Corriente alterna: sistemas trifásicos balanceados o equilibrados

CORRIENTE ALTERNA TRIFASICA Sistemas trifásicos equilibrados

Jose Antonio Lorca-Martínez HTTP://ORCID.ORG/0000-0001-5196-529X

Sistemas trifásicos equilibrados

1.- Tensiones de fase y de línea

Contenido 1.- Tensiones de fase y de línea ...........................................................................................................2 1.1.-Secuencia directa .......................................................................................................................2 1.2.-Secuencia inversa ......................................................................................................................6 1.3.- Notas.........................................................................................................................................8 2.-Intensidades de fase y de línea .....................................................................................................11 2.1.- Conexión en triangulo.............................................................................................................11 2.1.1.- Secuencia directa .............................................................................................................12 2.1.2.- Secuencia inversa .............................................................................................................15 2.2.- Conexión en estrella ...............................................................................................................17 2.2.1.- Secuencia directa .............................................................................................................18 2.2.2.- Secuencia inversa .............................................................................................................19 3.- Potencias activa, reactiva y aparente...........................................................................................21 3.1.- Conexión en triángulo.............................................................................................................21 3.2.- Conexión en estrella ...............................................................................................................23 4.- Conversión de impedancias y fuentes de estrella a triángulo y viceversa ..................................25 4.1.- Conversión de impedancias de estrella a triángulo y viceversa .............................................25 4.2.- Conversión de fuentes de triángulo a estrella y viceversa .....................................................25 5.- Circuito monofásico equivalente ...................................................................................................26 Bibliografía .........................................................................................................................................28

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Sistemas trifásicos equilibrados

1.- Tensiones de fase y de línea

1.- Tensiones de fase y de línea En la figura 1 se representa un sistema trifásico con tres fases, R, S y T, tres tensiones de fase, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑆 𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑇 y tres tensiones de línea ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅𝑆 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑆𝑇 𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑇𝑅 .

Figura 1.- Sistema trifásico con tensiones de fase y tensiones de línea

1.1.-Secuencia directa Las tres tensiones de fase tienen el mismo valor eficaz, si denominamos a U como el valor eficaz de la tensión: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑹 = 𝑈 /0° 𝑉

(1)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑺 = 𝑈 /−120° 𝑉

(2)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑻 = 𝑈 /120° 𝑉

(3)

Para calcular el valor de las tensiones de línea, siguiendo el sentido de las flechas de la figura 2 en las mallas correspondientes:

P á g i n a 2 | 28

Sistemas trifásicos equilibrados

1.- Tensiones de fase y de línea

Figura 2.- Análisis por mallas del sistema trifásico

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑹𝑺 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅 − ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑆 = 𝑈 /0° − 𝑈 /−120° = 𝑈 − 𝑈 (𝐶𝑜𝑠 (−120°) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (−120°)) = 1

𝑈 (1+2+𝑗

√3 ) 2

= √3 𝑈 /30° 𝑉 (4)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑺𝑻 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑆 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑇 = 𝑈 /−120° − 𝑈 /120° = 𝑈 (𝐶𝑜𝑠 (−120°) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (−120°)) − 1

𝑈 (𝐶𝑜𝑠 (120°) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (120°)) = 𝑈 (− 2 − 𝑗

√3 2

1

+2−𝑗

√3 ) 2

= √3 𝑈/−90°

𝑉 (5)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑻𝑹 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑇 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅 = 𝑈 /120° − 𝑈 /0° = 𝑈 (𝐶𝑜𝑠 (120°) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (120°)) − 𝑈 = 1

𝑈 (− 2 + 𝑗

√3 2

− 1) = √3 𝑈 /150° 𝑉 (6)

Representando gráficamente los fasores de las tensiones obtenidas, el resultado es el que se muestra en la figura 3. Puede verse como el desfase entre la tensión de fase y la tensión de línea es de 30⁰, que las tensiones de fase están desfasadas entre sí 120⁰, y que las tensiones de línea están desfasadas entre sí 120⁰. Para la representación gráfica P á g i n a 3 | 28

Sistemas trifásicos equilibrados

1.- Tensiones de fase y de línea

primero se dibujan las tensiones de fase, y a continuación se trazan las tensiones de línea uniendo los extremos, primero según el esquema que se ve a la izquierda de la imagen y después se trasladan al diagrama fasorial que se ve a la derecha de la imagen.

