Cours Antenne ENSAM

4ème année Génie Télécommunications et Réseaux

Adnane LATIF: Docteur en Télécommunications Dept TELECOM et RESEAUX, ENSA, Marrakech

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Domaines abordés Pour comprendre les phénomènes régissant le fonctionnement des antennes ainsi que leur intégration dans un système de communication, les pré-requis sont : • des connaissances de base de l’électromagnétisme (équations de Maxwell, propagation des ondes EM...); • la bonne compréhension des principes des lignes de transmission et surtout de l’adaptation en impédance des systèmes (ondes progressives, ondes stationnaires...);

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Plan Antennes 3 Chapitres : Chapitre 1: Propagation radioélectrique Chapitre 2: Caractéristiques des antennes Chapitre 3: Différents types d’antennes

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Plan détaillé du chapitre 1 « Propagation radioélectrique »

I- PROPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES I.1-Caractéristiques d'un milieu I.2-Cas des milieux isotropes homogènes I.3-Cas des milieux conducteurs I.4-Notation complexe en régime sinusoïdal

II. L’ONDE ELECTROMAGNETIQUE EN ESPACE LIBRE II.1- Equation d’onde II.2-l’onde plane électromagnétique II.2.1 - L’onde II.2.2 – Expression des champs II.2.3 - Vitesse de phase II.2.4 – Structure des champs et Impédance d’onde II.2.5 – Vecteur de Poynting

III. POLARISATION DES ONDES PLANES III.1 – Polarisation rectiligne III.2 - Polarisation circulaire et elliptique III-3- Application

IV- GENERATION D’ ONDE V- ZONES DE RAYONNEMENT D’UNE ANTENNE VI- SOURCE ELEMENTAIRE VI-1 Potentiels électromagnétiques VI-2LATIF: dipôleCours élémentaire Adnane Antennes ENSAM

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I- PROPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES

L’onde électromagnétique est  deux champs ci formée par le couplage des E et le champ magnétique dessous, leHchamp électrique .

La propagation par ondes planes est modélisée par les équations de Maxwell. Elles s'appliquent aux vecteurs :

 H  , champ magnétique B , induction magnétique E , champ électrique  D , induction électrique   E et H sont orthogonaux et perpendiculaires à la direction de propagation . Adnane LATIF: Cours Antennes ENSAM

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I.1-Caractéristiques d'un milieu Un milieu est caractérisé par : Sa constante diélectrique ou permittivité ε (F/m) Sa perméabilité magnétique µ (H/m) Sa conductibilité σ (ohms-1 /m)

I.2-Cas des milieux isotropes homogènes Un milieu isotrope homogène est défini par les deux constant ε et µ :

ε0 =

1 10 −9 F / m 36π

µ 0 = 4π 10 −7 H / m

  D =ε E   H = µB

constante diélectrique du vide perméabilité magnétique du vide 2 ε µ c = Antennes 1 avec 0 0 Cours Adnane LATIF: ENSAM

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I.3-Cas des milieux conducteurs   La loi d’Ohm s'écrit : J = σ E  J est la densité de courant en A /m2

I.4-Notation complexe en régime sinusoïdal Dans le cas des milieux isotropes homogènes

  rotE = − jω  µ H

σ ε =ε − j ω

div ( µH ) = 0

'

σ εr = εr − j ε 0ω '

  rot H = (σ + jω ε ) E  div (ε E ) = ρ

constante diélectrique complexe constante diélectrique relative complexe

Un milieu peut être diélectrique en HF et conducteur en BF, selon la valeur de σ la fréquence f par rapport à

2πε ε

0 rAntennes Adnane LATIF: Cours ENSAM

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II. L’ONDE ELECTROMAGNETIQUE EN ESPACE LIBRE II.1- Equation d’onde L’équation d’onde (ou équation de Helmholtz) s’écrit :

  2 ∇ H = −ω0 εµH

  2 ∇ E = −ω0 εµE

2

2

Le laplacien s’écrit en coordonnées cartésiennes : 2

∇ =

∂2 dx

2

+

∂2 dy

2

+

Appliqué à chaque composante du vecteur

∂ 2 Ei dx

2

+

∂ 2 Ei dy

2

+

∂ 2 Ei dz

2

∂2 dz 2

 E

on obtient trois équations :

= −ω0 2εµEi i = x, y, z

(1.1)

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La résolution de cette équation d’onde aux dérivées partielles donne   l’expression des champs E et H . En fonction des coordonnées spatiales. Nous allons résoudre cette équation dans quelques cas particuliers, en faisant au préalable quelques simplifications.

II.2-l’onde plane électromagnétique II.2.1 - L’onde plane Une onde est dite plane lorsque les champs ne varient que dans la direction de propagation (axe Oz sur la figure).

