Correccic3b3n Parcial 01-01-12 Un

 

Universidad Nacional de Colombia Departamento Depart amento de Matem´ aticas aticas ´ 1000003-1  Algebra Lineal - Grupo 1 Parcial n 1 ◦

(i) ((6 6 Puntos) Puntos) ¿¿Qu´ Qu´e ccon ondi dici ci´on ´on debe imponerse a  a, b  y  c  para que el siguiente sistema, con inc´oognitas gnitas x,   y   y   z , tenga soluci´ on? on? x + 2y − 3z  =  a

2x + 6y − 11z  =  b x − 2y  + 7 z  =  c

Soluci´ on: on:   despu´ despu´eess de aplicar aplicar las operaciones operaciones elemental elementales es de fila   −2F 1   +   F 2   →   F 2 ,   −F 1   + F 3   →   F 3   y 2F 2   +   F 3   →   F 3   a la matriz ampliada del sistema obtenemos en la tercera fila 0 0 0   −5a + 2b + c , as as´´ı para que el sistema tenga soluci´on on la condici´on on que debemos imponer sobre   a,   b   y   c  es que   −5a + 2b + c  = 0.





(ii) (6 (6 Puntos) Puntos) El  determinate de

Vandermonde  andermonde  de

A  =

orden 3 est´a dado por  D 3  = det(A), donde

 1

a1   a12   a13 a21   a22   a23



.

Demuestre que det(A) = (a2  − a1 )(a3  − a1 )(a3  − a2 ). Soluci´ on. Tenemos: on.  Tenemos: det(A) = det(At

= det = det

  a1   a21   a2   a22 1   a3   a23

1 ) = det 1

  a1   a21 0   a2  − a1   a22  − a21 0   a3  − a1   a23  − a21

1 

  

  ) )( )(1  + ) 

a2  − a1   (a2  + a1 a2  − a1 a3  − a1   (a3  + a1 a3  − a1

= (a2  − a1 )(a3  − a1 )det

  a2 a1 1   a3  + a1

= (a2  − a1 )(a3  − a1 )(a3  − a2 ).

(iii)   (8 Puntos) Demuestre Puntos)  Demuestre que para todo n´ umero umero real   θ  la matriz   A

sen( )  = cos( ) 0

invertible y encuentre su inversa usando la adjunta.

1

    es

θ cos(θ) 0 θ   − sen(θ) 0

0

1

 

Soluci´ on. on.   N´otese otese que el determinante de esta matriz es   −1    = 0 (desarroll´andolo andolo ya sea por la tercera fila o la tercera columna), de modo que la matriz es invertible para cualquier valor de   α. Calculando sus respectivos cofactores tenemos:   A11   =  − sen(θ),   A12   =  − cos(θ),   A13   = 0, A21   =   − cos(θ),   A22   = sen(θ),   A23   = 0,   A31   = 0,   A32   = 0 y   A33   = 1. Por tanto, cof(A) = − sen(θ)   − cos(θ) 0 − sen(θ)   − cos(θ) 0   1 1 − cos(θ) sen(θ) 0 , as´ı que qu e   A = det(A) adj(A) =  − adj(A) = − cos(θ) sen(θ) 0 .

 

0

  1

0

−

(iv)   (6 Puntos) ¿Para Puntos)  ¿Para qu´e valores valore s de   α

  la matriz 

−α

α−1   α

1

   0  0 1  +1 3  no tiene inversa?

2 2−α α+3   α+7

Soluci´ on. on.   Resolviendo el determinante se concluye que este es cero para cualqueir valor de α. Por lo tanto, la matriz es singular (e.d., no invertible) para todo   α  ∈ R. (v) ((24 24 Puntos) Puntos) Diga si la afirmaci´on on es verdadera o falsa. En cada caso justifique plenamente su respuesta: (a) La matriz

2 5  3   −8

se puede escribir como una combinaci´on on lineal de las matrices

1 0 1 0

,

−

  −

10 20, 34 01,  62 51. Soluci´ on. La on.  La pregunta se reduce a verificar si existen escalares , ,   y  tales que 2 5  1 0 1 2 4 1  2 5   c1   c2   c3

3   −8

=  c 1

+ c2

1 0

0 0

+ c3

 −

3

0

+ c4

  c4

−

6

1

.

Operando tenemos:

2 5   3   −8

=

c1  + c2  + 4 c3  − 2c4   2c2  − c3  + 5 c4   c4 c1  + 3 c3  + 6 c4



.

Igualando entrada por entrada obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: c1  + c2  + 4 c3  − 2c4  = 2

2c2  − c3  + 5 c4  = 5 c1  + 3 c3  + 6 c4  = 3 c4  =  − 8 175 Resolviendo este sistema Resolviendo sistema obtenemos: obtenemos:   c1  = 226;   c2   =   − 20 3  ;   c3   =  − 3   y   c4   =   −8; de manera que la afirmaci´on on es VERDADERA.

(b) Sea   A  una matriz cuadrada de orden  n  y antisim´ anti sim´etrica. etri ca. Si  n  es impar, entonces det( A) = 0. Soluci´ on.  on.   Por definici´on, on, una matriz cuadrada de orden   n A  es antisim´etrica etrica si, y s´oolo lo si, t A   =   −A . Tomando determinante a ambos miembros de la igualdad tenemos: det(A) = det(−At ) = (−1)n det(At ) =  − det(A), puesto que  n  es impar por hip´otesis. otesis. Luego det(A) = 0, de manera que la afirmaci´oon n es VERDADERA. 2

 

 M n m   y  B   ∈  M m n , de modo que  AB   ∈  M n . Si  n > m  entonces  AB  es invertible. (c) Sean  A  ∈  ∈ M  Soluci´ on. FALSO on.  FALSO (este ejercicio lo hicimos en clase¡¡¡) ×

×

(d) Si   A  es una matriz ortogonal, entonces det( A) =  ± 1. Soluci´ on. VERDADERO on.  VERDADERO (otro ejercicio que hicimos en clase¡¡¡) (e) Sea   Ax   = 0 un sistema homog´eneo. eneo. Si la matriz   A  es invertible, entonces el sistema tiene como unica u ´on. VERDADERO soluci´on on la trivial. Soluci´ onica n.  VERDADERO (uno m´as as que hicimos en clase¡¡¡) (f) Si   A, B   ∈   M n   son matr matric ices es co con n entr entrad adas as reale realess y si   α   ∈   R, en entonc tonces es tr(αA   +   B ) = αtr(A)+tr(B ), donde tr denota la traza de una matriz cuadrada, es decir, la suma de los elementos de su diagonal (si  A  = (aij )n n , entonces tr(A) := ni=1 aii). Soluci´ on.  on.   Sean   A   = (aij )n n   y   B   = (bij )n n , entonces   αA +  B   = (αaij   +  b ij )n n   y, por tanto,, tr(αA + B ) =  αa 11 + b11 + αa22  + b22 + · · · + αann + bnn  =  α (a11 + a22 + · · · + ann ) + tanto (b11  + b22  + · · · + bnn ) =  α  t  tr( r(A)+ tr(B ). De esta forma, la afirmaci´on on es VERDADERA. ×

×

×

3



×