Cours d'aerodynamique

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Aérodynamique

I Résultante et Moment I-1 Trièdres de référence L’aérodynamique est la science qui s’intéresse aux écoulements autour d’un objet. Cet objet est appelé mobile quand il se déplace dans un fluide au repos ou maquette lorsqu’il est fixe et le fluide est en mouvement. En aérodynamique, nous utilisons essentiellement deux repères : un lié au mobile ou à la maquette, l’autre lié à la vitesse de l’écoulement.

Par définition : - Trièdre lié à l’avion (Norme X02-105 décembre 49) : O est dans le plan de symétrie Ox1 dirigé vers l’avant parallèle à l’axe de référence, Oy1 perpendiculaire au plan de symétrie, dirigé à droite, Oz 1 perpendiculaire au plan Ox 1y1 vers le bas. - Trièdre lié à la vitesse : Ox direction et sens de la vitesse, , Oz perpendiculaire au plan Oxy1 vers le bas, Oy perpendiculaire perpendiculaire au plan Oxz vers la droite. C’est ce dernier trièdre que l’on utilise pour projeter la résultante des forces aérodynamiques car il sépare la composante dissipative des deux autres conservatives. En r 

effet, la puissance dissipée P par les forces aérodynamiques  R r 

r 

est le produit

r 

scalaire : P =  R.C  =  Rx.C  où C est le module de la vitesse C 

I-2 Composantes de la résultante et du moment des forces aérodynamiques

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Comme nous venons de le dire, nous utilisons le trièdre Oxy lié à la vitesse pour projeter la résultante : r 

- La traînée : Rx est la projection de  R sur Ox r 

- La dérive : Ry est la projection de  R sur Oy - La portance: Rz est la projection de  R sur Oz r 

Nous utilisons Ox 1y1z1 pour les composantes du moment : r 

- Le roulis Mx1 est la composante de M  sur Ox1 r 

- Le tangage My1 est la composante de M  sur Oy1 - Le lacet  Mz1 est la composante de M  sur Oz1 r 

L’analyse dimensionnelle montre que les composantes de la résultante peuvent 1 1 s’écrire : Ri = ρ C i SC 2 et les moments : M i = ρ Cmi SlC 2 où C i et Cmi sont des coefficients 2 2 adimensionnels. 2 2 2 2 2 3 2 2 Démonstration :  Ri ≡  MLT − , C  ≡  L T − , S ≡  L , ρ  ≡  ML− , M i ≡  ML T − −3 2 −2 2 −2 2 Donc : ρ C  S ≡  ML  L T   L ≡  MLT  ≡  Ri −3 2 2 2 −2 2 −2 Et :  ρ SlC  ≡  ML  L  LL T  ≡  ML T  ≡  M i

Ils portent le nom de la composante (exemple Cx est le coefficient de traînée) et ne dépendent que du nombre de Reynolds Re et du nombre de Mach   M. S est une surface de référence. On verra que l’on utilise soit, pour les surfaces portantes, « la surface alaire » (alaire veut dire « des ailes ») soit pour les corps dont la surface frontale est du même ordre que la surface portante (fuselages, carrosseries d’automobiles, carènes de sous marins…) le « maître couple ». C’est, comme son nom l’indique, la l a plus grande section transversale. Dans ce cours, nous nous en tiendrons au cas particulier où l’écoulement présente un plan de symétrie Oxz. Dans ce cas, il ne reste que trois composantes aérodynamiques : La traînée  Rx, la portance  Rz et le moment de tangage  My donc trois coefficients : Cx,Cz,Cm.

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II Aérodynamique des corps géométriquement simples II-1 Traînée de pression - traînée de frottement L’action de la viscosité sur l’écoulement autour d’un corps est fondamentalement différente selon que le corps présente une faible ou une forte section frontale s’opposant à l’écoulement.

Nous avons représenté sur la figure précédente deux cas extrêmes d’écoulement bidimensionnels externes : - Le cylindre est un corps qui présente une forte surface frontale à l’écoulement, à partir de Re=50 la couche limite décolle au niveau du maître couple du fait de l’action retardatrice du trop fort gradient de pression positif à cet endroit (voir cours sur la couche limite). On dit « gradient positif » lorsque la pression près de la paroi augmente dans le sens de l’écoulement. Ce décollement crée un sillage épais de dimension comparable au maître couple (la plus grande surface frontale présentée à l’écoulement). La traînée est due essentiellement à la différence de pression régnant entre le point d’arrêt et le sillage. On appelle cette traînée « traînée de pression » ou « traînée de culot ». Il est donc évident de choisir le maître couple « s » comme surface permettant de définir le Cx. (s=d.L pour le cylindre). Le Reynolds est défini, lui aussi à partir de la plus grande dimension transversale (le diamètre d pour le cylindre) :

