Coordenadas Polares

 

Coordenadas polares: otra forma de ver el plano complejo   complejo Introducción Todo punto del plano complejo (plano cartesiano) puede representarse con sus coordenadas , que son los puntos de cada uno de los ejes donde cortan las dos perpendiculares a los mismos que podemos trazar desde la propia representación rep resentación del punto (esto es, las coordenadas que todos conocemos desde siempre). Estas coordenadas se denominan coordenadas rectangulares o cartesianas. Esta forma de asignar coordenadas a los puntos del plano no es la única (de hecho en muchas ocasiones ni siquiera es la más aconsejable). Vamos a ver otra manera de asignar  coordenadas a los puntos del plano: las coordenadas polares  polares 

Coordenadas polares A todo punto

del plano cuyas coordenadas rectangulares son

podemos asignarle las

siguientes coordenadas: =distancia del origen de coordenadas al punto =ángulo desde el semieje positivo del eje al segmento que une el origen de coordenadas con Representado gráficamente sería así:

Teniendo en cuenta esta definición se tiene que también el ángulo en el intervalo ).

y

(se puede definir 

Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares con las polares son las siguientes:

 

 Rectangulares en función de las polares  polares 

 Polares en función de las rectagulares  rectagulares 

Sobre la expresión del ángulo en función de las coordenadas rectangulares se debe realizar  un apunte importante. La función da como resultado dos valores distintos, dos ángulos en cuadrantes opuestos (primero y tercero o segundo y cuarto). Por tanto ha hay y veces en las que al calcular el ángulo puede que obtengamos un resultado incorrecto (puede que nos aparezca el ángulo del cuadrante incorrecto). La regla para el ángulo es la siguiente: Calculamos el ángulo (con la calculadora o con la ayuda del  del cuadro de las razones trigonométricas)) y miramos los signos de las coordenadas trigonométricas para ver en qué cuadrante está situado el punto . Si el ángulo que hemos obtenido está en el mismo cuadrante que el ángulo obtenido es el correcto. Si no es así sumamos o restamos al ángulo que nos ha salido cuidando que el resultado de esa suma/resta quede dentro del intervalo . Por  ejemplo, si obtenemos el ángulo (que está en el primer cuadrante) y vemos que nuestro  punto está en el tercer cuadrante (coordenadas negativas) sumamos al ángulo obtenido, resultando entonces que el buscado es restáramos nos saldríamos de ).

(si en vez de sumar 

Aplicaciones Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos fenómen os relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos:

  Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método del paso a coordenadas polares. polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable, (en concreto ), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo . Si no existe tal dependencia depende ncia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares.   Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro y radio tiene a como ecuación en coordenadas rectangulares y a como ecuación en polares.

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  Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares es la representación gráfica del número complejo

 

(esta forma de representar un número complejo se denomina forma denomina forma binómica del ). Pasando a polares obtenemos el módulo ( ) y el argumento ( ) de y co con n el ello lo la  forma polar de polar de : Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división división y el cálculo de raíces -ésimas.

  Cálculo de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas  polares es una opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la misma.    Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios ne cesarios  para realizar dicha actividad.   Cálculos orbitales: las razones son las mismas que en el caso c aso anterior.

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Mapa del mundo con Latitud y longitud

Mapa del mundo con latitud y longitud tiene la intención de proporcionar te con la latitud y longitud de los lugares a través del mundo. Latitud y longitud juegan un gran papel en determinar las él Huso horario de diferentes lugares en todas partes del mundo. El clima de diferentes lugares también cambia cuando la latitud sigue cambiando. Por eso, el mapa del mundo con latitud y longitud te introducirá a diferentes husos horarios del mundo y también te da una idea de la variedad de climas a través del globo al mismo tiempo. Latitud y longitud son dos números o coordenadas utilizados para representarr cualquier lugar en la tierra. Uno puede saber la posición representa exacta de un lugar por medio de la latitud y longitud. Latitud y longitud también determina la zona de tiempo de cierto lugar, que es calculado basado a su latitud y longitud. El mapa del mundo con su latitud y longitud proporciona la información útil en las coordenadas coordena das de algunos de los más importantes lugares del mundo, así uno puede aprender su posición exacta también sus Huso horario. Coordenadas son los ángulos, que son medidos en grados  –   –  “minutos de arco” y “segundos de arco”.  arco”.  1 Grado = 60 minutos de arco 1 minuto = 60 segundos de arco Latitud: la latitud en un lugar básicamente te indica que tan lejos norte o sur es de un lugar, relativo al ecuador. Típicamente latitud es expresado en grados de norte a sur. El ecuador, dividiendo la tierra

