Cours Calcul de Structure
March 17, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Cours Calcul de Structure...
Description
CHAPITRE II : METHODES DE CALCUL 1 Méthode de la résolvante de GREEN
Déterminons
y y φ φ ≡ ,
et
Equations aux fréquences (
)
Schéma équivalent
,
en utilisant les fonctions propres d’une poutre encastrée -libre.
FF kyωmy m ≠ 0;mÿ ωmy ̅F MM ω 0JφJ J 0≠ 0 non correct pour l′exercice
1
yx ν yνλxν y νλx F ν yνλxν yν λx F ν yνλxν yνλx F φx ν y′y′νλxν y νλx F ν y′y′νλxν y νλx F ν y′y′νλxν yνλx F y yx ν yyλνν xx λ ykνyxωm ν yνxλν yy ννλxx y ν yyννxλxν yyννλxx F y yx ν λν λ ky ω m ν λν λ y ν λν λ F φν yν φνxyνx φνxyνx φνxyνx φ φx ν λν λ ky ωm ν λν λ y ν λν λ F φ φx ν φνλxν y νλx ky ωm ν φνλxν y νλx y ν φνλxν yνλx F y ν 1 kν λν xλ y ωm ν yνxλν y νλx y ν yνxλν yνλx F 1k y x x y y ν ν ν k ν λν λ y 1 ω m ν λν xλ y ν yνxλν yνλx F AAyDyy ByEy CF y y φ. 1 kν yλνν xλ y ωm ν yνxλν y νλx y 0 1k y x x y y ν ν ν k ν λν λ y 1 ω m ν λν xλ y 0 y y x y y ν ν 1 kν λν λ 1 ω m ν λν xλ kν yνxλν yνλxωm ν yνxλν yνλx 0 1k yνx A coshcoshαανx BsB sinh ανxCcosανxDsi nανx Solution propre dans le sens de
Equation aux fréquences propres (
)
On résout le système d’équations précédents.
On détermine
et
et on injecte cela dans les expressions de
On a :
et ne pouvant être nuls puisqu’il y a déplacement, on a le déterminant du système qui est nul. Donc,
Ce qui donne bien l’équation aux fréquences propres :
2
y y0L yy0L 00 ⟹ detdet 0 ⟹ 11 cocoss αLcosh αL 0 ⟹ λ αL αL y 0 0 ⟹ A C 0 y 0 0 ⟹ B D 0 ⟹yνyxBL AcoshαLcosαL AA 0coshα sicoshα⟹nhαLsi coshαLcosαL AAνxcosα coshαL coshαLnαL αLν xcoscoAs αLαLCACS c scBsisinsisihαnnhαL hαLνxsisisinnnαLαανLx 0 S s s 1 m2 A B C D 1 m2A 1CS s sc 1 CS sc 1 mA √
NB : La méthode de la résolvante de GREEN ne s’applique qu’à des systèmes forcés.
3
2 Méthode des matrices de transfert
On écrit la relation de transfert pour chaque élément.
La matrice
T
est la matrice de transfert pour chaque élément. est
(continuité entre éléments passage)
La matrice
T+ ,
≡ + , + , ⟹
est la matrice de passage. est
Pour déterminer les équations aux fréquences (fréquences propres), on utilise les conditions aux limites pour annuler les l es forces et les déplacements généralisés correspondants.
Vibrations transversales :
v φy f MF
4
Exemple 1 : Poutre libre
On a les conditions aux limites
F ≡ 0,0, M ≡ 0 F ≡ 0 M ≡ 0 ,
,
.
(Équation aux fréquences)
Exemple 2 : Poutre encastrée-guidée
On a les conditions aux limites :
φ ≡ 0,0, F ≡ 0,0, y ≡ 0 φ ≡ 0 ,
.
(Équation aux fréquences)
Exemple 3 : Poutre guidée-appui simple
On a les conditions aux limites :
y ≡ 0,0, M ≡ 0,0, φ ≡ 0 F ≡ 0 ,
.
5
(Équation aux fréquences)
3 Méthode de la souplesse dynamique
• • •
Etablir deux sous-systèmes SSI et SSII Ecrire la relation de souplesse pour chaque élément Evaluer la matrice de souplesse globale pour chaque sous-système.
