COORDENADAS TOPOGRAFICAS ORIGINAL.pdf

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Coordenadas Topográficas

COORDENADAS TOPOGRAFICAS SISTEMA DE COORDENADAS TOPOGRAFICAS Es un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el cual el eje de las ordenadas representa el eje Norte-Sur y el eje de las abscisas representa el eje Este-Oeste. N

Y -X +Y

+X +Y

X'

-W

+N

+E +N

-W -S

+E -S

X -X -Y

W

+X -Y

E

Y'

S SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RECTANGULARES

SISTEMA DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS

CLASIFICACION DE LAS COORDENADAS TOPOGRAFICAS Las coordenadas topográficas se clasifican en: 1. Coordenadas Parciales. 2. Coordenadas Totales. 3. Coordenadas Absolutas.

COORDENADAS PARCIALES Se llaman coordenadas parciales del punto extremo de una alineación recta a las obtenidas con respecto a un sistema particular de ejes de Coordenadas Topográficas cuyo origen coincide con el punto origen de la alineación recta. Las Coordenadas Parciales se calculan con las siguientes fórmulas: X = D Sen Z o también X = D Sen R Y = D Cos Z Y = D Cos R Siendo; D = Longitud de la alineación recta horizontal. Z y R = Azimut y Rumbo de la alineación recta, respectivamente. Luego, las coordenadas parciales de cada vértice de una poligonal o de una triangulación se calculan con relación al respectivo sistema particular de coordenadas topográficas cuyo origen es el vértice anterior al vértice considerado.

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Por ejemplo, de acuerdo al gráfico, las coordenadas parciales de B se calculan con respecto al sistema de coordenadas cuyo origen es el vértice A. Las coordenadas parciales del vértice C se calculan con respecto al sistema de coordenadas cuyo origen es el vértice anterior B y así sucesivamente como se indica en el gráfico adjunto. N

N

B

E

D

N C

.

8. 34

m 36 4. 2 2

' 2' º1 . 25 m =1 36

B

ZA

E

ZB

N

2' 6º1 =3

E

Z

' 10 8º 4 m D= C 56 8. 14

A C

E

E

N

36 º

12 22 ' 4. 36

XP=DSenZ XB=224.36Sen36º12'

B

W

A

YB

XB

E

A las coordenadas parciales se les llama también PROYECCIONES puesto que la abscisa parcial del punto extremo de una alineación recta viene a ser la proyección ortogonal de dicha alineación con respecto al eje de abscisas o eje E – W, y la ordenada parcial viene a ser la proyección ortogonal de la alineación con respecto al eje de las ordenadas o eje N – S. Las proyecciones sobre el eje de las ordenadas se designan: PROYECCION NORTE o positivas y PROYECCION SUR o negativas. Las proyecciones sobre el eje de las abscisas se designan: PROYECCION ESTES o positivas y PROYECCION OESTE o proyección negativa, según el azimut o el rumbo de la alineación. La figura siguiente aclara este concepto, según el cuadrante en que se encuentra el lado: I CUADRANTE

II CUADRANTE N

N D

Z

B

YB=DCosZ Ordenada parcial de B=PROYECCION NORTE

Z +YB

A

+XB

J

Z

+XK

E -YK

D K

E XK=DSenZ YK=DCosZ

XB=DSenZ Abscisa Parcial de B=PROYECCION ESTE

Abscisa Parcial de K=PROYECCIÓN ESTE Ordenada parcial de K=PROYECCION SUR

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III CUADRANTE

IV CUADRANTE

G

N

N D

+YG -XG

-XI -YI

H

Z

E

XG=DSenZ YG=DCosZ Abscisa Parcial de G=PROYECCION OESTE Ordenada Parcial de G=PROYECCION NORTE

Z

D

E

I XI = DSenZ YI = DCosZ Abscisa Parcial de I=PROYECCIÓN OESTE Ordenada parcial de I=PROYECCION SUR

En toda poligonal cerrada debe cumplirse teóricamente, que la suma algebraica de las abscisas y la suma algebraica de las ordenadas parciales deben ser respectivamente iguales a cero.