Figura 3.- Tensiones en un sistema trifásico equilibrado con secuencia directa

Se procede a representar los fasores de las tensiones en el dominio del tiempo en forma senoidal, así se define la tensión en función del tiempo mediante la siguiente ecuación:

𝑢(𝑡) = √2 𝑈 𝑆𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝛿)

(7)

U: valor eficaz de la tensión, al valor √2 U se le denomina valor máximo o amplitud de onda ω: pulsación (rad/s): 𝜔 = 2𝜋𝑓

(8)

f: frecuencia (Hz) P á g i n a 4 | 28

Sistemas trifásicos equilibrados

1.- Tensiones de fase y de línea

t: tiempo (s) δ: ángulo de desfase respecto al origen (rad) Se representan a continuación las tensiones de fase (figura 4) y de línea (figura 5) en el dominio del tiempo, según la ecuación (7). En la figura 6 se representa la tensión de línea frente a la tensión de fase. Tensiones de fase (secuencia directa) 350

tensión (V)

250 150 50 -50 0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

UR US UT

-150 -250 -350 tiempo (s)

Figura 4.- Tensiones de fase en un sistema trifásico equilibrado con secuencia directa

Tensiones de línea (secuencia directa) 600

Tensión (V)

400 200 0 -200

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

Tensión de línea URS Tensión de línea UST Tensión de línea UTR

-400 -600

Tiempo (s)

Figura 5.- Tensiones de línea en un sistema trifásico equilibrado con secuencia directa

Tensión de fase vs Tensión de línea (secuencia directa) 600

tensión (V)

400 200

Tensión de fase UR Tensión de línea URS

0 -200

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

-400 -600

tiempo (s)

Figura 6.- Tensión fase y de línea en un sistema trifásico equilibrado con secuencia directa

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Sistemas trifásicos equilibrados

1.- Tensiones de fase y de línea

1.2.-Secuencia inversa Las tres tensiones de fase tienen el mismo valor eficaz, si denominamos a U como el valor eficaz de la tensión:

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑹 = 𝑈 /0° 𝑉

(9)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑺 = 𝑈 /120° 𝑉

(10)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑻 = 𝑈 /−120° 𝑉

(11)

Siguiendo el mismo sentido de las flechas de la figura 2 se calculan las tensiones de línea: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑹𝑺 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅 − ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑆 = 𝑈 /0° − 𝑈 /120° = 𝑈 − 𝑈 (𝐶𝑜𝑠 120° + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 120°) = 1

𝑈 (1+2−𝑗

√3 ) 2

= √3 𝑈 /−30° 𝑉

(12)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑺𝑻 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑆 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑇 = 𝑈 /120° − 𝑈 /−120° = 𝑈 (𝐶𝑜𝑠 120° + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 120°) − 1

𝑈 (𝐶𝑜𝑠 (−120°) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (−120°)) = 𝑈 (− 2 + 𝑗

√3 2

1

+2+𝑗

√3 ) 2

= √3 𝑈/90° 𝑉 (13)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑻𝑹 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑇 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅 = 𝑈 /−120° − 𝑈 /0° = 𝑈 (𝐶𝑜𝑠 (−120°) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (−120°)) − 𝑈 = 1

𝑈 (− 2 − 𝑗

√3 2

− 1) = √3 𝑈 /−150° 𝑉

(14)

En la figura 7 puede verse como el desfase entre la tensión de fase y la tensión de línea ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ es de 30⁰ sólo que ahora 𝑈 𝑅𝑆 pasa después que 𝑈𝑅 .

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Sistemas trifásicos equilibrados

1.- Tensiones de fase y de línea

Figura 7.- Tensiones en un sistema trifásico equilibrado con secuencia inversa

Se representan a continuación las tensiones de fase (figura 8) y de línea (figura 9) en el dominio del tiempo, según la ecuación (7). En la figura 10 se representa la tensión de línea frente a la tensión de fase. Tensiones de fase secuencia inversa 350

tensión (V)

250 150 50 -50 0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

Tensión de fase UR Tensión de fase US Tensión de fase UT

-150 -250 -350

tiempo (s)

Figura 8.- Tensiones de fase en un sistema trifásico equilibrado con secuencia inversa

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Sistemas trifásicos equilibrados

1.- Tensiones de fase y de línea

Tensiones de línea en secuencia inversa 600

tensión (V)

