Corrección Examen Final Cálculo III (Ecuaciones Diferenciales) 28 de junio de 2017 (tarde)

Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas

Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III

28 de junio junio de 201 2017 7

1, 2, 3, 4

Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )   Hallar  y  y (ln2), sabiendo que  y  es soluci´ 

 x˙  y˙  xy((00))

Respuesta:

2y −  6,  6, x + 2y −x + 4y 4y −  6,  6, 7. 4.

= = = =

Convertimos el sistema diferencial de talla 2 en una ecuaci´on diferencial lineal ordinaria, derivamos la segunda ecuaci´ on y reemplazamos la primera ecuaci´on on on y¨ = 4y˙  −  x =  x  = 4y˙  −  2y  2y −  x +  x + 6, 6, Reemplazamos − x  = y˙  −  4y  4y + 6, y¨ = 4y˙  − 2y  2y + y˙  −  4y  4y + 6 + 6  ⇒  ¨y −  5y˙  + 6y 6 y  = 12 12,, La llineal ineal homog´enea enea asociada asoci ada es y¨ − 5y˙  + 6y 6 y  = 0 (LHC)  ⇒  p(  p (λ) =  λ 2 − 5λ  5λ − 6 = (λ − 3)(λ  3)(λ − 2)  ⇒  SF =  {e3t , e2t } La soluci´ soluci´ on particular por tanteo da  y  = 2. Por lo tanto la soluci´on on on general de la ecuaci´on on es y  = c  =  c 1 e3t + c2 e2t + 2. 2. Tenemos y˙ (0) = 4 · 4 − 7 − 6 = 3. Hallamos los valores de  c 1 y  c 2  reemplazando las condiciones iniciales en la soluci´ on on general

 y(0) = c =  c  + c  +  c  + 2 = − 4 1

2

y˙ (0) = 3c 3c1  + 2c 2 c2  = 3

 y  =  − e3t + 3e 3e2t + 2 ⇒ c 1  =  −1, c2  = 3.  ⇒  y =

La soluci´ soluci´ on on del problema es y(ln (ln 2) = −8 + 12 + 2 = 6 .

on del problema a valor inicial  2. (35 puntos )   Hallar el valor de  y (2)   sabiendo que  y  es soluci´  2

+ 3xy 3xy − 3y  3y  = 5x2 − 3,  3, y (1) =  − 4, y (1) = 28. 28.

xy







Respuesta:

Resolvemos primero la ecuaci´on on (LH) asociada x asociada  x 2 y + 3xy 3xy − 3y  3y  = 0, y 0,  y  =  x  es una soluci´on on no nula de esta ecuaci´ on. Buscamos una soluci´on on. on linealmente independiente planteando y planteando  y =  = c  c((x)x. Derivamos y reemplazamos en la ecuaci´on on (LH) asociada lo que da: 



5 1 1 1 x2 (c x + 2c 2c ) + 3x 3 x(c x + c  + c)) − 3cx  3cx =  = x  x 3 c + 5x 5x2 c = 0 ⇒  c =  − c ⇒  c = 5 ⇒  c =  c  =  − 4 . x x 4x 















La otra soluci´on on encontrada es y = − 14 x1 x = − 14 x1 , de donde SF = {x, x1 }. La soluci´ on on particular la 2 2 obtenemos por tanteo, planteando  y  = αx  =  αx + β , lo que da y da  y  = x  =  x + 1. La soluci´ on on general de (L) es 4

3

y  = c  =  c 1 x +

3

c2 + x2 + 1. 1. 3 x

Obtenemos los valores de  c 1 y  c 2  reemplazando  reemplazando las condicione condicioness iniciales iniciales en la soluci´ soluci´ on on general

 y(1) = c =  c  + c  +  c  + 2 = − 4, 1

2

y (1) = c =  c 1  −  3c  3c2  + 2 = 28 

De donde y (2) = 4 − 1 + 4 + 1 = 8

⇒ c 1  = 2,

c2  =  − 8 ⇒  y =  y  = 2x −

8 + (x (x2 + 1) 3 x

on general de  3. (30 puntos )   Resolviendo, hallar la soluci´ 

y y x sin( )y =  y sin(  y  sin( ) + x + x x x 

Respuesta:

La ecuaci´on on es de tipo homog´eneo eneo

y sin(y/x sin(y/x))y =  sin(y/x  sin(y/x)) + 1. 1. x Planteamos  z  =  y/x,  y/x ,  y  = xz  =  xz,, derivamos y derivamos  y =  xz + z,  z , reemplazamos 









sin(z sin(z )(xz )(xz + z)  z ) =  z sin(  z  sin(zz ) + 1  ⇒  (xz  ( xz + z)  z ) =  z +  z  +

1 1 1 ⇒ xz = ⇒ sin(z  sin(z )z = , sin z sin z x 

integramos

− cos z  = ln x + c  + c  ⇒  cos z + ln(cx ln(cx)) = 0. La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on o n es cos( cos(y/x y/x)) + ln(cx ln(cx)) = 0.

2



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Examen Final de C´ alculo alculo III

28 de junio junio de 201 2017 7

1

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

a

2.

b

3.

f 

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )   Hallar  y  y (ln2), sabiendo que  y  es soluci´ 

 x˙  y˙  xy((00))

Respuesta:

x + 2y 2y −  6,  6, 4y −  6,  6, −x + 4y 7. 4.

= = = =

a) y (ln (ln 2) = 6, 6, d) y (ln (ln 2) = 2, 2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (ln (ln 2) = 0, 0, e) y (ln (ln 2) = − 1,

c) y (ln (ln 2) = 5, 5, f) y (ln (ln 2) = 4, 4,

on del problema a valor inicial  2. (35 puntos )   Hallar el valor de  y (2)   sabiendo que  y  es soluci´  2

+ 3xy 3xy − 3y  3y  = 5x2 − 3,  3, y (1) =  − 4, y (1) = 28. 28.

xy







Respuesta:

a) y (2) = 4, 4, d) y (2) =  −2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (2) = 8, 8, e) y (2) = 5, 5,

c) y(2) = 0, 0, f) y(2) = 2, 2,

on general de  3. (30 puntos )   Resolviendo, hallar la soluci´ 

y y x sin( )y =  y sin(  y  sin( ) + x + x x x 

Respuesta:

a) xy( xy(x + y  + y))2 =  c, d) x3 ln y  = c,  =  c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

b) y  = 1 + sin x + cx,  + cx, e) ln x − sin(x/y  sin(x/y)) =  c,

c) xye x − ex =  c, f) cos(y/x) y/x) + ln(cx ln(cx)) = 0,

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Examen Final de C´ alculo alculo III

28 de junio junio de 201 2017 7

2

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

b

2.

c

3.

a

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )   Hallar  y  y (ln2), sabiendo que  y  es soluci´ 

Respuesta:

 x˙  y˙  xy((00))

x + 2y 2y −  6,  6, 4y −  6,  6, −x + 4y 7. 4.

= = = =

a) y (ln (ln 2) = 4, 4, d) y (ln (ln 2) = 5, 5, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (ln (ln 2) = 6, 6, e) y (ln (ln 2) = 2, 2,

c) y (ln (ln 2) = 0, 0, f) y (ln (ln 2) = − 1,

on del problema a valor inicial  2. (35 puntos )   Hallar el valor de  y (2)   sabiendo que  y  es soluci´  2

+ 3xy 3xy − 3y  3y  = 5x2 − 3,  3, y (1) =  − 4, y (1) = 28. 28.

