Corrección Examen Final de Cálculo III (Ecuaciones Diferenciales), tarde, 4 de diciembre de 2017

Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas

Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III

4 de diciemb diciembre re de 2017

1, 2, 3, 4

Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )   Determinar el valor de  y (ln2), sabiendo que  y   es soluci´ 

 

Respuesta:

x˙  = 4x y 2, y˙  = 2x + y 4, x(0) = 0 , y (0) = 0 .

− − −

Resolvemos el sistema diferencial lineal asociado al problema:



x˙  = 4x y y˙  = 2x + y

− − 2, − 4.

Comenzamo Comenzamoss con (LH) asociado, asociado, que dicho de paso es (LHC), (LHC), escrito escrito matricialm matricialment entee x˙ y

  =

4 2

−1 1

  ⇒ x y

 − −

4

λ

 pA (λ) =

2

 − 1

λ

1

=  λ 2

− 5λ + 6 = (λ − 3)(λ − 2)

Familia generadora: e3t , e2t , planteamos como soluci´on on general de (LHC), remplazamos en la segunda ecuaci´on on para obtener relaciones entre las constantes

{

x  =  c 11 e3t + c12 e2t , y  =  c 21 e3t + c22 e2t

}

⇒

y˙  = 3c21 e3t + 2c22 e2t , 2x + y  = (2c11 + c21 )e3t + (2c12 + c22 )e2t .

⇒c

21  =  c 11  =  c 1 ,

c22  = 2c12  = 2c2 .

La soluci´ soluci´ on general de (LH) asociado es on x  =  c 1 e3t + c2 e2t , y  =  c 1 e3t + 2c2 e2t

Ahora hallamos hallamos una soluci´ on particular por tanteo, planteamos x =  α , y  =  β . Derivamos y reemplazamos: on



0 = 4α β  0 = 2α + β 

− − 2, ⇒ α = 1, − 4,

β  =  = 2

La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on on (L) es x =  c 1 e3t + c2 e2t + 1, y  =  c 1 e3t + 2c2 e2t + 2

Con la soluci´on on general podemos halla los valores de las constantes c1 y c2 , reemplazando las condiciones inicia ini ciales les en ´esta. esta . x(0) =  c 1  + c2 + 1 = 0, c1  = 0, c2  = 1 y(0) =  c 1  + 2 c2  + 2 = 0

⇒

−

La soluci´ soluci´ on del problema a valor inicial es: on x  = y  =

De donde y (ln (ln 2) =

2t

−e + 1, −2e + 2 2t

−8 + 2 = −6.

on del problema a valor inicial: 2. (35 puntos )  Hallar el valor de  y (2), sabiendo que  y   es la soluci´ 

Respuesta:

 

y  2y   + y  = 4 y (0) = 2, y  (0) = 1.

−

− 2t,

−

Resolvemos la ecuaci´on on lineal asociada al problema y 

− 2y + y  = 2t − 4,

(L)

comenzando con la ecuaci´on on lineal homog´enea enea asociada asoci ada y

− 2y + y  = 0,

LHC  C ) (LH

cuyo polinomio poli nomio caracter´ıstico ıstico es p(λ) =  λ 2 2λ + 1 = (λ 1)2 . λ  = 1 es una ra´ız ız que se repite dos veces, de t t donde SF = e , te . La soluci´ on particular de la ecuaci´on on on (L) se la obtiene por tanteo, plantendo y = αt  + β . Deriv Derivand andoo y reemplazando, obtenemos:

{

−

}

−

−2α + (αt + β ) = 4 − 2t ⇒ α = −2, −2α + β  =  = 4 ⇒ α  = −2, β  =  = 0. Soluci´ on on particular obtenida, y  = −2t. La soluci´on on general de la ecuaci´on on (L) est´a dada por y  =  c e + c te − 2t. t

t

1

2

Ahora hallamos los valores de las constantes c1 y c2   reemplazando las con diciones iniciales en la soluci´on on general. y (0) =  c 1  = 2, c1  = 2, c2  = 1. y  (0) =  c 1  + c2 2 = 1,

− ⇒

−

Soluci´ on del problema a valor inicial y  = 2et on

−

t

− te − 2t, de donde

punto  P  es  es arrastrado por el plano x plano  x 3. (30 puntos )  Un punto P 

y(2) = 2e2

2

− 2e − 4 = −4.

y   mediante una cuerda  P  P T   T   de longitud  1  T   arranca   1 . Si  T   del origen y se mueve a lo del eje  y   positivo y si  P  arranca P  arranca del punto (1 , 0). Dar la ecuaci´  on de la trayectoria  del punto P . P . Respuesta:

−

El punto P   se mueve con una velocidad proporcional al vector P T , por consiguiente el segmento  P T  es tangente a la trayectoria del punto P , ver figura. Por lo tanto, si la trayectoria es el grafo de y (x), se tiene

−→

−→ − −→   RT 

y  =

=

RP 

−

√ 1 − x x

2

.

