Coordenadas Polares y Seccciones Conicas

 

Part I

Ejercicios Parte I (Chapter head:)Secciones cónicas y coordenadas polares

Secciones cónicas 1. Determ Determine ine la ecuación y trace la grá…ca de la parábola con el foco y la directriz dado dados: s: (a)   F   = (1 (1;; 19) 19);;

x  = 3

 (b)   F   = (1 (1;; 3); 3);

y  = 0

2. Determ Determine ine la ecua ecuació ción n y trace la grá…c grá…caa de la pará parábola bola con el foco y vértic vérticee dad dados: os: (a)   F   = (2 (2;; 1); 1);

V  V    = (2 (2;; 3)

(b)   F   = ( 3; 1); 1);

V  V    = ( 1; 1)

 

 

3. Hallar Hallar la ecua ecuació ción n de la circ circunfe unferen rencia cia en que uno de sus diame diametro tross tien tienee extr extremo emoss 2 2 (8,(8,-22) y (2,6 (2,6). ). Rpt pta a:   x + y 10 10x x 4y 4 = 0



 

4. Calcu Calcular lar el radio y su centro de la circunferen circunferencia cia de ecuación   2x2 + 2y2 + 3x + 5y

 ;

0:

Rpta  : C   :  C    = (

3 4

5 4

)   r  =   21

5=



37 2

q 

5. Halla Hallarr la ecuación canónic canónicaa de la elipse que pasa por el punto (25,0) y la distancia sem semii   y  x focal es 7 unidades.   Rpta : Rpta  : 25   + p    = 1 2

2

2

2

576

6. Hallar la ecuación canónica de la elipse que pasa por el punto (4,1) y por (0,3). Rpta : :   x18   +   y9   = 1 Rpta 2

2

7. Determ Determine ine la ecuación de la pará parábola bola que tiene eje vertic vertical al y pasa por los puntos (2,3) (2,3),, (4,3) y (6,-5). 8. Muestre que la ecuación de la recta tangente a la parábola   y 2 = 4 px   en el pun punto to (x0; y0 )   es: 2 px y0 :y :y +  + 2 px 2 px =  = 4 pxg  pxg =  = 0 Concluya que la recta tangente interseca al eje x el punto  ( xo ; 0) 0)::  Este hecho proporciona un método rápido para construir una recta tangente a una parábola un punto dado.





9. La orbita del cometa Kahoute Kahoutek k es una elipse de excen excentricidad tricidad extrem extremaa e=0.999 e=0.999925; 925; el Sol está en uno de sus focos de esta elipse. La distancia mínima entre el Sol y Kahoutek es de 0.13 U.A. ¿Cúal es la distancia máxima entre Kahuotek y el Sol?

1

 

10. La órbit órbitaa del plane planea a Mer Mercur curio io es una elips elipsee de excen excentri tricida cidad d e=0 e=0.20 .206. 6. Sus dista distanncias máxima y mínima al Sol son 0.467 y 0.307 U.A, respectiva respectivamen mente. te. ¿Cuán ¿Cuánto to mide los semiejes semiejes may mayor or y men menor or de la órbita órbita de Mer Mercur curio? io? ¿La ¿Lass pal palabr abras as "casi circular" circular" describen de manera precisa la órbita de Mercurio? 11. Mue Muestr stree que la recta tang tangen ente te a la elipse   xa   +   yb   = 1   en el p pun unto to P   P    = (x0; y0 )  de esa elipse tiene la ecuación: x0 x   +   yb02y  a2

2

2

2

2

=1 2

12. Estab Establezca lezca que la recta tange tangente nte a la Hipérbola   xa de esa hipérbola tiene la ecuación:

 

2

x0 x a2

 

  y0 y   b2

  y2  = b2

1   en el p punto unto P   P    = (x0; y0 )