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H

E En pratique, les ondes micro-ondes sont crées à partir d’une source qui à grande distance peut être considérée comme ponctuelle.

z

A grande distance de la source, on peut en première approximation confondre une portion d’arc sphérique et le plan tangent : dans ces conditions, l’onde plane est une bonne approximation pour représenter les ondes en espace libre Adnane LATIF: Cours Antennes ENSAM

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.

L’approximation d’onde plane s’applique bien aux situations réelles et simplifie la résolution des équations de propagation. . En supposant que l’onde se propage suivant l’axe Oz, l’approximation d’onde plane implique que toutes les dérivées partielles sont nulles dans le plan d’onde :

∂ ∂ = =0 ∂x ∂y

Calculons, en coordonnées cartésiennes, les composantes des champs dans la première équation de Maxwell (avec µ r = 1)

.

∂E y

= jω 0 µ 0 H x

∂z ∂E x = − jω 0 µ 0 H y ∂z

0 = jω 0 µ 0 H z

  rotE = − jω0 µ 0 H

(1.2) (1.3) (1.4)

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



Faisons de même avec la deuxième équation : rotH = (σ + jω0ε ) E et supposons pour le moment que l’onde se propage dans le vide ( σ = 0 et ε r = 1 ). Il reste après simplification :

∂H y ∂z

= − jω 0 ε 0 E x

(1.5)

∂H x = jω 0 ε 0 E y ∂z

(1.6)

0 = jω 0 ε 0 E z

(1.7)

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On en tire les conséquences suivantes : 1. Les composantes axiales Hz et Ez sont nulles. Les champs électrique et magnétique étant tous deux transverses, l’onde est dit « Transverse Electromagnétique » ou TEM. 2. On peut trouver deux types de solutions a) La première solution correspond à des composantes Ey/Hx liées par les relations équivalentes (1.2) et (1.6). a) La deuxième correspond à des composantes Ex/Hy liées par les relations équivalentes (1.3) et (1.5). 3. Il n’existe pas de relation mathématique entre ces deux solutions qui peuvent donc exister indépendamment l’une de l’autre. Cela signifie physiquement que deux ondes planes orthogonales de même fréquence peuvent se propager simultanément sans interférer entre elles. Adnane LATIF: Cours Antennes ENSAM

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II.2.2 – Expression des champs Déterminons les variations spatiales des champs E et H, sachant qu’ils varient sinusoïdalement dans le tempsω à 0la pulsation . Compte tenu des hypothèses simplificatrices (l’onde est plane

∂ ∂ = =0 ∂x ∂y

et transverse E z = H z = 0 ) l’équation d’onde (1.1) ne comporte plus que les termes suivants : ∂2Ex = −ω 02 µ 0 ε 0 E x (1.8) 2

∂z

∂2Ey ∂z

2

= −ω 02 µ 0 ε 0 E y

(1.9)

Ce sont les deux solutions indépendantes, correspondant à des champs Ex/Hy (relation (1.8)) ou à des champs Ey/Hx (relation (1.9)). Adnane LATIF: Cours Antennes ENSAM

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1 Traitons uniquement le second cas. En posant c = ε 0µ0 2

l’équation (1.9) s’écrit :

∂2Ey ∂z 2

2

 ω0  +  Ey = 0  c 

La solution générale de cette équation différentielle du second ordre à coefficients constants est sinusoïdale. Ecrivons là sous forme complexe :

ω0 ω0 E y ( z ) = E 0 exp(− j z ) + E1 exp( j z) c c En réintroduisant le temps dans l’expression des champs, on obtient :

z  z    E y ( z , t ) = E 0 exp  jω0 (t − ) + E1 exp  jω0 (t + ) c  c    C’est l’équation d’une onde plane qui se déplace dans la direction Oz. On trouve dans le cas général une onde « directe » d’équation : Adnane LATIF: Cours Antennes ENSAM

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z   E y ( z , t ) = E0 exp  jω0 (t − ) c   +

avec

E1 = 0

(1.10)

E0 = 0

(1.11)

Et une onde « rétrograde » d’équation :

z   E y ( z , t ) = E1 exp  jω0 (t + ) c  

avec

−

II.2.3 - Vitesse de phase En introduisant la constante de propagation :

ω0 k= c

Les relations (1.10) et (1.11) s’écrivent habituellement :

E y + ( z , t ) = E0 exp[ j (ω0t − kz )]

(1.12)

E y −( z , t ) = E1 exp[ j (ω0t + kz )]

(1.13)

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On définit la fréquence : f : ω0 = 2 π f La longueur d’onde dans l’ espace libre : Ce qui donne pour k :

