Corrección Examen Final Cálculo III (Ecuaciones Diferenciales) 26 de junio de 2017

Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa

Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas

Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III

26 de junio junio de 201 2017 7

1, 2, 3, 4

Tabla de Respuestas on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )  Hallar  x(ln2), sabiendo que  x  es soluci´ 

  

Respuesta:

4x − y  + 2 , 2x + y  −  4, 3, 11 .

x˙ y˙

= = x(0) = y (0) =

Convertimos el sistema diferencial de talla 2 en una ecuaci´on diferencial lineal ordinaria, derivamos la primera ecuaci´ on y reemplazamos la segunda ecuaci´on on on ¨  = 4x˙  − y  = 4x˙  − 2x − y  + 4 , x Reemplazamos − y  = x˙  − 4x − 2, ¨  = 4x˙  − 2x + x˙  − 4x − 2 + 4  ⇒  ¨x − 5x˙  + 6x  = 2, x La llineal ineal homog´enea enea asociada asoci ada es ¨ − 5x˙  + 6x  = 0 (LHC)  ⇒  p (λ) =  λ 2 − 5λ − 6 = (λ − 3)(λ − 2)  ⇒  SF =  {e3t , e2t } x La soluci´ soluci´ on particular por tanteo da  x  = 31 . Por lo tanto la soluci´on on on general de la ecuaci´on on es x  =  c 1 e3t + c2 e2t +

 1 . 3

Tenemos enemos x˙ (0) = 4 · 3  −  11 + 2 = 3. Hallamos los valores de c1 y c2 reemplaza reemplazando ndo las condiciones condiciones iniciales en la soluci´ on on general



7 7  1 x(0) =  c 1  +  c2  + 31 = 3 ⇒ c 1  =  − , c2  = 5.  ⇒  x  =  − e3t + 5e2t + x˙  = 3c1  + 2 c2  = 3 3 3 3

La soluci´ soluci´ on on del problema es x(ln (ln 2) =

5 3

.

on del problema a valor inicial  2. (35 puntos )  Hallar el valor de  y (2)  sabiendo que  y   es soluci´ 



x2 y   + 2 xy  −  2y  = 4x2 + 2, y (1) = 6, y  (1) =  −4.

Respuesta:

Resolvemos primero la ecuaci´on on (LH) asociada  x 2 y   + 2xy  −  2y  = 0, y  =  x  es una soluci´on on no nula de esta ecuaci´ on. Buscamos una soluci´on on. on linealmente independiente planteando  y  =  c (x)x. Derivamos y reemplazamos en la ecuaci´on on (LH) asociada lo que da: 4

1

1 1

x2 (c x + 2 c ) + 2 x(c x + c) − 2cx  =  x 3 c  + 4 x2 c  = 0 ⇒  c   =  − c  ⇒  c   = 4 ⇒  c  =  − . 3 x3 x x

La otra soluci´on on encontrada es y = − 13 x1 x = − 13 x1 , de donde SF = {x, x1 }. La soluci´ on on particular la 2 2 obtenemos por tanteo, planteando  y  =  αx + β , lo que da  y  =  x − 1. La soluci´ on on general de (L) es 3

y  =  c 1 x +

2

2

c2 + x2 − 1. x2

Obtenemos los valores de  c 1 y  c 2  reemplazando  reemplazando las condicione condicioness iniciales iniciales en la soluci´ soluci´ on on general



y(1) =  c 1  +  c2  = 6, ⇒  c 1  = 2, y (1) =  c 1  −  2c2  + 2 =  − 4

De donde y (2) = 4 + 1 + 4  − 1 = 8

c2  = 4  ⇒  y  = 2x +

4 x2

+ (x2 − 1)

on de Euler Lagrange para el problema “Encontrar  y (x) > 0, con  y (a) = 3. (30 puntos )   Determinar la ecuaci´  on que genera  y (x)   al girar en torno al eje  x A > 0, y (b) = B > 0, a > b, tal que la superficie de revoluci´  tenga un area ´  m´ ınim ın ima” a”.. Respuesta: b

    El area a´rea de la superficie de revoluci´on on del problema est´a dada por 2 1+ π

y

 y 2 dx, por lo tanto el problema

a

consiste en encontrar y(x), con  y (a) =  A  e  y (b) =  B  tal que b

    1+ y

 y 2 dx →  m´ın

a

 1 +  1 + 

Aplicamos las ecuaciones de Euler Lagrange a la funci´on objetivo  f (y, y  ) =  y 2

 1 + yy

 y 2

Despejamos  y  , lo que da cy  =

− y

 1 +

  − y2

 y 2 =  −

 c2 .

2

y

 1 +

 y 2

=  c  ⇒  y  =  c

 y 2 lo que da

 y 2 .

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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas

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1

Nombre y Apellido  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

g

2.

g

3.

f 

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )  Hallar  x(ln2), sabiendo que  x  es soluci´ 

  

Respuesta:

x˙ y˙

= = x(0) = y (0) =

a) x(ln (ln 2) = 5, d) x(ln (ln 2) = 2, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

4x − y  + 2 , 2x + y  −  4, 3, 11 .

b) x(ln (ln 2) = 0, e) x(ln (ln 2) = − 1,

c) x(ln (ln 2) = 1, f) x(ln (ln 2) = 4,

on del problema a valor inicial  2. (35 puntos )  Hallar el valor de  y (2)  sabiendo que  y   es soluci´ 



x2 y   + 2 xy  −  2y  = 4x2 + 2, y (1) = 6, y  (1) =  −4.

