Corso di Geotecnica Sismica

nozioni introduttive

• sismologia • sistemi a un grado di libertà • rappresentazione del moto sismico

tettonica a zolle

1

struttura interna della terra D = 12700 - 12740 km W = 4.9·1024 kg

0 5

4000

1000

crosta

aumento temperatura e pressione

diminuzione viscosità

40

T (°C)

mantello 2850

nucleo

mantello superiore 650 mantello inferiore

6370 Prof. (km)

2850 km

• moti convettivi nel mantello • azioni di trascinamento • zone di distensione • zone di subduzione

• spostamenti graduali → condizioni asismiche • spostamenti repentini → eventi sismici

epicentri concentrati in prossimità delle discontinuità tra le zolle

2

discontinuità tra le zolle

epicentri concentrati in prossimità delle discontinuità tra le zolle

3

regione mediterranea

esempio di zona di distensione (dorsale)

• allontanamento margini • fuoriuscita e raffreddamento materiale magmatico • apporto di nuova crosta terrestre, spessore limitato

4

esempio di zona di subduzione

• avvicinamento margini • immersione crosta terrestre → aumento T e diminuzione viscosità → nuovo mantello • massima profondità focale = 700 km (zona di Benioff)

margini trascorrenti creati da due zone di distensione sfalsate

spostamenti relativi senza variazione di distanza

5

faglie: definizioni piano di faglia

direzione (strike) rispetto al nord

angolo di inclinazione

piano orizzontale retta di massima pendenza (dip)

azimuth: angolo fra la proiezione della retta di massima pendenza (dip) e il nord (in senso orario)

dip slip: scorrimento lungo la linea di massima pendenza

faglia diretta o normale (allontanamento)

faglia inversa (avvicinamento)

strike slip

faglia trasforme: spostamento laterale sinistro

6

origine di un evento sismico (elastic rebound) 1.

movimenti relativi di due blocchi crostali

2.

aumento degli sforzi di taglio τ lungo la potenziale superficie di rottura

3.

accumulo di energia elastica

4.

quando τ = τf in un punto (fuoco) → innesco scorrimento relativo

5.

propagazione del fenomeno e rilascio dell’energia accumulata

6.

diminuzione τ lungo la superficie di rottura e nuovo equilibrio

7.

avvio nuovo processo deformativo

zone di distensione (accrescimento) • crosta sottile → accumulo di energia scarso • temperatura ancora elevata → duttilità • allontanamento → tensioni normali basse → τf basse • terremoti di intensità modesta

τf = c' + σ' tan ϕ' zone di subduzione • crosta spessa → notevole accumulo di energia • temperatura bassa → comportamento fragile • avvicinamento → tensioni normali alte → τf elevate • terremoti di intensità elevata

7

momento sismico M0 = G · A · Δs

[F · L]

A = area superficie di rottura Δs = spostamento relativo medio (misura del lavoro compiuto dall’evento sismico)

onde in un mezzo continuo indefinito (onde di volume) - onde di compressione (p) - onde di taglio (s)

direzione di propagazione

8

individuazione epicentro

d vs ⎛ 1 1 ⎞⎟ Δt sp = t s − tp = d ⎜ − ⎜ v s vp ⎟ ⎝ ⎠ Δt sp d= ⎛ 1 1 ⎞⎟ ⎜ − ⎜ v s vp ⎟ ⎠ ⎝ tp =

d vp

ts =

misure d’intensità sismica intensità macrosismica: basata sugli effetti macroscopici di un sisma intensità terremoto ↔ danni provocati • in Italia: scala MCS (Mercalli, Cancani, Sieberg 1930) - 12 gradi di intensità a livelli crescenti di danno nei confronti di persone e strutture • elementi di classificazione: grado di danno alle costruzioni in relazione alla tipologia delle strutture • limite: misura indiretta e non quantitativa diversità non trascurabile per diversità strutturale

9

Grado

Danno

I

Grado impercettibile: rilevata soltanto da sismografi.

II

Grado molto leggero: recepito soltanto da rari soggetti nervosi oppure estremamente sensibili se in perfetta quiete e quasi sempre nei piani superiori dei caseggiati.

III

Grado leggero: anche in zone densamente abitate viene percepito come tremolio soltanto da una piccola parte degli abitanti nell'interno delle case, come nel caso del passaggio di un'automobile a velocita' elevata, da alcuni viene riconosciuto quale fenomeno sismico soltanto dopo averne ragionato.

IV

Grado moderato: delle persone che si trovano all'esterno degli abitati ben poche percepiscono il terremoto. All'interno viene identificato da molte, ma non da tutte le persone in seguito al tremare oppure a oscillazioni leggere di mobili. Cristalleria e vasellame, posti a breve distanza, urtano come al passaggio di un pesante autocarro su pavimentazione irregolare. Finestre tintinnano, porte, travi e assi scricchiolano, cricchiano i soffitti. In recipienti aperti liquidi vengono leggermente mossi. Si ha la sensazione che, in casa, un oggetto pesante (sacco, mobili) si rovesci, oppure di oscillare con tutta la sedia o il letto come su una nave con mare mosso. In generale questi movimenti non provocano paure a meno che le persone non si siano innervosite o spaventate a causa di terremoti precedenti. In rari casi i dormienti si svegliano.

V

Grado abbastanza forte: perfino nel pieno dell'attivita' giornaliere, il sisma viene percepito da numerose persone sulle strade e se sensibili anche in campo aperto. Nell'appartamento si avverte in seguito allo scuotere dell'intero edificio. Piante e rami deboli di cespugli ed alberi si muovono con evidenza, come se ci fosse un vento moderato. Oggetti pendenti entrano in oscillazione, per esempio: tendaggi, semafori e lampade pendenti, lampadari non troppo pesanti; campanelli suonano, orologi a pendolo si fermano od oscillano con maggior periodo dipendentemente dalla direzione della scossa se perpendicolare o normale al moto di oscillazione; a volte orologi a pendolo fermi possono rifunzionare; molle dell'orologio risuonano; la luce elettrica guizza o cade in seguito a movimenti della linea; quadri urtano battendo contro le pareti oppure si spostano; vengono versate piccole quantita' liquide da aperti recipienti colmi; ninnoli ed oggetti del genere possono rovesciare, eppure oggetti addossati alle pareti, arredi leggeri possono perfino essere spostati di poco; mobili ritronano; porte e imposte sbattono; i vetri delle finestre si infrangono. Quasi tutti i dormienti si svegliano. Sporadici gruppi di persone fuggono all'aperto.

VI

Grado forte: il terremoto viene notato da tutti con paura, molti rifuggono all'aperto, alcuni hanno la sensazione d'instabilita'. Liquidi si muovono fortemente; quadri, libri e cose simili cadono dalle pareti e dagli scaffali; porcellane si frantumano; suppellettili assai stabili, perfino isolati pezzi d'arredo vengono spostati se non rovesciati; campane minori in cappelle e chiese, orologi di campanili battono. Case isolate, solidamente costruite subiscono danni leggeri; spaccature nell'intonaco, caduta del rinzaffo di soffitti e di pareti. Danni piu' forti, ma non ancora perniciosi si hanno sugli edifici mal costruiti. Qualche tegola e pietra di camino cade.

VII

Grado molto forte: lesioni notevoli vengono provocate ad oggetti di arredamento anche di grande peso rovesciandoli e frantimandoli. Gradi campane rintoccano. Corsi d'acqua, stagni e laghi si agitano ed intorbidiscono a causa della melma mossa. Qua e la', consolidamenti delle sponde di sabbia e ghiaia scompaiono. Fontane variano il livello d'acqua. Danni moderati a numerosi edifici di forte struttura: piccole spaccature nei muri, cadono toppe piuttosto grandi dell'incalcinatura e dello stucco, a volte mattoni; le case vengono scoperchiate. Molti fumaioli vengono lesi da incrinature, da cadute di tegole, da fuoriuscita di pietre; camini gia' rovinati si rovesciano sopra il tetto danneggiandolo. Da torri e costruzioni alte cadono decorazioni mal fissate. Quando la case e' a pareti intelaiate, i danni all'incalcinatura e all'intelaiatura sono piu' gravi. case mal costruite oppure riattate a volte crollano.

VIII

Grado rovinoso: interi tronchi d'albero pendono inanimi, o perfino si staccano. Anche i mobili piu' pesanti vengono portati lontano dal proprio luogo d'origine e a volte rovesciati. Statue, pietre miliari, in chiese, cimiteri e parchi pubblici ruotano sul proprio piedistallo oppure si rovesciano. Solidi muri di cinta in pietra sono aperti ed atterrati. Un quarto circa delle case e' gravemente leso; alcune crollano; molte divengono inabitabili. Negli edifici ad intelaiatura. gran parte di queste cadono. Case in legno vengono schiacciate o rovesciate. Si sente spesso che campanili di chiese e di frabbriche con la loro caduta provocano purtroppo a edifici vicini spesso lesioni piu' gravi di quanto non avrebbe fatto da solo il terremoto. In pendii e terreni acquitrinosi si formano crepe. Dalle paludi si ha l'espulsione di sabbia e melma.

IX

Grado distruttivo: circa meta' di case di pietra sono distrutte; parecchie crollano; la maggior parte diviene inabitabile. Case ad intelaiatura sono divelte dalle proprie fondamenta e crollano; travi strappate dipendentemente dalle circostanze contribuiscono assai alla rovina.

X

Grado completamente distruttivo: gravissima distruzione di circa 3/4 degli edifici; la maggior parte crolla. Perfino cotruzioni solide di legno e ponti subiscono gravi lesioni, alcuni vengono distrutti. Argini e dighe, ecc,, chi piu', chi meno, sono danneggiati notevolmente, binari leggermente piegati e tubature (gas-acqua e scarichi) vengono troncate, rotte e schiacciate. Nelle strade lastricate ed asfaltate si formano crepe e per pressione sporgono larghe pieghe ondose. In terre meno dense e piu' umide si creano spaccature fino alla larghezza di piu' decimetri; si notano parallelamente ai corsi d'acqua crepature che raggiungono larghezze fino a un metro. Non soltanto scivolano pezzi di terra dai pendii, ma incerti macigni rotolano a valle. Grossi massi si staccano dagli argini dei fiumi e di coste scoscese, riviere basse subiscono spostamenti di masse sabbiose e fangose; per cui il livello del terreno non viene notevolmente variato. le fontane variano di frequente il livello dell'acqua. Dai fiumi, canali e laghi, ecc., le acque vengono gettate contro le sponde.

XI

Grado catastrofico: crollo di tutti gli edifici in muratura, soltanto costruzioni e capanne di legno ad incastro di grande elasticita' ancora reggono. Anche i piu' grandi e piu' sicuri ponti crollano a causa della caduta di pilastri di pietra o del cedimento di quelli in ferro. Binari si piegano fortementee e si spezzano. Tubature vengono spaccate e rese irreparabili. Nel terreno si manifestano vari mutamenti di notevole estensione, dipendentemente dalla natura del suolo: grandi crepe e spaccature si aprono; e soprattutto in terreni morbidi e acquitrinosi il dissesto e' considerevole sia orrizzontalmente che verticalmente. Ne segue il traboccamento di sabbia e melma con diverse manifestazioni. Sfaldamento e caduta massi sono frequenti.

XII

Grado grandemente catastrofico: non regge alcuna opera d'uomo. Lo scombussolamento del paesaggio assume aspetti grandiosi. Flussi d'acqua sotterranei in superficie subiscono i mutamenti piu' vari: si formano cascate, laghi scompaiono, fiumi deviano.

misure d’intensità sismica Magnitudo : misura strumentale (oggettiva) dell’intensità 1. magnitudo locale ML (Richter 1935): misurata dall’ampiezza A delle vibrazioni (in μm) prodotte dall’evento sismico registrata da un sismografo standard posto alla distanza di 100 km ML = log A

10

misure d’intensità sismica

2. magnitudo onde di superficie MS - (Gutemberg, Richter 1936) terremoti superficiali (prof. focale < 70 km), distanza epicentrale > 1000 km arrivano onde di superficie con periodi elevati (T≈ 20s) MS = log A + 1.66 log Δ + 2.0 • A = max spostamento del terreno in μm ⇒ indipendente dal sismografo • Δ = distanza epicentrale in gradi (a parità di A, MS aumenta con Δ)

energia rilasciata dal sisma (Gutemberg e Richter 1956) log E = 1.5 MS +11.8 (erg) Kanamori (1977)

τ

E = Δτ M0 / 2G E ≈ M0 / 2×104

Δs = M0/AG

s MW = log M0 /1.5 – 10.7

(M0 in erg)

MW = log M0 /1.5 – 6

(M0 in Joule)

magnitudo di momento sismico

11

"saturazione" delle misure di magnitudo per terremoti di forte intensità l'incremento di M non è più proporzionale all'intensità del terremoto

M

Mw

relazione energia - magnitudo log E

Mw

12

rappresentazione del moto sismico

moto armonico spostamento di un punto in funzione del tempo

u

u(t ) = A ⋅ sen(ωt + φ ) φ=0

A

t T

A = ampiezza

[L]

(m)

T = periodo

[t]

(s)

f = 1/T = frequenza

[t -1]

(Hz = 1/s)

ω = 2πf = 2π/T = pulsazione o frequenza angolare [t -1] (rad/s) φ = fase [-] (rad)

13

interpretazione geometrica: vettore di modulo A ruotante con velocità angolare ω u(t ) = A ⋅ sen(ωt )

u (t)

ωt

ciclo completo: ωT = 2π ω = 2π/T (rad/s)

u

A

velocità angolare ω

φ > 0 (anticipo)

u(t0 ) = A ⋅ sen(ωt0 + φ ) = 0 t0 = −

φ ω

t

-φ/ω -φ/ω φ < 0 (ritardo)

moto armonico u(t ) = A ⋅ sen(ωt + φ )

velocità

v (t ) = u& (t ) = ω ⋅ A ⋅ cos(ωt + φ )

accelerazione

a(t ) = u&&(t ) = −ω 2 A ⋅ sen (ωt + φ ) = −ω 2u (t )

u

spostamento

t

14

serie di Fourier una funzione periodica di periodo Tf può essere espressa come somma di armoniche di diversa ampiezza e fase ∞

u(t ) = c 0 + ∑ cn sen(ω nt + φn )

ωn =

n =1

moto armonico ampiezza c n = an + bn 2

a0 =

1 Tf

Tf

∫

0

u(t ) ⋅ dt

an =

2 Tf

Tf

∫

0

2

2π n Tf φn = arctan

fase

u(t )cosω nt ⋅ dt

bn =

2 Tf

Tf

∫

0

an bn

u(t )senω nt ⋅ dt

spettri di Fourier ∞

ampiezza c n = an + bn 2

u(t ) = c 0 + ∑ cn sen(ω nt + φn )

2

n =1

moto armonico

cn

fase

φn

spettro di Fourier delle ampiezze

ωn

ωn =

φn = arctan

an bn

spettro di Fourier delle fasi

ωn

2π n Tf

15

u

t

1

numero armoniche 0.8

ampiezza

0.6 0.4 0.2 0 0.4

0.8

1.2

1.6

2

u

f (Hz)

t

2

numero armoniche 0.8

ampiezza

0.6 0.4 0.2 0 0

1

2

3

4

f (Hz)

16

u

t

40

numero armoniche 0.8

ampiezza

0.6 0.4 0.2 0 0.4

20.4

40.4

60.4

f (Hz)

a (g)

0.4 0.2 0

-0.2 -0.4 0

4

8

12

16

20

Fourier ampl. (g)

t (s) 0.02

0.01

0.00 0

4

8

12

16

f (Hz)

17

oscillatore elementare sistema a 1 grado di libertà, soggetto a una forzante Q(t) equilibrio:

k Q(t)

m

Q(t) = Fi(t) + Fc(t) + Fk(t)

c Fk

Q(t)

Fi Fc

Fi (t ) = m ⋅ u&&(t ) Fc (t ) = c ⋅ u& (t ) Fk (t ) = k ⋅ u (t )

equazione del moto

m u&&(t ) + c u& (t ) + k u(t ) = Q(t )

moto alla base forze d’inerzia → accelerazione totale k

Fi (t ) = m ⋅ u&&t (t )

m c

smorzatore → velocità relativa

Fc (t ) = c ⋅ u&r (t )

ub(t)

molla → spostamento relativo

ut

Fk (t ) = k ⋅ ur (t )

ub ur k m c

ub ut = ub + ur

m (u&&b + u&&r ) + c u& r + k ur = 0

m u&&r + c u& r + k ur = −m u&&b forzante equivalente

18

vibrazione libera (Q(t) = 0) smorzamento assente (c = 0)

k

m u

u& 0

A

m u&& + k u = 0

1

u0 t

k u&& + u = 0 m

T0

u&& + ω 02 u = 0 u (t ) = A ⋅ sen(ω 0 t + φ )

A=

u 02

+

ω

pulsazione naturale

1 2π

k m

frequenza naturale

T0 = 2π

m k

periodo naturale

f0 =

u ω φ = arctan 0 0 u& 0

u& 02 2 0

k m

ω0 =

vibrazione libera (Q(t) = 0) smorzamento presente (c ≠ 0) m u&& + c u& + k u = 0

ξ=

u&& + 2ξω 0 u& + ω 02 u = 0 esp. neg.

c c = cc 2 k m

moto armonico

rapporto di smorzamento k

u (t ) = e −ξω t (C1 cos ω dt + C2 sen ω dt )

m

0

u

c

e −ξω T = e 0

d

−2πξ / 1−ξ

2

t

Td =

2π 2π = ωd ω0 1 − ξ 2

ωd = ω0 1 − ξ 2

19

vibrazione forzata - forzante armonica k

Q(t ) = Q0 ⋅ senω t A=

Q0 k

Q(t) m

1

c

(1 − β ) + ( 2ξβ )2 A 1 MF = = Q0 k (1 − β 2 )2 + ( 2ξβ )2 2 2

MF

6

ampiezza: amplificazione spostamenti per ξ=0 → risonanza

5 4 3

ξ 2 1

0.707

β=

0 0

1

2

fattore di amplificazione

β

ω ω0

valori massimi della risposta di un oscillatore elementare di pulsazione naturale ω0 Sd = max ur

spostamento spettrale

Sa = max u&&t

accelerazione spettrale

Sa ≈ ω02 Sd

forza nella molla → sollecitazione nella struttura Fk max = k ⋅ max ur = k ⋅ Sd

Fk max

ω2 = k ⋅ Sd 02 = m ⋅ ω02Sd ≈ m ⋅ Sa ω0

m c

20

6

a (m/s2 )

3 0 -3 -6

6

k1

k2

k3

k4

0 -3

T1

T2

T3

T4

0.6

-6

descrizione azione sismica spettro elastico di risposta

0.4

PSa (g)

a (m/s2 )

3

0.2

0 0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

T (s)

determinazione dello smorzamento: larghezza di banda MF = 3

A = Q0 k

1 (1 − β 2 )2 + (2ξβ )2

MFmax

2

MFmax 2

1

0

β1 ω β1 = 1 ≈ 1 − ξ ω0 ω β2 = 2 ≈ 1+ ξ ω0

1

ξ=

β2

β

ω 2 − ω1 ω 2 + ω1

21

determinazione dello smorzamento: ciclo d’isteresi u (t ) = u 0 sen ω t

oscillatore soggetto a una forzante armonica F (t ) = cu& (t ) + ku (t ) = cω u 0 cosω t + ku 0 sen ω t

energia elastica ku 2 2W WE = 0 → k = 2 E 2 u0

k

F

1

k u0

energia dissipata

c ω u0 u0

WD = π cω u 02 → c =

u

WD

πω u 02

valutazione rapporto di smorzamento

ξ=

c c WD ω 0 = = .... = c c 2 km 4π WE ω

parametri sintetici del moto – dominio del tempo • valori massimi istantanei amax, vmax, umax • quantità integrali intensità di Arias

Ia =

∞

π

∫ [a(t )] dt 2

2g

0

• durata bracketed (oltre 0.05 g) significativa (5-95 % di Ia) 0.12

2

0.05 g

Ia (m/s)

a (m/s2 )

1 0

-0.05 g

-1

95%

0.08

0.04

-2 0

5

10

15

t (s) Td = 4.73 s

20

25

5% 0 0

5

Te = 4.73 s

10

15

t (s)

22

parametri sintetici del moto – dominio delle frequenze

• spettro di Fourier (ordinate Ci) periodo medio (fra 0.25 e 20 Hz)

∑i Ci2 fi Tm = ∑i Ci2

1

• spettro elastico di risposta (ξ = 5%) periodo predominante Tp

23

pericolosità sismica

analisi della pericolosità sismica stima delle caratteristiche del moto sismico sulla base di: • eventi sismici pregressi • sorgenti sismogenetiche − magnitudo M − distanza D dalla faglia

1

affioramento rigido (outcrop) superficie

bedrock

moto su affioramento

modifica (RSL)

azione di progetto

leggi di attenuazione relazione fra parametri del moto (Y) e • magnitudo • distanza Ambraseys et al. (1996) Sabetta e Pugliese (1996)

parametri del moto: - ordinate spettrali 20

PSa (m/s 2)

16 12

8 4

amax

Y

0 0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

T (s)

2

legge di attenuazione di Sabetta e Pugliese (1987) ln amax,h = -1.562 + 0.306·M – ln √(r2 + 5.82) + 0.169·S1 ± 0.173 · P

(g)

• S = 0 in roccia • S = 1 in depositi alluvionali di spessore H < 20 m taratura: • 17 eventi → 190 registrazioni h, 95 registrazioni v • M = 4.6 – 6.8

legge di attenuazione di Ambraseys et al. (1996) ln Y = b1 + b2·Ms + b4·log d + bA·SA + bS·SS ± σ·P

(g)

• Y = accelerazione per ogni periodo proprio T dell'oscillatore elementare • d = √(r2 + h02) • r = distanza sorgente – sito (minima rispetto al piano di faglia) • SA, SS = 0 – 1 (in dipendenza dei valori di VS nei primi 30 m) • b1, b2, b4, h0, bA, bS, σ = f (T) taratura: • 157 eventi – Europa meridionale e Medio Oriente → 422 registrazioni • MS = 4 – 7.9 (valori predominanti ≈ 6) • profondità focali < 30 km

3

analisi deterministica 1. Identificazione e caratterizzazione delle sorgenti: geometria e magnitudo 2. Distanza sorgentesito

3. Calcolo del parametro del moto sismico (es. PGA) secondo una legge di attenuazione

Sa

4. Scelta del massimo valore del parametro tra i diversi scenari ipotizzati generabili dalle varie sorgenti

T

analisi probabilistica P [y > y]

in un intervallo di tempo t

probabilità che il parametro del moto y attinga un valore più svantaggioso di y0 ricerca del valore y del parametro del moto y per il quale la probabilità P [y > y] in t sia minore di un valore prefissato se P [y > y] è piccola, è poco probabile che y sia superato

y = f (M, D)

caratterizzazione probabilistica di magnitudo e distanza

4

analisi probabilistica

funzione di densità di probabilità (pdf) P [x1< x x1]

f

x1

x

5

analisi probabilistica

P [y > y ] =

per ciascuna sorgente

∫∫ P [y > y | m,d ]⋅ f (d ) ⋅ f D

P [y > y | m, d ]

M

(m ) dm dd

fD (d )

probabilità condizionata

pdf distanza

fM (m )

pdf magnitudo

leggi di attenuazione

analisi probabilistica ln Y = … b2·Ms + b4·log d … ± σ·P log Y

P [y > y | m, d ]

y y

μ, σ m d

log D

impiego di una legge di attenuazione per la valutazione di P

6

analisi probabilistica

P [y > y ] =

∫∫ P [y > y | m,d ]⋅ f (d ) ⋅ f D

P [y > y | m, d ]

M

(m ) dm dd

fD (d )

probabilità condizionata

pdf distanza

leggi di attenuazione

istogrammi di frequenza

fM (m )

pdf magnitudo

analisi probabilistica

distanza: probabilità uniforme in ogni cella D

ND/N

≈ fD

D

7

analisi probabilistica

P [y > y ] =

∫∫ P [y > y | m,d ]⋅ f (d ) ⋅ f D

P [y > y | m, d ]

M

(m ) dm dd

fD (d )

fM (m )

probabilità condizionata

pdf distanza

pdf magnitudo

leggi di attenuazione

istogrammi di frequenza

leggi di ricorrenza

analisi probabilistica magnitudo

λm : frequenza di superamento

num. eventi con M > m intervallo temporale

TR = 1/λm : periodo di ritorno ln λm

legge di ricorrenza di Gutemberg e Richter (1944):

α

ln λm = α - β·m β α e β → analisi di regressione di dati di sismicità regionale m

8

analisi probabilistica Probabilità =

frequenza eventi di interesse frequenza di tutti gli eventi

P [M > m, m0 < m < m1 ] =

ln λm

λ m − λ m1 1 − e −β(m −m0 ) = λ m0 − λ m1 1 − e −β(m1 −m0 )

λm0 β

λm1

fM = m0

m1 m

analisi probabilistica

P [y > y ] =

dP βe −β(m −m0 ) = dm 1 − e −β(m1 −m0 )

per ciascuna sorgente

∫∫ P[y > y | m,d ]⋅ f (d ) ⋅ f

P [y > y | m, d ]

