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Chaînes de solide

CHAÎNES DE SOLIDES  Les mécanismes sont constitués de nombreuses pièces, certaines restant r estant en permanence liées à d’autres au cours du fonctionnement du mécanisme. Ces groupes de pièces sont liés à d’autres groupes de pièces par des liaisons mécaniques. On fait ainsi apparaître des chaînes de solides .

1- Rappel sur les liaisons élémentaires

Solide indéformable :

C’est un solide physique dont on peut négliger la déformation sous l’effet des actions mécaniques qui lui sont appliquées Cela implique que, quels que soient les points A et B appartenant à ce solide, la distance d istance AB reste constante dans le temps.

A B

 d AB

   = 0      dt       Rs   Rs est un repère lié au solide S

Rs

Classe d’équivalence :

C’est l’ensemble des pièces d’un même système mécanique qui sont en permanence en liaison encastrement, et dont le comportement du point de vue cinématique est équivalent au comportement de l’une d’entre elles.

Liaison élémentaire :

 z  

Modèle retenu pour traduire la relation physiquement établie entre deux solides ou  classe d’équivalence par l’intermédiaire d’une où plusieurs surfaces de contact, et autorisant un nombre défini de degrés de liberté  

TX 

(mouvements) de l’un par rapport à l’autre. Il y a au total 10 liaisons élémentaires autorisant des mouvements relatifs

 x  

 y  

RX 

Une liaison autorisant 6 degrés degr és de liberté est appelée liaison libre . Une liaison n’autorisant aucun degré de liberté est appelée liaison encastrement  ou  ou liaison fixe. Une liaison élémentaire est caractérisée par un ou plusieurs éléments géométriques associés : direction, dir ection, centre, normale, axe (voir annexe).

Torseurs associés à une liaison élémentaire : On suppose que les liaisons entre solides sont parfaites, c'est-à-dire que :    

les surfaces en contact sont géométriquement parfaites il n’y a pas de frottement

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Chaque liaison élémentaire autorise un comportement mécanique de l’un des solides par rapport à l’autre. Des torseurs traduisent ce comportement : - 

{V   V  

Le torseur cinématique :

( S  /  R )

(ou torseur des vitesses permises)

Ω }=  V   A

( S  /  R )

( A , S  /  R )

   

dont les éléments de réduction par

projection dans une base  particulière   font apparaître nc  paramètres (ou inconnues) cinématiques. Ce nombre correspond aux degrés de liberté de la liaison. - 

Le torseur « statique » :

{τ  

 R }=   M 

( S → R )

( S → R )

(ou torseur des actions transmissibles)

( A , S → R )

 A

    dont 

les éléments de réduction par

projection dans une base  particulière  font   font apparaître ns paramètres (ou inconnues) statiques. Ce nombre correspond aux degrés de liberté supprimés de la liaison. Il existe une relation particulière entre ces deux nombres : nc + ns = 6 (voir annexe).

2- Graphe de structure (ou graphe des liaisons) 

L2

Graphe où les classes d’équivalence sont représentées par des cercles et les liaisons par des arcs (ou des segments) joignant les cercles. Suivant la représentation obtenue, on pourra distinguer : -  des chaînes ouvertes continues de solides -  des chaînes fermées simples de solides -  des chaînes fermées complexes de solides. 

0

L4

L5

L7

L6

3

2

L9

L3

1

5

L8 4

Exemple de chaîne ouverte continue : Robot Ericc 3 Graphe de structure : Bras 2

Avant-bras 3

L3 2

Poi Poi ne nett 4

3

L4

L2 Pince 5 Chaise 1 Socle 0

4

L5

1

L1

0

5

Ici, les liaisons Li sont toutes des liaisons pivots

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Exemple de chaîne fermée simple: Vérin électrique Graphe de structure :

Ecrou -tige 3

L2

Arbre vis 2

3 2

L1

Bâti 1

L3 1

Exemple de chaîne fermée complexe: Positionneur 6 axes Table 3

Graphe de structure :

3

Tige de vérin 2i

21

22

23

24

25

26

11

12

13

14

15

16

0 Embase 0 Corps de vérin 2i

Liaisons 0/1i et 3/2i : liaisons sphériques Liaisons 1 /2 i i : liaisons pivot glissant

On appelle N le nombre de solides et L le nombre de liaisons intervenant dans la chaîne. On remarque que : -  pour une chaîne ouverte continue : L=N–1 -  pour une chaîne fermée simple : L=N -  pour une chaîne fermée complexe : L>N.