O sea:

Σx=0 ;

Σy=0

Pero en la práctica, debido a los errores inevitables en la medida de distancias y de ángulos se tendrá que: Σx=Ex= Error total en abscisas parciales, Σx ≠ 0 ; Σy ≠ 0 Σy=Ey= Error total en ordenadas parciales. Estor errores Ex y Ey determinan el error lineal total de cierre (ET) de la poligonal cerrada, el cual se calcula pitagoricamente: En el gráfico adjunto se ha exagerado la magnitud del error D lineal total de cierre E = AA ´ para mejor apreciación. T A ET FORMULA:

A'

ET 

A

2

X

2

Y

ET

EY EX

B

E   E 

A'

C

Al error lineal total de cierre (ET) también se le llama error de posición o también error absoluto. Una vez obtenido el error de cierre E T cometido en el levantamiento de una poligonal cerrada se calcula su error relativo (ER) con la siguiente fórmula: ER = ET . PERIMETRO Si el error relativo (ER) obtenido en el levantamiento de la poligonal es menor que el error relativo tolerable especificado, el levantamiento es aceptable totalmente, procediéndose luego a la compensación o corrección de las coordenadas parciales. Las coordenadas parciales estarán corregidas cuando se obtenga que: Σx= 0 Σy= 0

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COORDENADAS TOTALES DE LOS VERTICES DE UNA POLIGONAL O DE UNA TRIANGULACION Las coordenadas totales son aquellas que se calculan con respeto a un solo sistema de ejes de coordenadas cuyo origen coincide con el vértice de partida elegido en la poligonal o en la triangulación. A dicho vértice de partida se le asignan coordenadas totales x= 0, y= 0. Las coordenadas totales se calculan en base a las coordenadas parciales corregidas, aplicando la siguiente regla: 1º. Al vértice de partida elegido como origen de coordenadas totales se le asignan coordenadas totales: x = 0 ; y = 0 2º. Para calcular las coordenadas totales del vértice siguiente, a las coordenadas totales del vértice anterior se le suman algebraicamente las coordenadas parciales corregidas del vértice cuyas coordenadas totales se están calculando, y así sucesivamente hasta obtener las coordenadas totales de todos los vértices. Las coordenadas totales pueden resultar positivas y/o negativas El siguiente ejemplo, solo tiene por finalidad aclarar los conceptos teóricos sobre cálculo y dibujos a coordenadas.

EJEMPLO.- En la siguiente poligonal triangular, se pide calcular las coordenadas parciales, coordenadas totales y las coordenadas absolutas de sus vértices, luego su dibujo en base a las coordenadas absolutas de sus vértices. Azimut de Campo ZAB= 175º

C

A

0m

.

a) Cálculo del error angular de cierre (Ea): Suma teórica: I = 180º Suma de ángulos observados: I´= 180º Error angular: Ea = I´-I = 0

13º

m.

2 51.

67

20.60 m.

.00

134º

33º

B

b) Cálculo de los Azimutes de los lados: ZAB = 175º (dato) + 180º ZAB = 355º +B = +33º 388º -360º ZBC = 28º +180º ZBC = 208º +C = +13º ZCA = 221° -180º ZAC = 41º +A =+134º ZAB = 175º OK

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CALCULO DE COORDENADAS PARCIALES Coord. Parciales de B.

Coord. Parciales de C. N

N

C 28º

0 .0 7 6 +XC

175º

A

E

+XB

Coord. Parciales de A.

B

N

+YC - XA

E

-YA

0 .6 20

-YB

E

m 20 . 51

1º 22

B XB=20.60Sen175º= +1.795m. YB=20.60.Cos175º= -20.522m.

XC=67Sen28º=+31.455m. YC=67Cos28º=+59.158m.

XA=51.20Sen221º= -33.590m. YA=51.20Cos221º= -38.641m.

PLANILLA DE CÁLCULO DE LAS COODENADAS PARCIALES: LADO AB BC CA

AZIMUT (Z) 175º 28º 221º PERÍMETRO:

DISTANCIA (D) 20.60 67.00 51.20 138.80

COORDENADAS PARCIALES -X +Y

+X 1.795 31.455

-Y 20.522

59.158 -33.590 -33.590

+33.250

38.651 -59.163

+59.158

EY= -0.005m.