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Re d  =

Cd 

ν 

;

Cxp =

 Rx

1 2

 ρ sC 2

Pour les autres corps présentant une surface frontale conséquente, nous utiliserons les mêmes définitions. Exemples : carrosserie d’automobile, fuselages, carènes… - Pour la plaque plane la traînée provient essentiellement des forces de cisaillement pariétales dues à l’adhérence du fluide à la paroi et à sa viscosité. La traînée est appelée « traînée de frottement » ou « traînée de profil ». La surface utilisée pour le Cx est la « surface alaire » c'est-à-dire S=l.L. Pour la plaque plane, la dimension caractéristique est la « corde »l c'est-à-dire la plus grande dimension parallèle à l’écoulement : Re x =

C .l

ν 

;

Cxf  =

 Rx

1 2

 ρ SC 2

Les variations singulières du coefficient de traînée (quelque soit la nature de la traînée) 5 6 autour du « Reynolds critique » de l’ordre de Re=4.10 à 10 , est due comme l’explique la figure à l’action du passage de la couche limite laminaire à la couche limite turbulente (du fait de l’augmentation du Re) sur : - le décollement de la CL : cas du corps non aérodynamique - le frottement de la CL : cas du corps aérodynamique (voir cours sur la couche limite). Pour les autres corps présentant une faible surface frontale par rapport à leur surface latérale nous utiliserons ces définitions. Exemples : ailes, parties d’empennage, ailerons de voitures de course… Les corps quelconques présentent des caractères plus ou moins prononcés de ces deux cas extrêmes et la traînée globale sera la somme d’une traînée de pression et d’une traînée de frottement (voir corps fuselés). Ces phénomènes autour du Re critique limitent l’intérêt des essais en soufflerie . En effet, si l’on calcule le Re d’une automobile, par exemple, à 150km/h, il est de l’ordre de 6 5 4.10 alors que pour sa maquette au 1/10 il n’est que de 4.10 donc de part et d’autre du Re -6 2 -2 critique. Pour les avions, il en va de même (rappel :  νair=15.10 m s ). (Voir souffleries haute pression). Donc en particulier le Cx de la maquette n’est pas égal à celui du mobile réel. De plus les éléments de faible dimension tels que rétroviseurs, haubans, têtes de rivets… ont des Reynolds très faibles ce qui crée un « effet de loupe » dû aux forts coefficients de traînée pour les petits Reynolds. Les maquettes doivent donc être le plus lisses possible. On rajoutera numériquement la traînée de ces détails (essayés à part en vraie grandeur) aux résultats de soufflerie de la maquette lisse. Ces phénomènes de Reynolds critique sont très influencés par la turbulence. La turbulence atmosphérique est très faible donc la turbulence des souffleries d’essai doit être la plus faible possible, ce qui est très difficile à réaliser. On caractérise d’ailleurs la turbulence des souffleries par le Reynolds critique de la sphère atteint dans la soufflerie testée : plus celui-ci est important meilleur est la soufflerie.

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II-2 La sphère et ses deux régimes On voit très bien sur les photos et dessins ci-dessous la diminution du sillage dû au 5 recollement de la couche limite pour des nombres de Reynolds supérieurs à 4.10 . Cette diminution entraîne une forte diminution de la traînée comme pour le cylindre.

er

1 régime

2

ème

régime

Coefficient de traînée de la sphère

II-3 Intérêt des corps fuselés Nous avons vu le Cx du cylindre et de la sphère : nous pouvons résumer de la manière suivante les courbes des paragraphes précédents : 5

- pour le cylindre le Rec=4.10 le Cx du premier régime est de 1,2 celui du second est de 0,5 - pour la sphère le Rec=4.10 est de 0,18

5

le Cx du premier régime est de 0,44 et celui du second

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Les plaques planes perpendiculaires à l’écoulement sont aussi intéressantes, leur Cx est par contre très peu variable avec le Re (ce qui est normal vu que le décollement de la couche limite est bien localisé): - La plaque plane carrée possède un Cx de 1,22 - La plaque plane circulaire possède un Cx de 1,12 - La plaque plane rectangulaire de forte longueur à un Cx qui croît rapidement à partir de L/l=5 de Cx=1,22 à 2 pour une longueur infinie. Les dimensions longitudinales de ces corps sont faibles ou du même ordre que les dimensions transversales. Ils présentent tous un sillage important du fait du décollement de la couche limite dû au gradient de pression positif trop important près du maître couple.

