dira libre, car il est libre d"évoluer en $onction des lois de la mécanique.
&
Modélisation des actions mécaniques I. Modèle mathématique
#n modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les tec!niques et les t!éories mat!ématiques, puis énéralement, en sens inverse, la traduction des résultats mat!ématiques obtenus dans le monde réel.
%e but de la modélisation est de c!oisir une représentation mat!ématique des actions mécaniques, d"étudier l"action mécanique de la pesanteur et de dé$inir les e$$orts que peuvent transmettre les liaisons, a$in de procéder à leur dimensionnement.
Système matériel à masse conservativ conservative e
Système matériel : un système matériel E est système sur laquelle est dé$ini la mesure masse. La masse est l"imae mat!ématique de l"une des caractéristiques $ondamentales de la matière dé$inie par une mesure positive et additive, noté : m ≥ 0
Et si on effectue effectue une partition de E en n éléments de masse mi, on aura donc donc : m=
n
∑m
i
i
1.2 Système matériel à masse conservative : un système matériel E est à masse
conservative si toute partie de E conserve une masse constante au cours du temps :
∀ e ⊂ E , ∀t : m&e( = cons tan te Un solide réel est constitué d’un grand nombre d’éléments de taille macroscopique ou microscopique. ans ce cas il convient d’associer le modèle continu, pour définir en tout point ! des propriétés comme la masse volumique o" la température, qui vont #tre représentés, par suite, par des fonctions continues : hypothèse de la continuité. 1.3 Centre d’inertie
$e centre d’inertie du système matériel E, de masse m, est le point % défini par : &$e point ' étant quelconque(. ) AG = AP dm m P ∈ E
∫
-
Propriétés :
le point % est unique.
*i le système matériel E est un solide indéformable, le centre d’inertie % est fi+e
par rapport à tout repère qui lui est attacé.
$e point % est tel que :
∫ GP dm = 0
P ∈ E
*oit une partition de E &m, %( en élément Ei &mi, %i(, alors : n
∫ AP dm = ∑ ∫ AP dm
i
i =) P ∈E
P ∈ E
i n
m AG =
m=
n
∑ (m AG ) i =)
i
avec :
i
AG =
) m
∑ mi i =)
n
∑ (m AG ) i =)
i
i
1.4 !térieur d’un système matériel : -’est le complémentaire de E par rapport à l’univers matériel. n le note : E
Exemple 1
2. Actions mécaniques 2.1 "é#inition : n appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, ou de créer un mouvement, ou de déformer un corps.
2.2 Classi#ication des actions mécani$ues : $es actions mécaniques sont de deu+ sortes :
%ctions mécani$ues à distance& d’origine gravitationnelle &la pesanteur( ou électromagnétique.
%ctions mécani$ues de contact &liaison entre deu+ solides,/(. -es liaisons dites encore
surfaciques, s’e+ercent au niveau de la surface du système matériel. (S0)
(S2)
(S&)
E (S0) 3 (S2) - laction mécanique de S! sur S" est e#térieure à $ - laction mécanique de S% sur S" est intérieure à $
1iure 0.
/
2.3 'odélisation des actions mécani$ues : $a modélisation des actions mécaniques peut se faire d’un point de vue local ou d’un point de vue global suivant l’ob0ectif de l’étude envisagée :
(a modélisation locale a pour but d’étudier l’action mécanique dans la
1one o" elle s’e+erce : camp de pesanteur, camp de pressions de contact, /.
(a modélisation )lo*ale, par torseur, caractérise globalement l’action
mécanique dans le but d’appliquer, le premier principe de la statique.
3. 'odélisation locale des actions mécani$ues !.% &eprésentation par un champ de 'orce :
$es actions mécaniques à distance, ou de contact, qu’e+erce un système matériel ) sur un autre 2 &) ⊂ E ( sont représentées en tout point ! de 2 par un camp de glisseur ( P , f () → 2) ) définie relativement à une mesure 3. 6 d p
00
5
f P ( )→2 )
2
4
"é#initions :
Une force est une action mécanique représenté par un vecteur lié : elle est modélisable
par un glisseur.
n appelle force élémentaire au point !, de l’action mécanique de ) sur 2, le glisseur,
dont le vecteur associé est :
dF P ( )→ 2 ) = f P ( )→ 2 ) d µ
f P ( )→2 ) est la densité du camp de forces, relativement à la mesure 3.
