Corrección Segundo Parcial de Cálculo III, miércoles 6 de junio de 2018

Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas

Correcci´ on on Segundo parcial de C´ alculo alculo III II I

6 de juni junio o de 20 2018 18

1, 2, 3, 4

Tabla de Respuestas 1. (40 puntos )  Hallar el valor de  x(ln2)  x (ln2)   sabiendo que  t

 x˙  = −2x + y  + y +  + 7e 7e , 10 e ,  xy˙  =(0)−=4x6,6, + 3y3yy(0) + 10e = 3. 3. t

Respuesta:

Resolvemos Resolvemos primero el sistema sistema diferencia diferenciall (LH) asociado que es

 x˙   −2 1   x  =

y

−4

3

y

,

 

(LHC)

Utilizamos Utilizamos la varian variante te del metodo de la matriz matriz exponencial exponencial para resolver resolver este sistema:

 λ + 2 P  (λ) =  4

 − 1  =  λ − λ − 2 = (λ ( λ − 2)(λ 2)(λ + 1). 1). A λ − 3 La familia generadora de la soluci´on on general es F es  F G  = {e t , e t }, planteamos como soluci´on on general 2

2

−

x = c  =  c 11 e2t + c12 e t , y  = c  =  c 21 e2t + c22 e t . −

−

Reemplazamos esta soluci´on on general planteada en la primera ecuaci´on on de (LHC), lo que da: x˙ = 2c11 e2t c12 e t , 2x + y  + y = ( 2c11 + c  +  c21 )e2t + ( 2c12  + c  +  c22 )e

−

−

−

−

t

−

−

⇒ 2−cc

 =  c 21 11  = c

− 2c , ⇒ c − 2c 11

12  =  c 22

12

21  =

4c11  = 4c1 , c21  =  c 22  =  c 2 .

La soluci´ soluci´ on general de (LHC) es por lo tanto: on x  = c  =  c 1 e2t + c2 e t , y  = 4c1 e2t + c2 e t . −

−

Hallamos Hallamos la soluci´ soluci´ on particular del sistema (L) por tanteo, planteamos x = αet , y = βe t . Deriv on Derivand andoo y reemplazando, obtenemos como soluci´on on particular x = 2et , y = e2t , la soluci´ on general de (L) es por lo on tanto x  = c  =  c 1 e2t + c2 e t + 2e 2 et , 2t t y  = 4c1 e + c2 e et .

 −

−

−

−

Hallamos los valores de c de  c 1 y  c 2  reemplando las condiciones generales en la soluci´on on general c1  + c  +  c2  + 2 = 6, 6, 4c1  + c  +  c2 1 = 3

⇒ c  = 0, 1

−

c2  = 4

La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on t

−

x = 4e y  = 4e

t

−

De donde x(ln (ln 2) = 4e 4e

−

ln 2

+ 2e 2et , et .

−

+ 2e 2eln 2 = 2 + 4 = 6. 6.

2. (30 puntos )  Hallar la soluci´  on general de la ecuaci´  on en diferenciales: y dx

2

− x dy = dy  = (1 + x +  x ) dx

Dividimos la ecuaci´on on entre x entre  x 2 , lo que da x dy

− y dx = ( 1

x2 La soluci´ soluci´ on on es

− xy = − x  + x  +  x +  + c  c.. 1

x2

1 y 1  ⇒ d(− xy ) =  d(  d(−  + x  +  x)) ⇒ − = −  + x  +  x +  + c.  c. x x x

+ 1) dy

3. (30 puntos )Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de una carretera. A 200 m  al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de  10 m/s; el  ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de  5 m/s  para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero. Respuesta:

En el instante t instante  t  el ingeniero se encuentra en el punto I  = (0, (0, 5t) y el jaguar se encuentra en el punto J  punto  J  = (x, y), ver figura. figura. Como el jaguar jaguar persigu p ersiguee al ingeniero con la vista, la velocidad es colineal y tiene el mismo sentido que J I , de donde

 −→

I (0 (0, 5t)

 x˙ 

J (x, y)

y˙

=

10

−J→I J−→I .

