Copia de Demostracion Del Principio de Superposicion en Ecuaciones No Homogeneas

 

Demos Dem ostr trac ació ión n de dell pr prin inci cipi pio o de su supe perp rpos osic ició ión n en ec ecua uaci cion ones es no homogéneas: Para demostrarlo debemos explicar un poco de noción sobre operadores: Operadores Diferenciales: En cálculo la diferenciación podemos denotarla como D (letra “d” mayúscula) esto es:

 D ≈

∂ y ∂ x

El símb símbol olo o D es llam llamad ado o op opera erado dorr dife diferen rencia ciall po por rue ue tran transfo sform rmaa un unaa fu func nció ión n diferenciable en otra función! E"emplos:  D(Cos$x ) = −$Sen$ x  D($x # + % x ) = & x + % 'as deriadas de orden superior son expresables fácilmente de la siuiente manera:

 dy  d # y # dx  dx  ÷ = dx # =  D( Dy) = D y d

* en eneral: dny =  D n y n dx Donde y representa una función diferenciable! +ambi,n es aplicable a funciones polinomiales- en eneral el operador D en orden n se define:  L = an ( x ) D n + an−. ( x ) D n −. + !!! + a. ( x ) D + a/ ( x )

(1)

0omo consecuencia de dos propiedades básicas de la diferenciación: .) D(cf ( x )) = cD( f ( x)) donde c es una constante! #) D( f ( x ) + g ( x )) = Df ( x ) + Dg ( x ) El operador diferencial ' tiene una propiedad de linealidad1 es decir- '- operando sobre un unaa co comb mbin inaci ación ón line lineal al de do doss fu func ncio ione ness difer diferen enci ciab able less- es lo mism mismo o u uee un unaa combinación lineal de ' operando sobre las funciones indiiduales! Esto es:  L(α f ( x) + β g ( x)) = α L( f ( x )) + β L( g ( x)) En donde α y β  son constantes!

(2)

2 causa causa de la propie propiedad dad (2) se dice ue el operador diferencial de orden n- '- es un operador lineal!

 

+oda ecuación diferencial se puede escribir en notación D:  y ′′ + 3 y ′ + & y = 3 x − $ se puede escribir de la forma:  D # y + 3Dy + & y = 3 x − $ o tambien como: ( D # + 3D + &) y = 3 x − $ 'as ecuaciones: dny d n−. y an ( x) n + an−. ( x )  n −. dx dx

+ !!! + a. ( x)

dy

+ !!! + a. ( x)

dy

dx

+ a/ ( x) y = /

(4omo,nea)

+ a/ ( x) y = g ( x)

(no 4omo,nea)

* an ( x )

dny dx n

+ an−. ( x ) 

d n−. y dx n −.

dx

Pueden escribirse de forma compacta así:  L( y ) = / para las 4omo,neas  L( y ) = g ( x) para las no 4omo,neas Principio de superposición:

5ean 6 soluci 5ean solucione oness partic particula ulares res y   p. - y p # !!! y pk  de la ec ecua uaci ción ón (1)- diferen diferencial cial lineal lineal no 4omo,nea de orden n en el interalo 7 ue a su e8 corresponden a 6 funciones distintas  g. g # g k   Esto es- suponamos ue  y p. represen representa ta una solución particular particular de -

!!!

la ecuación diferencial correspondiente an ( x ) y ( n )

+ an−. ( x ) y ( n −.) + !!! + a. ( x) y′ + a / ( x) y = gi ( x)

En donde i = .- #!!!k  entonces:  y p

= y p. ( x) + y p # ( x) + !!!!! + y pk  ( x )

Es una solución particular de: (n)

a ( x) y n

( n −.)

+a

n −.

( x) y

+ !!! + a. ( x) y′ + a/ ( x) y = g. ( x) + g # ( x) + !!! + g k  ( x)

Demostración: Probaremos el caso de ue 69#! 5ea ' el operador diferencial definido en (2) y sean  y p.   y  y p #  soluciones particulares de las ecuaciones no 4omo,neas  L( y ) = g. ( x )  y  L( y ) = g # ( x) - respectiamente! 5i definimo definimoss  y p

= y p. ( x) + y p # ( x) demostraremos ue  y p es una solución particular de

 L( y ) = g. ( x ) + g # ( x ) De nueo- el resultado es consecuencia de la linealidad del operador ':  L( y p ) = L { y p. ( x ) + y p # ( x )}

= L( y p. ( x)) + L( y p # ( x)) = g. ( x) + g # ( x)

ue es lo ue ueríamos demostrar!

 

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