Pour SSI,
v SSf f
Pour SSII, •
•
Eliminer toutes les variables qui ne se trouvent pas simultanément dans les deux soussystèmes. Appliquer les conditions de continuité entre tous les éléments. Conditions de continuité
f v f v 0 équations déquiéquilibre SSff SS ff 00 S équatS fi on 0aux fréquences
Pour déterminer l’équation aux fréquences, on cherche à obtenir un système homogène.
6
4 Méthode de raideur dynamique Le principe consiste à satisfaire une équation d’équilibre par degré de liberté indépendant ; ce qui entraîne la dimension de la matrice de raideur K équivalent au nombre de degrés de liberté indépendants.
nd 8 y 0; φ; y y; φ φ; y y; φ φ; y y; φ φ; y; φ 0
Equations d’équilibre
Elément 4
Elément 3
On a une poutre libre-libre.
Cc1 EIEIα E1 ≡ EI
Attention :
7
Elément 2
Elément 1
La matrice de raideur K est alors assemblée comme suit.
()
NB : Là où il y a intersection des matrices Equation aux fréquences :
, il y a sommation des termes.
Remarque : Un système homogène est un système non excité.
8
5 Exemple
5.1 -
Méthode de transfert
a) Transfert des éléments Poutre i
φFy T φFy M M ̅φy 10 01 00 00 ̅φy ̅MF mω0 I0ω 10 10 ̅MF
Masse M
Transfert ressort
̅MφFy 10k K01 1 01 101 ̅MφFy TR. ̅M F ̅MF kky̅φ
Notons cette matrice de transfert
On en déduit les équations d’équilibre :
Déterminons la matrice de transfert et déduisons-en la relation de continuité entre les éléments.
9
b) Transfert global
Après le transfert global, on applique les conditions aux limites.
My 00 appui φF 00 guidée
Equation aux fréquences :
5.2 -
•
Méthode de la souplesse dynamique
SSI Elément 1
o
y F φ M
Elément 2
o
10
yφ MF yφ FM y F φyφy MFMF
Elément 3
o
•
SSII
̅F ̅F ky̅ ky̅ ̅FM M̅FM Mωω MyK̅φI ωkφMyI̅φ
11
12
Condition de continuité :
vf f v 0
Donc,
S f 0 S φnd, y6, φ, y, φ, y y ⟹ F 0 yφ ̅φy ̅φy yφ ⟹⟹FM FM ωωMyIφ y ̅y ̅y y ⟹ F F ky φ φ φφ φ⟹ M⟹M 0 M Kφ
5.3 -
Méthode de raideur dynamique
Nous obtenons alors les équations homogènes :
Nous avons alors de façon matricielle :
13
Avec,
Equation aux fréquences :
≡
14
6 Exercice Soit une poutre en déplacement longitudinal.
ux A cos αx B sin αx ;α; α ωc ; c Eρ
k k.
1) 1) Utilisant les conditions de continuité et les conditions aux limites de la poutre, déterminer l’équation aux fréquences de la structure pour 2) 2) Retrouver la même réponse en utilisant la méthode de raideur. Schéma équivalent
Conditions de continuité
FF FF 00 u u u u0 A u uFL kAcA cousαLsαL kB siAn αL β F ku kβ ∂u AαAα sin αx Bα cosαx αAsi Asin αx B cosαx ∂x F ESαESαFBcosαLAsi B cosαLAsi ESαB nαLαL
Conditions aux limites de la poutre
15
nkαLESα A ESαBαBBcosαLAsi BcosαLAsi 0 nαLαL 0 FF FF 00 ⟹ kAcosαLBsi αLESα k nαL ESαcosαLk ESα sinαL 0 k cosαLESαsi ESαcosαLk sinαLαL ESα ESαk cosαLESαsinαLαL 0 kESαcosαLk k k k,k, u u; u u uu:: FF FF 00 FF BA AB uu k FF Fku 0 k F ku
Pour
on a :
Méthode de raideur 2 degrés de liberté
Equation d’équilibre par ddl
Relation de raideur par élément •
Poutre
•
Ressort
•
Ressort
Ainsi,
≡ ≡ ≡
Equation aux fréquences :
16
7 Exercice Déterminer l’équation aux fréquences
1) 2)
Par calcul Par la méthode raideur
17
CHAPITRE III : STRUCTURES SPATIALES FORMEES DE POUTRES 8 Cas général Soit un élément de poutre.
