Cours d'Hydraulique T2 Ecoulement à Surface Libre

COURS D’HYDRAULIQUE T2 : ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE

AL. MAR Juillet 2004

AVERTISSEMENT

Cette partie du cours d’hydraulique est destinée aux étudiants de la Formation Initiale d’Ingénieurs et des Formations Post-Universitaires (Informatique Appliquée aux Sciences de l’eau, Génie Sanitaire et Environnement, Eau pour l’Agriculture et les Communautés) de 1’Ecole Inter-Etats d’Ingénieurs de 1’Equipement Rural. C’est pourquoi nous avons tenté d’y développer des aspects de l’hydraulique générale et de l’hydraulique appliquée à l’irrigation, aux ouvrages d’art et aux barrages. Les aspects de transports solides et de l’hydraulique des cours d’eau à fond mobile sont omis. Les méthodes de résolution des formules, déjà développées en hydraulique en charge, ne sont pas reprises. Le chapitre 1 définit l’hydraulique à surface libre, ses spécificités et les principaux éléments géométriques et hydrauliques des canaux paramétrés. Les différents types d’écoulements qu’on peut rencontrer et les normes sur l’affouillement des canaux non revêtus y sont également abordés. Le chapitre 2 étudie l’écoulement uniforme et donne les principaux résultats sur les tentatives de détermination de la rugosité des canaux qui sont les aspects les plus dificiles de l’hydraulique à surface libre. Il constitue la partie la plus commune aux différentes filières de I’EIER avec le dimensionnement des canaux. Le chapitre 3 traite des écoulements graduellement variés rencontrés autour des singularités des canaux. Des méthodes simples d’intégration de l’équation différentielle régissant ces écoulements y sont développées. Les étudiants intéressés aux aspects numériques plus élaborés peuvent se référer à l’annexe du chapitre sans jamais oublier que la précision des calculs dépend plus d’une bonne détermination des pmnèîres(rugosité, débit, etc.) que des méthodes numériques utilisées Des aspects de l’écoulement à débit variable et ses applications sont également abordés dans cette annexe. Le chapitre 4 sur les écoulements brusquement variés donne différentes applications du ressaut hydraulique, des déversoirs et des vannes aux domaines de compétence de 1’Ecole. Le chapitre 5 est une synthèse des chapitLes 2, 3 et 4 puisqu’il fait le point sur les types de lignes d’eau qu’on peut rencontrer autour des singularités dans les cas les plus courants. Des applications résultant d’études expérimentales y sont également abordées. Enfin des notions sur les écoulements non-permanents sont données au chapitre 6. Les applications de ce chapitre sur des cas simples sont données et elles sont moins nombreuses que dans le cas des écoulements en charge.

A. L. MAR

Chapitre 1 Généralités

CHAPITRE 1

GENERALITES 1 ELEMENTS GEOMETRIQUES ET HYDRAULIQUES D'UN CANAL 1.1 PROFIL EN TRAVERS 1.2 PROFIL EN LONG 2 CLASSIFICATION DES ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE 2.1 ECOULEMENTSCONSERVATIFS

2.2 ECOULEMENTNON CONSERVATIFS

3 VITESSES DANS UNE SECTION DE CANAL 3.1 VITESSE MOYENNE 3.2 REPARTITIONDES VITESSES ET MESURES 3.3 VITESSES LIMITES ET FORCES TRACTRICES 4 REGIMED'ECOULEMENT

4.1 NOMBRE DE REYNOLDS

4.2 NOMBRE DE FROUDE 5 PRESSION ET CHARGE MOYENNES DANS UNE SECTION 5.1 PRESSION 5.2 CHARGE

5.3 CHARGE SPECIFIQUE OU ENERGIE SPEClFlQUE 6 REVETEYENTS DES CANAUX 6.1 OBJECTIF DU REVETEMENT

6.2 STABlLlTE DU REVETEMENT

6.3 TYPES DE REVETEMENT ET MODALITE DE CONSTRUCTION.

fi

CHAPITRE 1 GENERALITES

L‘écoulement de l’eau dans une canalisation peut faire soit en charge, soit à surface libre. Ces deux types sont semblables sur beaucoup d‘aspects (les théorèmes généraux sont les mêmes) mais la différence réside dans l’existence d’une surface libre, c’est à dire une surface en contact avec l’atmosphère. Les écoulements à surface libre peuvent se rencontrer dans des canaux artificiels ou dans des canaux naturels (cours d’eau, chenaux, etc.). Les propriétés des canaux naturels sont généralement très irréguiières. Une étude complète du comportement des cours d’eau exige des connaissancess dans d’autres disciplines telles que l’hydrologie, la géomorphologie, le transport de sédiment, etc. Elle constitue en elle-même une discipline appelée hydraulique fluviale qui ne sera pas abordée dans ce cours. Les canaux artificiels sont consîruits ou ménagés par l’homme pour les besoins divers (navigation, hydro-électricité, irrigation et drainage, assainissement pluvial et égout, évacuateur de crue de barrage, etc.). Ils peuvent être revetus ou non et leurs propriétés hydrauliques peuvent être contrôlés ou appréhendés de façon plus précise dans leurs conception. On les désigne par différents termes techniques mais leur principe de fonctionnement sont les mêmes : canal (creusé dans le sol, très long, de faible pente généralement), aqueduc (suspendu généralement pour traverser une dépression), chute et coursier (généralement avec une forte pente et très court), égout (conduite non pleine, pour l’évacuation des eaux usés ou des eaux pluviales), fossé (assainissement routier et agricole), etc.

Aussi, les écoulements à surface libre présentent plus de difficultés que les écoulements en charge parce que les conditions d’écoulement sont plus compliquées : La position de la surface libre peut changer avec le temps et l’espace ; Le débit, la pente et la surface libre du canal sont interdépendants ; Les rugosités des surfaces en jeu sont moins standardisés et elles varient avec la profondeur d‘eau ; d’où une plus grande incertitude quant aux valeurs à adopter pour les calculs ; 0 Les valeurs des coefficients déterminés expérimentalement dans les formules universelles de perte de charge (Poiseuille, Prandtl-Von Carman, Blasius, Colebrook) dépendent de la forme du canal.

7

1. ELEMENTS GEOMETRIQUES ET HYDRAULIQUES D'UN CANAL 1.1. Profil en travers Faisons une coupe perpendiculaire à la direction d'un écoulement à surface libre (figure 1-1). On définit les éléments suivants :

Section mouillée S : c'est l'aire occupée par l'eau et qui est délimitée par la surface libre et les parois. Périmètre mouillée P : c'est la longueur de la ligne de contact entre l'eau et les

parois . Rayon hydrauliaue RH : c'est le quotient SAP. Pour une section circulaire de diamètre D, R = D/4. Diamètre hydrauliaueDH = RH Hauteur d'eau ou tirant d'eau ou profondeur d'eau y : c'est la distance verticale entre la surface libre et le fond du canal (le point le plus bas) Largeur en gueule ou largeur en miroir ou largeur au plan &eau I : c'est la largeur de la surface libre dans la section mouillée. profondeur moyenne y m : c'est le rapport Sn largeur moyenne Im : c'est le rapport S4 Profondeur du centre de gravité JJG: c'est la distance verticale entre la surface libre et le centre de gravité de la section mouillée.

A-'P .,

F i m e 1-1 :Profil en travers d'un écoulement à sufface libre et définitions

8

On définit également quelques termes techniques avec le profil en travers d'un canal artificiel (figure 1.2.). la revanche r : c'est la distance verticale entre le plan d'eau et les berges. Elle peut varier de 0,lO m pour les petits canaux à 1,5 m pour les grands canaux. On peut utiliser la formule de LACEY (équation 1-1) pour son dimensionnement :

où Q est le débit du canal en m3/s et r la revanche en m.

le fruit du talus m : c'est le rapport entre la projection horizontale du talus et sa projection verticale m = cot g @ Le fruit doit être choisi en fonction de la nature des berges (pour des raisons de stabilité de la talus) si le canal n'est pas revêtu. Le tableau 1-1 donne la valeur de m à adopter pour les différentes natures des berges. Pour les sections les plus courantes, les relations entre les différentes éléments géométriques sont données au tableau 1-2.

Nature des berges

m

Roche dure, maçonnerie ordinaire, béton banché

O à 114

Roche fissurée, maçonnerie en pierres sèches

1 12

Argile dure, latérite, terre compactée

314

Alluvions compactes

1/1

Béton non banché

5/4

Gros cailloux, enrochements

312

Déblais en terre ordinaire, sable, gravier

211

Terre remaniée, remblais, sables fins

2,511 à 311

Tableau 1- 1 : Valeurs du finiit des berges m en fonction de la nature des parois 1.2 Profil en long

Pente du canal Z : c'est le rapport de la dénivelée sur la distance horizontale ;la dénivelée étant comptée positivement vers le bas (figure 1-3)

a) profll en déblais

\

,/

9-

\ ‘

radier ou plafond

b ) profll en remblais

F i m e 1-2 :profil en travers d’un canal trapézique et définition des termes techniques

a) pente positive

b) pente negative ou contre pente

i

d

l

Figue 1-3 : Profil en long et définition de la pente d’un canal

2 CLASSIFICATION DES ECOULEMENTSA SURFACE LIBRE

On peut résumer la classification des écoulements à surface libre selon la variation de la profondeur d’eau y en fonction de l’abscisse x le long de la conduite et du temps (c’est exactement les mêmes classes et les mêmes définitions qu’en écoulement en charge).

11

I

l

t

Y

ul

..

u

A t

-

c

Y

I

r

la

I la

W

b

1

I

+ h>

tr

3

k

=lb

I ‘1

tr

~

Section

S

P

si k=1/2alors

1 -

Ym

T

k+ir

1

*

-T1 k+l

1

k+2’

avec x=4y/T (1) k

T=T*(+)

b+2(y-r)+7r r

I

b+2r

’ (x -4)r2

(T -4)r2+2(b+2r)y

y 2(b+2r) b

---(i-mm) T~ r2 4m m

T

---(l-rn@) T r2 4m mT

~ ~ - 1-ma) 4 ~ ~ ( 2(2mr-2&+T) sin@

y 2 r et m = cotg 0 0 en radians

2

(1) : dans le cas où x l l , T + U donne une bonne approximation de P. 3T

13

2.1 Les écoulements permanents C’est un écoulement où le débit Q et la profondeur d’eau y ne sont pas fonctions du temps t. On peut rencontrer dans ce cas les types suivants : 2.1.1.Ecoulements conservatifs Le débit n’est pas fonction de x (il n’y a pas de pertes ni d’apports latéraux). 2.1.1.1Les écoulements uniformes

La profondeur d’eau y n’est pas fonction de x 2.1.1.2 Les écoulements variés La profondeur d’eau y varie en fonction de x 2.1.1.2. ILes écoulements graduellements variés

La variation de y en fonction de x est continue et graduelle. La fonction y(x) est régulière. 2.1.1.2.2Les écoulements brusquement variés La variation est brutale sur une courte distance. La fonction y(x) n’est pas régulière. 2.1.2 Ecoulements non conservatifs. Le débit Q(x) varie avec l’abscisse le long de la conduite (canal avec fuites ou apports latéraux). 2.1.2.1 Ecoulement uniforme L’écoulement ne peut pas être uniforme si le débit varie. 2.1.2.2 Les écoulements variés La profondeur d’eau y varie en fonction de x 2.7.2.2. 7 Les écoulements graduellements variés La variation de y en fonction de x est continue et graduelle. La fonction y(x) est régulière. 2.1.2.2.2 Les écoulements brusquement v8rfds

La variation est brutale sur une courte distance. La fonction y(x) n’est pas régulière.

