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Licence SVT - TC La Terre dans l'Univers Correction TD d'Astrophysique PREAMBULE RAPPEL SUR LES PRINCIPALES UNITES DU SYSTEME INTERNATIONAL : Masse : kg ; Distance : m ; Force : N ; Energie : J ; Temps : s ; Température : K

Exercice 1 : Les unités de distances

En Astronomie, les distances sont très grandes. Ainsi, des unités de mesure spécifiques sont utilisées : a) L’Unité Astronomique (UA) correspond à la distance entre la Terre et le Soleil. Elle correspond à 1,5.108 km. b) L’année lumière (a.l.) correspond elle à la distance parcourue par la lumière en une année terrestre. Combien vaut 1 a.l. en unités SI ? (On prendra c = célérité (vitesse) de la lumière dans le vide = 3.10 5 km.s-1). Notre galaxie s'étend sur 100000 a.l., par exemple. Réponse : d = c * t ([m] = [[m]/[s]] * [s]); on connaît c, donc il reste à exprimer l'année en seconde : t = 1 an = 365 j * 24 h * 3600 s = 31536000 s d = 3.108 * 31536000 = 9,4608.1015 m c) Le parsec (pc), dont le nom vient de la contraction de « parallaxe-seconde » est défini comme la distance à laquelle on pourrait voir le système TerreSoleil (ou l'écartement Terre-Soleil ; l'observateur étant plutôt placé audessus du Soleil) sous un angle de 1 seconde d'arc (1'' = (1/3600)°). Combien vaut 1 pc en m ? en km ? en a.l. ?

Réponse : Il faut exprimer les distances dans le triangle rectangle OST (ObservateurSoleil-Terre). On a : tan (1'') = 1 UA / 1 pc, donc 1 pc = 1,5.1011 m / tan (2,77778 10 -4 °) = 1.5 1011 m / 4,848 10 -6 = 3,09 1016 m = 3,27 a.l.

Exercice 2 : Age de l'Univers – constante de Hubble Les modèles basés sur la relativité générale permettent de décrire l'évolution de l'Univers. On peut par exemple calculer l'âge de l'Univers, c'est-à-dire le temps écoulé entre la singularité primordiale et maintenant. Un des principaux paramètres de ces modèles d'expansion de l'Univers est la constante de Hubble. Elle se mesure en s-1 en unités SI, mais on utilise plus souvent le (km/s)/Mpc, où le Mpc est le mégaparsec (106 pc). La figure ci-dessous représente la relation entre la distance des galaxies, en Mpc, et la vitesse de ces galaxies, en km/s. a) A partir de cette figure, calculer une valeur approchée de la constante de Hubble.

Réponse : le coefficient directeur de la droite reliant (plus ou moins bien) les points du graphique s'exprime en (km/s)/Mpc, et correspond donc à la constante de Hubble. Pour déterminer un coefficient directeur (ou pente) d'une droite, on utilise les coordonnées (X,Y) de 2 points quelconques A et B de cette droite : coeff = (YB-YA)/(XB-XA) Ici, comme beaucoup de données (nébuleuses individuelles) se trouvent proches de l'origine, on peut considérer le point A comme étant l'origine (0,0) : ça facilite le calcul. Ensuite, on peut choisir n'importe quel point de la droite. Ici, on a choisi un point (30, 16551). Notez qu'il faut précisément évaluer au moins une des deux coordonnées de B (ici 16551 km/s), situées entre deux intervalles annotés (15000 et 20000 km/s), et donc faire un produit en croix. Application Numérique : Cte de Hubble H0 = (16551 – 0) / (30 – 0) = 16551 / 30 = 551.7 km/s/Mpc

b) L'âge de l'Univers vaut 1/H0 à un facteur multiplicatif près. Calculer l'âge de l'Univers (en milliards d'années) à partir de cette estimation de H 0. Qu'en pensez-vous ? Réponse : il faut utiliser les unités SI pour trouver un âge T U en secondes, puis convertir en Ga. TU =1 / (551.7 * (1000 / 3.09 x10 22)) (car il faut passer les km en m, et surtout les Mpc en m : 1 pc = 3.09 x1016 m, donc 1 Mpc = 3.09 x1022 m) donc TU = 5.6009 x1016 s soit 1.776 Ga c) En fait, Hubble utilisait une relation inexacte pour les distances des galaxies, qui étaient toutes beaucoup trop faibles (par un facteur atteignant presque 10). L'estimation actuelle de H0 est d'environ 73 km/s/Mpc. Calculer alors l'âge de l'Univers. Réponse : même calcul que précédemment en remplaçant 551.7 par 73. TU =1 / (73 * (1000 / 3.09 x1022)) = 4.233 x1017 s soit 13.42 Ga En fait, le satellite artificiel WMAP a fourni des données très précises évaluant l'âge de l'Univers à 13.7 Ga. MAIS il faut bien avoir en tête que cette estimation via 1/H0 ne peut se faire qu'en considérant une expansion à vitesse constante. OR, la vitesse d'expansion a varié depuis le BigBang : elle était très rapide au début, puis a diminué pendant qlqs Ga, puis une nouvelle accélération a eu lieu.

