Corrección Primer Parcial de Cálculo III, jueves 19 de abril de 2018

Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas

Correcci´ on on Primer parcial de C´ alculo alculo III

19 de abril abril de 201 2018 8

1, 2, 3, 4

Tabla de Respuestas 1. (40 puntos )  Hallar el valor de  y  y (2)  sabiendo que  x

 y + y − 2y = −3e ,  yy(0)(0)==1,10.0,. 





Respuesta:

Resolvemos primero la ecuaci´on on (LH) asociada: 

y + y



− 2y = 0 (LHC) El polinomio caracter´ caracter´ıstico de la ecuaci´ on on es p es  p((λ) =  λ2 + λ − 2 = (λ − 1)(λ 1)(λ + 2), las ra´ ra´ıces de este polinomio x 2x }  de la ecuaci´on son λ1 = 1, λ 1,  λ 2  = 2. Por lo tanto, SF =  {e , e on (LH) asociada. Para la soluci´on on particular −

de la ecuaci´on on (L), aplicamos variaci´on on de constantes, planteando: x

y  = c  =  c 1 (x)e + c2 (x)e

e 2x 2e 2x

x

2x

−

e

⇒

−

ex

−

−

c   

1

=

c2 

0 3ex

−



.

Resolvemos el sistema lineal, lo que da: 2x

 0 e   − 3e −2e   = 3e  e e  −3e  e e 0−2e  e 3e  = −3e = e −

2x

x



c1

=

−

2x

x

x

−

−

=

x

−

−1 ⇒ c1(x) = −x

2x

x

−

x x



c2

=

x

2x

x

3e

3x

x

−3e

−

−

−xex + 31 e3xe

⇒ c2(x) = 13 e3x

−xex + 31 ex. Por lo tanto, la soluci´on on general de (L) y  = c  =  c 1 ex + c2 e 2x − xex .

Soluci´ on particular encontrada y on encontrada  y  = es:

2x

−

=

−

Hallamos los valores de c de  c 1 y  c 2 reemplaza reemplazando ndo las condiciones condiciones iniciales en la soluci´ soluci´ on on general,



y (0) = c =  c 1  + c  +  c2  = 1 =  c 1 2c2 1 = 0 y (0) = c 

−

La soluci´ soluci´ on on del problema es  y  = 1ex

−

− xex, de donde

⇒ c1  = 1, c2  = 0.

y(2) = e =  e 2

− 2e2 = −e2.

on no constante del problema diferencial  2. (30 puntos )   Hallar la soluci´ 

=  y 2 y + (y ( y )2 , 1 y  = 2 e  y = 1 para x para  x  = 0.

 yy









−

Reducimos el orden, planteando y (x) = u(y ). Derivamos y = u y = uu . Reemplazamos en la ecuaci´on on diferencial del problema 

yuu =  y 2 u + u  + u2 , 



− 12 ) = 1 ⇒ yu

u(

Reemplazamos la condici´on on inicial 1 =



= y 2 + u







=

⇒u



1 u + y  + y y

 ⇒ u = cy  =  cy +  + y  y 2

− 12 c + 41 ,  c =  c  = − 32 , de donde y − 32 y + y  + y 2 , ⇒ = 1. 1. y (y − 3 ) 



y =

2

Integramos

−

2  2  ln y +  ln(y  ln( y 3 3

−

 3 ) =  x +  x  + d  d 2

Reemplazamos la condici´on on inicial y(0) = 2y

x/2 − 3 = 8e3x/2

⇒ ln

3 2

y −  y

3 = x + d  + d 2

3

⇒ y −y 2 = de

3 2

x

.