2.2 Les écoulements non permanents 2.2.1. Les écoulements non permanents unbnnes (rares sinon inexistants)

2.2.2. Les écoulements non permanent variés la profondeur d'eau y(t,x) dépend du temps t et de l'espace x 2.2.2.1. Les écoulements non permanents graduellement variés L a fonction y(t,x) est régulière et les variations sont lentes et progressives.

2.2.2.2. Les écoulements non permanents brusquement variés La variation de y se fait sur une courte distance et un court intervalle de temps. Des exemples d'écoulements sont montrés à figure 1-4.

3 VITESSES DANS UNE SECTION DE CANAL 3.1. Vitesse moyenne

On définit le débit Q du canal par le volume d'eau traversant une section droite par unité de temps. La vitesse moyenne U est le quotient du débit par la section mouillée.

3.2 Repartifion des vitesses et mesure En fait, la vitesse n'est pas constante dans toute la section. Elle est nulle à la paroi et maximale au 113 environ de la profondeur. Des formules expérimentales donnent l'ordre de grandeur de cette vitesse maximale dans la section. Formule de Prony : V m a = U 0,82

15

~-

Ecouiements permanents ..

.-. ...-..--.--.

.. y \.'.

Ecoulements non-permanents

-. -. -.

-.>., --

".. \. 2.

2.

-1 - \

Ecoulement uniforme : Canal prismatique, loin des extrémités

Changemen t de la surface libre le avec

Ecoulement non permanent uniforme Rare sinon inexistant

Propagation d'onde graduellement varié

RV = rapidement varié GV = graduellement varié -._ ...-.

Canal avec pertes latéraies :l'écoulement uniforme est impossible

Figures 1- 4 : Exemples d'écoulements à surface libre

Raz de marée rapidement varié

Dans une section, le lieu des points d'égaie vitesse est appelé isodrome ou isotache. L'allure générale des isodromes est donnée à la figure 1-5. pour différentes formes de section. La rugosité et la présence de coudes interviennent égaiement dans la distribution des vitesses. Les vitesses se mesurent à l'aide d'un moulinet dont l'axe doit être placé dans la direction de l'écoulement. On obtient une équation de la forme. V=an+b où a et b sont des coefficients propres du moulinet et n la vitesse de rotation obtenue avec un compte tour et un chronomètre s'ils ne sont pas intrégués.

Avec les mesures de vitesse, on peut calculer le débit par intégration des vitesses.

Canal

fossé peu profond

Conduite circulaire

Canal rectangulaire étroit

Cours d'eau naturel

Figure 1-5 : allures des isodromes en fonction de la forme du canal.

3.3 Vitesses limites et forces tractrices 3.3.1 Vitesse minimale dans un canal Pour éviter les dépôts des matériaux en suspension dans un canal, on adopte une vitesse moyenne supérieure à la vitesse minimale donnée par la formule de Kennedy (1-2).

17

où y est le tirant d’eau et e, un coefficient dépendant des matériaux transportées. Le tableau 1-3 donne les valeurs de e pour différents types de matériaux en suspension.

Nature des matériaux en suspension

e

Limons et sables très fins

0,40

Sables fins

0,50

Sables

0,63

Sables graviers

0,90

Tableau 1-3 : Valeurs du coefficient e de la formule de Kennedy On peut éviter les vitesses faibles en adoptant la forme du canal pour les faibles débits (figure 1 - 6).

Figure 1.6 : Les faibles débits sont évacués par le lit mineur.

3.3.2. Vitesse maximale dans un canal (Stabilité contre l’érosion) Pour un canal non revêtu, il ne faut pas que la vitesse moyenne U dépasse une certaine valeur sinon il risque d‘y avoir des affouillements du canal. Cette vitesse maximale est fonction de la nature du terrain et de la profondeur d’écoulement. Les tableaux suivants donnent les valeurs de la vitesse maximale pour différents matériaux avec une profondeur d’écoulement de 1 m et les facteurs de correction pour des profondeurs différentes.

18

1) Profondeurs d’eau Y = 1 m. Canaux rectilignes

a) Matériaux non-cohérents I

Matériau

Vitesse

Diamètre mm

Vase.. ...................... Sable fin................... Sable moyen.. ........... Sable gros ................ Gravier fin... ............. Gravier moyen .......... Gravier gros.. ...........

cailloux fuis ..............

0,15

0,005 0,05 0,25 1,O0 2,50 5,OO 10,oo 15,OO

15,o 25,O 40,O 75,O

.......... Gros cailloux. .............

0,20 0,30 0,55 0,65

1,20 1,40 1,80 2,40 2,70 3,50 3,90

100,o

150,O 200,o

0,so 1 ,O0 1,20

I

I

I

5

Très peu Peu TréS cornpacté compacté compacté compacté avec un indice avec un indice avec un indice avec un indice de vide de 2,O de vide de 1,2 de vide de 0,6 de vide de 0,3 à 1,2 à 0,6 à 0,3 à 02

Matériau cohérent du lit

Argiles sableuses (pourcentage de sable inférieur à 50 %).. ........................................ Sols avec beaucoup d’argiles. ...................... Argiles. ................................................ Argiles très fines.................................. r . .

0,45 0,40 0,35 0,32

0,85 0,80

1,30 1,25 120

0,70

1,O5

0 9

1,80 1,70 1,65 1,35

2) Facteur de correction pour des profondeurs d’eau y ze 1 m Profondeur moyenne - m Facteur de correction

I

I

0,3 0.8

I

I

0,5 0.9

1 1

0,75 0.95

1 1

1,o 1.0

I

I

1,5 1.1

I

I

2,o -1 1

I

I

2,5 1.2

I

I

3,O -1 3

Sinuosité

Rectiligne

Peu sinueux

Moyennement sinueux

Très sinueux

Facteur de correction

1,O0

0,95

0,87

0,78

3.3.3 Forces tractrices Une alternative pour le dimensionnement des canaux contre l’affouillement cÔnsiste en l’approche par les forces tractrices.

Dans un canal infiniment large, la force tractrice au fond est : 5

19

Dans un canai trapézoïdal, la distribution de la force tractrice a l'allure indiquée à la figure 1-7a. La force maximum au fond est égale à :

La force maximum dans les côtés est de :

Sur le fond TM se produit au milieu ;sur les côtés T'M est placée à une distance du fond d = &*y. Les valeurs de KM ,K'M et & sont données dans les tableaux 1-3 et 1-4

/

\

Fipure 1-7a : Distribution des forces tractrices dans un canal trapézique

m

+

bly O

1 2 3 4 6 8

-

2/1 KM O 0,78 0,89 0,94 0,97 0,98 0,99

K'M 0,65 0,73 0,76 0,76 0,77 0,77 0,77

Kd

KM

033

O 0,78 0,89 0,94 0,97 0,98 0,99

092

-

092

-

092

312

K'M 0,565 0,695 0,735 0,743 0,750 0,755 0,760

O

Kd 0,3

-

0,2

0,2

-

0,3

Tableau 1-3 : valeurs de KM,K'Met & dans un canal trapézoïdai \

KM O 0,372 0,686 0,870 0,936

-

KM

O 0,468 0,686 0,870 0,936

-

Kd .

..

1,0 1,0 1,O 1,O

-

-

m F M

Kd

211 0,650 093

Tableau 1-4 : valeurs de K'Met

3/2 0,565 093

1/1 0,480 095

213 0,375

097

112 0,325 097

dans un canaI triangulaire

La contrainte ainsi calculée ne doit pas dépasser la force tractrice critique T~ dont les valeurs sont données ci-après pour des canaux rectilignes. Pour des canaux avec peu de courbes (terrain faiblement accidenté) on doit prendre 0,90 des valeurs indiquées ;pour une quantitd moyenne de courbes (terrain moyennement accidenté) on prend 0,75 et pour des canaux avec beaucoup de courbes (terrain très accidenté) on, prend 0,60. î) Matériaux non cohérents gros

Au fond on prend comme valeur pour le projet :

où d75 est le diamètre auquel correspond, dans la courbe de composition gradométrique, 75 %, en poids, de matériaux de diamètre inférieur.

Sur les côtés on prend : zf0 = K zo où K est une fonction de l'angle de repos 8 du matériau et de l'angle des côtés avec l'horizontale $ (figure 1-7b)(équation 1-3).

F i m e 1-7b :Détermination de la force tractrice critique pour les matériaux non cohérents gros

7.1

2) Matériaux non-cohérents fins :zo en kg/mz 1

Diamètre moyen d50 en mm

0,s

O, 1

0,2 Eau claire .............................. 0,o12 0,013 Eau avec peu de sédiments fins 0,024 0,025 1 Eau avec beaucoup de sédiments fins 10,038 0,038

l,o

2,o

5,0

0,015 0,020 0,029 0,068 0,027 0,029 0,039 0,081 0,041 0,044 0,054 0,090

3) Matériaux cohérents :T~ en kg/mz

Nature du lit

I

Trèspeu compacté 1 avec un indice de vide de

1 \

Matériau cohérent du lit\ Argiles sableuses (pourcentage de sable inférieur à 50 % ) Sols avec beaucoup d'argiles Argiles Argiles très fins

Peu compacté 1 avec un indice de vide de 2,O à 1,2 1,2 à0,6

1

0,020

0,077

0,015 0,012 0,010

0,069 0,061 0,047

Compacté avec un indice de vide de 0,6 à 0,3

compacté avec un indice de vide de

0,0160

4. REGIMESD'ECOULEMENT

Le régime ou le comportement de I'écoulement est fonction des :

- effets de la viscosité (frottement interne du liquide) - effets de la gravité comparés aux effets des forces d'inertie. 4.1. €nets de la viscosité :Nombre de Reynokfs' Si le rapport Forces d'inertie/Forces de viscosité est très grand, la viscosité n'mûe pas en jour. L'écoulement est turbulent.

Le nombre de Reynolds R

=

Y

exprime ce rapprt. Si R est îrès grand, ce qui est toujours

le cas en écoulement à surface libre, l'écoulement est turbulent. Le nombre de Reynolds n'intervient pas dans ce cas. Si R < 2000, l'écoulement est laminaire, ce qui est rare dans le cas des écoulements à surface libre.

4.2. Effets de la, gravité :Nombre de Froude

L’effet de la gravité est représenté par le nombre de Froude F, défini par la relation (1-4).

Le nombre de Froude donne l‘ordre de grandeur des deux rapports : 0 Forces d’inertie sur Forces de gravité ou vitesse moyenne de l’écoulement sur célérité des petites ondes. Si F = 1, l’écoulement est critique Si F > 1, l’écoulement est supercritique ou torrentiel. Si F < 1, l’écoulement est subcritique ou fluvial.

Le dénominateur c=,/gy m du nombre de Froude représente la célérité des petites ondes gravitaires en eau peu profonde. Ces ondes peuvent résulter d’un changement momentané de la profondeur d’eau (obstacle, perturbation, etc.). Les petites ondes peuvent remonter le courant d’eau si l’écoulement est fluvial et ne le peuvent pas si l’écoulemnet est torrentiel. Une petite perturbation dans un écoulement peut donc être un critère pour distinguer un écouiemnt fluvial d’un écoulement torrentiel.