Nombre cyclomatique : On remarque que sur les chaînes fermées complexes, il est possible d’écrire plusieurs fermetures cinématiques. On appelle γ  γ   le nombre de cycles strictement nécessaires pour prendre en compte toutes les inconnues cinématiques. Ce nombre est est défini par la relation :    = L – N + 1   γγ  =

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3- Liaisons équivalentes Dans un graphe de structure, il est possible de remplacer un sous-ensemble de liaisons liant deux ou plusieurs pièces par une seule liaison entre deux solides, équivalente du point de vue cinématique et statique (si on se place dans da ns le cas des liaisons parfaites). On distingue deux cas : -  les liaisons en parallèle -  les liaisons en série.  Pour déterminer une liaison équivalente, on peut rechercher soit le torseur statique équivalent, soit le torseur cinématique équivalent. On parle dans le 1 er  cas de méthode statique, dans le 2ème  de méthode cinématique.

3-1 Liaisons en parallèle: Action extérieure

L1  On considère une portion de graphe liant deux solides 1 et 2 par l’intermédiaire de trois liaisons.

L2 

1

2

L3 

On cherche à déterminer la liaison équivalente, qui pourrait être une liaison élémentaire.

Action extérieure

Léq 

1

2

Méthode statique : Le solide 2 est soumis à une action extérieure

En considérant la liaison équivalente, on obtient :

autre que celles dues aux liaisons : τ  ( ex  →2 ) .

{τ   } +   {τ  

{

On

note :

{τ   } =   {τ   {τ   } =   {τ  

(1 → 2 )

2

équ

{τ   } =   {τ   } , {τ   } =  { 1

 L 2

(1 → 2 )

(1 → 2 )

3

 L 3

 L1

},

}  et

} = {0} 

( ex → 2 )

équ

Par substitution, on obtient :

{τ   } +  {τ   } + {τ   } = {τ   }. 1

2  

équ

3

. 

  (1 → 2 )   Léqu

On applique le PFS au solide 2. En considérant les trois liaisons, on obtient :

D’une manière générale, le torseur statique d’une liaison équivalente à n liaisons en parallèle

{τ   } +  { } + {τ   } + {τ  

s’exprime par :

1

2

3

} = {0}  

( ex → 2 )

n

{τ   } = ∑ {τ  }   (1) équ

i

i =1

  Méthode cinématique :

On

note :

{V     {V   V   } = V   {V     {V   V    } = V    2

équ

( 2  / 1)

 

1

 L 2

( 2  /  1 )

{V     {V   }, V   } = V   } , {V     {V   }  et V   } = V  

 Léqu

3

( 2  / 1)

( 2  / 1)

 L1

Le comportement cinématique du solide 2 par rapport à 1, est induit par la liaison L 1, mais aussi L2  et L3 et également par la liaison équivalente.

Rev sept2008

V    équ } =   {V V    1} = {V V       2} = {V V     3}   entre eux. {V

 L 3

} 

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On traduit cela par l’égalité de tous les torseurs

D’une manière générale, le torseur cinématique d’une liaison équivalente à n liaisons en parallèle s’exprime par : V    équ  équ  V

{

V    1 V

 

V    i V

 

Vn

} =  { } = ...  = { } = ... = { }   Page 4 sur 12

 

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Conclusion : Dans le cas des liaisons en parallèle, on privilégiera la méthode statique. Afin de simplifier les écritures, on aura intérêt à rechercher si les ensembles de points conservant pour chaque torseur sa forme particulière ont une intersection. On écrira alors les éléments de réduction des torseurs en un point de cette intersection. 

Hyperstatisme : Si on appelle nsi  le nombre d’inconnues statiques introduites par la liaison « i », alors le nombre total n

d’inconnues statiques mise en oeuvre par la liaison équivalente Ns vaut : Ns =

ns . i

  ∑ i =1

En appliquant la relation (1), on fait apparaître un nombre d’équations scalaires statiques indépendantes noté « rs » (ou encore Es) au plus égal à 6. On appelle « h », le degré d’hyperstatisme de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle, le nombre total d’inconnues statiques moins le nombre d’équations d’équati ons statiques indépendantes : h = Ns - rs Si h = 0, la liaison est dite isostatique. Si h > 0, la liaison est dite hyperstatique d’ordre h.

