Corrección Examen Final de Cálculo III, semestre II18, 4 de diciembre de 2018

Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas

Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III

4 de diciemb diciembre re de 2018

1, 2, 3, 4

Tabla de Respuestas on del problema  1. (40 puntos )   Hallar  x(ln2), sabiendo que  x  es soluci´ 

 ˙  = 3  − 4  − 2  ˙  =(0) = −0  −(0) 1 = 0 x y x

Respuesta:

x

 x

y

 y , y

,

,

.

Comenzamos con el sistema lineal asociado al problema a valor inicial:

 ˙  3 x y

−4 1 −1

=

    −2  x y

+

−1

Partimos con la resoluci´on on de (LH) asociado, aplicando la variante de la matriz exponencial.

 ˙  3 x y

=

−4 1 −1

  x y

⇒  A  =

3

−4 1 −1



⇒  p A (λ) = (λ − 3)(λ + 1) + 4 =  λ 2 − 2λ − 1 = (λ − 1)2

λ  = 1 es un valor propio que se repite dos veces; por lo tanto, la familia generadora de soluciones es FG = on general: {et , tet }. Planteamos como soluci´on x  =  c 11 et + c12 tet , y  =  c 21 et + c22 tet .

Reemplazamos en la segunda ecuaci´on on de (LH) asociada: y˙  = (c21  +  c22 )et + c22 tet , x − y  = (c11  −  c21 )et + (c12  −  c22 )tet

  ⇒

c21  +  c22  =  c 11  −  c21 c22  =  c 12  −  c22

⇒  c 21  =  c 1 , c22  =  c 2 , c12  = 2c2  c 11  = 2c1 +c2

La soluci´ soluci´ on general de (LH) asociada es on x  = (2c1  +  c2 )et + 2c2 tet , y  =  c 1 et + c2 tet .

La soluci´ on particular se obtiene por tanteo, planteando x = α, y = β , lo que da como soluci´on on on particular on on general de (L) es x  = 2,  y  = 1. Por lo tanto, la soluci´ x = (2c1  +  c2 )et + 2c2 tet + 2, y  =  c 1 et + c2 tet + 1.

Hallamos los valores de  c 1 y c2 reemplaza reemplazando ndo las condiciones condiciones iniciales en la soluci´ soluci´ on on general general x(0) = 2c1  +  c2  + 2 = 0, ⇒  c1  =  −1, y  =  c 1  + 1 = 0.

c2  = 0

La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on x  =  − 2et + 2, y  =  − et + 1.

De donde x(ln (ln 2) = −2eln 2 + 2 =  − 4 + 2 =  − 2.

on del problema  2. (40 puntos )   Hallar  y (ln2), sabiendo que  y  es soluci´ 

 

y − 4y + 4y  =  e x , y (0) = 2, y (0) = 5 . 





La ecuaci´on on diferencial diferencial asociada asociada al problema es una ecuaci´ on on lineal de segundo orden, cuya parte homog´ enea enea 



y − 4y + 4y  = 0

es una ecuaci´on on lineal li neal homog´ h omog´enea enea a coeficientes coefic ientes constantes. co nstantes. Por lo tanto, el polinomio poli nomio caracter´ c aracter´ıstico ıstico est´a dado por  p(λ) =  λ2 − 4λ + 4 = ( λ − 2). La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on on lineal homog´enea enea est´a dada por y  =  c 1 e2x + c2 xe2x .

La soluci´ on particular la encontramos por tanteo, planteando y = αex , se tiene que y = ex es una soluci´on on on particular. Por consiguiente la soluci´on on general de la ecuaci´on on lineal asociada al problema es y  =  c 1 e2x + c2 xe2x + ex .

Resolver el problema a valor inicial, significa encontrar los valores de c1 y c2 . Remplazamos las condiciones iniciales, y (0) =  c 1  + 1 = 2  ⇒  c 1  = 1, 

y (0) = 2  · 1 +  c2  + 1 = 5  ⇒  c 2  = 2.

La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es on y  =  e 2x + 2xe2x + ex

y por lo tanto (ln 2) = e 2 l n 2 + 2(ln 2(ln 2)e2 l n 2 + eln 2 = 4 + 8 ln2 + 2 = 6 + 8ln 2. y (ln La respuesta es y (ln (ln 2) = 6 + 8 ln2.

on general de  3. (30 puntos )  Hallar la soluci´  

y =

y −  xy 2 x + x2 y

Respuesta:

Factorizemos el lado derecho de la ecuaci´on, se tiene 

y = 

y(1 − xy , x(1 +  xy )



planteamos  z  =  xy , de donde  z =  xy + y , remplazamos en la ecuaci´on on diferencial 

z − y  =

ecuaci´ on on de tipo separable

2y 2z y −  yz ⇒  z = = 1 + z 1 +  z x(z  + 1) 

2 z  + 1 z = ⇒ ln z +  z  = ln(cx2 ) z x 

de donde remplazando  z  =  yx  obtenemos x xy  = ln(c )  ⇒  x  =  cye xy . y

La respuesta es x  =  cye xy .