5 PRESSION ET CHARGE MOYENNES DANS UNE SECTlON

5.1 Pression La distribution des pressions est hydrostatique si l’écoulement est quasi-rectiligne et quasiparallèle (pas d’accélération dans le plan de la section mouillée). Cela suppose que le canal soit prismatique ou assimilable à un prisme. La pression en un point courant M (figure 1-8) est donnée par la relation suivante :

Où q est 1’angIe définissant la pente du canal

Au fond du canal, la pression vaudra pgy si l’on prend les pressions relatives (pression atmosphérique = O). Si l’écoulement n’est pas quasi-rectiligne, l’effet de la courbure est de produire une accélération centrifuge dans la section mouillée. La pression diminue alors dans le sens du centre de courbure des lignes de courant. La pression au fond d’un canal dont le profil en long présente une courbure est corrigée par rapport à la répartition hydrostatique par les relations (1-5) suivante.

où rM est le rayon de courbure supposé constant dans la section; VM la vitesse au point M de la section et Q le débit. Le rayon de courbure sera positif si l’écoulement est concave et négatif si l’écoulement est convexe. Cette expression est valable s’il n’y a pas de décollement de la lame d’eau.

r

-

’

Figure 1-8 : Définition de la charge moyenne dans,unesection. 5.2 charge hydraulique Elle est définie comme en hydraulique en charge (voir tome i) et son expression est donnée par la relation (1 -6) avec les notations de l’hydraulyque à surface libre.

où a est le coefficient d’énergie cinétique qui tient compte de la répartition de la vitesse dans la section (peu différent de 1 pour les écoulements turbulents rugueux) ; a’ est un coefficient qui tient compte de la courbure du profil en long (égal A 1 si l’écoulement est parallèle) ; q est l’angle définissant la pente du c d 1 = tg q ; zf est la cote du fond du canal ; y est la profondeur d’eau.

La cote piézométrique est défhe aussi comme en hydraulique en charge et son expression devient :

La cote de la sudace libre est donnée quant à elle par la relation suivante :

S’il n’y a pas de courbure du profil en long (a’=l) et si la pente du canal est faible (I=tg(q)SlO%), alors la cote piézométrique est confondue avec la surface libre. C’est ce cas que nous étudierons pour la suite. 5.3 charge spécitique ou énergie spécifique La charge spécifiqw dans la section d’un canal est la charge hydraulique mesurée par rapport au fond du canal. Elle est représentée par l’équation (1-7) avec les hypothkses faites au paragraphe 5.2 (cos q =1 ;a’zl et a=i)

La charge spécifique est une notion importante dans l’étude des écoulements à surface libre en particulier dans l’étude des singularités. Elle est bien spécifique au fluide (pression et énergie cinétique) puisque mobilisable même si la pente du fond du canal est horizontale ou adverse, c’est à dire sans perte d’énergie potentielle globale (et même gain avec une pente adverse). En effet on peut avoir transformation d’énergie cinétique en énergie potentielle et inversement sans variation de la charge spécifique.

6. REVETEYENT DES CANAUX

6.1. Objectifs du revetement Le revêtement d'un canal peut être prévu pour diverses raisons dont les principales sont les suivantes :

- imperméabilisation (réduction des pertes par infiltration) - réduction du fkit des berges (minimiser les excavations) - adoption de vitesse élevée (diminuer les risques d'érosion.

Si l'eau ne transporte pas de sables et graviers, la notion de vitesse maximale peut être oubliée dans le design) - réduction de l'entretien (l'herbe ne pousse pas sur certains revêtements) - augmentation du débit (en diminuant la rugosité, etc.).

Une étude économique est souvent nécessaire pour comparer le coût du revêtement au gain qu'il produit. 6.2. Stabilité du revêtement

La stabilité du revêtement est à étudier en fonction de la nature du terrain et du type de revêtement. Il faut étudier la stabilité des fondations (surtout pour les matériaux compressibles ou solubles et la stabilité au profit (cas limite avec une vidange rapide). On prévoit des filtres si nécessaires et les joints doivent être étanches. Certains canaux d'assainissemnts sont munis de barbacanes pour dissiper les pressions intersticielles qui ont tendances à soulever le revêtement en cas de vidange. 6.3. Type de mvêtement et modalité de construction On rencontre le beton (le plus utilisé) mais aussi la maçonnerie, des briques, de l'asphate, de l'argile, des feuilles de plastique etc. De très nombreuses techniques sont utilisées pour la mise en place.

Pour le béton, on a des épaisseurs de 10 à 20 cm environ. La mise en place du béton peut se faire sans coffrage si m > 3/2. Autrement, il faut un cofhge. Le revêtement des berges peut être différent de celui du fond du canal.

26

t

Chapitre 2 Ecoulement uniforme

CHAPITRE 2 ECOULEMENT UNIFORME

1 DEFINITIONET PROPRIETES

1.1 DEFTNITION 1.2 PROPRIETES 2 MISE EN EQUATION 2.1 FORMULE DE CHEZY 2.2

FORMULE DE MANNING-STRICKLER

3 CHOIX DU COEFFICIENT DE STRICKLER

3.1 CHOIX A PRIORI EN FONCTION DE LA NATURE DES PAROIS 3.2 CALCUL DE & A PARTIR D’UN

JAUGEAGE

3.3 ESTIMATION DE I(S POUR LES MATERIAUX NON COHERENTS 3.4 ESTIMATION DE Ks POUR LES COURS D’EAU NATURELS (FORMULE DE C o W m

ET

TABLE DE HORTON)

3.5

CALCUL DE & POUR LES SECTIONS COMPOSEES

4 CALCUL DE L’ECOULEMENT UNIFORME

4.1 CALCUL DE LA PROFONDEUR NORMALE OU D’UN PARAMETRE D’UN CANAL 4.2 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX AVEC LA SECTION HYDRAULIQUEMENT FAVORABLE OU SECTION 70 cm.

35

Très importante pour : des herbes telles que la hauteur d'eau soit inférieure à la moitié de la hauteur ; en période végétative saules de un an touffus entremêlés d'herbes en pleine croissance sur les berges, ou pousses denses de roseaux au fond du lit du cours d'eau dont le rayon hydraulique n'est nulle part supérieur à 3 ou 5 m ; en période végétative des arbres entremêlés d'herbes et de buissons, tous avec beaucoup de feuilles, le rayon hydraulique n'étant supérieur à 3 ou 5 mètres.

VALEUR de m5 L'influence des méandres dépend du rapport de la longueur des méandres à la longueur à vol d'oiseau du bief considéré. Cette influence est dite modérée pour des rapports de l'ordre de 1 à 1,2, appréciable pour des rapports de l'ordre de 1,2 à 1,5, importante pour des rapports supérieurs à 1,5.

Remarques Cette méthode ne se préoccupe pas de l'influence des particules en suspension et des atterrissements. Les valeurs indiqués dans la table ci-après ont été établies à partir d'un échantillon de 40 à 50 cours d'eau de faible importance. Néanmoins, cette méthode s'applique à des cours d'eau plus larges dont le rayon hydraulique dépasse, disons, 5 m. Pour un cours d'eau naturel, K sera généralement compris entre 20 et 40, les cas extrêmes pouvant aller de 10 pour une rivière très obstruée (arbres en travers, etc.) à 60 70 dans le cas d'un canal bétonné.

-

3.4.2 Table de HORTON Dans le tableau 2-4, le CTGREF résume les travaux de plusieurs auteurs qui ont estimé les valeurs du coefficient de MANNING à adopter pour différents types de canaux et chenaux naturels. Pour chaque type de revêtement, les valeurs des coefficients de MANNING, de STRICKLER et de rugosité de COLEBROOK sont données. Pour un canal qui sera bien entretenu, on peut adopter les valeurs normales. Le tableau 2-5 résume les valeurs de Ks proposées par FRANCE-GABIONS pour les matelas RENO et les gabions avec divers modes de mise en place.

3.5 Calcul de Ks pour les sections composées

La section mouillée peut être composée de N sous-sections avec une rugosité propre à chacune d'elles (figure 2-1). C'est le cas par exemple d'un cours d'eau en crue avec un lit mineur et un champs d'inondation (lit majeur). La rugosité du lit majeure est en général plus élevée que celle du lit mineur. L'écoulement dans le lit mineur agit sur l'écoulement dans la

36

section des champs d'inondation en accélérant le courant. Inversement, l'écoulement sur le champ d'inondation a tendance à freiner celui du lit mineur. Ça peut aussi le cas d'un canal avec des parois latérales différentes de celles du fond. Si la vitesse moyenne Uj dans les sous-sections sont différentes (cours d'eau en crue), la formule de MANNING-STRICKLER peut être appliquée séparément à chaque sous-section pour calculer son débit. Le débit total du cours d'eau sera égal à la somme des débits de chaque sous sections (équation 2-9).

Si les vitesses moyennes Ui dans les sous-sections i sont identiques et égales à la vitesse moyenne dans la section, on peut calculer une rugosité équivalente de la section et calculer le débit total avec cette rugosité dans la formule de STRICKLER. Sur la base de cette hypothèse, EINSTEIN a établi la formule (2-10) en écrivant la , relation entre les sections ( S = ~ S>.

D'autres hypothèses ont été également faites pour le calcul d'une rugosité équivalente. C'set ainsi qu'on peut poser que la force de résistance totale sur le périmètre est égale à la somme des forces de résistance dans chaque sous-section et que les rayons hydrauliques sont constants (équation 2-1 1).

(2-1 1)

37

F i m e 2-1 Section composée et calcul du débit

VALEURS

CARACTERISTIQUES DU COURS D'EAU Matériau

Terre Roche Gravier fin Gravier grossier Irrégularité du fond et des Lisse parois Irrégularité légère Irrégularité modérée irrégularité sérieuse Variation de la section Progressive Alternée occasionnelle Alternée fréquente Influence des obstructions Négligeable Faible Appréciable importance Végétation Faible Modérée Elevée Très élevée Influence des méandres Modérée Appréciable Importance

q,

l

0,020 0,025 0,024 0,028

0,000 0,005

nl-

10,010 0,020 0,000

n2

0,005 0,010 0,000

n3-

4

m5

0,010 0,020 0,040 0,005 0,010 0,025 0,050 1,100 1,150 1,300

-

0,015

- 0,015 - 0,030 - 0,060

- 0,010 - 0,025 - 0,050 - 0,0100

38

Tableau 2-4 : Valeurs des coefficients de rugosité en fonction de la nature de la paroi (d’après CTGREF)

A

n

Ks

0,009 h 0,010

100 à 110

-

CANAUX ARTIFICIELS, GALERIES OU CONDUITES A SURFACE LISSE

1. Surface très lisses et sans saillies ;tracé suffisamment droit

1t4

verre neuf et net pyroline-cuivre 2. Surfxe lisses et sans saillies ;tracé suffisamment droit verre net et raboté

-

0,011 à

0,012

80 à 90

0,5 à

- métal soudé non peint - ciment mortier ou béton bien lissé, bien soigné et sans débris - surfaces très lisses avec courbures moyennes 3, Surface avec légères aspérités - acier riveté ou peint - fer forgé ou coulé

0,013 à 0,014

70 80

-

1,5 à 2

z 65

3à5

- bois non raboté - ciment et mortier - finition à la iruelie - béton coffré avec de l’acier ou du bois lisse sans débris et pas de courbures

- canaux en béton très lisse avec joints - tuyau de b i n a g e ordinaire

- égout vitrifié sans saillie

- brique vernissé, grès - asphalte lisse - moellons dressés avec joints cimentés - surfaces lisses ou très lisses avec fortes courbures