 − 12 , lo que da d   = 4. La soluci´on on del problema est´a dada por

on general de la ecuaci´  on diferencial  diferencial  3. (30 puntos )   Hallar la soluci´  2

x/y) 2xye (x/y) y = 2  . x/y) + 2x x/y) y + y 2 e(x/y) 2x2 e(x/y) 

2

2

Respuesta:

Intercambiamos roles entre la variable independiente  x  e  y  la funci´on on inc´ognita, ogni ta, as´ı tenem t enemos: os: 2

2

x/y) 1 2xye (x/y) = 2 x/y) + 2x x/y) x y + y 2 e(x/y) 2x2 e(x/y) 2



⇒

2

2

2

2

x/y) x/y) x/y) x/y) y 2 + y 2 e(x/y) + 2x 2x2 e(x/y) 1 + e + e(x/y) + 2(x/y 2(x/y))2 e(x/y) x = = x/y) x/y) 2xye (x/y) 2(x/y 2(x/y))e(x/y) 

2

2

ecuaci´ on on de tipo t ipo homog´eneo, eneo, planteamos  z  = x/y  =  x/y,,  x =  x  = yz  yz , derivamos x derivamos  x =  yz + z,  z , reemplazamos 

2

1 + e + ez + 2z 2z 2 ez yz + z =  z  = 2ze z 

2

2

⇒

1 + e + ez yz = 2ze z 

2

2

x/y) Por Por lo tanto tanto 1 + e(x/y) =  cy.  cy .

2

2



2

⇒

2ze z 1  z = y 1 + e + ez 

2

2

 ⇒ ln(1 + e + ez ) = ln(cy ln(cy)).

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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas

Primer parcial de C´ alculo alculo III

19 de abril abril de 201 2018 8

1

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:  En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.  No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

f 

2.

b

3.

b

1. (40 puntos )  Hallar el valor de  y  y (2)  sabiendo que  x

 y + y − 2y = −3e ,  yy(0)(0)==1,10.0,. 





Respuesta:

a) y(2) = 2e2 , d) y(2) = e =  e 2 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

b) y(2) = 2e 4 , e) y(2) = e =  e 2 + e 4 ,

−

−

−

c) y(2) = 0, 0, f) y(2) = e2 ,

−

−

on no constante del problema diferencial  2. (30 puntos )   Hallar la soluci´ 

=  y 2 y + (y ( y )2 , y  = 12 e  y = 1 para x para  x  = 0.

 yy a) y  = 2e x , d) y  = cos  =  cos(3 (3x x + 2), 2), g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −





−





x/2 b) 2y 3 = 8ye 3x/2 , 2 3 e) x + y = 3,

c) 3y + x  +  x3 = 3, f ) y  = ln(2e ln(2e x

−

−

− 1), 1),

−

on general de la ecuaci´  on diferencial  diferencial  3. (30 puntos )   Hallar la soluci´  2

x/y) 2xye (x/y) y = 2  . x/y) + 2x x/y) y + y 2 e(x/y) 2x2 e(x/y) 

2

2

Respuesta:

a) d) g)

y  = (x2

− 1) + cx, + cx, y  = e  =  e x − 1, Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.

2

x/y) b) 1 + e(x/y) =  cy,

e)

x  = ln



√ y1

1+

2

y2

−

(y/x) y/x)2

−

c) 1 + e

   + 1 + y + y ,

f)

=  cx,

x  = (y 2 + 1) + cy, + cy,

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Primer parcial de C´ alculo alculo III

19 de abril abril de 201 2018 8

2

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:  En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.  No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

d

2.

f 

3.

f 

1. (40 puntos )  Hallar el valor de  y  y (2)  sabiendo que  x

 y + y − 2y = −3e ,  yy(0)(0)==1,10.0,. 





Respuesta:

b) y (2) = e =  e 2 , e) y (2) = 2e2 ,

a) y (2) = 0, 0, d) y (2) = e2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

−

c) y (2) = e =  e 2 + e 4 , f) y (2) = 2e 4 , −

−

−

−

on no constante del problema diferencial  2. (30 puntos )   Hallar la soluci´ 

=  y 2 y + (y ( y )2 , y  = 12 e  y = 1 para x para  x  = 0.

 yy



a) 3y + x  +  x3 = 3, 3, d) y  = ln(2e ln(2e x 1), 1), g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

−

−

−







−

b) y  = cos  =  cos(3 (3x x + 2), 2), x e) y  = 2e , −

c) x2 + y 3 = 3, x/2 f) 2y 3 = 8ye 3x/2 ,

−

on general de la ecuaci´  on diferencial  diferencial  3. (30 puntos )   Hallar la soluci´  2

x/y) 2xye (x/y) y = 2  . x/y) + 2x x/y) y + y 2 e(x/y) 2x2 e(x/y) 