400 200 0 -200

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

Tensión de línea URS Tensión de línea UST Tensión de línea UTR

-400 -600

tiempo (s)

Figura 9.- Tensiones de línea en un sistema trifásico equilibrado con secuencia inversa

Tensión de fase vs Tensión de línea en secuencia inversa 600

tensión (V)

400 200

Tensión de fase UR Tensión de línea URS

0 -200

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

-400 -600

tiempo (s)

Figura 10.- Tensión fase y de línea en un sistema trifásico equilibrado con secuencia inversa

1.3.- Notas Es importante fijarse en cómo se han obtenido las tensiones de línea, por ejemplo en ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ la figura 11 las tensiones 𝑈 𝑅𝑆 , 𝑈𝑅´𝑆´ , 𝑈𝑅´´𝑆´´ son distintas ya que existe una caída de tensión en las impedancias en serie de cada fase, por lo que depende del lugar en el que el receptor se instale la tensión de línea será diferente.

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Sistemas trifásicos equilibrados

1.- Tensiones de fase y de línea

Figura 11.- Circuito trifásico con receptor conectado en estrella y receptor conectado en triángulo

El diagrama fasorial puede ser representado de otras maneras, siempre y cuando se respete el orden de secuencia, por ejemplo en la figura 12 se muestra un diagrama fasorial en secuencia directa y donde ahora se toma:

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑺 = 𝑈 /0° 𝑉

(15)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑻 = 𝑈 /−120° 𝑉

(16)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼𝑹 = 𝑈 /120° 𝑉

(17)

Si se observa la figura 12 se ve que se respeta el mismo orden de secuencia que en la figura 3, en este caso todos los fasores se han girado 120⁰. Así, en función de los datos que se tengan se puede dar arbitrariamente el valor de 0⁰ al argumento de la tensión que interese (tanto de línea como de fase) para poder resolver lo más rápido posible, siempre y cuando se respete el orden de secuencia establecido.

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Sistemas trifásicos equilibrados

1.- Tensiones de fase y de línea

Figura 12.- Tensiones en un sistema trifásico equilibrado con secuencia directa

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Sistemas trifásicos equilibrados

2.- Intensidades de fase y de línea

2.-Intensidades de fase y de línea 2.1.- Conexión en triangulo En la figura 13 se muestra un receptor conectado en triángulo con una impedancia 𝑍 por rama.

Figura 13.- Receptor conectado en triángulo a una línea trifásica

Generalmente, en la mayor parte de la bibliografía a las intensidades ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅𝑆 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑆𝑇 𝑒 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑇𝑅 se las considera como magnitudes de fase mientras que a las intensidades ⃗⃗⃗ 𝐼𝑅 , ⃗⃗𝐼𝑆 𝑒 ⃗⃗⃗ 𝐼𝑇 se las considera como magnitudes de línea, se procede aquí a introducir una discusión en la que el lector deberá pensar por sí mismo cuál sería la denominación correcta, como valoración considero que toda aquella magnitud que ocurra entre dos o más líneas o fases debería denominarse como magnitud de línea, como es el caso de ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅𝑆 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑆𝑇 𝑒 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑇𝑅 ya que van desde una línea a otra (al igual que las tensiones se denominan de línea porque es una magnitud que ocurre entre dos líneas o fases), mientras que toda aquella magnitud que ocurre sólo en una línea o fase debería denominarse magnitud de fase, como es el caso de ⃗⃗⃗ 𝐼𝑅 , ⃗⃗𝐼𝑆 𝑒 𝐼⃗⃗⃗𝑇 . Esta discusión no es vanal, ya que suele ser la causa de muchos errores, sea como fuere, independientemente de la discusión lo importante no es como se la denomine sino comprender el método de cálculo. P á g i n a 11 | 28

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2.- Intensidades de fase y de línea

Hecha esta breve nota introductoria, se procede al cálculo conforme al tratamiento que se le da en la mayor parte de la bibliografía, es decir, 𝐼⃗⃗⃗𝑅 , 𝐼⃗⃗𝑆 𝑒 ⃗⃗⃗ 𝐼𝑇 se consideran como magnitudes de línea en tanto que ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅𝑆 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑆𝑇 𝑒 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑇𝑅 se las considera como magnitudes de fase. Para proceder al cálculo se toma una impedancia genérica de valor 𝑍 = 𝑍 / 𝜑 . Se define a continuación el módulo de la intensidad de fase, IF, a partir del módulo de la tensión de línea, UL, y la impedancia, sabiendo que el módulo de la tensión de fase es UF=U, siendo U el valor eficaz de la tensión. 𝑈𝐿 = √3 𝑈𝐹 𝐼𝐹 =