D

M

(m ) dm dd

fD (d )

fM (m )

probabilità condizionata

pdf distanza

pdf magnitudo

leggi di attenuazione

istogrammi di frequenza

leggi di ricorrenza

9

analisi probabilistica

frequenza di superamento per tutte le sorgenti

λy =

n

Pi [y > y ] ⋅ λ i ,m ∑ i =1

0

probabilità in un intervallo di tempo t

P [N > 1] = 1 − e

(λ y t )

(modello di Poisson)

P↔y

prescrizioni normative

periodo di ritorno

P = 1− e TR =

(λ y t )

− VR ln 1 − PVR

(

intensità

prestazione

alta

anche modesta (SLU)

)

elevato (evento raro)

basso (evento frequente)

bassa

buona (SLE)

10

affioramento rigido (outcrop) superficie

la normativa fornisce la simicità di base bedrock

moto su affioramento

modifica (RSL)

azione di progetto

prescrizioni normative

vita di riferimento VR = VN × CU stati limite → probabilità di superamento PVR stati limite ultimi di esercizio

PVR (%) SLC

5

SLV

10

SLD

63

SLO

81

periodo di ritorno TR =

− VR ln 1 − PVR

(

PSa

ag F0

ag T*c T

)

moto su affioramento ag, F0, T*c

11

analisi probabilistica

Esempio: Udine SLV – VR = 50 anni – TR = 475 anni ag = 0.22 g F0 = 2.44 T*c = 0.33 s 0.6

Sa (g)

0.4

0.2

0 0

1

2

3

T (s)

riepilogo – pericolosità sismica

azioni sismiche Magnitudo Distanza sismicità di base

Risposta sismica locale studiata separatamente

analisi probabilistica probabilità evento

ammissibilità danni (prestazioni)

eventi poco intensi → probabili → danni trascurabili eventi intensi → poco probabili → danni anche rilevanti

12

opere di sostegno a gravità

opere di sostegno a gravità trasferiscono le spinte in fondazione componendole con il peso proprio azioni: spinta in condizioni di equilibrio limite attivo resistenze: carico limite fondazione

1

opere di sostegno a gravità vengono realizzate dopo l’esecuzione dello scavo possibilità di realizzare interventi di drenaggio pressioni interstiziali assenti possibilità di modificare il terrapieno terrapieno omogeneo terreni a grana grossa

blocco rigido soggetto a un’azione dinamica alla base a a0

base

ac ab

blocco ab t0

v

t

B

a0

C

v0

mab a0 ac

A

t0

ur

T tm

t

mac

ur Tlim

m·ac = Tlim

2

metodo pseudo-statico di Mononobe – Okabe spinta attiva khW ε

WE WE

θ

W θ

kvW -kvW

β δ SaE

ϕ

θ = arctan

R

α

kvg

khg

kh 1− kv

S SaE SaE We R α

αcr

metodo pseudo-statico di Mononobe – Okabe spinta attiva SaE =

1 γ ⋅ (1 − k v ) ⋅ H 2 ⋅ K aE 2

K aE = f (ϕ ′,θ , δ , β , ε )

αcr

Kae

Ka kh K aE =

kh

cos 2 (ϕ − β − θ ) ⎡ sen(ϕ + δ )sen(ϕ − ε − θ ) ⎤ cos θ cos 2 β cos(δ + β + θ )⎢1 + ⎥ cos(δ + β + θ ) cos(ε − β ) ⎦⎥ ⎣⎢

2

{tan a(tan a + cot b ) [1 + tan(δ + β + θ )cot b]}2 − tan a ⎤⎥ ⎥ ⎢ 1 + tan(δ + β + θ )(tan a + cot b ) ⎡

1

α cr = (ϕ − θ ) + arctan⎢ ⎣

⎦

a = ϕ − ε −θ b = ϕ − β −θ

3

blocco rigido soggetto a un’azione dinamica alla base e alla spinta sismica a a0

base

ac ab t0 v

Sa(ab)

blocco

t

B

ab

ab

a0

a0

C

v0

mab

Sa(ab)

mab

a0 ac A

t0

ur

T t

tm

mac

T Sa(ac)

mac

ur Tlim

m·ac = Tlim

Tlim

m·ac + S (ac)= Tlim

metodo degli spostamenti (Newmark) • valutazione dell’accelerazione critica ac= kc g (traslazione) • doppia integrazione dell’equazione del moto relativo a

a

ac

ac t

v

vr

u

sr

t

t

4

Aitken et al. (1982)

ac

5

esempio: muro di sostegno a mensola Condizioni statiche DM 88 Ka = 0.26 Sa = 53.3 kN/m W = Wm+Wt = 56.8+138.9 = 195.7 kN/m

FT = Rinterro: γ = 19 kN/m3 ϕ′ = 36° c′ = 0

W tan ϕ ′ 195.7 tan 27° = = 1.87 > 1.3 Sa 53.3

Condizioni statiche NTC: Kad = 0.331 Sa = 68 kN/m W = Wm+Wt = 56.8+138.9 = 195.7 kN/m Rd W tan ϕ d′ 195.7 tan 22.2° = = = 1.17 Ed Sad 68

Terreno in posto: Limo deb. argilloso normalmente consolidato

terreno tipo D amax = 0.34 g βm = 0.31 → kh = 0.105 kv = 0

γ = 18 kN/m3 ϕ′ = 27° c′ = 5 kPa

2 0.4 a (g)

1 kc = 0.148

0.5

0

0 0.05

0.1 kh

0.15

terremoto dell’Umbria (Castelnuovo-Assisi) su terreno deformabile amax = 0.105 g scalato a: amax = 0.34 g fattore di scala: 3.2

10

20

30

40

50

30

40

50

t (s)

0.12

0.2 v rel (m/s)

0

0

-0.4

0.08

0.04

0 0

10

0.05

20

t (s)

umax ≈ 40 mm

0.04 u rel (m)

FT

1.5

0.03 0.02 0.01 0 0

10

20

t (s)

30

40

50

6

a (g)

0.4

0

-0.4 0

5

10

0

5

10

0.1

t (s)

15

20

25

15

20

25

20

25

v rel (m/s)

0.08

terremoto dell’Umbria (registrazione di Assisi) amax = 0.15 g

0.06 0.04 0.02 0

scalato a: amax = 0.34 g fattore di scala: 2.3

0.01

umax ≈ 8 mm

0.008 u rel (m)

t (s)

0.006 0.004 0.002 0 0

5

10

15

t (s)

procedure semplificate basate sul metodo degli spostamenti Newmark (1965) 100 k = 0.5 g Franklin & Chang (1977)

v2 ur = max 2g ⋅ kc

⎛ k ⎜⎜1 − c ⎝ kmax

⎞ kmax ⎟⎟ ⎠ kc

Franklin & Chang (1977)

max

v = 0.76 m/s

10

integrazione di 169 accelerogrammi

Richards & Elms (1979) 2 v max amax

⎛a ⋅ ⎜⎜ max ⎝ ac

⎞ ⎟⎟ ⎠

4

ust (m)

u = 0.087

1

Whitman & Liao (1985) uE = 37 u95

v max

2 ⎛ 9.4 ac v max exp⎜⎜ − amax ⎝ amax

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎛ v2 a = max exp⎜⎜ 9.4⎜⎜ 0.66 − c amax a max ⎝ ⎝

0.1

Newmark (1965) Richards & Elms (1979)

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎠

T C ⋅T * = C amax = C C ⋅ SS ⋅ ST ⋅ ag 2π 2π

0.01 0.01

Whitman & Liao (1985) media 95% 0.1

kc/kmax

1

7

integrazione database accelerometrico italiano 10 1

d (m)

0.1

stiff soils

0.01 0.001 0.0001

0.35g

0.25g

1E-005 0.2

0.4

K y/K max

0.6

0.8

0.2

0.4

K y/K max

10

0.6

0.8

regressione Psup < 90%

1

d (m)

0.1 0.01 0.001 0.0001

0.15g

0.05g

1E-005 0.2

0.4

K y/K max

0.6

0.8

0.2

0.4

K y/K max

0.6

0.8

u = B ⋅e

A

kc kmax

Rampello e Callisto (2008)

spostamenti calcolati utilizzando i valori caratteristici dei parametri di resistenza γϕ' = γc' = γCu = 1 metodo degli spostamenti - valutazione del livello di danno “…la scelta dei valori limite di spostamento deve essere effettuata e opportunamente motivata dal progettista” PIANC (2001)

livello di danno

u/H (%)

I

ammissibile

< 1.5

II

riparabile

1.5 - 5

III

prossimo al collasso

5 - 10

IV

collasso

> 10

Huang et al (2009): u/H < 2 – 5% esempio precedente: u/H = 0.040 / 4.65 = 0.86 %

8

log u

equivalenza tra metodo pseudo-statico e metodo degli spostamenti

u0

β

kc/kmax

progettando con kh = kc = β·kmax e con F = 1 si otterrà (al più) u = u0 u = B ⋅e

A

kc kmax

periodo di ritorno TR =

− VR ln 1 − PVR

(

β=

kc kmax

=

1 u ln A B

intensità

prestazione

alta

anche modesta (SLU)

)

elevato (evento raro)

basso (evento frequente)

bassa

buona (SLE)

9

NTC

kh = β m ⋅

amax g

valori di βm categoria di sottosuolo

ag/g

A

B, C, D

0.2 - 04

0.31

0.31

0.1 - 0.2

0.29

0.24

≤ 0.1

0.20

0.18

valori di βm basati su un’equivalenza con il metodo degli spostamenti per muri con spostamento impedito

βm = 1 ⇒ kh = amax/g

stato limite di danno (SLD) PVR = 63 %

azione sismica meno severa

è richiesta una prestazione migliore (spostamenti modesti) • metodo degli spostamenti • procedure semplificate • metodo pseudo-statico con β = 1 → u = 0

10

verifiche opere di sostegno a gravità

N M

T

verifiche globali (GEO) verifiche locali (STR)

approcci di progetto e coefficienti parziali

appr. 1 C1

1 C2

2

azioni azioni permanenti variabili

proprietà c', ϕ' (Cu)

resistenze

1.3

1.5

1.0

1.0

1.0

1.3

1.25 (1.4)

γR

1.3

1.5

1.0

γR

γR dipende dal tipo di opera

11

verifiche opere di sostegno a gravità APPROCCIO 1 combinazione 2: A2+M2+R2 γG1 = 1.0 γQ = 1.3 γG1 = 1.0 γQ = 1.0

GEO

γϕ' = γc' =1.25 γCu = 1.4 in condizioni sismiche

γR = 1.0 combinazione 1: A1+M1+R1 STR γϕ' = γc' = γCu = 1 γG1 = 1.3 γQ = 1.5 γG1 = 1.0 γQ = 1.0

in condizioni sismiche

verifiche opere di sostegno a gravità APPROCCIO 2 combinazione A1+M1+R3 γG1 = 1.3 γQ = 1.5

γϕ' = γc' = γCu = 1.0

γG1 = 1.0 γQ = 1.0

in condizioni sismiche

γR = 1.4 carico limite γR = 1.1 scorrimento

GEO

γR non compare nelle verifiche STR

12

muri di sostegno – verifica allo scorrimento condizioni statiche (solo azioni permanenti) combinazione

γG

γϕ

γR

FT

A1-C2

1.0

1.25

1.0

1.5-1.6

A2

1.3

1.0

1.1

1.43

condizioni sismiche combinazione

γG

γϕ

γR

FT

A1-C2

1.0

1.25

1.0

1.5-1.6

A2

1.0

1.0

1.1

1.1

Luigi Callisto

esempio dimensionamento

γ = 18 kN/m3 c' = 0 - ϕ' = 35° Vs = 380 m/s

γ = 18 kN/m3 c' = 0 - ϕ' = 28° Cu = 150 kPa Vs = 220 m/s

Luigi Callisto

13

esempio dimensionamento

A1-C2

A2

Luigi Callist

a

sollecitazioni negli elementi strutturali

a0

base

ac ab t0 v

Sa(ab)

blocco

t

B

ab

ab

a0

a0

C mab

v0

Sa(ab)

mab

a0 ac A

t0

ur

T tm

t

mac

T Sa(ac)

mac

ur Tlim

m·ac = Tlim

Tlim

m·ac + S (ac)= Tlim

14

esempio: muro di sostegno a mensola ac = amax

H = 3.5 m

amax = 0.25 g

c' = 0 - ϕ' = 24°

ac (g) ur (m)

0.2

γ = 20 kN/m3 c' = 0 - ϕ' = 32°

0.1

0.6 B B 0

al crescere di B: • aumenta ac

1.5

2.0

B (m)

2.5

esempio: muro di sostegno a mensola ac = amax

H = 3.5 m

amax = 0.25 g

c' = 0 - ϕ' = 24°

ac (g) ur (m)

0.2

γ = 20 kN/m3 c' = 0 - ϕ' = 32°

0.1

0.6 B B

al crescere di B: • aumenta ac • si riducono gli spostamenti

0 1.5

2.0

B (m)

2.5

15

esempio: muro di sostegno a mensola ac = amax

H = 3.5 m

amax = 0.25 g

c' = 0 - ϕ' = 24°

0.2

120

100 0.1

80

0.08

M (kNm/m)

γ = 20 kN/m3 c' = 0 - ϕ' = 32°

ac (g) ur (m)

140

M (amax)

60

0.6 B B 0

al crescere di B: • aumenta ac • si riducono gli spostamenti • aumentano le sollecitazioni

40 1.5

• sollecitazioni nella struttura da valutare con ac (≤ a0)

1.65

1.85

2.0

2.5

B (m)

mac

Sae(ac)

• valutazione realistica di ac a) resistenza interamente mobilitata b) presenza di eventuali vincoli al piede c) reazione del terreno a valle d) resistenza di picco

a)

b)

τ

c) δ

16

Aitken et al. (1982)

verifica al ribaltamento → combinazione EQU • meccanismo poco realistico • non si mobilita la resistenza del terreno di fondazione • meccanismo fragile EQU + M2 (γϕ = γc = 1.25) carichi permanenti permanenti non strutturali variabili

favorevoli sfavorevoli favorevoli sfavorevoli favorevoli sfavorevoli

γF (γE) γG1 γG2 γG3

EQU 0.9 1.1 0.0 1.5 0.0 1.5

17

paratie

a a0

base

ac ab

ab t0

v

Sa(ab)

blocco

t

B

a0

C

Sa(ab)

mab

v0 a0 ac A

t0

ur

Rp tm

t

Sa(ac)

mac

ur Sa(ac) Rp-lim (ac)

Rp-lim (ac)

m·ac + Sa (ac)= Rp-lim

18

metodo di Mononobe – Okabe – spinta passiva khW

ε W

SpE

θ We

β

R

δ ϕ

α

θ We

kvW -kvW

θ = arctan

khg kvg

SpE

kh 1− kv

S

R

SpE

We

α

αcr

metodo di Mononobe – Okabe – spinta passiva SpE =

1 γ ⋅ (1 − k v ) ⋅ H 2 ⋅ K pE 2

K pE = f (ϕ ′,θ , δ , β , ε )

αcr

Kpe Kp

kh

kh K pE =

cos 2 (ϕ + β − θ )

⎡ sen(ϕ + δ )sen(ϕ + ε − θ ) ⎤ cos θ cos 2 β cos(δ − β + θ )⎢1 − (δ − β + θ )cos(ε − β ) ⎥⎦⎥ cos ⎣⎢ ⎡

2

{tan c (tan c + cot d ) [1 + tan(δ − β + θ )cot d ]}2 − tan c ⎤⎥ ⎢ ⎥ 1 + tan(δ − β + θ )(tan c + cot d ) 1

α cr = (θ − ϕ ) + arctan⎢ c = ϕ + ε −θ

⎣

⎦

d = ϕ + β −θ

19

soluzioni di Chang (1981), Chen & Liu (1990) (metodo dell’estremo superiore) K pE = Npγ +

2q 2c Npq + Npc γH γH

khg

θ kvg

k·g

minimizzare variando ρ e ψ

Lancellotta (2007): metodo dell’estremo inferiore ε

θ

θ

WE

WE

⎡ ⎤ cos ε cos δ (1 − k v ) ⋅ e 2ψ tan ϕ KPE = ⎢ ⋅ ⎛⎜ cos δ + sin2 ϕ − sin2 δ ⎞⎟⎥ 2 2 ⎠⎥ cos θ ⎢⎣ cos(ε − θ) − sin ϕ − sin (ε − θ) ⎝ ⎦ ⎧

⎫ ⎡ sin(ε − θ )⎤ ⎛ sin δ ⎞ ⎟⎟ + arcsin⎢ sinϕ ⎥ + δ + (ε − θ ) + 2θ ⎬ sin ϕ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎭

ψ = 0.5⎨arcsin⎜⎜ ⎩

θ = arctan

kh 1- k v

soluzione in forma chiusa

20

10

8

4

ϕ = 30°

Kph

6

confronto fra i metodi di Mononobe-Okabe,Chang e Lancellotta

- parete verticale

δ=0

2

ϕ' = 30° δ = ϕ'

0 6

Mononobe-Okabe Chang (1981) Lancellotta (2007)

- KP in direzione ortogonale alla parete

Kph

4

δ=0

2

ϕ' = 30° δ = 2/3 ϕ'

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

kh

spinta passiva cinematismo rotazionale Richards & Elms (1992)

sabbia addensata

21

prove su tavola vibrante Neelakantan et al. (1992)

22

spostamenti orizzontali

0

static

0.30

EQ1 EQ2

0.15

a_inp [g]

EQ3 EQ4

0.00

EQ5

2

-0.15

-0.30 0

100

200

300

400

500

t [s]

z [m]

100

u [mm]

80

4

60

40

20

LVDT - z=0.72m 0 0

100

200

300

400

500

6

t [s] 100

u [mm]

80

60

40

8 100

20

50

0

-50

u [mm]

LVDT - z=1.60m 0 0

100

200

300

400

500

t [s]

• modello costitutivo non lineare isteretico (FLAC) • criterio di resistenza di Mohr-Coulomb • terreno a grana grossa – ϕ’ = 35° δ = 20°

S

16 m τ (kPa)

Vs

G0

20 1

H

L

d

30 m

0 -0.02

0

0.01 0.02 0.03 0.04

γ (%)

-10

-20

bedrock

0.3

Tolmezzo

a (g)

0

Fourier ampl. (g)

-0.04

1-D soil column

10

0.02

-0.3 0.3 Assisi

0

0.01

-0.3

0.00

0

0

4

8

12

16

f (Hz)

4

8

12

16

20

t (s)

23

risultati delle analisi • mobilitazione progressiva della resistenza • incremento delle sollecitazioni • sviluppo di spostamenti permanenti σh (kPa) 200

100

0

u (m) -100

-200

3

-0.01

0.01

0.03

0

t = 4.30 s t = 4.41 s t = 4.46 s

z (m)

2

4 Kp = 6.162

6

8

u (m)

0.1

orizzontale - paratia

0.05 0

w (m)

0 0

4

8

12

16

t (s)

20

accumulo di spostamenti

-0.05

verticale - piano campagna

-0.1

0.4

0.2

def. elastica

u r (m)

0.6

0 0.01

deformata finale

≈

moto rigido 0.1

1

atto di moto rigido

10

(EI) / (EIref)

24

equivalenza con il metodo degli spostamenti integrazione del database accelerometrico italiano β = kc/kh max incertezze → inviluppo dei massimi 10

1

1

β

(m) ud(m)

0.6

0.01

0.4

0.001 0.0001

per us → 0, β → 1

0.8

0.1

0.2

0.35g

0

1E-005 0.2

0.4

kyK/ky/Kh max max

0.6

0.8

0

0.1

us (m)

0.2

0.3

us < 0.005 H

spostamento, scelto dal progettista, tollerabile senza riduzioni di resistenza

presenza di terreni a grana fine condizioni di drenaggio due schemi limite: 1. evento sismico immediatamente successivo allo scavo: analisi in termini di tensioni totali

τlim= Cu 2. sisma dopo molto tempo dall’esecuzione dello scavo: analisi in termini di tensioni efficaci

τlim = c' + [σ – u] tan ϕ'

25

metodo di Mononobe – Okabe – condizioni non drenate Sa, p =

γ *H 2 2

K u = Nuγ m

N uγ =

Ku

γ * = γ kh2 + (1 − k v )2

2Cu

γ *H

N uc

sen(α ± θ ) senα

α cr = arcsen

Nuc = m

1 senα cos α

W*

- 2Cu + γ * H senθ - 4Cu + γ * H senθ

H

θ

Sa

Sa T

N

N α

W*

T

T =

CuH senα

freq. annuale superamento λm = 1/TR

esempio – riduzione azioni per diversi periodi di ritorno SLV → P = 10 % in VR

0.01

la condizione di drenaggio impedito è transitoria – es. VR = 10 anni 0.001

legge di ricorrenza INGV per Catania http://esse1-gis.mi.ingv.it 0.0001 0.1

P = 1− e

V − R TR

1

ag (g)

P (%)

VR (anni)

TR (anni)

λm (anni-1)

ag (g)

10

50

475

0.0021

0.21

10

10

95

0.0105

0.10

26

freq. annuale superamento λm = 1/TR

esempio – riduzione azioni per diversi periodi di ritorno SLV → P = 10 % in VR

0.01

la condizione di drenaggio impedito è transitoria – es. VR = 10 anni → 35 anni 0.001

legge di ricorrenza INGV per Catania http://esse1-gis.mi.ingv.it 0.0001 0.1

P = 1− e

V − R TR

1

ag (g)

P (%)

VR (anni)

TR (anni)

λm (anni-1)

ag (g)

10

50

475

0.0021

0.21

10

35

332

0.0301

0.17

condizioni drenate EC8 effetto pressioni interstiziali analisi in termini di tensioni efficaci (Matsuzawa et al. 1984) SpE =

1 γ ′ ⋅ (1 − k v ) ⋅ H 2 ⋅ K pE + E ws + E wd 2

terreni poco permeabili k < 5·10-4 m/s “acqua vincolata”

⎛ γ ⋅ kh ⎞ ⎟⎟ ⎝ γ ′(1 − k v ) ⎠

θ = arctan⎜⎜ E wd = 0

terreni molto permeabili k > 5·10-4 m/s “acqua libera”

problemi: • condizioni non idrostatiche • terreno stratificato

⎛ γ d ⋅ kh ⎞ ⎟⎟ ⎝ γ ′(1 − k v ) ⎠

θ = arctan⎜⎜ E wd =

7 khγ w H 2 12

q( z ) =

7 khγ w h ⋅ z 8

Westergaard (1931)

27

condizioni drenate EC8 effetto pressioni interstiziali analisi in termini di tensioni efficaci (Matsuzawa et al. 1984) SpE =

1 γ ′ ⋅ (1 − k v ) ⋅ H 2 ⋅ K pE + E ws + E wd 2

⎛ γ ⋅ kh ⎞ ⎟⎟ ⎝ γ ′(1 − k v ) ⎠

θ = arctan⎜⎜

terreni poco permeabili k < 5·10-4 m/s “acqua vincolata”

E wd = 0 terreni molto permeabili k > 5·10-4 m/s “acqua libera”

problemi: • condizioni non idrostatiche • terreno stratificato

⎛ γ d ⋅ kh ⎞ ⎟⎟ ⎝ γ ′(1 − k v ) ⎠

θ = arctan⎜⎜ E wd =

7 khγ w H 2 12

q( z ) =

7 khγ w h ⋅ z 8

Westergaard (1931)

effetto pressioni interstiziali θ

θ σ'x

γ τzx

θ

σ'x

γe

τzx

kh γ

γe

z

z

γe ζ cosθ ζ

τ

tan θ ′ = (c)

γ ⋅z γ ⋅z −u

⋅ tan θ =

σv ⋅ tan θ σ v′

u0

' / F σpE

' σaE

u0

ϕ' θ'

σa,p = (σv – u) · Ka,pE (cos δ) + u

θ

M'

M σ' u

f(θ')

σ σ, σ'

28

terreni stratificati in analogia con le condizioni statiche

σa,p = (σv – u) · Ka,pE + u considerando le componenti normali alla paratia

u0

' / F σpE

' σaE

u0

asincronia accelerazione costante nello spazio: vs → ∞, moto sincrono a (z,t)

a (z,t)

H ag S

S

λ

all’aumentare della deformabilità: λ =vs/f diminuisce → moto asincrono → S diminuisce

29

asincronia metodo di Steedman & Zeng (1990) 0.6

kh = 0.35

dQh H

Qh

kh = 0.25

δ

0.4

ϕ'

S ae

kh = 0.15

KaE

a (z,t)

W

VS

R'

α

0.2

SaE =

ϕ' = 33° δ = ϕ'/3 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 γ ⋅ H 2 ⋅ K aE 2

1

H/(TVs) = H/λ

asincronia estensione del metodo di Steedman & Zeng (1990) definizione di un’accelerazione pseudostatica equivalente kh eq = α · kh max da utilizzare nel metodo di M.O.

