Coordenadas Polares

 

Coordenadas polares Un Sistema de coordenadas representa un punto en el plano por medio de un par ordenado de números, llamados coordenadas. Elegimos un punto en el plano, al que llamamos polo (u origen) y lo identificamos con 0. A continuación trazamos un rayo (que es semirrecta) que comienza en 0 y se denomina eje polar. Las coordenadas polares son un sistema de 2 dimensiones que sirven para encontrar puntos en un plano, llamado el plano polar cuando se trabaja en coordenadas polares, donde cada punto del plano polar está definido por una distancia o radio y un ángulo.

Puntos en Coordenadas Polares Se puede definir para cada punto un par de coordenadas donde es la distancia que hay desde el origen del plano hasta el punto y es el ángulo medido desde el eje polar en sentido anti horario hasta la línea que atraviesa el punto desde el origen (el ángulo solo se trabaja en radianes).

 

Para poder entender perfectamente cómo es que se utilizan las coordenadas polares en un  plano podemos hacer la comparación con las coordenadas c oordenadas cartesianas donde dond e los puntos están definidos por 2 ejes y denominados abscisa y ordenada respectivamente.

Una idea de cómo se dibuja el plano de coordenadas polares

Graficar Coordenadas Polares

 

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, en este sistemaa se necesi sistem necesitan tan un ángul ánguloo ( ) y una dista distancia ncia (r). Para Para medir q, en radianes, radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado  polo.

 

Si queremos localizar un punto (r,q) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar. A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.

Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.

 

Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje  polar,

También podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo y los puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al polo tendrán un radio negativo. Por ejemplo:

 

Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordenadas  polares, podemos graficar funciones y no solo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es q y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r (q). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(q) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en  polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a q. Recordemos que q es la variable independiente y va de 0 a 2p generalmente. Por ejemplo la función r = q tiene como gráfica en rectangulares

Gráficas en coordenadas polares.

 

 

Conversiones Entre Coordenadas Polares y Cartesianas

Conversión de Polares a Cartesianas Aplicando trigonometría se obtienen las siguientes expresiones:

Conversión de Cartesianas a Polares Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtienen las siguientes expresiones:

 

Ejemplo #1

 

Ejemplo #2:

 

Ejemplo # 3 Hallar la ecuación en coordenadas polares de una recta paralela al eje polar OX, y situada  por debajo de el a una distancia de 6 unidades.  

SOLUCIÓN  Sea P(r P(r , - ) un pu punto nto ccual ualqui quiera era ddee la recta recta L. L. Se ti tiene ene  sen (- ) = r sen (- ) = 6  0 = 6 + r sen (- )   por lo tanto la ecuación pedida es   6 + r sen (- ) = 0 

 

Ejemplo #4. Hallar la ecuación siguiente en coordenadas rectangulares: r  –   – r cos SOLUCIÓN: Sustituyendo

,

x = r cos

, por lo tanto, cos

=

y = r sen

, por lo tanto, sen

=

Se tiene: r - r cos

=4

o factorizando r (1 - cos

)=4

sustituyendo =4

=4 -x=4 = (4 + x) Elevando al cuadrado ambos miembros x2 + y2 = (4 + x)2  Desarrollando el binomio x2 + y2 = 16 + 8x + x2  Simplificando y2 = 16 + 8xy2 - 16 - 8x =

= arc tan

= 4 

 

SOLUCIÓN  Como cos = cos (- ), la curva es simétrica simétrica con respecto respecto al eje polar. El ángulo , puede tomar cualquier valor, pero r varía de 0 a 6, por lo tanto la curva es cerrada.   Por el problema 4 sabemos que el lugar geométrico dado, es una circunferencia de radio a = 6 y el centro es el eje polar.   Para hallar puntos de ella, damos valores a y calculamos los valores correspondientes de r para formar pares de puntos y trazar la curva, que se indica a continuación: 

 

Coordenadas Cilíndricas En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenada coordenadass polares de la

 proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P. Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares  



 



 



Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas  



 



 



Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas  



 



 



El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

 

En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la  proyección del punto sobre el plano XY cuya cu ya magnitud es igual a la distancia del punto al eje z, la cual es la primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector  medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano. Pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilíndrico de coordenadas.

Sistema de Coordenadas cilíndricas En este sistema de coordenadas al igual que en el sistema cartesiano, existen tres vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector. La Figura 7, ilustra los tres vectores directores del sistema.

  Vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas.

 

Un vector en coordenadas cilíndricas queda definido por:

Donde

es la proyección radial del vector con respecto al eje z sobre el plano XY ,

la componente angular medida connombre. respecto al semieje x positivo y componente cartesiana del mismo

Ejemplo #1: Convertir el Punto

coincide con la

a coordenadas cilíndricas.

Encontramos

Ahora encontramos

el cuadrante donde

es negativo (-3) y

cuadrante.

Ahor Ah oraa eenco ncont ntra ramo moss :

Entonces, el punto en coordenadas cilíndricas es:

es positivo (3) es el IV

es

 

Ejemplo #2: Convertir el Punto

a coordenadas cilíndricas.

Encontramos

Ahora encontramos

El cuadrante donde

es negativo (-3) y

es positivo (3) es el IV

cuadrante. . Ahora encontramos :

. Entonces, el

 punto en coordenadas cilíndricas es:

Ejemplo #3.

Calcular

Donde D es la región limitada por un cilindro de radio radio 2 y altura 5.  R/ 

Nótese que el resultado es exactamente exact amente el que se esperaba, e ell volumen de un cilindro de radio 2 y altura 5.

 

esféricas  Coordenadas esféricas  El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes (r, θ, φ), consecuencia, donde:  r (radio): Coordenada radial, es la distancia entre el punto P y el origen. θ (ángulo theta): Coordenada cenital, es el ángulo án gulo entre la parte positiva del eje z y la recta

que une el origen y el punto P. φ (ángulo phi): Coordenada acimutal, es el ángulo entre el eje x positivo y la línea que une

el origen con la proyección del punto P en el plano XY. Los rangos de variación de las tres variables de las coordenadas esféricas son: 0 ≤ r