La trayectoria del punto P   es soluci´on on del problema a valor inicial



√ 

2

1−x y  = , x y(1) = 0.

−

La ecuaci´on on diferencial diferencial del problema a valor valor inicial es (DRI), (DRI), integram integramos os por p or substituci´ substituci´on on trig t rigom´ om´etrica, etri ca, obteobte nemos 1 + 1 x2 y  = ln 1 x2 + c



√  − x

   − −

Hallamos el valor de la constante c, remplazando la condici´on on inicial, lo que da c   = 0. La ecuaci´on o n de la trayectoria est´a dada por y  = ln



1+

√ 1 − x x

2

2

   − − 1

x2 .

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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas

Examen Final de C´ alculo alculo III

4 de diciemb diciembre re de 2017

1

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1. 2. 3.

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )   Determinar el valor de  y (ln2), sabiendo que  y   es soluci´ 

 

Respuesta:

x˙  = 4x y 2, y˙  = 2x + y 4, x(0) = 0 , y (0) = 0 .

− − −

a) y (ln (ln 2) = 1, d) y (ln (ln 2) = 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (ln (ln 2) = 3, e) y (ln (ln 2) = 0,

−

c) y (ln (ln 2) = f) y (ln (ln 2) =

−3, −6,

on del problema a valor inicial: 2. (35 puntos )  Hallar el valor de  y (2), sabiendo que  y   es la soluci´ 

 

Respuesta:

y  2y   + y  = 4 y (0) = 2, y  (0) = 1.

−

− 2t,

−

b) y (2) = 2e2 3, e) y (2) = 3e2 + 4,

a) y (2) = 0, d) y (2) = 4, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

−

−

punto  P  es  es arrastrado por el plano x plano  x 3. (30 puntos )  Un punto P 

−

c) f)

y(2) = 3 e2 , y(2) =  e 2 + 1,

−

T   de longitud  1  T   arranca  − y   mediante una cuerda  P P T    1 . Si  T  

del origen y se mueve a lo del eje  y   positivo y si  P  arranca P  arranca del punto (1 , 0). Dar la ecuaci´  on de la trayectoria  del punto P . P . Respuesta:

a)

y  =  e x

− 1,

d) y  = sinh(x), g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

e)

 

√ x 1+ 1−x √  y  = ln 1+ x1−x

b) y  = ln

2 2

 − √   − √  −

1 + x2 , 1

x2 ,

c) y  = cosh(x), f)

y  = ln



1

−

√ 

1+x2

x



+

√ 1 + x , 2

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4 de diciemb diciembre re de 2017

2

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1. 2. 3.

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )   Determinar el valor de  y (ln2), sabiendo que  y   es soluci´ 

 

Respuesta:

x˙  = 4x y 2, y˙  = 2x + y 4, x(0) = 0 , y (0) = 0 .

− − −

a) y (ln (ln 2) = 3, d) y (ln (ln 2) = 0, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

b) y (ln (ln 2) = e) y (ln (ln 2) =

−3, −6,

c) f)

y(ln (ln 2) = 1, y(ln (ln 2) = 1,

−

on del problema a valor inicial: 2. (35 puntos )  Hallar el valor de  y (2), sabiendo que  y   es la soluci´ 

 

Respuesta:

y  2y   + y  = 4 y (0) = 2, y  (0) = 1.