Respuesta:

a) y (1) = 4, d) y (1) =  −2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (1) = 6, e) y (1) = 3,

c) y(1) = 0, f) y(1) = 5,

on de Euler Lagrange para el problema “Encontrar  y (x) > 0, con  y (a) = 3. (30 puntos )   Determinar la ecuaci´  on que genera  y (x)   al girar en torno al eje  x A > 0, y (b) = B > 0, a > b, tal que la superficie de revoluci´  tenga un area ´  m´ ınim ın ima” a”.. Respuesta:

a) y (1 + (y  )2 ) =  c, d) y   =  c 1 + y 2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

 



y b) √ 1+y =  c, 1+y  e) xy  =  c (1 +  y 2 ), 

   

c) y 2 =  c 1 + y 2 , f ) cy  = y 2 − c2 ,

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

g

2.

g

3.

a

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )  Hallar  x(ln2), sabiendo que  x  es soluci´ 

  

Respuesta:

x˙ y˙

= = x(0) = y (0) =

a) x(ln (ln 2) = 4, d) x(ln (ln 2) = 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

4x − y  + 2 , 2x + y  −  4, 3, 11 .

b) x(ln (ln 2) = 5, e) x(ln (ln 2) = 2,

c) x(ln (ln 2) = 0, f) x(ln (ln 2) = −1,

on del problema a valor inicial  2. (35 puntos )  Hallar el valor de  y (2)  sabiendo que  y   es soluci´ 



x2 y   + 2 xy  −  2y  = 4x2 + 2, y (1) = 6, y  (1) =  −4.

Respuesta:

a) y (1) = 5, d) y (1) = 0, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

b) y (1) = 4, e) y (1) =  − 2,

c) y (1) = 6, f) y (1) = 3,

on de Euler Lagrange para el problema “Encontrar  y (x) > 0, con  y (a) = 3. (30 puntos )   Determinar la ecuaci´  on que genera  y (x)   al girar en torno al eje  x A > 0, y (b) = B > 0, a > b, tal que la superficie de revoluci´  tenga un area ´  m´ ınim ın ima” a”.. Respuesta:

   

a) cy  = y2 − c2 , d) y2 =  c 1 +  y 2 , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

b) y (1 + (y )2 ) =  c, e) y   =  c 1 + y 2 ,

 



y c) √ 1+y =  c, 1+y  f) xy  =  c (1 +  y 2 ), 

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

g

2.

g

3.

b

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )  Hallar  x(ln2), sabiendo que  x  es soluci´ 

  

Respuesta:

x˙ y˙

= = x(0) = y (0) =

a) x(ln (ln 2) = −1, d) x(ln (ln 2) = 0, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

4x − y  + 2 , 2x + y  −  4, 3, 11 . b) x(ln (ln 2) = 4, e) x(ln (ln 2) = 1,

c) x(ln (ln 2) = 5, f) x(ln (ln 2) = 2,

on del problema a valor inicial  2. (35 puntos )  Hallar el valor de  y (2)  sabiendo que  y   es soluci´ 



x2 y   + 2 xy  −  2y  = 4x2 + 2, y (1) = 6, y  (1) =  −4.

Respuesta:

a) y (1) = 3, d) y (1) = 6, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

b) y (1) = 5, e) y (1) = 0,

c) y (1) = 4, f) y (1) =  − 2,

on de Euler Lagrange para el problema “Encontrar  y (x) > 0, con  y (a) = 3. (30 puntos )   Determinar la ecuaci´  on que genera  y (x)   al girar en torno al eje  x A > 0, y (b) = B > 0, a > b, tal que la superficie de revoluci´  tenga un area ´  m´ ınim ın ima” a”.. Respuesta:

a) xy  =  c (1 +  y 2 ), y d) √ 1+y =  c, 1+y g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s. 



   

b) cy  = y 2 − c2 , e) y2 =  c 1 +  y 2 ,

c) y (1 + (y  )2 ) =  c, f ) y   =  c 1 +  y 2 ,

 

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Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Indicaciones:   En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´a respondiendo, indicando claramente a que

pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante.   No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas

del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas 1.

g

2.

g

3.

c

on del problema a valor inicial  1. (35 puntos )  Hallar  x(ln2), sabiendo que  x  es soluci´ 

  

Respuesta:

x˙ y˙

= = x(0) = y (0) =

4x − y  + 2 , 2x + y  −  4, 3, 11 .

b) x(ln (ln 2) = − 1, e) x(ln (ln 2) = 0,

a) x(ln (ln 2) = 2, d) x(ln (ln 2) = 5, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.

c) x(ln (ln 2) = 4, f) x(ln (ln 2) = 1,

on del problema a valor inicial  2. (35 puntos )  Hallar el valor de  y (2)  sabiendo que  y   es soluci´ 



x2 y   + 2 xy  −  2y  = 4x2 + 2, y (1) = 6, y  (1) =  −4.

Respuesta:

a) y (1) =  −2, d) y (1) = 4, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.

b) y (1) = 3, e) y (1) = 6,

c) y(1) = 5, f) y(1) = 0,

on de Euler Lagrange para el problema “Encontrar  y (x) > 0, con  y (a) = 3. (30 puntos )   Determinar la ecuaci´  on que genera  y (x)   al girar en torno al eje  x A > 0, y (b) = B > 0, a > b, tal que la superficie de revoluci´  tenga un area ´  m´ ınim ın ima” a”.. Respuesta:

 

a) y   =  c 1 + y 2 , d) y (1 + (y  )2 ) =  c, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.

b) xy   =  c (1 +  y 2 ), y e) √ 1+y =  c, 1+y 



   

c) cy  = y 2 − c2 , f ) y 2 =  c 1 + y 2 ,