Conclusion: (a modélisation locale des actions mécani$ues est donc réalisée par des champs de #orces. !emples :
a( )ction mécanique de la pesanteur. $’action mécanique de la pesanteur sur un ensemble matériel *) de asse m se représente par un camp de force uniforme, dans une région localisée de l’espace, dont la densité massique est le vecteur accélération de la pesanteur g
7
2) Action mécanique de contact.
Soient deux solides (0) et (2) en contact suivant un sur$ace (S). %"action mécanique de 0 sur 2 est représentée en c!aque point 6 de (S) par la densité sur$acique de $orces: $p(0
2) np(0
2) 3 tp(0
2)
np(1 2) est la densité surfacique normale des forces de contact de l’action mécanique de 1 sur 2 tp(1 2) est la densité surfacique tangentielle des forces de contact de l’action mécanique de 1 sur 2
08
4. 'odélisation )lo*ale des actions mécani$ues ’une fa4on générale, si un corps &*( subit de la part d’un ensemble matériel &E( une action mécanique représentée par un système de n forces
( P , F ) , on caractérise globalement cette action i
i
mécanique par les deu+ vecteurs suivants : R ( E → S ) : la résultante générale de l’action mécanique de &E( sur &*(.
M A ( E → S ) : le moment résultant au point ' de l’action mécanique &de force( de &E( sur &*(. R( E → S ) =
9vec :
n
∑ F i
i =)
=
∫ dF ( E → S ) = ∫ F ( E → S )d µ i
i
P ∈S
P ∈S
M A ( E → S ) =
n
∑ AP Λ F i
i =)
= ∫ AP i Λ F i ( E → S ) d µ P ∈S
00
Rappel sur les moments *é'inition
Soit un point 6, centre des moments :
+ropriété 'ondamentale :
dé'inition
n désine par 9; un ensemble de vecteurs liés, c!acun des < passant ou étant lié au point 9i %es élément de réduction de l"ensemble 9; au point 6 sont la somme éométrique et la somme des moments par rapport à 6 de tous les vecteurs de 9; :
02
Torseurs
*é'inition
,n torseur =; est un ob>et éométrique constitué par deux c!amps
vectoriels : ?
un c!amp uni$orme
?
un c!amp équipro>ecti$
#n torseur =; représente en tout point 6 de l"espace tous les ensemble de vecteurs équivalents ayant pour somme éométrique et pour moment.
=; est la classe d"équivalence de tous les ensembles de vecteurs équivalents. )#e central dun torseur: c"est le lieu des points @ de l"espace oA
on démontre que ce lieu est une droite on démontre que le c!amp des moments est B !élicoCdal D autour de l"axe central du torseur 0&
Premier principe de la stati$ue 5oute action mécanique est entièrement caractérisée, d’un point de vue mécanique, par un torseur :
R ( E → S )
{ F ( E → S ) } =
M A ( E → S )
$#emple
Supposons qu"à l"extrémité d"une poutre (S), encastrée dans un bti (S0), on exerce une $orce (6,1) par l"intermédiaire d"un cble (c). A
(S )
P
(S *ans ce cas l"action mécanique de (S) sur (S0) dépend1)de la position de (C) la F
$orce par rapport à (S0) . +"est pour Fa qu"on est amené à introduire la notion de moment de la $orce (6, 1) par rapport à un point 9, quelconque pour compléter la caractérisation de l"action mécanique de (+) sur (S).
