Corrección primer parcial Cálculo III (Ecuaciones diferenciales) 5 de octubre de 2017

Universidad Mayor de San Sim´ on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans M¨ uller Santa Cruz Departamento de Mathematicas

Correcci´ on Segundo Parcial de C´ alculo III

1, 2, 3, 4

14 de octubre de 2015

Tabla de Respuestas 1.- (40 puntos) Hallar x(ln 2), sabiendo que x es  x˙    y˙ x(0)    y(0)

soluci´ on del problema a valor inicial = 3x − 2y − 1, = x − 1, = 1, = 1.

Respuesta: Resolvemos el problema a valor inicial, convirtiendo la ecuaci´on del problema en una ecuaci´on diferencial ordinaria con x como funci´ on inc´ognita. Para tal efecto, derivamos la primera ecuaci´on x ¨ = 3x˙ − 2y, ˙ luego remplazamos la segunda ecuaci´on del sistema diferencial, lo que da x ¨ = 3x˙ − 2(x − 1) ⇒ x ¨ − 3x˙ + 2x = 2. La ecuaci´ on lineal homog´enea es (LHC), la resolvemos v´ıa el polinomio caracter´ıstico p(λ) = λ2 − 3λ + 2 = (λ − 2)(λ − 1) ⇒ SF = {e2t , et }. La soluci´ on particular x = 1 es obtenida por tanteo, por consiguiente la soluci´on general es x = c1 e2t + c2 et + 1. Ahora hallamos las c1 y c2 remplazando las condiciones iniciales, pero antes x(0) ˙ = 3x(0) − 2y(0) − 1 = 0. Por lo tanto c1 + c2 + 1 = 1, 2c1 + c2 = 0.

 ⇒ c1 = 0, c2 = 0 ⇒ x = 1.

Por u ´ltimo tenemos x(ln 2) = 1.

2.- (30 puntos) Utilizando m´etodos diferenciales, hallar la ecuaci´ on general de la familia de curvas que parten del origen por el primer cuadrante, tales que el ´ area bajo cada curva desde (0, 0) hasta (x, y) es igual a un tercio del a ´rea del rect´ angulo que tiene a esos puntos como v´ertices opuestos. Respuesta: El ´ area de la superficie encerrada por una de las curvas de la familia est´ a dada por Z x Area = y dx 0

que de acuerdo a los datos del problema es Z Area =

x

y dx = 0

1 xy 3

(x, y)

Derivando respecto a x, se obtiene 1 1 2 y + xy 0 ⇒ y 0 = y ⇒ y = ce2 ln x 3 3 x

y=

De donde, la ecuaci´ on general de la familia de curvas es y = cx2 .

3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on (x3 + xy 3 ) dx + 3y 2 dy = 0. Respuesta: Verificamos primero si la ecuaci´ on admite primitiva o no. ∂ 3 ∂3y 2 (x + xy 3 ) = 3xy 2 6= = 0. ∂y ∂x Resolvemos la ecuaci´ on, por medio del factor integrante µ(x, y), lo que da µ(x3 + xy 3 ) dx + 3µy 2 dy = 0 ⇒ 3xy 2 µ +

∂µ ∂µ 3 x + xy 3 ) = 3y 2 . ( ∂x

Suponemos que µ(x), lo que da 3xy 2 µ = 3y 2 µ0 ⇒ µ0 = xµ → µ = ex

2

/2

.

Obtenemos la ecuaci´ on que admite primitiva 2

ex

/2

(x3 + xy 3 ) dx + 3ex

2

/2 2

y dy = 0

Encontramos la primitiva 2 2 2 ∂f (x, y) = 3ex /2 y 2 ⇒ f (x, y) = ex /2 y 3 + c(x) ⇒ c0 (x) = ex /2 x3 , ∂x

Hallamos c(x) integrando por partes Z Z 2 2 2 x2 /2 3 x2 /2 2 e x dx = e x − 2 ex /2 x dx = ex /2 x2 − 2ex /2 de donde la primitiva encontrada es f (x, y) = ex

2

/2

(x2 + y 3 − 2)

y la soluci´ on general es ex

2

/2

(x2 + y 3 − 2) = c.

2

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Hans M¨ uller Santa Cruz Departamento de Matem´ aticas

1

Segundo Parcial de C´ alculo III

14 de octubre de 2015

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

d

2.-

d

3.-

d

1.- (40 puntos) Hallar x(ln 2), sabiendo que x es  x˙    y˙  x(0)   y(0)

soluci´ on del problema a valor inicial = 3x − 2y − 1, = x − 1, = 1, = 1.

