Corrección a segundo orden mediante teoría de perturbaciones (no degenerado) del pozo infinito perturbado.
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Análisis mediante teoría de perturbaciones del pozo de potencial unidimensional infinito, perturbado en el fondo por H&#...
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Aproximaci´ on on mediante teor´ teor´ıa de perturbacio pert urbaciones nes no-degenerada del pozo de potencial con perturbaci´ on on sinusoidal. Erick Rolando Mart´ Mart´ ınez Lor´ an an
El pozo cuadrado potencial fue modificado por la adici´on de una contribuci´ on on de −ε sin(πx/L sin(πx/L). ). Encontrar la forma de correcci´on on de segundo orden a la energ´ energ´ıa del estado n = 1 usando la evaluaci´on on num´ erica erica de la suma de perturbaci´ on. on. Vea la figura 1.
l a i c n e t o p a í g r e n E
x 0
L
ε
Figura 1: Pozo infinito con perturbaci´on on sinusoidal en el fondo
Inicialmente se resolvi´ o la ecuaci´on on de Schr¨odinger odinger (independiente del tiempo) para el pozo finito: H 0 ψn0 = E n0 ψn0
(1)
obteniendo el conjunto (completo) de eigenfunciones ortonormales ψ 0 n ψn =
2 nπ sin x L L 1
(2)
que cumplen 0 ψn0 |ψm = δnm
(3)
y sus correspondientes eigenvalores E n0 . E n =
n2 π2 2 2mL2
(4)
Ahora perturbamos el potencial ligeramente, en el fondo del pozo, usando −ε sin(πx/L sin(πx/L)) y el problema consiste en encontrar las nuevas eigenfunciones y eigenvalores. H ψn = E n ψn (5) Para ello usamos teor´ıa ıa de perturbaciones para encontrar las soluciones aproximadas del problema perturbado, a partir de las soluciones conocidas del caso no-perturbado. Comenzamos con el nuevo Hamiltoniano, el cual expresamos como la suma de dos t´erminos ermi nos H = H 0 + λH
(6)
donde H es la pertur p erturbaci´ baci´ on on (el super´ super´ındice 0 identifica a una cantidad perturbada). Por lo pronto consideramos que λ es un n´ umero umero peque˜ no; no; posteriormente lo redondearemos a 1 y H es el Hamiltoniano real. Ahora escribimos ψn y E n como serie de potencias en λ: ψn = ψn0 + λψn1 + λ2 ψn2 + · · ·
(7)
E n = E n0 + λE n1 + λ2 E n2 + · · ·
(8)
En donde E n1 es la correcci´ on o n a primer orden del n-´ esimo esi mo eigenvalor eige nvalor y 1 ψn es la correcci´on on a primer orden de la n-´ esima esima eigenfunci´on; on; E n2 y ψn2 son las correcciones a segundo orden y as´ as´ı sucesivame suce sivamente. nte. Sustituyendo (7 (7), (8) en 5, tenemos: (H 0 + λH )[ψ )[ψn0 + λψn1 + λ2 ψn2 + · · · ] = (E n0 + λE n1 + λ2 E n2 + · · · )[E )[E n0 + λE n1 + λ2 E n2 + · · · ] ordenando en potencias de λ H 0 ψ 0 + λ(H 0 ψn1 + H ψn0 ) + λ2 (H 0 ψn2 + H ψn1 ) + · · · = E n0 ψn0 + λ(E n0 ψn1 + E n1 ψn0 ) + λ2 (E n0 ψn2 + E n1 ψn1 + E n2 ψn0 ) + · · · (9) 2
Para el menor orden (λ (λ0 ), se tiene H 0 ψn0 = E n0 ψn0 , el resultado esperado. A primer orden (λ (λ1 ) H 0 ψn1 + H ψn0 = E n0 ψn1 + E n1 ψn0
(10)
H 0 ψn2 + H ψn1 = E n0 ψn2 + E n1 ψn1 + E n2 ψn0
(11)
a segundo orden
y as´ as´ı sucesivame suce sivamente. nte.
