Corrigé Exercice 05 Serie 02

Exercice 05 : Microscopie à force atomique : Dans un microscope à force atomique, AFM (Atomic Force Microscope), une pointe d’exploration, portée par l’extrémité d’un levier, est placée à très faible distance, de l’ordre du nanomètre, de la surface à observer : La pointe est soumise, par effet des atomes de l’échantillon, à une force, de nature électrostatique, qui varie fortement en fonction de la distance. Lorsque la pointe subit un balayage surfacique proche du matériau, la variation de cette force permet d’analyser la topographie (déformations spatiales, reliefs,…, sur une surface) de ce dernier. Mécaniquement on peut représenter la pointe A d'un AFM par un pendule élastique vertical de masse m, de raideur k et de longueur à vide et de pulsation propre , en l'absence de toute force atomique. En présence de cette force atomique qui a pour expression : ⃗( ) = ⃗ + ( − ) ⃗ • ⃗ est le vecteur unitaire de l'axe OX vertical et dirigé vers le bas • x étant la coordonnée de la pointe selon la verticale descendante, • est une longueur constante, ⃗ une force constante, • • un coefficient caractéristique de force atomique (positif). Ce dernier dépend très fortement de la distance entre la pointe et la surface à analyser : = 1,3 N/m à 1nm et 10N/m à 0,5nm. • La constante de raideur k du ressort équivalent au levier est généralement comprise entre 0,1 et 40 N.m−1 1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique au pendule élastique équivalent et déduire la relation d'équilibre de la pointe en fonction des donnés. Corrigé : Le ressort subit un balayage sur un plan horizontal et donc la distance de son extrémité (la pointe de masse m) varie avec la nature du relief du plan atomique. On peut imager le relief du plan atomique comme « le plateau d’œufs qu’on achète au marché». D’après l’énoncé, est une coordonnée physique, définie par rapport à l’axe ⃗. La PFD donne : ∑ ⃗ = ⃗ => ⃗ ( ) + ⃗ + ⃗ = ⃗

⃗ = − ( − ) ⃗ : force de rappel de la pointe.

− est l’allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide. ⃗ est le poids de la pointe ⃗ ( ) = ⃗ + ( − ) ⃗ est la force d’interaction électrostatique atomique

A l’équilibre on a les deux points suivants :

⃗ ⃗

( )⃗

• •

= La résultante des forces :

⃗ = 0⃗.

On obtient alors l’équation suivante: ⃗ + ( − ) ⃗− ( +

Ce qui donne :

(

−

)− (

⃗ = 0⃗

− ) ⃗+

− )+

On obtient alors la longueur du ressort à l’équilibre ,

=0

(1)

=

,

2. En introduisant l'écart à la position d'équilibre, = − , dans l'équation différentielle, écrire l'équation en présence de la force atomique et montrer que le système est équivalent à un oscillateur harmonique. déterminer l'expression de la pulsation propre de l'oscillateur en fonction de , K et et, expliquer comment ce système permet-il de remonter à la topographie de la surface étudiée . Corrigé : L’écart, = – , est une coordonnée généralisée qui décrit le mouvement vertical de la pointe de L’AFM par rapport à sa position d’équilibre ( = 0). En appliquant le PFD au système, on obtient : ⃗ +

–

+

⃗( )+ ⃗+

⃗— ( − ) ⃗ + mg ⃗ = ma⃗ => –

— ( − )+

=

On reprend l’équation (1) de l’état d’équilibre : +

(

−

)− (

− )+

La soustraction des deux équations : (2) – (1) donne: En procédant au changement de variable, = – mouvement d’un oscillateur harmonique : + ( La pulsation propre de l’oscillateur harmonique,

⃗=

̈

⃗ =>

(2)

=0

(1)

–

— ( −

)=

̈

, on obtient l’équation différentielle du ̈ )

=

(

.

)

Cette pulsation n’est pas constante, car elle dépend de la valeur de qui varie en fonction de la distance entre la pointe et le plan déformé. Aussi, sa capture et sa mesure permet de connaitre les différentes déformations du plan et par la même la morphologie des éléments déposés sur le plan.