α = kheq

/ khmax

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

0.4

0.8

H/λ

1.2

1.6

α dipende solo da H/λ

30

asincronia applicazione a eventi sismici italiani e categorie di sottosuolo NTC 1.2 1.0

0.8

0.8

0.6

0.6

α

1

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

0.4

0.8

1.2

sottosuolo di tipo A B

C

D

0.0 0

H/λ

10

20

H (m)

30

40

50

per spinta passiva: α = 1

amax = S·ag = SS·ST·ag

ag accel. max affioramento rigido SS amplificazione stratigrafica ST amplificazione topografica

kh = α ⋅ β ⋅

amax g

α → variabilità spaziale del moto (asincronia) β → prestazioni (spostamenti)

31

paratie

verifiche

approcci di progetto e coefficienti parziali

appr. 1 C1

1 C2

2

azioni azioni permanenti variabili

proprietà c', ϕ' (Cu)

resistenze

1.3

1.5

1.0

1.0

1.0

1.3

1.25 (1.4)

γR

1.3

1.5

1.0

γR

32

verifiche opere di sostegno flessibili solo APPROCCIO 1

combinazione 2: A2+M2+R2 γG1 = 1.0 γQ = 1.3 γG1 = 1.0 γQ = 1.0

GEO

γϕ' = γc' =1.25 γCu = 1.4 in condizioni sismiche

γR = 1.0

verifiche nei confronti degli Stati Limite Ultimi (SLU) effetto delle azioni ⎡ ⎤ X Ed = E ⎢γ F ⋅ Fk ; k ; ad ⎥ γM ⎣ ⎦

E d ≤ Rd

resistenza del sistema Rd =

⎡ ⎤ X R ⎢γ F ⋅ Fk ; k ; ad ⎥ γR ⎣ γM ⎦ 1

⎡ X ⎤ Ed = γ E ⋅ E ⎢Fk ; k ; ad ⎥ ⎣ γM ⎦

33

verifiche opere di sostegno flessibili solo APPROCCIO 1 combinazione 1: A1+M1+R1 γG1 = 1.3 γQ = 1.5

STR

γϕ' = γc' = γCu = 1

γG1 e γQ

applicati direttamente alle sollecitazioni e alle reazioni degli ancoraggi γG1 = 1.0 γQ = 1.0 in condizioni sismiche

utilizzare la reazione degli ancoraggi determinata da questa combinazione per le verifiche

verifiche ancoraggi valutazione resistenze caratteristiche a) da prove di carico su ancoraggi di prova b) con metodi analitici o con relazioni empiriche con prove in sito ⎧R R ⎫ Rk = Min ⎨ media , min ⎬ ξ2 ⎭ ⎩ ξ1

ξ1, ξ1 = f(numero prove di carico/verticali d’indagine)

34

verifiche ancoraggi A1+M1+R3 γG1 = 1.3 γQ = 1.5 γG1 = 1.0 γQ = 1.0

in condizioni sismiche

resistenze caratteristiche coefficienti R3 temporanei permanenti

γR = 1.1 γR = 1.2

ancoraggi - criteri costruttivi LE

aumento di αcr → allontanamento del bulbo LE = LS (1+1.5·amax/g)

ancoraggi molto inclinati • asincronicità • concentrazione sollecitazioni

35

esempio: dimensionamento di una paratia ancorata Sabbia mediamente addensata γ = 19 kN/m3 c' = 0 - ϕ' = 34° Vs = 420 m/s

Limo deb. ariglloso γ = 18 kN/m3

c' = 8 kPa - ϕ' = 28° Vs = 75 √z (m/s)

30 4 + 420

Stato limite SLV SLD

30

PVR (%) 10 63

= 294 m/s

∫ 75 4

categoria C

dz z

VR (anni) 50 50

TR (anni) 475 50

ag (g) 0.16 0.07

F0

SS

2.58 2.70

1.45 1.59

amax (g) 0.236 0.110

umax (m) 0.025 0.005

β

kh

0.577 0.794 0.087

0.136 0.087

1 0.8 0.6

β

Vs30 =

0.4 0.2 0 0

0.1

us (m)

0.2

0.3

36

Paratia ANCORATA

φ'k

γ

Terreni sabbie

1

argille

(kN/m3) 19

2

γϕ

(°) 34 28.4

18

punto 1 1 1 1 2 2

φ'd

28

1.284

1.250

strato

strato

GEO

punto 2F 2D

z 4.5 8.5

δ (°)

0.40

δ 18.9

rad 0.33

15.4

0.27

sovraccarico γQ γ (kN/m3) 19 19 19 19 18 18

z (m) 0.0 3.0 3.0 4.0 4.0 8.5

A B B C C P

23

φ'd rad 0.49

σv u (kPa) (kPa) 0.0 6.5 63.5 0.0 63.5 0.0 82.5 10.0 82.5 10.0 163.5 47.1 σv 0.0 72.0

γ 18 18

VALUTAZIONE AZIONE SISMICA

SL SLU SLD

u 0.0 47.1

c'k

c'd

(kPa)

(kPa) 0

0

8

6.4

altezza di scavo: dimens paratia

4.5 m 8.5 m

d a prof. sup. piez.

4.0 m 1.5 3.0 m

Δh

1.5 m

5.0 kPa 1.3 σ'v

σv/σ'v

(kPa) 6.5 63.5 63.5 72.5 72.5 116.4 σ'v 0.0 24.9

θ'

σ'ha

Ka

1.0 1.0 1.0 1.1 1.1 1.4

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

σv/σ'v 1.0 2.9

θ' 0.000 0.000

teta-p L 0.506 0.506

0.300 0.300 0.300 0.300 0.375 0.375

(kPa) 1.9 19.0 19.0 21.7 19.4 35.9

Kp 3.051 3.051

σ'hp* 22.4 76.1

amax umax beta kh khmax teta kc 0.236 0.025 0.577 0.136 0.000 0.000 0.110 0.005 0.794 0.087 0.136

σha (kPa) 1.9 19.0 19.0 31.7 29.4 82.9

risultanti (kN/m)

braccio m

31.48

0.41

25.39

2.04

51.84

252.63

5.11

1290.35

σhp* risultanti 22.4 123.2 291.05

braccio 5.46

M rib 0.003 M stab

u 0.204

M (kNm/m) 12.82

M 1589.65

1355.00 1589.65

Mst/Mrib

1.17

dimensionamento statico: L = 8.5 m

Paratia ANCORATA

GEO

φ'k

Terreni

γ

sabbie

(kN/m ) 19

3

1

argille

2

γϕ

1.250

strato

punto 1 1 1 1 2 2

strato

A B B C C P

punto 2F 2D

φ'd (°) 34 28.4

18

28

1.284

δ (°)

0.40

δ 18.9

rad 0.33

15.4

0.27

sovraccarico γQ

z (m) 0.0 3.0 3.0 4.0 4.0 12.0

γ 3 (kN/m ) 19 19 19 19 18 18

z

γ 18 18

4.5 12.0

23

φ'd rad 0.49

VALUTAZIONE AZIONE SISMICA

σv u (kPa) (kPa) 5.0 0.0 62.0 0.0 62.0 0.0 81.0 10.0 81.0 10.0 225.0 82.3 σv 0.0 135.0

SL SLU SLD

u 0.0 82.3

altezza di scavo: dimens paratia

c'k

c'd

(kPa)

(kPa) 0

0

8

6.4

4.5 m 12.0 m

d a prof. sup. piez.

7.5 m 1.5 3.0 m

Δh

1.5 m

5.0 kPa 1.0 σ'v (kPa) 5.0 62.0 62.0 71.0 71.0 142.7

σv/σ'v

θ'

1.0 1.0 1.0 1.1 1.1 1.6

0.135 0.135 0.135 0.154 0.154 0.211

σv/σ'v 0.0 1.0 52.7 2.6

θ' 0.135 0.335

σ'v

Ka

teta-p L 0.398 0.174

σ'ha

σha

risultanti (kN/m)

0.396 0.396 0.396 0.412 0.506 0.576

(kPa) 2.0 24.5 24.5 29.3 26.8 72.5

(kPa) 2.0 24.5 24.5 39.3 36.8 154.7

Kp 2.717 1.913

σ'hp* 21.1 100.9

σhp* risultanti 21.1 183.1 765.86

amax umax beta kh khmax teta kc 0.236 0.025 0.577 0.136 0.136 0.135 0.110 0.005 0.794 0.087 0.136

u 0.204

braccio m

M (kNm/m)

39.79

0.43

16.92

31.91

2.04

65.05

7.32

5609.12

766.23

M rib 0.003 M stab Mst/Mrib

braccio 7.74

M 5929.09

5691.10 5929.09 1.04

dimensionamento sismico: L = 12.0 m kc = 0.204 u = 0.003 m u/H = 0.025 % dimensionamento statico: L = 8.5 m kc = 0.151 u = 0.016 m u/H = 0.18 %

37

metodo dell’equilibrio limite analisi in condizioni critiche (resistenza completamente mobilitata)

d

0.2

M (kNm/m)

ac (g), u (m)

L

0.3

260 220

amax=0.5 g

0.4

ϕ' = 35° δ = 20°

H=4m

300 0.75 g

0.5

180

0.1

140

0

100 7.0

8.0

9.0

L (m)

spostamenti decrescenti con L sollecitazioni crescenti con L

σ h (kPa) 200

100

0

M (kNm/m) -100

-200

300

200

100

0

0

t = 4.30 s t = 4.41 s t = 4.46 s

0.6

T - elastic A - elastic T - yielding A - yielding

0.4

4

ur (m)

z (m)

2

Kp = 6.162

0.2

6

(a) 0 400

8

220 180

0.1

140

0

100 7.0

8.0

L (m)

9.0

300

M (kNm/m)

0.2

M (kNm/m)

0.3

260

amax=0.5 g

a c (g), u (m)

0.4

300 0.75 g

0.5

My

≈M

) (a c

200 T - max - elastic T - final - elastic T - final - yielding

100

A - max - elastic A - final - elastic A - final - yielding

(b) 0

3.0

4.0

d (m)

5.0

38

procedura per il dimensionamento sismico

a. definizione prestazione sismica → spostamenti u b. stima accelerazione massima amax c. valutazione accelerazione critica necessaria ac =

amax ⎛u⎞ ⋅ ln⎜ ⎟ A ⎝B⎠

d. dimensionamento geotecnico: L ↔ ac e. calcolo sollecitazioni con a = ac f. dimensionamento strutturale

spinta sismica su pareti vincolate coppia di pareti rigide a sostegno di un mezzo elastico (Wood 1973)

a ΔSW = γH 2 h g

39

estensione soluzione di Wood (1973) 1

Younan & Veletsos (2000)

ΔσhE = γ H

a ⋅f g

0.8

f

0.6

0.4

E p Ip

Gt

H 0.2

0 0

10

20

30

40

50

dp

dp =

Gt H 3 E p Ip

metodo della reazione di sottofondo possibile estensione dei metodi pseudo-statici: • variazione dei coefficienti di spinta

• applicazione incrementi di spinta • riduzione di Kp

40

tensioni di contatto trasmesse dal terreno di monte

Mmax

cerniera fittizia

N1

tensioni di contatto trasmesse dal terreno di monte

tensioni di contatto calcolate in condizioni statiche

N2

stato limite passivo condizioni sismiche

Mmin

41

fondazioni

fondazioni

approccio disaccoppiato

→

interazione “completa”

risposta sismica locale

interazione cinematica

interazione inerziale

1

interazione inerziale k

k m

m

Q(t)

c c

ub(t)

forzante equivalente

moto alla base

Q(t ) = −mu&&b

moto relativo

u ( t ) = u r (t )

analisi strutturale

azione sismica

analisi modale (lineare) analisi statica di push-over (non lineare) analisi dinamica al passo (lineare o non lineare)

spettro elastico di risposta

accelerogrammi

2

definizione azione sismica (spettro)

Stato Limite

azione sismica di base

accelerogrammi

spettro

caratterizzazione: Vs, prof. Bedrock, decadimento …

caratterizzazione Vs30

RSL semplificata SS, ST

RSL 1D SHAKE, EERA,…

spettro modificato per RSL

accelerogrammi modificati per RSL

spettro di progetto (SLU: q>1, SLE: q=1)

spettro di inviluppo (SLU: q>1, SLE: q=1)

definizione azione sismica (accelerogrammi)

Stato Limite

azione sismica di base

spettro

accelerogrammi

caratterizzazione: Vs, prof. Bedrock, decadimento …

caratterizzazione Vs30

RSL semplificata SS, ST

spettro modificato per RSL

RSL 1D SHAKE, EERA,…

accelerogrammi modificati per RSL

spettro di progetto (SLU: q>1, SLE, q=1)

accelerogrammi compatibili

3

interazione inerziale - fondazioni superficiali analisi strutturale (STR) ks kt

ω

m

ω

Q(t)

cs ct kt

G, ξ

ct 1 1 1 = + k eq k t k s c eq ξ eq = 2mω eq

1 2 ω eq

=

1

ω t2

+

1

ω s2

ks cs

riduzione pulsazione naturale aumento smorzamento

interazione con il terreno → due cause di smorzamento • smorzamento isteretico, legato al comportamento meccanico del terreno (es. sviluppo di deformazioni plastiche) • smorzamento geometrico: fronte d’onda di dimensioni crescenti τ

G 1

G γa

Q(t) A

η ω γa γa

γa

γ

4

m

- sistema a un grado di libertà h - fondazione circolare rigida su semispazio elastico

ω0 =

k vs

k m

a

s=

ω0 ⋅ h

m=

vs m

ρ ⋅ a3

Wolf (1985) h/a = 1; ν = 0.33; ξ = 0.025; ξg = 0.05

fondazione caricata da una forzante armonica impedenza dinamica

K

=

F (t ) = Fa e iωt

F (t ) w (t ) K m

w(t)

F(t)

c

F(t) e w(t) non sono in fase → K

è una funzione complessa

K (ω ) = K (ω ) + icω

impedenza dinamica

K (ω ) = K ⋅ k (ω )

rigidezza dinamica

K = f (E,ν ,B,...)

rigidezza statica

k (ω )

amplificazione

c = c g + ci

c g = f (ρ,v s , geometria ) smorzamento geometrico

ci =

2K

ω

ξ

smorzamento isteretico

5

NTC: 7.2.6 - Vs < 100 m/s - Strutture alte e snelle

Gazetas (1990) Foundation Vibrations in: Foundation Engineering Handbook 2nd edition - Fang ed. Van Nostraind Reinhold, NY, cap 15

6

7

8

applicazione soluzioni di Gazetas (1990) soluzioni ottenute nelle seguenti ipotesi • terreno = mezzo (visco-) elastico lineare • forzante armonica

7.2.6 NTC “nel calcolo dell’impedenza dinamica è necessario tener conto della dipendenza delle caratteristiche di rigidezza e smorzamento dal livello deformativo”

• scelta di G e di ξ valore medio nel volume significativo (da analisi di risposta sismica) • frequenza prima frequenza fondamentale della struttura frequenza predominante azione sismica (oppure soluzione nel dominio delle frequenze) interazione terreno-struttura • diminuzione sollecitazioni • aumento spostamenti

effetto in genere vantaggioso, tranne che per • strutture alte e snelle (effetti del secondo ordine) • terreni di fondazione molto deformabili (Vs < 100 m/s)

modifica analisi sismica della struttura analisi modale - deformabilità alla base: modifica risposta in frequenza - viscosità: riduzione ordinate spettrali

analisi al passo (accelerogrammi) - vincoli visco-elastici

intervallo di variazione rigidezza alla base - rigidezza a piccole deformazioni - rigidezza statica

9

interazione inerziale - azioni in fondazione - NTC Combinazione fondamentale γG1×G1 + γG2×G2 + γP×P + γQ1×1×Qk1 + γQ2×ψ02×Qk2 + … Combinazione sismica E + G1 + G2 + P + ψ21×Qk1 + ψ22×Qk2 + … variano i coefficienti di combinazione i coefficienti γG, γQ sono unitari, indipendentemente dall’approccio di verifica scelto

gerarchia delle resistenze (capacity design) • individuazione meccanismi plastici e scelta elementi dissipativi • elementi da proteggere caricati con resistenze elementi dissipativi (sovraresistenza)

Classi di Duttilità (CD) CD “A” CD “B”

coefficiente di sovraresistenza γRd = 1.3 γRd = 1.1

10

duttilità della struttura - analisi modale (spettro elastico di progetto) duttilità: modifica dello spettro (coefficiente di struttura q)

- analisi al passo (accelerogrammi) duttilità: modifica del legame costitutivo (non linearità) - redistribuzione

interazione inerziale - azioni in fondazione - NTC Classi di Duttilità (CD) CD “A” CD “B”

coefficiente di sovraresistenza γRd = 1.3 γRd = 1.1

azioni in fondazione: valori minimi fra: resistenze elementi strutturali sovrastanti (MR, TR) azioni trasmesse in campo elastico q = 1 azioni trasmesse × γRd

11

interazione inerziale - azioni in fondazione - NTC Classi di Duttilità (CD) CD “A” CD “B”

coefficiente di sovraresistenza γRd = 1.2 γRd = 1.0

azioni in fondazione: valori minimi fra: resistenze elementi strutturali sovrastanti (MR, TR) x γRd azioni trasmesse in campo elastico q = 1 azioni trasmesse × γRd azioni da analisi non lineari

verifiche

12

interazione inerziale - fondazioni superficiali carico limite e scorrimento (GEO) B

Q

Q

γ Df

M

Df

a a Q

γ Df

T

γ, ϕ, c

δ

Nq, Nc , Nγ = f(ϕ)

ξq, ξc , ξγ = f(δ) B'

Qlim/B' = ξq Nq γ Df + ξc Nc c + ξγ Nγ γ B'/2

Tlim=c B' + Q tan ϕ

interazione inerziale - fondazioni profonde carico limite (GEO) effetto di T: meccanismo di collasso per carichi trasversali (Broms)

Q M

Tlim

T

My

reazione terreno

cerniere plastiche My

effetto di M: incremento - decremento carico assiale

13

interazione inerziale analisi strutturale (STR) determinazione sollecitazioni negli elementi di fondazione fondazioni profonde fondazioni superficiali

terreno: enfasi sulla deformabilità es. Winkler, continuo elastico

approcci di progetto e coefficienti parziali

appr. 1 C1

1 C2

2

azioni azioni permanenti variabili

proprietà c', ϕ' (Cu)

resistenze

1.3

1.5

1.0

1.0

1.0

1.3

1.25 (1.4)

γR

1.3

1.5

1.0

γR

14

fondazioni superficiali stati limite ultimi • carico limite • scorrimento • resistenza strutturale valori di γR verifica

R1

R2

R3

carico limite

1.0

1.8

2.3

scorrimento

1.0

1.1

1.1

Roma, 24 febbraio 2010

verifiche fondazioni profonde valutazione resistenze caratteristiche a) da prove di carico su pali pilota b) con metodi analitici o con relazioni empiriche con prove in sito (γϕ' = γc' = 1.0) c) da prove dinamiche ad alto livello di deformazione, su pali pilota ⎧R R ⎫ Rk = Min ⎨ media , min ⎬ ξ2 ⎭ ⎩ ξ1

ξ1, ξ2 = f(numero prove di carico/verticali d’indagine)

15

valori di γR tecnologia

A1C2

γG = 1.0 γQ = 1.3

resistenza

infissi

trivellati

elica cont.

base

1.45

1.70

1.60

laterale

1.45

1.45

1.45

totale

1.45

1.60

1.55

lat.traz.

1.60

1.60

1.60

orizzontale

A2

γG = 1.3 γQ = 1.5

1.60

base

1.15

1.35

1.30

laterale

1.15

1.15

1.15

totale

1.15

1.30

1.25

lat.traz.

1.25

1.25

1.20

orizzontale

1.30

approcci di progetto e coefficienti parziali

appr. 1 C1

1 C2

2

azioni azioni permanenti variabili

proprietà c', ϕ' (Cu)

resistenze

1.3

1.5

1.0

1.0

1.0

1.3

1.25 (1.4)

γR

1.3

1.5

1.0

γR

16

interazione cinematica

modifica del moto sismico fondazioni superficiali: riduzione del carico limite fondazioni profonde: incremento sollecitazioni

interazione cinematica - fondazioni superficiali riduzione del carico limite (GEO)

Qlim/B' = ξq eq Nq γ Df + ξc ec Nc c + ξγ eγ Nγ γ B'/2

17

interazione cinematica - fondazioni superficiali riduzione del carico limite (GEO)

ζq = ζγ = (1- kh/tan ϕ)0.35 ζc ≈ 1

1

inerzia terreno 0.8

ζγ

0.6

ξγ,

(Paolucci e Pecker 1997)

0.4

0.2

inclinazione

0 0

0.2

tan δ, kh

0.4

0.6

0.4

0.6

interazione cinematica - fondazioni superficiali riduzione del carico limite (GEO)

ξγ = (1-tan δ)3 ζγ = (1- kh/tan ϕ)0.35

1

inerzia terreno

ζγ

0.6

ξγ,

0.8

0.4

0.2

inclinazione

0 0

0.2

tan δ, kh

18

Sa = 0.3

kh = 0.22

ξγ ζγ = 0.29 1

inerzia terreno 0.6

ζγ = 0.85

ζγ

Sa (g)

0.4

0.6

ξγ,

0.8

0.4

ξγ = 0.34

0.2

0.2

0 0

1

T (s)

2

3

inclinazione

0 0

0.2

tan δ, kh

0.4

0.6

Sa = 0.08

kh = 0.5

ξγ ζγ = 0.39 1

inerzia terreno 0.6

ζγ

Sa (g)

0.4

0.6

ξγ,

0.8

0.4

ζγ = 0.49

ξγ = 0.78

0.2

0.2

0 0

1

T (s)

2

3

inclinazione

0 0

0.2

tan δ, kh

0.4

0.6

19

interazione cinematica - fondazioni profonde sollecitazioni flettenti aggiuntive (STR) pressioni sul palo deformata terreno

NTC: - ag ≥ 0.25 g - terreno tipo D - contrasti rigidezza

deformata palo

Dobry & O’Rourke (1983) metodo della costante di sottofondo (Winkler) k

M= F=

γ1 G1

2EI

λ

λ=4 ⎛ G2 ⎞ ⎟⎟ ⎝ G1 ⎠

γ 1 ⋅ F ⎜⎜

(1 − c )(1 + c ) −4

k=

(1 + c ) (c −1 + 1 + c + c 2 )

G1γ 1 = G2γ 2 = τ max

G2

3

4EI k1D 3G D

c=4

G2 G1

0.6

γ2

F

0.4

0.2

G e τ da analisi di risposta sismica o da valutazioni semplificate

0 1

10

G2/G1

100

20

D = 0.8m E = 30 GPa EI = 603 MNm2

M=

⎛G ⎞ F ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 0.296 ⎝ G1 ⎠

4EI = 1.55 m k1D

λ=4

2EI

λ

τ = 120 kPa G01 = 200 MPa G1 =0.7 G01 = 140 MPa γ1 = 0.086 %

amax = 0.3 g H = 20 m rd = 0.7

γ 1 ⋅ F = 198 kNm

G2 = 1000 MPa γ2 = 0.012 % 1

k

0.8

G/G0

γ1 G1

0.6

0.4

G2

0.2

0 0.0001

γ2

0.001

0.01

γ (%)

0.1

1

10

valutazione semplificata A

z

m·amax

amax

amax

τmax

τ max A = m ⋅ amax τ max =

m ⋅ amax a γ = ρ ⋅ A ⋅ z max = ⋅ z ⋅ amax A A g

τ max = σ v

amax · rd g

rd = 1-0.015 z

Idriss e Golesorkhi (1997)

21

fondazioni: criteri costruttivi • tipologia unica • elevata rigidezza orizzontale

0.3-0.6 N amax/g

• no plasticizzazioni

• armatura pali estesa a tutta la lunghezza Aa-min = 0.3 % • evitare pali inclinati • evitare cerniere plastiche nei pali

22

Corso di aggiornamento professionale avanzato GEOTECNICA SISMICA Udine, 3-5 ottobre 2012

Onde in un mezzo continuo

Prof. Ing. Sebastiano Foti Email: [email protected] www.soilmech.polito.it/people/foti_sebastiano

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Sommario
Onde 1D (barra) Onde longitudinali Onde torsionali


Onde in un continuo elastico omogeneo Onde di volume Onde superficiali


Onde in un mezzo elastico eterogeneo Caso 1D Legge di Snell Rifrazione critica


Onde in mezzi dissipativi

UDINE 3-5 Ottobre 2012

Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde Longitudinali in una barra equazione indefinita di equilibrio

∂σ  ∂ 2u  − σA + σ + dx  A + qAdx = ρAdx 2 ∂x  ∂t 

∂σ ∂ 2u +q = ρ 2 ∂x ∂t legame costitutivo (elastico lineare):

∂ 2u ∂ 2u E 2 +q = ρ 2 ∂x ∂t UDINE 3-5 Ottobre 2012

σ = Eε

con:

ε=

∂u ∂x

∂ 2u 1 ∂ 2u = ∂x 2 VB 2 ∂t 2

VB =

Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

E

ρ

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Effetto Poisson per la barra non confinata

VB per la barra confinata lateralmente?

