Cour MS Ch3 Ch4 Fin

GEOMETRIE DES MASSES

Objectifs pédagogiques Déterminer le centre d’inertie d’un solide par le calcu ca lcull in inté tégr gral al  Déterminer le moment d’inertie d’un solide par 

rDaépfpinorirt àl’oupnéaraxte e ur et la matr teu tric icee d’inertie d’un soli lid de  Déterminer la matrice d’inertie d’un solide en utilisant la symétrie matérielle (planaire, de 

révo ré volu luti tion on et sp sphé héri riqu que) e)

CENTRE D’INERTIE Masse la masse d’un système matériel (S) est une grandeur physique qui est: Strictement positive : ( ) > Additive (extensive) Invariante : même valeur dans tous les référentiels Conservée pour un système fermé (solide par exemple) :

    

Système discret

     

   

     = 

Un systè système me   ( )  est constitué d’un ensemble de  points matériels de masse   (   = , … , ):

     =

Système continu

= Un système   est continu (par exemple un solide)∶  ( )

 =



    ( )

: la masse élémentaire d’un élément de matière de (

)

Les 3 densités

 

Dist Di stri ribu buti tion on Vo Volu lumi mique que de mas masse se vo volu lumi miqu quee

 

    =

Si

        =

;

Dist Di stri ribu buti tion on Su Surf rfaci aciqu quee de ma masse sse su surf rfac aciq ique ue



  

 =

 

Si

 

 =

      =   =

;

Dist Di stri ribu buti tion on Li Liné néiq ique ue de ma masse sse li linéi néiqu quee =



 =

  

 

Si

;

     

Cent Ce ntre re d’ d’in iner erti tiee (ou centre de masse)

 =

 

Système discret

Paul GULDIN (1577-1643)

Le centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système matériel ( ), est le point géométrique  tel que :



L

 

 =  =  Si est un point quelconque de l’espace, alors :

  Système continu

  =      ==  

 =

         

  

Si est un point quelconque de l’espace, alors :

 =

Méth Mé thoode dess de dé déte terrmi mina nati tioon du ce cent ntre re d’i ’ine nerrti tiee Soit (  (; ), . , matériel

) un

repère orthonormé direct. Soit  le centre d’inertie d’un système

  ⃗   ⃗  

 Système   ⃗ ⃗  discret

 =

( ) système matériel, constitué de

 

+

points matériels

et de vecteur position, dans ( ) tel que:



+

, respectivement, de masse

  ⃗   ⃗   =

+

+