1
Teor´ eor´ıa a primer orden orden
Haciendo el producto interior de (10 ( 10)) con ψn0 (multiplicando por (ψ (ψn0 )∗ e integrando) ψn0 |H 0 ψn1 + ψn0 |H ψn0 = E n0 ψn0 |ψn1 + E n1 ψn0 |ψn0 pero como H 0 es hermitico (H (H 0 = (H 0 )∗ ) ψn0 H 0 |ψn1 = H 0 ψn0 |ψn1 = E n0 ψn0 |ψn1 = E n0 ψn0 |ψn1 de forma que se cancela cancela con el primer t´ermino ermino del lado derecho. derecho. Adem´ as as 0 0 ψn |ψn = 1, por lo tanto E n1 = ψn0 |H |ψn0
(12)
(H 0 − E n0 )ψn1 = −(H − E n1 )ψn0
(13)
Reescribiendo (10 (10))
El lado derecho es una funci´on on conocida, por lo que (13 ( 13)) es una ecuaci´on on 1 diferenc dife rencial ial no homog´ ho mog´enea enea para ψn . Ahora bien, las funciones de onda no perturbadas constituyen un conjunto completo, por lo cual ψn1 (como cualquier otra funci´on) on) puede ser expresado como una combinaci´on on lineal de ellas: ψn1 =
(n) 0 cm ψm
(14)
m =n
El t´ermi er mino no m = n no aparece en la suma. Esto puede verse de la siguiente forma ψn |ψn = λ p λq ψ pn |ψnq
p,q
3
ψn |ψn = ψn0 |ψn0 + λ(ψn0 |ψn1 + ψn1 |ψn0 ) + λ2 (ψn0 |ψn2 + ψn1 |ψn1 + ψn2 |ψn0 ) + · · · Como ψn0 forma una base ortonormal, ψn0 |ψn0 = 1 y para que ψn sea un conjunto ortonormal se requiere que ψm |ψn = δmn. Entonces ψni |ψ jn = 0 para i, j = 0. Donde ψni es la correcci´on on de orden i de la eigenfunci´on. on. Escribiendo la correcci´on on de primer orden como combinaci´on on lineal de ψn0 como en (14 (14): ): (n) 0 ψn0 |ψn1 = cm ψn0 |ψm
m
Este producto interior se anula ´unicamente unicamente cuando m = n. Escribiendo (13 (13)) en t´erminos erminos de (14) 14) (H 0 − E n0 )
(n) 0 cm ψm = −(H − E n1 )ψn0
=n m
Haciendo el producto interno con ψk0 (k ∈ m entonces k = n)
(n) 0 cm ψk0 |(H 0 − E n0 )ψm = −ψ −ψk0 |(H − E n1 )ψn0
m =n
desarrollando ambos lados
( n) 0 0 cm (ψk0 |H 0 ψm − E n0 ψk0 |ψm ) = −ψ −ψk0 |H ψn0 − E n1 ψk0 |ψn0
m =n
como ψk0 son eigenfunciones de H 0 y H 0 es herm´ıtico, ıti co, entonces enton ces 0 0 0 ψk0 |H 0 ψm = H 0 ψk0 |ψm = E k0 ψk0 |ψm
Notando adem´as as que ψk0 |ψn0 = δkn , y que H es herm her m´ıtic ıt ico: o:
(n) cm (E k0 − E n0 )δkm = −ψ −ψk0 |H |ψn0 − E n1 δkn
m =n
Exceptuando k = m, todos los miembros de la suma se anulan y como k = n, el segundo t´ermino ermino del lado derecho tambi´en en se anula. ( n) 0 cm (E m − E n ) = −ψ −ψm |H |ψn0
de donde (n)
cm
0 |H |ψ 0 ψm n = E n − E m
4
(15)
As´ As´ı, la correci corr eci´ ´on on a primer orden de la funci´on on de onda se escribe como 1
ψn =
0 |H |ψ 0 ψm n 0 ψm E n − E m
m =n
2
(16)
Energ´ Energ´ıas a segundo segundo orden
Siguiendo Siguiendo el procedimien procedimiento to anterior anterior,, tomamos tomamos el producto producto interior interior de la 0 ecuaci´ on on a segundo orden (11 ( 11)) con ψn ψn0 |H 0 ψn2 + ψn0 |H ψn1 = E n0 ψn0 |ψn2 + E n1 ψn0 |ψn1 + E n2 ψn0 |ψn0 Usando nuevamente la hermiticidad de H 0 : ψn0 |H 0 ψn2 = H 0 ψn0 |ψn2 = E n0 ψn0 |ψn2 de manera que el primer t´ermino ermino del lado izquierdo de la igualdad cancela al primer t´ ermino ermino del lado derecho. Adem´as as ψn0 |ψn0 = 1 y, como vimos anteriormente, ψn0 |ψn1 = 0, entonces 2
0
1
E n = ψn |H |ψn =
(n)
0
0
cm ψn |H |ψm =
m =n
m =n
0 |H |ψ 0 ψm n 0 ψn0 |H |ψm E n − E m
considerando 0 0 0 0 0 ψm |H |ψn0 ψ ψn0 |H |ψm = ψm |H |ψn0 (ψm |H |ψn0 )∗ = |ψ |ψm |H |ψn0 |2
E n2 =
m =n
0 |H |ψ 0 |2 |ψ |ψm n E n − E m
(17)
En nuestro caso, la perturbaci´on on H es
H =
−ε sin( πx ), L 0,
dentro del pozo fuera fu era de ´el. el .