Por consiguiente

 x˙ 

=

y˙

Utilizando Utilizando el hecho hecho que y que y = y/ ˙ x˙ , se tiene 

10 x2 + (5t (5t

 



y =

y

− 5t ,

− y)

2





xy = y

x

−x  . 5t − y

− 5t ;



derivando otra vez, y sabiendo que  t = 1/x˙ , se obtiene

 x − (y − 5t)  x + x y 2



xy =

−5t



=5

2

10 10x x

2

=

2

2



.

2x

√ 

1+y2

Como x Como  x 0 se tiene xy tiene  xy = . 2 Debemos resolver una ecuaci´on on diferencial de segundo orden, reducimos el orden planteando z planteando  z =  = y  y , obteniendo 

≥



√ 1z+ z + z 

=

2

1 2x

 ⇒ ln(z ln(z +

 1 + z + z ) = ln(Cz ln(Cz 2

1/2

)

⇒ z +

 1 + z + z

2

=  Cx  C x1/2 .

Determinemos C , por las caracter caracter´´ısticas ısticas del problema, problema, ver figura, figura, y (200) = z (200) = 0, de donde C  = 1/(10 2). Despejemos z Despejemos  z , 

√ 

2

1/2

(1 + z + z ) = (x

√ 

− z) ⇒

1 y = z  = 2

1 2 ( x3/2 2 30 2

√  − 20 2x /

/(10 2)

Integramos y obtemos y  =

2

√ 



x

1 2

1/2

√ 

√  − 10

10 2

1/2

−

2x



+ D.

D  determinamos utilizando la condici´on, on, ver figura, y figura,  y (200) = 0, de donde D donde  D  = 400/ 400/3. El ingenier i ngeniero o deber deb er´´ıa recorrer r ecorrer 400 400/ /3 m  antes de ser atrapado, esto obtenemos calculando  y (0). Ahora bien, el  jaguar corre dos veces m´as as r´apido apido que el ingeniero, por que debe recorrer el doble de recorrido en el mismo lapso de tiempo; es decir, 800 800/ /3 m.

2

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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas

Segundo parcial de C´ alculo alculo III

6 de juni junio o de 20 2018 18

1

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

f 

2.

g

3.

b

1. (40 puntos )  Hallar el valor de  x(ln2)  x (ln2)   sabiendo que  t

 x˙  = −2x + y  + y +  + 7e 7e , 10 e ,  xy˙  =(0)−=4x6,6, + 3y3yy(0) + 10e = 3. 3. t

Respuesta:

a) x(ln (ln 2) = 21 , d) x(ln (ln 2) = 2, 2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) x(ln (ln 2) = 0, 0, e) x(ln (ln 2) = 3,

−

c) x(ln (ln 2) = 1, f) x(ln (ln 2) = 6, 6,

−

2. (30 puntos )  Hallar la soluci´  on general de la ecuaci´  on en diferenciales: y dx a) y  = 1 + cx + cx2 , 1 x d)  y  + c,  c, y = y + y + g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.

−

−

2

− x dy = dy  = (1 + x +  x ) dx b) − xy = − x  + x  + c,  c, √   +  x + 1

e)

2 xy =  + c, xy  = y  y +  c,

c) 21 y2 xy =  c, f) 2c = tan( cy  ),  ) , 2

−

3. (30 puntos )  Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de una carretera. A 200 m  al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de  10 m/s; el  ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de  5 m/s  para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero. Respuesta:

a) 300 m, d) 1000 m, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) 800 m, 3 e) 400 m,

c) 400 m, 3 f ) 50 500 m,

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Segundo parcial de C´ alculo alculo III

6 de juni junio o de 20 2018 18

2

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

f 

2.

d

3.

g

1. (30 puntos )  Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de una carretera. A 200 m  al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de  10 m/s; el  ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de  5 m/s  para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero. Respuesta:

a) 400 m, 3 d) 500 m, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

b) 1000 m, e) 300 m,

c) 400 400 m, f) 800 m, 3

2. (40 puntos )  Hallar el valor de  x(ln2)  x (ln2)   sabiendo que  t

 x˙  = −2x + y  + y +  + 7e 7e , 10 e ,  xy˙  =(0)−=4x6,6, + 3y3yy(0) + 10e = 3. 3. t