VB =

UDINE 3-5 Ottobre 2012

M

ρ

M =

1 −ν E (1 + ν )(1 − 2ν )

Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Moto del punto materiale

∂u ∂t ∂u ε x ∂x u& = = ∂t ∂t

ε=

u& =

∂u ∂x

σ = Eε

∂u ε x ∂x σ x VB = = = VB ∂t ∂t E σ ∂u ε x ∂x σ x u& = = = VB = x 2 VB ρVB ∂t ∂t E u& =

u& =

E

E = ρVB

ρ

2

σ σ ∂u ε x ∂x σ x = = VB = x 2 VB = x E ρVB ρVB ∂t ∂t

ρV B impedenza specifica UDINE 3-5 Ottobre 2012

Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde Torsionali in una barra equazione indefinita di equilibrio

∂T  ∂ 2θ  − T + T + dx  A = ρJdx 2 ∂x  ∂t 

∂T ∂ 2θ = ρJ 2 ∂x ∂t legame costitutivo (elastico lineare):

∂ 2θ 1 ∂ 2θ = ∂x 2 VS2 ∂t 2 UDINE 3-5 Ottobre 2012

∂T = JG VS =

∂θ ∂x G

ρ

Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Soluzione di d’Alembert

∂ 2u 1 ∂ 2u = ∂x 2 VB 2 ∂t 2

∂ 2u (ξ ,η ) =0 ∂ξ∂η

ξ = x − VB t η = x + VB t

Integrando:

∂u (ξ ,η ) = F (ξ ) ∂ξ

u (ξ ,η ) = f (ξ ) + g (η )

ξ = x − VB t η = x + VB t

u ( x, t ) = f ( x − VBt ) + g ( x + VBt ) UDINE 3-5 Ottobre 2012

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde Armoniche

u = U ( x)T (t )

Separazione delle variabili

∂ 2u ∂ 2U =T 2 ∂x 2 ∂x

∂ 2u 1 ∂ 2u = ∂x 2 VB 2 ∂t 2 U&& T&& = 2 = −k 2 U VB T

∂ 2u ∂ 2T = U ∂t 2 ∂t 2

U&& T&& = 2 U VB T

(=cost)

U ( x ) = Ae ± ikx

T (t ) = Be ± iωt

ω = k ⋅VB

u ( x, t ) = A ⋅ e i ( kx −ωt ) + B ⋅ e i ( kx +ωt ) u = B1 sin (kx + ωt ) + B2 sin (kx − ωt ) + B3 cos(kx + ωt ) + B4 cos(kx − ωt )

kx − ωt = Φ UDINE 3-5 Ottobre 2012

Fase della funzione armonica Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde Armoniche

Simbolo Grandezza

Dimensioni

Unità di misura SI

Ampiezza

varie

varie

ω

frequenza radiale

[1/tempo]

[rad/s]

f

Frequenza (ciclica)

[cicli/tempo]

[Hz=1/s]

λ

Lunghezza d’onda

[lunghezza]

[m]

A

k

Numero d’onda

[1/lunghezza]

[1/m]

V

Velocità di fase

[lunghezza /tempo]

[m/s]

T

Periodo

[tempo]

[s]

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kλ = 2π ωT = 2π

ω = kVB

λ=

VB f

VB =

2πf k

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde di Volume

equazioni indefinite di equilibrio:

σ ij , j + ρ ⋅ f i = ρ ⋅ u&&i

deformazioni

ε ij =

legame costitutivo (elastico lineare):

equazioni del moto di Navier:

o in notazione vettoriale

UDINE 3-5 Ottobre 2012

(

1 u i , j + u j ,i 2

)

σ ij = λ ⋅ ε kk ⋅ δ ij + 2 µ ⋅ ε ij

(λ + µ ) ⋅ u j , ji + µ ⋅ u i, jj + ρ ⋅ f i = ρ ⋅ u&&i && (λ + µ )∇∇ ⋅ u + µ∇ 2 u + ρf = ρu

Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde di Volume equazioni del moto di Navier:

&& (λ + µ )∇∇ ⋅ u + µ∇ 2 u + ρf = ρu

decomposizione di Helmoltz (componenti volumetriche + distorsionali)

u = ∇Φ + ∇ × H ,

∇⋅H = 0

f = ∇f + ∇ × B,

∇⋅B = 0

[

]

(

)

&& = 0 && + ∇ × µ∇ 2 H + ρ ⋅ B − ρ ⋅ H ∇ (λ + 2 µ )∇ 2 Φ + ρ ⋅ f − ρ ⋅ Φ

(λ + 2µ )∇ 2 Φ = ρ ⋅ Φ&&

Onda P di compressione

&& µ∇ 2 H = ρ ⋅ H

Onda S di taglio

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VP =

VS =

λ + 2µ ρ

µ ρ

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Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

(Bolt, 1988)

Onde di Volume

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde P

(λ + 2µ )∇ 2Φ − ρ ⋅ Φ&& = 0

VP =

λ + 2µ ρ

Onda longitudinale (successive dilatazioni e compressioni, senza distorsione angolare): Onda di compressione o di dilatazione o onda irrotazionale o onda Primaria

onde piane

Φ = f (n ⋅ x − V p t )

u = ∇Φ

I piani di equazione n—x=cost sono superfici a fase costante: per un assegnato valore di t, il moto ondulatorio è identico su tutti i punti di tale piano. Pertanto l’onda viaggia nella direzione data dal versore n con velocità di propagazione Vp. Le onde piane rappresentano l’unica soluzione per la quale il moto è stazionario ossia la forma d’onda mantiene forma ed ampiezza costante durante la propagazione. UDINE 3-5 Ottobre 2012

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde S

&& = 0 µ∇ H − ρ ⋅ H 2

VS =

µ ρ

Onde di taglio ( successive distorsioni angolari, senza variazioni di volume): Onde distorsionali o rotazionali o onde Secondarie

onde piane

UDINE 3-5 Ottobre 2012

H = f (n ⋅ x − VS t )

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u = ∇×H

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Costanti Elastiche

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Relazioni tra le costanti

λ + 2µ =

1 −υ

(1 + υ )(1 − 2υ )

E=M

VP =

λ + 2µ M = ρ ρ

Modulo Edometrico UDINE 3-5 Ottobre 2012

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

P/S

VS = VP

µ λ + 2µ

=

1 − 2υ 2(1 − υ )

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Fronte d’onda

Principio di Huygens: ogni punto di una superficie d’onda si comporta come una sorgente di onde sferiche e, dopo un certo tempo, l’inviluppo delle onde sferiche definisce una nuova superficie d’onda.

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Fronte d’onda e raggio sismico

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Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

(Faccioli e Paolucci, 2005)

Polarizzazione onde S

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde SV e SH Onde S polarizzate piano verticale (SV) la propagazione in mezzi eterogenei è accoppiata a quella delle onde P onde P ed SV in presenza di superfici libere danno origine a onde Rayleigh

Onde S polarizzate piano orizzontale (SH) la propagazione in mezzi eterogenei non è accoppiata a quella delle onde P in presenza di superfici libere e substrati rigidi danno origine a onde Love

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Mezzi eterogenei – 1D

ui ( x, t ) = Ai e i (ωt − k1 x )

k1 =

ω VB1

ur ( x, t ) = Ar ei (ωt +k1x)

ut ( x, t ) = At ei (ωt − k 2 x )

k2 =

ω VB 2

σ i ( x, t ) = −ik1 E1u i ( x, t ) σ = Eε = E

∂u ∂x

σ r ( x, t ) = +ik1 E1u r ( x, t ) σ t ( x, t ) = −ik 2 E 2 u t ( x, t )

All’interfaccia (x=0):

UDINE 3-5 Ottobre 2012

ui + u r = ut σi +σr = σt Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Mezzi eterogenei – 1D All’interfaccia (x=0):

ui + u r = ut σi +σr = σt

Ai + Ar = At − ik1E1 Ai + ik1E1 Ar = −ik 2 E2 At ω con

kE =

VB

ρVB2 = ωρVB

− ρ1VB1 Ai + ρ1VB1 Ar = − ρ 2VB 2 ( Ai + Ar ) ρV 1 − 2 B2 ρ1VB1 − ρ 2VB 2 ρ1VB1 Ar = Ai = Ai ρV ρ1VB1 + ρ 2VB 2 1 + 2 B2 ρ1VB1 UDINE 3-5 Ottobre 2012

At =

2 ρ1VB1 2 Ai = Ai V ρ ρ1VB1 + ρ 2VB 2 1 + 2 B2 ρ1VB1

Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Mezzi eterogenei – 1D

αz =

ρ 2VB 2 ρ1VB1

Rapporto di impedenza

Ar =

1−αz Ai 1+ α z

At =

2 Ai 1+ α z

σr =

α z −1 σi 1+α z

σt =

2α z σi 1+ α z

αz Ai

αz = 0

Ar = Ai

At = 2 Ai

(stesso risultato si ottiene imponendo tensione nulla all’interfaccia)

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Legge di Snell: Rifrazione

sin ϑ = cost v

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Rifrazione-Riflessione P-SV

sin ϑ1 sin ϑ2 sin ϑ1′ sin ϑ2′ = = = VP VS VP′ VS′ UDINE 3-5 Ottobre 2012

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Verticalizzazione dei raggi sismici

VS=100m/s

VS=300m/s

VS=800m/s

VS=2000m/s 35

°

VS=3200m/s

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Propagazione ipocentro-sito

Onda S Rifrazione V2VP

VP V P′

Principio di Fermat (tempo minimo)  il raggio sismico rifratto criticamente viaggia lungo l’interfaccia con velocità V2

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Fronti d’onda

Animation courtesy of Dr Jeffrey S. Barker, Binghamton University

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde dirette

X x

offset

S

G1

G2

G3

G4

G5

G6

V1 V1

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde riflesse X x

offset

S

G1

G2

G3

G4

G5

G6

G7

V1

V2

UDINE 3-5 Ottobre 2012

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Rifrazione Critica: Head Wave X x

offset

S

G1

G2

G3

G4

G5

G6

G7

Gn-1

Gn

V1

V2

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Rifrazione Critica: Head Wave

Animation courtesy of Dr Jeffrey S. Barker, Binghamton University

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Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

(Bolt, 1988)

Onde di Superficie

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Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde di Rayleigh Equazioni del moto di Navier:

σ ⋅n = 0

&& (λ + µ )∇∇ ⋅ u + µ∇ 2 u + ρf = ρu

per z = 0

Equazione caratteristica:

K 6 − 8 K 4 + ( 24 − 16γ 2 ) ⋅ K 2 + 16 ⋅ (γ 2 − 1) = 0 K=

K=

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VR VS

0.87 + 1.12υ 1+υ

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γ=

VS VP

0.87 <

VR < 0.96 VS

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Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

(after Richart et al., 1970) UDINE 3-5 Ottobre 2012

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Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde di Rayleigh in un mezzo omogeneo

λR =

λR = (after Richart et al., 1970)

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VR f

VR f

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Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

T ip o d i o n d a

P e rc e n tu ale d i e n erg ia to ta le

R a y le ig h

67

T a g lio

26

C o m p ressio n e

7

(Da Woods, 1968)

Onde generate da una sorgente armonica verticale agente sulla superficie

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Comportamento dinamico dei terreni Esempio di risultato sperimentale terreno (prova taglio torsionale ciclico)

8

8

6

6

4

4 2

0

kPa

2

-2

τ

τ

kPa

Comportamento sforzideformazioni per un mezzo elastico lineare

-2

0

-4

-4 -6

-6 -8 -0.03

-0.02

-0.01

0

γ

0.01

0.02

0.03

-8 -0.03

-0.02

%

-0.01

0

γ

0.01

0.02

0.03

%

τ=G—γ UDINE 3-5 Ottobre 2012

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POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Dissipazione nei cicli di isteresi

Rapporto di Smorzamento

D(ω ) =

UDINE 3-5 Ottobre 2012

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1 ∆W (ω ) 4π W (ω )

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: Onde in un mezzo continuo

Onde in un mezzo visco-elastico lineare e.g. onda di taglio monodimensionale Legge costitutiva:

τ = G ⋅ γ + η ⋅ γ&

La soluzione può essere derivata da quella relativa al caso elastico lineare introducendo un modulo visco-elastico complesso

G * = G (1 + i 2 D )

Se D VS1

Conseguenza: sovrastima di VS1 Necessita’ di progettare adeguatamente la prova in considerazione della geologia locale (scelta D) Usualmente D=3-5m UDINE 3-5 Ottobre 2012

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Down-Hole P

SH

Un solo foro; minore sensibilità verticalità foro di sondaggio

acquisitore limitazione a profondità di 50-60m

geofono tridimensionale

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Prova Down Hole d

Tempo di primo arrivo

V1

z

d +z

2

t corr = t mis

1

profondità

2

z

V2 1

2

d + z2

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Down Hole Due ricevitori (true interval) acquisitore

geofoni tridimensionali

V=

∆z ∆tcorr

Analoga interpretazione con successive posizioni singolo geofono (pseudo-interval): fortemente sconsigliata UDINE 3-5 Ottobre 2012

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Esempio: Prova Down Hole

• Profilo di Vs – Metodo tempi intercetti – Metodo true interval

• Vs,30 • Classificazione sismica

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Esempio: Prova Down Hole

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Stringa 8 geofoni da foro con riaggancio

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Sismogramma

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Interpretazione “manuale”

11m / 0.065s = 170m/s

10m / 0.025s = 400m/s

20m / 0.087s = 230m/s

6m / 0.007s = 860m/s

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Interpretazione “manuale” VS ,30 =

VS [m/s] 0

200

400

600

800

30 hi

∑V

1000

i =1.. 

S ,i

0 5

VS , 30 =

10 P ro fo n d ità [m ]

15

30 = 230m / s 12 10.5 7.5 + + 170 400 230

20 25 30

Categoria C

35 40

Inversione di velocità !! Categoria S2

45 50 UDINE 3-5 Ottobre 2012

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Valutazione diretta della VS,30 30m

VS ,30 =

30m = 199m / s 0.151s

0.151s

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Tempi di primo arrivo

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Tempi corretti Tempo associato al percorso verticale p.c.  z

t corr = t mis d

d 2 + z2

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z d 2 + z2

z

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Interpretazione Dromocrone

VS , 30 =

30 8 5 9 8 + + + 135 170 400 230

Tempi corretti [s] Tempi 00

0.05 0.05

0.1 0.1

VS [m/s]

0.15 0.15

0.2 0.2

0.25 0.25

0

00

200

400

600

800

1000

0

y = 134.61x - 0.2471

55

5 y = 174.87x - 2.5614

10 10

10

15 15

15

y = 396.63x - 21.992

20 20 25 25 30 30 35 35 40

y = 211.8x - 1.8255

y = 279.87x - 11.874

40 45

y = 209.13x - 0.0959

P ro fo n d ità [m ]

P ro d ità P ro fo nfodnità [m[m ] ]

= 202m / s

20 25 30 35 40 45

45 50 y = 919.41x - 149.51

50 55

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50 Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: prove in sito

Interpretazione True Interval Due ricevitori (true interval) acquisitore

geofoni tridimensionali

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Cono sismico (SCPT) Dilatometro sismico (SDMT) - molto efficiente (no fori sondaggio) - ottimo accoppiamento geofono-terreno (niente rivestimento) - possibile eseguire prova SCPT in modalità CHT usando due coni - stesse limitazioni CPT/DMT

(www.fugro.com)

SDMT: trasmissione del segnale digitalizzato

(Marchetti et al., 2006) UDINE 3-5 Ottobre 2012

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Cono sismico (SCPT)

(Mayne, 2007)

UDINE 3-5 Ottobre 2012

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Dilatometro sismico (SDMT)

(Marchetti et al., 2006) UDINE 3-5 Ottobre 2012

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Metodi Geofisici

• Metodi Invasivi – Prove Cross-hole – Prove Down-hole • In foro • SCPT-SDMT

• Metodi Non-Invasivi – Prove sismica a rifrazione (onde SH) – Analisi delle onde superficiali • Metodi attivi (SASW, MASW) • Metodi passivi (fk, SPAC, ReMi, H/V)

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Geotecnica Sismica: prove in sito Onde P: risoluzione influenzata dalla falda (ok per localizzazione substrato roccioso)

Sismica a rifrazione

Limitazioni intrinseche: strati nascosti ed inversioni velocità

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Geotecnica Sismica: prove in sito

POLITECNICO DI TORINO

Rifrazione

Onde SH migliore definizione stratigrafica (no interferenza con falda) stima del modulo G0

Sismogramma SH Energizzazione piu’ complessa (necessità di adeguata zavorra per trasmettere energia sufficiente)

Interpretazione standard

Migliore risoluzione (lunghezze d’onda minori)

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Sismica a rifrazione

Vs (m/sec)

Rifrazione per onde SH

0

200

400

600

800

1000

0

6

9

Castelnuovo Garfagnana Progetto VEL (Regione Toscana)

(Foti et al., 2002)

profondità (m)

3

prova SASW down-hole rifrazione Sh

12

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Strati Nascosti

2

V2 VS1

VS3> VS2

Profilo di Rigidezza

Z

Z

Lunghezza d’onda piccola

Velocità di fase VR

VR

VR = λ ⋅ f

Frequenza f

Lunghezza d’onda grande

Sperimentale

PROBLEMA INVERSO

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Prove basate sulla propagazione di onde superficiali (SWM) Seismografo o Analizzatore di Segnali Sorgente Armonica o Impulsiva

componenti armoniche Geofoni verticali a bassa frequenza

2

1

3

n

VS1 VS2 VS3

 profondità di indagine ≈ 1/2 lunghezza stendimento  risoluzione diminuisce con la profondità (difficile risolvere strati relativamente poco spessi) UDINE 3-5 Ottobre 2012

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Prove SASW: diagramma di flusso

Acquisizione Dati Campo di spostamenti in superficie

Analisi dei Segnali

VR

Curva di dispersione delle onde di Rayleigh: velocità di fase vs frequenza ω

Processo di Inversione

VS

G0

Profilo di velocità delle onde di taglio

G0 = ρ ⋅ VS2 Modulo di rigidezza a taglio (G0 vs profondità) UDINE 3-5 Ottobre 2012

Z

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Tecniche passives

Tecniche Attive

Prove basate sulla propagazione di onde superficiali (SWM)

Multistation (f-k, τ-p, MASW, CSW,....)

2

1

D

3

X

n

X

Two-station (SASW)

Spatial Array SPAC, ESAC, f-k (FBDF, Capon, Music,J)

Linear array (ReMi)

2

1

X

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3

n

?

X

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Prove MASW: processing Impulsive or harmonic source

Low frequency vertical geophones

2

1

vR ( f ) =

X

2π ⋅ f k P=P

receiver offset (m)

X

2D FFT

each f

max

phase velocity, m/s

n

3

frequency, HzHz frequency,

D

time (s)

Seismograph or Signal Analyzer

experimental dispersion curve

experimental dispersion curve wavenumber, rad/m wavenumber, rad/m

frequency, Hz

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Il problema inverso Obiettivo: trovare i parametri di modello tali da minimizzare la differenza tra curve di dispersione sperimentale e numerica

H1 =? Vs1=? H2 =? Vs2=? H3 =? Vs3=? Vs∞=?

Strati piani e paralleli omogenei lineari elastici

phase velocity, m/s

700 sperimentale numerica

600 500 400 300 200 100

0

10

20

30

40

50

60

70

frequency, Hz

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Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Prove SASW

Processo di Inversione deterministico Shear Wave Velocity (m/s)

Damped Weighted Least Square Algorithm

100 200 300 400 500 600 700 800

5

Curva di dispersione 700

phase velocity, m/s

Depth (m)

10 15 20 25 30

experimental

600 500 400 300 200 100

0

10

35

20

30

40

50

60

70

frequency, Hz

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Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Casi di Studio: Pisa VSS, m/s V 100

150

200

250

300

0

180

sperimentale sperimentale numerica

160

profondità, m profondità, m

velocità m/s velocità di di fase, m/s

5 10

SASW 15

CHT

20 25

140 30 120 0

5

10

15

20

25

30

(Foti, 2003)

frequenza, Hz frequenza, Hz UDINE 3-5 Ottobre 2012

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Risoluzione spaziale delle prove SWM Prove nelle Ghiaie di Messina (Ponte sullo Stretto di Messina – Blocco di ancoraggio lato Sicilia)

(Jamiolkowski et al., 2008) UDINE 3-5 Ottobre 2012

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Non unicità della soluzione Inversione con metodo Monte Carlo Profili Equivalenti

(Foti et al., 2007) UDINE 3-5 Ottobre 2012

Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Accuratezza ed incertezza della stima di VS,30

(Comina et al., 2010) UDINE 3-5 Ottobre 2012

Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Integrazione Attive-Passive Attive

Passive

Curva di dispersione VR

Passive

Attive

VS

ω Inversione

Attive

Passive UDINE 3-5 Ottobre 2012

Z Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

PIANOLA – Sondaggio e prove DH - SDMT (maggio 2009) Velocità delle onde di taglio, Vs (m/s) 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 MASW ( 1 )

Limo argilloso

MASW ( 2 )

5

DH SDMT

10

Sabbia, sabbia limosa 15

Profondità, z (m)

20

25

Limo argilloso, argilla limosa

30

35

40

45

50

55

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Tecniche passives

Tecniche Attive

Prove basate sulla propagazione di onde superficiali (SWM)

Multistation (f-k, τ-p, MASW, CSW,....)

2

1

D

3

X

n

X

Two-station (SASW)

Spatial Array SPAC, ESAC, f-k (FBDF, Capon, Music,J)

Linear array (ReMi)

2

1

X

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3

n

?

X

Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: prove in sito

(Louie, 2001)

ReMi (Refraction Microtremors) = Prove Passive con ricevitori allineati Ipotesi di base: distribuzione spaziale uniforme delle sorgenti di vibrazione

Sismografo o analizzatore segnali Seismograph or Signal di Analyzer

Geofoni verticali avertical bassa frequenza Low frequency geophones 1 X

2

3

n

X

(Stephenson et al., 2005) UDINE 3-5 Ottobre 2012

Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Prove Passive Esempio: La Salle Disposizione dei geofoni (pianta) ReMi (pianta)

λapparent

λtrue v=f—λ (Foti et al., 2007) UDINE 3-5 Ottobre 2012

λapparent>λtrue  vapparent>vtrue Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

(Parolai et al., 2007)

Confronto Attive-Passive

ReMi

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Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Attive vs Passive (array & ReMi) PAT-3 School (All Methods) HOSPITAL (All Methods) 500 400

fk/spac - ITSAK ReMi - U.Patras REMI - U.Patras fk/SPAC - ITSAK SASW - USGS SASW - USGS

Vr (m/s)

450 350

400 300

350 250

300 200

250 150 0

5

5

10

10

15

15 20

25 20

ƒ ƒ (Hz) (Hz)

UDINE 3-5 Ottobre 2012

Sebastiano Foti

POLITECNICO DI TORINO

Geotecnica Sismica: prove in sito

How to check the uniform distribution of the sources? Uniform distribution of the source implies a symmetric fk spectrum

Example of non symmetric fk spectrum

(Strobbia & Cassiani, 2011) UDINE 3-5 Ottobre 2012

Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Considerazioni conclusive • Pianificazione delle indagini: Selezione dei metodi geofisici – – – – –

Risoluzione Accuratezza Volumi di indagine Limitazioni intrinseche Costi

• Importanza del controllo di qualità – – – –

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Strumentazione Dati sperimentali Procedure di interpretazione Consistenza dei risultati con il sito

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Confronto tra rifrazione SH e SASW

Svantaggi

Vantaggi

Prove SASW Possibilità di utilizzo indipendentemente dall’alternarsi di strati veloci e lenti Tempi di acquisizione dati in sito estremamente ridotti

Rifrazione onde SH Possibilità di ricostruzione 2D Migliore posizionamento di interfacce ad alto contrasto di rigidezza Tempi di elaborazione

Parametri medi globali (comportamento dinamico dell’intero deposito)

Necessità di soluzione di un problema inverso

Possibili errori (anche sostanziali) dovuti a strati lenti e strati nascosti

Modello 1D a strati piani e paralleli

Acquisizione dati onerosa

Perdita di risoluzione con la profondità

Limitazione a pochi strati (2 o 3)

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Profondità di indagine limitata

Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Confronto tra prove invasive e non-invasive

Svantaggi

Vantaggi

Prove Invasive

Prove Non-Invasive

Misure dirette: intepretazione semplice ed accurata

Costi ridotti e flessibilità in termini di tempi di esecuzione e localizzazione

Buona risoluzione anche per strati profondi

Non intrusivi (importante per caratterizzazione di discariche o siti contaminati)

Standard di prova (CHT-DHT)

Proprietà medie (comportamento Informazioni aggiuntive sulla dinamico globale del deposito di stratigrafia dal foro di sondaggio o terreno) dalla penetrazione della sonda CPTDMT Caratterizzazione di vaste aree Costi Necessità di pianificazione anticipata (esecuzione fori) Misura locale

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Interpretazione complessa (misure indirette basate su processi di inversione e/o elaborazione dati onerosa) Accuratezza e risoluzione in profondità Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

QC delle prove SWM • Assenza marcate irregolarità topografiche e/o stratigrafiche • Acquisizione – – – –

Preferire approcci multistation e array 2D per le passive Frequenza naturale dei geofoni (max 4,5Hz) Apertura totale-profondità (zmax≈½Lstend) Qualità registrazioni

• Processing – Verifica dato sperimentale (panel fk)

• Inversione – Metodo di inversione (automatico) – Congruenza curva dispersione numerica-sperimentale – Congruenza profondità raggiunta – intervallo frequenze (zmax≈½-1/3 λmax) – Modi superiori (se andamento irregolare)

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Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Criteri di verifica delle prove SWM • •

Corrispondenza curva dispersione numerica-sperimentale Congruenza profondità raggiunta – range frequenze (zmax≈½-1/3 λmax)

700

λmax

600

V = R f

f max

620sperimentale m s ≈ = 70m ⇒ z max ≈ 35m 8.5 Hz numerica

500 400 300 200

400

600

800

5

Profondità [m]

Velocità di fase onde R [m/s]

VS [m/s] 200

10 15 20 25

100 0

10

20

30

40

frequenza [Hz]

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50

60

70

30 35

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Rapporto spettrale H/V (HVSR) Misure di rumore (sensore 3 componenti)

Rapporto in frequenza tra componente verticale e componente orizzontale

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Geotecnica Sismica: prove in sito 8

kPa

Risposta sismica locale: Modello 1D elastico lineare

τ

0

τ=G—γ -8 -0.03

0.03

0

γ

%

G, ρ , H caso elastico lineare 6

G, ρ

αz Onda S

αz =

ρVS ρ VS

Funzione di Amplificazione

1 5

4

3

2

1

0

VS =

G

ρ

VS =

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G

ρ

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

frequenza [Hz]

f0 =

VS 4H Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Inversione H/V Misura di rumore: 1 sensore 3D Soluzione problema inverso Poca informazione sperimentale

? V 220 f0 = S = = 11Hz 4H 4 ⋅ 5

?