EX= -0.340m.

CROQUIS INTERPRETATIVO DEL ERROR LINEAL TOTAL DE CIERRE: ET=AA´ C

-EX A

-EY

A

ET

A'

A' B

CÁLCULO DEL ERROR ET:

ET 

EX 2  EY 2

 0.340m

CÁLCULO DEL ERROR RELATIVO ER: ER= ET ER= 0.340 = 1 . PERIMETRO 138.80 408

Como vemos el error es exagerado; sin embargo solo con fines didácticos se corregirán las coordenadas parciales para completar el ejemplo.

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CORRECCION DE LAS COORDENADAS PARCIALES La corrección o compensación de las coordenadas parciales de los vértices, se efectúa solo cuando el error relativo obtenido en el levantamiento, es menor que el error relativo tolerable. Sean: Ex, Ey = Error total en abscisas y error total en ordenadas respectivamente. P = Perímetro de la poligonal. L = Longitud del lado considerado, cuyo punto extremo se va a corregir. ex, ey = Error en la abscisa y error en la ordenada del punto o vértice considerado. Cx, Cy = Correcciones respectivas de la abscisa y de la ordenada del vértice considerado. Para determinar los errores e y ey formamos las siguientes proporciones:

E x ex E    ex   x L P L  P  E y ey  Ey   L   e y   P L  P  Como los errores y las correcciones son iguales en magnitud, pero de signo contrario, tendremos que para obtener las correcciones de las coordenadas parciales de los vértices, sólo se le cambiará de signo a los errores correspondientes, o sea que: Cx = -ex Cy = -ey Solo con fines explicativos aplicaremos estas fórmulas para corregir las coordenadas parciales de los vértices de la poligonal triangular del ejemplo propuesto, en el cual: E x= -0.340; Ey= -0.005 m.

E    0.340  ex   x L    L  0.002450 L  C x  0.002450 L  138.80   P   Ey   0.005   L   e x    L  0.000036 L  C y  0.000036 L  138.80   P  PLANILLA DE CALCULO DE CORRECCIONES LADO

Cx=+0.002450L

AB

L=20.60

BC

L=67.00

CA

L=51.20

X +1.795 +0.051 +1.846 +31.455 +0.164 +31.619 -33.590 +0.125 -33.463

Cy=+0.000036L L=20.60

L=67.00

L=51.20

Y -20.522 +0.001 -20.521 -59.158 +0.002 +59.160 -38.641 +0.002 -38.639

CUADRO RESUMEN LADO AB BC CA SUMA

COORDENADAS PARCIALES CORREGIDAS O PROYECCIONES CORREGIDAS

+X (E) 1.846 31.619

-X (W)

-Y (S) 20.521

59.160 -33.465 -33.465

33.465 Σx=0

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+Y (N)

59.160

38.639 -59.160

ΣY=0

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CALCULO DE COORDENADAS TOTALES Se aplica la regla anteriormente expuesta, pudiendo utilizarse la siguiente planilla de cálculo. Considerando que el azimut medido en el campo ha sido ZAB, podemos elegir al vértice A como origen de coordenadas y a partir de este vértice se calculan las coordenadas totales de los demás vértices. Luego: XA=0; YA=0. La mencionada regla se aplica utilizando las coordenadas parciales corregidas. PLANILLA DE CALCULO VERTICE A B C A

COORDENADAS TOTALES X Y 0.000 0.000 +1.846 -20.521 +1.846 -20.521 +31.619 +59.160 +33.465 +38.639 -33.465 -38.639 0.000 0.000

CUADRO RESUMEN VERTICE A B C

COORDENADAS TOTALES X Y 0.000 0.000 +1.846 -20.521 +33.465 +38.639

CROQUIS INTERPRETATIVO: C

Y

A

X

B

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COORDENADAS ABSOLUTAS Se llaman coordenadas absolutas de los vértices de una poligonal o de una triangulación, a las coordenadas totales obtenidas al desplazar arbitrariamente el origen de coordenadas en una magnitud suficiente para que las sumas algebraicas realizadas para el cálculo de las abscisas y de las ordenadas resultan todas positivas. Este desplazamiento se obtiene asignándole al punto de partida elegido coordenadas enteras y positivas arbitrariamente, según convenga. Usualmente se trabaja con coordenadas absolutas por la comodidad que brinda para el cálculo y para el dibujo; pues la figura quedará totalmente ubicada en el cuadrante N-E.