Si l’on étire les dimensions longitudinales du cylindre ou de la sphère, le décollement recule de plus en plus en aval du maître couple, la pression en aval augmente, l’épaisseur du sillage diminue donc le Cx diminue. Par contre la « surface mouillée » augmentant, la traînée de frottement augmente aussi. Il existe donc un effilement optimal tel que la somme de la traînée de pression Cxp et de celle de frottement Cxf passe par un minimum. C’est ce que montre la figure ci-dessous dans le cas de l’étirement de la sphère et du c ylindre.

Coefficient de traînée des corps fuselés : -

1 corps de révolution 2 mât torpédo

λ=L/d ou L/e ou L est la longueur du corps dans le sens de l’écoulement, d son diamètre dans le cas du corps de révolution et e est l’épaisseur dans le cas du mât torpédo Le Cx est toujours rapporté au 2 maître couple : πd   /4 pour le corps fuselé de révolution, e.l pour le mât torpédo l étant la dimension transversale du mât.

L’effilement optimal est de λ=3. Le corps le plus aérodynamique présente une proue elliptique et une poupe conique avec un raccordement progressif entre les deux. Les dimensions optimales sont présentées sur la figure ci-dessous avec une méthode de tracé de l’ellipse.

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L’influence du Re dépend de λ : la traînée évolue avec Re comme la somme de la traînée de frottement et de la traînée de pression, c'est-à-dire selon leur importance respective qui est fonction de λ. Exemple : pour le corps fuselé λ=4,6 : Cx= 0,068 pour Re=120.000 et 0,061 pour Re=360.000.

II-4 Interaction Si deux corps ou plus sont suffisamment rapprochés l’un de l’autre, ils influent mutuellement l’un sur l’autre.

Dans l’exemple ci-dessus, on trace le coefficient de traînée chacune des deux plaques circulaires identiques tenues l’une derrière l’autre dans un courant d’air normal incident et

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8 celui de l’ensemble. On voit que la traînée de la plaque arrière B devient négative : la plaque B est comme « aspirée » par la plaque A (phénomène bien connu des coureurs automobile). L’interaction n’est pas toujours bénéfique comme ici où la traînée de l’ensemble passe par un minimum pour un intervalle entre A et B de 1,5 fois leur diamètre. C’est même souvent le contraire, par exemple dans le cas de l’interaction aile fuselage ou des deux ailes d’un biplan… On ne peut donc pas ajouter sans précaution les composantes aérodynamiques de chaque corps pour obtenir les composantes de l’ensemble (ce que l’on fait en général dans les calculs d’avant projet). L’expérience et le « feeling » sont les qualités nécessaires de l’ingénieur en aérodynamique). La vérification expérimentale est indispensable, et les essais en vol sont toujours sources de surprises.

II-5 Influence du nombre de Mach Tous les corps présentent une forte augmentation du coefficient de traînée dés que le nombre de Mach approche et dépasse 1. Ceci est dû au fait que les survitesses près du maître couple engendrent l’apparition d’une onde de choc avant que le Mach global atteigne 1 . Audelà de Mach 1, l’onde de choc droite se stabilise devant le mobile et le Cx ne dépend plus du Re mais que faiblement du Mach. Il tend de manière asymptotique vers une limite pour des nombres de Mach hypersoniques. Pour des mobiles comme la sphère ou le cylindre l’augmentation rapide du Cx commence à M=0,7. On appelle ce Mach « Mach critique ».

La figure ci-contre trace l’augmentation de Cx, ∆Cx pour les corps fuselés définis au §II-13. On peut voir, comme on s’en doutait, que plus l’effilement λ est grand, plus le Mach critique tend vers 1. Les corps dont la proue est pointue traînent moins que les corps à proue elliptique. Si l’angle de pointe est suffisamment aigu, l’onde de choc droite précédant le mobile se transforme en onde de choc oblique accrochée au bord d’attaque : le Cx diminue. (voir cours de mécanique des fluides compressibles)

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III Aile Une petite expérience que chacun a déjà fait au moins une fois en tendant le bras par la vitre d’une automobile roulant à vive allure. En imposant à la main un angle par rapport à l’horizon ouvert vers l’avant, le bras entier est sustenté par le vent. On a pu rêver un instant d’être un oiseau !!! Mais non ! Redescendons un instant sur terre car l’homme est un être indigent qui a besoin de fabriquer des machines pour voler. Heureusement, il a été doté d’un cerveau lui permettant d’inventer des machines à voler pour pallier son infirmité. Commençons par essayer de comprendre, à l’aide de la figure ci-dessous, ce qui se passe physiquement lorsque nous tendons le bras par la portière. Les lignes de courant ont été choisies équidistantes loin de la plaque. Leur déformation, due à la présence de la plaque, induit les variations de vitesse indiquées. Il faut se souvenir que le débit se conserve entre ère deux lignes de courant (cours MdF 1 année).Les pressions quant à elles vérifient l’équation de Bernoulli, donc augmentent lorsque la vitesse diminue et inversement :