 

en el Hemisferio Norte y el Hemisferio Sur, tiene latitud cero. El Polo Norte tiene la latitud de 90 grados al norte, mientras que, si estuvieras cerca al Polo Sur, la latitud del lugar seria acerca de 90 grados al sur. Acuerdo a la definición, “latitud es aproximadamente el ángulo entre el derecho hacia arriba el superficie y el sol en el equinoccio.”   equinoccio.” En un mapa del mundo con latitud y longitud, las líneas imaginarias de latitud y longitud aparecen Horizontales de este a oeste. Aunque estos pueden variar en curvatura, sin embargo estas líneas son actualmente circulares en naturaleza con diferente radio.  Aunque el ecuador es el más importante de todas las latitudes, también encontraras otras cuatro en el mapa del mundo con latitud y longitud, que juegan un papel fundamental en la relación geométrica entre el Sol y la Tierra. Círculo Polar Ártico: 66° 33’ 39” N  N  Trópico de Cáncer: 23° 26’ 21” N  N  Trópico de Capricornio: 23° 26’ 21” S  S  Círculo Polar Antártico: 66° 33’ 39” S  S  Todas las líneas de arriba están en la inclinación del eje con respecto al sol (23° 26’ 21.41”), y por lo tanto son de una gran importancia. El Sol permanece en el cenit solo en latitudes en medio de la Zona Intertropical. El Sol de medianoche es solo posible en el norte del Círculo Polar Ártico o Sur del Círculo Polar Antártico. También puede ser notado aquí que el Círculo Polar Ártico y el Trópico de Cáncer son latitud.

 

Lo siguiente es una tabla muy útil que te ayudara a calcular la latitud: Latitud

N-S Radio de curvatura

Distancia de E-W Radio de Superficie Curvatura  por cambio de un

Distancia de superficie por  cambio de un 1°

0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°

6335.44 km 6339.70 km 6351.38 km 6367.38 km 6383.45 km 6395.26 km 6399.59 km

1° en la latitud 110.574 km 110.649 km 110.852 km 111.132 km 111.412 km 111.618 km 111.694 km

en la longitud 111.320 km 107.551 km 96.486 km 78.847 km 55.8002 km 28.902 km 0.000 km

6378.14 km 6379.57 km 6383.48 km 6388.84 km 6394.21 km 6398.15 km 6399.59 km

Efectos de Latitud: Latitud juega un papel muy importante en el lugar del tiempo. Que afecta a los vientos predominantes, auroras polares y otras características físicas de los lugares. Tipos de Latitud: puede a ver varios tipos de latitud, que se pueden enumerar de la siguiente manera: · Latitud Común · Latitud Reducida · Latitud Authalic · Rectificación Rectificación de latitud · Latitud de Conformación · Latitud Geocéntrica · Latitud Astronómica · Paleo latitud Longitud: Longitud es la coordenada geográfica que es usado para expresar que tan lejos tu estas en relación de Sureste u Oeste, Relativo al Meridiano de Greenwich o Primer Meridiano. Greenwich tiene una longitud de 0°. Los lugares que se localizan al este de Greenwich pueden tener un ángulo de longitud hasta 180 grados

 

Sureste. Similar, los lugares encontrados al Oeste de Greenwich tendrán una longitud hasta 180 grados al oeste. Longitud forma parte integrante de los resultados cartográficos. De acuerdo a su definición, “longitud es una distancia angular de un lugar medido como un ángulo que vértice es en el centro de la tierra”. Se expresa en grados, minutos y segundos. Efecto en el Tiempo  La tierra rueda en su eje alrededor de 15 grados por hora. Como resultado, cuando algunas partes del mundo miran el sol derecho a la mitad del cielo, puede ser medianoche en otras partes del mundo al mismo tiempo. Por lo tanto, cuando la longitud cambia al pasar de un lado a otro, la posición relativa del sol va cambiando. Es necesario de la creación de diferentes husos horarios. Horario de Verano: Hay otro concepto de “Horario de Verano”, cuando el reloj es alterado una hora hacia delante para aprovechar  de la salida del sol más temprano en muchos lugares en el mundo, usualmente entre abril y Octubre. La Línea internacional de Cambio de Fecha Como las longitudes determinan solo la hora del día y no el tiempo, en algún punto de tiempo se hace necesario ajustar el día, cuando se cruza en el meridiano 180°. Para esto, el concepto de la línea internacional de cambio de fecha ha sido formulado. La fecha avanza un día cuando cruza la línea de este a oeste, y regresa un día cuando el movimiento es en la dirección opuesta. Efecto en el Clima Latitud juega un papel muy importante en determinar el clima de la región. Como el eje de la tierra está inclinado 23° 26’ 21.41” a la