Respuesta:

a) x(ln (ln 2) = 1, d) x(ln (ln 2) = 6, 6, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

−

b) x(ln (ln 2) = 2, 2, e) x(ln (ln 2) = 21 ,

c) x(ln (ln 2) = 3, f) x(ln (ln 2) = 0, 0,

−

3. (30 puntos )  Hallar la soluci´  on general de la ecuaci´  on en diferenciales: y dx a) 21 y 2 xy =  c, d) 2c  = tan( cy  ),  ) , 2 g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

−

2

− x dy = dy  = (1 + x +  x ) dx b) − xy = − y + y +  y  + c,  c, 1

e)

y  = 1 + cx + cx2 ,

√  − −

c) 2 xy = xy  = y  y +  + c,  c, 1 x f)  +  x +  + c,  c, y = x  + x

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Segundo parcial de C´ alculo alculo III

6 de juni junio o de 20 2018 18

3

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

g

2.

e

3.

c

1. (30 puntos )  Hallar la soluci´  on general de la ecuaci´  on en diferenciales: y dx 1 x a)  y  + c,  c, y = y + y + 2 d) y  = 1 + cx + cx , g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.

−

−

2

− x dy = dy  = (1 + x +  x ) dx √ xy = y y + b) 2 xy =  + c,  c, x e) − y = − x  + x  +  x +  + c,  c, 1

c) 2c = tan( cy  ),  ) , 2 y 1 2 f) 2 y x =  c,

−

2. (30 puntos )  Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de una carretera. A 200 m  al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de  10 m/s; el  ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de  5 m/s  para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero. Respuesta:

a) 1000 m, d) 300 m, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) 400 m, e) 800 m, 3

c) 500 500 m, f) 400 m, 3

3. (40 puntos )  Hallar el valor de  x(ln2)  x (ln2)   sabiendo que  t

 x˙  = −2x + y  + y +  + 7e 7e , 10 e ,  xy˙  =(0)−=4x6,6, + 3y3yy(0) + 10e = 3. 3. t

Respuesta:

a) x(ln (ln 2) = 2, 2, d) x(ln (ln 2) = 21 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) x(ln (ln 2) = 3, e) x(ln (ln 2) = 0, 0,

−

c) x(ln (ln 2) = 6, 6, f) x(ln (ln 2) = 1,

−

Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas

Segundo parcial de C´ alculo alculo III

6 de juni junio o de 20 2018 18

4

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

g

2.

a

3.

c

1. (30 puntos )  Hallar la soluci´  on general de la ecuaci´  on en diferenciales: y dx a) 2c  = tan( cy  ),  ) , 2 y 1 2 d) 2 y x =  c, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

−

2

− x dy = dy  = (1 + x +  x ) dx b) y  = 1 + cx + cx2 , 1 x e)  y  + c,  c, y = y + y +

−

−

1 x c)  +  x +  + c,  c, y = x  + x f) 2 xy = xy  = y  y +  + c,  c,

−√  −

2. (40 puntos )  Hallar el valor de  x(ln2)  x (ln2)   sabiendo que  t

 x˙  = −2x + y  + y +  + 7e 7e , 10 e ,  xy˙  =(0)−=4x6,6, + 3y3yy(0) + 10e = 3. 3. t

Respuesta:

a) x(ln (ln 2) = 6, 6, d) x(ln (ln 2) = 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

−

b) x(ln (ln 2) = 21 , e) x(ln (ln 2) = 2, 2,

c) x(ln (ln 2) = 0, 0, f) x(ln (ln 2) = 3,

−

3. (30 puntos )  Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de una carretera. A 200 m  al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de  10 m/s; el  ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de  5 m/s  para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, d iferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para para atrapar al ingeniero. Respuesta:

a) 500 m, d) 400 m, 3 g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

b) 300 m, e) 1000 m,

c) 800 m, 3 f ) 40 400 m,