Corrección Primer parcial Cálculo III 23 de junio de 2016

Universidad Mayor de San Sim´ on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans M¨ uller Santa Cruz Departamento de Mathematicas

Correcci´ on Primer Parcial de C´ alculo III

1, 2, 3, 4

23 de junio de 2016

Tabla de Respuestas 1.- (40 puntos) Hallar el valor de y(ln 2), sabiendo que y es la soluci´ on del problema a valor inicial:  00  y − y 0 − 2y = −2ex , y(0) = 7,  0 y (0) = −5. Respuesta: Resolvemos la ecuaci´ on lineal asociada al problema y 00 − y 0 − 2y = −2ex ,

(L)

comenzando con la ecuaci´ on lineal homog´enea, que dicho sea de paso es lineal homog´enea a coeficientes constantes, y 00 − y − 2y = 0, (LHC) λ2 − λ − 2 = (λ − 2)(λ + 1) ⇒ SF = {e2x , e−x }. La soluci´ on particular de (L) es y = ex , obtenida por tanteo, de donde, la soluci´on general de (L) es y = c1 e2x + c2 e−x + ex . Encontramos los valores de las constantes c1 y c2 reemplazando las condiciones iniciales en la soluci´ on general:   y(0) = c1 + c2 + 1 = 7, c1 + c2 = 6 ⇒ ⇒ c1 = 0, c2 = 6. y 0 (0) = 2c1 − c2 + 1 = −5 2c1 − c2 = −6 La soluci´ on del problema es y = 6e−x + ex , de donde y(ln 2) = 3 + 2 = 5.

2.- (30 puntos) Reduciendo el orden, resolver xy 00 = y 0 + (y 0 )3 Respuesta: Reducimos el orden planteando z = y 0 , derivando y reemplazando obtenemos z0 =

1 1 z + z3, x x

ecuaci´ on de tipo Bernouilli, planteamos u = z 1−3 , derivamos y reemplazamos: 2 2 c c − x2 x2 x ⇒ z2 = ⇒ y0 = √ u0 = − u − ⇒ u = 2 − 1 = , 2 x x x x c − x2 c − x2 Integramos y=

p

c − x2 + d ⇒ (y − x)2 = c − x2

de donde la soluci´ on general es x2 + (y − d)2 = c.

3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial y0 =

x + 2y + 2 . −2x + y

Respuesta: Para convertir la ecuaci´ on diferencial en una de tipo homog´eneo, hallamos la intersecci´on de las rectas:  2 4 x + 2y + 2 = 0, ⇒x=− , y=− −2x + y = 0. 5 5 Realizamos los cambios de ejes u = x + 2/5, v = y + 4/5, lo que da v0 =

1 + 2v/u u + 2v = . −2u + v −2 + v/u

Planteamos z = v/u o lo que es lo mismo v = uz, derivamos v 0 = uz 0 + z y reemplazamos uz 0 + z =

1 + 2z z2 − 4 − 1 (z − 2)z 0 1 ⇒ uz 0 = − ⇒ 2 =− , −2 + z z−2 z − 4z − 1 u

Para integrar, multilicamos todo por 2 y obtenemos ln(z 2 − 4z − 1) = − ln u2 + c realizamos operaciones con ln y reemplazamos z = v/u esto da: z 2 − 4z − 1 = c ⇒ v 2 − 4uv − u2 = c, u2 Reemplazamos u = x + 2/5, v = y + 4/5, esto da como soluci´on general (5y + 4)2 − 4(5y + 4)(5x + 2) − (5x + 2)2 = c.

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Primer Parcial de C´ alculo III

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Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

f

2.-

d

3.-

a

1.- (40 puntos) Hallar el valor de y(ln 2), sabiendo que y es la soluci´ on del problema a valor inicial:  00  y − y 0 − 2y = −2ex , y(0) = 7,  0 y (0) = −5. Respuesta: a) y(ln 2) = −6, d) y(ln 2) = −1, g) Ninguna de las anteriores.

b) y(ln 2) = 0, e) y(ln 2) = 6,

c) f)

y(ln 2) = 3, y(ln 2) = 5,

2.- (30 puntos) Reduciendo el orden, resolver xy 00 = y 0 + (y 0 )3 Respuesta: a) xy 2 = c1 x + y 3 + c2 , d) x2 + (y − c2 )2 = c21 , g) Ninguna de las anteriores.

b) y = 3 ln x + c1 ex + c2 , e) y = ln(c1 ex + e−x ) + c2 ,

c) f)

y = 12 x2 − ln(x2 + c1 ) + c2 , y = c2 e−c1 x ,

3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial y0 =

x + 2y + 2 . −2x + y

Respuesta: a) d) g)