n représente l"action mécanique du cble sur la poutre par les deux vecteurs: R ( C → S ) = F M A ( C → S ) = AP A F
0
Propriétés du torseur d’action mécanique %e pied G de la perpendiculaire de sur l"axe central est donné par la relation: OH =
R ( E → S ) Λ M o ( E → S ) R ( E → S ) 2
9ction mécanique particulières
9ction mécanique représentable par un couple Z
-F1 x
O
a
A F1 x
(
)
R E → S =
y
{ F ( E → S ) }
0
=
O
(
)
M A E → S = −2aF ) z
x
0-
Propriétés du torseur d’action mécanique
9ction mécanique représentable par un torseur à résultante
9ction mécanique équivalent Z
F1 y
F2 y
-F1 x
Z
O
H
(S ) { F ( E → S ) } =
x R ( E → S )
M AH( E → S ) = 0
H
F2 z a
O
A y F1 x
x R( E → S ) = − F 2 Z
{ F ( E → S ) } =
O
M A ( E → S ) = −2aF ) z
0
5. Actions mécaniques de la Modélisation locale : pesanteur
%"action mécanique de la pesanteur () sur un ensemble matériel S0 de masse m se représente par un c!amp de $orces uni$orme, dans une réion localisée de l"espace, dont la densité massique est le vecteur accélération de la pesanteur g
Modélisation gloale :
%e torseur de l"action mécanique de la pesanteur sur l"ensemble matériel (0) s"écrit en un point 9 quelconque: R ( g → )) { F ( E → S ) } =
9vec:
R & g → )( = M A & g → )( =
M A ( g → ))
∫ g dm = m g P ∈)
∫ AP Λ g dm = &∫ AP dm(Λ g P ∈)
P ∈)
0/
6. Action mécanique de contact. a( ontact sur'acique
Soient deux solides (0) et (2) en contact suivant un sur$ace (S). %"action mécanique de 0 sur 2 est représentée en c!aque point 6 de (S) par la densité sur$acique de $orces:
$ p(0
2) np(0
2) 3 tp(0
2)
n p(1 2) est la densité surfacique normale des forces de contact de l’action mécanique de 1 sur 2
np(1
f p(1 2)
tp(1
2)
2)
t p(1 2) est la densité surfacique tangentielle des forces de contact de l’action mécanique de 1 sur 2
Soit V ( P ∈ 2 6 )) est la vitesse de lissement au point 6 du solide 0 par rapport au solide 2 (ce vecteur est parallèle au plan (H))
04
%"action mécanique de contact de (S ) sur (S ) se représente lobalement par le torseur suivant: 0
{ F ( S ) → S 2 ) } =
{
2
R ( S ) → S 2 )
A M A ( S ) → S 2 )
9vec:
R& S ) → S 2( =
∫
f p& S ) → S 2(ds
M A & S ) → S 2( =
∫
AP Λ f p& S ) → S 2( dS
P ∈ s
}
P ∈S
*é$initions N &S ) → S 2(
est appelé composante normale de la résultante énérale du torseur d"action mécanique de (S ) sur (S ) ou effort normal. T &S ) → S 2( est appelé composante tanentielle de la résultante énérale du torseur d"action mécanique de (S ) sur (S ) ou effort tangentiel . 9vec: N & S → S ( = ∫ n & S → S (ds ∈
)
2
p
)
0
2
0
2
2
P s
T & S ) → S 2( =
∫
P ∈ s
t p& S ) → S 2(ds
07
Loi de oulom $a loi de Coulom* e+prime, sous une forme très simplifiée, l7intensité des forces de frottement qui s7e+ercent entre deu+ solides.
*elon que ces solides glissent ou non l7un contre l7autre, on parle de #rottement ou d+adhérence. ans les deu+ cas, les actions réciproques qui s7e+ercent entre ces solides comportent : une composante normale 8 qui les presse l7un contre l7autre, une composante tangentielle 5 qui s7oppose, ou tend à s7opposer, au glissement. %dhérence et #rottement 5ant que la composante tangentielle n7atteint pas une certaine limite 5o, le glissement ne se produit pas. 8éanmoins, les solides peuvent éventuellement rouler, à l7image d7une roue de bicyclette qui roule sans glisser sur le sol. $orsque la limite est atteinte, le glissement se produit.
28
Adhérence et frottement )dhérence /'rottement statique( %a loi de oulom détermine cette $orce limite =8 :
T ≤ f 0. N A f est le coe$$icient dIad!érence, dont la valeur dépend avant tout des deux matériaux en présence et de lIétat de leurs sur$aces. o
0lissement /'rottement dynamique(
%orsque les solides lissent lIun contre lIautre, la composante tanentielle = est indépendante de la vitesse de lissement et déterminée par la loi de oulom : T = f . N
oA f est le coe$$icient de $rottement (de lissement), dont la valeur dépend des deux matériaux en présence et de lIétat de leurs sur$aces.
