Corrección Primer Parcial de Cálculo III, 28 de enero de 2015.

Universidad Mayor de San Sim´ on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans M¨ uller Santa Cruz Departamento de Mathematicas

Correcci´ on Primer Parcial de C´ alculo III

1, 2, 3, 4

28 de enero de 2016

Tabla de Respuestas 1.- (40 puntos) Hallar el valor de y(2), sabiendo que y es la soluci´ on del problema a valor inicial:  00  y − 2y 0 + y = −x2 + 4x − 1, y(0) = 1,  0 y (0) = 2. Respuesta: Resolvemos la ecuaci´ on lineal asociada al problema y 00 − 2y 0 + y = −x2 + 4x + 1,

(L)

comenzando con la ecuaci´ on lineal homog´enea asociada y 00 − 2y 0 + y = 0,

(LHC)

cuyo polinomio caracter´ıstico es p(λ) = λ2 − 2λ + 1 = (λ − 1)2 . λ = 1 es una ra´ız que se repite dos veces, de donde SF = {ex , xex }. La soluci´ on particular de la ecuaci´ on (L) se la obtiene por tanteo, plantendo y = αx2 +βx+γ. Derivando y reemplazando, obtenemos: 2α−2(2αx+β)+(αx2 +βx+γ) = −x2 +4x−1 ⇒ α = −1, −4α+β = 4, 2α−2β+γ = −1 ⇒ α = −1, β = 0, γ = 1 Soluci´ on particular obtenida, y = −x2 + 1. La soluci´on general de la ecuaci´on (L) est´a dada por y = c1 ex + c2 xex − x2 + 1. Ahora hallamos los valores de las constantes c1 y c2 reemplazando las condiciones iniciales en la soluci´ on general. y(0) = c1 + 1 = 1, ⇒ c1 = 0, c2 = 2. y 0 (0) = c1 + c2 = 2, Soluci´ on del problema a valor inicial y = 2xet − x2 + 1, de donde y(2) = 4e2 − 4 + 1 = 4e2 − 3.

2.- (30 puntos) Resolver el problema y 00 = y 0 ey ,

y = 0 e y 0 = 2 para x = 0.

Respuesta: Reducimos el orden, planteando y 0 (x) = u(y). Derivamos y 00 = u0 y 0 = uu0 . Reemplazamos en la ecuaci´ on diferencial del problema uu0 = uey ,

u(0) = 2 ⇒ u0 = ey ⇒ u = ey + c ⇒ 2 = 1 + c, ⇒ c = 1.

Por lo tanto y 0 = ey + 1, ecuaci´ on separable. Separamos e integramos Z Z dy e−y dy = x + d ⇒ = x + d ⇒ − ln(e−y + 1) = x + d. ⇒ e−y + 1 = ce−x ey + 1 1 + e−1 Determinamos el valor de d, reemplazando la condici´on inicial y(0) = 0, 1 + 1 = c. Ahora despejamos y, −y = ln(2e−x − 1), lo que da como soluci´on y = − ln(2e−x − 1).

3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial y − xy 0 = y 0 y 2 ey . Respuesta: Hacemos algebra con la ecuaci´ on diferencial, (y 2 ey + x)y 0 = y. Intercambiamos roles entre la funci´ on inc´ognita y la variable independiente. De esta manera x0 =

1 x + yey y

(L)

Resolvemos primero la ecuaci´ on lineal homog´enea asociada, x0 =

1 x ⇒ x = celn y = cy. y

La soluci´ on particular es encontrada por variaci´on de constantes, planteando x = c(y)y. Derivamos y reemplazamos c + c0 y = c + yey ⇒ c0 = ey ⇒ c = ey . Soluci”on particular hallada x = ey y. De donde la soluci´on general es x = cy + yey .

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

f

2.-

f

3.-

f

1.- (40 puntos) Hallar el valor de y(2), sabiendo que y es la soluci´ on del problema a valor inicial:  00  y − 2y 0 + y = −x2 + 4x − 1, y(0) = 1,  0 y (0) = 2. Respuesta: a) y(2) = 3e2 + 4, d) y(2) = 2e2 − 3, g) Ninguna de las anteriores.

b) y(2) = e2 − 1, e) y(2) = 3 − e2 ,

c) f)

y(2) = 0, y(2) = 4e2 − 3,

2.- (30 puntos) Resolver el problema y 00 = y 0 ey ,

y = 0 e y 0 = 2 para x = 0.