(5y + 4)2 − 4(5y + 4)(5x + 2) − (5x + 2)2 = c, (x − 2)2 + (y − 4)2 = c, Ninguna de las anteriores.

b) xy(x + y)2 = c, e) x3 ln y = c,

c) f)

y = 1 + ln x + cx, 1 ln x − xy = c,

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

e

2.-

b

3.-

e

1.- (40 puntos) Hallar el valor de y(ln 2), sabiendo que y es la soluci´ on del problema a valor inicial:  00  y − y 0 − 2y = −2ex , y(0) = 7,  0 y (0) = −5. Respuesta: a) y(ln 2) = 0, d) y(ln 2) = 6, g) Ninguna de las anteriores.

b) y(ln 2) = 3, e) y(ln 2) = 5,

c) y(ln 2) = −1, f) y(ln 2) = −6,

2.- (30 puntos) Reduciendo el orden, resolver xy 00 = y 0 + (y 0 )3 Respuesta: a) y = 12 x2 − ln(x2 + c1 ) + c2 , d) y = c2 e−c1 x , g) Ninguna de las anteriores.

b) x2 + (y − c2 )2 = c21 , e) xy 2 = c1 x + y 3 + c2 ,

c) f)

y = ln(c1 ex + e−x ) + c2 , y = 3 ln x + c1 ex + c2 ,

3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial y0 =

x + 2y + 2 . −2x + y

Respuesta: a) y = 1 + ln x + cx, 1 d) ln x − xy = c, g) Ninguna de las anteriores.

b) (x − 2)2 + (y − 4)2 = c, e) (5y + 4)2 − 4(5y + 4)(5x + 2) − (5x + 2)2 = c,

c) f)

x3 ln y = c, xy(x + y)2 = c,

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

d

2.-

a

3.-

d

1.- (40 puntos) Hallar el valor de y(ln 2), sabiendo que y es la soluci´ on del problema a valor inicial:  00  y − y 0 − 2y = −2ex , y(0) = 7,  0 y (0) = −5. Respuesta: a) y(ln 2) = 3, d) y(ln 2) = 5, g) Ninguna de las anteriores.

b) y(ln 2) = −1, e) y(ln 2) = −6,

c) f)

y(ln 2) = 6, y(ln 2) = 0,

2.- (30 puntos) Reduciendo el orden, resolver xy 00 = y 0 + (y 0 )3 Respuesta: a) x2 + (y − c2 )2 = c21 , d) xy 2 = c1 x + y 3 + c2 , g) Ninguna de las anteriores.

b) y = ln(c1 ex + e−x ) + c2 , e) y = 3 ln x + c1 ex + c2 ,

c) f)

y = c2 e−c1 x , y = 12 x2 − ln(x2 + c1 ) + c2 ,

3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial y0 =

x + 2y + 2 . −2x + y

Respuesta: a) d) g)

(x − 2)2 + (y − 4)2 = c, (5y + 4)2 − 4(5y + 4)(5x + 2) − (5x + 2)2 = c, Ninguna de las anteriores.

b) x3 ln y = c, e) xy(x + y)2 = c,

c) f)

1 ln x − xy = c, y = 1 + ln x + cx,

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.-

c

2.-

f

3.-

c

1.- (40 puntos) Hallar el valor de y(ln 2), sabiendo que y es la soluci´ on del problema a valor inicial:  00  y − y 0 − 2y = −2ex , y(0) = 7,  0 y (0) = −5. Respuesta: a) y(ln 2) = −1, d) y(ln 2) = −6, g) Ninguna de las anteriores.

b) y(ln 2) = 6, e) y(ln 2) = 0,

c) f)

y(ln 2) = 5, y(ln 2) = 3,

2.- (30 puntos) Reduciendo el orden, resolver xy 00 = y 0 + (y 0 )3 Respuesta: a) y = ln(c1 ex + e−x ) + c2 , d) y = 3 ln x + c1 ex + c2 , g) Ninguna de las anteriores.

b) y = c2 e−c1 x , e) y = 21 x2 − ln(x2 + c1 ) + c2 ,

c) f)

xy 2 = c1 x + y 3 + c2 , x2 + (y − c2 )2 = c21 ,

3.- (30 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial y0 =

x + 2y + 2 . −2x + y

Respuesta: a) x3 ln y = c, d) xy(x + y)2 = c, g) Ninguna de las anteriores.

1 b) ln x − xy = c, e) y = 1 + ln x + cx,

c) f)

(5y + 4)2 − 4(5y + 4)(5x + 2) − (5x + 2)2 = c, (x − 2)2 + (y − 4)2 = c,