Necessaria informazione a-priori

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Sebastiano Foti

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Inversione H/V

(Albarello, 2011)

Ricostruzione del campo d’onda associato ad una data stratigrafia. Tuttavia queste interpretazioni presentano una marcata molteplicità di soluzioni. Per esempio, ad una stessa curva HVSR possono corrispondere diversi possibili profili di velocità

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Geotecnica Sismica: prove in sito

Commenti prove H/V • Utili per: – – – – –

Valutazione frequenza di risonanza Informazioni aggiuntive per vincolare inversione SWM Valutazione delle variazioni laterali Validazione del modello geotecnico-sismico Studi a scala territoriale

• Poco affidabili per: – Valutazione del profilo di VS – Valutazione della VS,30

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Geotecnica Sismica: prove in sito

(Mayne et al., 2002)

Correlazioni VS - NSPT

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Liquefazione dei terreni

S. Rampello

stabilità nei riguardi della liquefazione sisma: sollecitazioni di breve durata

→ condizioni non drenate anche in terreni molto permeabili (terreni granulari)

→ possibile incremento Δu con riduzione della resistenza τlim = c' + σ′n0 tan ϕ' = c' + [σn0 – u0] tan ϕ'

σn' τlim

u

τlim = c' + [σ′n0 – Δu)] tan ϕ'

liquefazione: riduzione di resistenza per incremento della pressione interstiziale durante il sisma

1

prove TX monotone Δu εa

εa

σ' e = cost

εv

NCL terreni a grana fine e dilata

contrae

sì

e

ψ no CSL log p'

log p'

condizioni drenate

condizioni non drenate

prove TX monotone q

CSL

FLS

q

sì

no

εa

p'

condizioni monotone

e

CSL

liquefazione • comportamento instabile • dipende dallo stato iniziale: - indice dei vuoti - stato tensionale p'

p'

2

condizioni cicliche stato iniziale (e, p', q) + entità sollecitazione (ampiezza, Ncicli) q

CSL

FLS

q

εa comportamento instabile → liquefazione (flow liquefaction) p'

q

CSL

FLS

q

εa

p'

condizioni cicliche

q

CSL

FLS

q

p'

εa

comportamento stabile → mobilità ciclica

• valore iniziale di q • ampiezza della sollecitazione ciclica

3

prova torsionale ciclica

liquefazione

vulcanelli di sabbia – Niigata, 1964 (Mw= 7.5)

4

perdita capacità portante – Niigata, 1964 (Mw= 7.5)

perdita capacità portante – Alaska, 1964 (Mw= 8.5)

5

perdita capacità portante – Kobe, 1995 (Mw= 8.5)

opere portuali – Kobe, 1995 (Mw= 8.5)

6

verifica liquefazione 1. stima delle caratteristiche dell’evento sismico atteso 2. caratterizzazione geotecnica del sito: - condizioni stratigrafiche - profondità superficie libera della falda - proprietà fisiche e meccaniche dei terreni 3. stima degli effetti verifiche eseguite:

• alla profondità in cui sono presenti materiali liquefacibili • lungo un numero adeguato di verticali • uso dei valori caratteristici dei parametri di resistenza

verifica liquefazione: motivi di esclusione •M 15m (p.c. orizzontale e fond. superficiali)

zw

• sabbie pulite (N1)60 > 30 qc1N > 180

resistenza normalizzata ad una tensione efficace σ'v = 100 kPa

• granulometria

Uc = d60/d10

7

liquefazione: metodi di analisi FL =

coefficiente di sicurezza

τlim τlim σ′v0 CRR = = τ σ′v0 τ CSR

CSR = Cyclic Stress Ratio - rapporto di sollecitazione ciclica (carico sismico) CRR = Cyclic Resistance Ratio - rapporto di resistenza ciclica • metodi empirici di analisi (da prove in sito) entità della sollecitazione → CSR (numero di cicli → normalizzazione rispetto a M)

stato iniziale: (N1)60, qc1, vs1 → CRR (contiene stato tensionale)

valutazione di CSR (azioni) τ

CSR =

τav 0.65 τmax = σ′v0 σ′v0

τmax

t

τmax → da analisi di risposta sismica τmax (kPa) 0

100

200

γmax (%) 300

0

0.08

0.16

amax (g) 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

10

z (m)

20

30

40

50

8

valutazione di CSR (azioni) A m·amax

CSR =

amax

τav 0.65 τmax = σ′v0 σ′v0

τmax → da valutazione semplificata

amax

z τmax

τmax A = m ⋅ amax τmax =

γ a m ⋅ amax = ρ ⋅ A ⋅ z max = ⋅ z ⋅ amax A g A

τmax = σ v

amax · rd g

amax = S·ag

rd = 1-0.015 z CSR =

τav a σ = 0.65 max ⋅ v0 ⋅ rd σ′v g σ′v0 Idriss e Golesorkhi (1997)

correzione di CSR per un sisma di riferimento con M = 7.5 2

(CSR )7.5

CSR = MSF

Magnitude scale factor, MSF

MSF

1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 4

4.5

5

5.5

6

6.5

Moment magnitude, Mw

Magnitude Scaling Factor

MSF = 6.9 ⋅ e −M

4

7

7.5

8

8.5

Mw

− 0.058 ≤ 1.8

9

valutazione di CRR (resistenza) prove in sito correlazioni empiriche di CRR con i risultati di - prove SPT → N1 = NSPT CN - prove CPT → qc1 = qc CQ - misura di Vs → Vs1 = Vs Cv quantità normalizzate ad una tensione efficace σ'v = 100 kPa

prove SPT resistenza normalizzata a σ'v = 100 kPa

N1 = NSPT CN CN fattore correttivo per lo stato tensionale efficace

⎛p ⎞ CN = ⎜⎜ a ⎟⎟ ⎝ σ′v ⎠

0.784 − 0.0768 N1

Idriss & Boulanger 2004

≤ 1.7 altre correzioni: CE CB CR CS

• CE= ER x 100 /60 rendimento energetico ≈1 → (N1)60

• CB foro di sondaggio 1.0-1.15 • CR asta 0.75-1.0 • CS attrezzo campionatore 1.0-1.3

10

abachi – prove SPT ottenuti per M = 7.5

(CSR)7.5 liquef.

valutazione del coefficiente di sicurezza F=

AB AC

B

CRR (CSR)7.5

(N1)60 > 30

no liquef.

C

No liquefazione

A

(N1)60 Seed et al. 1985

abachi – prove CPT resistenza normalizzata a σ'v = 100 kPa

q c1N =

qc ⋅ CQ pa

(CSR )7.5 0.65

1.338 − 0.294 (q c1N )0.264

⎛p ⎞ CQ = ⎜⎜ a ⎟⎟ ⎝ σ′v ⎠

Idriss & Boulanger 2004

≤ 1.7 CRR

(CSR )7.5 0.65

qc1N > 180

liquef.

B

no liquef.

C

No liquefazione A

qc1 (MPa)

11

abachi – VS velocità normalizzata a σ'v = 100 kPa

Vs1 = Vs Cv ⎛p ⎞ C V = ⎜⎜ a ⎟⎟ ⎝ σ′v ⎠

0.25

≤ 1. 4 CRR

B

(CSR)7.5

C

Andrus & Stokoe 2000

VS1 > 200 m/s

A

No liquefazione VS1 (m/s)

abachi per la valutazione di CRR 0.6

prove CPT prove SPT 0.6 0.5

liquefazione

0.4

0.5 liquefazione 0.4 0.3 0.2 non liquefazione

0.1 0 0

0.3

Fc ≥ 35 %

0.2

Fc ≤ 5 % Fc = 15 %

0.1

non liquefazione

0 0

5

10 15 20 25 30 35 Numero di colpi normalizzato, (N1)60

40

50 100 150 200 Resistenza alla punta CPT normalizzata, q c1N

45

(N1)60

profili VS

250

(qc1)N

0.6

CRR Rapporto di resistenza ciclica, CRR

Rapporto di resistenza ciclica, CRR

CRR

Rapporto di resistenza ciclica, CRR

CRR

0.5 liquefazione 0.4

Fc ≥ 35 %

0.3

Fc = 15 %

0.2

Fc ≤ 5 % non liquefazione

0.1 0 0

50 100 150 200 Velocità delle onde S normalizzata, vs1 (m/s)

250

Vs1 (m/s)

12

risultati verifica e profilo FL cyclic stress ratio, CSR cyclic resistance ratio, CRR

cone penetration resistance, qc : MPa 0

5

10

15

0

20

0.2

0

liquefaction safety factor, FSL 0.6

0

1

5

liquefaction

3

1.25

CRS CRR

0.55

2

0

0.6

5

0.4 10

0.2

10

no liquefaction

depth, z : m

10

0.3

depth, z : m

Cyclic ratio, CSR depth, zstress :m

0.4

0

15

15

15

0.1

0 20 0

50

100

20

150

200

250

20

Normalised CPT tip resistance, qc1N

25

25

25

note se localmente FL < 1

non necessariamente collasso

riduzione di capacità portante o cedimenti rilevanti dipendono da:

• spessore e sviluppo areale dello strato liquefacibile • spessore di materiale non liquefacibile che ricopre lo strato liquefacibile

• prossimità del piano campagna

valutazione integrale

13

indice del potenziale di liquefazione 20 m

IL =

∫ G(z) ⋅ w ( z ) ⋅ dz

0-5

basso

5-15

elevato

> 15

molto elevato

0

G( z ) = 1 − FL G( z ) = 0

potenziale

IL

se FL ≤ 1 se FL> 1

w ( z ) = 10 − 0.5 ⋅ z

1

FL

10

CRR

FL < 1

G(z)

G(z)·w(z ) 20 m

IL =

20 m

∫ G ⋅w ⋅ dz 0

CSR z

potenziale di liquefazione – aree costiere campane cone penetration resistance, qc : MPa 0

10

20

liquefaction safety factor, FSL

30

0

0

2

4

6

0 5a 5b

5

5c 5d

5a 5b

5

5c 5d

10 depth, z : m

depth, z : m

10

15

20

25

label

IL

5a

1.5

basso

5b

6.9

elevato

5c

31.1 molto elev.

5d

18.3 molto elev.

15

20

Liquefaction potential

25

14

sommario • riduzione di resistenza per incrementi di pressione interstiziale durante il sisma

• liquefazione: la riduzione di resistenza produce un comportamento instabile: spostamenti grandi e improvvisi

• mobilità ciclica: riduzione di resistenza e comportamento stabile

• la liquefazione dipende da: stato iniziale: indice dei vuoti e stato tensionale entità della sollecitazione: ampiezza e numero di cicli

• metodi empirici di analisi (da prove in sito) stato iniziale: (N1)60, qc1, vs1 → CRR (contiene stato tensionale)

entità della sollecitazione → CSR (numero di cicli → normalizzazione rispetto a M)

esempio applicativo

15

stabilità nei confronti della liquefazione sito costiero sub-pianeggiante: deposito alluvionale: • depositi torrentizi e depositi marini di spiaggia • sabbie e ghiaie con rari livelli limosi – eterogeneo indagini:

• 23 sondaggi di lunghezza L = 10 – 80 m • 108 prove penetrometriche dinamiche a punta conica SCPT in foro • 10 prove penetrometriche dinamiche continue con penetrometro pesante DPSH

• 2 prove down hole • 1 prova cross hole • 4 celle di Casagrande

(Cascone e Biondi, 2009)

5

caratterizzazione geotecnica

0 -5

prove penetrometriche dinamiche:

-10

punta conica: NSPT = 0.5 NSCPT

-15

quota s.l.m. (m)

-20 -25 -30 -35 -40 -45 -50

(Meyerhof, 1956)

-55 -60 -65 -70 0

20 40 N SPT

60

16

5

caratterizzazione geotecnica

0 -5

prove SCPT: densità relativa

-10 -15

N SPT 0

10

20

30

40

50

60

70

80

-20

90 quota s.l.m. (m)

0

σ'v (kPa)

100

200

DR=90%

-25 -30 -35 -40 -45 -50

300

400

N1SPT 20

30 40

50%

60%

70%

80%

-55

N 1SPT 40

DR =

⎛p ⎞ = N SPT ⎜⎜ a ⎟⎟ ⎝ σ' v ⎠

-60 0.5

-65 -70 20

500

40

Kulhawy e Mayne (1990)

Gibbs e Holtz (1957)

60 DR (%)

80

100

caratterizzazione geotecnica prove SCPT: angolo di resistenza al taglio 100

50

°

90 =4 ϕ'

ϕ'=

80 70

5°

ϕ '=

N SPT

60

40

°

50 40

ϕ' = 38°

ϕ' = 41°

30

35 ϕ'=

°

ϕ' = 34° ° ϕ'=30 °

ϕ'=25

20 10 0 0

100

200

σ'v (kPa)

300

400

500

De Mello (1971)

17

caratterizzazione geotecnica

0

0

2

2

2

2

4

4

4

4

6

6

6

6

8 10 12

8 10 12

profondità (m)

0

profondità (m)

0

profondità (m)

profondità (m)

prove DPSH: profili N20 (4 su 10)

8 10 12

8 10 12

14

14

14

14

16

16

16

16

18

18

18

DPSH1

20

DPSH2

20 0

40

80 120 160 N20

18

DPSH3

20 0

40

80 120 160 N 20

DPSH4

20 0

40

80 120 160 N 20

0

40

80 120 160 N 20

caratterizzazione geotecnica

0

2

2

4

4

6

6

8 10 12

NSPT

2.25

0 2 4

1.5

6 profondità (m)

0

profondità (m)

profondità (m)

prove DPSH: conversione N20

8 10

1.0

12

8 10 12

14

14

14

16

16

16

18

18

20

20

18

DPSH1

20 0

40

80 120 160 N20

0

1

2 3 4 NSPT/N20

5

6

DPSH1 0

40

80 120 160 NSPT

18

caratterizzazione geotecnica sovrapposizione risultati e profili di progetto 5 0 -5

NSPT = 25

-10 -15

quota s.l.m. (m)

-20 -25

NSPT = 20

-30 -35 -40 -45 -50

NSPT = 21+10/9(z-11)

-55 -60 -65

NSPT DPSH

-70 0

20

40

60 80 100 120 N SPT

caratterizzazione geotecnica prove cross-hole e prove down-hole Vs,30 = 5

00

categoria C 0

d)

-5

5

-10

10

-15

15 profondità (m)

quota s.l.m. (m)

0

30 = 261 − 300 m/s hi ∑ Vs,i

-20 -25 -30

20 25 30

-35

35

-40

40

-45

45

-50 100

50 200

300 400 VS (m/s)

500

600

c)

CH 0

200 400 600 800 G0 (MPa)

19

caratterizzazione geotecnica curve granulometriche

100 90 80

z = 10-11 m

70

Limo

Sabbia

Ghiaia

S9/C2 : z (m)= 10.00 S10/C2 : z (m)= 10.00 S11/C2 : z (m)= 10.65 S7/C1 : z (m)= 11.00

P (%)

60 50 40

Limo

100

Sabbia

Ghiaia

30

S11/C1 : z (m)= 3.00

90

20

S9/C1 : z (m)= 4.00

80

10

S10/C1 : z (m)= 4.00

70

0 0.001

P (%)

60 50

100

40

90

30 20 10 0.01

0.1

d (m m )

1

10

P (%)

a)

0 0.001

100

b) 0.01

0.1

Limo

Sabbia

10

100

Ghiaia

S12/C1 : z (m)= 15.25 S10/C4 : z (m)= 20.65

80

S9/C3 : z (m)= 21.00

70

S10/C5 : z (m)= 26.65

60

S11/C4 : z (m)= 27.50

50

d (m m )

1

S11/C5 : z (m)= 29.50

40

z 15 m

10 0 0.001

c) 0.01

0.1

d (m m )

1

10

100

caratterizzazione geotecnica modello di sottosuolo sabbie e ghiaie limose

3.3 m Dr= 75 % φ‘p = 41° Go = 2.788⋅z + 27.15 (MPa)

T1:

10 m 17 m 13 m

z = 10 m

Dr= 65 % φ‘ p = 38° Go = 16.129⋅z + 65.08 (MPa)

T1 - addensato

T2 – med. addensato

T2:

z = 27 m

Dr= 55 % φ‘ p = 34° Go = 16.129⋅z + 65.08 (MPa)

T3:

T3 – med. addensato z = 40 m

20

azione sismica di riferimento

VN = vita nominale TIPI DI COSTRUZIONE 1 2 3

Opere provvisorie – opere provvisionali – Strutture in fase costruttiva Opere ordinarie, ponti, opere infrastrutturali e dighe di dimensioni contenute o di importanza normale Grandi opere, ponti, opere infrastrutturali e dighe di grandi dimensioni o di importanza strategica

Vita Nominale VN (in anni) ≤ 10 ≥ 50 ≥ 100

CU = coefficiente d'uso Classe d’uso Coefficiente CU

I 0.7

II 1.0

periodo di riferimento

III 1.5

IV 2.0

VR = VN·CU = 150 anni

azione sismica di riferimento PVR = probabilità di superamento Stati limite Stati limite di esercizio Stati limite ultimi

PVR: Probabilità di superamento nel periodo di riferimento VR 81 % 63 % 10 % 5%

SLO SLD SLV SLC

TR = − VR ln(1 − PVR ) = periodo di ritorno Stati limite Stati limite di esercizio Stati limite ultimi

stato limite esercizio ultimo

SLD SLV SLU

SLO SLD SLV SLC

Valori in anni del periodo di ritorno TR al variare del periodo di riferimento VR 30 anni ≤ TR = 0.6·VR TR = VR TR = 9.5·VR TR = 19.5·VR ≤ 2475 anni

ag (g) 0.150 0.403

sito

F0 2.340 2.449

TR (anni) 150 1425

SS

ST

1.489 1.108

1.0 1.0

amax (g) 0.223 0.446

M 6.5 6.8

categoria C

21

motivi di esclusione dalla verifica 0

20

N SPT

40

60

0

profilo medio di NSPT

2 4 6

z (m)

8 10 12 14 16 18 20

motivi di esclusione dalla verifica Limo

Sabbia

Ghiaia

100

a)

U c3.5

80 passante, p (%)

composizione granulometrica

90

70 60 50

S10/C5 S11/C1 S11/C2 S11/C4

40 30 20

—— Possibilità di liquefazione —— Elevata possibilità di liquefazione

10 0 0.001

0.01

0.1

1

10

S7/C1 S9/C1 S9/C2 S9/C3 S10/C1 S10/C2 S10/C4

S11/C5 S12/C1

100

diametro, d (mm)

22

verifica alla liquefazione motivi di esclusione •M 15m

NO NO NO

deve essere eseguita

• sabbie pulite (N1)60 > 30 qc1N > 180

NO

• granulometria

NO

verifica alla liquefazione rapporto di sollecitazione ciclica CSR =

τav τ a σ = 0.65 max = 0.65 max ⋅ v0 ⋅ rd σ′v σ′v 0 g σ′v0

(Seed e Idriss, 1971)

ln rd = α( z ) + β( z ) ⎛ z ⎞ α( z ) = −1.012 − 1.126 ⋅ sin⎜ + 5.133 ⎟ ⎝ 11.73 ⎠ ⎡ ⎛ z ⎞⎤ β( z ) = ⎢0.106 + 0.118 ⋅ sin⎜ + 5.142 ⎟⎥ ⋅ M w ⎝ 11.28 ⎠⎦ ⎣

rd = 1 − 0.00765 ⋅ z

per

rd = 1.174 − 0.0267 ⋅ z

per

(CSR )7.5 = CSR MSF

z ≤ 9.15 m 9.15 m < z ≤ 23 m

(Idriss e Boulanger, 2004)

(Liao e Whitman, 1986)

MSF = 6.9 ⋅ e −M 4 − 0.058 ≤ 1.8

23

verifica alla liquefazione

CRR =

Rapporto di resistenza ciclica, CRR

rapporto di resistenza ciclica

τlim σ′v0

0.6 0.5

liquefazione

0.4 0.3

Fc ≥ 35 %

Fc ≤ 5 %

0.2

Fc = 15 %

0.1

non liquefazione

0 0

5

10 15 20 25 30 35 Numero di colpi normalizzato, (N1)60

40

45

2 3 4 ⎡( N ) ⎤ ⎛ (N ) ⎞ ⎛ (N ) ⎞ ⎛ (N ) ⎞ CRR = exp ⎢ 1 60cs + ⎜ 1 60cs ⎟ − ⎜ 1 60cs ⎟ + ⎜ 1 60cs ⎟ − 2.8⎥ ⎝ 126 ⎠ ⎝ 23.6 ⎠ ⎝ 25.4 ⎠ ⎣⎢ 14.1 ⎦⎥

(Idriss e Boulanger, 2004)

verifica alla liquefazione rapporto di resistenza ciclica ( N1 )60cs = (N1 )60

2 ⎡ 9.7 ⎛ 15.7 ⎞ ⎤ + exp ⎢1.63 + −⎜ ⎟ ⎥ FC ⎝ FC ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢

FC = 18 % per FC = 10 % per FC = 19 % per

(Idriss e Boulanger, 2004) sabbie pulite (FC = 0)

z≤5m 5 m < z ≤ 11 m 11 m < z

sito

(Ishihara, 1996)

σ'v0 in kg/cm2

(Liao e Whitman, 1986)

σ'v0 in tonn/ft2

( N1 )60 = NSPT ⋅ CN CN = CN =

1,7 σ' v0 +0,7 1 σ' v0

24

verifica alla liquefazione coefficiente di sicurezza

FL =

τlim τlim σ′v0 CRR = = τav τav σ′v0 CSRM =7.5

indice del potenziale di liquefazione 20 m

IL = ∫ G(z) ⋅ w ( z ) ⋅ dz 0

potenziale

IL 0-5

G( z ) = 1 − FL se FL ≤ 1 se FL> 1 G( z ) = 0

basso

5-15 elevato > 15 molto elevato

w ( z ) = 10 − 0.5 ⋅ z

verifica alla liquefazione valutazione degli effetti – stato limite ultimo SLV rapporto di sollecitazione ciclica CSR = 0.65 0.0

0.2

0.4

rr d d

0.6

0.8

1.0

0.0

0.1

amax (g) (g) a max

0.2

0.3

0.4

0.5

0.00

0 2

4

Liao & Withman (1986)

4

6

6

8

8

10

Idriss & Boulanger (2004)

0.40

6 8

12

12

14

14

16

16

16

18

18

b)

Idriss & Boulanger (2004) Liao & Withman (1986)

10

14

20

0.30

4

10

a)

M=7.5

0.20

2

Liao & Withman (1986)

12

20

CSR CSR M=7.5

0.10

0

(m) z z(m)

2

Idriss & Boulanger (2004)

z z(m) (m)

z z(m) (m)

0

amax,s σ v0 ⋅ ⋅ rd σ′v0 g

18

c)

20

25

verifica alla liquefazione valutazione degli effetti – stato limite ultimo SLV CRR =

rapporto di resistenza ciclica cCN N

0.5

1.0

1.5

0

2.0

10

(N ) (N 1) 60 20

1 60

30

40

(N1(N)60,cs )

0

50

10

20

1 60,cs

30

CRR CRR 40

0.0

50

0

2

2

4

4

4

4

6

6

6

6

10

2

zz (m) (m)

10

8

8 10

12

12

12

14

14

14

16

16

16

18

18

18

Liao & Whitman (1986)

a)

20

b)

1.0

Liao & Whitman (1986)