Para calcular las coordenadas absolutas se aplica la misma regla utilizada para calcular las coordenadas totales, solamente que al punto o vértice de partida elegido se le asigna coordenadas adecuadas, diferentes de cero. C

N

XA=0 YA=0

N

C

A A

E

YA

B E

B

XA

Croquis de la poligonal considerando las coordenadas totales

Croquis de la poligonal considerando las coordenadas absolutas. La poligonal se ha desplazado íntegramente al cuadrante N-E, al habérsele asignado al vértice de partida (A) coordenadas positivas adecuadas.

Continuando con el desarrollo de los cálculos de la poligonal triangular propuesta, calcularemos las coordenadas absolutas de sus vértices sólo con fines ilustrativos. Las coordenadas absolutas se calculan con las coordenadas parciales corregidas. Al punto o vértice de partida elegido (A) le asignamos, por ejemplo, las siguientes coordenadas enteras y positivas: X A = 100; YA = 100; luego, aplicamos la regla para calcular las coordenadas absolutas de los demás vértices, utilizando la siguiente planilla de cálculo: CUADRO RESUMEN

PLANILLA DE CALCULO

VERTICE A B C A

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COORDENADAS TOTALES

X +100.000 +1.848 +101.846 +31.619 +133.465 -33.465 +100.000

VERTICE

Y +100.000 -20.521 +79.479 +59.160 +138.639 -38.639 +100.00

A B C

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COORDENADAS TOTALES

X (E) 100.000 101.846 133.465

Y(N) 100.000 79.479 138.639

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DIBUJO CON LAS COORDENADAS ABSOLUTAS DE LOS VERTICES La poligonal o la triangulación dibujada con las coordenadas absolutas sus vértices quedará representada íntegramente en el cuadrante N-E. Por lo tanto en este cuadrante se elabora con sumo cuidado y rigor una cuadrícula cuyos cuadrantes tengan 10cm de lado. Al origen de la cuadrícula se le asignan coordenadas absolutas enteras considerando la menor abscisa y la menor ordenada de todos los vértices de la figura geométrica que se va dibujar. Para determinar los límites del largo y del ancho de la cuadrícula se considera la mayor abscisa y la mayor ordenada respectivamente. En seguida se acota el eje NORTE y el eje ESTE de la cuadrícula y luego se plotean todos los vértices de acuerdo a sus coordenadas absolutas. Supongamos que la poligonal triangular de nuestro ejemplo, se desea dibujar a la escala 1/200. En esta escala los 10cm de la cuadrícula representan 20m.del Terreno. Al origen de la cuadrícula le asignamos las coordenadas: N=60m y E=80m considerando la menor ordenada y la menor abscisa. a) En el dibujo final, se debe considerar el membrete. b) Es conveniente valorar el grosor de los trazos del dibujo. c) Al costado de cada vértice es necesario inscribir las respectivas coordenadas absolutas. Cuando el número de vértices es considerable es conveniente transcribir el cuadro resumen de las coordenadas absolutas dentro de la cuadrícula. d) Cuando del plano topográfico se tienen que tomar medidas lineales para ser replanteadas en el terreno es necesario indicar también en el plano la escala gráfica.

CROQUIS PARA SER DIBUJADO A ESCALA 1/200 140N

OC

X= Y=

DATOS TÉCNICOS

120N

100N

A

O

LEYENDA Vértice de poligonal

X=100 Y=100

.