 

perpendicular, Latitud especifica recibe variedad cantidad de luz solar debido al cambio de las estaciones. Durante Abril hasta Septiembre, El Hemisferio Norte recibe más luz solar ya que se inclina hacia el Sol. Por otro lado, el Hemisferio Sur se inclina hacia el Sol a partir de Octubre y Marzo. Debido a cambios en latitudes, Uno puede encontrar tres diferentes zonas climáticas en general: · Ártico · Templado · Tropical

Zona de Clima Ártico: Esta zona climática, se mantiene bajo nieve todo el año por lo general, cubre 66.5°N hacia el Polo Norte y 66.5°S hacia el Polo Sur. Estos lugares son extremadamente secos y reciben muy poca precipitación. La cantidad de nieve caída es también baja, pero el derretimiento es más bajo dado a la temperatura fría. Como resultado, la cantidad de hielo y nieve cubre construido. Uno también puede ver el Sol asomando sobre el horizonte a la medianoche durante el verano. El Sol también no sube del todo durante el invierno. Zona de Clima Templado: La zona de clima templado se encuentra dentro las zonas árticas y tropicales. Esta zona ve variaciones distintas variaciones a través de cuatro estaciones. El clima en esta región también es afectada por la corriente del aire que recibe.

 

Zona de Clima Tropical: Esta zona se encuentra desde 23.5°N a 23.5°S. Esta es la región que recibe la mayor cantidad de luz solar, sin embargo, no son necesariamente los lugares más calientes en la tierra. La temperatura es bastante moderada en la región.

 

Mapa de Husos Horarios

El mapa Político de husos horarios del mundo generalmente conocido como reloj mundial con claramente cuenta con el estándar  mundial de zona horaria y coordenadas geográficas de diferentes lugares. El tiempo local o el tiempo solar en cualquier lugar en particular en el mundo cambiando continuadamente con cambio longitudinal. Por  lo tanto, el tiempo local de un lugar es determinado por la longitud que pasa atreves de ella. Sin embargo, problemas severamente prácticos surgen cuando calculando el tiempo local de un lugar. Por  ejemplo, tiempos serán diferentes in lugares diferentes en la superficie de la tierra. Entonces, para mantenerse en sintonía con los diferentes tiempos de varios lugares, la gente tiene que continuamente continuamen te ajustar su reloj. Por lo tanto, para mantener uniformidad y facilidad de transporte, comunicación y para otros fines prácticos, tiene que haber un estándar común de tiempo, por lo menos en un grado considerable de espacio, tal como divisiones administrativas, regiones, o países individuales. El Mapa de la zona horaria estándar del mundo es, pues, muy útil. El mapa del huso horario del mundo presente usa 24 meridianos estándar de longitud que corren del Polo Norte hacia el Polo Sur, perpendicularmente a la línea ecuatorial, y son 150 separadamente, comenzando del primer meridiano o 00 longitud que pasa entre

 

Greenwich cerca de London, Inglaterra. Estos meridianos por lo tanto son , en teoría, los centros de las 24 zonas horarias estándar. Cada zona de 150 el este o al oeste de la zona inicial de 00 por lo tanto, es representado por una hora. Sin embargo, en practica estas zonas no son sacrosanto y son alteradas y subdivididas, por el bien de la conveniencia, por países individuales que callen entre ellas. Por ejemplo, en China, solo hay una zona horaria para todo el país, mientras los Estados Unidos de  América es dividido entre seis husos husos horarios. Similarmente, la línea de fecha internacional es extendida hacia el este alrededor de la isla de Kiribati del Pacifico para evitar el corte a través de él, para que una fecha uniforme podría mantenerse para todo el país en un día particular.