,, ,
longitudinales : Vibrations longitudinales Vibrations de torsion :
, ,,, , ,,,
Vibrations transversales dans le plan : :
Vibrations transversales dans le plan ::
On a en tout 6 ddl. Modes de vibrations découplés Relation générale de transfert
18
9 Cas particuliers des portiques plans
En vibration dans le plan
,, :
,,, ≡ ,
Relation de transfert
Pour les calculs, associer un repère local à chaque poutre. On considèrera que les poutres sont soudées entre elles. Pour notre exemple, on a :
Solution 1) Mode corps rigide (
19
⟺ ⟺ ⟹ |= = = ⟺ = = ⟺ ⟹
•
Appui – libre
Soit, •
⟺ == = ⟹ ⟺ = = ⟹ ⟺ ⟺ ⟺
libre - libre
Ainsi,
2) Relation de norme générale
Premier mode : Second mode :
(translation) (translation)
On cherche à déterminer
(rotation,
)
.
20
01 ⟹ ⟹ ⟹ 0 ⟺ √√
Donc,
On voit bien que
; le mode corps rigide de rotation est donc une droite passant
par L/2 (milieu de la poutre).
Conditions aux limites
1 2 3
Relations de passage (continuité)
Relation d’équilibre
Dans la mesure du possible, choisir des repères ayant les mêmes sens positifs de rotation.
c) Mode des basses fréquences
On parle de basses fréquences (BF) lorsque l’allongement des poutres est négligé. Cas général
21
3 ddl
Remarque :
modes≡ éé m odes s y mét r i q ues d une une structure symétrique ⟺ modes antisymétriques
d) Modes tenant compte des symétries
22
23
Relation de raideur Axes locaux
En vibration transversale , on a la matrice en rouge et en vibration longitudinale, on a la matrice en bleu. Axes de référence
10
Calcul de déformées
5.4 -
Calcul de déplacements nodaux
a) Méthode de la souplesse dynamique
⟹ ..
Après calcul, on obtient le système homogène . D’où, l’équation aux Ayant les fréquences propres, on déduit les Ayant fréquences propres est donnée par variables de en fonction d’une variable d’où à partir de la relat ion de souplesse de chaque élément, on détermine les déplacements nodaux.
Remarque : Les variables nodales des extrémités ne sont pas déterminées. Elles ne sont que valables
que pour les encastrements aux extrémités.
⟹ K
b) Méthode de la raideur dynamique
On obtient les pulsations propres et on o n injecte dans et on obtient à une variable modale près. est l’ensemble des variables modales indépendantes. Exemple :
24
0
Posons
′′ ′′ ′′ / ′′ ′′′′ / 0
det 0 / − // ⁄ ⁄ φ⁄ α indéterminé;u, u connus
Soit , une racine de (une solution de l’équation aux fréquences). En injectant dans le système précédent, on a :
Déplacements nodaux
.
5.5 -
Calcul des déplacements en tout point
Conditions aux limites Poutre 1
25
A,B ,C, D φ⁄ α . −− H ⟹ −− ⟹ −−
Ce système est non homogène. On obtient les inconnues
et
.
Posons
On a : On
Poutre 2
Poutre 2
Calcul d’un portique symétrique
26
Hypothèse : basses fréquences fréquences.
⟺
basses
1) 1) Déterminer l’équation aux fréquences par la méthode de la raideur dynamique. 2) 2) Montrer que le problème peut se résumer en un problème de modes symétriques et antisymétriques. 3) 3) Schéma équivalent
⟹
Basses fréquences :
1) Méthode des raideurs
Nombre de ddl = 3
3 équations d’équilibre
:: 00 : F a : M b bc φ0y : MM ′′ ′ ′′ φφ : MF ba bc φy ′ ′ ′ ′′
Relations de raideur
On obtient :
2)
-
Mode symétrique
27
NB : S’il y’avait allongement, on aurait
-
Mode antisymétrique
-
Cas général
φ, y φφ, yy
.
et et
Relations entre déplacements et rotations généralisées en fonction des déplacements et rotations en modes symétriques et antisymétriques
Posons
28
⟹ − −T } } −− } −− } − −
Or,
Mode antisymétrique
Mode antisymétrique
29
CHAPITRE 5 :
CALCUL DES DEPLACEMENTS, CALCUL DES STRUCTURES PAR LA METHODE DES FORCES
30
1. INTEGRALES DE MOHR Le calcul pratique des déplacements et la résolution des structures hyperstatiques font systématiquement intervenir des expressions de la forme :
Où f(x) est une fonction linéaire et où g(x) est une fonction quelconque qui est linéaire ou parabolique dans les cas courants.