18

c)

d)

20

20

0.8

8

14

Ishihara (1996)

0.6

10

12

16

0.4

Ishihara (1996)

Liao & Whitman (1986) Ishihara (1996)

2

zz (m) (m)

8

Liao & Whitman (1986) Ishihara (1996)

0.2

0

0

0

zz (m) (m)

zz (m) (m)

0.0

τlim σ′v0

20

verifica alla liquefazione valutazione degli effetti – stato limite ultimo SLV

analisi A 0.0

CRR, CRR ,CSR CSR M=7.5 0.2

0.4

M=7.5

0.6

0.8

0

1.0 0

a)

1

2

FF L L

3

4

CRR, CRRCSR , CSR M=7.5

FFL

M=7.5

5

0.0 0

b)

0.2

0.4

0.6

0.8

L

1.0

0 0

a)

2

2

4

4

4

6

6

6

6

8

8

8

10

10

10

z z(m) (m)

2

4

z z(m) (m)

2

z (m) z (m)

(m) z z(m)

0

analisi B 1

2

3

4

5

b)

8 10

12

12

12

12

14

14

14

14

16

16

16

16

18

18

18

18

20

20

20

20

26

verifica alla liquefazione valutazione degli effetti – stato limite ultimo SLV

analisi C CRR, CRR CSR , CSR M=7.5

analisi D

M=7.5

0.0

0.4

0.6

0.8

FFL

0 0

a)

1

2

3

4

FFL

CRR, CRRCSR , CSR M=7.5

L

1.0

M=7.5

5

0.0

0.2

0.6

0.8

L

0

1.0 0

0

b)

0.4

a)

2

2

4

4

4

6

6

6

6

8

8

10

10

z z(m) (m)

2

4

(m) z z(m)

2

(m) z z(m)

(m) z z(m)

0

0.2

8

10

1

2

3

4

5

b)

8 10

12

12

12

12

14

14

14

14

16

16

16

16

18

18

18

18

20

20

20

20

verifica alla liquefazione valutazione degli effetti – sintesi

stato limite

esercizio

SLD

ultimo

SLV SLU

analisi

IL

A B C D A B C D

0.00 0.00 0.09 0.08 12.32 11.38 13.72 12.77

potenziale di liquefazione basso basso basso basso elevato elevato elevato elevato

27

Stabilità dei pendii naturali

S. Rampello

stabilità stabilità dei pendii naturali

• caratteri del comportamento in condizioni sismiche • modello di sottosuolo e azione sismica • analisi di stabilità • metodi pseudostatici − valutazione resistenza al taglio

…. ((lez. 2) lez. 2)

• metodi degli spostamenti • esempi applicativi

… (lez. 3 lez. 3‐‐4)

1

caratteri del comportamento

pendii naturali condizioni geometriche, stratigrafiche, geotecniche e idrauliche assegnate → valutazione degli effetti del sisma sul pendio e su manufatti esistenti

azioni sismiche sollecitazioni di breve durata ma intensità, direzione e verso variabili nel tempo e nello spazio

effetti • caratteristiche del sisma (intensità, durata, contenuto in frequenza) • caratteristiche del pendio – geometria – condizioni stratigrafiche e idrauliche – proprietà meccaniche dei terreni

2

condizioni statiche τm σn W τm

σn

σn

τf = c′ + [σn – u]·tanϕ′

sisma • aggravio condizioni di carico • riduzione resistenza al taglio

KhW

τm σn

±KvW

W τm

σn

σn

τf = c′ + [(σn + Δσn) - (u + Δu)]·tanϕ′

3

sisma riduzione condizioni di stabilità

KhW

τm

±KvW

W τm

σn

σn

σn

• azioni inerziali (durante il sisma): → accumulo deformazioni e spostamenti • riduzione resistenza (dopo il sisma): → movimenti franosi

azioni, resistenze

comportamento in condizioni sismiche

comportamento stabile

azioni, resistenze

azioni resistenze

azioni inerziali • accumulo spostamenti

azioni, resistenze

(durante il sisma)

riduzione resistenza • movimenti franosi (dopo il sisma) tempo

4

movimenti indotti da effetti inerziali monte

Austrian dam N

Loma Prieta (17.10.1989) staz. Corallito

valle

76.2°

A dx (cm)

40

A

20

valle

0 -20 0

50

100

150

200

250

0

50

100

150

200

250

0

d y (cm)

20 40 60 80 100

stazione (m)

Harder et al. (1998)

frane indotte da riduzione di τf frana di Andretta (D’Elia et al., 1986)

5

analisi di stabilità (a) prima del sisma: condizioni statiche (b) durante il sisma: condizioni pseudostatiche o dinamiche (c) dopo il sisma: condizioni statiche, ma con eventuali incrementi di u e decrementi di c′ e ϕ′

metodi di analisi 1. metodi pseudostatici 2. metodi degli spostamenti 3. metodi di analisi dinamica

differenze metodi di analisi – definizione azione sismica – valutazione condizioni di stabilità – modello di comportamento per il terreno • mezzo rigido plastico perfetto (decadimento resistenza: c′, ϕ′, Δu) • schematizzazioni miste (visco-elastico + rigido-plastico) • modelli elasto-plastici incrudenti – condizione limite di riferimento • stato limite ultimo (condizioni di collasso incipiente) • stato limite di servizio (perdita di funzionalità)

6

modello di sottosuolo e azione sismica

fasi di studio

• definizione modello di sottosuolo e parametri di ingresso alle analisi

• valutazione azione sismica • analisi di stabilità

parametri di resistenza

7

modello di sottosuolo caratterizzazione pendio • caratteristiche morfologiche e strutturali (superficie topografica, stratigrafia, discontinuità …)

• proprietà fisiche e meccaniche (condizioni cicliche e dinamiche) • regime delle pressioni interstiziali • entità e posizione dei carichi esterni strumenti di indagine

• cartografia di riferimento • rilievi di superficie • indagini geotecniche in sito e di laboratorio • monitoraggio di pressioni interstiziali e spostamenti

azione sismica • azione statica equivalente • parametri sintetici del moto sismico: amax, intensità di Arias, durata …

• storia temporale delle accelerazioni * * modifiche, all’interno del pendio, del moto sismico applicato alla formazione rigida di base

analisi risposta sismica

8

stabilità stabilità dei pendii naturali

• caratteri del comportamento in condizioni sismiche • modello di sottosuolo e azione sismica • analisi di stabilità • metodi pseudostatici − valutazione resistenza al taglio

metodi pseudostatici

9

valutazione delle condizioni di stabilità pendii naturali • valori caratteristici dei parametri geotecnici • cinematismo critico – minore margine di sicurezza • adeguatezza margine di sicurezza ⇒ progettista metodi pseudostatici coefficiente di sicurezza: rapporto tra resistenza al taglio disponibile e sforzo di taglio mobilitato lungo la s.d.s

F = τf / τm

assunto costante lungo la s.d.s.

metodi degli spostamenti coefficiente di sicurezza: rapporto tra un valore limite di spostamento e il massimo spostamento indotto dal sisma

F = dlim / dmax

funzione della posizione del punto

metodi pseudostatici • terreno: mezzo rigido plastico perfetto • esistenza di una superficie di scorrimento • sole equazioni della statica e criterio di resistenza (1) • sisma: forza statica equivalente proporzionale al peso della massa potenzialmente instabile

Fh = Kh·W

(componente orizzontale)

Fv = Kv·W

(componente verticale)

(1)

• metodi globali

(equilibrio limite o analisi limite)

• τf = c' + σ'n·tanϕ' • τf = cu

(analisi in tensioni efficaci) (analisi in tensioni totali)

• metodi dei blocchi o delle strisce (equilibrio limite)

10

coefficiente sismico equivalente

a(t)/g = K(t) a/g

• descrive gli effetti del terremoto sul pendio amax/g

0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 0

5

10

15

20

t (s)

25

30

35

coefficiente sismico equivalente

a(t)/g = K(t) a/g

• descrive gli effetti del terremoto sul pendio 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15

amax g K v = ±0 .5 ⋅ K h Kh = η ⋅

η·amax/g

η 15° Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base e inclinazione media 15° ≤ i ≤30° Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base e inclinazione media i > 30°

Ubicazione opera o intervento ---

ST 1,0

In corrispondenza della sommità del pendio In corrispondenza della cresta del rilievo In corrispondenza della cresta del rilievo

1,2 1,2 1,4

ST

i

i 1

pendio

rilievo

• per pendii di altezza H > 30 m e inclinazione α > 15° • configurazioni piane • in frane con s.d.s. profonde → ST = 1

note sui metodi pseudostatici risultati dipendenti da

• superficie di scorrimento • resistenza al taglio

superficie di scorrimento

• frane quiescenti: pre-esistente – effettiva • frane di primo scorrimento: neo-formazione – potenziale: • lungo discontinuità pre-esistenti; • all’interno del volume di terreno (ricercata per tentativi) non coincide con quella in condizioni statiche

resistenza al taglio

• in condizioni post-sismiche per amax > 0.15 g : → possibile riduzione di τf • frane quiescenti o riattivate:

→ parametri di resistenza a grandi deformazioni (duttilità)

14

W = γ ⋅b⋅ D

l

l = b cosα

KhW D

Dw

pendio indefinito

A α

b ±KvW

(ζa-ζb) B

α

ha = ζ a

;

hb = ζ b +

ub = γ w ⋅ (ζ a − ζ b )

W S P

ha = hb

Kv positivo

ub

γw

ub = γ w ⋅ Dw ⋅ cos 2 α

equilibrio alla traslazione in direzione perpendicolare e parallela alla s.d.s. P W (1 ± K v ) cos α − K hWsenα = P ⇒ σ n = = γD (1 ± K v ) cos 2 α − K h γDsenα cos α l S K hW cos α + W (1 ± K v )senα = S ⇒ τ m = = K h γD cos 2 α + γD (1 ± K v )senα cos α l

⎫ γ wDw 2 ⎧ α⎬ tanϕ' c′ 1 c' +γD cos α⎨(1(1±±KKvv))−− KγhDtan−αK−h rtan u +⎩ ⋅ tan ⎭ ϕ′ τ Fc'= +(σ n −⋅ u ) tan ϕ' F= f = γD cos 2 α[K h + (1F±=K v ) tan α] K + (1 ± K ) tan α τm τm γD cos2hα[Kh + (1 ±v Kv ) tan α]

riduzione della resistenza al taglio

15

riduzione resistenza al taglio amax > 0.15 g possibile riduzione per incremento delle pressioni interstiziali (Δu) o decadimento delle caratteristiche di resistenza (c′, ϕ′, Cu) indotti dal sisma

τf = c′ + [(σn + Δσn) - (u + Δu)]·tanϕ′ T.E. τf = cu

T.T.

analisi in tensioni efficaci più appropriate: • Δu costante lungo la s.d.s.

riduzione resistenza al taglio – effetto Δu condizioni post-sismiche → Δu indotte dal sisma

→ riduzione F

pendio indefinito

F=

c′ tan ϕ′ + (1 − ru ) ⋅ (1 − ψ max ) ⋅ γD ⋅ senα cos α tan α

stima di ψ max =

Δumax σ'n0

16

riduzione resistenza al taglio – effetto Δu pendio indefinito – condizioni statiche successive al sisma F=

(σ − u0 − Δu ) ⋅ tan ϕ′ c′ + n γD ⋅ senα cos α γD ⋅ senα cos α (σn − u0 ) ⋅ tan ϕ′ − γD ⋅ senα cos α

Δu ⋅ tan ϕ′ γD ⋅ senα cos α

σn = γD cos2 α

posto

u0 = γ w Dw cos 2 α ru =

u0 γ D = w w σ n0 γD

Δu Δu = 2 ′ σn0 γD cos α ⋅ (1 − ru ) Δu ⋅ tan ϕ′ Δu tan ϕ′ = ⋅ γD ⋅ senα cos α γD cos 2 α tan α

ψ=

e

(σn − u0 ) ⋅ tan ϕ′ = (1 − r ) tan ϕ′ u γD ⋅ senα cos α

tan α

Δu tan ϕ′ tan ϕ′ = ψ ⋅ (1 − ru ) ⋅ ⋅ tan α γD cos 2 α tan α

riduzione resistenza al taglio – effetto Δu analisi in tensioni efficaci: − γ < γv ⇒ Δu = 0 − γ > γv ⇒ Δu > 0 applicazione di Δu lungo la s.d.s. Δu > 0 in terreni contraenti: sabbie sciolte o argille n.c. previsione analitica di Δu con modelli costitutivi avanzati (ricerca)

relazioni empiriche nella forma

Δu = f (γmax , N ) p'0

con: γmax > γv massima ampiezza di deformazione N = numero di cicli

17

stima di γv IP

IP

γv

γ

γ

Vucetic (1994)

stima Δu in terreni coesivi Δu γ = β ⋅ log c p' 0 γv

β ≅ 0.45

Matsui et al. (1980)

γc,max = deformazione di taglio max indotta dal sisma → da analisi di risposta sismica τmax (kPa) 0

100

200

γmax (%) 300

0

0.08

0.16

amax (g) 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

10

20

z (m)

ψ=

30

40

50

18

stima Δu in terreni coesivi – γc in alternativa: γ c,max =

τmax G

A m·amax

con τmax → da valutazione semplificata

amax

amax

z τmax

rd = 1-0.015 z

τ max A = m ⋅ amax τ max =

m ⋅ amax a γ = ρ ⋅ A ⋅ z max = ⋅ z ⋅ amax A A g

τ max = σ v

amax · rd g Idriss e Golesorkhi (1997)

stima Δu in terreni coesivi – γc τmax =

amax ⋅ σ v ⋅ rd g

γ c,max =

τmax G

G di tentativo → γ G e γ compatibili ? → no → aggiorna G e ripeti

19

stima Δu in terreni granulari ψ=

⎛N ⎞ Δu 2 ⎟⎟ = sen−1⎜⎜ ' σ0 π ⎝ NL ⎠

a = 0.96 ⋅ Dr

1 2a

0,83

stima di NL

→

(Seed e Booker, 1977)

τ eq σ'0

τeq = 0.65 τmax sollecitazione ciclica equivalente di ampiezza costante NL: num. cicli richiesti per produrre liquefazione

σ'0 = pressione efficace media iniziale NL = num. cicli di carico uniformi necessari per inizio liquefazione N = num. cicli di carico uniformi equivalenti al sisma Dr = densità relativa

stima Δu in terreni granulari ⎛N ⎞ Δu 2 ⎟⎟ ψ = ' = sen−1⎜⎜ σ0 π ⎝ NL ⎠ a = 0.96 ⋅ Dr

1 2a

0,83

stima di NL

→

(Seed e Booker, 1977)

τ eq σ'0

τeq = 0.65 τmax sollecitazione ciclica equivalente di ampiezza costante NL: num. cicli richiesti per produrre liquefazione

log N = −2.3679 − 2.3460 ⋅ log amax + 0.9194 ⋅ log ν 0 + 1.1911⋅ log Ia log N = −1.9231 − 2.5467 ⋅ log amax + 0.8657 ⋅ log ν 0 − 0.2278 ⋅ logTD + 1.2613 ⋅ log Ia

stima di N (Biondi, Cascone, Maugeri, 2003)

20

riduzione resistenza al taglio scelta parametri frane attive o quiescenti (riattivabili dal sisma) terreni a comportamento fragile: cond. di post-picco c' ≈ 0 ϕ' = ϕ'pp cond. residue c' ≈ 0 ϕ' = ϕ'r

picco

post-picco

tensione di taglio, τ : kPa

picco

residuo

post-picco ≈ ricostituito n.c

residuo

tensione normale efficace, σ′n: kPa

riduzione resistenza al taglio condizioni statiche successive al sisma

• sovrappressioni interstiziali Δu indotte dal sisma • degradazione parametri di resistenza pendio indefinito

α

W S

D Dw P

F=

ψ=

tan ϕ′ c′ + (1 − ru ) ⋅ (1 − ψ ) ⋅ γD ⋅ senα cos α tan α

Δu γ = β ⋅ log c p'0 γv

terreni coesivi Matsui et al. (1980) 1 2a

⎛ N ⎞ 2 ⎟ ψ = ' = sen −1⎜⎜ ⎟ σ0 π ⎝ NL ⎠ Δu

a = 0.96 ⋅ Dr

0,83

terreni granulari (Seed e Booker, 1977)

21

riduzione resistenza al taglio tensioni totali terreni coesivi • possibili riduzioni di Cu: - degradazione ciclica del materiale - accumulo di Δu (proporzionale al numero di cicli del sisma)

• necessarie prove cicliche • coefficiente di riduzione di Cu

δcu= N-t

Cu rid = δcu·Cu t = s⋅(γc – γv)r

con

γc =

0.65 ⋅ τmax G

riduzione resistenza al taglio tensioni totali terreni coesivi

s r

Coefficienti per il calcolo dell’indice di degradazione ciclica (Matasovic, 1993) OCR = 1 OCR = 2 OCR = 4 IP = 15 IP = 30 IP = 50 IP = 50 IP = 50 0.195 0.095 0.075 0.054 0.042 0.600 0.600 0.495 0.480 0.423

Cu rid = δcu·Cu t = s⋅(γc – γv)r

con

δcu= N-t γc =

0.65 ⋅ τmax G

22

appendice richiami sui metodi di analisi

• metodi globali dell’equilibrio limite • metodi delle strisce

W = γ ⋅b⋅ D

l

l = b cosα

A

KhW D

Dw

pendio indefinito

α

b

±KvW

(ζa-ζb) B

α

ha = ζ a

;

hb = ζ b +

ub = γ w ⋅ (ζ a − ζ b )

W S P

ha = hb

Kv positivo

ub

γw

ub = γ w ⋅ Dw ⋅ cos 2 α

equilibrio alla traslazione in direzione perpendicolare e parallela alla s.d.s. W (1 ± K v ) cos α − K hWsenα = P ⇒ σ n = K hW cos α + W (1 ± K v )senα = S

P = γD (1 ± K v ) cos 2 α − K h γDsenα cos α l S ⇒ τ m = = K h γD cos 2 α + γD (1 ± K v )senα cos α l

⎫ γ wDw 2 ⎧ α⎬ tanϕ' c′ 1 c' +γD cos α⎨(1(1±±KKvv))−− KγhDtan−αK−h rtan u +⎩ ⋅ tan ⎭ ϕ′ τ Fc'= +(σ n −⋅ u ) tan ϕ' F= f = K2h + (1 ± K v ) tan α γD cos 2 α[K h + (1F±=K v ) tan α] τm τm γD cos α[Kh + (1 ± Kv ) tan α]

23

cuneo piano b KhW W H

θ

α

c

a c = H senϑ ; b d = Hsen(α − ϑ ) senα 1 sen(α − ϑ ) Area(abc ) = H 2 2 senα ⋅ senϑ 1 W = γ ⋅ A = γH 2 ⋅ (cot anϑ − cot anα ) 2

±KvW d S P Kv positivo

a equilibrio alla traslazione in direzione perpendicolare e parallela alla s.d.s. W (1 ± K v ) cos ϑ − K hWsenϑ = P

K hW cos ϑ + W (1 ± K v )senϑ = S

F=

→

F=

c' ⋅a c + {W [(1 ± K v ) cos ϑ − K h senϑ] − U }tan ϕ' W [K h cos ϑ + (1 ± K v )senϑ]

[(1 ± K v ) − K h tan ϑ − U W cos ϑ] ⋅ tan ϕ' c' 2 tan ϑ + ⋅ [K h + (1 ± K v )tan ϑ] γH sen (α − ϑ)[K h + (1 ± K v ) tan ϑ]

d O

θh

θ0

s.d.s. circolare – B.T. R Kv positivo

e

KhW H

W

τm

α

τm σn

±KvW σn

analisi in tensioni totali

τ = cu equilibrio alla rotazione

σn ϑh

ϑh

ϑ0

ϑ0

W (1 ± K v ) ⋅ d + K hW ⋅ e = ∫ τ ⋅ Rds = R ⋅ ∫ cum ⋅ Rdϑ =

F=

cu 2 R (ϑh − ϑ0 ) F

cuR 2 (ϑh − ϑ0 ) MR = MD W [(1 ± K v ) ⋅ d + K h ⋅ e ]

24

metodi delle strisce τm σn

F=

[c' + (σn − u )tan ϕ' ] τf = τm τm

H

τm

σn

σn

• lo sforzo di taglio mobilitato lungo la s.d.s. dipende da σn • una distribuzione approssimata di σn si può ottenere suddividendo il corpo di frana in n strisce verticali • larghezza b delle strisce non costante e sufficientemente piccola: - da potere assumere σn e τm ed u agenti alla base uniformi - da descrivere con accuratezza il p.c. e la s.d.s.

b

azioni su una striscia

Variabili Incognite P n S (F) n khW E n-1 EL ER=EL+ΔE W X n-1 h n-1 XR=XL+ΔX S a n a Totale 6n-3 P Equazioni 3n U α Incognite 3n-3 l XL

P ≅ σ n ⋅l U ≅ u ⋅l S ≅ τm ⋅l = S≅

h 1 {c'+(σ n − u ) tan ϕ '}⋅ l F

1 {c'⋅l + (P − U ) tan ϕ '} F

assunzioni iniziali: - F = cost. - risultanti P ed U al centro della base

ipotesi aggiuntive : sulle azioni di contatto tra le strisce

←

Variabili Incognite P n F 1 E n-1 X n-1 h n-1 Totale 4n-2 Equazioni 3n Incognite n-2

25

RL

b

metodo di Fellenius (1936)

khW

proposto originariamente per s.d.s. circolari risultanti azioni di contatto parallele alla base

W

X Li X Ri = = tan αi E Li E Ri

RR

S P U

n-1 condizioni imposte, n-2 incognite → problema sovracondizionato → metodo approssimato

α

l

viola il principio di azione e reazione:

tan αi ≠ tan αi+1

risultati ragionevoli per s.d.s. superficiali → modeste differenze in αi valori di F minori di quelli forniti da metodi esatti (favore di sicurezza) - differenze modeste 10-15% per scorrimenti superficiali - differenze considerevoli (fino al 60%) per scorrimenti profondi

f +O

x e

eq. globale: rotazione rispetto ad O R

∑i Wi xi + ∑i Qi ei − ∑i Pi f i − ∑i Si Ri = 0 1 ' ' ∑i cì lì + (Pì − U i ) tan ϕ i ⋅ Ri = ∑i Wi xi + ∑i Qi ei − ∑i Pi f i = 0 F

[

khW W

S

metodo di Fellenius (1936)

]

P

F=

eq. locale: traslazione perpendicolare alla base →

F=

[

[

]

' ' ∑i cì lì + (Pì − U i ) tan ϕ i ⋅ Ri ∑i Wi xi + ∑i Qi ei − ∑i Pi f i

Pi = Wi cos α i − Qi senα i

]

' ' ∑i cì lì + (Wi cosα i − Qi senαi − U i ) tan ϕ i ⋅ Ri ∑i Wi xi + ∑i Qi ei − ∑i (Wi cosα i − Qi senα i ) f i

s.d.s. circolare ↓ ' ' Ri = R = cost ; xi = R ⋅ senα i ; f i = 0 F = ∑i cì lì + (Wi cosα i − Qi senα i − U i ) tan ϕ i R R ⋅ ∑i Wi senα i + ∑i Qi ei

[

]

26

b

metodo di Bishop semplificato (1955) EL

khW

proposto originariamente per s.d.s. circolari risultanti azioni di contatto orizzontali

W ER

S

X Li = X Ri = 0

P U l

α

n-1 condizioni imposte, n-2 incognite → problema sovracondizionato → metodo approssimato

risultati accurati per s.d.s. superficiali valori di F minori di quelli forniti da metodi esatti (favore di sicurezza) - differenze modeste ≈7% spesso ≤ 4%

metodo di Bishop sempl. (1955) eq. globale: rotazione rispetto ad O

e

∑i Wi xi + ∑i Qi ei − ∑i Pi f i − ∑i Si Ri = 0 1 ' ' ∑i cì lì + (Pì − U i ) tan ϕ i ⋅ Ri = ∑i Wi xi + ∑i Qi ei − ∑i Pi f i = 0 F

[

F=

]

[

f +O

x R khW W

S P

]

' ' ∑i cì lì + (Pì − U i ) tan ϕ i ⋅ Ri ∑i Wi xi + ∑i Qi ei − ∑i Pi f i

s.d.s. circolare ↓ Ri = R = cost ; xi = R ⋅ senαi ; f i = 0

⇒

F=

[

]

' ' ∑i cì lì + (Pì − U i ) tan ϕi R R ⋅ ∑i Wi senαi + ∑i Qi ei

27

b

metodo di Bishop sempl. (1955) EL

eq. locale: traslazione verticale

khW

P i cosα i + Si senα i − Wi = 0

W ER

S

[

]

1 ' ci ⋅ li + (Pi − U i ) tan ϕi' ⋅ senα i − Wi = 0 F 1 1 ⎛ ⎞ P i cosα i ⎜1 + tan ϕi' tan α i ⎟ = Wi − ci' ⋅ li − U i tan ϕi' ⋅ senα i F ⎝ F ⎠ 1 ⎛ ⎞ mαi ( F ,α i ) = cosα i ⎜1 + tan ϕi' tan α i ⎟ ⎝ F ⎠ 1 ⎧ 1 ' ⎫ ' Pi = ⎨Wi − ci ⋅ li − U i tan ϕi ⋅ senα i ⎬ mαi ⎩ F ⎭ P i cosα i +