2

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Examen Final de C´ alculo alculo III

4 de diciemb diciembre re de 2018

1

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

c

2.

e

3.

a

on del problema  1. (35 puntos )   Hallar  x(ln2), sabiendo que  x  es soluci´ 

 ˙  = 3  − 4  − 2  ˙  =(0) = −0  −(0) 1 = 0 x y x

Respuesta:

a) x(ln (ln 2) = − 1, d) x(ln (ln 2) = 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

x

 x

y

 y , y

,

,

.

c) x(ln (ln 2) = − 2, f) x(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2,

b) x(ln (ln 2) = 2 + 2ln 2, e) x(ln (ln 2) = 0,

on del problema  2. (35 puntos )   Hallar  y (ln2), sabiendo que  y  es soluci´ 

 

y − 4y + 4y  =  e x , y (0) = 2, y (0) = 5 . 





a) y (ln (ln 2) = 0, d) y (ln (ln 2) = 3, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, e) y (ln (ln 2) = 6 + 8ln 2,

c) y (ln (ln 2) = e, f) y (ln (ln 2) = 5,

on general de  3. (30 puntos )  Hallar la soluci´  

y =

y −  xy 2 x + x2 y

Respuesta:

a) x  =  cye  cy exy , d) y  =  cxe , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. y

x

2

b) x  =  ce xy , e) y  =  ce y/x ,

5 2

c) 2 + 5xy 2 =  cx , f ) x  =  ce x/y ,

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2

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

e

2.

a

3.

c

on del problema  1. (35 puntos )   Hallar  x(ln2), sabiendo que  x  es soluci´ 

 ˙  = 3  − 4  − 2  ˙  =(0) = −0  −(0) 1 = 0 x y x

Respuesta:

x

 x

a) x(ln (ln 2) = 0, d) x(ln (ln 2) = 2 + 2ln 2, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

y

 y , y

,

,

.

b) x(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, e) x(ln (ln 2) = −2,

c) x(ln (ln 2) = − 1, f) x(ln (ln 2) = 2,

on del problema  2. (35 puntos )   Hallar  y (ln2), sabiendo que  y  es soluci´ 

 

y − 4y + 4y  =  e x , y (0) = 2, y (0) = 5 . 





a) y(ln (ln 2) = 6 + 8ln 2, d) y(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

b) y(ln (ln 2) = 5, e) y(ln (ln 2) = e,

c) y(ln (ln 2) = 0, f) y(ln (ln 2) = 3,

on general de  3. (30 puntos )  Hallar la soluci´  

y =

y −  xy 2 x + x2 y

Respuesta:

a) y  =  ce y/x , d) x  =  ce xy , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. 2

b) x  =  ce x/y , e) 2 + 5xy 2 =  cx , 5 2

c) x =  cye  cy exy , f) y  =  cxe , y

x

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3

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

d

2.

f 

3.

b

on del problema  1. (35 puntos )   Hallar  x(ln2), sabiendo que  x  es soluci´ 

 ˙  = 3  − 4  − 2  ˙  =(0) = −0  −(0) 1 = 0 x y x

Respuesta:

x

 x

y

 y , y

,

,

.

b) x(ln (ln 2) = −1, e) x(ln (ln 2) = 2,

a) x(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, d) x(ln (ln 2) = −2, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

c) x(ln (ln 2) = 2 + 2ln 2, f ) x(ln (ln 2) = 0,

on del problema  2. (35 puntos )   Hallar  y (ln2), sabiendo que  y  es soluci´ 

 

y − 4y + 4y  =  e x , y (0) = 2, y (0) = 5 . 





a) y (ln (ln 2) = 5, d) y (ln (ln 2) = e, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (ln (ln 2) = 0, e) y (ln (ln 2) = 3,

c) y (ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, f) y (ln (ln 2) = 6 + 8ln 2,

on general de  3. (30 puntos )  Hallar la soluci´  

y =

y −  xy 2 x + x2 y

Respuesta:

a) x  =  ce x/y , d) 2 + 5xy 2 =  cx , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es. 5 2

b) x  =  cye xy , e) y  =  cxe , y

x

2

c) x  =  ce xy , f) y  =  ce y/x ,

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Examen Final de C´ alculo alculo III

4 de diciemb diciembre re de 2018

4

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

f 

2.

b

3.

d

on del problema  1. (35 puntos )   Hallar  x(ln2), sabiendo que  x  es soluci´ 

 ˙  = 3  − 4  − 2  ˙  =(0) = −0  −(0) 1 = 0 x y x

Respuesta:

a) x(ln (ln 2) = 2, d) x(ln (ln 2) = − 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

x

 x

y

 y , y

,

,

.

b) x(ln (ln 2) = 0, e) x(ln (ln 2) = 2 + 2ln 2,

c) x(ln (ln 2) = 4 + 4ln 2, f) x(ln (ln 2) = − 2,

on del problema  2. (35 puntos )   Hallar  y (ln2), sabiendo que  y  es soluci´ 

 

y − 4y + 4y  =  e x , y (0) = 2, y (0) = 5 . 





a) y (ln (ln 2) = 3, d) y (ln (ln 2) = 0, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (ln (ln 2) = 6 + 8ln 2, e) y (ln (ln 2) = 4 + 4ln 2,

c) y (ln (ln 2) = 5, f) y (ln (ln 2) = e,

on general de  3. (30 puntos )  Hallar la soluci´  

y =

y −  xy 2 x + x2 y

Respuesta: y

a) y  =  cxe , d) x  =  cye  cy exy , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. x

b) y  =  ce y/x , e) x  =  ce xy , 2

c) x  =  ce x/y , f ) 2 + 5xy 2 =  cx , 5 2