𝑈𝐿 𝑍

=

(18)

√3 𝑈𝐹 𝑍

(19)

Para proceder a los cálculos de la demostración se utiliza el teorema de la suma y diferencia de ángulos: 𝑆𝑒𝑛 (𝑎 ± 𝑏) = 𝑆𝑒𝑛 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑏 ± 𝐶𝑜𝑠 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝑏

(20)

𝐶𝑜𝑠 (𝑎 ± 𝑏) = 𝐶𝑜𝑠 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑏 ∓ 𝑆𝑒𝑛 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝑏

(21)

2.1.1.- Secuencia directa Para el cálculo de las intensidades de fase en secuencia directa se utilizan las tensiones calculadas en el apartado 1.1, según el esquema eléctrico de la figura 13: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑰𝑹𝑺 =

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑰𝑺𝑻 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑰𝑻𝑹 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑆𝑇 𝑍

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅𝑆 𝑍

=

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑇𝑅 𝑍

=

√3 𝑈 𝑍

√3 𝑈 𝑍

=

√3 𝑈 𝑍

/30° − 𝜑 = 𝐼𝐹 [𝐶𝑜𝑠 (30° − 𝜑) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (30° − 𝜑)]

(22)

/−90° − 𝜑 = 𝐼𝐹 [𝐶𝑜𝑠 (−90° − 𝜑) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (−90° − 𝜑)]

(23)

/150° − 𝜑 = 𝐼𝐹 [𝐶𝑜𝑠 (150° − 𝜑) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (150° − 𝜑)]

(24)

P á g i n a 12 | 28

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2.- Intensidades de fase y de línea

Para el cálculo de las intensidades de línea se aplica la ley de Kirchoff en el nudo correspondiente y se aplica el teorema de la suma y diferencia de ángulos:

Nudo A

𝑰⃗⃗⃗⃗𝑹 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅𝑆 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑇𝑅 = √3 𝐼𝐹 /−𝜑

Nudo B

⃗⃗⃗ 𝑰𝑺 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑆𝑇 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅𝑆 = √3 𝐼𝐹 /−120° − 𝜑 𝐴

(26)

Nudo C

⃗⃗⃗ 𝑰𝑻 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑇𝑅 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑆𝑇 = √3 𝐼𝐹 /120° − 𝜑

(27)

𝐴

(25)

𝐴

Por lo tanto el módulo de la intensidad de línea es 𝐼𝐿 = √3 𝐼𝐹 , y en el caso de secuencia directa la intensidad de línea retrasa 30⁰ a la intensidad de fase, para verlo se dibujan primero las intensidades de fase, y a continuación se unen sus respectivos extremos lo que da las intensidades de línea, y se trasladan al diagrama fasorial, como puede verse en la figura 14.

Figura 14.- Diagrama fasorial intensidades de fase y de línea con receptor en triángulo en sistema trifásico equilibrado. Ejemplo hecho con un factor de potencia 0,9397 inductivo.

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2.- Intensidades de fase y de línea

Si se completa todo el diagrama fasorial de tensiones de fase y línea e intensidades de fase y línea para una conexión en triángulo según se detalla en la figura 13, y se supone un factor de potencia de 0,9397 inductivo, queda el diagrama que puede verse en la figura 15, puede observarse como la intensidad de fase retrasa a la tensión de fase con el ángulo 𝜑 .

Figura 15.- Diagrama fasorial de tensiones e intensidades de fase y línea con receptor en triángulo en sistema trifásico equilibrado con secuencia directa de tensiones. Ejemplo hecho con un factor de potencia 0,9397 inductivo.