20
Loi de Coulom
n dit qu"il y a glissement ($rottement dynamique) entre les solides 0 et 2, si:
(
)
V P ∈ 2 6 ) ≠
0
Et dans ce cas la densité sur$acique tanentielle au point 6 des $orces de contact de S0 sur S2 est opposée à la vitesse de lissement de S2 par rapport à S0, ce qui se traduit par les deux relations : t p ( S ) → S 2 ) ∧ V ( P ∈ S 2 6 S ) ) = 0
*e plus, on a
t p ( S ) → S 2 ). V ( P ∈ S 2 6 S ) ) t p ( S ) → S 2)
=
0
f . n p ( S ) → S 2 )
n dit qu"il y a adhérence (pas de lissement$rottement statique) entre les solides S0 et S2, si le vecteur de lissement au point 6 est nul : V ( P ∈ 2 6 )) = 0 et
t p ( S ) → S 2)
≤
f . n p ( S ) → S 2)
22
2&
2
a
es valeurs pour les coefficients d’adérence et frottement pour quelques couples de matériau+: 'atériau! en contact
,rottement #
%dhérence # -
%cier sur acier
"e -&1 à -&2
"e -&1 à -&2
%cier sur *ron/e
"e -&12 à -&2
"e -&1 à -&2
%cier sur matériau de #riction
"e -&2 à -&3
"e -&3 à -&4
Cuir sur métal
"e -&2 à -&3
"e -&3 à -&4
Pneu sur rev0tement routier
"e -&3 à -&
"e -& à 1&2
2-
2
!" n#2
$#ercice % : Solide sur un plan incliné
+onsidérons un solide S posé sur un plan incliné $aisant un anle J par rapport à l"!oriKontale, comme il est présenté sur la $iure suivante. R& S ) → S 2(
S
1uestion:
0) Huelle condition doit véri$ier le coe$$icient de $rottement f entre le solide et le plan pour que le solide reste immobile L 2) +ette condition dépendMelle de la masse du solide L
2/
$#ercice " : 6outre en équilibre sur deux appuis simples
2n considère une poutre reposant sur deu# appuis linéaires rectilignes sans adhérence situés en ) et 3. Le plan
est un plan de symétrie pour la poutre et pour les charges qui lui
sont appliquées.
Le point 3 est situé sur
et est le milieu de )3.
La poutre est en acier4 de longueur L et de section rectangulaire /largeur et hauteur h(. ette poutre est uniquement soumise à l5action de la pesanteur assimilée à une charge uni'ormément répartie entre ) et 3 et modélisale par une densité linéique de 'orce :
1uestion: *éterminer les éléments de réduction des torseurs des actions mécaniques de liaison en ) et 3. ) 6:
et /Il 'audra d5aord calculer la répartition linéique de charge p4 en 67mm(.
24
( ontact ponctuel
Soient deux solides (S0) et (S2) en contact ponctuel en un point 6 %e torseur d"action mécanique de contact est:
{
R ( S ) → S 2 )
{ F ( S ) → S 2 ) } = P M AP( S ) → S 2 )
}
%e torseur cinématique du mouvement de S0 par rapport à S2 au point 6 est:
{υ & S ) 6 S 2 (} =
9vec:
{
N(S0OS2) V & P ∈ S ) 6 S 2 (
}
N(S0OS2) = Nn(S0OS2) +N=(S0OS2)
(S0)
Nn(S0OS2) N(S0OS2)
Nn(S0OS2) est le vecteur rotation de pivotement N=(S0OS2) V & P ∈ S ) 6 S 2 (
est le vecteur rotation de roulement.
N=(S0OS2)
P
V & P ∈ S ) 6 S 2 (
est le vecteur vitesse de lissement est appelé composante normale de moment
M pn & S ) → S 2(
résultant au point 6 ou moment de pivotement.
9
(S0)
est appelé composante tanentielle de moment
M & S ) → S 2 ( t p
résultant au point 6 ou moment de roulement .