xy







Respuesta:

a) y (2) = 2, 2, d) y (2) = 0, 0, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

b) y (2) = 4, 4, e) y (2) =  − 2,

c) y (2) = 8, 8, f) y (2) = 5, 5,

on general de  3. (30 puntos )   Resolviendo, hallar la soluci´ 

y y x sin( )y =  y sin(  y  sin( ) + x + x x x 

Respuesta:

a) cos(y/x) y/x) + ln(cx ln(cx)) = 0, d) xye x − ex =  c, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) xy( xy (x + y  + y))2 =  c, e) x3 ln y  = c,  =  c,

c) y  = 1 + sin x + cx,  + cx, f ) ln x − sin(x/y  sin(x/y)) = c, =  c,

Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

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Examen Final de C´ alculo alculo III

28 de junio junio de 201 2017 7

3

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

c

2.

d

3.

b

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )   Hallar  y  y (ln2), sabiendo que  y  es soluci´ 

Respuesta:

 x˙  y˙  xy((00))

x + 2y 2y −  6,  6, 4y −  6,  6, −x + 4y 7. 4.

= = = =

a) y(ln (ln 2) = −1, d) y(ln (ln 2) = 0, 0, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

b) y(ln (ln 2) = 4, 4, e) y(ln (ln 2) = 5, 5,

c) y(ln (ln 2) = 6, 6, f) y(ln (ln 2) = 2, 2,

on del problema a valor inicial  2. (35 puntos )   Hallar el valor de  y (2)   sabiendo que  y  es soluci´  2

+ 3xy 3xy − 3y  3y  = 5x2 − 3,  3, y (1) =  − 4, y (1) = 28. 28.

xy







Respuesta:

a) y (2) = 5, 5, d) y (2) = 8, 8, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

b) y (2) = 2, 2, e) y (2) = 0, 0,

c) y (2) = 4, 4, f) y (2) =  − 2,

on general de  3. (30 puntos )   Resolviendo, hallar la soluci´ 

y y x sin( )y =  y sin(  y  sin( ) + x + x x x 

Respuesta:

a) ln x − sin(x/y  sin(x/y)) =  c, d) y  = 1 + sin x + cx,  + cx, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) cos(y/x) y/x) + ln(cx ln(cx)) = 0, x x e) xye − e =  c,

c) xy( xy (x + y  + y))2 =  c, f ) x3 ln y  = c,  =  c,

Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

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Examen Final de C´ alculo alculo III

28 de junio junio de 201 2017 7

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Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

d

2.

e

3.

c

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )   Hallar  y  y (ln2), sabiendo que  y  es soluci´ 

 x˙  y˙  xy((00))

Respuesta:

x + 2y 2y −  6,  6, 4y −  6,  6, −x + 4y 7. 4.

= = = =

b) y (ln (ln 2) = − 1, e) y (ln (ln 2) = 0, 0,

a) y (ln (ln 2) = 2, 2, d) y (ln (ln 2) = 6, 6, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

c) y (ln (ln 2) = 4, 4, f) y (ln (ln 2) = 5, 5,

on del problema a valor inicial  2. (35 puntos )   Hallar el valor de  y (2)   sabiendo que  y  es soluci´  2

+ 3xy 3xy − 3y  3y  = 5x2 − 3,  3, y (1) =  − 4, y (1) = 28. 28.

xy







Respuesta:

a) y (2) =  −2, d) y (2) = 4, 4, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (2) = 5, 5, e) y (2) = 8, 8,

c) y(2) = 2, 2, f) y(2) = 0, 0,

on general de  3. (30 puntos )   Resolviendo, hallar la soluci´ 

y y x sin( )y =  y sin(  y  sin( ) + x + x x x 

Respuesta:

a) x3 ln y  = c,  =  c, d) xy( xy(x + y  + y))2 =  c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

b) ln x − sin(x/y  sin(x/y)) =  c, e) y  = 1 + sin x + cx,  + cx,

c) cos(y/x) y/x) + ln(cx ln(cx)) = 0, f ) xye x − ex =  c,