Corrige Exo Circuit Mag n 1112

Exercices sur les circuits magnétiques : corrigé Exercice I Un circuit magnétique est constitué d'un tore en matériau ferromagnétique  de perméabilité relative 1000, de longueur moyenne 200 mm, de section  10 cm² et d'un entrefer de 1 mm de long. Sur   ce   circuit,   on   enroule   25   spires   d’un   conducteur   parcouru   par   un  courant de 2 A. On suppose que le champ dans le fer est 1,25 fois plus important que dans  l'entrefer. Calculer en utilisant le théorème d'Ampère le module du champ magnétique dans l'entrefer et les excitations  magnétiques dans l'acier et l'entrefer. Exercice II Une   bobine   est   constituée   de   30   spires   enroulées   sur   un   circuit   magnétique   constitué   d'un   matériau  ferromagnétique de perméabilité relative µr  = 1000  et d'un entrefer de 1 mm, la fibre moyenne mesure   300 mm. La section du fer est de 10 cm² et celle supposée de l'entrefer de 12 cm². 1. L’intensité du courant dans le bobinage étant de 8 A, calculer le champ magnétique dans l'entrefer. Le circuit magnétique est décomposé en une partie « acier » et en une partie « air » : • Partie « acier » : longueur   l a =300.10−3 m , section   S a =10.10−4 m 2   et perméabilité magnétique  −4

a =4  .10

SI

• Partie   « air » :   longueur   l e =10−3 m ,   section   S e =12.10−4 m 2   et   perméabilité   magnétique 

a =4  .10−7 SI D'après le théorème d'Ampère :  H a . l a H e . l e=N I  avec Ha et He les modules de l'excitation dans l'acier  et l'entrefer, N = 30 spires et I l'intensité du courant dans le bobinage. Comme  B a =a H a  et  B e =0 H e , l'équation précédente devient 

Ba B . l a  e . l e=N I a 0

D'après la loi de conservation du flux :  B a . S a =Be . S e  avec Ba et Be les modules du champ magnétique  dans l'acier et l'entrefer. On obtient  B a =B e .

Se Sa

Se 1 B S 1 1 .l a  e . l e =N I   qui   devient   B e  e . l a  . l e =N I   en   factorisant   Be   et      Sa a Sa a 0 0 NI 30. 8 B e= = =0,221 T Se 1 finalement  1 12.10−4 1 1 −3 −3 .l  .l . 300.10  . 10 S a a a 0 e 10.10−4 4  .10−4 4  .10−7 D'où   B e

2. Quelle est le flux à travers le circuit magnétique ? Puisque  =B a . S a =B e . S e  alors  =B e . S e=0,221 . 12.10−4 =265 µWb 3. Calculer le flux total vu par la bobine. C'est le flux vu par une spire (flux à travers une section du circuit magnétique) multiplié par le nombre de  spires :   T=N =30 .265=7,95 mWb Exercices sur les circuits magnétiques : Corrigé

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Exercice III On considère un circuit magnétique torique de section carrée  sur   lequel   est   bobiné   un   enroulement   de  N  =   20   spires  parcourues par un courant d’intensité I. La perméabilité relative de l'acier vaut 10000. Rayon intérieur R1 = 4 cm. Rayon extérieur R2 = 6 cm. Épaisseur de l'acier 2 cm. La longueur de l'entrefer est variable

I

R2

e

R1

La section de l'entrefer est supposée égale  à celle de l'acier.

1. En   utilisant   la  relation  d’Hopkinson,   écrire   le   flux  à   travers   une   section   du   matériau   en  fonction  de  l'épaisseur e de l'entrefer et du courant I (la longueur de l'entrefer est négligée pour le calcul de la réluctance  de l’acier). 2. Calculer l'intensité du courant permettant d'obtenir un champ magnétique de 100 mT. a. lorsque l'entrefer est nul. b. lorsque l'entrefer vaut 0,5 mm. 1 3. L'énergie W emmagasinée par la bobine s'écrit :  W =  T . I , ΦT étant le flux total vu par la bobine. 2 a. Exprimer l'énergie en fonction de e et Φ. b. Tracer la courbe W = f(e) (énergie stockée en fonction de la longueur d'entrefer) pour la même valeur  du   flux   qu'au   2   (e  varie   de   0   à   3mm).   Dans   quelle   partie   du   circuit   magnétique   l'énergie   est­elle  majoritairement stockée ?

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Exercice IV On   réalise   une   bobine   de   20   spires   sur   le   noyau  central du circuit magnétique ci­contre : La perméabilité relative du matériau vaut 1000. 1. Le  circuit   magnétique  peut   être  représenté   par   le  schéma ci­dessous à droite (analogie électrique) : a. Calculer les valeurs des réluctances de chaque  partie du circuit magnétique (On suppose que les  sections des entrefers sont égales à celles des pôles  qui   les   encadrent.   On   néglige   la   longueur   de  l'entrefer pour le calcul des réluctances des parties  fer).