MEMBRETE 140E

Y=

160E

X=

120E

100E

60N 10cm

60

O B

80E

10cm

80N

G

80

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CALCULO DE POLIGONALES CERRADAS

PROGRAMACION DE LOS CALCULOS 1. Cálculo del error angular de cierre, comparando luego dicho error de cierre con la tolerancia angular especificada. 2. Compensación de los ángulos medidos de la poligonal. 3. Cálculos de los azimutes de los lados de la poligonal, partiendo del azimut observado. 4. Cálculo de las coordenadas parciales de los vértices (o proyecciones de los lados), calculando luego el error relativo obtenido y comparándolo enseguida con el error relativo tolerable. 5. Corrección o compensación de las coordenadas parciales (o proyecciones de los lados) 6. Cálculos de las ordenadas absolutas de todos los vértices. 7. Dibujo de la poligonal en base a las coordenadas absolutas de sus vértices. 8. Cálculo del área de la poligonal en función de las coordenadas de sus vértices.

EJEMPLO DE APLICACIÓN Los datos de campo de una poligonal cerrada, se muestran en el siguiente registro. Se pide efectuar el cálculo completo de dicha poligonal y el dibujo de la misma en basa a las coordenadas absolutas de los vértices. Las tolerancias que se especifican son: Tolerancia Angular: Ta=±15’’ n ;

Tolerancia lineal: ER=

PROYECTO: Habilitación Urbana x y z Delimitación de ZONA RESIDENCIAL LUGAR: Distrito_____ Provincia_____ Dpto._____ V.At

Est.

V.Ad

D A B C

A B C D

B C D A

SUMAS: i = (I’)

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Angulo Horiz.

º

’

´´

108 89 98 64

00 22 11 25

27 03 58 25

Distancia (m) 285.34 174.71 358.63 233.34

359º

59’

53´´

1052.02

10

1 10,000

Teodolito:Kern DKM2 Nº__ TOPOGRAFIA: OPERADOR: FECHA: OBSERVACIONES A B

C D Azimut medido:ZBC=174º37´19´´

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DESARROLLO DE LOS CALCULOS 1. Cálculo del error angular de cierre: a) b) c) d)

Σ Geométrica o teórica de los ángulos interiores Σ Ángulos internos observados Error angular de cierre Tolerancia Angular

: I=180º(n-2)= 360º : I´= 359º59´53´´ : Ea=I´-I= -7´´ :Ta=±15’’ n =±15’’ 4 =±30’’

Vemos que: Ea < Ta -7’’ < ±30’’ Luego el trabajo es aceptable en ángulos. Se compensan los ángulos por uno de los métodos: -Método proporcional al número de vértices -Método Racional

2. Compensación o corrección de los ángulos medidos de la poligonal. METODO RACIONAL

VERTICE

Ángulos interiores observados

Σ de los lados que forman el ángulo

Nº de orden según la suma de lados

108º00’27’’ 89º22’03’’ 98º11’58’’ 64º25’25’’ 359º59’53’’

233.34+285.34=518.68 285.34+174.71=460.05 174.71+358.63=533.34 358.63+233.34=591.97 Ea= -7’’

(2) (1) (3) (4)

A B C D SUMAS

3. Cálculo de azimutes Croquis con los ángulos compensados:

285.34m 89º2 2

108º 0

'05''

34m

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0'29' '

DATO:ZBC=174º37'19'' 98º12'00''

C

A

233.

174.71m

B

64º25'26''

358.63m

D

11

Corrección

Ángulos corregidos

+1’’+1’’=+2’’ 108º00’29’’ +1’’+1’’=+2’’ 89º22’05’’ +1’’+1’’=+2’’ 98º12’00’’ +1’’ 64º25’26’’ +7’’ 360º00’00’’

ZBC=174º37’19’’ +180º00’00’’ ZBC=354º37’19’’ +C=+98º12’00’’ 452º49’19’’ -360º00’00’’ ZCD=92º49’19’’ +180º00’00’’ ZDC=272º49’19’’ +D=+64º25’26’’ 336º74’45’’ ZDA=337º14’45’’ -180º00’00’’ ZAD=157º14’45’’ +A=+108º00’29’’ ZAB=265º15’14’’ -180º00’00’’ ZBA=85º15’14’’ +B=+89º22’05’’ ZBC=174º37’19’’ OK

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4. CALCULO DE COORDENADAS PARCIALES O PROYECCIONES DE LADOS PLANILLA DE CÁLCULO FORMULAS DE LAS COORDENADAS PARCIALES : X=D Sen Z; Y=D Cos Z