=1

13. Se constr construy uyee un panel solar par para a cale calent ntar ar agua con una hoja de ace acero ro inox inoxida idable ble a la que se da form formada ada de parábo parábola la (ver …gur …gura). a). El agua ‡uira a trav través és de una tuberí tubería a situada en el foco de la parábola. ¿A qué distancia está la tubería del vértice? 14. Una viga de 16 metros de largo con soportes simples sostiene sostienen n una carg cargaa concentr concentrada ada en el centro (vease …gura adjunta). La deformación de la viga en su centro es de 3 cm. Supongase que la viga deformada es parabólica. (a) Halla Hallarr una ecuación de la parábola. (T (Toma omarr como origen el centro de la parábola). parábola). (b) ¿A que distan distancia cia del centr centroo de la viga se prod produce uce una defor deforma mació ción n de 2 cm? 15. En áreas mon montañosa tañosass la recepción de radio y televisión resu resultan ltan aveces aveces pobre. Cons Considideremos un caso idelalizado en el que la grá…ca de la parábola   y   =   x x2 representa una colina, hay un emisor situado en el punto (-2,2) y un receptor al otro lado de la



2

 

colina, en el punto ( punto  (x x0 ; 0). 0). ¿A qué distancia de la colina puede estar el receptor sin que obstruya la recepción? 16. Una vidrier iera a deerencia una iglesia limitada ada una parábol ábola la parte superi superior or de y un arcoo vidr arc de circunf circunfere nciaigle ensia la está partelimit inferi inferior or por (vea (vease se lapar …gu …gura) ra).a. en Hal Hallese lese la super super…cie …cie la vidriera. 17. Hal Hallar lar la longit longitud ud de arco arco de la pará parábola bola 4  4x x

y

2

= 0  en el intervalo 0 intervalo  0

 y  4:

18. Cada uno de los cables de sujeción de un puente colgante se halla suspendido (con forma de parábola) entre dos torres separadas 120 metros entre sí y tiene una altura de 20 metros sobre una autopista (véase la …gura). Los cables tocan la autopista en el punto medio entre las torres. (a) Hal Halle le la ecuaci ecuación ón de la …gura para parabólic bólicaa de cada cable. (b) Hal Hallar lar la longit longitude ude de cad cadaa cable. 19. La form formaa de una ant antena ena de recepción de señales se obtiene por revo revolución lución de la parábola 2 x = 20y 20y   al reded rededor or del eje eje y  y.. Comprobar que, si el radio de la antena es  "  "rr"   pies, su super…sie viene dada por:

q    h i R  2   x 1 + (100 + r + r )  1000 dx dx =  =   rr

 r

0

10

2

 

2 3=2

15

20. El cometa Halle Halley y probablem probablemente ente el más famoso famososs de todos, tiene una órbita elíptica con el Sol en uno de los focos. Su distancia máxima del Sol es aproximadamente 35,34 UA (unidad astronómica 92 92;; 956 956x x106 millas), y su distancia mínima es aproximadamente 0,59 UA. Hallar la excentricidad de la órbita.

 

3

 

21. 21. En Enco cont ntra rarr una ecu ecuac ació ión n de la hi hipér pérbol bola a ta tall qu que, e, para para cua cualq lquie uiera ra de sus pun punto tos, s, la diferencia a los puntos (2,2) y (10,2) es 6. 22. Esbozar la curva represe representad ntadaa p por or las ecuacio ecuaciones nes paramétr paramétricas icas (indicando su sentid sentido) o) y escribir la ecuación rectangular correspondiente. (a)   x  = t  =  t

 1;

(b)   x  = 2t;

y  =  tt 1 y = t 2

j j

(c)   x  = tan2 ;

y  = sec2 

5

(d)   x  = t  =  t ; (e)   x  = e  =  e 2t ;

y  = 3 ln t y  = e  =  e t

23. Elimin Eliminar ar el pará parámetro metro y obtener la forma forma canónica de la ecuación rectangu rectangular. lar. (a) Recta que pa pasa sa por por (  (x x1; y1 )  y   (x2 ; y2 ) :   x  = x  =  x 1 + t(x2 (b) Cír Círculo culo::   x  = h  =  h +  + r  r cos ; (c) Eli Elipse: pse:   x  = h  =  h +  + a  a cos ;

