Coordenadas Polares

 

C oorde oordena nada dass P ola olares Sistema de Coordenadas polares. Mediante este sistema es posible localizar cualquier punto del plano. En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posición relativa con respecto a una recta fija y un punto fijo de esa recta. La recta fija se llama “eje polar” y el punto fijo se llama “polo”.  “polo”.   Sea la recta horizontal OA el eje polar y el punto O el polo. Sea P un punto cualquiera en el plano coordenado. Tracemos el segmento OP y designemos su longitud por “r”. Llamemos θ al ángulo AOP. Evidentemente, la posición del punto P con relación al eje polar y al polo es determinada cuando se conocen r y θ . Estas dos cantidades se llaman las coordenadas polares del punto P, en particular, r se llama radio vect orial y θ ángulo polar.

1. Pas o de coordena coordenada dass pola polares res a recta rectang ng ula ulares res y vi vicevers cevers a Para efectuar las transformaciones debemos conocer las relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de cualquier punto del lugar geométrico. Se obtienen relaciones particularmente simples cuando el polo y el eje polar del sistema se hacen coincidir, respectivamente, con el origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular. Sea P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares rectangulares (x; y) y por coordenadas polares (r, θ). θ ).  Teorema:   Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares coinciden, respectivamente con el origen y la parte positiva del eje X de un sistema de coordenadas rectangulares; el paso de uno a otro de estos dos sistemas puede efectuarse por medio de las siguientes fórmulas de tr transformaci ansformaciones: ones: x= r cos θ;

 = ±     

y= r sen θ;

θ = ±   + 

   =    = ±  + 

 =   

 

 2. Tr aza azado do de C urvas ur vas en coor denada denadass polares : Constará de 6 pasos: a. Determinación Determinac ión de las intersecciones con el eje polar y con el eje a 90°. b. Determinación Determinac ión de la simetría de la curva con respecto al eje polar, al eje 90° y al polo. c. Determinación Determinac ión de la extensión del lugar geométrico. d. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada. e. Trazado de la gráfica f. Transformación de la ecuación polar a rectangular.

Teorema: Las pruebas para averiguar la simetría del lugar geométrico de una ecuación polar están dadas en la siguiente tabla:  S imetr imetría ía con res pecto al: al:  

La ecuación polar polar no s e altera altera o se transforma transf orma en una ecuación equival equi valente ente cuando:     Se sustituye θ por –θ  –θ 

Eje Polar





        

Eje a 90°





Polo





Se sustituye θ –r Se sustituye θ por por π π-–θ πθ y r por –r Se sustituye θ por -θ y r por –r –r Se sustituye θ por π + θ Se sustituye r por -r

a. E xten xtenss ión de dell Lug ar G eo eomé métrico trico Para determinar la extensión de la gráfica de un lugar geométrico dado en coordenadas polares, primero se despeja r en función de θ; de modo que tenemos:  tenemos:  

 =   Si r es finito para todos los valores de θ, se trata de una curva cerrada. Si, en cambio, r se vuelve infinita para ciertos valores de θ que hacen a r compleja no hay curva; tales valores de θ constituyen intervalos excluidos del lugar geométrico. Si la gráfica es una es  una curva cerrada, es útil, frecuentemente, determinar los valores máximo y mínimo de r.

b. C álculo de la coordena coordenada dass de algunos lg unos puntos:  Asignando un valor valor para θ: θ: podemos obtener el valor o valores reales correspondientes correspondien tes de r.

c. C onstrucci ón de la g ráf ráfica; ica; Los puntos del lugar geométrico pueden trazarse directamente a partir de los valores de las coordenadas obtenidas en el paso 4. d.

Tr Trans ansformaci formación ón de la ecuación polar a s u forma recta rectang ng ula ular. r.  

 

 3.

F órmula ór mula de lla a di diss tanci tancia a entr entre e dos pun puntos tos en coor denada denadass polares :

Sean P1 (r1, (r1, θ1) θ1) y P2 (r2, θ2); dos puntos dados cualquiera. Se trata de hallar la distancia d entre P1, P2 en donde d = de coordenadas P1 y de P2.

|12| . Para ello emplearemos el par principal

Tracemos los radios vectores de P1 y P2, formando así el triángulo OP1 P2 en donde θ 1-θ2. θ2. Entonces por la ley de los =r1, =r2, y el ángulo P1 OP2 es igual θ1cosenos tenemos:

 =    −2  − 211 22 cocoss −   De donde:

 =     − 2 cos cos − .  4. E cuación de la recta en coordena coordenada dass pol pola ares : Si una recta pasa por el polo, su ecuación polar es, evidentemente, de la forma: θ = k (1); en donde k es una constante que representa el ángulo polar de cualquier punto de la recta. Por esto, convenimos en restringir k a valores no negativos menores de 180°. Consideremos ahora el caso en que la recta no pasa por el polo.