Mobilité : On appelle « m », le degré de mobilité de la liaison équivalente aux n liaisons en parallèle. Il est égal à 6 (nombre maximum de degrés de liberté) moins le nombre d’équations statiques indépendantes : m = 6 - rs  Si m = 0, la liaison équivalente est une liaison encastrement ou fixe. Si m > 0, la liaison est dite mobile à m degrés de libertés.

3-2 Liaisons en série: On considère une portion de graphe liant trois solides 1, 2 et 3 par l’intermédiaire de deux liaisons. On cherche à déterminer la liaison équivalente, qui pourrait être une liaison élémentaire.

L1 

L2 

1

Action extérieure

2

Action extérieure

Léq 

3

1 Méthode statique : Le solide 3 est soumis à une action extérieure

autre que celles dues aux liaisons :

{

}.

( ex → 3 )

On applique le PFS au solide 3 en considérant la liaison équivalente, on obtient :

{τ   } +  {τ  

On note : 1

équ

}, {τ   } =  {τ  

(1 → 2 )

  (1 → 3 )   Léqu

},

( 2 → 3)

2

et

On applique le PFS au solide 3.on obtient :

{τ   } + {τ   2

} = {0} 

( ex → 3 )

On applique le PFS au système (2+3). on obtient :

{τ   } + {τ   1

} = {0} 

( ex → 3 )

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Par substitution, ces trois relations donnent :

{τ   } = {τ   } = {τ   }. 1

. 

} = {0} 

( ex → 3 )

équ

{τ   } =   {τ   {τ   } =   {τ  

3

 

2

équ

D’une manière générale, le torseur statique d’une liaison équivalente à n liaisons en série s’exprime par : τ  équ

1

 

τ  i

τ  n

{ } = { } = ...  = { } = ... = { }   (2) Page 5 sur 12

 

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Méthode cinématique :

On

{V     {V   V   } = V  

note :

{V     {V   V   } = V   {V   V    } = V   V    2

équ

1

( 3  /  2 )  L 2

 

 

( 3  /  1 )

( 2  / 1)

 L1

} 

Léqu

},

et  

Le comportement cinématique du solide 3 par rapport à 1, est induit par la liaison L 1, mais aussi L2  et L3 et également par la liaison équivalente.

La composition de mouvements de 3 par rapport à 1 s’exprime par la composition des torseurs V    équ } = V    1} +   {V V     2}     {V cinématiques :  {V

D’une manière générale, le torseur cinématique d’une liaison équivalente à n liaisons en série s’exprime par :

n

{V V    équ  équ } =  ∑ { V    i}   V i =1

Conclusion : Dans le cas des liaisons en série, on privilégiera privilégi era la méthode cinématique. Afin de simplifier les écritures, on aura intérêt à rechercher si les ensembles de points conservant pour chaque torseur sa forme particulière ont une intersection. On écrira alors les éléments de réduction des torseurs en un point de cette intersection.

Hyperstatisme : La relation (2)  permet de déterminer toutes les composantes des torseurs {τ  i} . Par conséquent, une liaison équialente à des liasons en série est toujours isostatique.

Mobilité : On appelle nci  le nombre d’inconnues cinématiques introduites par la liaison Li. Alors le nombre total n

d’inconnues cinématiques de la liaison équivalente Nc vaut : Nc =

∑

nci 

i=1

On appelle « m », le degré de mobilité cinématique de la chaîne continue ouverte constituée des n liaisons en série. Il est égal au nombre total d’inconnues cinématiques : m = Nc   On appelle « mu », le degré de mobilité de la liaison équivalente :

mu = ncéqu.

Ces deux mobilités ne sont pas systématiquement s ystématiquement égales. En effet m peut être supérieure à mu. On définit alors la mobilité interne i nterne « mi » telle que : m = mu + mi Cette mobilité peut se déterminer en supposant les deux d eux solides terminaux de la chaîne ouverte immobile l’un par rapport à l’autre et en observant les mouvements internes possibles.

4- Chaînes fermées simples En reliant les deux solides extrêmes d’une chaîne continue ouverte, on obtient une chaîne fermée simple. Une chaîne fermée simple possède autant de solides que de liaisons. On définit ci-dessous les relations caractéristiques d’un tel type de chaîne en considérant ensuite l’exemple d’un vérin électrique.