P á g i n a 14 | 28

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2.- Intensidades de fase y de línea

2.1.2.- Secuencia inversa Para el cálculo de las intensidades de fase en secuencia inversa se utilizan las tensiones calculadas en el apartado 1.2, según el esquema eléctrico de la figura 13:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅𝑆

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑰𝑹𝑺 =

𝑍

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑰𝑺𝑻 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑰𝑻𝑹 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑇𝑅 𝑍

=

=

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑆𝑇 𝑍

√3 𝑈 𝑍

=

√3 𝑈 𝑍

/−30° − 𝜑 = 𝐼𝐹 [𝐶𝑜𝑠 (−30° − 𝜑) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (−30° − 𝜑)] (28)

√3 𝑈 𝑍

/90° − 𝜑 = 𝐼𝐹 [𝐶𝑜𝑠 (90° − 𝜑) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (90° − 𝜑)]

(29)

/−150° − 𝜑 = 𝐼𝐹 [𝐶𝑜𝑠 (−150° − 𝜑) + 𝑗 𝑆𝑒𝑛 (−150° − 𝜑)] (30)

Para el cálculo de las intensidades de línea se aplica la ley de Kirchoff en el nudo correspondiente y se aplica el teorema de la suma y diferencia de ángulos:

Nudo A

𝑰⃗⃗⃗⃗𝑹 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅𝑆 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑇𝑅 = √3 𝐼𝐿 /−𝜑

Nudo B

⃗⃗⃗ 𝑰𝑺 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑆𝑇 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅𝑆 = √3 𝐼𝐿 /120° − 𝜑 𝐴

Nudo C

⃗⃗⃗ 𝑰𝑻 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑇𝑅 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑆𝑇 = √3 𝐼𝐿 /−120° − 𝜑

𝐴

(31) (32) 𝐴

(33)

Por lo tanto el módulo de la intensidad de línea es 𝐼𝐿 = √3 𝐼𝐹 , y en el caso de secuencia inversa la intensidad de línea adelanta 30⁰ a la intensidad de fase, para verlo se dibujan primero las intensidades de fase, y a continuación se unen sus respectivos extremos lo que da las intensidades de línea, y se trasladan al diagrama fasorial, como puede verse en la figura 16.

P á g i n a 15 | 28

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2.- Intensidades de fase y de línea

Figura 16.- Diagrama fasorial intensidades de fase y de línea con receptor en triángulo en sistema trifásico equilibrado con secuencia inversa de tensiones. Factor de potencia 0,9397 inductivo

Si se completa todo el diagrama fasorial de tensiones de fase y línea e intensidades de fase y línea para una conexión en triángulo según se detalla en la figura 13, y se supone un factor de potencia de 0,9397 inductivo, queda el diagrama que puede verse en la figura 17, puede observarse como la intensidad de fase retrasa a la tensión de fase con el ángulo 𝜑 .

P á g i n a 16 | 28

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2.- Intensidades de fase y de línea

Figura 17.- Diagrama fasorial de tensiones e intensidades de fase y línea para receptor en triángulo en sistema trifásico equilibrado con secuencia inversa de tensiones. Ejemplo hecho con un factor de potencia 0,9397 inductivo.

2.2.- Conexión en estrella En la figura 18 se muestra un receptor conectado en estrella con una impedancia 𝑍 por rama.

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2.- Intensidades de fase y de línea

Figura 18.- Receptor conectado en estrella a una línea trifásica

Las intensidades ⃗⃗⃗ 𝐼𝑅 , 𝐼⃗⃗𝑆 𝑒 𝐼⃗⃗⃗𝑇 se consideran aquí como magnitudes de línea, nótese que como en este caso sólo se utilizan las tensiones de fase. Para proceder al cálculo se toma una impedancia genérica de valor 𝑍 = 𝑍 / 𝜑.

2.2.1.- Secuencia directa Para el cálculo de las intensidades de línea en secuencia directa se utilizan las tensiones de fase del apartado 1.1, según el esquema eléctrico de la figura 18: ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑈 𝑈 ⃗⃗⃗⃗ 𝑰𝑹 = 𝑅 = /−𝜑 = 𝐼 /−𝜑 𝐴 𝑍

⃗⃗⃗⃗⃗

(34)

𝑍

𝑈 𝑈 ⃗⃗⃗ 𝑰𝑺 = 𝑆 = /−120° − 𝜑 = 𝐼 /−120° − 𝜑 𝐴 𝑍

𝑍

(35)

P á g i n a 18 | 28

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2.- Intensidades de fase y de línea

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑈 𝑈 ⃗⃗⃗ 𝑰𝑻 = 𝑇 = /120° − 𝜑 = 𝐼 /120° − 𝜑 𝐴 𝑍

𝑍

(36)

Puesto que aquí sólo hay intensidades de línea se procede a dibujar el diagrama fasorial con las tensiones del apartado 1.1, para el ejemplo se toma nuevamente el valor del factor de potencia de 0,9397, el resultado se muestra en la figura 19.