(18)
y (ψ0 )n∗ = ψn0 de modo que la correcci´on on a primer orden de la energ´ energ´ıa ıa es E n1 = ψn0 |H |ψn0 = 2ε =− L
2
L
0
sin2
L
0
2 nπ sin x L L
nπ π x sin x dx L L 5
−ε sin
π x L
dx
Usando la identidad sin2 (a) = 12 [1 − cos(2a cos(2a)] ε E n1 = − L ε =− L
L
1 − cos
0
L
0
2nπ x L
π ε sin x dx + L L
L
0
2nπ π cos x sin x dx = L L =
1 2
L
sin
0
2nπ π x sin x dx L L
cos
0
+ b) + sin(a sin(a − b)], el segundo
π 2nπ x cos x dx L L
sin
0
π x dx L
L
1 [sin(a 2 [sin(a
Usando la identidad sin(a sin( a) cos( cos(bb) = t´ermino ermino del lado derecho queda L
sin
π π (1 + 2n 2n)x + sin (1 − 2n)x L L
L π =− cos (1 + 2n 2n)x 2π(1 + 2n 2n) L
Evaluando en x = L
L
0
dx
L π − cos (1 − 2n)x 2π (1 − 2n) L
L
0
π cos (1 + 2n 2n)L = cos((1 + 2n 2n)π) = −1 L π cos (1 − 2n)L = cos((1 − 2n)π) = −1 L
Entonces L
cos
0
2nπ π −L L x sin x dx = (−1 − 1) − (−1 − 1) 2π (1 + 2n 2n) 2π (1 − 2n) L L L L = + π (1 + 2n 2n) π (1 − 2n) L 1 − 2n + 1 + 2n 2n = π 1 − 4n2 2L 1 = π 1 − 4n2
Por otro lado L
L π L π sin x dx = − cos x L π L 0 L 2L = − (−1 − 1) = π π
0
6
Entonces, la correcci´on on de primer orden para la energ´ energ´ıa es: ε E n1 = − L
2L π
ε 2L + L π
1 1 − 4n2
simplificando 2ε E n = π 1
1 1 − 4n2
−1
(19)
para el estado base E 01 = 0. Para calcular la correcci´on on a segundo orden empleamos (17 ( 17). ). Por otro lado, π 2 2 2 E n − E m = (n − m2 ) (20) 2mL2 Es necesario calcular el valor de 0
0
L
ψm |H |ψn =
2 mπ sin x L L
0
2ε =− L
L
sin
0
−ε sin
π x L
2 nπ sin x L L
mπ nπ π x sin x sin x dx L L L
que podemos integrar por partes
π x , L mπ nπ dv = sin x sin x dx, L L π π ⇒ du = cos x dx, L L mπ nπ ⇒ v = sin x sin x dx L L
u = sin
Recordemos que 2 L
L
mπ nπ 0 x sin x dx = ψm |ψn0 = δmn L L
sin
0
Usando la identidad sin(a sin(a) sin( sin(bb) = 12 [cos(a [cos(a − b) − cos(a cos(a + b)] 1 π π v= cos (m − n)x − cos (m + n)x dx 2 L L 1 L π L π = sin (m − n)x − sin (m + n)x 2 π (m − n) L π (m + n) L
7
dx
π En general sin L (m ± n)x se anula en los extremos x = 0, x = L, sin embargo, cuando m → n, es posible verificar, mediante una expansi´on o n en serie de Taylor que
L π sin (m − n)x = x m→n π (m − n) L
l´ım
por lo que al evaluar en los extremos, el ´unico unico valor que no se anula ocurre cuando se cumple esta condici´on. on. Regresando a la integral: B10 2ε π ¨ ¨ L π ¨ x ψm |H |ψn = − sin sin (m − n)x ¨ L ¨ L 2 π(m − n) L 0
0
L
L π − sin (m + n)x π (m + n) L L
0
1 L π sin (m − n)x π (m − n) L 0 2 & L π π π & − sin (m + n)x cos x dx π (m + n) L L L & −
reordenando ε 0 ψm |H |ψn0 = L
L
1 π sin (m − n)x (m − n) L 0 1 π π − sin (m + n)x cos x dx (m + n) L L
desarrollando la suma ε ψm |H |ψn = L(m − n) ε − L(m + n) 0
0
L