7 cm

7 cm 2 cm

5 cm 0,5 cm

2 cm 0,5 cm

2 cm

La réluctance d'une portion de circuit magnétique est donnée par  ℜ=

10cm

entrefer 0,1 cm

1 l S

Les longueurs sont celle de la fibre moyenne du circuit, les notation sont celles du circuit magnétique  analogue de le figure suivante :

1 l1   avec  l1  = (7 – 1) = 6 cm,  S1  = 2x7 = 14 cm2  et la   a S1 perméabilité magnétique  a =0 . r  avec  r =1000 . Ce qui donne : 1 6.10−2 ℜ1= =34,1 kH−1 −7 −4 4 . 10 . 1000 14.10 1 l2 Pour les portions verticales et latérales de la colonne horizontale inférieure :  ℜ2=  avec l2 = 1 cm,  a S 2 S2 = 2x7 = 14 cm2 et la perméabilité magnétique  a =0 . r . Ce qui donne : −2 1 10 ℜ2= =5,7 kH−1 −7 −4 4 . 10 . 1000 14.10 1 l3 Pour les portions horizontales de la colonne horizontale supérieure :   ℜ3 =   avec  l3  = (5 – 1) =   a S 3 4 cm, S3 = 2x7 = 14 cm2 et la perméabilité magnétique  a =0 . r . Ce qui donne : −2 1 4.10 ℜ3 = =22,7 kH−1 −7 −4 4 . 10 . 1000 14.10 l 1 4 Pour la colonne centrale :  ℜ4=  avec l4 = (7 – 1) = 6 cm, S4 = 5x7 = 35 cm2 et la perméabilité  a S 4 1 6.10−2  = .  magnétique  a =13,6 kH−1 0 r . Ce qui donne :  ℜ 4= −7 −4 4  .10 . 1000 35.10 1 l5 Pour la portion verticale et centrale de la colonne horizontale inférieure :  ℜ5 =  avec l5 = 1 cm,  a S 5 S5 = 5x7 = 35 cm2 et la perméabilité magnétique  a =0 . r . Ce qui donne : 1 10−2 ℜ5 = =2,8 kH−1 −7 −4 4 . 10 . 1000 35.10 l 1 e1 Pour les entrefers extérieurs :   ℜe1 =   avec  le1  = 0,1 cm,  Se1  = 2x7 = 14 cm2  et la perméabilité  0 S e1 −2 1 .10 magnétique du vide (ou de l'air). Ce qui donne : ℜe1 = 0,1 =568 kH−1 −7 −4 4 . 10 14.10 Pour les colonnes verticales latérales :   ℜ1=

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1 l e2  avec le2 = 0,1 cm, Se2 = 5x7 = 35 cm2 et la perméabilité magnétique  0 S e2 1 .10−2 du vide (ou de l'air). Ce qui donne : ℜe2 = 0,1 =227 kH−1 −7 −4 4 . 10 35.10 Pour l'entrefer central :  ℜe2 =

b. Mettre le schéma sous la forme d’une force magnétomotrice  « alimentant » une réluctance, le flux dans le circuit étant celui  de la colonne centrale. Les réluctances des branches extérieures sont en série (même flux),  la  réluctance  équivalente  est   égale à  la somme   des   réluctances : 

ℜlat=2. ℜ3ℜ1ℜ2ℜe1 ℜlat=2. 22,734,15,7568=653 kH

−1

Ces   deux   réluctances   sont   en   parallèle   et   comme   elle   sont  identiques,   elle   peuvent   être   remplacées   par   une   seule   égale   à 

ℜlat 653 = =326 kH−1 2 2 Les   réluctances   de   la   branche   centrale   sont   en   série   soit 

ℜcent =ℜ4ℜ5ℜe2=13,62,8227=243 kH Finalement, les réluctances 

−1

ℜlat  et  ℜcent  sont en série ce qui donne une réluctance équivalente : 2   ℜ = ℜlat ℜ =326243=569 kH−1 eq cent 2

2. Module du champ magnétique a. Calculer la valeur du courant permettant d'obtenir un champ de 140 mT dans l'entrefer central. D'après la relation d'Hopkinson  ℜ =N I  avec F le flux dans le circuit magnétique, N le nombre de  eq

spires et I l'intensité du courant dans la bobine. La section Sc de l'entrefer central est égale à 35 cm2 et les vecteurs champ magnétique  Bc  et surface sont  supposés   colinéaires   et   de   même   sens   donc   =Bc . Sc=Bc . Sc   et   la   relation   d'Hopkinson   devient  ℜeq Bc . Sc =N I  ce qui donne :

ℜeq Bc . S c 569.103 .0,14 .35.10−4 I= = =13,9 A N 20 b. En déduire le champ magnétique dans les colonnes extérieures. D'après   la   loi   de   conservation   du   flux :   B ext . Sext =Bc . S c   (indice   « ext »   pour   extérieur)   soit 

B ext=Bc .