Etude statique et hyperstatisme : Une chaîne de n solides liés par n liaisons permet d’appliquer (n-1) fois le PFS. L’un des solides étant fixe ne peut être isolé. Il résulte de ces (n-1) isolements un certain nombre d’équations statiques Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 11:36 Rev sept2008

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indépendantes. On notera « rs » le nombre d’équations statiques indépendantes et « Ns » le nombre total d’inconnues statiques. On appelle h  le degré d’hyperstatisme  d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d’inconnues statiques Ns  et le nombre de relations statiques indépendantes les liant rs :   h = Ns – rs :

Etude cinématique et mobilité Une chaîne de n solides liés par n liaisons permet d’appliquer une fois la composition de mouvement en écrivant la fermeture des torseurs cinématiques. On obtient alors un système d’au plus 6 équations cinématiques indépendantes. On notera « rc » le nombre d’équations cinématiques indépendantes i ndépendantes et « Nc » le nombre total d’inconnues cinématiques.  On appelle m le degré de mobilité d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d’inconnues cinématiques Nc  et le nombre de relations cinématiques indépendantes les liant rc:   m = Nc - rc   Cette mobilité se décompose en mobilité utile (loi E/S) E /S) « mu » et mobilité interne « mi » avec : m = mu + mi   Problème : si la détermination de rc est en général aisée, celle de rs est souvent longue et fastidieuse. D’où une certaine difficulté à déterminer d éterminer le degré d’hyperstatisme d’une chaîne fer fermée mée simple. Par analogie avec les chaînes ouvertes, on démontre que la mobilité peut aussi s’exprimer par la relation suivante : m = 6(n-1) – rs En utilisant la relation remarquable nci + nsi = 6, on peut exprimer le degré d’hyperstatisme plus simplement : n

n

On peut écrire :

Nc + Ns = 

∑ i=1

De plus : D’où :

nci +

∑

nsi = 6n

i=1

rs = 6 (n-1) – m = (Nc + Ns) - 6 - m h = Ns – rs = Ns – ( (Nc + Ns) – 6 – m )

h = m + 6 – Nc

Ce qui nous donne la relation finale suivante :

Exemple de chaîne fermée simple: Vérin électrique Graphe de structure :

L2

Ecrou -tige 3

3

2 Arbre vis 2

 y  

L1

 x  

O

 z  

Bâti 1

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L3 1

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On définit les torseurs statiques et cinématiques par leurs éléments de réductions en O.  

 X 12 x + Y 12 y + Z 12 z  r 

r 

r 

r 

{τ  

}= 

{τ  

 X   x + Y   y +  Z   z   }=   − + +  pX   x  M   y  N   z  

(1 → 2 )

r 

r 

r 

32

O

13

{V   V   

r 

( 3  /  2 )

r 

12

32

O

r 

13

13

32

r 

r 

O

α    x    }=    pα    x  r 

Y   y +  Z   z }=  L    + +  x  M   y  N   z  

(1 → 3 )

( 2  / 1)

O

r 

12

r 

{V   V   

32

r 

32

21

r 

32

(3 → 2)

{τ  

  

 M 12 y +  N 12 z O r 

α    x    }=   0  

r 

13

V    {V  

r 

}= 0   

( 3  / 1)

u  x O  31  r 

13

On considère que cet ensemble matériel est en équilibre sous l’action de deux deu x torseurs extérieurs extérieu rs :  Xe' x + Ye' y + Ze' z     Xe x + Ye y +  Ze z    et   r 

{τ  

}= 

( E  → 2 )

r 

r 

r 

{τ  



r 

r 

r 

On obtient au total 12 équations:

}= 

( E  → 3 )

 Le x +  Me y +  Ne z  O Etude statique : On applique le PFS à l’arbre vis 2 :   Puis, on applique le PFS à l’écrou tige 3 :

O

{ {

r 

r 

  Le' x +  Me' y +  Ne' z  r 

} + {τ     }  + {τ  

r 

r 

} + {τ   }− {

} = {0}  } = {0} 

( E  → 2 )

(1 → 2 )

(3 → 2)

( E  → 3 )

(1 → 3 )

( 2 → 3)