2π k= λ0

Dans un diélectrique : En remplaçant la vitesse de phase

λ0 =

vϕ vϕ =

c f

ε 0 par ε 0ε r

change :

1

ε 0ε r µ0

=

c c = εr n

(1.14)

Où n, l’indice de réfraction utilisé par les opticiens, est relié à la permittivité relative du milieu par :

ε r = n2

(1.15)

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Exemple : Soit une onde plane de longueur d’onde dans le vide λ0 = 0,85 μm (domaine optique). En traversant une lame de verre d’indice n = 1,5, la longueur d’onde change :

λ 0 0.85 λ= = = 0.57 µm n 1.5

La vitesse de phase est également réduite :

c 3.10 8 vϕ = = = 2.10 8 m / s n 1.5 La fréquence f est inchangée :

c 3.10 8 f = = = = 3.53.1014 Hz λ λ0 0.85.10 −6 Adnane LATIF: Cours Antennes vϕ

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II.2.4 – Structure des champs et Impédance d’onde Pour l’onde directe Ey / Hx , le champ électrique est donné par la relation (1.12). D’autre part, les composantes des champs sont liées par l’équation (1.2) (ou l’équation (1.6)).

∂E y ∂z

= jω 0 µ 0 H x

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On en tire l’expression de Hx : +

H x ( z, t ) = − E0

ε0 exp[ j (ωt − kz )] = − H 0 exp[ j (ωt − kz )] µ0

(1.16)

A chaque instant leurs amplitudes sont dans un rapport constant :

E+ y

µ0 = − ε0 H+x Le rapport entre l’amplitude du champ E (en V/m) et du champ H (en A/m) représente l’impédance d’onde Z. On trouve dans le vide:

E0 µ0 Z0 = = H0 ε0

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Dans un diélectrique, il suffit de remplacer ε0 par ε0 εr pour obtenir :

µ0 Z0 Z = = ε 0ε r εr Adnane LATIF: Cours Antennes ENSAM

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Exemple : soit Z0 = 377 Ω (ou 120 π ). Dans un diélectrique comme le verre d’indice n = 1,5, on aura

Z=

Z0

εr

Z0 = = 251 Ω n

Adnane LATIF: Cours Antennes ENSAM 





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II.2.5 – Vecteur de Poynting La puissance qui traverse l’unité de surface du plan d’onde est donnée par le vecteur de Poynting :

[

 1  ∗ P = Re E × H 2

]

en W/m2 (1.17)

Pour l’onde Ey / Hx du paragraphe précédent, le vecteur P ne possède qu’une composante Pz :

[

1 Pz = − Re E y H x ∗ 2

]

En reprenant les expressions des champs Ey / Hx donnés par (1.12) et (1.16), on trouve : E0 H 0 1 ε 0 2 E0 2 (1.18) Pz = = E0 = 2 2 µ0 2Z 0 Adnane LATIF: Cours Antennes ENSAM

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III. POLARISATION DES ONDES PLANES III.1 – Polarisation rectiligne Nous avons montré l’existence de deux types de solutions indépendantes pour lesquelles les champs sont orientés Ey/Hx ou Ex/Hy . Par convention  la direction de polarisation faite référence à l’orientation E du vecteur . Lorsque le champ électrique reste dans le même plan au cours de la propagation (par exemple le plan yOz), l’onde est à polarisation rectiligne. Dans les systèmes de transmission utilisant une antenne, on parle de « polarisation horizontale » ou de «polarisation verticale », selon que le champ électrique est parallèle ou perpendiculaire à la surface de la terre. Dans le cas général, une direction de polarisation quelconque peut être obtenue en composant deux ondes orthogonales, polarisées respectivement suivant les directions Ox et Oy. Le champ électrique résultant étant la vecteurs somme vectorielle ) sont des unitaires. des deux Adnane LATIF: Cours Antennescomposantes orthogonales. (

  x, y

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Polarisation verticale

Polarisation horizontale

cas général

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III.2 - Polarisation circulaire et elliptique Polarisation circulaire: La polarisation est circulaire lorsque l’extrémité du vecteur résultant E décrit un cercle au cours du temps dans le plan transverse xOy. On obtient une polarisation circulaire lorsque les deux composantes d’égale amplitude, sont déphasées d’un quart de période, comme montré sur la figure suivante.