4. Surface avec aspérités moyennes

- métal incrusté - métai riveté avec rivets grossiers - canaux en métal avec larges saillies vers l’intérieur

- bois très grossier (madriers)

- béton avec bord lisse et fond rugueux

- petit

canal en béton, assez droit et régulier dont la surface es recouverte d‘un léger dépôt - bois ou béton avec développement d’algues et de mousses égouts avec regards - drains enterrés avec joint ouvert terre particulièrement régulière - canaux avec plafond en sable fin (surfaces non ridées) - surfaces lisses avec courbes excessives

-

0,015 à 0,016

Tableau 2-4 (suite) : Valeurs des coefficients de rugosité en fonction de la nature de la paroi (d'après CTGREF)

5 . Surfaces rugueuses

- métal très incrusté - béton coulé non lissé - béton coulé aux cofhges en bois rugueux

n

Ks

k(mm)

0,O 17 0,O 18

55 à 60

10

150

15-20

0,022 à 0,023

A5

30 à 60

0,024 à 0,026

40

60 à 100

- béton très rugueux ou vieux - maçonnerie vieille ou mal soignée - canaux en maçonnerie moyenne avec joints nombreux ou nombreuses courbes

- bois ou béton avec développement dense d'algues ou de mousse

- canaux en terre &ès régulière, état neuf, bon alignement - sable moyen

- pierres dressées, joints cimentés

6. Surfaces très rugueuses canaux en métal avec très fortes saillies vers l'intérieur ou fortes courbures, ou développement de végétation importante ou débris accumulés canaux en béton avec maçonnerie en très mauvais état ou très grossière béton coulé non lissé canaux très larges en gravier fin plus sable ou en terre régulière meuble, sans développement de végétation - radiers pavés moellons bruts assemblés au ciment

-

0,O 19 à 0,021

-

7. Surface à rugosité très importante lit en gravier fin

-

- canaux avec dépôts ou végétation - canaux en terre moyenne, dimensions modérées - moellons bruts grossièrement assemblés au ciment 8. Surfaces assez grossières

- aqueducs métalliques à section semi-circulaire en tôle plissée - terre en mauvais état

- graviers moyens - canaux en terre, petites dimensions - canaux en terre, plus larges, avec développement de végétation ou gros galets ou pierres dispersées

- fossés en bon état - canaux en terre sinueux, sans végétation - blocage cimenté

- béton sur roche régulièrement excavée

40

Tableau 2-4 (suite) : Valeurs des coefficients de rugosité en fonction de la nature de la paroi (d'après CTGREF)

9. Surface grossières

- excavation rocheuse très régulière - gros gravier - pierre sèche - canaux en terre, dragués, sans végétation ou enherbés

n

Ks

k (mm)

0,027 à 0,030

35

100 à 300

0,031 à 0,035

30

300 à 700

0,04

25

1O00

0,05

20

0,05 0,08

20 12

0,05

0,07

20 15

0,lO

10

- chenaux d'évacuation de crue, larges et entretenus

- béton sur roche irrégulièrement excavée - canaux et fossés avec pierres rugueuses au fond et végétation sur les bords 1O. Surface très grossières

- excavations rocheuses uniformes

- canaux avec développement considérable de végétation

- chenaux d'évacuation de crues, larges, mais peu entretenus - blocage sec

- canaux en terre sinueux avec mauvaises herbes plus ou moins denses ou plantes aquatiques - canaux en terre sinueux avec fond en terre et berges en blocage au fond pierreux et berges recouvertes de mauvaises herbes 11. Surface excessivement grossières

- excavations rocheuses irrégulières - canaux en terre en très mauvais état, très sinueux avec pierres rugueuses et végétation importante

- lits majeurs d'évacuation de crue dégagés, mais entretenus de façon discontinue 12. Divers

- canaux non entretenus, mauvaises herbes et broussailles coupées - canaux en excavation avec broussailles - canaux avec mauvaise herbes denses aussi hautes que la hauteur de i'écoulement - fond net, broussailles sur les berges - même chose avec niveau d'écoulement maximum sans débordement - broussailles très denses, niveau d'eau élevé

41

Tableau 2-4 (suite) : Valeurs des coefficients de rugosité en fonction de la nature de la paroi (d'après CTGREF) n

Ks

0,025 à 0,03

30 à 4 0

0,035 0,040 0,0458 0,050 0,048 0,70 0,100 0,15 à 0,20

30 25 20

597

0,040 0,050

25 20

- pâturages sous broussailles

0,030 8 0,035

30 à 35

- zones cultivées, absence de récoltes - zones cultivées, récoltes sur pied - broussailles dispersées et mauvaises herbes ou broussailles

0,030 0,035à 0,040 0,050

35 25 à 35 20

0,06 à 0,07

15

0,lO

10 25 16 10 8

B. RIVIERES NATURELLES Pour les cours d'eau à section suffisamment constante on se reportera au tableau A. 1. Petit cours d'eau (largeur maximale inférieur à 30 m)

a) cours d'eau de plaine - net, droit, niveau d'eau élevé, peu de variation de la section mouillée - idem, mais pierres et mauvaises herbes plus nombreuses - net, sinueux avec seuils et mouillées - idem, mais avec pierres et mauvaises herbes - idem, mais niveau bas - cours paresseux, mauvaises herbes, trous d'eau profonds - nombreuses mauvaises herbes et nombreux trous d'eau - pentes et fond irrégulier, nombreuses souches, arbres et buissons, arbres tombés dans la rivière

b) cours d'eau de montagne Pas de végétation dans lit, rives escarpées, arbres et broussailles pour les niveaux élevés - fond en gravier et cailloux, peu de gros galets - fond avec gros graviers

20 15 10

2. Plaines d'inondation

et quelques arbres en hiver quelques arbres et broussailles en été ;broussaille moyenne ou dense en hiver - broussaille moyenne ou dense en été - souches d'arbres sans rejet - souches d'arbres avec rejets durs - forêt de hautes futaies ;peu de broussailles - idem, avec niveau d'eau atteignant les branches - souches denses

-

0,040

0,060 0,lO 0,12 0,15

7

3. Grands cours d'eau (largeur maximale supérieure à 30 mètres)

La valeur de Ksest supéneure à celle des petits cours d'eau d'allure analogue, car les rives offtent moins de résistance efficace. - section régulière sans broussailles

- section irrégulière et rugueuse

D,025 à 0,040

25 à40

3,040à O, 100

10à25

42

Tableau 2-5 :Valeurs de Ks pour les gabions (d’après FRANCE GAF3IONS S.A.) Revêtement

I Ke

1

2

ar coulée directe 3 4 5

6

7 8 9

10

C m u x revêtus en gabions remplis avec des matériaux bien sélectionnés et mise en oeuvre soignée Canaux revêtus en gabions remplis avec des matériaux non sélectionnés et mise en oeuvre non soignée Canaux en terre avec entretien négligé.

38 35 33

Remarque : MR veut dire matelas RENO

4 CALCUL DE L’ECOULEMENT UNIFORME 4.1 Calcul de la profondeur normale ou d’un paramétre d’un canal

La formule de MANNING-STRICKLER , associée à la définition de la vitesse moyenne U,, sera choisie pour la suite des calculs.

Q

=

US

Pour l’écoulement uniforme, la perte de c h g e unitaire J est égale à la pente du canal 1. Comme J est toujours positif, l’écoulement uniforme ne peut avoir lieu que si la pente du canal 1 est strictement positive. Autrement (canai à fond plat ou canal à contre pente),,il peut y avoir un écoulement varié mais pas un écoulement uniforme. Les paramètres à calculer avec ces équations sont de 4 types : paramètres géométriques : rayon hydraulique RH@) et surface mouillée S@) qui sont des fonctions de la profondeur d’eau y (voir tableau 1-1) ; paramètres hydrauliques : vitesse moyenne U et débit Q ;

43

paramètre de rugosité : lcoefficient de STRICKLER Ks ; paramètre de pose : pente du canal 1. Le seul paramètre pour lequel l’équation de MANNING-STRICKLER n’est pas explicite est la profondeur d’eau y (ou la largeur au plafond b dans le cas d’un canal trapézoïdal). Les calculs consisteront donc à déterminer un des paramètres connaissant les autres mais seul le calcul de la profondeur normale yn (ou la largeur au plafond b dans le cas d’un canal trapézoïdal) peut poser des difficultés. Pour le calcul de la profondeur normale, on peut utiliser une des méthodes ci-après : Une méthode graphique consistant par exemple à tracer sur papier millimétré la -

débitance du canal SR,,,^ en fonction de y point par point. On porte en ordonnée la

Q et on lit la valeur de yn recherchée en abscisse (figure 2-2). valeur connue de -

fi

Des abaques du type des figures 2-3 et 2-4 par exemple pour les canaux îrapézoïdaux et circulaires. Il existe plusieurs abaques de ce type pour les sections paramétrées. 0

Des méthodes numériques de résolution de fonction implicite en y (méthode de NEWTON, méthode du point fixe, méthode des intervalles, etc.) ou tout simplement utiliser le solveur d’EXCEL ou de la TI92 (voir paragraphe 6 du chapitre 3 du tome 1 sur les écoulements en charge).

Le tableau 2-6 résume les types de calcul avec la formule de MANNING-STRICKLER et pour les sections courantes en tenant compte des paramètres géométriques du canal vus au tableau 1-2 Dans le cas de la section circulaire, on peut utiliser, dans quelques cas particuliers de taux de remplissage y/D, les formules approchées du tableau 2-7.

Exercice i : On veut écouler un débit Q = 10 m3/s dans un canal trapézoïdal creusé dans la roche (Ks = 40) de pente, 1= 0,001, dont les berges auront pour fivit m = 114. 1. Quelle sera la profondeur normale si on prend b = 5 m ? 2. Quel serait le débit si on mettait un revêtement en béton (Ks = 70) ? Réponse 1. y = 1,48m. 2. Q = 17.5 m3/s Exercice 2 : Une conduite circulaire de diamètre D = 1 m est posée avec une pente 1= 0,l 960. Le coefficient de Strickler est de 70. 1. Pour un débit Q = 128 l/s, quelle sera la profondeur d’écoulement ? 2. Quel sera le débit si le taux de remplissage est de 80 % ? 3. Avec ce débit, à quelle pente faudrait-il la poser pour avoir un pourcentage de remplissage de 75 % ?

44

Réponse 1. yn= 0,55 m 2. Q =0,21OYs 3. 1 =0,11 %O

Figure 2-2 : Méthode graphique de calcul de la profondeur normale.

45

Valeurs de y& ou yiJD

..

!3

7D. N E:

E

l-Section

Calcul de Q direct

Calcul de 1 direct

Calcul de yS direct

Calcul de y,, Solveur ou abaques ou

Calcul de b Solveur ou abaques ou itérations

Calcul de D direct

1 8 en radians

/

l m

\

.c--c

bK,l/jyf

Q'

10

b2KiYT

Q b%FyS

Canai infiniment large

-io,1 Y

b

Tableau 2-6 : )mulaire du calcul de écoulement de l'écoulement uniforme pour les sections les plus courantes.

48

Taux de remplissage Y D 1

Angle mouillé

Formule approchée du débit

360"

Qp=O,312 K s & 0:

0'95

308"

Qma = 0,327 Ks & D:

0,83

262'6"

Qp=O,312 Ks& Dt

0'75

240"

0'50

180"

QO,SOP = 0,151 Ks .Ji 0 9

0,45

168,5"

Qo,45~= O , m Ks JI D!

e

Q o , ~=~0,284 P Ks JI Df

Tableau 2-7 : Formule approchée d'un canal circulaire pour des cas particuliers de remplissage.