27
%orsque le vecteur V & P ∈ S ) 6 S 2 ( ou N=(S0OS2) ou Nn(S0OS2) est nul ou pas, on a entre le torseur d"action mécanique de S0 sur S2 et le torseur cinématique du mouvement de S0 par rapport à S2 des relations analoues à celles mises en évidence dans les lois de coulomb:
0lissement
6remier cas:
V & P ∈ S ) 6 S 2 ( ≠ 0 V ( P ∈ S )
6
S 2 ) ∧ T ( S 2 → S )) =
T ( S 2 → S )) . V ( P ∈ S )
6
S 2 )
0
0
T ( S 2 → S )) = f . N ( S 2 → S ))
*euxième cas:
V & P ∈ S ) 6 S 2 ( = 0
T ( S 2 → S ) ) ≤ f . N ( S 2 → S ) )
(f est le $acteur de $rottement
entre S0 et S2)
&8
Pi$otement 6remier cas:
Nn(S0OS2)8
Ω n ( S ) 6 S 2 ). M P n ( S 2 → S ) ) o M P n ( S 2 → S )) = δ . N ( S 2 → S ))
*euxième cas:
Nn(S0OS2)8
M P n ( S 2 → S )) ≤ δ . N ( S 2 → S ))
δ est le paramètre de résistance au pivotement entre S% et S"4 il est homogène à une longueur.
&0
Roulement
6remier cas: N=(S0OS2)8
Ω t ( S ) 6 S 2 ) Λ M P t ( S 2 → S ) ) = 0 Ωt ( S ) 6 S 2 ). M P t ( S 2 → S ) ) o t
(
M P S 2 → S )
)
(
= η . N S 2 → S )
)
*euxième cas: N=(S0OS2)8 M P t ( S 2 → S )) ≤ η N ( S 2 → S )) η est le paramètre de résistance au roulement entre S et S 4 il est % "
homogène à une longueur.
&2
8aleau de quelques valeurs moyennes du paramètre de résistance au roulement Patériaux en contact
Q en cm
9cier sur acier
8.88- à 8.880
1onte rise sur acier trempé
8.8-
1onte sur sol en bon état
0
6neus sur sol en bon état
8.- à 2
&&
Classi%cation des liaisons élémentaires #ne liaison mécanique entre deux pièces existe sIil y a contact
direct entre une ou plusieurs sur$aces respectives de ces
pièces. 'l en résulte un ensemble de points de contact R ces points peuvent tres isolés dans lIespace, disposés sur une line commune ou répartis sur une sur$ace.
la nature d"une liaison est entièrement liée à la répartition spatiale de ces vecteurs de contact, ce qui permet de donner une dé$inition éométrique de la liaison.
En combinant des sur$aces de $orme simple, on construit une liste de cas correspondant à des liaisons élémentaires . &
Liaison sans frottement
*ans ce cas, la éométrie des sur$aces considérées est supposée par$aite, et les contacts sont sans $rottements, cIest à dire sans résistance au lissement. 9utrement dit, en c!aque point 6 de la sur$ace de la liaison, la densité sur$acique est perpendiculaire au plan tanent à S et S en ce point. 0
2
ombre de derés de liberté d"une liaison c"est le nombre de mouvements de translation et de rotation indépendants que la liaison autorise. %e nombre de composantes d"e$$ort transmises par une liaison est éal à six moins le nombre de derés de liberté de la liaison.
&-
Liaisons sans frottement Ténéralement pour les liaisons sans $rottement, on rencontre deux types de liaisons: Liaisons simples
#ne liaison mécanique simple, est une liaison obtenue par un contact entre une sur$ace simple unique dIune pièce avec celle, simple et aussi unique dIune autre pièce. Liaisons composées
%es liaisons composées ne peuvent tre obtenues qu"à partir d"association de sur$aces multiples. *e ce $ait, il est possible de les modéliser par assemblae de liaisons simples.