2

2

Respuesta:

a)

1 + e

(y/x) y/x)2

−

=  cx,

d) x  = (y2 + 1) + cy, + cy, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

b) y  = e  =  e e)

x

− 1, y  = (x2 − 1) + cx, + cx,

c) x = f)



y ln 1+ 1−y 2 (x/y) x/y)2

1 + e

√ 

=  cy,

   + 1 + y + y , 2

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Primer parcial de C´ alculo alculo III

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3

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:  En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.  No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

c

2.

e

3.

e

1. (40 puntos )  Hallar el valor de  y  y (2)  sabiendo que  x

 y + y − 2y = −3e ,  yy(0)(0)==1,10.0,. 





Respuesta:

a) y(2) = e =  e 2 , d) y(2) = 2e2 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

b) y(2) = e =  e 2 + e 4 , e) y(2) = 2e 4 ,

c) y(2) = e2 , f) y(2) = 0, 0,

−

−

−

−

−

on no constante del problema diferencial  2. (30 puntos )   Hallar la soluci´ 

=  y 2 y + (y ( y )2 , y  = 12 e  y = 1 para x para  x  = 0.

 yy a) y  = cos  =  cos(3 (3x x + 2), 2), x d) y  = 2e , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. −









−

b) x2 + y 3 = 3, x/2 e) 2y 3 = 8ye 3x/2 ,

c) y  = ln(2e ln(2e x f ) 3y + x  +  x3 = 3,

−

−

− 1), 1),

−

on general de la ecuaci´  on diferencial  diferencial  3. (30 puntos )   Hallar la soluci´  2

x/y) 2xye (x/y) y = 2  . x/y) + 2x x/y) y + y 2 e(x/y) 2x2 e(x/y) 

2

2

Respuesta:

a)

y  = e  =  e

x

− 1, y  = (x2 − 1) + cx, + cx,

d) g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.

b) x  = e)



y ln 1+ 1−y2 (x/y) x/y)2

1 + e

√ 

=  cy,

   + 1 + y + y , 2

c) x  = (y 2 + 1) + cy, + cy, f)

1 + e

(y/x) y/x)2

−

=  cx,

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Primer parcial de C´ alculo alculo III

19 de abril abril de 201 2018 8

4

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:  En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiend respondiendo, o, indicando indicando claramente claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ n nado ado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.  No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

a

2.

c

3.

c

1. (40 puntos )  Hallar el valor de  y  y (2)  sabiendo que  x

 y + y − 2y = −3e ,  yy(0)(0)==1,10.0,. 





Respuesta:

a) y (2) = e2 , d) y (2) = 0, 0, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

−

b) y (2) = 2e2 , e) y (2) = e =  e 2 ,

c) y (2) = 2e 4 , f) y (2) = e =  e 2 + e 4 ,

−

−

−

−

on no constante del problema diferencial  2. (30 puntos )   Hallar la soluci´ 

=  y 2 y + (y ( y )2 , y  = 12 e  y = 1 para x para  x  = 0.

 yy



a) y  = ln(2e ln(2e x 1), 1), 3 d) 3y + x  +  x = 3, 3, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

−

−

−



−





b) y  = 2e x , e) y  = cos  =  cos(3 (3x x + 2), 2), −

x/2 c) 2y 3 = 8ye 3x/2 , 2 3 f) x + y = 3,

−

on general de la ecuaci´  on diferencial  diferencial  3. (30 puntos )   Hallar la soluci´  2

x/y) 2xye (x/y) y = 2  . x/y) + 2x x/y) y + y 2 e(x/y) 2x2 e(x/y) 

2

2

Respuesta:

a)

x  = (y2 + 1) + cy, + cy,

d) 1 + e

(y/x) y/x)2

−

=  cx,

g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

b) y  = (x2 e)

− 1) + cx, + cx, y  = e  =  e x − 1,

2

x/y) c) 1 + e(x/y) =  cy,

f)

x = ln



y 1+ 1−y 2

√ 

   + 1 + y + y , 2