4.2 Dimensionnement des canaux avec la section hydrauliquementfmrable ou section u économique N

4.2.1 Définition et propriétés de la section hydrauliquement favorable

Pour qu'une section soit économique il faut que simultanément les grandeurs qui interviennent dans le coût soient minimales. Ces grandeurs sont la surface S (terrassement) et le périmètre P (revêtement). Il en résulte que pour un débit et une pente donnée, la section ((économique N ou hydrauliquement favorable correspond à la vitesse la plus grande. Donc la section ainsi définie est à la fois celle qui : 0 Donne le débit le plus grand pour une surface S et une pente 1 données (périmètre mouillé minimum) ; 0 Nécessite la section S et le périmètre mouillé P les plus petits pour un débit Q et une pente 1 donnés (coût minimum) ; 0 Nécessite la pente 1 la plus faible pour une section S et un débit Q donnés (périmètre minimum).

La section qui sera ainsi calculée est la section hydrauliquement favorable (HF) mais en fait pas forcément la plus économique, parce que : 0 dans certains cas le coût n'est pas directement lié à la section S et au périmètre mouillé p; le raisonnement ne tient pas compte de la revanche. En outre il existe très souvent des contraintes de construction qui limitent la profondeur des canaux et empêchent d'adopter la section hydrauliquement favorable (variation des coûts

49

d’excavation avec la profondeur due par exemple à une hétérogénéité du sous-sol telle que la présente de nappe phréatique ou de roche dure. Pour une forme de section donnée (rectangulaire, trapézoïdale de f i t m donné), la section HF est caractérisée par une valeur du rapport entre la profondeur y et la largeur du radier b qui est constante. Les sections HF d’une forme donnée sont donc semblables. La forme circulaire est celle qui assure le plus petit périmètre pour une section donnée dans un plan. Il en est de même de la forme semi circulaire qui a le même rayon hydraulique dans le demi-plan. Les sections circulaires ou semi circulaires ne sont cependant réalisables qu’en matériaux résistants (galerie en rocher, conduite métallique, canalisations et canaux suspendus en béton).

Dans les autres cas, on adopte plutôt des sections trapézoïdales isocèles pour faciliter la construction et l’entretien des canaux. 4.2.2 Calcul de la section trapézoïdale HF

Minimiser la section S et le périmètre mouillé P, qui sont tous les deux fonctions de la profondeur d’eau y et de la largeur du radier b, revient à annuler les différentielles totales exactes (y et b variant) et trouver la solution en (dy,db) différente de la solution triviale (0,O). L’annulation du déterminant du système linéaire en dy et db ainsi formé est une condition nécessaire et suffisante qui conduit à la relation (2-12) suivante entre la profondeur y et la largeur au radier b pour une section trapézoïdale HF. (2-12) Pour la suite des calculs, on peut poser n = & b q - m .

La substitution de la relation (2-12) dans les expressions de la section, du périmètre mouillé et du rayon hydraulique en fonction de y et b, conduit à :

S=Ay2

On constatera que le rayon hydraulique RH est indépendant du fruit de la berge m pour une section trapézoïdale HF. Pour une section trapézoïdale isocèle la formule de Manning-Strickler devient alors explicite pour toutes les variables (équations 2-13)

50

(2-13)

Plus généralement, si l'on connaît les fruits de la berge m et de la diagonale n d'un trapèze isocèle quelconque, on a les relations suivantes : b=(n-m)y 1=(n+m)y

P= (n+h)y Pour n et m fixés, les trapèzes isocèles correspondants s'obtiennent donc par homothétie de centre B en faisant varier y (figure 2-5a). On démontre que n est égal ih 3, pour une section trapézoïdale isocèle HF ( minimum de P et S pour n et y variables). La section trapézoïdale HF est circonscrite à un demi cercle de diamètre horizontal coïncidant avec la surface libre et dont le rayon est la profondeur d'eau y (figure 2-5b). En effet on peut établir , à partir de OB=AB/2=1/2=dgy=BC , que le triangle OBC est isocèle et que sa hauteur OF=y=OG.

Bercice 3 : Soit à écouler un débit Q = 10 m3/s dans un canal de section trapézoïdale, creusé dans la roche, de pente l%, dont les berges auront pour fruit m = 1/4. On prendra Ks = 40. 1O ) Calculer y et b pour un volume de déblais et un périmètre mouillé minimaux. 2") Quelle sera alors la vitesse moyenne dans le canal ?

Réponse 1") y=2,10 m et b= 3,20 m 2") U=1,30 m/s 4.2.3 Comparaison de sections trapézoïdales isocèles HF

a

1 O) Pour un débit une rugosité Kset une pente I donnés, on peut comparer les paramètres y, S, P et U des sections trapézoïdales isocèles hydrauliquement favorable en fonction de m. On prendra comme référence la section rectangulaire où m indicées avec O).

=

O (les variables sont alors

51

a) section trapézoïdale Isocèle quelconque I

B

/

/

b

D

C

b) section trapézoïdale isocèle HF

A

O

D

C

F i m e 2-5 : Section trapézoïdale isocèle HF

On peut alors tracer les courbes montrées à la figure 2-6,

01,

p, y et p définies ci-après en fonction de m et qui sont

52

On peut remarquer sur la figure 2.6 que : 0

0

les variations de a,p, y et p sont faibles pour des valeurs de m inférieures A 413 ; a et p passent par un maximum ;y et p passent par un minimum pour la valeur de m égale à J3 correspondant à 8 = 60" ou an demi-hexagone. 3

pour 8 = 36'56' ou m = 4/3, la section trapézoïdale HF est exactement équivalente au re-gle I3.F YO, so, Po A toute fin pratique, on peut donc utiliser l'approximation de la section rectangulaire HF, pour m compris entre O et 4/3 (et même 5/3) où les variations sur les paramètres a,p, y et p sont inférieures à 5 %, afin de déterminer la pointure d'un canal pour les £niits des berges admissibles.

27 Pour y, K, et Z donnés,

les valeurs de Q, P, S et U d'une section trapézoïdale HF de fruit des berges m, rapportées respectivement à celles d'une section rectangulaire HF (m=O) donnent les paramètres ci-après.

p ' =S--a so

La fonction h=2a' est tracée sur la même figure 2-6 et dans les mêmes limites (m compris entre O et 5/3), les variations des paramètres sont inférieures à 13 %. Elle passe par un

J? (demi-hexagone) et m=4/3, elle donne la même valeurs que m=O. minimum à m=3 4.2.4 Considdrationspratiques

Le trapèze de section mouillée minimum ne constitue pas toujours la solution la plus économique et la meilleure. D'abord, elle ne donne, à coup sûr, un volume de déblais minimum que si la sudace du terrain où il est creusé est horizontale ou sub-horizontale (annexe du chapitre 2).

54

Même si le terrain est horizontal, on doit tenir compte des éléments suivants :

I y la profondeur doit être limitée le prix au mètre cube de déblais, croît généralement avec la profondeur. C'est le cas quand les couches de terrain deviennent plus dures en profondeur. - les infiltrations dans un canal non revêtu croissent avec la pression de l'eau sur le fond, donc avec la profondeur. - un canal moins profond est plus facile à entretenir. -

D'où il pourrait être préférable d'avoir un canai un peu moins profond, quitte à avoir un volume total de déblais plus grand.

20)la vitesse doit être limitée La vitesse d'écoulement doit être inférieure à une limite Umaxpour éviter l'érosion. C'est ce que nous verrons au paragraphe suivant 4.3 Dimenswnnement des canaux avec une vitesse limite imposée

Si l'on désire respecter une vitesse limite, on fait le calcul suivant pour cette vitesse qui introduit une relation entre la surface S et le rayon hydraulique RH complétant la formule de Manning-StricMer pour la détermination de la profondeur d'eau y et la largeur au radier b. Etant donnée Q, 1 et m on veut déterminer b et y en ne dépassant pas la vitesse d'érosion Umm.

Dans un premier essai, on prendra U = Umm. La définition du débit permet de tirer S ;

L'équation de Manning-Strickler permet de tirer RH :

D'où l'on obtiendra le système de deux équations suivarus en y e b :

y(b+my)=S

55

Par la méthode de substitution, ce système est équivalent à : b-S-2yG

(2-14a)

A y 2-y+s=o s

(2-14b)

RH

RH

L'équ tion du second degré (2-14b) admettra des ra ines selon 1- valeur du discriminant A :

ou

A : 1--

avec Um désignant la vitesse de la section

hydrauliquement favorable et le signe I la proportionnalité. Si A est négatif, c'est à dire si U est supérieure à UW,alors il n'y a pas de solution. Si A est égale à zéro ou U=UHF, alors il y'a une solution qui est la section hydrauliquement favorable :

1 s Y"==%

8

Si A est positif ou U inférieure à Um, on obtient 2 solutions positives en y qui ne sont pas toujours des solutions physiques du problème :

-s+& RH

Yi= 22

On doit en effet vérifier que bi et positifs.

(correspondant respectivement à y1 et y2) restent

56

Or b est positif si la condition ci-dessous est vérifiée:

y2 vérifiera toujours cette condition mais il n'en est pas de même pour yl.

Si y1 vérifie cette condition, on aura deux solutions physiques. On devrait retenir la solution y2, b2 qui présente la plus faible profondeur. C'est pourquoi que la méthode s'applique plus souvent à l'étude des écoulements larges(endiguement de rivière par exemple) Dans tous les cas, la solution retenue devra être pratiquement réalisable (dimensions pas ((microscopiques)) ni «gigantesques »). Si on ne trouve pas de solutions (AO

(3-llb)

@)

où Q , = K ( v ~est le débit normal correspondant à la profondeur y

et Q, = Z ( y ) & est le débit critique correspondant à la profondeur y.

81

l-@)

--I dv

+) 2

dx1-r(

pour les canaux prismatiques avec I'RHW+ La discrétisation de l'équation différentielle s'écrit alors :

Les valeurs positives de Ax indiquent une progression vers l'aval et celles négatives une progression vers l'amont. Le tableau 3-4 donne les procédures typiques souvent utilisée à partir d'une section de contrôle du canal. Toutefois on peut procéder suivant une direction différente de celle indiquée au tableau si la profondeur est connue à l'autre bout de la courbe avec les risques de divergence déjà mentionnés. La mise en œuvre de la procédure de calcul passe par les étapes suivantes : 1") Connaissant yo, calculer HSOet JQo) 2") Pour une valeur de YI= yo+Ay, calculer &let J(y1 3") Calculer7=(J(yo)+ J(y1))/2 ou 7=J((yo+y1)/2) 4") Calculer Ax 5") Passer à la section suivante en prenant un nouveau y0 é g u au y1 qui vient d ',* continuer la procédure en 1")

trouvé et

Le calcul de AHs=Hsi-Hso est imprécis (généralement une différence faible entre 2 grands nombres) et la vitesse doit alors être calculée avec une grande précision (3 décimales au moins). Il est préférable de calculer AHs par son expression andytiqueAfj,=A&-g2)

-2 où F~

=&g s 3 est évaluée pour la profondeur moyenne Yo+Yl entre les 2 sections. 2

L'usage de pas faibles permet d'avoir une plus grande précision mais augmente les itérations et le temps de calcul. Les erreurs se propagent comme dans toutes les méthodes itératives puis que la solution d'un pas est incorporée dans le pas suivant (le courbe peut osciller dans certains cas.