AZIMUT (Z)

DISTANCIA (D)

174º37’19’’ 92º49’19’’ 337º14’45’’ 265º15’14’’

174.71 358.63 233.34 285.34

LADO

BC CD DA AB

SUMAS

1052.02

COORDENADAS PARCIALES O PROYECCIONES PARCIALES SIN CORREGIR

+X 16.375 358.195

+374.570

-X

+Y

90.251 284.362

215.180

-374.613

+215.180

-Y 173.941 17.656 23.609

Ex= -0.043m

-215.206

Ey= -0.026m

4.1 Cálculo del Error Lineal Total de Cierre (ET): ET = Ex 2  Ey 2 =

 0.0432   0.0262 =

4.2 Cálculo del Error Relativo obtenido : ER=

0.002525 = 0.050m

ET 0.050 1 = = Perimetro 1052.02 21040

Luego, el trabajo es totalmente aceptable, en ángulos y distancias puesto que :

1/21040 < 1/10,000

5. CORRECCION DE LAS COORDENADAS PARCIALES

E    0.043  eX   X L    L  0.00004087 L  1052.02   P  Cx = +0.00004087L

E    0.026  ey  Y  L    L  0.00002471L  P   1052.02  Cy=+0.00002471L

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PLANILLA PARA CORRECCION DE COORDENADAS PARCIALES

LADO

Cx=+0.00004087L

BC

L=174.71m

CD

L=358.63

DA

L=233.34

AB

L=285.34

X +16.375 +0.007 +16.382 +358.195 +0.015 +358.210 -90.251 +0.009 -90.242 -284.362 +0.012 -284.350

Cy=+0.00002471L L=174.71m

L=358.63

L=233.34

L=285.34

Y -173.941 +0.004 -173.937 -17.656 +0.009 -17.647 +215.180 +0.006 +215.186 -23.609 +0.007 -23.602

CUADRO RESUMEN DE COORDENADAS PARCIALES CORREGIDAS LADO BC CD DA AB Σ

COORD. PARCIALES CORREGIDAS O PROYECCIONES CORREGIDAS +X (E) -X (W) +Y (N) -Y (S) 16.382 173.937 358.210 17.647 90.242 215.186 284.350 23.602 +374.592 -374.592 +215.186 -215.186 Ex= 0

Ey= 0

6. CALCULO DE COORDENADAS ABSOLUTAS PLANILLA DE CÁLCULO VERTICE B C D A B

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CUADRO RESUMEN

COORD. ABSOLUTAS X (E) Y (N) +100.000 +200.000 +16.382 -173.937 +116.382 +26.063 +358.210 -17.647 +474.592 +8.416 -90.242 +215.186 +384.350 +223.602 -284.350 -23.602 +100.000 +200.000

VERTICE B C D A

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COORD. ABSOLUTAS X (E) Y(N) 100.000 200.000 116.382 26.063 474.592 8.416 384.350 223.602

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Coordenadas Topográficas

7. DIBUJO DE LA POLIGONAL DE BASE A LAS COORDENADAS ABSOLUTAS DE SUS VERTICES COORD. ABSOLUTAS X (E) Y (N) 100.000 200.000 116.382 26.063 474.592 8.416 384.350 223.602

VERTICE B C D A

La poligonal será dibujada a escala: 1/1000 Luego: 1 cm del dibujo= 10m del terreno. 10cm del dibujo=100m del terreno

CROQUIS PARA SER DIBUJADO A ESCALA 1/1000 300N

N

X=384.350 Y=223.602

X=100.000 Y=200.000

A 285.34m

B

PLANO DE UBICACION ESCALA1/10,000

S85º15´14´´W

10 8º0

''

4m 3.3 W 23 5´´ 5´1 2º4 N2

AREA=62,667.45

S5º22´41´´E

m2

PERIMETRO=1,052.02

m

º1 98

R

D

Coord E N

E200

X=116.382 Y=26.063

64 º25

D

E400

S87º10´41´´E

E300

E100

' 0'

'26

''

0 2'

E50

DATOS TECNICOS V