&
%iaisons sans $rottement %iaisons simples
%iaisons composées
%iaison ponctuelle
%iaison pivot
%iaison linéaire rectiline
%iaison lissière
%iaison linéaire annulaire
%iaison !élicoCdale
%iaison rotule
%iaison rotule à doit
%iaison pivot lissante
%iaison complète
%iaison appui plan
%iaison nulle
&/
%e torseur d"action mécanique de contact s"écrit à l"oriine du repère placé sur c!aque liaison:
{ F ( S ) → S 2 ) } =
{
R ( S ) → S 2 )
}
O M o ( S ) → S 2 )
9vec:
{
R( S ) → S 2 ) = e " + Y e ! + Z ez M 0 ( S ) → S 2 ) = L e " + M e ! + N ez
Et nous écrivons le torseur d"action mécanique avec ces composantes de la $aFon suivante: L
{ F ( S ) → S 2 ) } = +e torseur est appelé
{ } Y M
Z N O torseur statique transmissible par la liaison.
&4
Liaison ponctuelle
%a liaison ponctuelle décrit un contact entre deux solides qui se réduit à un point. +e contact autorise la transmission dIune $orce dans la direction normale (perpendiculaire) au plan tanent commun aux deux sur$aces en contact. n dé$init ainsi son seul deré de liaison .
%a
normale de contact constitue lIaxe principal de la liaison: la résultante de l"action mécanique est suivant ( K) %a dé$inition dIune liaison ponctuelle doit préciser la localisation du point de contact et la direction de sa normale .
&7
%a liaison est à - derés de liberté, et le torseur d"action mécanique au point de contact est: R ( S ) → S 2 )
{ F ( S ) → S 2 ) } M o ( S ) → S 2 )
%e torseur statique transmissible de la liaison est donc :
{ F ( S ) → S 2 ) } = &emarque:
{ } 0
0
0
0
0 O Z
$n réalité4 une liaison n5est 9amais strictement ponctuelle. $n e''et la pression au point de contact serait in'inie4 conduisant les solides à se dé'ormer et la one de contact à sélargir. Mais tant que cette sur'ace reste très petite devant les dimensions de l5o9et4 il est raisonnale de considérer que la liaison est ponctuelle /d5un point de vue macroscopique(. )insi l5appui d5un pied de chaise peut ;tre modélisé par une liaison ponctuelle.
8
Liaison linéaire rectiligne
Deux solides S1 et S2 sont en liaison linéaire rectiligne si au cours de leur mouvement relatif, une droite D2 de (S2) reste dans un plan P1 de (S1).
+ette liaison est obtenue lorsquIelle présente un ensemble de points de contact alinés dont les normales sont toutes parallèles. 'déalement elle est Iassociation de 2 liaisons ponctuelles. 9insi, un point assure le contact et le deuxième le assure la tanence à la sur$ace. %a dé$inition complète de cette liaison doit donc préciser la situation de la ligne des points de contact, et la direction commune des normales de contact.
0
Liaison linéaire rectiligne
%a liaison est à ddl R ( S ) → S 2 )
{ F ( S ) → S 2 ) } M o ( S ) → S 2 )
%e torseur statique transmissible de la liaison est :
{ } 0
{ F ( S ) → S 2 ) } = &emarque:
0
0 M
O
Z
0
Le contact suivant une ligne /d5épaisseur nulle( est improale. Il y a dé'ormation sous la pression. 2n pourra assimiler une sur'ace rectangulaire peu large à une ligne de contact: ,n rouleau sur son support ou une plaque posée sur un plan4 sont des cas de liaison linéaire rectiligne. *ans ce cas aussi4 on aoutit le plus souvent à une liaison réelle unilatérale.