Le tableau de la page suivante donne les valeurs qui correspondent aux cas courants. Sur ce tableau, les longueurs des zones hachurées sont l et les symboles О représentent les sommets de paraboles qui correspondent en fait à des cas c as de charges uniformément reparties. reparties . VALEURS DES INTEGRALES
c
c
∫
a
a
12
12 16
a b
12 16 22
c
1 2 23 23
c d
c
c
11 3 1 16 22 2 6 22 22 6 2 13 13 512 121 33 55
31
23 1 31 3
c
c
c
14 1 41 12
112 55 33 1 12121 3 12 3
CALCUL DES DEPLACEMENTS DANS LES STRUCTURES ISOSTATIQUES
Exemple 1 : Reprenons l’exemple de la structure composée de deux poutres rigidement liées entre elles (figure 1). Le tracé en pointillé donne le schéma de la déformée. Soit à calculer le déplacement horizontal f au au sommet de la branche verticale. Dans l’application du l’application du théorème des travaux virtuels, les deux systèmes considérés sont : (i). Le système déformé qui est la structure elle-même elle- même telle qu’elle a déjà été calculée. M, N, T étant les sollicitations le long de la structure, les déformations sont :
ω=
μ=-
λ=-
EI, EΩ, GΩ1 sont respectivement les rigidités de flexion, d’effort norma et d’effort tranchant des sections le long de la structure
(*)
. Nous supposerons que ces termes sont constants sur la
structure. (ii). Le système sollicité est la structure à laquelle on applique une force unité dont la ligne d’action suit la direction du déplacement recherché. Les sollicitations créées par la force unité se calculent aisément puisque la structure est isostatique. isost atique. Soient m, n, t ces sollicitations le long de la structure (figure 1).
32
2P P P
θ
2
f
1
/ 2
2
1/2
2
1/2
1
FIGURE 1 33
Le travail des forces externes ζe du système sollicité dans les déplacements du système déformé est :
ζe = 1*f= f Le travail des forces internes ζi (ou plutôt des contraintes internes du système) sollicité dans les déformations du système déformé est (voir chapitres antérieurs) :
∫ ,, ∫ ∫ ∫ ζi =
En remplaçant
,
f=
ds
par par leurs valeurs et en écrivant ζe = ζi
+
+
s
Les trois intégrales sont étendues à toute la structure. Elles sont respectivement les déformations dues aux moments : f 1, aux efforts normaux : f 2, à l’effort tranchant : tranchant : f 3. En utilisant les intégrales de Mohr pour calculer ces déplacements =
(*) I =
∬
Ω=
y2dΩ =
ℎ312
dΩ = bh
∫∬22 56
Ω1 =
= bh
Pour une section rectangulaire b*h
Pour une section rectangulaire b*h Pour une section rectangulaire b*h
34
/2 2
/2 22 1/ 2 2 1 3 12 1 113 4 3 3 12 1 Ω 12 1 Ω22 2
Remarque 1 : En prenant I = On a : ρ2 = ρ3 =
= =
+ ( )2
( )2
, Ω = bh , Ω1 = bh bh , G =
+
soit f 2 ˂ ˂ f 1 soit f 3 ˂ ˂ f 2 Donc finalement f ≈ f 1
Remarque 2 : Le calcul donne une valeur positive de f. Signifie que la direction du déplacement est la même que celle de la force unité du système sollicité. 35
Exemple 2 : Soit à calculer, dans la même structure la rotation Ɵ du nœud qui réunit les deux poutres. Le système déformé reste le même et le système sollicité est la même structure à laquelle on applique un couple égal à 1 (figure 2).