y   =  k +  k  + rsen  rsen

 x ); 1

y   =  y 1 + t(y2

y ) 1

y  = k  =  k +  + bsen  bsen

(d) Hipér Hipérbola bola::   x  =  = h  h +  + a  a sec ;

y   =  k +  k  + b  b tan 

24. Encon Encontrar trar una ecuación para paramétric métricaa de la recta o cónica cónica,, utilizando los resultados del ejercicio anterior. (a) Rec Recta: ta: pas pasaa por (1,4 (1,4)) y (5, (5,-2) -2) (b) Cír Círculo culo:: Cen Centro tro (-3 (-3,1) ,1) y radio radio 3. (c) Elipse: Vértices: (4,7), (4,-3); (4,-3); F Focos: ocos: (4,5), (4 (4,-1) ,-1) (d) Hipér Hipérbola bola:: Vér Vértice tices: s: (0, 1); 1);   Focos: (0, 2) 2)::





Coordenadas Polares 1. Repres Represente ente el punto dado en coordenada coordenadass p polar olares es y hallar las coordenad coordenadas as cartesianas cartesianas correspondientes (a)   ( 4; = =3) 3)

  p  (c)   ( 2; 2:36)

(b)   (4; (4; 3=6) = 6)

2. Dadas Dadas las coorde coordenad nadas as car cartesi tesiana anass de un pun punto. to. Rep Repres resen entar tar el pun punto to y dete determ rmina inarr dos pares de coordenadas polares del mismo con  con   0  2: (a)

 

p 3; p 3

(b)   (2; (2; 2)

(c)   ( 1; 1)



4

 

3. Pa Pasar sar la ecuación rectang rectangular ular a forma polar y esbozar su grá…c grá…ca. a. (a)   x2 + y 2 =  a 2 (b)   y  = 4 (c)   3x

 y + 2 = 0

(d)   y2 = 9x

4. Pa Pasar sar la ecuación polar a forma rectang rectangular ular y esbozar su grá…ca (a)   r  = 4 (b)   r  = cos  (c)   r  =   =   (d)   r  = 3 se secc  5. Hallar Hallar la la dy=dx  dy=dx   y las p pendien endientes tes de las rectas tang tangentes entes mos mostrada tradass en la grá…ca de la ecuación polar.   r  = 2(1 sen sen))



6. Usar la calculado calculadora ra para represen representar tar gra…ca gra…camen mente te la ecuació ecuación n y hallar todos los puntos de tangencia horizontal de r de  r  = 2 csc  + 5 7. Esbozar Esbozar la grá…c grá…caa de la ecuaci ecuación: ón: (a)   r  = 3

 2cos 

(b) (c)    rr2 ==24 cos  8. Esbozar la grá grá…ca …ca de cada ecuación ecuación:: (a)   r  = 1

 sen

9. Hallar Hallar el área de la regió región n lím límita itada da por: (a)   r  = 6sen (b) Un pétalo  pétalo   r  = 2 cos 3 5

 

(c) Un pétalo  pétalo   r  = cos cos 2 (d) in interi terior or de de   r  = 1

 sen

10. Hal Hallar lar el áre área a de la regió región n indi indicad cada a (a) Inte Interior rior com común ún de de r  r  = 4sen sen   y  r  = 2 (b) Den Dentro tro de de   r  = 2a cos   y fuera de r de  r  = a  =  a (c) inter interior ior com común ún de de r  r  = a  =  a(1 (1 + cos )   y   r  = asen  =  asen 11. Determ Determine ine la longitud de la grá…ca en el inter interv valo indicado indicado:: (a)   r  = 1 + + sen  sen   0 (b)   r  = 5(1 + cos )

   2 0    2

12. Determ Determinar inar el área de la super…cie de revolució revolución n: (a)   r  = 2 cos    0

   = =22   (b)   r  = a  =  a(1 (1 + cos ) 0

gira en     =   =  ==2   gir gira a en el Eje pola polar. r.

6