Respuesta: a) c) e)

x(ln 2) = 0, x(ln 2) = −1, Ninguna de las anteriores.

b) x(ln 2) = 9, d) x(ln 2) = 1,

2.- (30 puntos) Utilizando m´etodos diferenciales, hallar la ecuaci´ on general de la familia de curvas que parten del origen por el primer cuadrante, tales que el ´ area bajo cada curva desde (0, 0) hasta (x, y) es igual a un tercio del a ´rea del rect´ angulo que tiene a esos puntos como v´ertices opuestos. Respuesta: a) x2 + y 2 = c, b) xy 2 = c, c) y = cx, d) y = cx2 , e) Ninguna de las anteriores. 3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on (x3 + xy 3 ) dx + 3y 2 dy = 0. Respuesta: a) exy (x + y) = c, c) y(x3 + cx) = 3, e) Ninguna de las anteriores.

b) y 2 = x4 + cx3 , 2 d) ex /2 (y 3 + x2 − 2) = c,

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14 de octubre de 2015

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

c

2.-

c

3.-

c

1.- (40 puntos) Hallar x(ln 2), sabiendo que x es  x˙    y˙  x(0)   y(0)

soluci´ on del problema a valor inicial = 3x − 2y − 1, = x − 1, = 1, = 1.

Respuesta: a) x(ln 2) = 9, c) x(ln 2) = 1, e) Ninguna de las anteriores.

b) x(ln 2) = −1, d) x(ln 2) = 0,

2.- (30 puntos) Utilizando m´etodos diferenciales, hallar la ecuaci´ on general de la familia de curvas que parten del origen por el primer cuadrante, tales que el ´ area bajo cada curva desde (0, 0) hasta (x, y) es igual a un tercio del a ´rea del rect´ angulo que tiene a esos puntos como v´ertices opuestos. Respuesta: a) xy 2 = c, b) y = cx, c) y = cx2 , d) x2 + y 2 = c, e) Ninguna de las anteriores. 3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on (x3 + xy 3 ) dx + 3y 2 dy = 0. Respuesta: a) y 2 = x4 + cx3 , 2 c) ex /2 (y 3 + x2 − 2) = c, e) Ninguna de las anteriores.

b) y(x3 + cx) = 3, d) exy (x + y) = c,

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

b

2.-

b

3.-

b

1.- (40 puntos) Hallar x(ln 2), sabiendo que x es  x˙    y˙  x(0)   y(0)

soluci´ on del problema a valor inicial = 3x − 2y − 1, = x − 1, = 1, = 1.

Respuesta: a) c) e)

x(ln 2) = −1, x(ln 2) = 0, Ninguna de las anteriores.

b) x(ln 2) = 1, d) x(ln 2) = 9,

2.- (30 puntos) Utilizando m´etodos diferenciales, hallar la ecuaci´ on general de la familia de curvas que parten del origen por el primer cuadrante, tales que el ´ area bajo cada curva desde (0, 0) hasta (x, y) es igual a un tercio del a ´rea del rect´ angulo que tiene a esos puntos como v´ertices opuestos. Respuesta: a) y = cx, b) y = cx2 , 2 2 c) x + y = c, d) xy 2 = c, e) Ninguna de las anteriores. 3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on (x3 + xy 3 ) dx + 3y 2 dy = 0. Respuesta: a) y(x3 + cx) = 3, c) exy (x + y) = c, e) Ninguna de las anteriores.

2

b) ex /2 (y 3 + x2 − 2) = c, d) y 2 = x4 + cx3 ,

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14 de octubre de 2015

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

a

2.-

a

3.-

a

1.- (40 puntos) Hallar x(ln 2), sabiendo que x es  x˙    y˙  x(0)   y(0)

soluci´ on del problema a valor inicial = 3x − 2y − 1, = x − 1, = 1, = 1.

Respuesta: a) x(ln 2) = 1, c) x(ln 2) = 9, e) Ninguna de las anteriores.

b) x(ln 2) = 0, d) x(ln 2) = −1,

2.- (30 puntos) Utilizando m´etodos diferenciales, hallar la ecuaci´ on general de la familia de curvas que parten del origen por el primer cuadrante, tales que el ´ area bajo cada curva desde (0, 0) hasta (x, y) es igual a un tercio del a ´rea del rect´ angulo que tiene a esos puntos como v´ertices opuestos. Respuesta: a) y = cx2 , b) x2 + y 2 = c, 2 c) xy = c, d) y = cx, e) Ninguna de las anteriores. 3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on (x3 + xy 3 ) dx + 3y 2 dy = 0. Respuesta: 2

a) ex /2 (y 3 + x2 − 2) = c, c) y 2 = x4 + cx3 , e) Ninguna de las anteriores.

b) exy (x + y) = c, d) y(x3 + cx) = 3,