87

~

Pente du canal

Relations entre profondeurs Y d Yn >Yc

Type de courbe de remous

Signe de dHJdx

FI

+

Y

> Y+

Yc

F2

-

Y d Yc”

Yn

ci

+

Yn

O

I>O

Y d Yc> Yn

Ti

+

> Yd Yn

T2

+

T3

-

H2

-

Yc

Y d Yc

I=O

-TYc > Y0

-

Y d Yc

A2

-

Yc > Y0

A3

-

IO) Av >O Lhite-y, :ressaut Section de contrôle à 1’ aval et on progresse vers l’amont (Ax O) Ay >O Limite-Y, :ressaut

rableau 3-4 :Procédure de calcul des courbes de remous

88

5.2.3.2 Méthode des pas standards Les pas Ax sont fixés à priori; ce qui permet de collecter les données de terrain à des abscisses et biefs choisies avant de procéder au calcul de la courbe de remous pour les chenaux naturels.

II s’agit alors de déterminer la cote de la surface libre à ces abscisses bien déterminées ey on procède par approximations successives en tenant compte du sens de progression des calculs indiqué au tableau 3-4). L’équation aux différences finies peut s’écrire sous la forme suivante :

h + LV=2h o + a,-O_v 2 -JAx-sign(Ax) ’ a’2g 2g La prise en compte des singularités se fait à travers la différence de charge cinétique et k qui est un Coefficient de perte de charge singulière avec : k=O pour un canal prismatique ; 0 k=O à 0,l pour un écoulement convergent graduel 0 k=0,2 pour un écoulement divergent graduel 0 k=0,5 pour un changement brusque de la section de l’écoulement. D’autres auteurs expriment la perte de charge singulière par un coefficient k et la charge cinétique à la section O seulement ou bien par la diminution du coefficient de Strickler sur le bief dans l’expression de J qui se calcule de la même manière qu’au paragraphe 5.2.3.1. Pour la mise en œuvre de la méthode, on écrira l’équation de Bernoulli ci-dessus sous cette forme : (3-14a) (3- 14b) 2

(3- 1 4 ~ ) On procède alors comme suit : 1) Calcul de HOpar l’équation (3-14b), connaissant ho 2) Choix initial de hlcomme valeur d’essai ; 3) Calcul de Hl par l’équation (3-14c) en passant par y, S , v=Q/S et aV2/2g pour la valeur d’essai de hl ;

89

4) Calcul de Hl par l’équation (3-14a) en passant par y, RH, RH^'^, J et laperte de charge singulière éventuellement ; 5 ) S’il y’a accorde entre les 2 valeurs de Hl trouvées (différence en valeur absolue lAH,( inférieure à une petite valeur E), la cote d’essai hl set la bonne ; sinon on modifie hl par une nouvelle valeur et on recommence à l’étape 3).

Henderson, en supposant que J est proportionnel à yJ, suggère de prendre la correction suivante sur hl pour accélérer la convergence :

où

AH^ est la différence entre les 2 charges trouvées par le 3) et

le 4) ;

F RI

2

a -1 V12

Wx 2g pour un cours d’eau naturel où I d ’ __

2 Croley propose une correction sur y du type suivant pour arriver à la même fin :

où l’exposant (1) indique la valeur d’essai et l’exposant (2) la valeur corrigée. On peut également tester si la différence est en valeur absolue inférieure à E comme critère d’arrêt et prendre comme nouvelle valeur d’essai de h la dernière valeur trouvée hi(’+’)comme dans la méthode du point fixe. Il faut signaler que hl(’+’)est donné par le théorème de Bernoulli :

Lorsque l’énergie cinétique aV2/2g est faible, on peut conduire les calculs même dans la mauvaise direction ( vers l’amont pour un écoulement torrentiel ou vers l’aval pour un écoulement fluvial) sans commettre de graves erreurs. Aussi pour les cours d’eau naturels, la section de référence ou section de contrôle n’est pas toujours entièrement définie pour un débit donné. Si on se fixe un ho qui est incorrect pour le débit donné, la courbe de remous sera à peu près correcte après quelques pas de calcul dans la bonne direction. On peut ainsi commencer à une station loin en amont ou en aval du bief qui

90

nous intéresse pour le calcul de la courbe de remous sur celui-ci si on ne connaît pas la section de référence. Enfn on peut constater que plus le coeflïcient de Strickler est élevé, plus la courbe de remous est longue et plus il est faible, plus la courbe est courte. D’où la valeur par excès de Ks devrait être choisie dans les calculs si la connaissance de la plus grande influence du remous est recherchée (remous créé par un barrage par exemple). Par contre pour la connaissance de la plus courte courbe possible, une plus faible valeur de Ks devrait être utilisée (amélioration de la navigation par exemple puisque la profondeur navigable doit être supérieure ii une valeur donnée et la plus courte courbe indiquera la plus faible profondeur à une section donnée du chenal).

5.2.4 Méthode de la Dénivelée

- Débit pour les cours d’eau natuml

On peut utiliser cette méthode lorsque l’on dispose de profils de la surface libre en écoulement normal (sans l’effet de remous) pour un certain nombre de débits. Elle est simple et économe en calcul. L’application du théorème de Bernoulli, entre les sections amont 1 et aval 2 séparées de la distance L, donne la pente de la ligne d’énergie sur le bief. J=-

A+S

(3-1%)

L

où A est la dénivelée (hl - h2) entre les cotes de la surface libre ;

inclut la variation de la charge cinétique et les pertes de charge singulières entres les 2 sections. 1) Si les énergies cinétiques sont faibles, on peut négliger 6

L’équation (3-1Sa), avec la formule de Manning-Strickler, donne

ou

Q = f(h1) fi

(3 - 15b)

Pour une courbe de remous avec un débit Q’, on peut utiliser la même équation avec une dénivelée A’ et trouver la relation (3-15c) suivante :

91

2

(3-1%) Al=[%]

Le débit Q est appelé débit par unité de dénivelée. On peut alors utiliser la relation (3-1%) pour le calcul de la courbe de remous si l’on connaît la courbe de la relation (3-15b) dû-t

Q en fonction de la cote amont hi. Cette courbe peut être tracée à .Jd

partir de donnée de jaugeage (débit et dénivelée entre 2 échelles). Elle est tracée comme une courbe moyenne pour différentes conditions de fonctionnement (crue, décrue, pousse des herbes,. ..). Pour une cote hl donnée et un débit Q’, elle permet de lire

2 et la formde (3-1%) $h

permet le calcul de A’ ; d’où la valeur de h2 = hl i A’ selon le sens de progression du calcul. On peut également calculer le débit Q’ si la dénivelée A’ est lue sur 2 échelles. L’assimilation de 6 à O fait que la méthode est plus utilisée pour des problèmes où les vitesses sont bien en deçà de la vitesse critique et diminuent vers l’aval (nombre de Froude faible). 2) Si les énergies cinétiques ne sont plus négligeables

La même approche peut être utilisée par approximations successives pour la détermination du débit à partir de la mesure de la dénivelée A = hl - h2. La procédure est la suivante : a) calculer K, S R F pour hl ou pour h2 ou par une moyenne (certains auteurs

SI^" RG: (Ks~S Z ~R$: ” .

utilisent la moyenne géométrique (Ks, b) Initialiser6=0

(J=g)

c) Calcul de Q par la formule de Manning-Strickler. Q = K, S R H f i d) Calculer VI et V2 avec le dernier débit trouvé Q. e) Améliorer J par l’équation (3-15a) en calculant 6 par VI et V2. f ) Calculer un nouveau débit avec la formule de Manning-Strickler et le J

amélioré. g) Tester si la variation du débit est, en valeur absolue, inférieure à une faible valeur E. Si oui arrêter ;sinon aller d).

92

5.2.5 Exemple de calcul de courbe de remous Un canal trapézoïdal véhicule un débit Q=lO m3/s avec une largeur au plafond b=20 m, une rugosité Ks=50, une pente I=O,1 %O et un fhit des berges m=0,5. la profondeur d'eau à une station x=O est déterminé par un seuil et égale à y0=0,5 m. 1 O ) Calculer les profondeurs normale et critique du canal. 2") Déterminer le type de courbe de remous et ses caractéristiques. 3") Calculer la courbe de remous.

Réponses 1 ") yn=l ,O2 m ;yc=0,29 m 2") C'est une courbe de remous de type F2 puisque yn>yo>yc. La section de contrôle se trouve à l'aval et on fait le calcul vers l'amont (Ax O si n = 1 (la profondeur d’eau augmente du sommet à la base).

- l’effet de la pente longitudinal sur la vitesse et la vitesse de frottement est d’augmenter les 2. Cet effet est plus grand vers la base pour les petites valeurs de n.

- l’effet de la pente longitudinal est pratiqueheht négligeable si celles-ci est petite ( 10-, pour minimiser les erreurs (différence entre la

solution exacte et la solution approchée). Gill a proposé une formule d’amélioration de la méthode Runge-Kutta d’ordre 4 qui permet d’obtenir une plus grande précision par compensation au moins partielle, des erreurs d’arrondi faites à chaque pas. On prend qo nul au départ ;s’il n’y a pas d’erreur d’arrondi, q4 serait nul.

108

k3=hF(xO+-, h 2 y2)

Y2=Y1+ (I-@k2

-ql)

t-

c13=c12+3[(1+g)(k3 - q 2 ) l - [ l - E ) k 3

En pratique, q4 vaut approximativement 3 fois sur 114 due aux erreurs de chute.

Pour compenser, on prendra pour qo au pas suivant cette valeur de 94 :

6.2 Méthodes ii pas liés

109

- Po = O qui donne des algorithmes explicites c'est à dire n'utilisant que l'information antérieur à k, on ajoute alors un terme

Pk-r-lFk-r-l pour avoir 2r+linconnues.

- Po f O

qui donne des algorithmes implicites oh l'on ne peut regrouper les termes en yk que si F(x,y) est linéaire c'est à dire de la forme F(x,y) = A(x) . y + B(x).