π π (m − n)x cos x dx L L 0 L π π sin (m + n)x cos x dx L L 0
sin
8
Usando nuevamente la identidad sin(a sin( a) cos( cos(bb) = 12 [sin(a [sin(a + b) + sin(a sin(a − b)] L
π π 1 L π (m ± n)x cos x dx = sin (m ± n + 1)x 1)x dx L L 2 0 L L π sin (m ± n − 1)x 1)x dx L 0 L π − cos (m ± n + 1)x 1)x (m ± n + 1)π 1)π L
sin
0
1 2 1 = 2
+
L π − cos (m ± n − 1)x 1)x (m ± n − 1)π 1)π L
L
0
Evaluando en x = L π cos (m ± n + 1)L 1)L = cos cos ((m ((m ± n + 1)π 1)π ) = (−1)(m±n+1) L π cos (m ± n − 1)L 1)L = cos cos ((m ((m ± n − 1)π 1)π ) = (−1)(m±n−1) L sustituyendo en la integral definida L
sin
0
π π L (−1)(m±n+1) (m ± n)x cos x dx = − L L 2π (m ± n + 1)
(−1)(m±n−1) 1 1 − + + (m ± n − 1) (m ± n + 1) (m ± n − 1)
integrando los signos negativos en el exponente y agrupando L
0
π π L 1 sin (m ± n)x cos x dx = [1 + (− (−1)(m±n+2) ] L L 2π (m ± n + 1) 1 + [1 + (− (−1)(m±n) ] (m ± n − 1)
por otro lado (− (−1)(m±n+2) = (−1)(m±n) , entonces L
0
π π L 1 sin (m ± n)x cos x dx = [1 + (− (−1)(m±n) ] L L 2π (m ± n + 1) 1 + [1 + (− (−1)(m±n) ] (m ± n − 1)
reagrupando L
π π L 1 sin (m ± n)x cos x dx = L L 2π (m ± n + 1) 1 + 1 + (− ( −1)(m±n) (m ± n − 1)
0
9
de donde es evidente que los t´erminos erminos no-nulos cumplen que |m ± n| = 2k, con k = 0, 1, 2, . . . De esta forma
ε L 1 ψm |H |ψn = L(m − n) 2π (m − n + 1) 1 + 1 + (− (−1)[m−n] (m − n − 1) ε L 1 − L(m + n) 2π (m + n + 1) 1 + 1 + (− (−1)[m+n] (m + n − 1) 0
0
Cancelando y reordenando
0
Para n = 1 se tiene entonces ε 1 1 0 ψm |H |ψ10 = + 2π(m − 1) m (m − 2) ε 1 1 − + 2π(m + 1) (m + 2) m
ε 1 1 ψm |H |ψn = + 2π (m − n) (m − n + 1) (m − n − 1) ε 1 1 − + 2π (m + n) (m + n + 1) (m + n − 1) 0
1 + (− (−1)
1 + (− (−1)[m+n]
1 + (− ( −1)[m−1]
1 + (− ( −1)[m+1]
reescribiendo y usando (− ( −1)[m−1] = (−1)[m+1] = −(−1)m ε(1 + (− (−1)[m+1] ) 0 ψm |H |ψ10 = (m + 1) 2π(m2 − 1) m+2+m − (m − 1) m(m + 2)
[m−n]
m−2+m m(m − 2)
$ $ $ − ε(1 + (− (−1)[m+1] ) 2 $ (m 1) ¡ $ $ $ = ( m + 1) − $ $ $ 2 $ $ 2π $ (m − 1) m(m − 2) ¡ $ $ $ + 2(m 1) ¡ $ $ $ − − $ (m 1) $ m(m + 2) 1 1 ε = − (1 − (−1)m ) π m(m − 2) m(m + 2)
Finalmente, usando m = k, para evitar confusi´on on con c on la l a el s´ımbolo de masa: 0
ψk |H |ψ10
ε 4 = (1 − (−1)k ) 2 π k (k − 4) 10
(21)
Por construcci´on on k = 1. Adem´ as as es evidente que k debe ser impar. Esto deja k = 3, 5, 7, . . .. .. E 12 =
=1 =1 k
ε π
32mL 32mL2 ε2 = π 4 2 =
4 k(k 2 − 4)
2
k =1 =1
2mL2 (1 − (−1)k )2 2 2 2 π (1 − k )
(1 − (−1)k )2 k 2 (k2 − 4)2 (1 − k 2 )
128mL 128 mL2 ε2 π 4 2
2
k=3,5,7,...
1 2 2 k (k − 4)2 (1 − k2 )
Puede comprobarse que la serie es convergente y que E 10
≈ −0 − 0.000559578
11
128mL2 ε2 128mL π 4 2
(22)
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