Correlacion y Convolucion

 

Procesamiento digital de señales 

2013

 

CORRELACION Y CONVOLUCION 1. Convolucion: En matemáticas y, en particular, análisis En matemáticas particular, análisis funcional, una funcional, una convolución convolución es  es un operador un  operador matemático que transforma dos funciones dos  funciones f  y  y g  en  en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f  y  y una versión trasladada e invertida de g .

Convolución en un dispositivo óptico (microscopio de fluorescencia, corte longitudinal de una imagen 3D). 

Podemos calcular la convolucion de estas 2 funciones efectuando los siguientes pasos: a) Giramos respecto al origen una de ellas, en este caso g(z) = g(-z) para todo z desde - ∞ a +∞.  +∞.  b) Ir trasladando la función girada sobre la otra f(z)f(x-z) c) En cada punto x calcular el valor resultante de la suma de los productos obtenidos de multiplicar para todos los z correspondientes el valor del producto del paso (b). Matemáticamente esta operación puede expresarse como:

  ()  ()  ()  ∫()(  )  1  

 

Procesamiento digital de señales 

2013

 

Teorema de la convolucion En matemática, el En matemática,  el teorema de convolución establece convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada la Transformada de Fourier de una convolución una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio el dominio temporal) es temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir  dominio  dominio espectral). espectral). Sean y dos funciones dos funciones cuya convolución cuya convolución se expresa con . (notar que el el asterisco  asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea el el operador  operador de la transformada de Fourier, con lo que y respectivamente.

son las transformadas de Fourier de f  y  y g ,

Entonces:

Donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:

 Aplicando la transformada inversa de Fourier

, podemos escribir:

Convolucion discreta Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de señal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definición ya que solo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues, una aproximación numérica. Para realizar la convolución entre dos señales, se evaluará el área de la función:

. 2  

 

Procesamiento digital de señales 

2013

  Para ello, disponemos de muestreos de ambas señales en los instantes de tiempo

, que llamaremos tanto:

y

(donde n y k son enteros).El área es, por

La convolución discreta se determina por un intervalo de muestreo

:

Aplicaciones:  

En óptica, En óptica, muchos  muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.

 

En ingeniería En ingeniería eléctrica, electrónica eléctrica, electrónica y otras disciplinas, la salida de un sistema un  sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio espacio-invariante) -invariante) es  es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso

 

La convolucion es una herramienta clave de los cálculos que se se realizan para el análisis y extracción de toda la información que contiene una imagen. Una de las aplicaciones seria el filtrado en el dominio de la frecuencia.

3  

 

Procesamiento digital de señales 

2013

  Estos procesan la imagen trabajando sobre el dominio de la frecuencia, es decir sobre la TF de esta. Para ello esta se modifica siguiendo el teorema de la convolucion.

()  ()  ()  F(u,v): Transformada de Fourier de la imagen original H(u,v): Filtro atenuador de frecuencias.

2. Correlación: La correlación se expresa mediante la siguiente expresión:

  ()  ()  ()  ∫()(  )  CORRELACION DISCRETA



 ()()  ∑  ()(  )  

Para x=0,1,2,…M x=0,1,2,…M-1. -1. De manera similar también se puede expresar para el caso de correlacion en elcaso bidimensional. TEOREMA DE LA CORRELACION Si tenemos 2 funciones cualesquier, el teorema de la correlacion establece que la transformada de Fourier de la correlacion entre estas 2 funciones es igual al producto de la transformada de Fourier conjuada de una de ellas por la otra.

*  (() (()+  () ()  4  

 

Procesamiento digital de señales 

2013

  Donde F*(u)=R(u)-i.I(u)