FIGURE 2 En considérant seulement le moment de flexion :
12 2
/2 22
2.4. Cas général : Les exemples donnés montrent qu’en général, la procédure du calcul d’un déplacement est la suivante : (i). Le système déformé est la structure elle-même avec les charges qui lui sont appliqués. Le long de la structure, les sollicitations calculées sont : M(s), T(s), N(s) et les déformations sont :
(s) =
, , μ = -
, λ = = -
36
(ii). Le système sollicité est la structure elle-même charge par une force (ou un couple) unité dont la ligne d’action est la direction du déplacement recherché. Dans ce système, les sollicitations sont m(s), t(s) et n(s). L’application du théorème des travaux travaux virtuels donne le déplacement recherché :
Δ=
∫
Le signe de Δ oriente le déplacement dans la direction de la force unité appliquée s’il est positif, et dans la direction opposée s’il est négatif. est négatif.
37
3. CALCUL DES STRUCTURES HYERSTATIQUES HYERSTATIQUES 3.1. Exemple 1 : Poutre avec coupure aux appuis La poutre dessinée figure 4 est un système hyperstatique de degré 2. Effectuons les deux coupures qui consistent à supprimer les deux appuis C et D. Si on remplace les appuis par les réactions d’appui X1 et X 2 relatives à C et D, on obtient un système isostatique (S) équivalent au système étudié. Le système (S) est lui-même équivalent à la combinaison des systèmes (0), (1), (2) décrits à la figure 4 selon l’équation l’éq uation :
(S) = (0) + (1)X1 +(2)X2 En considérant les déplacements verticaux δ10, δ11 et δ12 du point C dans les systèmes (0), (1) et (2) et δ20, δ21 et δ22 du point D dans les systèmes (0), (1) et (2), et en observant que les déplacements sont nuls dans le système (S), l’équation précédente appliquée à ces déplacements donne :
On calculs les déplacements δij, appliquons ce théorème des travaux virtuels et les intégrales de Mohr : sollicit é : (1). Calcul de δ10 : Système déformé : (0). Système sollicité
δ10 =
∫
ds =
+
(ρl)(l) =
38
39
sollicit é : (2). Calcul de δ20 : Système déformé : (0). Système sollicité
δ20 =
∫
+ +
ds =
(ρl)(2l) =
∫ ∫
Calcul de δ11 : Système déformé : (1). Système sollicité sollicit é : (1).
δ11 =
ds =
(2l)(2l) =
sollicit é : (2). Calcul de δ22 : Système déformé : (2). Système sollicité
δ22 =
ds =
(3l)(3l) =
Calcul de δ12 : Système déformé : (1). Système sollicité sollicit é : (2).
δ12 =
∫
ds =
Calcul de δ21 : Il est évident que δ21 = δ12 =
(2l)(7l) =
D’où le système d’équation en X1 et X2 :
Ce qui donne : X1 = ρ
X2 = - ρ
Les réactions d’appuis et les sollicitations dans le système (S) sont calculées en appliquant l’équation : l’équation : (S) = (0) + (1)X 1+ (2)X2 : Moment d’encastrement en A : A : MA = -ρl -ρl +
(2l) + ((2l)
)(3l) = -
Réaction d’appui verticale en A : A : R A = 2ρ +
(-1) + (-
)()(-1) 1) = ρ ρ
40
Moment en A : MA = -
Moment en B :
MB = ρl +
(2l) + (-
)(3l) = -
Moment en C : MC = ρl + ((-
)(l) = -
Moment en D : MD = ρl ρl D’où le diagramme des moments et l’allure de la déformée donnés figure 5.
FIGURE 5
Remarque : La matrice [ ] =
est indépendante du cas de charge étudié. Elle
s’appelle matrice de souplesse de la structure pour le système de coupures effectuées.
3.2. Exemple 2 : Poutre avec coupure totale. Nous reprenons l’exemple précédent en effectuant une coupure totale immédiatement à droite du point B. Les inconnus hyperstatiques X1 et X2 du système sont sont alors le moment et l’effort tranchant à droite du point B.