  12 + X 32 + Xe = 0  X      12 + Y 32 + Ye = 0 Y   Z    + Z  + Ze = 0   12 32

   X 32 + Xe' = 0 → ( b) −     13 − Y 32 + Ye' = 0 Y   Z    − Z  + Ze' = 0   13 32

 pX  − + L + Le' = 0    pX  + Le = 0 → ( a)    M   M      + M 32 + Me = 0 − M 32 + Me' = 0 12 13      N    12 + N 32 + Ne = 0  N    13 − N 32 + Ne' = 0   On remarque que l’équilibre de l’ensemble ne peut avoir lieu que si les composantes  Xe'  et  Le  sont liées (relation imposée par (a) et (b)).   Au total, on obtient donc 11 équations indépendantes (sur un total initia initiall de 12) liant 15 inconnues statiques. Le degré d’hyperstatisme vaut donc : h = Ns – rs = 15 – 11 = 4 32

32

13

  

  

  12 + X 32 + Xe = 0  X 

  Y    12 + Y 32 + Ye = 0  Z    12 + Z 32 + Ze = 0   Le = − pXe' −    pX 32 + Le = 0 ⇔ − X 32 + Xe' = 0 avec  Le   12 + M 32 + Me = 0  M     N    12 + N 32 + Ne = 0 Y    − Y  + Ye' = 0   13 32  Z    13 − Z 32 + Ze' = 0  pX     L  Le   32 + 13 + ' = 0  M    13 − M 32 + Me' = 0  N      13 − N 32 + Ne' = 0 Etude cinématique : On exprime la fermeture cinématique ::  

{V   V   

} + {V   V   

( 3  /  2 )

On obtient alors deux équations scalaires indépendantes :  

 

α  

} + {V   V   

( 2  /    1)

} = {0}  

(1 /  3 )

+ α   = 0

21   32  p   α  32 + u13 = 0

Le de mobilité vaut donc Nc – rcla=relation 3 – 2 =: 1h(avec 1 et= mi On degré peut retrouver la valeur de h: m en =utilisant = m +mu6 =– Nc 1 += 60)– 3 = 4. Cours Chaînes de solidesv2.doc- Créé le 08/09/2009 11:36 Rev sept2008

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5- Chaînes fermées complexes Une chaîne fermée complexe possède un nombre de liaisons supérieur au nombre de solides. L’étude d’une chaîne complexe reprend la même démarche que celle d’une chaîne simple. Mais la présence de plusieurs cycles amène à des relations prenant en compte le nombre cyclomatique. Etude statique et hyperstatisme : Une chaîne de n solides liés par l liaisons permet d’appliquer (n-1) fois le PFS. L’un des solides étant fixe ne peut être isolé. Il résulte de ces (n-1) isolements un certain nombre d’équations statiques indépendantes. Ces équations font font intervenir au total total Ns inconnues statiques. On notera « rs  » le nombre d’équations statiques indépendantes et « Ns  » le nombre total d’inconnues statiques. On appelle h  le degré d’hyperstatisme  d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d’inconnues statiques Ns  et le nombre de relations statiques indépendantes les liant rs :   h = Ns - rs Etude cinématique et mobilité: Une chaîne de n solides liés par l liaisons permet d’écrire plusieurs fermetures cinématiques, en l’occurrence γ  fermetures  fermetures On obtient alors un système d’au plus 6γ  équations  équations cinématiques indépendantes. Ces équations font font intervenir intervenir au total Nc inconnues cinématiques. cinématiques. On notera « rc » le nombre d’équations cinématiques indépendantes et « Nc » le nombre total d’inconnues cinématiques.  On appelle m le degré de mobilité d’une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d’inconnues   m =cinématiques Nc - rc   Nc  et le nombre de relations cinématiques indépendantes les liant rc: Problème : si la détermination de rc est en général aisée, celle de rs est souvent longue et fastidieuse. D’où une certaine difficulté à déterminer d éterminer le degré d’hyperstatisme d’une chaîne fer fermée mée simple. Par analogie avec les chaînes ouvertes, on démontre que la mobilité peut aussi s’exprimer par la relation suivante : m = 6(n-1) – rs En utilisant la relation remarquable nci + nsi = 6, on peut exprimer le degré d’hyperstatisme plus simplement : n

n

On peut écrire :

Nc + Ns = 

∑ i=1

De plus : D’où :

nci +

∑

nsi = 6 l 

i=1

rs = 6 (n-1) – m = 6 (l - γγ )  – m = (Nc + Ns) - 6γ     - m γ h = Ns – rs = Ns – ( (Nc + Ns) – 6γ     – m ) γ –

Ce qui nous donne la relation finale suivante :

h = m + 6 γγ     - Nc

Dans le cas d’un problème plan, cette relation devient : h = m + 3 γ     - Nc γ -

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TABLEAU DES LIAISONS

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