La différence de pression entre le dessus de la plaque et le dessous cause une force vers le haut qui « porte » la plaque. Néanmoins, comme nous le voyons en bas de la figure, la plaque plane n’est pas le meilleur moyen aérodynamique de sustentation. On peut éviter le décollement des filets d’air au bord d’attaque en cambrant la plaque :

Cette modification n’est pas non plus idéale car elle ne fonctionne que pour une incidence donnée. De plus l’absence d’épaisseur du profil ne peut pas convenir pour construire une aile qui doit supporter le moment fléchissant dû aux efforts aérodynamiques

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10 compensant le poids de l’avion multiplié par le facteur de charge. L’aile doit donc être épaisse, cambrée, posséder un bord d’attaque arrondi et un bord de fuite pointu comme sur la figure ci-dessous.

III-1 Définitions géométriques a) le profil

On appelle : - i : angle d’incidence, νA : angle d’attaque,  νF : angle de fuite - e/l est l’épaisseur relative et f/l la courbure relative ème

Au début du 20 siècle les physiciens et les mathématiciens ont trouvé des solutions analytiques aux écoulements autour de profils en inventant les fonctions holomorphes et la transformation conforme. Ces études ont conduit à des équations théoriques de profils (Joukowski, Karman, Von Mises…) qui, malgré l’intérêt de rendre possible la résolution analytique des équations de la mécanique des fluides autour d’objets de forme complexe, se sont révélés avoir de piètres caractéristiques aérodynamiques. C’est la recherche systématique en soufflerie qui a permit d’améliorer considérablement ces caractéristiques (Cxmini, Czmaxi…) et de saisir l’influence des paramètres tels que la turbulence, le Reynolds, le Mach… (Voir le § III-2-4). Les premières ème souffleries ont vu le jour en France dès le début du 20 siècle (Eiffel), mais dans les années 1920, le NACA (National Advisory Comittee for Aerodynamics ancien nom de la NASA) doté en particulier d’une soufflerie basse turbulence, haute pression (Langley) a commencé à dresser une bibliothèque complète de profils par des essais systématiques. Partant de deux bons profils de l’époque (Göttingen 398 et Clark Y) dont l’épaisseur maximum se situe à 30% de la corde, ils ont fait varier la courbure du squelette et l’épaisseur. Ces essais ont donné, d’abord, la famille des profils à 4 chiffres (Ex : NACA 4414) : Le squelette est constitué de deux arcs de parabole se rejoignant au point de flèche maxi. Le premier chiffre la cambrure relative en % (pour l’exemple : 4%). Le deuxième est la distance relative en dizaine de % de la flèche maxi au bord d’attaque (ici 40%) et le troisième et quatrième est l’épaisseur relative (ici 14%). La loi d’épaisseur est identique pour tous les profils. Donc, la connaissance du N° du profil permet sans autre donnée de tracer sa forme.

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Pour les essais suivants, l’étude a porté sur l’amélioration du coefficient de moment. Celui-ci et très influencé par la forme du squelette (voir § II-2-4) qui au lieu d’être parabolique est, pour cette nouvelle famille, une cubique. Ce qui a donné naissance à la série des profils à 5 chiffres dont fait partie le fameux NACA 23012 qui présente un coefficient de moment très faible vu sa courbure et qui, par ce fait, est très stable (voir §II-2-3). La série suivante, est la série des profils dits « laminaires » (Voir § II-2-5). On a cherché à diminuer au maximum la traînée pour améliorer les performances en croisière : série 6 : ex NACA 66 209. Des essais récents sont venus les compléter (profils NLF New Laminar Foil, GAW…) Bien des essais ont été menés tant en France (Chalais Meudon, Modane…), qu’en Allemagne (Göttingen), en Angleterre, en Italie, en URSS… Mais si je ne parle que du NACA, c’est que nulle part ailleurs nous retrouvons de telles bibliothèques de résultats systématique.

b) la forme en plan de l’aile, le dièdre et le vrillage

On appelle ϕ la flèche, δ le dièdre et γ le vrillage de l’aile. Les formes en plan les plus classiques sont elliptiques, rectangulaires ou trapézoïdales. L est l’envergure de l’aile et S la surface en plan est appelée surface alaire. L’ allongement 2 de l’aile λ est le rapport L   /S. Il vaut L/l pour une aile rectangulaire. Pour une aile trapézoïdale, l’effilement est le rapport de la corde à l’emplanture à celle du saumon. La flèche est utilisée pour les avions à nombre de Mach élevé (30 à 50°). Elle est nulle pour les faibles Mach (0 (aile stable longitudinalement, voir § suivant) dCz π 2 est que νF soit