Sc 35 =0,14 . =0,35 T S ext 14

3. Calculer le flux dans la bobine et le rapport de ce flux sur l'intensité du courant dans la bobine. La bobine est constituée de 20 spires qui « voient » chacune  =B c . S c  soit un flux total : −4

−3

 T=20. =20. Bc . Sc =20 . 0,14 . 35.10 =9,8 .10

Wb

−3 Le rapport du flux sur l'intensité du courant :    T =9,8 .10 =7,05 .10−4 H   (c'est l'inductance de la 

I

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bobine). Exercice V On considère l'électroaimant ci­contre. Les cotes sont données en mm, la  profondeur est  égale à 30 mm.  Perméabilité relative des culasses et du  noyau : 1500. Le ressort de rappel maintient la partie mobile dans une position telle que  l'on ait un entrefer de 2,5 mm sur chaque branche.

10 10

20

1. Exprimer l'énergie W emmagasinée par la bobine en fonction du flux F à travers une section du circuit magnétique, du nombre de spires  et du  courant I qui la traverse. 1 Relation de l'exercice III question 3 :  W =  T . I  et   T =N   avec N le  2 1 nombre de spires. Finalement  W = N  . I 2

10 40

10 40

2. Exprimer le flux F en fonction de la réluctance du circuit magnétique,  du nombre  de spires  et  du  courant  I.  En  déduire   l'expression de  W  en  fonction de la réluctance du circuit, du nombre de spires et du courant I. D'après la relation d'Hopkinson  ℜ=N I  avec  ℜ  la réluctance du circuit magnétique, F le flux dans le  circuit magnétique, N le nombre de spires et I l'intensité du courant dans la bobine. 3. Donner la réluctance en fonction de la longueur x d'un entrefer. La   longueur   de   la   fibre   moyenne   de   l'acier   est   l a =2 .302. 35=130 mm   et   sa   section  2

S a =10 . 30=300 mm

 soit une réluctance  ℜa =

1 la 1 130.10−3 = =230 kH−1 0 . a Sa 4  .10−7 .1500 300.10−6

La réluctance de l'entrefer dépend de sa longueur :   ℜe =

1 x 1 x 9 −1 = =2,65 .10 . x (en H et x en m) −7  0 S e 4 . 10 300.10−6

La réluctance du circuit est égale à la somme de ces deux réluctances soit :   ℜe =230.103 2,65 .109 . x (en H−1 et x en m) 4. Exprimer l'intensité F de la force de rappel en fonction de x ( F =

dW ) dx

d 1 dW NI  ce qui donne  F =  N  . I   et comme  =  alors  dx 2 dx ℜ d 1 NI 1 d 1 1 F=  N . I = N . I 2    (le produit  N I 2  est constant) ℜ ℜ dx 2 2 dx 2

On remplace W par son expression dans  F =

1 1 2 d   En remplaçant  ℜ  par son expression :  F = N . I  2 dx 230.10 32,65.10 9 . x 1 −2,65.10 9 . x d  = Dérivée de  230.10 2,65 .10 . x  :  dx 230.10 3 2,65 .10 9 . x  230.10 32,65 .109 . x 2 3

9

1 2,65.10 9 2 D'où l'expression de la composante verticale de la force :  F v=− N . I   soit une  2 230.10 3 2,65 .10 9 . x  2 Exercices sur les circuits magnétiques : Corrigé

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1 2,65.10 9 2 intensité (module du vecteur) :  F = N . I  2 230.10 3 2,65 .10 9 . x  2 5. Le ressort créé une force de rappel constante et égale à 5 N. Calculer la force magnétomotrice pour que  l'armature soit attirée. La bobine étant constituée de 200 spires, calculer l'intensité du courant. 2

D'après l'équation précédente :  N . I  =

2. F .230.10 3 2,65 .10 9 . x 2  d'où l'expression de l'intensité : 2,65 .10 9 I=

L'entrefer a une longueur égale à 2,5 mm :  I=

1 N



2. F .230.10 32,65.10 9 . x 2 9 2,65 .10



1 2. 5 .230.10 3 2,65 .10 9 .2,5 .10−3  2 =2,1  A 9 200 2,65.10

6. L’armature est  maintenant  collée,  quelle résistance  faut­il  placer  en série  avec  la  bobine  pour  que  le  courant suffise au maintien de l'armature lorsque l'alimentation est de 12 V. La longueur d'entrefer est nulle :  I=



1 2. 5 .230.10 3 2,65 .10 9 .0 2 =71 mA 9 200 2,65.10

Dans la question précédente, le courant a une intensité de 2,1 A pour une tension de 12 V soit une résistance 

12 =5,7  . Si une résistance R est placée en série avec la bobine, l'intensité du  2,1 12 12 courant   s'écrit   I =   soit   R= −R b .   Pour   limiter   le   courant   à   71   mA,   il   faut  RR b I 12 R= −5,7=163  71.10−3 de la bobine   Rb =

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