Figura 19.- Diagrama fasorial de tensiones de fase y línea e intensidades de fase con receptor en estrella en sistema trifásico equilibrado con secuencia directa de tensiones. Ejemplo hecho con un factor de potencia 0,9397 inductivo

2.2.2.- Secuencia inversa

P á g i n a 19 | 28

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2.- Intensidades de fase y de línea

Para el cálculo de las intensidades de línea en secuencia inversa se utilizan las tensiones de fase del apartado 1.2, según el esquema eléctrico de la figura 18 y el diagrama fasorial se muestra en la figura 20: ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑈 𝑈 ⃗⃗⃗⃗ 𝑰𝑹 = 𝑅 = /−𝜑 = 𝐼 /−𝜑 𝐴 𝑍

(37)

𝑍

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑈 𝑈 ⃗⃗⃗ 𝑰𝑺 = 𝑆 = /120° − 𝜑 = 𝐼 /120° − 𝜑 𝐴 𝑍

(38)

𝑍

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑈 𝑈 ⃗⃗⃗ 𝑰𝑻 = 𝑇 = /−120° − 𝜑 = 𝐼 /−120° − 𝜑 𝐴 𝑍

𝑍

(39)

Figura 20.- Diagrama fasorial de tensiones de fase y línea e intensidades de línea con receptor en estrella en sistema trifásico equilibrado con secuencia inversa de tensiones. Ejemplo hecho con un factor de potencia 0,9397 inductivo.

P á g i n a 20 | 28

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3.- Potencia activa, reactiva y aparente

3.- Potencias activa, reactiva y aparente 3.1.- Conexión en triángulo Para el cálculo de la potencia volvemos a la figura 13, se supone secuencia directa y se calculan las intensidades de fase según las ecuaciones (22), (23) y (24). Con objeto de simplificar se procede al cálculo de la potencia aparente, así la potencia consumida por la impedancia que se encuentra en la rama entre los nudos A y B, se denomina S1 ; la potencia consumida por la impedancia que se encuentra en la rama entre los nudos B y C se denomina S2 y la potencia consumida por la impedancia en la rama entre los nudos C y A se denomina S3:

𝑆1 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅𝑆 ˟ = 𝑈𝐿 / 30° 𝐼𝐹 /−30° + 𝜑 = 𝑈𝐿 𝐼𝐹 / 𝜑 𝑉𝐴

(40)

𝑆2 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑆𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑆𝑇 ˟ = 𝑈𝐿 /−90° 𝐼𝐹 /90° + 𝜑 = 𝑈𝐿 𝐼𝐹 / 𝜑 𝑉𝐴

(41)

𝑆3 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑇𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑇𝑅 ˟ = 𝑈𝐿 / 150° 𝐼𝐹 /−150° + 𝜑 = 𝑈𝐿 𝐼𝐹 / 𝜑 𝑉𝐴

(42)

Para poder calcular la potencia consumida por el receptor se suman las tres potencias aparentes en forma compleja:

𝑆 = ⃗⃗⃗ 𝑆1 + ⃗⃗⃗ 𝑆2 + ⃗⃗⃗ 𝑆3 = 3 𝑈𝐿 𝐼𝐹 / 𝜑 = 3 ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝐿 ⃗⃗⃗ 𝐼𝐹 ˟ 𝑉𝐴

(43)

Y poniendo el fasor de la potencia aparente en forma binómica se obtiene la potencia activa que corresponde a la parte real, y la potencia reactiva que corresponde a la parte imaginaria, y operando sólo sobre el valor eficaz se pueden expresar en función de los valores de la tensión de línea y la intensidad de línea.