−

−

a) y (2) = 2e2 3, d) y (2) = 3e2 + 4, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

−

− 2t,

b) y (2) = 3 e2 , e) y (2) =  e 2 + 1,

−

−

punto  P  es  es arrastrado por el plano x plano  x 3. (30 puntos )  Un punto P 

c) f)

y(2) = 4, y(2) = 0,

−

T   de longitud  1  T   arranca  − y   mediante una cuerda  P P T    1 . Si  T  

del origen y se mueve a lo del eje  y   positivo y si  P  arranca P  arranca del punto (1 , 0). Dar la ecuaci´  on de la trayectoria  del punto P . P . Respuesta:

 

√ x 1+ 1−x √  d) y  = ln 1+ x1−x

a)

g)

y  = ln

2 2

 − √   − √  −

1 + x2 ,

1 x2 , Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y  = cosh(x), e)

y  = ln



1

−

√ 

1+x2

x



√  + 1+x , 2

c) y  = sinh(x), f)

y  =  e x

− 1,

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4 de diciemb diciembre re de 2017

3

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1. 2. 3.

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )   Determinar el valor de  y (ln2), sabiendo que  y   es soluci´ 

 

Respuesta:

x˙  = 4x y 2, y˙  = 2x + y 4, x(0) = 0 , y (0) = 0 .

− − −

a) y (ln (ln 2) = 3, d) y (ln (ln 2) = 6, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (ln (ln 2) = 1, e) y (ln (ln 2) = 1,

− −

c) y (ln (ln 2) = 0, f) y (ln (ln 2) = 3,

−

on del problema a valor inicial: 2. (35 puntos )  Hallar el valor de  y (2), sabiendo que  y   es la soluci´ 

 

Respuesta:

y  2y   + y  = 4 y (0) = 2, y  (0) = 1.

−

− 2t,

−

a) y (2) = 3 e2 , d) y (2) =  e 2 + 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

−

b) y (2) = 4, e) y (2) = 0,

c) f)

−

punto  P  es  es arrastrado por el plano x plano  x 3. (30 puntos )  Un punto P 

y (2) = 3e2 + 4, y (2) = 2 e2 3,

−

−

T   de longitud  1  T   arranca  − y   mediante una cuerda  P P T    1 . Si  T  

del origen y se mueve a lo del eje  y   positivo y si  P  arranca P  arranca del punto (1 , 0). Dar la ecuaci´  on de la trayectoria  del punto P . P . Respuesta:

a)

y  = cosh(x),



√ 

2



√  + 1+x ,

d) y  = ln 1− x1+x g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

2

b) y  = sinh(x), e)

y  =  e x

− 1,

c)

y  = ln

f)

y  = ln

 

1+

√ 

1 x2

x

1+

√ x

−

1 x2

−

 − √  −  − √  1

x2 ,

1 + x2 ,

Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

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Examen Final de C´ alculo alculo III

4 de diciemb diciembre re de 2017

4

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1. 2. 3.

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )   Determinar el valor de  y (ln2), sabiendo que  y   es soluci´ 

 

Respuesta:

x˙  = 4x y 2, y˙  = 2x + y 4, x(0) = 0 , y (0) = 0 .

− − −

a) y (ln (ln 2) = 1, d) y (ln (ln 2) = 1, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (ln (ln 2) = 0, e) y (ln (ln 2) = 3,

−

c) y (ln (ln 2) = f) y (ln (ln 2) =

−6, −3,

on del problema a valor inicial: 2. (35 puntos )  Hallar el valor de  y (2), sabiendo que  y   es la soluci´ 

 

Respuesta:

y  2y   + y  = 4 y (0) = 2, y  (0) = 1.

−

− 2t,

−

b) y (2) = 3e2 + 4, e) y (2) = 2e2 3,

a) y (2) = 4, d) y (2) = 0, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

−

−

punto  P  es  es arrastrado por el plano x plano  x 3. (30 puntos )  Un punto P 

−

c) f)

y(2) =  e 2 + 1, y(2) = 3 e2 ,

−

T   de longitud  1  T   arranca  − y   mediante una cuerda  P P T    1 . Si  T  

del origen y se mueve a lo del eje  y   positivo y si  P  arranca P  arranca del punto (1 , 0). Dar la ecuaci´  on de la trayectoria  del punto P . P . Respuesta:

a)

y  = sinh(x),

d) y  =  e x 1, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

−

b) y  = ln e)

y  = ln

 

√ 

1+

1 x2

x

√ x

1+

−

1 x2

−

 − √  −  − √  1

x2 ,

1 + x2 ,

c) y  = ln f)



1

−

√ 

1+x2

x

y  = cosh(x),



+

√ 1 + x , 2