On détermine les coefficients ctj et pj par deux formulations possibles :

Formules F rs On les détermine de sorte que la relation soit exacte pour toute équation différentielle dont la solution analytique y(x) est un polynôme de degré 5 s. Le rang r est le nombre de points antérieurs utilisés. L'ordre s et le degré maximum du polynôme tel que si la solution est un tel polynôme, la solution approchée fournie en la solution exacte. Cela revient à dire que la formule est exacte quand on l'applique à chaque monôme de degré inférieur ou égal à s. à xk = xo + kh ,correspond la solution approchée yk

la solution exacte est y&) degré inférieur ou égal à s

=@

(xk) où @ est un polynôme de

et on doit avoir yk = y(Xk) 1

On obtient ainsi le système de s équations à 2 r + 1 inconnues pour les monômes x

:

Pour 1=0 : 1=a ,+a,+....+a

(r+l}'=a]r'+a2(r-ly+a&-2j+. ...+a ,+p,zr'-'+p,Z(r-l~ - l + ~ ~ Z ( r - 2 ~ - ] + . . * + ~ ~ qu'on applique jusqu' au degré s. La plus grande valeur de s est égale à 2r. Exemple : la formule explicite de Adams de rang 2 et de degré 2 . a2=0 et Po=O ce qui donne :

110

Méthode des ûolvnômes d 'intemolation Elle consiste à écrire la formule exacte suivante :

et par anaiogie l'appliquer à la formule approchée car yk est différent de y(Xk) :

On ne connaît pas la primitive de F(x,y) à priori mais on connaît sa valeur pour tous les points Xi O 5 i Ik, et on peut remplacer la fonction par son polynôme d'interpolation 9m(x)sur m points appartenant à l'intervalle [k-r, k+l]. On interpole par exemple avec les m+l points yk-1 ,yk-1.1 , ......., yk-i avec 1-i = m > O comme le montre la figure A-6 :

Avec Fk-j = F(Xk-j, yk-j) et

En portant ces relations dans l'équation (A-2)' on trouve :

Exemde Dans le cas où r = 2,1= 3 et i = O ;on obtient la solution suivante :

avec Ap21/8 ;A1=-9/8 ;A2=15/8 et A3=-3/8

111

Toutes les combinaisons r, i, 1 sont possibles avec r 2 O ; i 2 -1 et 1 > i ;toutefois on prend en général :

-

i =O

avec r=O qui donne la formule d'Adams explicite avec r=l qui donne la formule de Nystr6m explicite avec r=O qui donne la formule d'Adams implicite avec r=l qui donne la formule de Nystrom implicite

-9

integiration

yk+l

Figure A-6 : Méthode des polynômes d'interpolation pour les algorithmes à pas liés.

B.2.1 Exemples classiques Adams exdicites

Adams imdicites

il2

Ces formules explicites ont une erreur d’ordre 1 + 2 tandis que les formules implicites ont une erreur d’ordre 1 + 3

6.2.2 Mise en œuvm des mbthodes implicites J=r

L’équation de départ est yk+i=yk+yk-,+ ...+yk-,+XpiFr-,-, 1-0

1) On démarre l’algorithme avec une méthode à pas séparés p u r calculer yo, yi, ...,yr-1 ;d’où les valeurs de FoyFi, ...’ Fr-1

2) Pour la mise en œuvre, on peut considérer 2 grandes méthodes :

- méthode itéraîive Soit yk+l(O) une première estimation de la solution, on calcule successivement les termes de la suite :

jusqu’à la convergence. On peut prendre pour la valeur initialesuivante pour démarrer les itérations : yk+l(O) = yk 4- h F(Xk yk) Le problème de la convergence est satisfait quand les conditions suivantes sont respectée (K est une borne donnée) : 9

)1] vo

va 2 )

C=2Cc,.1+---

- -

2gh

(4-8)

On s’attend à ce que le coefficient de contraction C, aussi bien que le t m e exprimant la 2

vitesse d’approche K d é p e n d e n t uniquement de la géométrie des fiontières de

2gh

l’écoulement, en particulier du rapport de la hauteur de la nappe dkversante à la pelle h/P. Il s’en suit que le coefficient de débit dépendrait de h/P seulement. Plusieurs auteurs ont étudié et donné des formules de ce coefficient de débit qui sera directement inclus dans les formules empiriques du paragraphe 32 . 1 . REHBOCK a donné la formule suivante, valable pour 5 < WP < 10 :

cd=2(0,6 3 1 1+0,0&) P

131

Dans le cas où P=O ( ou h/Ptend vers de grandes valeurs), on obtient une chute et la hauteur h serait égale à la profondeur critique yc et le débit par unît6 de largeur serait le débit critique

&y! . ‘est le cas lorsque h/P>20 selon Henderson où l’on peut alors établir :

Tout autre type de déversoir implique un écoulement tridimensionnel ( contractions dans les plans horizontal et verticai). C’est le cas des déversoirs rectangulaires avec contraction latérale étudiés par FRANCIS, des déversoirs triangulaires de GOURLEY et CRIMP, des déversoirs trapézoïdaux de CIPOLLETI) qui sont utilisés pour la mesure de débit dans des canaux suffisamment large pour que la contraction soit minimale.

Dans le cas général, des formules expérimentales sont disponibles mais elles ont été étalonnées dans des conditions bien particulières de géométrie et de type d’écoulement (nappe libre et déversoir dénoyé) qu’il faut veiller à respecter 4.2.2 Formules empiriques Les déversoirs ci-dessous servent à mesurer le débit dans les canaux où ils sont installés. Les formules qui sont données ont été données dans des conditions d’étaionnage qui sont parfois précisées avec une nappe libre. Il faudra par conséquent les respecter en particulier veiller à ce l’air soit renouvelé sous la nappe pour qu’elle soit libre. 1O) déversoir rectangulaire sans contraction

REHBOCK (19291 C’est le déversoir le plus utilisé pour la mesure du débit en négligeant le terme 0,001 1 dans la formule suivante :

Q = (1,782 + 0,249) L (h + 0,001 l)3/2 BAZIN f1898) C’est la formule la plus précise car on a plus de données sur ce déversoir :

S‘il y a une nappe déprimée il faut corriger en hausse le débit en fonction de la dépression observde, Lencastre Tableau 152

132

La construction du déversoir de Bazin doit satisfaire les conditions suivantes (Figure 4-12a): a) canai de parois verticales et bien lissées longueur du seuil et largeur du canal b) la crête ne doit pas être trop basse et le seuil est en mince paroi (conformément figure ci-dessous).

c) la longueur du canal en amont doit être au moins égale à 20 h avec a l l e s (en bois ou brique creuse) pour uniformiser la vitesse d'approche. d) l'aération de la nappe doit être complète pour maintenir une nappe libre et on doit installer un tuyau de ventilation si nécessaire et contrôler la pression sous la nappe au moyen d'un manomètre. e) la charge doit être lue à une distance au moins égale à : 5 à 10 h.

A

-..ec

lOcm

Figure 4-12a : Dimensions du déversoir de BAZIN 20)Déversoir rectangulaire avec contraction latérale O

FRANCIS Francis a trouvé expérimentalement que la contraction latérale à chaque extrémité du déversoir rectangulaire est égale à 1/10 de la hauteur h ,pourvu que la longueur du déversoir L soit au moins égale à 3h.

la hauteur d'eau h doit être mesurée à 2 m au moins à l'amont du déversoir. La sur-largeur Q du canal doit être au moins égale à 3h (Figure 4-12b)

133

i

l

Figure 4-12b : Dimensions du déversoir de FRANCIS. 3 y Déversoir triangulaire

GOURLEY et CRIMP C’est l’une des formules les plus employées Q=1,32(tgT)h a 2,47 La figure 4-12c détermine les dimensions à respecter pour la précision de cette formule.

3 L ). Figure 4-12c : Dimensions du déversoir de GOURLEY et CRIMP (a 2 4 THOMPSON Pour le cas particulier Thompson

des=-, 2

on emploie aussi couramment la formule de

134

HEGLY n l’influence de la vitesse d’approche ou moyen de Hegîy a m i s en évidence pour a= 2’ la formule suivante, valable pour 0,l O m 5 h -< 0,50 m :

S = h2 = crise du déversoir limité au niveau correspondant à la charge h ;

S’ = section de l’écoulement dans le canal 4 y Déversoir trapézoïdai

GOURLEY et CRIMP Pour une valeur quelconque de l’angle a d’inclinaison des joues du déversoir sur la verticale (Figure 4-12d), le débit set la somme des 2 termes suivants :

CIPOLETTI Le déversoir de Cipoletti correspond au cas particulier où tga=1/4 (a=) et la formule empirique est : Q = 1,86.L.h3/2

Les dimensions doivent obéir aux conditions suivantes conformément à la figure 412d ci-dessous :

* 0,08m< h

0,6 m

*P>3h *e> 2h * L> 3h

135

Figure 4- 12e :Déversoir circulaire

Les déversoirs servent également à réguler les canaux en particulier en contrôlant la hauteur d’eau dans un bief du canal. Dans ces cas, on peut trouver des cas particuliers par rapport à la disposition du déversoir sur l’axe de l’écoulement ou par rapport à sa construction :

I O) Déversoir proportionnel L’intérêt de ce type de déversoir est de réaliser une sensibilité constante pou tous les débits (l’erreur absolue AQ étant proportionnelle à Ah) et toutes les charges. Le Débit est donné par la formule suivante :

Q=Kh Le profil de la joue du déversoir est donné par l’équation hyperbolique x = &te/ constante dépend du coefficient de débit K du déversoir (Figure 4-120

& où la

Figure 4-12f :Forme du déversoir proportionnel

137

Figure 4- 12d : Dimensions du déversoir trapézoïdal 50) Déversoir circulaire Il présente les avantages de la simplicité, de la facilité d’exécution et de mise en place et la facilité de ventilation figure (4-12e).

HEGLY Le débit est donné par la formule ci-dessous où S est la section mouillée et S’ est la section du cercle.

60) Choix du type de déversoir de mesure (d’après Lencastre)

Les principes généraux suivants doivent être observés dans le choix du type : a) pour avoir une nappe libre h 1 6 cm pour les déversoirs triangulaires, h 1 2 cm pour les déversoirs rectangulaires b) On doit éviter les fortes charges h 5 60 cm c) La longueur du déversoir rectangulaire doit être 2 3h

Pour la précision de certains types de déversoirs est donnée au tableau 4- 1 Si Q < 30 Us ,on choisira un déversoir triangulaire Si Q> 300 Vs, on choisira un déversoir Bazin Si 40 -< Q 1.300 V s ,les deux donnent la même précision.

136

20)Déversoir oblique La crête est disposée obliquement par rapport à l’axe de l’écoulement dans lequel le déversoirs est placé figure 4-12g. Ce type de disposition permet de : 0

augmenter la longueur de déversement diminuer la charge pour le même débit permettre un réglage plus précis du niveau d’eau

F i w e 4-12g : Vue en plan d’un déversoir oblique

AICHEL

O

La formule de débit est donnée ci-après où Qn est le débit d’un déversoir de même largeur et de même type disposé perpendiculairement à l’axe de l’écoulement, et K est un coefficient fonction de l’angle aigu de la crête avec l’axe d’écoulement.

@(l-25(+& h l

La formule est valable pour : a) h/P30” ou b) h/P'

22 Cas :Le régime normal est torrentiel dans les 2 biefs (NTpuis NT) Le régime normal torrentiel amont vient jusau'à la singularité ( puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal torrentiel amont). L'action de la singularité se fait ressentir à l'aval par une courbe de remous T2 - dans le bief 2 dont le contrôle est va 32 Cas :Le régime normal estjluvial à 1 'amont et torrentiel à l'aval (nFpuis N ï J L'action de la singularité se fait sentir à l'amont et à l'aval de la singularité. Une courbe de remous F2 permet le raccordement à yn1 (contrôle yc) dans le bief 1 et une autre courbe de remous 7'2 permet le raccordement à y& (contrôle yc) dans le bief 2 I

r

.

2.2 Diminution de la pente

On distingue 4 cas possibles comme le montre le tableau 5-2b :

l mCas Le régime normal est fluvial sur les 2 bit@ Le régime normal fluvial aval s'établit jusqu'à la singularité (puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval). La singularité fera sentir son effet à l'amont (bief 1) par une courbe de remous Fi dont le contrôle est yn2. 2"'

Cas :Le régime normal est torrentiel sur les 2 biefs

Le régimJe normal torrentiel amont s'établit jusgu'a la singularité (puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal torrentiel amont). La singularité fera sentir son effet à l'aval (bief 2) par une courbe de remous T3 dont le contrôle est Yn1.