𝑃 = 3 𝑈𝐿 𝐼𝐹 𝐶𝑜𝑠 𝜑 = √3 𝑈𝐿 𝐼𝐿 𝐶𝑜𝑠 𝜑

𝑊

(44)

𝑄 = 3 𝑈𝐿 𝐼𝐹 𝑆𝑒𝑛 𝜑 = √3 𝑈𝐿 𝐼𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜑

𝑉𝐴𝑟

(45) P á g i n a 21 | 28

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3.- Potencia activa, reactiva y aparente

A continuación se aplica la ley de Ohm, y se sustituye en las ecuaciones (44) y (45), nótese que debe hacerse con la intensidad de fase:

𝑃 = 3 𝑈𝐿 𝐼𝐹 𝐶𝑜𝑠 𝜑 = 3 𝑍 𝐼𝐹2 𝐶𝑜𝑠 𝜑 = 3 𝑅 𝐼𝐹2

𝑊

(46)

𝑄 = 3 𝑈𝐿 𝐼𝐹 𝑆𝑒𝑛 𝜑 = 3 𝑍 𝐼𝐹2 𝑆𝑒𝑛 𝜑 = 3 𝑋 𝐼𝐹2

𝑉𝐴𝑟

(47)

Operando ahora sobre las ecuaciones (46) y (47) y aplicando la relación entre el módulo de la intensidad de fase y la intensidad de línea:

𝑃 = 3 𝑅 𝐼𝐹2 = 3 𝑅 𝑄 = 3 𝑋 𝐼𝐹2 = 3 𝑋

𝐼𝐿2 3 𝐼𝐿2 3

= 𝑅 𝐼𝐿2

𝑊

(48)

= 𝑋 𝐼𝐿2 𝑉𝐴𝑟

(49)

Se procede ahora a utilizar la tensión de fase y la intensidad de fase para el cálculo de las distintas potencias, operando sobre las ecuaciones (44) y (45),

𝑃 = 3 𝑈𝐿 𝐼𝐹 𝐶𝑜𝑠 𝜑 = 3 √3 𝑈𝐹

𝐼𝐿 √3

𝐶𝑜𝑠 𝜑 = 3 𝑈𝐹 𝐼𝐿 𝐶𝑜𝑠 𝜑 𝑊

𝑄 = 3 𝑈𝐿 𝐼𝐹 𝑆𝑒𝑛 𝜑 = 3 𝑈𝐹 𝐼𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜑

𝑉𝐴𝑟

(50) (51)

A continuación se procede al cálculo de la potencia aparente en función de la tensión de fase y la intensidad de línea,

𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 3 𝑈𝐹 𝐼𝐿 𝐶𝑜𝑠 𝜑 + 𝑗 3 𝑈𝐹 𝐼𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜑 = 3 𝑈𝐹 𝐼𝐿 /𝜑 = 3 ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝐹 ⃗𝐼⃗𝐿 ˟ 𝑉𝐴 (52)

Se puede comprobar en la figura 15 que el desfase entre la tensión de línea y la intensidad de fase es igual al desfase entre la tensión de fase y la intensidad de línea e igual a 𝜑. P á g i n a 22 | 28

Sistemas trifásicos equilibrados

3.- Potencia activa, reactiva y aparente

3.2.- Conexión en estrella Para el cálculo de la potencia volvemos a la figura 18, se supone secuencia directa y se calculan las intensidades de línea según las ecuaciones (34), (35) y (36). Como en el caso de conexión en triángulo se procede a calcular las potencias aparentes teniendo en cuenta que ahora se utilizan las tensiones de fase:

𝑆1 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅 ⃗⃗⃗ 𝐼𝑅 ˟ = 𝑈𝐹 / 0° 𝐼𝐿 / 𝜑 = 𝑈𝐹 𝐼𝐿 / 𝜑

𝑉𝐴

(53)

𝑆2 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑆 ⃗⃗𝐼𝑆 ˟ = 𝑈𝐹 / −120° 𝐼𝐿 /120° + 𝜑 = 𝑈𝐹 𝐼𝐿 / 𝜑

𝑉𝐴

(54)

𝑆3 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑇 ⃗⃗⃗ 𝐼𝑇 ˟ = 𝑈𝐹 / 120° 𝐼𝐿 /−120° + 𝜑 = 𝑈𝐹 𝐼𝐿 / 𝜑

𝑉𝐴

(55)

Sumando las tres:

𝑆 = ⃗⃗⃗ 𝑆1 + ⃗⃗⃗ 𝑆2 + ⃗⃗⃗ 𝑆3 = 3 𝑈𝐹 𝐼𝐿 / 𝜑 = 3 ⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝐹 ⃗𝐼⃗𝐿 ˟

𝑉𝐴

(56)

Y poniendo el fasor de la potencia aparente en forma binómica se obtiene la potencia activa que corresponde a la parte real, y la potencia reactiva que corresponde a la parte imaginaria.