Aplicación: La correlacion es una operación básica del procesamiento de imágenes digitales. La correlacion es la operación básica en los procesos de búsqueda de patrones por emparejamiento. Correlación Digital de Imágenes (DIC) es una técnica óptica de campo completo que permite la medición de desplazamientos y deformaciones Correlación Digital de Imágenes (DIC) es una técnica experimental de campo completo que permite a partir de imágenes tomadas durante el ensayo, evaluar los desplazamientos y deformaciones producidas. En este trabajo, la técnica de correlación digital de imágenes en 2D ha sido empleada para el análisis de un elemento sobre el cual se ejerce una fuerza y está en contacto sobre otro, produciéndose entre ellos fuerzas de contacto. Así mismo se ha realizado un estudio de las deformaciones que se han producido en ambas estructuras. Previamente las probetas deben ser preparadas para poder aplicar la técnica DIC, generando sobre ellas una distribución no uniforme de color negro sobre un fondo blanco con la que se obtenga una escala de grises en la zona de estudio para poder aplicar la técnica y así conseguir unos resultados precisos. Los resultados experimentales son comparados con los resultados numéricos obtenidos mediante un programa CAD de Elementos Finitos, comparando variables como la fuerza máxima aplicada, las deformaciones producidas en la zona de contacto, los desplazamientos y la indentación máxima producida. Así pues se mostrará la versatilidad de la técnica de correlación de imágenes para ensayos de contacto dentro del campo de la mecánica experimental.

3. CONVERSION ADC SIGMA-DELTA Las técnicas de modulación Las técnicas de modulación Sigma-Delta han sido usadas muy satisfactoriamente en las aplicaciones que requieren conversión análogo digital, en las últimas dos décadas. Aunque los conceptos de Sigma-Delta existen desde la mitad del siglo, solo con los recientes avances en tecnologías VLSI ha sido posible darle un manejo adecuado al flujo de bits generado por el ADC de 1 bit. La operación básica de un convertidor Sigma-Delta es intercambiar tasa de muestreo de  muestreo por resolución. Las señales Las señales son muestreadas a una tasa mucho mayor que la de Nyquist, pero con un solo bit de resolución en amplitud.

5  

 

Procesamiento digital de señales 

2013

 

El convertidor muestrea la información analógica con mas frecuencia que la velocidad de muestreo minima. Esta velocidad minima de muestreo es 2 veces mayor que la frecuencia más alta en la onda analógica de entrada. El método sigma-delta no produce en forma directa un numero de varios birs para cada muestra, sino que para representar el voltaje analógico varia la densidad de 1’s lógicos en una trama de bits de datos en serie.  serie.   En un DAC sigma-delta la señal de entrada de vltaje analógico se conecta a la entrada de un integrador, produciendo un voltaje de tasa de cambio en la salida correspondiente a la magnitud de entrada. Este voltaje de entrada compara contra el potencial de tierra por un comparador. El comparador actua como un ADC de 1 bit, produciendo 1 bit de salida (alto o bajo) en función de si la salida del integrador es positivo o negativo. La salida del comparador es entonces enganchado a través de un flop flop tipo D a una velocidad de relo de alta frecuencia, y se retroalimenta a otro canal de entrada en el integrador, para conducir al integrador en la dirección de una salida de 0 volts.entrada superior del integrador para conducirlo en una dirección positiva. El integrador suma la salida del comparador con la señal analógica de entrada. Funcionalmente esto resulta en una salida de serie de bits por el flip-flop. Si la entrada analógica es cero volts, el integrador no tendrá tendencia a la rampa (positiva o negativa), excepto en respuesta al voltaje de retroalimentación. En este caso, la salida del flip-flop continua oscilando entre alto y bajo, tratando de mantener la salida del integrador en cero volts:

6  

 

Procesamiento digital de señales 

2013

  Si se aplica un voltaje negativo de entrada analógica, el integrador tiene una tendencia a la rampa de salida en dirección positiva. La retroalimentación solo se puede agregar a la rampa del integrador de un voltaje fijo durante un tiempo fijo, por lo que el flujo de bits de salida del flip-flop no es la misma:

 Aplicando una señal de entrada más larga (negativa), se fuerza la salida a la rampa más pronunciada en dirección positiva. El sistema de retroalimentación de salida tiene más de 1´s antes de llevar la salida del integrador a cero volts. Una salida de números binarios en paralelo se obtiene de este circuito por un promedio de la corriente de serie de bits juntos.

4. REFERENCIAS:   http://es.wikipedia.org/wiki/Convoluci%C3%B3n   http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_convoluci%C3%B3n   http://www.xixcnim.uji.es/CDActas/Documentos/ComunicacionesOrales/1 1-09.pdf   http://www6.uniovi.es/vision/intro/node31.html   http://www6.uniovi.es/vision/intro/node30.html   http://www.monografias.com/trabajos/sigmadelta/sigmadelta.shtml   http://www.buenastareas.com/ensayos/Funcionamiento-Del-Adc-SigmaDelta/3116987.html

 



  



7