Sea L la recta. Desde el polo tracemos la normal ON a L, y sea (p, ), en el par principal de coordenadas polares de N, de manera que p sea positivo y que los valores de  estén dados por: 0° ≤     (2)



 < 360°

, ,    cocoss −  = 

Sea P ( ) un punto cualquiera de la recta L. Entonces, del triángulo rectángulo OPN tenemos:  (3); que es la ecuación polar de recta L. Evidentemente, por el significado de las cantidades p y  y el intervalo de variación (2) para  la ecuación (3) es la ecuación polar equivalente a la ecuación normal de la recta en coordenadas rectangulares, rectangulares, .

  cocoss      −  = 0

,

 

 5. E cu cuaci ación ón de una ci rc unf unferen erenci ci a en coor denada denadass polares : Sea C(c, α) el centro de una circunferencia cualquiera de radio a. Sea P (r , θ   ), un punto cualquiera de la circunferenci circunferencia. a. Tracemos el radio PC y los radios vectores de P y C formando así el triángulo OPC. De este triángulo, por la ley de los cosenos, resulta:

O sea:

 =    −2  − 2 cocoss −    − 22 cos cos −    =  

Que es la ecuación polar de la circunferencia.  circunferencia.  

6. E cuación ggenera enerall de la lass cóni cas en coordena coordenada dass pola polares res : La ecuación polar de una cónica toma una forma particularmente sencilla y útil cuando uno de los focos está en el polo y el eje focal coincide con el eje polar. Sea la recta L la directriz correspondiente del foco o; esta recta es perpendicular al eje polar y sea D el punto de intersección. Designamos la distancia directriz, por cantidad positiva p.

||, entre el foco y la

Sea P (r, θ) un punto cualquiera de la cónica. Desde P tracemos las perpendiculares PB y PC al eje polar polar y a la directriz, directriz, respectivamente.

 

Ejercicios:

1. Hallar las coordenadas coordenada s rectangulares rectangular es del punto P cuyas coordenadas polares son (4,120°)

En este caso r=4 y θ=120°, por lo tanto. Por el teorema 1:  1:  

 =  = 4cos120° = 4(− 12) = −2   =    = 4 120° = 4 √ 23  = 22√ √ 3  2. Trazar la curva cuya ecuación es:

 

 = 21− 21 − 

De la ecuación anterior se deduce que para θ θ  = 0°, r =0, y para θ =r es r =4; Ningún valor nuevo de r se obtienen para θ= -π, ± 2π, etc. Por lo tanto. El polo está sobre la curva, y la otra intersección con el eje polar está dada por el punto (4, π).  π).  Para

 =  es r= 2; para  = −   es r= 2. Ningu Ninguno no de los v valores alores nuevos se

obtienen para

 = ±  ,±   

etc.

Por lo tanto, las l as intersecciones con el eje a 90° son los puntos

2;  y 2;−  

 

3. Demostrar que los puntos

 3,  ,  7,   3, 

  son los

vértices de un triángulo isósceles.

   =          ,  58−21 2. 3 3. . 7 co cos s  ||  ||= 33   77 − −2. 58−21√  √  3   5 8−21√ 3  −2.3.7 cos cos − =  58−21  || = ||, =

 

Por lo tanto, como

el triángulo es isósceles.

4. Empleando solam solamente ente coordenada coordenadas s polares, hallar el c centro entro y el radio de la circunferencia.

 = 3    −−33√ 33   Pongamos la ecuación anterior en la forma general de la ecuación de una circunferencia de centro (c, α) y radio a.

 − −22 cos −    = 

 

Para ello multiplicaremos ambos miembro de la primera ecuación por r y transpongamos términos. Se obtiene:

 = 0……… ……….. .. (1)  − −22 − √      

 

Hagamos ahora:

√  =     = ………..  

(2)  (2) 

La expresión dentro del paréntesis de la ecuación (1) se convierte en:

cocoss      = cos cos −   Y la ecuación en:

 − −22 cos −  = 0 

 

Que de la primera ecuación. Evidentemente la circunferencia pasa por el polo, . Si elevamos al cuadrado ambos miembros de cada una de las ya que ecuaciones (2) y sumamos, obtendremos:

 = 

     9  = 1    De donde

. Para el par principal de coordenadas polares del centro,

 = ±3

tomamos c = 3, valor para el cual las ecuaciones (2) dan coordenadas del centro de la circunferencia son radio es 3. 

3,  .

 = .

Por tanto, las

También como c=a el