𝑃 = 3 𝑈𝐹 𝐼𝐿 𝐶𝑜𝑠 𝜑

𝑊

(57)

𝑄 = 3 𝑈𝐹 𝐼𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜑

𝑉𝐴𝑟

(58)

A continuación se aplica la ley de Ohm, y se sustituye en las ecuaciones (57) y (58):

𝑃 = 3 𝑈𝐹 𝐼𝐿 𝐶𝑜𝑠 𝜑 = 3 𝑍 𝐼𝐿2 𝐶𝑜𝑠 𝜑 = 3 𝑅 𝐼𝐿2

𝑊

(59)

𝑄 = 3 𝑈𝐹 𝐼𝐿 𝑆𝑒𝑛 𝜑 = 3 𝑍 𝐼𝐿2 𝑆𝑒𝑛 𝜑 = 3 𝑋 𝐼𝐿2

𝑉𝐴𝑟

(60)

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Sistemas trifásicos equilibrados

3.- Potencia activa, reactiva y aparente

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Sistemas trifásicos equilibrados

4.- Conversión de impedancias y fuentes de estrella a triángulo

4.- Conversión de impedancias y fuentes de estrella a triángulo y viceversa 4.1.- Conversión de impedancias de estrella a triángulo y viceversa Se procede a definir los valores de las impedancias, así para una de las impedancias conectada en triángulo según la figura 13 :

𝑍∆ =

𝑈𝑅𝑆 𝐼𝑅𝑆

𝑈𝐿

=

𝐼𝐹

Ω

(61)

Y para una de las impedancias conectadas en estrella según la figura 18 :

𝑍𝑌 =

𝑈𝑅 𝐼𝑅

=

𝑈𝐹 𝐼𝐿

Ω

(62)

Operando en la ecuación (61) :

𝑍∆ =

𝑈𝑅𝑆 𝐼𝑅𝑆

=

𝑈𝐿 𝐼𝐹

√3𝑈𝐹

=

𝐼𝐿 √3

=3

𝑈𝐹 𝐼𝐿

= 3 𝑍𝑌

Ω

(63)

4.2.- Conversión de fuentes de triángulo a estrella y viceversa 𝑈𝑅𝑆 = 𝑈𝑅 − 𝑈𝑆

𝑈𝑅 =

𝑈𝑅𝑆 −𝑈𝑆𝑇 3

(64)

(65)

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Sistemas trifásicos equilibrados

5.- Circuito monofásico equivalente

5.- Circuito monofásico equivalente Cuando el receptor está conectado en estrella se pueden hallar los valores de las magnitudes a través de un circuito monofásico equivalente. Si el receptor está conectado en triángulo, entonces las impedancias se pueden transformar en una conexión en estrella mediante la ecuación (63), y así se puede resolver mediante su equivalente monofásico. La figura 21 muestra un receptor conectado en estrella, y en la figura 22 se muestra su equivalente monofásico, a partir del cual se hallan las magnitudes.

Figura 21.- Circuito trifásico equilibrado con receptor conectado en estrella

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Sistemas trifásicos equilibrados

5.- Circuito monofásico equivalente

Figura 22.- Circuito monofásico equivalente

Resolviendo el circuito monofásico equivalente de la figura 22:

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅1 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅2 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅 ⃗⃗⃗⃗ 𝑍1

𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅 ⃗⃗⃗⃗2 +𝑍 ⃗⃗⃗⃗3 𝑍

⃗⃗⃗ 𝐼𝑅 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅1 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅2 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑍2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑅2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅3 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈𝑅2

(66) 𝐴

(67) 𝐴

𝑉

(68) (69)

𝑉

(70)

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Bibliografía Usaola García J.; Moreno Lopez de Saa M.A., Circuitos eléctricos: problemas y ejercicios resueltos. Pearson Education, 2002. Parra Prieto V. M. Ortega Jiméneaz J., Pastor Gutiérrez A., Pérez Coyto A., Teoría de circuitos. UNED. Fraile Mora J., Electromagnetismo y circuitos eléctricos. Servicio de publicaciones E.T.S. de Ingenieros de Caminos de Madrid, 1990. García Trasancos J., Instalaciones eléctricas en media y baja tensión. Thomson Paraninfo, 2006 Johnson D.E., Hilburn J.L., Johnson J.R., Análisis básico de circuitos eléctricos. Prentice Hall Hispanoamérica, México, 1991.

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