41
La figure 6 illustre dans ce cas les significations des déplacements
qui doivent considérer qui
les déplacements relatifs des deux lèvres de la coupure effectuée. Les calculs sont alors :
2 2 7
=
l)(1) +
l)(1) = -
=
l)(-l) +
l)(l) =
=
= 3*
=
= =
+ +
(l)(l) =
=
=
D’où
MA = (-2ρl) (-2ρl) + MC =
(1) + (- )(-l) = (1)
(1) + (- )l = (1)
MC =
MD =
42
Réaction d’appuis R A : RA + X1 + X2 = 0
∆
Moment au point A : MA = 2lX1 + 3lX2 = -1.8
∆
Moment au point C : MC = lX2 = 2.1
∆
RA = 1.95
FIGURE 8
43
nul. Remarque 1 : L’ensemble des réactions d’appui forme un système nul.
Remarque 2 : Les sollicitations dépendent du terme EI ce qui n’était pas le cas dans les exemples 1 et 2 : cela signifie que plus une structure est rigide, et plus elle est sensible aux tassements des appuis, ou plus généralement aux déformations imposées.
Cas général : Les exemples traités montrent que la procédure générale de résolution d’un système hyperstatique comporte les phases suivantes :
∆
(i). Le système (S) est une structure hyperstatique de degré n soumise à des charges F ou à des déplacements imposés . Une structure isostatique associée est obtenue en opérant des coupures (aux appuis ou dans les poutres). (ii). Le système (0) est la structure isostatique associée soumise aux mêmes charges que le système (S). Les inconnues hyperstatiques sont les actions Xi, i=1,n ou {X} qu’il faut appliquer au système (0) pour qu’il soit rendu équivalent au système (S). (S).
Dans ce système, les sollicitations sont m 0, n0, t0 et les déplacements qui correspondent aux lignes d’actions des actions {X} sont
, i=1,n ou { 0}.
(iii). Les systèmes (i) sont la structure isostatique associée soumise à une action unité dont la direction est celle de l’inconnue hyperstatique X i.
Dans ces systèmes les sollicitations sont mi, ni, ti et les déplacements qui correspondent aux lignes d’action d’action des actions{X} sont de souplesse de la structure
, j=1,n. Le tableau [ ] de ces déplacements est la matrice
(iv). Le système (S) est équivalent à la combinaison des systèmes (0) et (i) par l’équation générale suivante : (S)
= (0) +
∑=
(v). L’application de cette équation aux déplacements libéré par les coupures donne le système linéaire d’équations ou {X} est l’inconnue : l’inconnue :
∆
{ }={
} + [ ]{X}
{X} = [δ]-1{Δ -
}
{ } représente la matrice des déplacements imposés. L’application du théorème des travaux virtuels permet de calculer toutes les valeurs δij par par l’expression générale : générale :
∆
44
δij =
∫
ds
(vi). Une sollicitation Z en un point de la structure s tructure est donnée par :
Z = Z0 + Où Z0 est la sollicitation dans le système (0)
∑=
Zi sont les sollicitations dans les systèmes (i).
Cette méthode de résolution des structures hyperstatiques est appelée « Méthode des forces » car elle consiste à calculer des inconnus hyperstatiques qui sont des forces.
45
CALCUL DES DEPLACEMENTS DANS LES STRUCTURES HYPERSTATIQUES Soit à calculer la rotation du nœud B dans le portique du chapitre 3.6. 3.6.
Une méthode consiste à prendre comme système déformé le système lui-même et comme système sollicité le même portique chargé par un couple unité appliqué au point B (figure 14). L’application du théorème des travaux virtuels nécessite le calcul préalable des sollicitations dans le système sollicité qui est hyperstatique. Les calculs seraient exacts, mais il y’a un procédé plus simple. En effet, on peut très bien
∫ −+. .− ∫ −+.
considérer comme système sollicité un système isostatique associé. D’après la figure 15, le théorème des travaux virtuels donne : ζe =
Soit =
=
1*
ζi =
46
47
ANNEXE 1 – CAS CAS USUELS ELEMENTAIRES Les figures qui suivent concernent les cas élémentaires de la poutre bien castrée, et de la poutre encastrée à une extrémité et simplement appuyée à l’autre. l’autre. Elles donnent pour des cas de charges courants les réactions d’appui, le diagramme de l’effort tranchant et le diagramme du moment de flexion. Les calculs correspondants qui ne figurent pas sont très simples à effectuer.
48
49
View more...
Comments