Respuesta: √ a) y = ln(x + 1 + x2 ), d) y = 3 ln x + ex , g) Ninguna de las anteriores.

b) y = 2e−x , e) y = 21 x2 − ln(x2 + c1 ) + 2,

c) f)

xy 2 = x + y 3 , y = − ln(2e−x − 1),

3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial y − xy 0 = y 0 y 2 ey . Respuesta: a) xy(x + y)2 = c, d) x3 ln y = c, g) Ninguna de las anteriores.

b) y = 1 + ln x + cx, 1 e) ln x − xy = c,

c) f)

xyex − ex = c, x = yey + cy,

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

e

2.-

e

3.-

e

1.- (40 puntos) Hallar el valor de y(2), sabiendo que y es la soluci´ on del problema a valor inicial:  00  y − 2y 0 + y = −x2 + 4x − 1, y(0) = 1,  0 y (0) = 2. Respuesta: a) y(2) = e2 − 1, d) y(2) = 3 − e2 , g) Ninguna de las anteriores.

c) f)

y(2) = 2e2 − 3, y(2) = 3e2 + 4,

c) f)

y = 3 ln x +√ex , y = ln(x + 1 + x2 ),

b) y(2) = 0, e) y(2) = 4e2 − 3,

2.- (30 puntos) Resolver el problema y 00 = y 0 ey ,

y = 0 e y 0 = 2 para x = 0.

Respuesta: a) y = 2e−x , d) y = 21 x2 − ln(x2 + c1 ) + 2, g) Ninguna de las anteriores.

b) xy 2 = x + y 3 , e) y = − ln(2e−x − 1),

3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial y − xy 0 = y 0 y 2 ey . Respuesta: a) y = 1 + ln x + cx, 1 d) ln x − xy = c, g) Ninguna de las anteriores.

b) xyex − ex = c, e) x = yey + cy,

c) x3 ln y = c, f) xy(x + y)2 = c,

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

d

2.-

d

3.-

d

1.- (40 puntos) Hallar el valor de y(2), sabiendo que y es la soluci´ on del problema a valor inicial:  00  y − 2y 0 + y = −x2 + 4x − 1, y(0) = 1,  0 y (0) = 2. Respuesta: a) y(2) = 0, d) y(2) = 4e2 − 3, g) Ninguna de las anteriores.

b) y(2) = 2e2 − 3, e) y(2) = 3e2 + 4,

c) y(2) = 3 − e2 , f) y(2) = e2 − 1,

2.- (30 puntos) Resolver el problema y 00 = y 0 ey ,

y = 0 e y 0 = 2 para x = 0.

Respuesta: a) xy 2 = x + y 3 , d) y = − ln(2e−x − 1), g) Ninguna de las anteriores.

b) y = 3 ln x +√ex , e) y = ln(x + 1 + x2 ),

c) f)

y = 21 x2 − ln(x2 + c1 ) + 2, y = 2e−x ,

3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial y − xy 0 = y 0 y 2 ey . Respuesta: a) xyex − ex = c, d) x = yey + cy, g) Ninguna de las anteriores.

b) x3 ln y = c, e) xy(x + y)2 = c,

1 c) ln x − xy = c, f) y = 1 + ln x + cx,

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

c

2.-

c

3.-

c

1.- (40 puntos) Hallar el valor de y(2), sabiendo que y es la soluci´ on del problema a valor inicial:  00  y − 2y 0 + y = −x2 + 4x − 1, y(0) = 1,  0 y (0) = 2. Respuesta: a) y(2) = 2e2 − 3, d) y(2) = 3e2 + 4, g) Ninguna de las anteriores.

b) y(2) = 3 − e2 , e) y(2) = e2 − 1,

y(2) = 4e2 − 3, y(2) = 0,

c) f)

2.- (30 puntos) Resolver el problema y 00 = y 0 ey ,

y = 0 e y 0 = 2 para x = 0.

Respuesta: a) y = 3 ln x +√ex , d) y = ln(x + 1 + x2 ), g) Ninguna de las anteriores.

b) y = 21 x2 − ln(x2 + c1 ) + 2, e) y = 2e−x ,

c) f)

y = − ln(2e−x − 1), xy 2 = x + y 3 ,

3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial y − xy 0 = y 0 y 2 ey . Respuesta: a) x3 ln y = c, d) xy(x + y)2 = c, g) Ninguna de las anteriores.

1 b) ln x − xy = c, e) y = 1 + ln x + cx,

c) f)

x = yey + cy, xyex − ex = c,