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En effet, Le champ E peut s’écrire en fonction des composantes Ex et Ey , déphasées d’un angle θ:

   E = E1 sin(ω 0 t − kz ) x + E 2 sin(ω 0 t − kz + θ ) y

(1.19)

Pour θ = ± π/2 et E1 = E2, il vient :

    E x x + E y y = E1 [ sin(ω 0 t − kz ) x ± cos(ω 0 t − kz ) y ] Prenons la somme des carrés des composantes :

[

]

E 2 x + E 2 y = E 21 sin 2 (ω 0 t − kz ) + cos 2 (ω 0 t − kz ) = E 21 (1.20) C’est l’équation d’un cercle de rayon E1 dans le plan xOy. Adnane LATIF: Cours Antennes ENSAM

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Polarisation droite : Pour θ = + π / 2, Ey est en avance sur Ex (comme sur la figure). Un observateur placé le long de l’axe Oz et qui regarde l’onde s’éloigner, verra l’extrémité du vecteur E décrire un cercle en tournant dans le sens horaire (règle du tire-bouchon). Polarisation gauche : Pour θ =-π/2, l’observateur verra E tourner dans le sens trigonométrique. Les ondes se propageant, l’extrémité du vecteur E décrit en fait une hélice dans l’espace, dont le pas peut être à droite (polarisation droite) ou à gauche.

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Deux ondes de polarisations « gauche » et « droite » n’interagissent pas entre elles, peuvent donc co-exister comme deux ondes de polarisations orthogonales. La polarisation circulaire est utilisée dans les systèmes de communication par satellites et les radars, malgré une plus grande sophistication des équipements d’émission et de réception, car elle présente des avantages: . Plus faible sensibilité aux conditions atmosphériques dans certaines bandes de fréquences qu’une onde de polarisation rectiligne. . Possibilité de distinguer une cible métallique (les avions) des nuages, car sur un métal l’onde de polarisation circulaire est réfléchie avec une inversion de la polarisation.

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Polarisation elliptique : Lorsque E1 ≠ E2 et que la différence de phase θ est quelconque, l’équation (1.19) définit une onde plane de polarisation elliptique (la polarisation circulaire étant un cas particulier de polarisation elliptique).

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III-3- Application Pour les communications terrestres, fixes ou mobiles, une polarisation linéaire verticale ou horizontale suffit. Pour des communications avec des engins spatiaux en rotation sur eux mêmes, une polarisation circulaire permet au récepteur de recevoir un signal indépendamment de la position angulaire de l'antenne d'émission. On peut générer et recevoir une polarisation circulaire au moyen de dipôles croisés alimentés avec un déphasage de 90 degrés produit par une ligne de λ/4.

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IV- GENERATION D’ ONDE Une onde EM se propageant dans l'espace peut être produite : a) par des courants, représentés vectoriellement par une densité de courant J en A/m2. C'est le cas des antennes filaires.

Dipôle élémentaire

b) par une ouverture dans un volume où règne un champ EM, par exemple l'extrémité ouverte d'un guide d'onde. C'est le principe des antennes paraboliques.

Antenne parabolique Adnane LATIF: Cours Antennes ENSAM

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V- ZONES DE RAYONNEMENT D’UNE ANTENNE On distingue pour chaque type d'antenne trois zones de rayonnement : Zone de Rayleigh : Zone de champ proche, la densité de puissance est quasi-constante Zone de Fresnel : la densité de puissance est fluctuante Zone de Fraunhoffer : Zone de champ lointain, les champs sont rayonnés sous la forme d'onde plane, la densité de puissance décroît en 1/r2. Dans ce cours, seul la zone de champ lointain (ou zone de Fraunhofer) sera considérée. Dans cette zone, on considère la distance r grande par rapport à la longueur d'onde λ. L'étude des champs proches est assez complexe et sort du cadre de ce cours. Adnane LATIF: Cours Antennes ENSAM

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VI- SOURCE ELEMENTAIRE VI-1 Potentiels électromagnétiques Pour évaluer les effets d’une source isotrope en un point P de l’espace on peut introduire les potentiels vecteur et scalaire :

z

P

θ

Puisque on peut écrire:

   B (r , t ) = ∇ ∧ A(r , t )

r o

x ϕ

()

div B = 0

Le vecteur A est donc défini à un gradient près, il existe alors une fonction V vérifiant  :

  ∂A(r , t ) E (r , t ) = −∇V (r , t ) − ∂t

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En exprimant les équations de Maxwell en fonction des potentiels, on obtient les équations d’ondes :

2 ∂2V ρ ∇ V − µε = − ε ∂t 2  2 2   ∂ A ∇ A − µε = −µ J 2 ∂t La résolution (complexe basé sur les fonctions de Green) donne pour une répartition linéique :

1 e − jβ r V= ⋅ ∫ Ql .dl 4πε L r

potentiel scalaire

 µ  e − jβ r A= ⋅ ∫ Il .dl 4π L r

potentiel vecteur

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VI-2 dipôle élémentaire On appelle dipôle élémentaire, dipôle infinitésimal ou encore doublet de Hertz une antenne dont la longueur dl est petite par rapport à la

longueur d'onde λ. Comme dl