[

P U

α

l

[

]

]

eq. implicita in F → procedura iterativa 1. valore di primo tentativo di F(0) (es. Fellenius) 2. calcolo di mαi e Pi si → fine 3. nuovo valore di F(1) ( ) ( ) 1 0 4. controllo tolleranza F − F ≤ Tol no → F(1) = F(0) → (2)

b

metodo di Morgenstern & Price (1965) XL

proposto per s.d.s. di forma qualunque

khW

EL

W

ER=EL+ΔE

relazione tra le azioni di contatto Xi = λ ⋅ f ( xi ) Ei

XR=XL+ΔX

S P U l

f ( x) = 1

f ( x) f ( x)

con f (x) nota e λ incognita: (n-1) condizioni imposte, (n-1) incognite → metodo “esatto”

costante

⎛ πx ⎞ f ( x) = sen⎜ ⎟ ⎝L⎠ f ( x) = ke f ( x)

α

⎛⎜ −C nω n 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠

seno funzione di errore seno troncato trapezoidale

in genere valori maggiori di f (x) nella porzione centrale del corpo di frana (maggiore inclinazione risultante) assunzione di base: soluzione non molto influenzata da f purchè soluzione accettabile

(x)

assegnata per punti

28

f +O

x e

metodo di Morgenstern & Price (1965) 2 incognite: F e λ 2 eq. di equilibrio globale:

R khW W

S

eq. globale: rotazione rispetto ad O ∑i Wi xi + ∑i Qi ei − ∑i Pi f i − ∑i Si Ri = 0

P

eq. globale: traslazione orizzontale

∑i Pi senαi − ∑i Si cosα i + ∑i Qi = 0 Fm =

[

]

' ' ∑i cì lì + (Pì − U i ) tan ϕ i ⋅ Ri ∑i Wi xi + ∑i Qi ei − ∑i Pi f i

Ff =

[

]

' ' ∑i ci li + (Pi − U i ) tan ϕ i ⋅ cosα i ∑i Pi senα i + ∑i Qi

incognite Pi: condizioni di equilibrio locale alla traslazione della singola striscia secondo 2 direzioni ortogonali

metodo di Morgenstern & Price (1965)

b

traslazione locale in direzione verticale

XL

P i cosαi + Si senαi + ΔX i − Wi = 0

khW

EL

W

ER=EL+ΔE XR=XL+ΔX

S P U l

α

[

]

1 ' ⎧ ⎫ ' ⎨Wi − ΔX i − ci ⋅ li − U i tan ϕ i ⋅ senα i ⎬ F ⎩ ⎭ 1 mαi ( F ,α i ) = cosα i ⎛⎜1 + tan ϕ i' tan α i ⎞⎟ ⎠ ⎝ F Pi =

1 mαi

traslazione locale in direzione orizzontale

Pi senα i − Si senα i + Qi − ΔEi = 0 ΔEi = Qi + Pi senα i −

[

1 ' ci li + (Pi − U i ) tan ϕ i' F

]

29

metodo di Morgenstern & Price (1965) ∑ (a) Fm = i

[c l + (P − U ) tan ϕ ]⋅ R ' ì ì

ì

' i

i

∑i Wi xi + ∑i Qi ei − ∑i Pi fi

∑ (b) F f = i

(c) P i =

i

[c l + (P − U ) tan ϕ ]⋅ cosα ' i i

i

' i

i

∑i Pi senα i + ∑i Qi

[

(d) ΔEi = Qi + Pi senα i −

i

]

1 ⎧ 1 ' ⎫ ' ⎨Wi − ΔX i − ci ⋅ li − U i tan ϕ i ⋅ senα i ⎬ mαi ⎩ F ⎭

[

1 ' cili + ( Pi − U i ) tan ϕ i' F

]

(e) X Li = EL i λ ⋅ f ( xLi ) ; X R i = ER i λ ⋅ f ( xR i ) Procedura iterativa: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

valore assegnato di λ (λ=0-1) XL=XR=0 e calcolo di Fm(0) e Ff(0) mediante la (c) per Pi e (a) e (b) per F calcolo di ΔEi con la (d) e quindi delle Ei calcolo delle Xi con la (e) e quindi delle ΔXi calcolo dei nuovi valori delle Pi con la (c) e quindi di Fm(1) e Ff(1) controllo della convergenza (si = fine; no → 3)

al termine della procedura, si ripete l’analisi con un nuovo valore di λ

metodo di Morgenstern & Price (1965) Ff

F

Fm

F

Bishop

F e λ si ottengono dalla condizione:

Fm(λ) = Ff (λ)

Janbu

λ

λ

soluzione accettabile se: - lungo le superfici di contatto tra le strisce: Xi < Xfi(Ei) - forze normali Pi ed Ei di compressione s.d.s. circolari: soluzione di Bishop prossima a quella dei metodi “esatti”

→ il coefficiente Fm (al contrario di Ff) dipende poco dalle ipotesi adottate sulla direzione delle azioni di contatto tra le strisce

30

Stabilità dei pendii naturali

S. Rampello

stabilità stabilità dei pendii

• caratteri del comportamento in condizioni sismiche • modello di sottosuolo e azione sismica • analisi di stabilità • metodi pseudostatici − valutazione resistenza al taglio • metodi degli spostamenti − formulazione originaria − formulazione modificata − metodi semplificati

• scelta del coefficiente sismico

… lez. lez. 33-4

1

metodi degli spostamenti formulazione originaria

metodi degli spostamenti • azione sismica: • effetti azione sismica:

funzione temporale (≥ 7 acceler. naturali) spostamenti accumulati

soglia critica di spostamento – scelta dal progettista: progettista • condizione di collasso incipiente (stato limite ultimo) • perdita di funzionalità (stato limite di esercizio)

fasi di analisi • scelta accelerogrammi di progetto • determinazione del coefficiente sismico critico Kc= ac/g al quale corrispondono condizioni di equilibrio limite (Fs = 1) • calcolo spostamento (doppia integrazione eq. moto relativo) • confronto tra spostamento limite e spostamento calcolato

2

metodo degli spostamenti schema di blocco rigido

a

Newmark (1965)

a0 base

• terreno instabile → corpo rigido • a(t) costante nello spazio • τf costante nel tempo (ac = cost)

vr

ac ab

v

mab

blocco

t0

tm = t0

B

C

a0

T

ur =

ac

mac

A

ac = Tlim /m < a0

Tlim

t

v 02 2ac

⎛ a ⎞ ⎜1 − c ⎟ ⎜ a0 ⎟⎠ ⎝

v0

ab a0

a0 ac

velocità base a0·t velocità blocco ac·t

t0

t

tm

ur

t < t0 t < tm

t

calcolo spostamenti 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

vvr (m/s) (m/s)

a (m/s2)

doppia integrazione moto relativo inizio movimento

aacc a

ar (t ) = a(t ) − ac istante di arresto

inizio moto ar(t) > 0

intervallo di integrazione

1

v r (t ) = ∫ ar (t )dt cond. di moto vr(t) > 0 fine moto vr(t) ≤ 0

0 nessuno spostamento

ds (m) (m)

0.2 0.1 0

0

1

2

t (s)

3

4

5

d (t ) = ∫ vr (t )dt

3

metodo degli spostamenti • il corpo di frana si sposta lungo la s.d.s. quando a(t) > ac • lo spostamento si annulla quando si annulla la velocità relativa

lo spostamento dipende da - ampiezza, durata e contenuto in frequenza dell'azione sismica a(t) - caratteristiche geotecniche e geometriche del pendio ac

metodo degli spostamenti assunzioni formulazione originaria • • • • •

corpo di frana ⇒ corpo rigido condizioni piane a(t) costante nel corpo di frana (nello spazio)* resistenza al taglio costante → ac costante nel tempo (cu, c′,ϕ′, u cost.)* spostamento verso monte nullo

* possono essere rimosse

nota ac deve essere valutata utilizzando i valori caratteristici dei parametri di resistenza

4

scelta accelerogrammi di progetto

pericolosità sismica di base

mappa di pericolosità sismica di base per il territorio nazionale

http://esse1.mi.ingv.it

5

pericolosità sismica di base 9 ag: accelerazione orizzontale massima attesa su sito di riferimento rigido (A A) con piano campagna orizzontale

9 Se(T): ordinate dello spettro di risposta elastico in accelerazione ad essa corrispondente

entrambe riferite a prefissate probabilità di superamento PVR nel periodo di riferimento VR

9 a(t): accelerogrammi commisurati alla pericolosità del sito

definizioni PVR = probabilità che in un fissato intervallo di tempo si verifichi un evento sismico di entità maggiore o eguale ad un prefissato valore;

VR =

intervallo di tempo al quale è riferita la probabilità di superamento;

TR =

intervallo di tempo che mediamente intercorre tra due terremoti che producono un'accelerazione spettrale maggiore o eguale di quella considerata;

λ=

1/TR, frequenza annuale di superamento: numero di eventi di entità maggiore o eguale ad un prefissato valore / periodo di osservazione

6

definizioni VN = vita nominale TIPI DI COSTRUZIONE 1 2 3

Opere provvisorie – opere provvisionali – Strutture in fase costruttiva Opere ordinarie, ponti, opere infrastrutturali e dighe di dimensioni contenute o di importanza normale Grandi opere, ponti, opere infrastrutturali e dighe di grandi dimensioni o di importanza strategica

Vita Nominale VN (in anni) ≤ 10 ≥ 50 ≥ 100

CU = coefficiente d'uso Classe d’uso Coefficiente CU

I 0.7

II 1.0

III 1.5

IV 2.0

VR = VN·CU = periodo di riferimento

PVR = probabilità di superamento Stati limite Stati limite di esercizio Stati limite ultimi

(

TR = − VR ln 1 − PVR

Stati limite

Stati limite di esercizio Stati limite ultimi

PVR: Probabilità di superamento nel periodo di riferimento VR 81 % 63 % 10 % 5%

SLO SLD SLV SLC

SLO SLD SLV SLC

)

= periodo di ritorno

Valori in anni del periodo di ritorno TR al variare del periodo di riferimento VR 30 anni ≤ TR = 0.6·VR TR = VR TR = 9.5·VR TR = 19.5·VR ≤ 2475 anni

processo Poissoniano • completamente casuale – nessuna memoria di eventi pregressi • probabilità che un evento con frequenza di superamento λ = 1/TR si produca in un intervallo di tempo VR:

PVR = 1 − e

−λ⋅VR

V − R = 1 − e TR

TR =

1 − VR = λ ln 1 − PVR

(

)

7

mappa di pericolosità sismica di riferimento

ag max = 0,278g

ag = accelerazione massima su affioramento rigido • probabilità di superamento PVR = 10% • periodo di riferimento VR = 50 anni • periodo di ritorno TR= 475 anni (50° percentile)

reticolo con valori di ag,475

8

amax al sito su affioramento rigido

TR= 475 anni λ = 1/475=0.0021

Fo = 2.60

Tc*=0.28

magnitudo e distanza che concorrono alla sismicità del sito

9

scelta accelerogrammi

scelta accelerogrammi

10

4

4

2

2

2

2

0

-2

-4

0

-2

0

20

40

60

-4

80

-2

0

20

t (s)

40

60

-4

80

2

2

0

-2

a (m/s2)

2

0

-2

0

20

40

t (s)

0

20

60

80

-4

40

60

80

t (s) 4

0

-2

t (s) 4

a (m/s2)

a (m/s2)

0

4

-4

a (m/s2)

4

a (m/s2)

4

a (m/s2)

a (m/s2)

accelerogrammi selezionati

-4

0

20

40

60

80

t (s)

0

-2

0

20

40

t (s)

60

80

-4

0

20

40

60

80

t (s)

valutazione coefficiente sismico critico

11

valutazione Kc – pendio indefinito (Kv = 0) F=

c'+(γD − γ w Dw ) cos 2 α tan ϕ'− K h γDsenα cos α tan ϕ' γDsenα cos α + K h γD cos 2 α

equilibrio limite F=1

mezzo dotato di coesione e attrito ⎛ γ w Dw ⎞ ⎜1 − ⎟ tan ϕ′ γD ⎠ tan α c′ ⎝ + − Kc = 2 ′ 1 tan tan 1 tan + α ϕ + α tan ϕ′ ′ γD cos α(1 + tan α tan ϕ )

terreno granulare (t.e.) - u = 0 (Dw = 0)

K c = tan(ϕ′ − α )

terreno granulare (t.e.) - u ≠ 0 (Dw = D)

Kc ≅

0.5 tan ϕ′ − tan α 1 + tan α tan ϕ′

terreno coesivo (t.t.)

Kc =

cu − tan α γD cos 2 α

valutazione Kc – metodo delle strisce • Kh di tentativo e ricerca di Fmin (con s.d.s. associata) • curva F – Kh

Kc = 0.173

2

FS

1.5

F = 1 ⇒ Kc

1

0.5 0

0.1

0.2

0.3

Kh

12

metodi pseudostatici inversi • valutazione coefficiente sismico critico Kc (F = 1) e accelerazione critica ac = Kc⋅g

• ac > amax → pendio stabile valori di ac corrispondenti a diversi livelli di esposizione all’azione sismica (osservazioni sul comportamento di pendii californiani in condizioni sismiche) ac (g)

stato del pendio instabile precario moderatamente stabile piuttosto stabile stabile molto stabile

< 0.01 0.01 – 0.1 0.1 – 0.3 0.3 – 0.5 0.5 – 0.7 > 0.7

dipendono da caratteristiche locali dei siti e degli eventi considerati ↓ cautela

calcolo spostamenti

13

equazione moto relativo – s.d.s. piana W = γ ⋅b ⋅ D l = b cosα

m ⋅ x&&(t ) = [D(K ) − D(K c )] − [R (K ) − R (K c )]

±K vW

K hW

[D(K ) − D(Kc )] = (Kh − K c ) ⋅ W cos α [R(K ) − R(Kc )] = −(Kh − Kc ) ⋅ Wsenα tan ϕ'

x&&(t ) = [Kh (t ) − K c ] ⋅ g ⋅

A

b

R = c ' l + (W cos α − K hWsen α − U ) ⋅ tan ϕ' D = W (sen α + K h cos α )

W && cos(α − ϕ') x(t ) = (Kh − K c ) ⋅ W ⋅ g cos ϕ'

l

Dw

D

α

W S P

scorrimento parallelo alla s.d.s.

cos(α − ϕ') cos ϕ'

x&&(t ) = [a(t ) − ac ] ⋅

cos(α − ϕ') cos ϕ'

x&&(t ) = [a (t ) − ac ] ⋅ cos α

x&&(t ) = [K h (t ) − K c ]⋅ g ⋅ cos α

T.E.

T.T. [R(K)-R(Kc)]=0

equazione moto relativo s.d.s. circolare - Bishop &&(t ) = [M (K ) − M (K )] − [M (K ) − M (K )] Jϑ D D c R R c ⎧⎪ MR = ∑i⎨cì'l ì + ⎪⎩

d O

θh

θ0 R

⎫ ⎫ ⎧ 1 ⎡ 1 ' ⎤ '⎪ ⎨ ⎢Wi − F ci li − Ui tan ϕi ⋅ senαi ⎥ − Ui ⎬tan ϕi ⎬ m ⎪⎭ ⎦ ⎭ ⎩ αi ⎣

(

)

e

MD = ∑ Wi [R ⋅ senαi + Kh ⋅ ei ]

[MD (K ) − MD (Kc )] = (Kh − K c ) ⋅ ∑ Wiei [MR (K ) − MR(Kc )] = 0

K hW H

W τm

α

τm

±K vW

σn

σn

σn

&&(t ) = [K (t ) − K ] ⋅ ∑ W e Jϑ h c i i

T.E.

&&(t ) = [K (t ) − K ] ⋅ ∑ W e Jϑ h c i i

T.T.

&&(t ) = [a(t ) − a ] ⋅ ∑ Wiei ϑ c J ⋅g

14

calcolo spostamenti s.d.s. piana x&&(t ) = [a(t ) − ac ] ⋅

cos(α − ϕ') cos ϕ'

analisi in tensioni efficaci

x&&(t ) = [a (t ) − ac ] ⋅ cos α

analisi in tensioni totali

s.d.s. circolare (metodo di Bishop) &&(t ) = [a(t ) − a ] ⋅ ∑ Wiei ϑ c J ⋅g

analisi in tensioni efficaci analisi in tensioni totali

esempio calcolo spostamenti

O

0.8

ag (g)

0.4 0 -0.4 -0.8 20

60

80 0.6

0.006 0.004 0.002 0

testa

0.4

dtot dx

0.2

dy

0 0

20

0.006

40

t (s)

60

80

0 0.6

0.004

d (m)

rotazione θ (rad)

40

t (s)

d (m)

velocità angolare (rad/s)

0 0.008

0.002

20

piede

40

t (s)

60

80 dtot ≅ dx

0.4

0.2 dy

0

0 0

20

40

t (s)

60

80

0

20

40

t (s)

60

80

15

spostamenti limite dlim

del pendio di manufatti presenti nel pendio

dlim dipende da

livello di danno V IV III II I

irrilevante modesto moderato elevato catastrofico

• tipo del pendio (artificiale, naturale) • esistenza di manufatti / tipo di manufatti • gravità di danni connessi a frana eventuale • livello di protezione prescelto spostamento (cm) H) → moto sincrono • combinazione di grandi corpi di frana di bassa rigidezza con segnali sismici di elevata frequenza (λ = Vs/f < H) → moto asincrono → riduzione delle forze inerziali

esempio pendio indefinito H = 15, 120 m

α = 20° 20°

L = 50, 150 m D = 5, 15 m

LL

H

D

18

comportamento terreno e rigidezza Vs (m/s)

• visco-elastico non lineare

0

• profilo di rigidezza iniziale

0

100 200 300 400

5

- deposito rigido

- deposito deformabile

curve G(γ) and D(γ) da Vucetic & Dobry (1991) con IP = 25%

z (m)

10 15 20 25

stiff soft

30

profili di accelerazione istantanea effetto rigidezza terreno 0

z (m)

1

0

0.2

0

0.2

ax (g)

0

0.2

0

0.2

0

0.2

dep. rigido • acc. stesso verso

2 3 4

dep. deformabile • acc. verso opposto fra monte e valle

5

Soft (aeq=0.07g; t=1.06s) Stiff (aeq=0.13g; t=1.63s)

19

profili di accelerazione istantanea effetto volume di terreno instabile 0

0

0.2

0

0.2

ax (g)

0

0.2

0

0.2

0

0.2

0.2

z/D

0.4

al crescere di L e D • asincronicità anche in direzione verticale

0.6 0.8 1

(b) L=50m (aeq=0.07g; t=1.06s)

D=5m

L=150m (aeq=0.02g; t=1.15s) D = 15 m

effetto dimensioni del corpo di frana dep. deformabile 5 00 0.1

H = 118 m

0.08

d (m)

dep. rigido Kc = cost = 0.015

50

D=5m

D=5m D = 10 m D = 15 m

0.06

L = 25 m

H = 118 m

a parità di resistenza D = 10 m

0.04

50 100

L = 25 m 50

75 150 100

0.02 50 100

0 0

1

2

t (s)

3

4 5 150 75 -100

D = 15 m 0

1

2

t (s)

3

4

5

• rigidezza terreno: d cresce con la rigidezza • dimensioni corpo di frana: d decresce al crescere di D e L • profondità bedrock: d cresce con H

20

metodi degli spostamenti relazioni empiriche

metodi degli spostamenti formulazione originaria a(t) costante nello spazio Kc costante nel tempo dmax → doppia integrazione equazione moto relativo formulazione modificata aeq(t) da analisi della risposta sismica Kc costante o decrescente nel tempo dmax → doppia integrazione equazione moto relativo metodi semplificati – relazioni empiriche sisma: grandezze rappresentative (amax, IA, PD …) dmax → relazioni empiriche

21

relazioni empiriche – spostamento medio

ac

2 −9.4 37 ⋅ vmax amax d= e amax

Whitman & Liao (1984) (14 ev., 28 acc., M = 6.3-6.7,amax > 0.15g)

Ambraseys & Menu (1988) – d (cm) (11 ev., 50 acc., M = 6.6-7.2) 2.53 −1.09 ⎤ ⎡⎛ ⎛ ac ⎞ ac ⎞ ⎥ ⎟ ⎜⎜ ⎟ log d = 0.90 + log⎢⎜⎜ 1 − amax ⎟⎠ ⎢⎝ amax ⎟⎠ ⎥ ⎝ ⎣ ⎦

(cm)

relazioni empiriche – spostamento medio Jibson (1993) – d (cm)

log d = 1.460 log Ia − 6.642

Spostam ento di Newm ark [cm ]

d (cm)

(7 ev., 11 acc., M = 5.8-7.5 amax > 0.13g, Ia = 0.2-9.96 m/s)

ac + 1.546 g

1000

intensità di Arias

100

0.02g

10

Ia =

0.05g 0.1g

π a2 (t ) dt [LT-1] 2g ∫TD

0.2g

d (cm) Ia (m/s)

0.3g

1 0.4g

0.1 0.1

1 Intensità di Arias [m /s]

Ia (m/s)

10

22

relazioni empiriche – spostamento medio Crespellani et al. (1998) – d (cm) (155 ev., 310 acc.) PD =

Ia

v 20

d = 0.011⋅ PD 0.977

ac −1.338 g

(10-4g⋅s3) potenziale sismico distruttivo Ia (g⋅s)

v0 = intensità degli incroci con l’asse dei tempi di a(t) (s-1)

confronto metodi semplificati

Makdisi e Seed (1978)

Ambraseys e Menu (1988) Franklin e Chang (1977)

eventi sismici americani

23

database accelerogrammi naturali italiani dati di partenza • 160 stazioni accelerometriche • 100 eventi di magnitudo M ≥ 3.5 • 500 registrazioni (3 componenti) in condizioni free field

dati selezionati • 100 stazioni accelerometriche • 86 eventi di magnitudo M = 4.0 – 6.9 ; distanze epicentrali ≤ 100 Km ; profondità focali di 2 – 24 Km • 240 registrazioni (3 componenti) in condizioni free field PGA = 0.033 – 0.405 g e Ia = 0.006 – 1.233 m/s • 3 categorie di sottosuolo: ammassi rocciosi o terreni molto rigidi (A A) Vs > 800 m/s terreni consistenti (B B) Vs = 360 – 800 m/s terreni mediamente consistenti (C C, D) Vs < 360 m/s

relazioni empiriche (Rampello et al. 2010) fasi della procedura

accelerogrammi di ingresso da database SISMA per ciascuna categoria di sottosuolo

• 4 gruppi di accelerogrammi con amax = 0.05, 0.15, 0.25, 0.35 g • calcolo spostamenti per doppia integrazione del moto relativo • regressione esponenziale degli spostamenti calcolati • curve di limite superiore (90° percentile, B1, e 94 percentile, B2)

ln d = ln B − A

Ky Kmax

d = B⋅e

−A

Ky K max

24

relazioni empiriche (Rampello et al. 2010) 10 accelerogrammi scalati a 0.35g 0.35 g

0.25 g

accelerogrammi scalati a 0.25g

(m) ddd (m) (m)

1

d94

d94

0.1

depositi consistenti (categoria B)

0.01

0.001 0.2 10

0.4

KyK/y/KKmax max

0.6

0.8

0.2

0.15 g scalati a 0.15g accelerogrammi

0.4

KyK/y/KKmax max

0.05 g

0.6

0.8

accelerogrammi scalati a 0.05g

dd (m) (m)

1

d94 d94 = B2 ⋅e

d94

0.1

− A⋅

Ky Kmax

0.01

0.001 0.2

0.4

KyK/y/KKmax max

0.6

0.8

0.2

0.4

KyK/y/KKmax max

0.6

0.8

relazioni empiriche (Rampello et al. 2010) 1

1

0.25g

0.35g 0.1

d (cm)

d (cm)

0.1

0.01

0.01 cat. A cat. B cat. C, D, E

cat. A cat. B cat. C, D, E

0.001

0.001 0.2

1

0.4

Ky/Kmax

0.6

0.8

0.2 1

0.4

Ky/Kmax

0.15g

0.6

0.8

0.05g 0.1

d (cm)

d (cm)

0.1 0.01

0.01 0.001

cat. A cat. B cat. C, D, E 0.001

cat. A cat. B cat. C, D, E

0.0001 0.2

0.4

Ky/Kmax

0.6

0.8

0.2

0.4

Ky/Kmax

0.6

0.8

d94 =B2 ⋅e

− A⋅

Ky K max

25

relazioni empiriche (Rampello et al. 2010)

cat. A

cat. B

cat. C, D, E

amax (g)

A

B2 (m)

A

B2 (m)

A

B2 (m)