2
Liaison linéaire annulaire
*eux solides S et S sont en liaison linéaire annulaire si, au cours de leur mouvement relati$, un point 9 de (S ) reste sur une droite * de (S ). %a liaison est à ddl 0
2
2
2
0
(
R S ) → S 2
0
)
{ F ( S ) → S 2 )} M o ( S ) → S 2 )
&
Liaison rotule
*eux solides S et S sont en liaison rotule si, au cours de leur mouvement relati$, un point 9 de (S ) reste con$ondu avec un point 90 de (S0). %a liaison est à & ddl. 0
2
2
2
(
R S ) → S 2
)
{ F ( S ) → S 2 )} M o ( S ) → S 2 )
Liaison appui plan
*eux solides S et S sont en liaison appui plan si, au cours de leur mouvement relati$, un plan 6 de (S ) reste con$ondu avec un plan 6 de (S ). 0
2
2
0
2
0
%a liaison est à & ddl. (
R S ) → S 2
)
{ F ( S ) → S 2 )} (
M o S ) → S 2
)
-
Liaison pivot glissant
*eux solides S et S sont en liaison pivot lissant si, au cours de leur mouvement relati$, une droite * liée à (S ) reste con$ondue avec une droite * liée à (S ). %a liaison est à 2 ddl 0
2
2
2
0
0
(
R S ) → S 2
)
{ F ( S ) → S 2 )} M o ( S ) → S 2 )
%iaisons composées
/
Liaison glissière
*eux solides S et S sont en liaison lissière si, au cours de leur mouvement relati$, d"une part un plan 6 de (S ) reste con$ondu avec un plan 6 de (S ), et d"autre part une droite * liée à (S ) et située dans le plan 6 reste con$ondue avec une droite * liée à (S ) et située dans le plan 6 . %a liaison est à 0 ddl. 0
2
2
2
0
0
2
2
2
0
0
0
R( S ) → S 2 )
{ F ( S ) → S 2 )} M o ( S ) → S 2 )
4
%a liaison linéaire annulaire est obtenue lorsque le contact est réparti suivant un ensemble de points coplanaires et dont les normales de contact concourent. +et ensemble est un cercle si on dispose une sp!ère dans un cylindre de mme diamètre. 9lors les normales de contact se rencontrent au centre de la sp!ère qui se con$ond avec le cercle des points de contact. +ette liaison sIoppose aux deux translations transversales (radiales par rapport au cylindre de lIexemple). =ous les autres mouvements sont libres. %a dé$inition complète de cette liaison doit préciser la position du centre et la direction de la ligne suivie par ce centre. *ans certains cas, cette direction peut tre variable, comme sur lIexemple ciMdessous oA la oulotte contenant la bille c!ane de direction. *IoA lIimportance de la considération dIun repère local. n obtient un équivalent en disposant deux ponctuelles au normales concourantes, par exemple un mme sp!ère en contact sur deux plans solidaires et sécants. En pratique, un >eu est nécessaire pour permettre lIassemblae de deux pièces. *ans le cas représenté d"une barre traversant une plaque, ce >eu autorise un débattement sensible, donc nIo$$re aucune résistance dans ces directions: la modélisation par une liaison annulaire est admise. n parle alors de centrae court. n admet ce modèle lorsque la lonueur de lIassemblae (partie cylindrique commune) est très petite devant le diamètre a>usté. +"est ainsi la con$iuration obtenue au début de la pose d"un couvercle d"une casserole quand il se centre sur le bord intérieur de la casserole et quIil peut encore pivoter dans tous les sens
7
Principe fondamental de la .0 Uquilibre statique
un solide (S) (ou un ensemble de solides) est en équilibre par rapport à un repère (V) si c!aque point de (S) reste $ixe dans le temps par rapport à (V). .2 Vepère aliléen Vepère tel que pour tout solide (S) (ensemble de solide) en équilibre par rapport à ce repère le torseur des actions mécaniques extérieures à (S) soit nul. .& 6rincipe $ondamental de la statique 6our un système matériel (S), au repos ou en mouvement de translation uni$orme par rapport à un repère aliléen (), le torseur représentant l"ensemble des actions mécaniques que le reste de l"univers applique à (S) est nul en tout point. (quel que soit le point de réduction du torseur).
-8
4.4 remarques %e principe $ondamental de la statique n"est en $ait qu"un cas particulier du principe $ondamental de la dynamiqueW 6our un ensemble de solides si le torseur des actions mécaniques extérieures est nul par rapport au repère aliléen, les di$$érents solides constituant l"ensemble ne sont pas $orcément en équilibre, seull"ensemble est en équilibre.
-0
Exemple : isolons une paire de ciseaux que l"on manoeuvre B à vide D
%es ciseaux sont soumis à deux $orces 1 éales et opposées.
#n solide statiquement et dynamiquement équilibré autour d"un axe *, pour lequel le torseur des e$$orts extérieurs est nul, peut se trouver en mouvement de rotation uni$orme autour de l"axe *.
-2
View more...
Comments