Au final, les deux phases (diminution puis augmentation de la vitesse) se compensent assez bien pour donner un âge d'environ 14 Ga.

Exercice 3 : Durée de vie d'une étoile La durée de vie d'une étoile dépend de sa quantité initiale d'énergie qu'elle libère au fur et à mesure du temps. a) Dans le cas du Soleil, on sait que E 0 = 1.23 x1044 J. Sa luminosité est de 3.9 x1026 W. Calculer alors la durée de vie DV 0 du Soleil (= temps requis pour épuiser toute son énergie) en secondes, puis en années, Ma ou Ga. Réponse : le Watt est une unité de flux énergétique qu'on exprime aussi par des J/s. Donc en divisant l'énergie (en J) par la luminosité (en J/s), on obtient des secondes, donc un temps ou une durée DV. DV0 = E0 / L0 = 1.23 x1044 / 3.9 x1026 = 3.1538 x1017 s = 10 Ga b) Pour avoir une telle luminosité, quelle masse les réactions nucléaires au sein du Soleil font-elle disparaître en 1 seconde ? (trouver une relation entre énergie et masse, sachant que 1 J = 1 kg.m2⋅s-2) Réponse : graĉe à la conversion du Joule, on doit se rappeler la relation de la relativité restreinte E=mc2, avec E, énergie portée par un corps de masse m, qui la diffuse en émettant de la lumière (onde électromagnétique) à une vitesse c = 3 x108 m/s dans le vide. Donc m = E / c 2 (on obtient des kg). On introduit alors la luminosité du Soleil ici pour obtenir des kg/s : m = L0 / c2. A.N. : m = 3.9 x1026 / (3 x108)2 = 4.33 x109 kg/s soit 4.3 mégatonnes / s ! c) dans la séquence principale (diagramme H.R.), la durée de vie d'une étoile est donnée par cette formule : DV = DV0 * Me / Le, avec DV0, durée de vie du Soleil (en secondes), M e, masse de l'étoile (en équivalents de masse solaire), et Le, luminosité de l'étoile (en équivalents de luminosité solaire). Calculer la durée de vie d'une étoile de Me = 20 masses solaires et Le = 40000 luminosités solaires. Réponse : application numérique simple : DV = (3.1538x1017)*(20/40000) =1.5769 x1014 s = 5 Ma. Cette étoile, bien que plus massive que le Soleil, dégage un flux d'énergie très important qui va l'épuiser en qlqs Ma... C’est au niveau de la séquence principale que l’on rencontre le plus grand nombre d’étoiles. Donc les étoiles passent l’essentiel de leur vie sur cette séquence. C’est aussi uniquement sur cette séquence, que s’opère la transformation de l’hydrogène en hélium. Cette séquence principale est importante pour un environnement d’étoiles de population de type I. Dans cette séquence principale, les étoiles supergéantes (les plus brillantes, magnitude faible) sont bleues et les naines (les moins brillantes, magnitude élevée) sont rouges. L’observation des amas globulaires a montré que les étoiles s'y répartissent différemment (population de type II). Dans le diagramme HR de type II, on constate l’absence de supergéantes rouges et bleues.

Exercice 4 : Température et rayon d'une étoile On peut obtenir la température d'une étoile à partir de sa couleur, en mesurant la longueur d'onde Lo du pic d'émissivité car Lo = 2900 / T (loi de Wien), avec Lo en µm et T en K. a) Appliquer cette relation pour trouver la température d'une étoile dont Lo = 0.266 µm.

Réponse : T = 2900 / Lo = 2900 / 0.266 = 10902 K pour cette étoile. b) La température surfacique du Soleil T 0 est de 5800 K, pour un rayon R 0 de 695000 km. Il existe une relation entre température surfacique Te (en K), luminosité Le (en luminosité solaire) et rayon Re (en rayon solaire) d'une étoile : Re = (Le / (Te/T0))1/2 Appliquer cette relation afin de trouver le rayon (en rayons solaires, puis en km) de l'étoile précédente dont la luminosité solaire L e = 60. Réponse : application numérique de la relation présentée : Re = (60 / (10902 / 5800))1/2 = 5.6497 R0 = 3.92 Mkm