0.35

7.50

1.69

7.90

1.59

7.40

0.75

0.25

7.42

1.79

7.79

1.66

7.54

0.78

0.15

7.48

0.91

7.86

1.09

8.05

1.16

0.05

7.87

0.39

7.86

0.45

8.07

0.59

d94 =B2 ⋅e

− A⋅

Ky K max

scelta del coefficiente sismico

26

metodo pseudostatico – Keq Fh = Kh ⋅ W

con

Fv = K v ⋅ W

a/g

amax g K v = ±0.5 ⋅ Kh Kh = η ⋅

η 1 si può prevedere d < dy

28

scelta di η 1

1

0.25g

0.35g 0.1

η=

d (cm)

d (cm)

0.1

0.01

Ky Kmax

=

ln(d94 B2 ) −A

0.01

0.001

0.001 0.2

0.4

Ky/Kmax

1

0.6

0.8

0.2 1

0.4

Ky/Kmax

0.15g

0.6

0.8

Kh = η ⋅

0.05g

amax g

0.1

d (cm)

d (cm)

0.1 0.01

0.01 0.001

0.001

cat. B

0.0001 0.2

0.4

Ky/Kmax

0.6

0.8

0.2

0.4

Ky/Kmax

0.6

0.8

valori di η

• funzione di dy e amax dy (cm)

5

15

20

30

5

η (subsoil class A)

amax (g)

15

20

30

5

η (subsoil class B)

15

20

30

η (subsoil class C, D, E)

0.3 - 0.4

0.47

0.32

0.28

0.23

0.44

0.30

0.26

0.21

0.37

0.22

0.18

0.12

0.2 - 0.3

0.48

0.33

0.30

0.24

0.45

0.31

0.27

0.22

0.36

0.22

0.18

0.13

0.1 - 0.2

0.39

0.24

0.20

0.15

0.39

0.25

0.22

0.16

0.39

0.25

0.22

0.17

≤ 0.1

0.26

0.12

0.09

0.04

0.28

0.14

0.10

0.05

0.31

0.17

0.14

0.09

βs

29

valori di βs amax g K v = ±0 .5 ⋅ K h

K h = βs ⋅

categoria di sottosuolo A B, C,D, E ag (g) 0.2 < ag ≤ 0.4 0.1 < ag ≤ 0.2 ag ≤ 0.1

βs 0.30 0.27 0.20

βs 0.28 0.24 0.20

valori di βs βs è riferito agli spostamenti indotti nel pendio dal sisma

capacità del pendio di subire qualche spostamento senza meccanismi di collasso di tipo fragile

comportamento duttile → parametri di resistenza a grandi deformazioni

30

esempi applicativi

pendio indefinito metodo pseudostatico KhW D

Dw

±KvW

P

Kh = βs ⋅ S ⋅

α

D = 15 m Dw = 12 m α = 10°

W S

ag

g K v = ±0.5K h

amax = 0.289 g

γ = 20 kN/m3 c′ = 10 kPa ϕ′ = 28°

Kv positivo ag/g

0.25

βs SS ST S = SS⋅ST Kh Kv

0.28 1.154 1.0 1.154 0.081 0.0405

ru =

u 0 γ w Dw = σ0 γD

ru = 0.4

deposito coesivo IP = 30% VS = 210 m/s G0 = ρ·VS2 = 89920 kPa

31

valutazione soglia volumetrica

γv

30

γv = 6·10-4

Vucetic (1994)

Δu in terreni coesivi ψ=

Δu γ = β ⋅ log c p '0 γv

Matsui et al. (1980)

β ≅ 0.45

valutazione max deformazione di taglio indotta dal sisma γc,max

γ c,max =

τmax G

valutazione semplificata di τmax

τ max A = m ⋅ amax τ max =

A amax

m·amax

amax

z

m ⋅ amax a γ = ρ ⋅ A ⋅ z max = ⋅ z ⋅ amax A A g

τ max = σ v

τmax = τmax

amax g

amax ⋅ σ v ⋅ rd = 67.08 kPa g

rd = 1-0.015·z = 0.775 σv = γ⋅z = 300 kPa amax = 0.289 g

32

valutazione γc,max γ c,max =

τmax G

τmax = 0.0746% G0 τ = max = 0.12% 0.6 ⋅ G0 τ = max = 0.15% 0.5 ⋅ G0

γ c,1 = γ c,2 γ c,3

γ c,4 =

τmax = 0.17% 0.45 ⋅ G0

Deformazione di taglio γ (%)

ψ=

Δu γ = β ⋅ log c = 0.20 p' 0 γv

γc = 0.0017 γv = 0.0006 β = 0.45

valutazione stabilità – Δu = 0 condizioni statiche 1 c′ tan ϕ′ ⋅ + (1 − ru ) ⋅ γD senα cos α tan α

F=

= 0.195 + 1.81 = 2.0

condizioni sismiche F=

(1 − ru ) − Kh tan α ± K v ⋅ tan ϕ′ c′ 1 ⋅ + K h + (1 ± K v ) tan α γD cos 2 α[K h + (1 ± K v ) tan α]

F = 0.130 + 1.256 = 1.39 (K v positivo) F = 0.138 + 1.159 = 1.30 (K v negativo)

coefficiente sismico critico Kc =

(1 − ru ) tan ϕ′ − tan α c′ + = 0.162 1 + tan α tan ϕ′ γD cos 2 α(1 + tan α tan ϕ′)

33

valutazione stabilità – Δu ≠ 0 condizioni sismiche F=

(1 − ru ) ⋅ (1 − ψ ) − Kh tan α ± K v ⋅ tan ϕ′ c′ 1 ⋅ + K h + (1 ± K v ) tan α γD cos 2 α[Kh + (1 ± K v ) tan α]

F = 0.130 + 1.016 = 1.15 (K v positivo) F = 0.138 + 0.904 = 1.04 (K v negativo)

coefficiente sismico critico Kc =

(1 − ru ) ⋅ (1 − ψ ) tan ϕ′ − tan α c′ + 1 + tan α tan ϕ′ γD cos α(1 + tan α tan ϕ′) 2

= 0.104

condizioni statiche dopo il sisma F=

c′ 1 tan ϕ′ ⋅ + (1 − ru ) ⋅ (1 − ψ ) ⋅ γD senα cos α tan α

= 0.195 + 1.448 = 1.64

valutazione spostamenti indotti dal sisma d = B⋅e

−A

kc kmax

Rampello et al. (2010)

DATI :

• categoria di sottosuolo B • 0.2 < amax/g < 0.3 Δu = 0 Kc = 0.162 Δu ≠ 0 Kc = 0.104

kc kmax

=

0.162 = 0.561 0.289

kc 0.104 = = 0.356 0.289 kmax

A = 7.79 B2 = 1.66

dmax = 2.1 cm

dmax = 10.4 cm

34

analisi sismica di un pendio 50

52

28

50

z

50

sabbia limosa poco addensata γ = 19 kN/m3 ϕ′ = 36° Vs = 190 m/s per 0 < z < 20 m Vs = 9.5 z per z > 20 m

ag/g

0.25

βs SS ST S Kh

0.28 1.154 1.2 1.385 0.097

β °

H m

DH m

28

28

78

analisi statica FS = 1.43 analisi pseudostatica FS = 1.16

equazione moto relativo s.d.s. circolare - Bishop

d O

θh

θ0 R e

K hW H

W τm

α

τm

±K vW

σn

σn

σn

&&(t ) = [K (t ) − K ] ⋅ ∑W e Jϑ h c i i

T.E.

&&(t ) = [K (t ) − K ] ⋅ ∑W e Jϑ h c i i

T.T.

&&(t ) = [a(t ) − a ] ⋅ ∑Wiei ϑ c J ⋅g

35

cinematismo critico (FS = 1) Kc = 0.168 xG = 77.37 m yG = 63.33 m

eG dG 50

52

50

raggio s.d.s. (m) area corpo di frana (m2) momento d’inerzia Ix (m4) momento d’inerzia Iy (m4) peso unità volume γ (kN/m3) peso corpo frana W (kN/m) massa m (Mg/m) braccio eG (m) CG dG (m)

28

xG z

50

yG y

152.49 125.02 506735.76 766256.02 19 2375.38 242.14 132.67 150.64

x

equazione del moto ⎛ Mg ⋅ m 2 ⎞ 2 2 ⎟ J = JG + m ⋅ dG = ρ ⋅ IG + m ⋅ d G = 7.97 ⋅ 10 6 ⎜ ⎜ m ⎟ ⎝ ⎠ IG = I x + I y = 2.47 ⋅ 10 6

(m4 )

( )

Wtot ⋅ eG = 0.04 s − 2 J

&&(t ) = [a(t ) − a ] ⋅ ∑Wiei ϑ c J ⋅g

52

50

28

50

&& (t ) = [a(t ) − a ] ⋅ Wtot ⋅ eG ϑ c J ⋅g

50

z

36

accelerogramma scalato di SSST (-) 0.4

a (g)

0.2 0 -0.2 -0.4 20

60

80 0.1

0.0012 0.0008 0.0004

testa

0.08

dx(-)

0.06

dy(-)

0.04 dx(+)

0.02

0

dy(+)

0 0

20

0.0008

40

t (s)

60

80

0 0.1

(-)

0.0004 (+)

0.0002

20

piede

40

t (s)

60

0.06 0.04

dy(-)

0.02

0 20

40

t (s)

60

80

dx(+) dy(+)

0 0

80 dx(-)

0.08

0.0006

d (m)

rotazione θ (rad)

40

t (s)

d (m)

velocità angolare (rad/s)

0 0.0016

0

20

40

t (s)

60

80

profilo rigidezza e curve G(γ) e D(γ) Vs (m/s) 0

200

400

600

800

0

200

400

600

800

0

10

20

z (m)

30

40

50

60

70

80

37

discretizzazione 1D

amax (baricentro (?)

no

aeq (t ) = 52

50

28

50

τ(H , t ) ⋅g σ v (H )

50

z

0.4

0.4

0.2

0.2

aCG (g)

aCG (g)

accelerogramma al baricentro da RSL 0 -0.2

-0.2

-0.4

-0.4 20

0.0016

40

t (s)

60

80

0 0.2

0.0012

d (m)

velocità angolare (rad/s)

0

0.0008 0.0004 0

20

testa

40

t (s)

60

80

0.16

dx(+)

0.12

dy(+)

0.08

dx(-)

0.04

dy(-)

0 0

20

0.0016

40

t (s)

60

80

0 0.2

(+)

0.0012 0.0008

(-)

0.0004

20

piede

40

t (s)

60

80 dx(+)

0.16

d (m)

rotazione θ (rad)

0

0.12

dx(-)

0.08

dy(+)

0.04

0

dy(-)

0 0

20

40

t (s)

60

80

0

20

40

t (s)

60

80

38

0.4

0.4

0.2

0.2

aeq (g)

aeq (g)

accelerogramma equivalente 0 -0.2

0

-0.4 0

20

0.0016

40

t (s)

60

80

0 0.1

20

40

t (s)

testa

60

80

0.08

d (m)

0.0012 0.0008 0.0004

0.06

dx(+)

0.04

dy(+)

0.02

0

dx(-)

0 0

20

0.0008

40

t (s)

60

80

0 0.1

20

40

t (s)

piede

60

dy(-) 80

0.08

0.0006

d (m)

velocità angolare (rad/s)

τ(H , t ) ⋅g σ v (H )

-0.2

-0.4

rotazione θ (rad)

aeq (t ) =

(+)

0.0004 0.0002

0.06

dx(+)

0.04 dy(+)

0.02

(-)

0

0 0

20

40

t (s)

60

80

0

20

40

t (s)

60

dx(-) dy(-) 80

confronto risultati acc. scalato NTC acc. ARS_CG acc. ARS_ave 0.2

0.2

testa

testa

0.16

dy (m)

d x (m)

0.16 0.12 0.08 0.04

0.12 0.08 0.04

0

0 0

0.2

20

piede

40

t (s)

60

80

0 0.2

20

piede

40

60

80

40

60

80

t (s)

0.16

d y (m)

0.16

d x (m)

NO

0.12 0.08 0.04

0.12 0.08 0.04

0

0 0

20

40

t (s)

60

80

0

20

t (s)

39

Fronti di scavo e costruzioni in terra

S. Rampello

fronti di scavo e rilevati metodi di analisi → pendii naturali • valori di progetto delle azioni e dei parametri geotecnici • cinematismo critico – minore margine di sicurezza • verifiche: Approccio 1 – Combinazione 2: (A2+M2+R2) Carichi Permanenti Permanenti non strutturali (1)

Variabili

Effetto Favorevole Sfavorevole Favorevole Sfavorevole Favorevole Sfavorevole

Coefficiente Parziale γF (o γE) γG1 γG2 γQi

EQU 0,9 1,1 0,0 1,5 0,0 1,5

(A1) STR 1,0 1,3 0,0 1,5 0,0 1,5

(A2) GEO 1,0 1,0 0,0 1,3 0,0 1,3

in condizioni sismiche, coefficienti sulle azioni unitari

1

stabilità di fronti di scavo e rilevati metodi di analisi → pendii naturali • valori di progetto delle azioni e dei parametri geotecnici • cinematismo critico – minore margine di sicurezza • verifiche: Approccio 1 – Combinazione 2: (A2+M2+R2) Parametro

Grandezza

Coefficiente Parziale γM

(M1)

(M2)

Tangente dell’angolo di resistenza al taglio Coesione efficace Resistenza non drenata Peso unità di volume

tan ϕ′k

γϕ′

1,0

1,25

c′k cuk γ

γc′ γcu γγ

1,0 1,0 1,0

1,25 1,4 1,0

Coefficiente

R2

γR

1.1

metodi pseudostatici τm

σn

metodi delle strisce F=

H τm σn

σn

[c '+(σn − u ) ⋅ tan ϕ'] τf = τm τm

Rd 1 τ fd ≥1 ⇒ ⋅ ≥1 Ed γ R τmd

c′ tan ϕ′k 1 1 τ fd = k + σ′n ⋅ = ⋅ (ck′ + σ′n ⋅ tan ϕ′k ) = ⋅ τf γc′ γ ϕ′ 1.25 1.25 ,k 1 τ fd 1 1 τ f,k ≥1 ⇒ ⋅ ⋅ ≥1 ⇒ γR τm 1.1 1.25 τm

τ f,k τm

≥ 1.375

2

metodi pseudostatici d O

θh

metodi globali

θ0

Rd ≥1 Ed

R e

KhW H

W

τm

α

τm

±KvW

σn Cud =

σn

σn

Cuk γ cu

Rd = MRd =

⎤ MR 1 ⎡ Cu 2 = ⋅ r ⋅ Δθ⎥ ⎢ γR γR ⎣ γ cu ⎦

Ed = MDd = W ⋅ [(1 ± K v ) ⋅ d + Kh ⋅ e]

cuR 2 (ϑh − ϑ0 ) MR F= = MD W [(1 ± K v ) ⋅ d + K h ⋅ e ]

metodi pseudostatici abachi di stabilità (Koppula, 1984) • terreno puramente coesivo (c = cu ; ϕ = ϕu= 0) • cu costante o variabile linearmente con la profondità • metodo globale dell’equilibrio limite • s.d.s. circolari

cu0

cu

cu

Cu = Cu0 + a0·z

W KhW

H, β, λ, n, D

3

abachi di stabilità (Koppula, 1984) F=

N1

a0 c N1 + u 0 N2 γ γH

N1 associato al gradiente di cu con z N2 associato al termine costante di cu

Kh = 0

(1) cu variabile con z: cu0 = 0 ; a0 ≠ 0 s.d.s. critica passante per il piede (n = 0 ; D = 0) indipendentemente dalla profondità del substrato

β

abachi di stabilità (Koppula, 1984) (2) cu costante con z : cu0 ≠ 0 ; a0 = 0 β ≤ 55° s.d.s. critica profonda (n > 0 ; D ≠ 0)

β ≥ 55° s.d.s. per il piede (n = 0 ; D = 0)

N2 β =10°

β =20°

D

N2

β =40°

β =30°

D

D

β =45°

D

N2 Kh

β =50°

D

D

Kh

β

4

applicazione NTC08 F=

a0 c N1 + u 0 N2 γ γH

(sol. di Koppula, 1984) Rd ≥1 Ed

valutazione di N1 e N2

• valori di Kh di normativa; • applicazione coefficienti parziali M2 ai parametri di resistenza: a0d =

Cu 0d

ΔCu a0 = Δz γ cu cu0 = γ cu

Rd 1 ⎡ a0 N1 Cu 0 N2 ⎤ = ⋅ + ⋅ ⎢ ⎥ ≥1 Ed γR ⎣ γ cu γ γ cu γ ⋅ H ⎦ ⎤ Rd C 1 1 ⎡ a0 = ⋅ ⋅ N1 + u 0 ⋅ N2 ⎥ ≥ 1 ⎢ Ed γR γ cu ⎣ γ γ ⋅H ⎦

revisione NTC08 (in corso) metodi pseudostatici

• coefficienti sulle azioni unitari • coefficienti sui parametri di resistenza unitari • coefficiente sulla resistenza di progetto γR = 1.2 coefficiente di riduzione di amax

βs = 0.38 verifiche allo stato limite ulrimo (SLV) [dy = 10 cm] βs = 0.47 verifiche allo stato limite di danno (SLD) [dy = 5cm] Rd 1 τ f,k ≥1 ⇒ ⋅ ≥1 Ed γ R τm,k

⇒

τ f,k τm,k

≥ γ R = 1 .2

5

metodi degli spostamenti • ac determinata con valori caratteristici parametri resistenza

in dipendenza spostamento limite dy: • condizioni limite riferite a condizioni di collasso (SLV) • condizioni limite riferite a perdita di funzionalità (SLD)

esempi applicativi: fronte di scavo

6

verifiche mediante abachi di stabilità condizioni statiche

ru = 0.36

γ kN/m3

c′ kPa

ϕ′ °

Cu kPa

β °

H m

DH m

D

20

15

27.5

150

18.4

30

50

1.67

abaco di Taylor (1948) verifiche a breve termine, in tensioni totali, Cu = cost N=

γH Cu

6.8

18.4

β

7

abaco di Taylor (1948) D.M. 11.3.1988 γH N

⇒

F=

Cu NCu = Cum γH

NCu γ

⇒

F=

Hc NC u = γH H

Cum = N=

γH Cu Hc =

F=

Cu 150 = = 1 .7 Cum 88.24

F=

Hc 51 = = 1 .7 H 30

D.M. 14.1.2008 F=

1 ⎡ Cu N ⎤ 1 1 ⎡ NCu ⎤ Rd ⋅ = ⋅ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ = 1 .1 Ed γR ⎣ γ cu γH ⎦ γR γ cu ⎣ γH ⎦

NC u Hc C = u = H Cum γH

abaco di Bishop e Morgenstern (1960) verifiche a lungo termine, in tensioni efficaci (c', ϕ') β °

H m

DH m

c′ kPa

cot (β) h:v

D

c′/γH

ϕ′ °

18.4

30

50

15

3:1

1.67

0.025

27.5

D.M. 11.3.1988 F = m − n ⋅ ru

D.M. 14.1.2008 Rd 1 = ⋅ (md − nd ⋅ ru ) Ed γ R

⎞ ⎛ c′ , ϕ′ ⎟⎟ m = m ⎜⎜ β, D, γH ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ c′ n = n ⎜⎜ β, D, , ϕ′ ⎟⎟ γ H ⎝ ⎠ ⎞ ⎛ c′ md = md ⎜⎜ β, D, d , ϕ′d ⎟⎟ γH ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ c′ nd = nd ⎜⎜ β, D, d , ϕ′d ⎟⎟ γH ⎠ ⎝

cd′ = 0.02 γH ϕ′d = 22.5°

8

abaco di Bishop e Morgenstern (1960) m

c′ = 0.025 γH D = 1 .0

n ϕ'

2.05 1.7

c′ = 0.025 γH D = 1 .0

ϕ'

1.88 1.5

cot β

cot β

abaco di Bishop e Morgenstern (1960) m

c′ = 0.025 γH D = 1.25

n ϕ'

2.2

2.1

1.8

1.7

cot β

c′ = 0.025 γH D = 1.25

ϕ'

cot β

9

abaco di Bishop e Morgenstern (1960) m

c′ =0 γH

n

c′ =0 γH

ϕ'

ϕ'

1.38

1.25

cot β

cot β

abaco di Bishop e Morgenstern (1960) D.M. 11.3.1988 ϕ'= 27.5°

c′/γH

D

m

n

0.025 0.025 0.025

1.0 1.25 1.67

2.05 2.20 2.45

1.88 2.10 2.47

F = m − n ⋅ ru F = 2.45 − 2.4 ⋅ 0.36 = 1.6

D.M. 14.1.2008 ϕd'= 22.5°

cd′/γH

D

md

nd

0.025 0.025 0.025

1.0 1.25 1.67

1.7 1.8 1.97

1.5 1.7 2.04

cd′/γH

D

md

nd

0 0.025 0.020

-1.67 1.67

1.25 1.97 1.83

1.38 2.04 1.91

1 Rd = ⋅ (md − nd ⋅ ru ) Ed γ R Rd 1 = ⋅ (1.83 − 1.91⋅ 0.36 ) = 1.04 E d 1 .1

10

condizioni sismiche metodo pseudostatico – abaco di Koppula (1984) a0 = 0 .1 γ cu0 = 0.3 γH β = 60°

H = 15 m, β = 60°

proprietà fronte

γ = 20 kN/m3 cu0 = 90 kPa a0 = 2 kN/m3

azione sismica

ag/g SS

0.25 1.154

ST amax/g

1.2 0.346

categoria B

NTC08

rev NTC08

βs

0.28

0.38

Kh

0.10

0.14

abaco di Koppula (1984) cu0

N1

cu

cu Kh = 0

N2 Kh Cu = Cu0 + a0·z

4.56

Kh= 0.1

2.8

β

β

Kh= 0.14

N1 = 2.80 N2 = 4.56 N1 = 2.65 N2 = 4.23

11

verifica pseudostatica – confronto D.M. 11.3.1988

NTC08

rev NTC08

a c F = 0 N1 + u 0 N2 ≥ 1.3 γ γH F = 0.1⋅ 2.8 + 0.3 ⋅ 4.56 = 1.65 1.65 Rd 1 ⎡ a0 N1 Cu 0 N2 ⎤ = ⋅ + ⋅ ⎥ ≥1 ⎢ Ed γR ⎣ γ cu γ γ cu γ ⋅ H ⎦ Rd 1 1 [0.1⋅ 2.8 + 0.3 ⋅ 4.56] = 1.07 = ⋅ 1.07 Ed 1.1 1.4

⎤ Rd C 1 ⎡ a0 = ⋅ N1 + u 0 ⋅ N2 ⎥ ≥ 1 Ed γR ⎢⎣ γ γ ⋅H ⎦

Rd 1 = ⋅ [0.1⋅ 2.65 + 0.3 ⋅ 4.23] = 1 .28 1.28 Ed 1.2

Kh= 0.1 Cu,k

Kh= 0.1 Cu,d

Kh= 0.14 Cu,k

esempi applicativi: rilevato stradale

12

rilevato stradale metodo pseudostatico

larghezza in testa (m) larghezza piattaforma stradale (m) inclinazione paramenti larghezza banche (m) altezza rilevato (m) spessore bonifica (m) profondità sup. libera da p.c. (m) carichi variabili su piattaforma (kPa)

rilevato fondazione

ID 18940

γk (kN/m3) 20 20

ag (g) 0.185

11.76 9.54 1:2 2 6 0.5 0.5 10

ϕ′k (°) 35 24

c′k (kPa) 0 0

Fo 2.42

geometria

T c* 0.28

ϕ′d (°) 29.3 19.6

c′d (kPa) 0 0

SS 1.2

parametri

amax (g) 0.223

βs 0.24

Kh 0.053

Kv 0.027

rev NTC08

0.38

0.085

0.042

ST 1

rilevato stradale τ f,d

c′d, ϕ′d

τm

= 1.25 ≥ γR = 1.1

analisi statica τ f,d

c′d, ϕ′d

τm

= 1.1 ≥ γ R = 1.1

NTC08

rev NTC08:

τ f,k τm

analisi pseudo-statica = 1.23 ≥ γR = 1.2

13

valutazione spostamenti Kc = 0.188

c′k, ϕ′k

a (g)

metodo di Newmark

0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3

ac = 0.188 g

ac = -0.188 g

0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3

ac = 0.188 g

a (g)

a (g)

0

ac = -0.188 g

2

4

6

8

10

12

0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3

14

16

a (g) ac = -0.188 g

0

2

4

6

8

10

12

14

16

4

6

8

10

12

0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3

14

16

ac = 0.188 g

ac = -0.188 g

0

ac = 0.188 g

2

4

6

8

10

12

0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3

14

16

ac = 0.188 g

ac = -0.188 g

0

2

4

6

8 t (s)

10

12

14

16

valutazione spostamenti 0.5 0.4

d (mm) s (mm)

a (g)

0

2

0.3

metodo di Newmark

0.2 0.1 0 0

2

4

6

8 t (s)

10

12

14

16

t (s)

d = B ⋅e

−A

ky kmax

relazione empirica

DATI :

• categoria di sottosuolo B • 0.2 < amax/g < 0.3 ky

0.188

= = 0.843 • k max 0.223

A = 7.79 B2 = 1.66

dmax = 2.3 mm

14