177

Cas

Interprétation sur les courbes Hs(y)

Lignes d'eau

Ha

/ 0

NF

NT 4

d

Y

l

/ I

-.- \..-

<

...,

0

4

Tableau 5-2a: Augmentation de la pente. yn1 et yn1 sont les profondeurs normales respectives en amont et en aval ; yc ne varie pas avec la pente.

178

Cas

Interprétation sur les courbes HsW

Lignes d'eau

$a

A

êl

h

h

4 A ..

!i

b

3

NF

Y

h

V

2

h

h

v,

A ..

3

s

crl

n

h

A

êl

h

1 4c

h

NF

L & ..

3

E 4

d .y

4) O

6 .O

m

NF

Tak eau 5-2b : Diminution de la pente. ynl et ynl sont les profondeurs normales respectives en amont et en aval ;yc ne varie pas avec la pente.

179

J

3h et P

cas : Le régime normal est torrentiel à l’amont et fluvial à l’aval

La ligne d’eau doit obligatoirement passer du réaime torrentiel au régime fluvial ; il y aura donc un ressaut. La singularité fera sentir ses effets à une très faible distance à l’amont où il est torrentiel et à l’aval où il est fluvial. Le régime ne sera plus graduellement varie mais brusquement varié, ce que traduit le ressaut. La position du ressaut dépendra des grandeurs relatives des profondeurs normales vgLyn2L leurs con-iuguées V’nl& - --dans les deux biefs. 3&

ca~: Si y’nl> yn2 ou siy’n2> S>nl ,.Le ressaut se produira dans le bief aval (2)

Le régime normal torrentiel amont arrive jusqu’à la singularité ; une courbe de remous F3 ayant comme contrôle yni augmentera la profondeur d’eau y jusqu’à I atteindre y’a puis un ressaut ( ~ ’ ~y2i ) se forme.

*

Cas : Si y’m1* ,

3&’ Cas : 1’énergie spécijique du régime normal amont n’est pas suffisante pour franchir la singularité :H s & J< HsC2=Hscl+h Il faut une courbe de remous pour augmenter l’énergie spécifique Hsl(y,J ; mais il n’y a pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal torrentiel amont. Un ressaut transforme y,, en Y’ni; une courbe de remous T1 de contrôle y3 tel Hsl(yJ)=HsC2 augmente la charge spécifique jusqu’à la valeur requise HsC2pour franchir la singularité ; tout ceci dans le bief 1. La singularité est franchie avec HsCz et une courbe de remous T2 de contrôle yc2 diminue la profondeur jusqu’à y& dans le bief 2. J

*

.

181

Lignes d'eau

Interprétation sur les courbes

wu Hs

/"Ys1

Hscz

Hsci

Hs

Hs2

Hsc2

HS1(yJ> Hkc2

H~ci

Ha

b

/

2

HSCl

Tableau 5-3a : Exhaussement du radier de +h. Les profondeurs y , et ~ yc2 à l'aval sont les mêmes qu'en amont ;elles sont seulement exhaussées de +h.

182

3.2 Abaissement du radier La courbe Hs(y) du canal aval est translaté de -h vers les ordonnées Hs (figure 5-2). Les profondeurs critique et normale sont les mêmes dans les 2 biefs; elles sont seulement translatées de h vers le bas dans le bief 2.

Figure 5-2 : Abaissement du radier de +h : la courbe du bief aval est translaté vers le bas de la quantité h. 1" et 2""cas :Le régime normal estfiuviai

Les 2 cas sont similaires et ils se distinguent seulement par le contrôle de la courbe F2 dans le bief 1. Le régime fluvial aval s'étend jusqu'à la singularité dans le bief 2 (puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval). le' Cas :l'énergie spéctjïque du régime normal aval est supérieure à l'énergie critique de la s e c t h amont :Hs2GyiS =HsI@,,) h >H&

-

Le contrôle y2 de la courbe de remous F2 dans le bief 1 est tel que Hs2&J =HS&,,) h=H&> calculé sur la courbe amont

-

2"""

Cas :l'énergie spécwque du régime normal aval est inférieure à C'énergie critique de la s e c t h amont :Hs2U>ns =Hs~@,,)h < HsC1

-

Le contrôle de la courbe de remous F2 dans le bief 1 est yc et une chute se produit à la singularité pour atteindre le régime normal fluvial à l'aval.

183

Lignes d'eau

Interprétation sur les courbes &(Y) Hsi

Ha

HSCI Htk2

,

Y=

iisa(y4.c

Y2

I

Yn

'Y

HSCI

Hsi

Ha

Hscl Hsu2 /

1 I I., I V ! )"l I I

l

Y2Y" Y,

+Y

Tableau 5-3b : Abaissement du radier de +h. Les profondeurs y& et yc2 a l'aval sont les mêmes qu'en amont ; elles sont seulement abaissées de +h. Q

f

.

184

3"'

cas :Le régime normal est torrentiel

Le régime torrentiel amont détend jusqu'à la singularité (puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal torrentiel amont). Une courbe de remous T3 de contrôle y2 s'établit dans le bief 2. le contrôle y2 est tel que HsI(VJ=H s ~ ( V Hk(Vj-h ~= U

4

CHANGEMENTS DE SECTION

Le canal a la même pente avant et après le changement de section. Les pertes de charge localisées seront négligées (examiner leurs importances après) Les courbes Hs(y) sont décalées en Hs et y et seront tracées en fonction des géométries. Dans les exemples qui suivent, la forme du canal ne change pas (seule la largeur b pour un canal rectangulaire ou trapézoïdal change. 4.1 Rétrécissement de la section

La courbe H s est ~ au dessus de Hs1 et elle est décalée en y vers la droite (figure 5-3).

a

Figure 5-3 : Rétrécissement de la section.

185 a

On peut distinguer les cas typiques suivants (tableau 5-4a) : le*Cas :Le régime normal estfluvial avant et après le rétrécissement

Le régime normal fluvial aval s'exerce jusqu'à la singularité (puisqu'il n'y a de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval et il n'y a pas de ressaut). Une courbe de remous F1 de contrôle y2 tel que Hsl(y2) dans le bief Ide ynl à y2.

= Hsz(yd) remontera

la ligne d'eau

2"" cas Z e régime normal estpuviai avant et torrentiel après le rétrécissement Une courbe de remous F1 de contrôle y2 tel que Hsl(y2) le bief Ide ynl à y2.

= Hsc2 remontera

la ligne d'eau dans

Une courbe de remous T2 de contrôle yc2 diminuera la profondeur d'eau de yc2 à yd dans le bief 2. 3h cas ; Le régime normal est torrentiel avant etfluvial après ie rétrécissement.

L'écoulement normal fluvial vient jusqu'à la singularité (puisqu'il n'y a de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval) dans le bief 2. Un ressaut raccorde l'écoulement normal torrentiel amont à une courbe de remous T1 dont le contrôle y2 est tel que Hsl(y2) = Hsz(yd) dans le bief 1.

4""" et SL" cas ; Le régime normal est torrentiel avant et après ie rétréciwement.

dmCas :L'énergie spécifique de l'écoulement

normal amont n'est pas sufliante pour franchir la singularitè :HsICynS < Hscl

Il faut qu'une courbe de remous augmente Hsl(Yn1) avant le franchissement ; ce qui ne peut se faire que par l'intermédiaire d'un ressaut qui fera passer y , ~ ,torrentiel à y'nl fluvial. On aura donc un ressaut suivi d'une courbe de remous T1 dont le contrôle y2 est tel que Hsi(y2)= Hsc2 dans le bief 1. Une courbe de remous T2 de contrôle yc2 diminuera la profondeur d'eau de yc2 à y a dans le bief 2. C'est le contrôle de la courbe T1 dans le bief 1 et la courbe T2 à la place de l'écoulement normal qui distingue le qemecas du le 3èmecas.

*

Cas :L'énergie spécrque de l'écoulement normal amont est suJjfibante pour franchir la singularité :HsICynl) > Hsd

.Le régime torrentiel amont s'établit jusqu'à la singularité (puisqu'il n'y a de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal torrentiel amont et il n'y a pas de ressaut).

186

Interprétation sur les courbes Hs(y)

Lignes d'eau

k

1

Hs2

Hs

'A -- Y,

h o 2

Hsol

Iiclcl

141c2

l

Ycl, ycp

H

y*

1 H62

Hs k c 2

Hscl

l

1

'Y

I

Y",I

Y"2

y2

Tableau 5-4a : Rétrécissement de la section. La courbe de la section aval (2) est au-dessus de celle de la section amont (1). d

187

Cas

Lignes d'eau

Interprétation sur les courbes Hs(y) h

1

Hs'

//

Hs h C 2

)btl

.. y"l

rcp

Yc2

Y"2 k

I

I

l

Y2

1 HB2

kb WC2 H8cl

,, '

Y",

, 1 Ycl Yc2

.Y

Y",

Tableau 5-4a (suite) : Rétrécissement de la section. La courbe de la section aval (2) est audessus de celle de la section amont (1).

188

4.2 Elargissement de la section O

9

'

La courbe &2 est en dessous de H,s~ et elle est décalée en y vers la gauche (figure 5-4). l

At

Figure 5-4 : Elargissement de la section. On peut distinguer les cas typiques suivants (tableau 5-4b) : 1" cas et 2à"e cas : Le régime normal estfluvial avant et après I'éiargissement 1" Cas iL 'énergie spécifique de 1 'écouleqenf normalfluvial aval dépasse 1 'énergie spécifique critique de l'amont: Hs&,S>HsCr

Une courbe de remous F2 dont le contrôle y2 est tel que Hsi(y2) = &2(yn~) diminue la profondeur d'eau et l'énergie spécifique dans le bief 1 pour franchir la singularité. Le niveau normal fluvial aval se conserve jusqu'à la singularité dans le bief 2 (puisqu'il n'y a pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un écoulement normal fluvial aval et il n'y aura pas de ressaut). cas : L'énergie spécàflque critique de l'amont dépasse l'énergie spécàflque de 1'écoulement normalfluvial aval :Hsz(ynz) Qmm On peut donc établir sur cette base l'algorithme de calcul suivant pour un canal de forme trapézoïdale : 1"). Calcul de y,

b+2myc 3b+5my ,

par itérations si m#O

ou

b-4hm)'+4Ohb Y,= 4hm-3b+,/(31 Om

par

résolution

de

l'équation du second degré si m#O

2"). Calcul de Qmaxpar l'équation (5-13)

3"). Calcul de Q'

4"). Si Q' < Qma, l'écoulement normal est fluvial. La profondeur normale et le débit Q sont donnés respectivement par les équations (5-9) et (5-10). 5"). Si Q' > Qma, le débit Q est égal au débit maximal donné par l'équation (5-13) et la profondeur normal par l'équation (5-14).

6") Pour tenir de la perte de charge à l'entrée, on multiplie le débit ainsi trouvé par un coefficient K variant de 0,8 à 0.9 suivant que l'entrée est à bords fiancs ou profilés. 6.2 Passage d'un canal B un r6servoir

Le débit dans le canal est connu ou peut être déduit de la méthode vue au paragraphe 6.1. ler,2"" et Pm cas :Le régime normal dans le canal estfluvial.

1" cas :La cote du plan d'eau est supérieure au niveau normal à la sortie du canal CVI'YnS Il y aura dans le canal une courbe de remous FI de contrôle y. tel que Hs(y,) - AH = y1.

218

I

d

2“e

.

cas :Le niveau du plan d’eau est compris entre le niveau critique et le niveau normal

à la sortie du canal (y.